ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε τη συνάρτηση με f:α Β. Το Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το Β πεδίο τιμών αυτής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν η συνάρτηση είναι της μορφής:. f(x)p(x), όπου P(x) ένα πολυώνυμο του x, τότε η f ονομάζεται πολυωνυμική και έχει πεδίο ορισμού όλο το R.. P ( x ) f ( x ), όπου P(x), Q(x) πολυώνυμα του x, τότε η f ονομάζεται ρητή και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α{x R/ Q( x) Q(x) 0}. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης x f ( x). x 5x+ 6 Αφού έχουμε ρητή συνάρτηση, πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή πρέπει x 5x+ 6 0 x και x 3. Άρα το πεδίο ορισμού είναι το Α R {, 3} 3.f(x) g( x ), όπου g(x) είναι μια παράσταση του x, τότε η f καλείται άρρητη και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α{ x R/ g(x) 0}. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( x) x x 3. Πρέπει x x 3 0. Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και μετά κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων. Έχουμε x x 3 0 x ή x3 - - 3 x + x -x-3 + - + Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α (, ] 3, + ) [

ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Όταν Δ 0, η εξίσωση αx +βx+γ 0 έχει ρίζες, x,x, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α εκτός των ριζών και ετερόσημο του α εντός αυτών (όπως στο παραπάνω παράδειγμα) και παραγοντοποιείται ως εξής : αx +βx+γ α(x-x )(x-x ). x x x αx +βx+γ ομόσημο του α ετερόσημο του α ομόσημο του α Όταν Δ 0 η εξίσωση αx +βx+γ0 έχει μια ρίζα, x,το τριώνυμο είναι παντού ομόσημο του α (εκτός βέβαια από το σημείο στο οποίο μηδενίζεται) και παραγοντοποιείται ως εξής : αx +βx+γ α(x-x ). x x ομόσημο αx +βx+γ του α ομόσημο του α Όταν Δ < 0 η εξίσωση αx +βx+γ0 δεν έχει καμία ρίζα και το τριώνυμο είναι παντού ομόσημο του α. x - + αx +βx+γ ομόσημο του α 4.f(x)ln(g(x)), όπου g(x) είναι μια παράσταση του x, τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α{ x R/ g(x)>0}. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( x) ln( x 4). Πρέπει x 4 > 0 x > 4 x <. Άρα το πεδίο ορισμού της συ-. νάρτησης είναι το Α (, ) 5.Αν μια συνάρτηση έχει τύπο που αποτελεί συνδυασμό των προηγούμενων περιπτώσεων, τότε εξετάζουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά και συναληθεύουμε τα αποτελέσματα. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f( x) x Πρέπει - x 0 x x - x και επειδή το -x βρίσκεται στον παρονομαστή πρέπει x ±. Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Α(-,)..

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Α. Τότε ορίζονται: To άθροισμα S(x) f(x) + g(x), x Α των δύο συναρτήσεων. H διαφορά D(x) f(x) - g(x), x Α των δύο συναρτήσεων. To γινόμενο P(x) f(x) g(x), x Α των δύο συναρτήσεων. Το πηλίκο Κ(x) f ( x ), x A {x A: g(x) 0} των δύο συναρτήσεων. g( x) 3 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 4x και g( x) x. Να ορισθεί η συνάρτηση f. g Οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R. Για να ορίσουμε το πηλίκο θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι ο παρονομαστής είναι διάφορος του 0, δηλαδή g( x) 0 x 0 x Άρα ορίζουμε τη συνάρτηση 3 f f ( x) x 4x x( x 4) x( x )( x + ) ( x) x( x ) g + f ( x) x x x R. με πεδίο ορισμού το Α { } Παρατήρηση Αν οι f, g έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού τότε το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο των δύο συναρτήσεων θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α Β (τομή των Α και Β ). Το πηλίκο των δυο συναρτήσεων θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο { x Α Β: g(x) 0 }. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ƒ(x)αx Έχει πεδίο ορισμού το R και είναι μια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. ƒ(x)ax+b Έχει πεδίο ορισμού το R και είναι μια ευθεία που διέρχεται από το (0,b). Στην ειδική περίπτωση που a0, έχουμε τη συνάρτηση ƒ(x)b, που 3

έχει γραφική παράσταση μια ευθεία παράλληλη στον άξονα xx. ƒ(x)ax Έχει πεδίο ορισμού το R και η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή, η οποία αν a > 0 βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx και αν a < 0 βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx.έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. a>0 a<0 ƒ(x) x α Έχει πεδίο ορισμού το R\{0}. Η γραφική της παράσταση είναι μια υπερβολή με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Αν a > 0 τότε βρίσκεται στο ο και 3 ο τεταρτημόριο, ενώ αν a < 0 βρίσκεται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο. a>0 a<0 ƒ(x)e x και g(x)e -x Έχoυν πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το (0, + ). Οι γραφικές τους παραστάσεις διέρχονται από το (0,). e x e -x 4

ƒ(x)lnx Έχει πεδίο ορισμού το (0,+ ) και σύνολο τιμών το R. Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (,0). Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της lnx βρίσκεται στα δεξιά του άξονα yy, αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για x>0. f(x)ημx και g(x)συνx Έχουν πεδίο ορισμού το R, σύνολο τιμών το [-,] και είναι περιοδικές με περίοδο π. f(x)ημx f(x)συνx 0 π/ π 3π/ π 0 π/ π 3π/ π - - ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ.Έστω μια συνάρτηση f:α Β. Η f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα D Α, όταν για κάθε x, x D με x < x ισχύει f(x ) < f(x ). γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα D Α, όταν για κάθε x, x D με x < x ισχύει f(x ) > f(x ). Γνησίως μονότονη ονομάζεται μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα..έστω μια συνάρτηση f:α Β. Η ƒ λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x Α, όταν f(x) f(x ) για κάθε x σε μια περιοχή κοντά στο x. τοπικό ελάχιστο στο x Α, όταν f(x) f(x ) για κάθε x σε μια περιοχή κοντά στο x. 3.Αντίστοιχα,αν έχουμε μια συνάρτηση f:α Β θα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x Α, όταν f(x) f(x ) για κάθε x Α. ολικό ελάχιστο στο x Α, όταν f(x) f(x ) για κάθε x Α. 5

Ακρότατο μιας συνάρτησης f ονομάζεται ένα μέγιστο ή ελάχιστο αυτής (ολικό ή τοπικό). Έστω η συνάρτηση f(x)ημx.όπως είδαμε η γραφική της παράσταση είναι η ακόλουθη: π 3π/ π 0 π/ - Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, για δύο οποιαδήποτε σημεία x, x του [0,π/] με x < x ισχύει ημx <ημx. Άρα η συνάρτηση f(x)ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,π/]. Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [π/,π], γνησίως φθίνουσα στο [π,3π/] και γνησίως αύξουσα στο [3π/,π]. Επίσης η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο π/, το f(π/) και ολικό ελάχιστο στο 3π/, το f(3π/)-. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τι εκφράζει η σχέση lim ƒ(x) l ; x x0 H σχέση εκφράζει ότι όταν το x τείνει (πλησιάζει) στο x 0, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν (πλησιάζουν) στο l και λέμε ότι το όριο της f, όταν το x τείνει στο x 0, είναι l. ΣΧΟΛΙΟ Το x 0 μπορεί να είναι ή να μην είναι στοιχείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, αρκεί να βρίσκεται «κοντά» σε αυτό. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται συνεχής στο x 0 A όταν ισχύει lim f ( x) f ( x ) x x 0 0 Όταν η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, ονομάζεται συνεχής στο Α. Παρατήρηση: Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης μόνο στα σημεία του πεδίου ορισμού της. ΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πολυωνυμικές (π.χ. 3x +4x-) Τριγωνομετρικές (π.χ. ημx, συνx, εφx) Εκθετικές (π.χ. e x ) Λογαριθμικές (π.χ. lnx) 6

Οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών (π.χ. e x +ημx) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΑ Έστω οι συναρτήσεις f,g και έστω ότι υπάρχουν τα όρια lim f ( x) m R και lim g( x) n R. Τότε: x x 0 I. lim [f(x)+ g(x)]m+n x x 0 II. lim [k f(x)] k m x x 0 III. lim [f(x) g(x)]m n x x 0 f(x) m IV. lim ( για n 0 ) x x 0 g(x) n x x 0 V. lim [f(x)] ν m ν x x 0 VI. lim x x0 ν f ( x) ν m ΠΡΟΣΟΧΗ Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει! Για παράδειγμα ισχύει lim ( x ) lim, αλλά δεν υπάρχει το x x lim. x x x 7

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ I.Αν το x 0 είναι σημείο του πεδίου ορισμού της f και η f είναι συνεχής, αντικαθιστούμε το x 0 στον τύπο της f,δηλαδή lim f( x) f( x ) x x 0 0 : Να βρεθεί το : lim( x 3x 9) x +. Πεδίο ορισμού είναι το ΑR και R. Άρα lim (x +3x-9) lim x +lim 3x+ lim (-9) +3 +(-9) x x x x II.Αν το x 0 δεν είναι σημείο του πεδίου ορισμού της f, τότε, με αντικατάσταση του x 0, οδηγούμαστε σε μορφή 0. Σε αυτή την περίπτωση, κάνουμε πράξεις στον τύπο της f (παραγοντοποίηση), χρησιμοποιώντας γνωστές ταυτότητες (διαφορά τετραγώνων, κύβων κλπ.) μέχρι να φτάσουμε στο σημείο που επιτρέπεται η αντικατάσταση. Να βρεθεί το όριο της x f ( x) στο x 0 x Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α R\{}, γιατί πρέπει x- 0 x. Άρα x 0 Α. Έχουμε: x ( x )( x + ) f ( x) x + x x lim f x lim x+ + Άρα ( ) ( ) x x 0 III.Ειδικά στην περίπτωση που εμφανίζεται κλάσμα με ρίζες, στο οποίο με αντικατάσταση του x 0 οδηγούμαστε σε μορφή 0 πολλαπλασιάζουμε 0 αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου στον οποίο εμφανίζονται οι ρίζες. Έτσι φτάνουμε στο σημείο που επιτρέπεται η αντικατάσταση. Να βρεθεί το όριο της f( x) x + 4x 4 + + x x στο x 0. Πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδέν και οι υπόρριζες ποσότητες μη αρνητικές. Έχουμε -x +x+ 0 x - και x. 8

lim x lim x lim x ( + ) x + 4x 4 x + x + ( x + ) ( x + ) ( x ) ( x + ) ( 4x 4 ) ( x ) ( x + + 4x 4 ) ( x + ) ( x ) 3 lim x 3( x ) x+ 0 x - 4x-4 0 x Άρα Α[,)U(,+ ) και x 0 A Έχουμε x + ( + + 4 4 ) 4 ( x + + 4x 4 ) x ( x + ) ( x + + 4x 4 ) 3 4x 4 lim x lim lim x ( x + ( x + ) ( x ) x + 4x + 4 ( x + ) ( x ) ( 3 4x 4) x + + ( x + + 4x 4 ) ( x + + 4x 4 ) 4x 4) IV.Ασκήσεις στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. Για την επίλυση τέτοιου είδους ασκήσεων, χρησιμοποιούμε τον ορισμό της συνέχειας. Να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση συνεχής στο x 0. f x 3x +, x ( x ) x α, x να είναι Για να είναι συνεχής στο x 0 πρέπει lim f ( x ) f ( ). Αλλά x x 3x + ( x )( x ) lim f ( x) lim lim lim ( x ) x x x x x x και ƒ() α. Άρα πρέπει α. 9

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Η f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 A αν υπάρχει το f ( x 0 + h) f ( x 0) lim h 0 h και είναι πραγματικός α- ριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0, συμβολίζεται με f (x 0 ). Η παράγωγος της f στο x 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της y f(x) ως προς x, όταν x x 0. Η στιγμιαία ταχύτητα, τη χρονική στιγμή t 0, ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του περιγράφεται από τη συνάρτηση x f(t) είναι v(t 0 ) f (t 0 ). ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (C) (ε) Μ(x 0, ƒ(x 0 )) ω Έστω μια συνάρτηση f με γραφική παράσταση την καμπύλη (C) του σχήματος και έστω η εφαπτομένη (ε):y λx + β της (C) στο σημείο Μ(x 0, f(x 0 )) C, η οποία σχηματίζει με τον xx γωνία ω. Τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε),(ή αλλιώς η κλίση της ε), λεφω, είναι ακριβώς η παράγωγος της f στο x 0, δηλαδή : λ ε εφω f (x 0 ) ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι ίσοι. Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους έχουν γινόμενο ίσο με -. Ο συντελεστής διεύθυνσης του άξονα xx και κάθε ευθείας παράλληλης προς αυτόν είναι μηδέν. Προσοχή :Εξετάζουμε αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη μόνο στα σημεία του πεδίου ορισμού της. 0

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Έστω Β το σύνολο των στοιχείων του Α στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση με την οποία κάθε x B αντιστοιχίζεται στο f ( x + h) f ( x) f ( x ) lim h 0 h Η συνάρτηση αυτή, όπως ορίστηκε, ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. Αν η f είναι κι αυτή παραγωγίσιμη, τότε η (πρώτη) παράγωγός της ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν η θέση ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμμα, συναρτήσει του χρόνου t είναι x(t), τότε η ταχύτητά του είναι v(t)x (t), ενώ η επιτάχυνσή του είναι α(t)x (t). ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Η παράγωγος της f(x)c είναι f (x)(c) 0 Πράγματι, f ( x + h) f ( x) c c f ( x) lim lim 0 h 0 h h 0 h. Η παράγωγος της f(x)x είναι f (x)(x) Πράγματι f ( x + h) f ( x) x + h x h f ( x) lim lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 3. Η παράγωγος της f(x)x ρ είναι f (x)(x ρ ) ρx ρ- Πράγματι, για ρ έχουμε f ( x + h) f ( x) ( x + h) x x + xh + h x f ( x ) lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h xh + h h( x + h) lim lim lim ( x + h) x + 0 x h 0 h h 0 h h 0 Ως εφαρμογή των παραπάνω έχουμε x ( x - ) (-)x -- -x - - x δηλαδή x x ( x ) x x x x ( x ) x

δηλαδή ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Ισχύουν οι σχέσεις: x ρ μ x και ν x μ x ν ρ 4. Η παράγωγος της f(x)ημx είναι f (x)(ημx) συνx 5. Η παράγωγος της f(x)συνx είναι f (x)(συνx) -ημx 6. Η παράγωγος της f(x)e x είναι f (x)(e x ) e x 7. Η παράγωγος της f(x)lnx είναι f (x)(lnx) x ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ I. [c ƒ(x)] c ƒ (x) Πράγματι, αν θέσουμε F(x)c f(x), έχουμε Fx ( + h) Fx ( ) c f ( x+ h) c f ( x) [ cf ( x) ] F ( x) lim lim h 0 h h 0 h c [ f ( x+ h) f ( x) ] f ( x+ h) f ( x) lim c lim c f ( x) h 0 h h 0 h II. [f(x)+g(x)] f (x) + g (x) Πράγματι, αν θέσουμε F(x)f(x) + g(x), έχουμε F( x+ h) F( x) f ( x+ h) + g( x+ h) f ( x) g( x) [ f ( x) + g( x) ] F ( x) lim lim h 0 h h 0 h f ( x+ h) f ( x) g( x+ h) g( x) lim + lim f ( x) + g ( x) h 0 h h 0 h III. [f(x) g(x)] f (x) g(x)+ f(x) g (x)

f(x) f (x) g(x) - f(x) g (x) IV.,g(x) 0 g(x) [g(x)] V. [f(g(x))] f (g(x)) g (x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Συχνά είναι καλό να χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους για την παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης: p p ( f ( x) ) p( f ( x) ) f ( x) ( f( x ) ) f ( x ) f( x) f ( x) f ( x ) ( f ( x )) [ ημ f ( x) ] [ συν f ( x) ] f ( x) [ συν f ( x) ] ημ f ( x) f x ( εφ f ( x) ) f ( x) συν f ( x ) [ ] ( ) f ( x) f ( x) e e f ( x) [ lnf ( x) ] f ( x ) f ( x ) ΤΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. (3x 5 ) 3(x 5 ) 3 5x 5-5x 4. (x -x) (x ) +(-x) x- 3. (x ημx) (x) ημx+x(ημx) ημx+x συνx x+ (x+) x (x+) (x ) [(x) +() ] x -(x+) x 4. x (x ) x 4 (+0) x -x -x -x -x -x(x+) x+ - x 4 x 4 x 4 x 3 5. Σύνθετες συναρτήσεις [ημ(x+)] συν(x+) (x+) συν(x+) (+0) συν(x+) ( x + ) ( x + ) x + (x + 0) x + x x + 3

[ημ (3x)] [(ημ3x) ] (ημ3x) - (ημ3x) ημ3x συν3x (3x) ( ημ3xσυν3x) 3 ημ[( 3x)] 3 3ημ6x. ημx (ημx) συνx- ημx (συνx) υνxσυνx- ημx(-ημx) 6. (εφx) συνx (συνx) συν x συν x+ ημ x συν x συν x ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτησης σε δοσμένο σημείο Η εξίσωση είναι της μορφής y αx + β ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ α.βρίσκω την παράγωγο συνάρτηση f (x).αντικαθιστώ στην f (x), όπου x, το x του σημείου.αυτό που βρήκα θα είναι το α. 3.Αντικαθιστώ στη y αx + β το α που βρήκα. ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ β. Πάω στο τύπο της συνάρτησης ( δηλ. της f (x) )και αντικαθιστώ όπου x το x του σημείου. Το f του σημείου μπορεί να μου το δίνουν έτοιμο και έτσι δε χρειάζεται να το βρω. π.χ αν μου λένε στο σημείο (,3) καταλαβαίνω ότι το f() 3 και δε χρειάζεται να το βρω.. Πάω στην y αx + β και βάζω όπου x το x του σημείου και όπου y το f του σημείου. Έτσι προκύπτει μια απλή εξίσωση από την οποία βρίσκω και το β. Ξαναγράφω την ευθεία y αx + β με τα α και β που βρήκα και τελείωσα. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)-x +x-3. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f ()). f x x + x 3 x + 4x + Η εξίσωση της εφαπτομένης της Είναι ( ) ( ) γραφικής παράστασης της ƒ στο σημείο (, ƒ ()) είναι της μορφής yλx+b, όπου λ ƒ () και αφού ƒ ()-4 + -3 θα είναι της μορφής y-3x+b.αλλά το (, ƒ ())(,-4) ανήκει στην εφαπτομένη άρα επαληθεύει την εξίσωσή της, δηλαδή -4-3 +b b -. Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η y-3x- 4

. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτησης σε κάποιο (άγνωστο) σημείο x 0, έτσι ώστε αυτή να σχηματίζει κάποια γνωστή γωνία ω: Πρώτα πρέπει να βρω το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρω την εφαπτομένη.. ΓΡΑΦΩ : Έστω (x,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρουμε την εφαπτομένη που σχηματίζει τη γωνία ω. Πρέπει να ισχύει f (x) εφω.. Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, δηλ. την f (x). 3. Λύνω την εξίσωση f (x) εφω από την οποία μπορεί να βρω και παραπάνω από μια λύσεις, έστω x, x. 4. Πάω στον τύπο της συνάρτησης (της f(x)) και αντικαθιστώ στη θέση του x πρώτα το x και μετά το x. Έτσι βρίσκω το f(x ) και το f(x ). Άρα, γράφω, τα ζητούμενα σημεία είναι (x,f(x )) και (x,f(x )). Αν μου ζητάει η άσκηση μόνο τα σημεία έχω τελειώσει. Αν ζητάει και την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας τότε εφαρμόζω ακριβώς τα βήματα της ης κατηγορίας με τη διαφορά ότι το α το έχω έτοιμο. Είναι α εφω και συνεχίζω για να βρω και το β. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) -x +3x-, x R. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 35 ο. Είναι f (x)-x+3. Ισχύει 35 ο 80 ο - 45 ο. Άρα εφ35 ο - εφ45 ο - (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν αντίθετες εφαπτομένες) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) είναι της μορφής y αx+b όπου α εφ35 ο, άρα α - Aν x 0 είναι το σημείο από το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη που σχηματίζει τη γωνία 35 ο πρέπει να ισχύει f (x 0 ) εφ35 ο - -x 0 +3 - -x 0-4 x 0 Αλλά f (x 0 ) -x 0 +3 και f() - +3 -. Η εξίσωση (ε) της εφαπτομένης στο σημείο (,) είναι της μορφής y αx+b όπου α f () εφ35 ο, άρα α -, δηλαδή η ευθεία είναι η y -x+β. Το σημείο (x 0,f(x 0 )) (,) θα ανήκει και στην (ε), άρα επαληθεύει την εξίσωσή της, επομένως -+b b3 Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η y -x+3. 3. Όταν ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης δοσμένης συνάρτησης σε κάποιο (άγνωστο) σημείο x 0, έτσι ώστε αυτή να είναι παράλληλη με κάποια δοσμένη ευθεία y κx + λ. Πρώτα πρέπει να βρω το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρω την εφαπτομένη..γραφω : Έστω (x,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρουμε την εφαπτομένη που είναι παράλληλη με τη δοσμένη ευθεία. 5

Πρέπει οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών να είναι ίσοι, δηλ. πρέπει f (x) κ.βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, δηλ. την f (x). 3.Λύνω την εξίσωση f (x) κ από την οποία μπορεί να βρω και παραπάνω από μια λύσεις, έστω x, x. 4.Πάω στον τύπο της συνάρτησης ( της f(x) ) και αντικαθιστώ στη θέση του x πρώτα το x και μετά το x. Έτσι βρίσκω το f(x ) και το f(x ). Άρα, γράφω, τα ζητούμενα σημεία είναι (x,f(x )) και (x,f(x )). Αν μου ζητάει η άσκηση μόνο τα σημεία έχω τελειώσει. Αν ζητάει και την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας τότε εφαρμόζω ακριβώς τα βήματα της ης κατηγορίας με τη διαφορά ότι το α το έχω έτοιμο. Είναι α κ και συνεχίζω για να βρω και το β. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αντίστοιχα εργαζόμαστε αν μας ζητούν την εξίσωση της εφαπτομένης η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y λx + β. (Λύνω την εξίσωση f (x) λ -) f ( x ) 4x.Να βρεθούν τα σημεία στα οποία x + η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη στην ευθεία y8x+7. Έστω (x,f(x)) είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να φέρουμε την ε- φαπτομένη που είναι παράλληλη με τη δοσμένη ευθεία. Πρέπει οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών να είναι ίσοι, δηλ. πρέπει f (x) 8. Ισχύει 4( x + ) 4x 8 f ( x ). Άρα ( x + ) ( x + ) 8 8 8 8( x + ) ( x + ) x + ή x+- x ή x 3 ( x + ) Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα (-,f(-)) και (-3,f(-3)) δηλ. τα (-,-4) και (-3,) 4. Όταν δίνεται ότι η εξίσωση της εφαπτομένης σε συγκεκριμένο σημείο ικανοποιεί κάποια συνθήκη και ζητείται να βρεθεί μια παράμετρος: Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιώ τα δεδομένα της άσκησης για να φτιάξω μια απλή εξίσωση και να βρω την άγνωστη παράμετρο. Δίνεται η συνάρτηση f( x) x ax.. Να προσδιοριστεί το α ώ- στε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f()) να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 ο. Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο (, f()), έ- στω λ, θα ισούται με την εφαπτομένη των 45 ο, δηλαδή λ εφ45 ο 6

Άρα και f (). Αλλά f (x)4x-a και f ()4 -a8-a Άρα πρέπει 8-a a7 5. Όταν ζητείται να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση ικανοποιεί μια σχέση ή ζητείται η τιμή μιας παραμέτρου ώστε μια συνάρτηση να ικανοποιεί μια σχέση. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ποσότητες που περιέχει η δεδομένη σχέση και είτε αποδεικνύω τη σχέση,είτε σχηματίζω μια εξίσωση από την οποία βρίσκω την άγνωστη παράμετρο. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)e ax, a R. Να βρεθούν οι τιμές του a, ώστε να ισχύει η σχέση f (x)+ f (x)3 f(x), για κάθε x R. Είναι f (x) e ax (ax) a e ax και f (x) (a e ax ) a (e ax ) a e ax Άρα f (x) + f (x) 3 f(x) a e ax + a e ax 3 e ax a e ax + a e ax -3e ax 0 e ax (a +a-3) 0 a +a-30 (επειδή e ax 0 για κάθε x R). Το τριώνυμο έχει ρίζες a και a -3 και αυτές είναι οι ζητούμενες τιμές. 7

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f : A R και έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα D Α, τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε εσωτερικό σημείο x D, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο D. Αν f (x) < 0, για κάθε εσωτερικό σημείο x D, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έστω μια συνάρτηση f : (α,β) R, έστω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και έστω x 0 (α,β). Αν f (x 0 ) 0 f (x) > 0 για κάθε x (α,x 0 ) f (x) < 0 για κάθε x (x 0,β) τότε η f παρουσιάζει στο xx 0 μέγιστο, το f(x 0 ). Αν f (x 0 ) 0 f (x) < 0 για κάθε x (α,x 0 ) f (x) > 0 για κάθε x (x 0,β) τότε η f παρουσιάζει στο xx 0 ελάχιστο, το f(x 0 ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο x 0, τότε ισχύει f (x 0 )0. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Δηλαδή, αν για κάποια f ισχύει f (x 0 )0 για κάποιο x 0 του πεδίου ορισμού της, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η fπαρουσιάζει ακρότατο στο x 0. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΜΟΝΟ- ΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης, f (x).. Λύνω την εξίσωση f (x) 0. 3. Κάνω πίνακα προσήμων για την f (x), από όπου συμπεραίνω για τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. Αν η άσκηση είναι πρόβλημα (π.χ. ελαχιστοποίηση κόστους, μεγιστοποίηση κέρδους), τότε πρέπει να φτιάξω πρώτα τη κατάλληλη συνάρτηση,χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης και μετά να ακολουθήσω τα τρία βήματα. Να βρεθούν τα ακρότατα της f(x)x -3x. Ισχύει f (x)x-3. Άρα f (x)0 x-30 x3/. Tότε έχουμε 8

x - 3/ + f (x) - + f(x) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 3/, το f(3/) -9/4. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) αx + βx +. Να βρεθούν τα α,β R ώστε η f να έχει στη θέση x τοπικό α- κρότατο ίσο με 6. Από τα δεδομένα της άσκησης συμπεραίνουμε ότι f ( ) 6 α + β + 6 4α+ β+ 6 4α+ β 4 α+ β () Επίσης, αφού δίνεται ότι στο x η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο, θα ισχύει f () 0. Αλλά έχουμε f (x) αx + β f () 4α + β 0 () Από τη λύση του συστήματος των () και () έχουμε α - και β 4. ΧΡΗΣΙΜΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Για τους όγκους και τα εμβαδά στερεών ισχύει: V Ε βάσης ύψος Ε Ε παράπλευρης + Ε βάσης, όπου Ε παράπλευρης (Περίμετρος βάσης) (ύψος) π.χ. για το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει γ α β V αβγ Ε (α+β)γ +αβ για τον κύλινδρο ισχύει ----r- h V πr h E πrh + πr ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9

ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με f( x ) x x 4 Να βρεθούν: το πεδίο ορισμού της το lim f ( x) x 4 Το πεδίο ορισμού είναι το [0,4)U(4,+ ), γιατί πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του 0 και το υπόριζο θετικό. Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x + x lim lim lim x 4 x 4 x 4 ( x 4) x + x 4( x 4) x + x 4 lim lim x 4( x 4) x + x 4 x + 4 + 4 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) ae -x + be -x, a,b R Nα δείξετε ότι f (x) + 3f (x) +f(x) 0. x x x x Ισχύει f ( x ) ae ( x ) + be ( x ) ae be f ( x ) f ( x ) ae be ae ( x ) be ( x ) ae + 4be ( ) ( ) x x x x x x ( ) ( ) ( ) x x x x x x Άρα f ( x ) + 3f ( x ) + f( x ) ae + 4be + 3 ae be + ae + be + + + x x x x x x ae 4be 3ae 6be ae be 0 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) + + +.Να βρεθούν τα σημεία της 3 3 f x x x 3x καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν είναι παράλληλες στον άξονα xx. Είναι 3 f ( x ) x x 3x + + + 3x + x + 3 x + 4x + 3 3 3 Οι εφαπτομένες της καμπύλης που είναι παράλληλες στον xx έχουν συντελεστή διεύθυνσης 0. Έστω (x 0,f (x 0 )) ένα από τα ζητούμενα σημεία. Τότε θα ισχύει f ( x 0 )0 x 0 +4x 0 +30 x 0 - ή x 0-3. Για κάθε μια από τις παραπάνω τιμές βρίσκουμε την αντίστοιχη τετμημένη 0

( ) ( ) + ( ) + ( ) + 3 3 3 3 f 3 3 f( 3) ( 3) + ( 3) + 3( 3) + Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α, 3 και Β(-3,). ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: 4 f( x ) ημx f( x ) ln x f( x ) e συν x f( x ) ln(ln x ) f x x x ( ) f( x ) ln x 3 f x 3x ( ) εφ συν f( x ) συν x 3 3 f ( x ) ημx συν x x συν x 4x ( ) ( ) 4 4 4 4 3 f ( x ) ( ln x ) ( x ) x x x x ( ) συν ( ημ ) ημ ( ) ( ) συν x συν x συν x συν x f x e e x e x e x f ( x ) ( ln(ln x ) ) (ln x ) ln x ln x x x ln x f ( x ) x συν x x συν x + x ( συν x ) x συν x + x ( ) ( ) ( ημ ) ( ) συν ημ x x x x-x x 3 3 3 f ( x ) ( ln x ) ( ln x ) ( ln x) 3 ( ln x) ( ln x ) ln x 3 4 ln x 4 x x εφ3x f ( x ) ( εφ 3x) εφ3x ( εφ3x) εφ3x ( 3x ) 6 συν 3x συν 3x f ( x ) x x 3 x 3 3 3 3 3 ( συν ) ( συν ) 3 ( συν ) ( συν x ) 3 συν x ( ημ x ) x 3συν x ημ x 3x 9x συν x ημ x ( ) 3 3 3 3 3 3 3 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθούν αριθμοί x,y με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο.

Έστω x,y δύο αριθμοί με x+y. y-x (). Το γινόμενο θα είναι xyx(-x)x-x. Άρα μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση f(x)x-x και ζητούμε το μέγιστό της (αφού μας ζητείται το μεγαλύτερο γινόμενο). Είναι f (x)-x Άρα f (x)0 -x0 x x6 Συνεπώς είναι f (6)0 f (x) > 0 για κάθε x<6 x - 6 f (x) < 0 για κάθε x>6 + f (x) + - f(x) Άρα το x6 είναι μέγιστο (ολικό) για την f, δηλαδή για x6 μεγιστοποιείται το γινόμενο xy. Από την () έχουμε ότι y-x y -6 δηλαδή y 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 ( ΘΕΜΑ 003) Δίνεται η συνάρτηση f (x) x. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν x3, ισούται με 3. 4 γ. Αν h(x) f (x) 3 για x, να υπολογίσετε το lim h (x ). x x α) Πρέπει x - 0 x x - ή x Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Α(-,-]U[,+ ). β)ο ρυθμός μεταβολής της f όταν x3 ισούται με το f (3). Είναι x x x f ( x) ( x ) ( x ) x x x x x για x A\{-,} 3 3 3 8 3 4 3 3 Άρα f (3) 3 8 4 4 4 γ)είναι h( x) f( x) 3 x 3 x x Άρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 x + 3 x 3 limh ( x) lim lim lim x x x x x ( x ) i x + 3 ( x ) i x + 3 x 3 x 4 ( x )( x+ ) lim lim lim x x x ( x ) i x + 3 ( x ) i x + 3 ( x ) i x + 3 lim x ( ) ( ) ( ) ( x+ ) + 4 3 x + 3 + 3 3 3 3 ( ) 3

4