η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε την σχέση sin lim lim ). sin (9 βαθμοί) Λύση α) Εφαρμόζοντας τον Κανόνα L Hopil δύο φορές (πρώτη και δεύτερη παράγωγος της αρχικής συνάρτησης) έχουμε: ( )' ()' lim lim lim lim 6 (6 )' ( )' 6 β) ( )' ' lim lim lim lim lim lim ( )' ( )' γ) Στην περίπτωση αυτή είναι χρονοβόρο να χρησιμοποιήσουμε τον Κανόνα του L Hopil κατ ευθείαν. Θα μετατρέψουμε την αρχική συνάρτηση σε μια πιο πρόσφορη μορφή: sin sin sin sin sin Εδώ αρκεί να αναγνωρίσουμε ότι sin sin lim lim και βεβαίως ότι sin sin sin lim lim lim lim sin sin Στην τελική αυτή μορφή μπορούμε πλέον να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του L Hopil (θα το βρείτε γραμμένο σε μερικά βιβλία και ως L Hospil):
' sin sin sin os sin sin lim lim lim lim lim ' os os sin sin 8os 8 lim lim lim lim lim ' ' Άσκηση. Ένα σωματίδιο ακολουθεί μια κυκλοειδή τροχιά: r() ( - sin)i ( - os)j για α) Nα υπολογίσετε την ταχύτητα r() π /. π <. και την επιτάχυνση r() του σωματιδίου για Τη χρονική στιγμή π / το σωματίδιο εγκαταλείπει την τροχιά στη διεύθυνση της εφαπτομένης και στη συνέχεια ακολουθεί μια ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα. β) Πού βρίσκεται το σωματίδιο όταν π ; γ) Να σχεδιάσετε στο (, ) επίπεδο την πορεία του σωματιδίου από μέχρι π. δ) Να αποδείξετε ότι sin (α β ) os ( βαθμοί) α [ n α os β ( n α) sin β ] Λύση α) H ταχύτητα του σωματιδίου στην κυκλοειδή είναι r ( os ) i sin j i j π / και η επιτάχυνση r sin i os j i. π / β) Τη χρονική στιγμή π / το σωματίδιο εγκαταλείπει την κυκλοειδή τροχιά. Βρίσκεται εκείνη τη στιγμή στο σημείο r με ταχύτητα π / π i j r π / i j.
Άρα η ευθεία γραμμή που θα ακολουθήσει είναι r γραμμη π π π [ ( )] i [ ( )] j για π, και τη χρονική στιγμή π βρίσκεται δηλαδή στο σημείο γ) Το σχέδιο: r γραμμη π π [ π ] i [ ] j,7 i,7 j δ) sin ( α β ) sin αos β os αsin β sin α osα os β (os αsin α) sin β sinα sin α os α[ os β ( ) sin β] osα os α os α [ nα os β (n α) sin β] Άσκηση. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g ln για >. α) Να υπολογίσετε τα g ( f ( g ())) και f ( g ( f ())). β) Να υπολογίσετε το πλευρικό όριο lim h( ) και επίσης lim h' για τη σύνθετη συνάρτηση h f ( ) g' f ( f ( g( ))) γ) Χρησιμοποιήστε τη σχέση os α sin α για να βρείτε την ακριβή τιμή του sin( π 8) (9 βαθμοί)
Λύση. α) Υπολογίζουμε g ( f ( g ())) ln ln ( ) ln ( ) ln και f ( g ( f ())) ln( ) (. 78 ). β) Πρώτα γράφουμε την συνάρτηση σε μια πιο βολική μορφή [με g' και f ( g( )) ]: h( ) f ( ) g' f ( f ( g( ))) και υπολογίζουμε την παράγωγο: h '. Έπειτα τα (πλευρικά) όρια είναι απλά: lim h( ), lim h ' lim. γ) Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι os ( π ) os ( π ), και αυτό μας δίνει ( χρησιμοποιούμε τη σχέση os α sin α ): os ( π ) sin ( π 8 ). Άρα: sin ( π 8 ) και συνεπάγεται ότι sin ( π 8 ) ± ( ). Επειδή το sin( π 8) είναι αρνητικό [αφού sin ( ) sin ], η ζητόυμενη λύση είναι η αρνητική: sin ( π 8) (, 868 ). [ Η θετική λύση αντιστοιχεί στο sin ( π 8) sin ( π 8) ].
Άσκηση. α) Να υπολογίσετε την παράγωγο / της συνάρτησης () που ικανοποιεί την εξίσωση β) Υπολογίστε τις παραγώγους και της συνάρτησης γ) Πυκνωτής φορτίζεται από ηλεκτρική πηγή τάσης Ε μέσω αντίστασης R. Εχοντας υπ όψη ότι τo φορτίο του πυκνωτή είναι q, το ρεύμα Ιq/ και ότι γενικά ισχύει Ε-Ι R-q/C (), όπου C η χωρητικότητα του πυκνωτή, να υπολογίσετε τις συναρτήσεις f() και q f() παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο. Το αρχικό ρεύμα ισούται με Ι ο και το αρχικό φορτίο ίσο με μηδέν. ( βαθμοί) Λύση α) Παραγωγίζουμε την συνάρτηση ως προς. Εχουμε: β) Παραγωγίζουμε την συνάρτηση ως προς. Έχουμε: ()
και () ( ) γ) Παραγωγίζοντας την Ε-Ι Rq/C έχουμε: q q E R E R q C C R R C C C R C R Ολοκληρώνοντας έχουμε (με ορισμένο ολοκλήρωμα, όπου Ι ο το ρεύμα όταν s): C R o ln o (Η ονομάζεται σταθερά χρόνου) Τώρα από την o έχουμε o q q o Ολοκληρώνοντας (με αρχικό φορτίο ίσο με μηδέν) o q q o o C R C R q
q R C o Άσκηση. α) Να βρεθούν τα σημεία καμπής της συνάρτησης 7 β) Δίνεται σύρμα μήκους λ, το οποίο χωρίζουμε σε δύο τεμάχια. Με το ένα (6 βαθμοί) κατασκευάζουμε κύκλο και με το άλλο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών κύκλου και τετραγώνου γίνεται ελάχιστο όταν ο λόγος των τεμαχίων είναι π/ Λύση α) 6 6 6( ) ή -/ - στρέφει τα κοίλα στρέφει τα κοίλα στρέφει τα κοίλα άνω κάτω άνω Επειδή η αλλάζει πρόσημο στο / και στο, η παρουσιάζει σημεία καμπής στα / και. β) Έστω ότι είναι το τμήμα με το οποίο φτάχνουμε τον κύκλο και λ- το τετράγωνο. Τότε πr ή r/π. To εμβαδόν κύκλου είναι Ε π r π π Ε π Με το λ- φτάχνουμε το τετράγωνο. Κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι (λ-)/ και το εμβαδόν του λ Ε. Το άθροισμα των εμβαδών κύκλου και τετραγώνου θα είναι: EE E π λ λ λ E ( ) π π 8
Ε > π 8 Αρα για κάθε ρίζα της Ε θα έχουμε ελάχιστο λ π π E π 8 λ 8 Άσκηση 6. α) Να υπολογίσετε το μήκος της καμπύλης που περιγράφεται με την συνάρτηση, για, όπου 6. m, ξεκινώντας από την σχέση s () () () () όπου s στοιχειώδες τμήμα της τροχιάς και να σχεδιάσετε την καμπύλη για, όπου 6. m β) Με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τους άξονες Χ και Υ, για, όπου 6. m. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης, για και το εμβαδόν του επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τους άξονες Χ και Υ, για. δ). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιφάνειας που περικλείεται από τις καμπύλες, ( βαθμοί) και τις παράλληλες ευθείες στον άξονα Υ για και. Λύση 6α) Επεξεργαζόμενοι τη σχέση s () () s () () () () () () () () () Υπολογίζουμε την παράγωγο του ως προς, / της συνάρτησης / ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( Τελικά έχουμε το ολοκλήρωμα: )
s () s () ( ) το οποίο λύνουμε με αντικατάσταση: γίνεται: / os ϑ ϑ os ϑ ϑ s ϑ / / ( sin ϑ) ( sin ϑ) s sin ϑ osϑ ϑ και το ολοκλήρωμα Ολοκληρώνοντας την τελική σχέση και επιστρέφοντας στις αρχικές μεταβλητές έχουμε: s s s m Η καμπύλη: rsin rsin π 6..9 rsin rsin m m Υ Ο 6. Χ 6β) Κατ αρχήν παρατηρούμε ότι το είναι θετικό για κάθε. Συνεπώς προχωρούμε στον υπολογισμό του ολοκληρώματος: E ε και αντικαθιστώντας το E ( ) / sin ϑ και ( sin ϑ) / os ϑ osϑ ϑ os ϑ ϑ Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική σχέση: os ϑ ( os ϑ) το ολοκλήρωμα γίνεται: E ( os ϑ) ϑ ϑ os ϑ ϑ ϑ sin ϑ στις αρχικές μεταβλητές, τελικά έχουμε: επειδή δε sin ϑ sin ϑ osϑ και επιστρέφοντας [ ] rsin rsin E rsin rsin rsin π 6..9 ( ) m.m
Τελικά Ε.m 6γ) Ολοκληρώνοντας έχουμε: [ ] ) ( O 6 8 8 8 O τετραγωνικές μονάδες Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το εμβαδόν είναι (εξ ορισμού) θετικό. Συνεπώς πρέπει να προσδιορίσουμε τις περιοχές για τις οποίες η συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική και να πάρουμε τις απόλυτες τιμές. Έτσι η συνάρτηση έχει ρίζες: 8 9 ± ± Από την πρώτη και δεύτερη παράγωγο ως προς προσδιορίζουμε ότι έχει ελάχιστο: / - και / /. Ελάχιστο και συνεπώς η συνάρτηση είναι θετική για και αρνητική για και έχουμε: ) ( ) ( E [ ] [ ] 6 6 6 8 Ε τετραγωνική μονάδα 6δ) Παρατηρούμε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι θετικές για, έτσι έχουμε: ( ) E ( ) [ ] ln( ) ln 9. Λόγω της παρατήρησης για το εμβαδόν, ότι είναι πάντα θετικό, προκύπτει ότι Ε 9. τετραγωνικές μονάδες. Επίσης αν ξεκινούσαμε από την σχέση ) (, απόλυτα ισοδύναμη με την που χρησιμοποιήσαμε και το Ε θα ήταν απ ευθείας θετικό. ) (
Άσκηση 7 Θεωρούμε τη συνάρτηση f α) Να μελετήσετε τη f () και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f και να σκιαγραφήσετε το αντίστοιχο εμβαδόν στη γραφική παράσταση της f (). (6 βαθμοί) Λύση 7α) Πεδίο ορισμού Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε R. Ρίζες Η μοναδική ρίζα f () είναι. Επίσης παρατηρούμε ότι η f () μηδενίζεται για ±, άρα ο -άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης. Ακρότατα Η παράγωγος f ' ( ) ( ) ( ) ( ) μηδενίζεται για ±. Εκεί βρίσκονται δηλαδή τα ακρότατα: f μέγιστο f ελάχιστο 6 Για να επιβεβαιώσουμε ότι πρόκειται για μέγιστο/ελάχιστο υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο ( 8) f ' ', ( ) που στο σημείο μας δίνει f ''() / (αρνητικό, άρα στο σημείο αυτό η f () έχει ένα μέγιστο) και στο μας δίνει f ' ' / 6 (θετικό, άρα εδώ η f () έχει ένα ελάχιστο). Γραφική παράσταση
Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν ανάμεσα στα και αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα f, το οποίο υπολογίζουμε στο μέρος β. 7β) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα ως εξής f ( ) [ ln ( ) ] ( ) Για να λύσουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα βάζουμε πρώτα, και πρέπει να προσαρμόσουμε και τα άκρα): (και επομένως ( ) και στη συνέχεια βάζουμε (και επομένως ), για να πάρει το ολοκλήρωμα την κανονική μορφή με στον παρονομαστή αντί για : / / [ rn ] / / ( rn rn ) Συνολικά βρίσκουμε δηλαδή
f (ln9 ln 7) rn rn.996...76.676... (.676.. τετραγωνικές μονάδες). Το αντίστοιχο εμβαδόν έχει σκιαγραφηθεί στη γραφική παράσταση της f (). Άσκηση 8. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα α) β) ln( ) γ) ( ) (9 βαθμοί) Λύση 8α) ln( ) ln( ) ln( ) [ln( )] ln( ) ln( ) ( ) ln ln rn C 9 8 β ) 7 8( ) 8 ( ) ln ( ) ln ( ) 6 6 7 7 C.
έ ά 8γ) θτω ρα ( ) ( ) () ( ) C C Άσκηση 9. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: α) β) γ) os o sin 8 os (9 βαθμοί) sin Λύση 9α) os sin os (sin os ) os n os 6 6 6 rn 6 C rn 6 εφ C 6
9β) θτω έ n o ( ) Με ανάλυση σε απλά κλάσματα: ( ) Α B Γ A BΓ () Για η() γίνεται Α Γ Γ Α Για η() γίνεται Α Α -άρα Γ Για η() γίνεται Α ( Β Γ ) Α Β Γ Β Α ( Γ) Β Άρα ( ) ln ln n ln rn C ln n ln n C 9γ) 7 ( os ) sin sin (os ) (os ) 8 8 8 os os os os os (os ) (os ) (os ) (os ) 8 8 6 os os os os os os os C 7 7 7 os os os 7 s s s 7 Άσκηση. α) Να υπολογίσετε την απόσταση από την αρχή των αξόνων του σημείου Μ, μέσου του ευθύγραμμου τμήματος ΤΕ της εφαπτομένης σε κύκλο στο σημείο Ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Α και τέμνει την ευθεία η οποία T R C O o, o (, ) (.,.) (, ) (.,.), R. m, m, M E,, Α Α
είναι κάθετη στον άξονα και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου στο σημείο Τ. β) Δίνεται κύκλος με εξίσωση ( ) ( ) R και ευθεία με εξίσωση α λ. Υπολογίστε για ποιές τιμές του λ η ευθεία τέμνει τον κύκλο. (, ) (.,.) R. α. R, ( βαθμοί) Λύση α) Από την εξίσωση ( ) ( ) R (εξίσωση κύκλου) και την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Ε ( ) ( - ) ( ) ( - ) R υπολογίζουμε τα και. Ειδικά στην περίπτωση μας, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: (..) (. ) (..) (.).. 6.6..6... R ( )..69..9.9 (, ) (.,.9) Έχοντας προσδιορίσει το σημείο Ε η εξίσωση η οποία διέρχεται από τα σημεία Α και Ε ισούται με: ( ) ( ( ) ( ) ) (.9) (..9).9. 76 (.) (..).9 και τελικά, αφού η ΑΕ είναι τμήμα της ΑΤ, οι συντεταγμένες του Τ υπολογίζονται από την εξίσωση (αφού και ):
(.9).76 (..) (.76) (.).9. (, ) (.,.) Το μέσον Μ του τμήματος ΤΕ υπολογίζεται:...9. ( m, m),, (.6,. ) (, m) m (.6,.) και τελικά η απόσταση του Μ από το Ο ισούται με OM.6..8 OM.8 m m β) Κάθε ζεύγος (, ) της ευθείας α λ έχουμε λ εφόσον βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου (αν η ευθεία τέμνει τον α κύκλο) πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του κύκλου Ετσι, ( ) ( ) R λ α ( ) R ( ( λ α )) α ( ) α R ( λ α ) ( λ α ) α α α α R ( α ) ( α λ α ) ( λ α ) α α R ( α ) ( λ α α ) λ λ α α α α R Αν αντικαταστήσουμε μερικούς όρους με: A ( α ) B α α C α α α R η τελευταία εξίσωση γράφεται: A (B λ) C λ λ α
Για να έχουμε πραγματικές ρίζες αυτής της εξίσωσης (συνεπώς το να βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου), πρέπει η διακρίνουσα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Συνεπώς ( C λ λ α ) ( B λ) Α (.) B λ ( A) λ λ Β A C A λ Α λ α λ ( Β Α α ) A C B Από την εξίσωση αυτή υπολογίζουμε το λ: ( Β Α α λ ) ± ( Β Α α ) A ( A) ( A C B ) ( ) ± ( ) ( ) ( ) ± και τελικά η εξίσωση (.) είναι εφ όσον -. < λ <. Σύντομη απάντηση για α Η εξίσωση του κύκλου γίνεται:, ενώ η εξίσωση της ευθείας: λ, άρα έχουμε: και αντικαθιστώντας σ αυτή τη σχέση την ευθεία έχουμε: ( λ) ( λ) λ λ λ λ λ λ όπου για να έχουμε δύο ρίζες, δηλαδή τομή της ευθείας με τον κύκλο σε δύο σημεία η διακρίνουσα του ανωτέρω τριωνύμου θα πρέπει να είναι θετική, άρα: ( λ ) ( λ λ ) 8 λ 6λ 6 8λ 6λ8 λ 8 λ λ λ και αυτό συμβαίνει μεταξύ των ριζών άρα οι ζητούμενες τιμές είναι: < λ<