Κανονική Εξέταση στο Mάθημα: "ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ" (5 ο εξάμηνο) (Διάρκεια: ώρες) ΟΜΑΔΑ A Ημερομηνία: 5 Μαρτίου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ο (.5,.) δ Σχήμα R Ι C i R g v R 5 v - r i R 4 v out R δ - v C (α) Για το κύκλωμα του Σχήματος, θεωρούμε ότι ο διακόπτης δ είναι κλειστός και ο διακόπτης δ ανοικτός. Να γραφούν οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους. (β) Υποθέτουμε, τώρα, ότι ο διακόπτης δ ανοίγει ενώ ο διακόπτης δ κλείνει. Θεωρούμε, επίσης, ότι η θύρα εξόδου v out του κυκλώματος τερματίζεται με ωμική αντίσταση R 6 Ω. Θεωρώντας μοναδιαίες τιμές για τις ωμικές αντιστάσεις (R i Ω, i,...,5) και τους πυκνωτές (C C F) του κυκλώματος, να ευρεθεί η αναλυτική έκφραση για την απόκριση στην ημιτονική μόνιμη κατάσταση του κυκλώματος, όταν στις θύρες εισόδου του κυκλώματος έχουμε: i () t in() t και v () t 5in( t). Λύση (α) Κατ αρχήν αριθμούμε τους κόμβους του κυκλώματος και επιλέγουμε φορές αναφορές των στοιχείων του, όπως (για παράδειγμα) στο ακόλουθο σχήμα: δ R Ι C i R g v R 5 5 v - r i R 4 6 v out R δ - v 4 C Με βάση την παραπάνω αρίθμηση κόμβων και φορές αναφορές των κλάδων, κατασκευάζουμε τους δύο γράφους (I γράφο και V γράφο) του κυκλώματος, ως ακολούθως: Σελίδα από 4
gv C 4 i R 5 4 6 R C i R R 4 R 5 I γράφος C C R 5 4 R 4 5 4 6 5 v R R R v V γράφος v out ri Με βάση τους παραπάνω δύο γράφους (και θεωρώντας τη συγκεκριμένη αρίθμηση κόμβων), το σύστημα των εξισώσεων της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων (ΤΜΚ) γράφεται ως εξής (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες): 4 ri v 4 5 i G G 5 g G 5 g e I G C G C e G C G C G C G C g g e G G G G e 5 4 5 4 4 r e 5 i V () (β) Υποθέτοντας, τώρα, ότι ο διακόπτης δ ανοίγει ενώ ο διακόπτης δ κλείνει, τότε οι αλλαγές που λαμβάνουμε ως προς την τοπολογία του κυκλώματος είναι οι εξής: ον ) Το άνοιγμα του δ ισοδυναμεί με ανοικτοκύκλωση του κλάδου της G 5 και αφαίρεση ουσιαστικά της G 5 από το σύστημα (δηλαδή θέτουμε: G 5 στο παραπάνω σύστημα) ον ) Το κλείσιμο του δ ισοδυναμεί με βραχυκύκλωση του κόμβου 4 του κυκλώματος με τον κόμβο της γείωσης (δηλαδή 4 ). Αυτό συνεπάγεται τα ακόλουθα: (i) Η εξίσωση του ΝΡΚ για τον κόμβο του I γράφου παύει να ισχύει, ενώ οι άλλες εξισώσεις ΝΡΚ στους άλλους κόμβους του Ι γράφου παραμένουν αναλλοίωτες. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να διαγραφεί η αντίστοιχη η γραμμή από το σύστημα των εξισώσεων της ΤΜΚ (ο Ι γράφος έχει ουσιαστικά έναν κόμβο λιγότερο). (ii) Η τάση του κόμβου του V γράφου ισούται πλέον με την τάση του κόμβου αναφοράς (γείωση), και άρα η τάση e δεν συμπεριλαμβάνεται στο διάνυσμα αγνώστων μεταβλητών του κυκλώματος (δηλαδή διαγράφεται η η στήλη του συστήματος). Επιπλέον, θεωρώντας ότι η θύρα εξόδου v out του κυκλώματος τερματίζεται με ωμική αντίσταση R6Ω, συνεπάγεται ότι προστίθεται ένας επιπλέον κλάδος G 6 τόσο στον Ι γράφο (από τον κόμβο 4 στη γείωση) όσο και στο V γράφο (από τον κόμβο 4 στη γείωση). Σελίδα από 4
Με βάση τις παραπάνω αλλαγές ως προς την τοπολογία του κυκλώματος, το σύστημα των εξισώσεων (), της ΤΜΚ του ερωτήματος (α), απλοποιείται ως ακολούθως: 4 ri v 4 5 i G g g e I G C e G G G e 4 6 4 4 r e 5 i V () Παρατήρηση (εναλλακτικός τρόπος λύσης) : Στο ίδιο σύστημα εξισώσεων () μπορούσαμε φυσικά να καταλήξουμε μετά από επανασχεδίαση των δύο γράφων (Ι και V γράφου) του κυκλώματος, οι οποίοι έχουν τώρα την ακόλουθη μορφή: i R 5 X 4 6 R 5 4 R 4 X 6 R v 5 5 R C gv i R R 6 R 4 v C R C R R 6 v out ri I γράφος 4 5 V γράφος 4 Αντικαθιστώντας τις δοθείσες τιμές στο παραπάνω απλοποιημένο σύστημα () παίρνουμε: Για την απόκριση v out του κυκλώματος (βλ. V γράφο) έχουμε: v () e () out 4 Δ Δ () () 4 ri 4 5 i g g e I e 4 e r e 5 v i V (με εφαρμογή του κανόνα Kramer, όπου Δ είναι η ορίζουσα του συστήματος που προκύπτει μέσω αντικατάστασης της ης στήλης του μητρώου του συστήματος με το διάνυσμα ανεξάρτητων εισόδων) Σελίδα από 4
όπου g g g g g g Δ () ( ) r r r r g ( ) ( g) ( ) ( rg rg ) ( rg ) ( rg 4) r r r και I g I g Δ () I I( ) r r r r V απ όπου προκύπτει: ( ) r vout () I() ( rg ) ( rg 4) GI ( ) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος ως προς είσοδο I δίνεται από τη σχέση: ( ) r GI () ( rg ) ( rg 4) ενώ προφανώς η συνάρτηση μεταφοράς ως προς είσοδο την ανεξάρτητη πηγή τάσης v είναι μηδενική. Συνεπώς, εφόσον το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ( το οποίο ισχύει όταν: ( rg 4)( rg ) > ( rg > ) OR ( rg < 4) ), η ζητούμενη απόκριση στην ημιτονική μόνιμη κατάσταση δίνεται από τη σχέση: ( HMK ) vout () t GI ( j) in( t ArgG ( I ( j) )) όπου: ( j ) r rg GI( j) GI( j) r και Arg GI( j) π tan ( rg ) j ( rg 4) ( rg ) ( rg 4) 4 rg 4 ( ) ( ) Σελίδα 4 από 4
ΘΕΜΑ ο (,.8,.7) Δίνεται το κύκλωμα του ακόλουθου Σχήματος, το οποίο διαθέτει δύο ανεξάρτητες πηγές τάσης ως εισόδους. v c - - v C R v c C R v R - v out Σχήμα (α) (β) (γ) Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος, θεωρώντας ως μεταβλητές κατάστασης τις τάσεις των πυκνωτών (v c, v c ) όπως εικονίζονται στο Σχήμα, και ως έξοδο την τάση v out. Να ευρεθεί η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς του κυκλώματος. Δίδονται οι ακόλουθες τιμές των στοιχείων του κυκλώματος: R KΩ, R 4KΩ, R KΩ, C 5μF και C 5μF. Να ευρεθεί η χρονική απόκριση στην έξοδο του κυκλώματος, εαν στις εισόδους ισχύει: v u( t) και v u( t) (όπου u(t): μοναδιαία βηματική συνάρτηση) Λύση (α) Κατ αρχήν αριθμούμε τους κόμβους του κυκλώματος και επιλέγουμε φορές αναφορές των στοιχείων του, όπως (για παράδειγμα) στο ακόλουθο σχήμα: v c 4 - - R v C v c C R v 5 R - v out ος Τρόπος Λύσης ερωτήματος (α) Με βάση την παραπάνω αρίθμηση κόμβων και τις φορές αναφορές των κλάδων που επιλέξαμε, κατασκευάζουμε τους δύο γράφους (I γράφο και V γράφο) του κυκλώματος, ως ακολούθως: Σελίδα 5 από 4
R 4 ΘΟΔ C C 5 4 ΘΟΔ C R R C R R v C C v R v out I γράφος 5 V γράφος 4 Στους παραπάνω γράφους έχουμε σημειώσει επίσης το κανονικό δέντρο. Από τις εξισώσεις του ΝΡΚ στις ΘΟΔ του I γράφου παίρνουμε (στο πεδίο του χρόνου): ΘΟΔ C: ΘΟΔ C: dv () t i i C v ( t) () c c R R dt R dv () t i i i i C v ( t) v ( t) v ( t) () c c R R R R R R dt R R R Οι παραπάνω δύο σχέσεις θα οδηγήσουν στις δύο εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος, εαν αντικατασταθούν οι μεταβλητές {v R, v R, v R } συναρτήσει των δύο μεταβλητών κατάστασης {v c, v c } και των δύο ανεξάρτητων εισόδων {v, v } του κυκλώματος. Για το βήμα αυτό, εφαρμόζουμε ΝΤΚ στους θεμελιώδεις βρόχους (ΘΒ) του V γράφου: v v v v v v () ΘΒ R: R c R c ΘΒ R: vr v (4) ΘΒ R: vr vc (5) Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τις εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος: () dv ( η c εξίσωση κατάστασης): ( ) ( ) dvc () ( ) ( ) x t v x t v v dt RC dt RC RC R c dv ( η c εξίσωση κατάστασης): () x ( t) ( vr vr vr) dt C R R R dvc ( ( ) x () t vc v v vc dt C R R R ) (),(4),(5) ( ) ( ) ( ) ( ) dvc x () t v v v v c c dt RC RC RC RC Για τη έξοδο, επιπλέον, έχουμε (από ΝΤΚ στο ΘΒ του κλάδου v out στο V γράφο): y vout vc Σελίδα 6 από 4
Επομένως, το σύστημα των εξισώσεων κατάστασης του κυκλώματος γράφεται τελικώς ως εξής: και x () t RC vc RC v x () t x () t c v v RC RC RC RC x u vc v yt () vout () t [ ] [ ] C vc D v ος Τρόπος Λύσης ερωτήματος (α) A x u Βασιζόμενοι στο I γράφο και στο V γράφο που σχεδιάσαμε παραπάνω, μπορούμε να καταστρώσουμε το σύστημα των εξισώσεων της ΤΜΚ με δύο γράφους (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες): C G C e G G G C e v e v v e 4 v Για τις μεταβλητές κατάστασης ισχύει (βλ. V γράφο): 4 B x v c e -e και x v c e 4 Επομένως, με αλγεβρικό χειρισμό των παραπάνω σχέσεων, λαμβάνουμε: ( C) e ( G C) e ( C) ( e e ) G( e e) G e G e G e ( G C ) e G e G( e e ) G e ( G C ) e 4 4 C ( x) G x G v C ( x ) G x G x G v G v απ όπου προκύπτει τελικώς το σύστημα των εξισώσεων κατάστασης του κυκλώματος: G x C x C v x G G x G Gv C C C C A G B (η εξίσωση εξόδου προκύπτει όπως και παραπάνω) Σελίδα 7 από 4
ος Τρόπος Λύσης ερωτήματος (α) Μέσω απλής κυκλωματικής ανάλυσης (εφαρμόζοντας, δηλαδή, ΝΤΚ στους βρόχους εισόδου εξόδου του τελεστικού ενισχυτή και ΝΡΚ στους κόμβους, δεδομένου τελεστικού ενισχυτή απείρου κέρδους στη γραμμική περιοχή λειτουργίας), μπορούμε να πάρουμε τις εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος. ΝΤΚ στο βρόχο 4 : v v v () c R ΝΤΚ στο βρόχο 4 : v v () ΝΤΚ στο βρόχο 5 4 5: vc vr () ΝΤΚ στο βρόχο 5 4 : vout vc (4) R ΝΡΚ στον κόμβο (): ΝΡΚ στον κόμβο (4): dv () t i i C v () t (5) c c R R dt R dv () t i i i i C v ( t) v ( t) v ( t) (6) c c R R R R R R dt R R R Από τις σχέσεις (5) και (6), αντικαθιστώντας τις σχέσεις () (), προκύπτει όπως και παραπάνω το σύστημα των εξισώσεων κατάστασης του κυκλώματος. (β) Για τη μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς G() έχουμε: G() C [ I A] B D όπου: RC [ ] C C I A I A I A C C RC RC όπου [ ] ( )( ) I A det I A RC RC C ij : τα αλγεβρικά συμπληρώματα (cofactor) των στοιχείων του μητρώου [I-A] και τελικώς: [ ] RC I A ( )( RC ) RC RC RC Επομένως, για το μητρώο συναρτήσεων μεταφοράς G() του συστήματος προκύπτει: RC RC G () ( )( ) [ ] [ ] RC RC RC RC RC RC Σελίδα 8 από 4
RC G () ( )( ) RC RC RC RC RC RC ( )( ) ( )( ) ( )( ) G () RC RC RC RC RC RC ( )( RC RC ) ( ) RC ( )( ) ( RC ) ( ) G () RC RC RC (γ) Για τις δοθείσες τιμές των στοιχείων (R KΩ, R 4KΩ, R KΩ, C 5μF και C 5μF) του κυκλώματος έχουμε: 6 RC 5 5.5, 6 RC, 6 RC 5.5 και 6 RC 4 5 Με αντικατάσταση των τιμών αυτών στο παραπάνω μητρώο συναρτήσεων μεταφοράς G() έχουμε: G () ( )( ) ( ) Συνεπώς, για τη ζητούμενη χρονική απόκριση y(t) του κυκλώματος παίρνουμε: v() t / ( ()) () L yt G L v () t ( )( ) ( ) / ( ) 6 k k k k4 L yt () ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου: k 6 6, k 6 6 ( ) ( ) k, k4 ( ) Επομένως, λαμβάνουμε τελικά για τη ζητούμενη χρονική απόκριση: t ( ) ( ) 6 7 t y() t L u() t 6e 7e ( ) ( ) (όπου u(t) μοναδιαία βηματική απόκριση) Σελίδα 9 από 4
I C L V R R I E V L I V C V R Σχήμα ΘΕΜΑ ο (.5,.5,,.5) ΤΡΙΘΥΡΟ Ν (α) Για το τρίθυρο του ακόλουθου Σχήματος να γραφεί η μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως Ζ. (β) Το τρίθυρο θα χρησιμοποιηθεί όπως στο Σχήμα. Στη θύρα θα τοποθετηθεί ανεξάρτητη πηγή τάσης εσωτερικής αντιστάσεως R ενώ οι θύρες και θα τερματιστούν με ίσες αντιστάσεις R, ίσες με την εσωτερική αντίσταση της πηγής. Εάν η αντίσταση εισόδου οριστεί: in V /I, να ευρεθεί κάτω από ποιές συνθήκες είναι R. in (γ) Εάν οι συνθήκες του ερωτήματος (β) ισχύουν και είναι R5Ω και CnF, (i) να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις μεταφοράς V() V() G () G () E() E() (ii) Να σχεδιαστούν τα ασυμπτωτικά διαγράμματα Bode των G (), G () και να χαρακτηριστεί η λειτουργία τους ως φίλτρων. (δ) Εάν η πηγή είναι άγνωστης συχνότητας και εσωτερικής αντίστασης, από τη μέτρηση των τάσεων V, V της ανωτέρω διάταξης μπορεί να συναχθεί εάν η συχνότητα της πηγής είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τη συχνότητα θλάσης των δύο φίλτρων. Να εξεταστεί εάν αυτό είναι δυνατό όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι επαγωγική και να αιτιολογηθεί η απάντησή σας. Σελίδα από 4
Λύση (α) ος Τρόπος Στις θύρες του τριθύρου τοποθετούνται πηγές έντασης. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των κόμβων προκύπτει ότι οι τάσεις των θυρών με την αρίθμηση του σχήματος ταυτίζονται με τις τάσεις των κόμβων, οπότε θα ισχύει - - L L V() I() - V () I () L L V () I () - L I I C L V I V L I I C V ΤΡΙΘΥΡΟ Ν Από την ανωτέρω σχέση προκύπτει άμεσα ότι η μήτρα συνθέτων αγωγιμοτήτων βραχυκυκλώσεως θα είναι - - L L Y() - L L - L Η μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως θα είναι Σελίδα από 4
- - L L L L - L - ()Y () - - L L - (-) (-) (-) L L - - L L - - - L L - - - - - L L L L - - - - - L L L L L L (-) (-) (-) - L - - L L L L (-) (-) (-) L L - T L L L L L L L L L L L L ος Τρόπος Εφαρμόζεται ο ορισμός των στοιχείων της μήτρας Ζ. Για την εύρεση της μήτρας συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως Ζ κατά στήλες τοποθετείται μία πηγή έντασης στην ιοστή θύρα ενώ οι υπόλοιπες θύρες παραμένουν ανοικτοκυκλωμένες και υπολογίζονται οι τάσεις των θυρών. Εάν τεθεί πηγή εντάσεως στη θύρα, όπως στο κατωτέρω σχήμα, λόγω της συμμετρίας οι εντάσεις I και Ι θα είναι ίσες με Ι /, οπότε θα είναι I() L V() () L I() I() I I I() V() () I () I () I I I I I() L V() L () I() I() Σελίδα από 4
I I C L V I I L I V C V ΤΡΙΘΥΡΟ Ν Αντίστοιχα για τοποθέτηση πηγής εντάσεως στη θύρα, όπως στο ακόλουθο σχήμα, θα είναι I I C L V I V L I C V I ΤΡΙΘΥΡΟ Ν L I() I() L I () I ()L L L V() () I () I () I () I I Σελίδα από 4
L I() I L L () V() () I I I () I () I () L I() L L V() I ()L () I I L I () I () I () L Αντίστοιχα για τοποθέτηση πηγής εντάσεως στη θύρα, όπως στο ακόλουθο σχήμα, θα είναι I I C L I V I L I V C V ΤΡΙΘΥΡΟ Ν L I () L L I () -I () I ()L L L V() L () I () I () I () I I L I() I () L V() L () I I I () I () I () L Σελίδα 4 από 4
L I() L L L V() I ()L () I I L I() I() I() L (β) Η αντίσταση εισόδου προέρχεται από τη σύνθεση δύο συνθέτων αντιστάσεων εν παραλλήλω, Η μία είναι ο παράλληλος συνδυασμός της R με την L και εν σειρά την /() ενώ η δεύτερη είναι ο παράλληλος συνδυασμός της R με την (/() και εν σειρά την L.Συνεπώς θα είναι R R ()L L R R R RL LR RL RL LR () RL (RL) RL LR RL LR * () () R (RL) RL LR RL LR in () () () RL LR RL LR (RL)R L R R (RL) Για να είναι η αντίσταση εισόδου ίση με R, πρέπει να ισχύει ή ισοδύναμα RL LR R L R LR C (γ) Εάν V () είναι ο μετασχηματισμός Laplace της τάσεως της θύρας, θα είναι R R R V() R R R R L L R R V () R RL LR R C R R και RL RL V() RL R C RL RL V RL () RL LR RL LR R C R R RL (RL) Καθώς η αντίσταση εισόδου είναι ίση με R, θα είναι Σελίδα 5 από 4
Επομένως θα είναι V () in() R E() R () RR in V () V () V () R G () * E() V () E() (R C R R) R C R V() V()V() R G () R C * E() V () E() R C R R R C R Για τις τιμές που δίδονται θα είναι LR C*5*e-7.5mH Η διακρίνουσα του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι ( ) 4 Δ R C -4R*R C -4R C < οπότε οι πόλοι των συναρτήσεων μεταφοράς είναι μιγαδικοί. Οι κυκλικές συχνότητες θλάσεως θα είναι 6 ω p rad/ec LC.5e-*e-7 5 Στο ακόλουθο Σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα Bode κέρδους και φάσεως των δύο συναρτήσεων μεταφοράς. Είναι σαφές ότι η G () είναι βαθυπερατό φίλτρο ενώ η G () υψιπερατό. Bode Diagram B ) (d e d itu M agn - -4-6 -8 - G() G() - 8 g ) e (d e 9 P ha -9-8 4 5 6 7 Frequency (rad/ec) (δ) Εάν η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι επαγωγική, οι συναρτήσεις μεταφοράς G (), G () μεταβάλλονται ως εξής V () V () V () R () R G () * * E() V () E() R C R R () () R C R RL in in S S Σελίδα 6 από 4
V() V()V () R C () R C R G () * * E() V () E() R C R R () () R C R R RL in in S S Η αλλαγή της εσωτερικής αντίστασης της πηγής εισάγει ένα πόλο στις συναρτήσεις μεταφοράς. Η G () συνεχίζει να είναι ένα βαθυπερατό φίλτρο του οποίου η κυκλική συχνότητα αποκοπής μπορεί να μεταβληθεί αν το R/L S είναι μικρότερο από το ω p ενώ η G () μεταβάλλεται σε ζωνοπερατό φίλτρο του οποίου η ζώνη διέλευσης θα είναι περίπου εντός της ζώνης διέλευσης του βαθυπερατού φίλτρου εάν το R/L S είναι μικρότερο από το ω p. Καθώς οι μετρήσεις των V, V έχουν αναπόφευκτα θόρυβο, η χρησιμότητα του κυκλώματος περιορίζεται σημαντικά. Σελίδα 7 από 4
ΘΕΜΑ 4 ο (.5,.5,.5,.5,.5) I I V V V L C C C Σχήμα 4α Σχήμα 4β (α) Να ευρεθεί η μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως Ζ του διθύρου του Σχήματος 4α. (β) Το κύκλωμα του Σχήματος 4β να σχεδιαστεί σαν τερματισμένη σύνδεση δύο διθύρων, εκ των οποίων το ένα είναι το τρανζίστορ και το άλλο δίθυρο της μορφής του Σχήματος 4α. (γ) Εάν η μήτρα Ζ του τρανζίστορ είναι.5 -K 4 να προσδιοριστεί η μήτρα Ζ του ολικού διθύρου (χωρίς τους τερματισμούς) (δ) Να δειχθεί ότι εάν LH, C F, C F, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κυκλώματος του σχήματος 4β θα είναι ψ()4c 6C (C 4) (8C KC 6) 4 (ε) Να εξεταστεί εάν το κύκλωμα μπορεί να λειτουργήσει σαν ταλαντωτής με κυκλική συχνότητα ωrad/ec και εάν η απάντηση είναι καταφατική, να προσδιοριστεί η τιμή του Κ. Λύση (α) Θεωρώντας πηγή έντασης στη θύρα ενώ η θύρα είναι ανοικτοκυκλωμένη, όπως στο κατωτέρω σχήμα, θα είναι I I V I I V Ζ ()Ζ () I() Ζ () () Ζ () V() I ()Ζ () Ζ ()Ζ ()Ζ () Ζ ()Ζ () I I() I() I() Ζ ()Ζ ()Ζ () Σελίδα 8 από 4
Ζ () I() Ζ () () Ζ () V() I ()Ζ () Ζ ()Ζ ()Ζ () Ζ () I I () I () I () Ζ ()Ζ ()Ζ () Θεωρώντας πηγή έντασης στη θύρα και ανοικτοκυκλωμένη τη θύρα προκύπτουν άμεσα εξαιτίας της συμμετρίας V() Ζ () () Ζ () I I() Ζ ()Ζ ()Ζ () V() Ζ ()Ζ () () Ζ () I I() Ζ ()Ζ ()Ζ () (β) Στο ακόλουθο σχήμα το κύκλωμα σχεδιάζεται σαν τερματισμένη διπλά σύνδεση σειρά-σειρά δύο διθύρων με μηδενικές αντιστάσεις S L E C C L C Σελίδα 9 από 4
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το κύκλωμα μπορεί να σχεδιαστεί σαν παράλληλη- παράλληλη σύνδεση δύο διθύρων, όπως στο ακόλουθο σχήμα, τερματισμένο με μηδενικές αγωγιμότητες. I Y S Y L L C C C (γ) Στα ακόλουθα Σχήματα φαίνονται τα τεστς για την ικανοποίηση των κριτηρίων Brune. Καθώς μεταξύ των σημείων Α,Β υπάρχει αγώγιμος δρόμος, οι τάσεις VAB και στα δύο κυκλώματα είναι μηδενικές. Επομένως τα δίθυρα παραμένουν δίθυρα και μετά τη σύνδεσή τους και για τις μήτρες συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως θα είναι I A V AB I B A V AB B C C C C L C L C (α) (β) Σελίδα από 4
oλ ()Ζ ()Ζ () Σύμφωνα με το ερώτημα η μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως του διθύρου θα είναι L L L () L L L Η μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ανοικτοκυκλώσεως του τρανζίστορ δίδεται Επομένως θα είναι.5 -K 4 L L L.5 oλ ()Ζ ()Ζ () -K 4 L L L L.5 L L C C L -K 4 L L ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για όσους σχεδίασαν το κύκλωμα σαν παράλληλη παράλληλη σύνδεση διθύρων, επειδή τα κριτήρια Brune ισχύουν, η Υ μήτρα του ολικού διθύρου θα είναι το άθροισμα των Υ μητρών των επιμέρους διθύρων. Για το δοθέν δίθυρο η μητρα Υ προκύπτει εάν τεθούν πηγές τάσης V,V στις θύρες και αντίστοιχα,οπότε θα ισχύουν V() V()-V() I () V ()- V () () () () () () Σελίδα από 4
V() V()-V() I () - V () V () () () () () () και - () () () Y() - () () () Για το τρανζίστορ θα είναι.5 4 Y -K 4 K.5 οπότε - () () () 4 Y ολ Y ()Y () K.5 - () () () (δ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του διπλά τερματισμένου διθύρου θα προκύπτει από τους μηδενισμούς της συνάρτησης f [( oλ Ζ S)( ολ L)-oλ oλ ] [ oλολ -oλ oλ ] επειδή S L. Για τις τιμές των στοιχείων που δίδονται, θα είναι Θέτοντας προκύπτει L L L L L L f.5 4 -K q L q-.5q q- 4q -Kq f - q q q q.5 K q -.5q - - 4q -4 q C C C C q.5 4LC 4 CC LCC 8LCC LC 4C 4CC 4CC 8KC8C (CC CC CC LCC ) ( ) Για τις τιμές των στοιχείων που δίδονται, θα είναι ψ()4lc C C LC C 8LC C LC 4C C 4C C 4C C C 8C KC 8C 4C 6C (C 4) (8C KC 6) 4 4 Σελίδα από 4
Για το δεύτερο σετ τιμών της άλλης ομάδας θα είναι ψ()4lc C C LC C 8LC C LC 4C C 4C C 4 4C C C 8C KC 8C 6C 4C (4C 6) (8C KC 4) 4 (ε) Για να λειτουργεί το κύκλωμα σαν ταλαντωτής με κυκλική συχνότητα ωrad/ec πρέπει το j να είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου όπως και το -j ενώ οι υπόλοιπες ρίζες του πρέπει να είναι τοποθετημένες στο αριστερό ήμισυ του μιγαδικού επιπέδου. Συνεπώς θα είναι ψ(j)4c-j6c-(c 4)j(8C KC 6) Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος με μηδέν λαμβάνεται το σύστημα των εξισώσεων 4C-(C 4) 8C-8-6C (8C KC 6) -8C KC 6) Από την πρώτη εξίσωση λαμβάνεται 8 C 6.6 8 Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση και επιλύοντας ως προς Κ, λαμβάνεται 8C-6 K 7.9875 C Για τις τιμές που προσδιορίστηκαν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής 4 ψ()4c 6C (C 4) (8C KC 6) 4 5..9 55..95. ( ).9( )( ) ( )(5..9) Εφαρμόζεται το κριτήριο Routh για τον τελευταίο παράγοντα. Θα είναι 5..9 Καθώς δεν υπάρχουν αλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη και δεν μηδενίζεται γραμμή ο παράγοντας (5..9) έχει ρίζες στο αριστερό ημιεπίπεδο και το κύκλωμα μπορεί να λειτουργήσει σαν ταλαντωτής. Ιστορικά το κύκλωμα αυτό είναι ο ταλαντωτής Clapp. Σελίδα από 4
ος Τρόπος Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κατασκευάζεται η διάταξη Routh 4 4C C 4 6C 8C KC 6 6C (C 4) 4C (8C KC 6) 6C 8.76C-.945KC (8.76C-.945KC )(8C KC 6)-6C 8.76C-.945KC 6-48K-589K C 67.6C-7KC 8.76-.945K (8.76C -.945KC ) Για να λειτουργεί το κύκλωμα σαν ταλαντωτής πρέπει να μηδενίζεται η γραμμή του (για να ταλαντώνεται μόνο σε μία συχνότητα) και τα στοιχεία της πρώτης στήλης να είναι θετικά, αφού η μηδενική γραμμή αντικατασταθεί από τους συντελεστές της παραγώγου του βοηθητικού πολυωνύμου. Το βοηθητικό πολυώνυμο θα είναι και για να έχει ρίζα την j θα πρέπει να είναι B()(8.76C-.945KC ) 8.76C-.945KC Από το μηδενισμό της γραμμής του σε συνδυασμό με την ανωτέρω εξίσωση, προκύπτει (8.76C-.945KC )(8C KC 6)-6C (8C KC 6)-6C 4KC-64C 6 Επιλύοντας το σύστημα των δύο γραμμικών εξισώσεων ως προς C και KC, λαμβάνεται Το Κ προκύπτει άμεσα C 8.76.945 6.6 KC 64 4 6 75.475 75.475 K 7.985 6.6 Τα στοιχεία της πρώτης στήλης της διάταξης Routh για τις τιμές αυτές είναι θετικά και συνεπώς το σύστημα μπορεί να λειτουργήσει σαν ταλαντωτής σ αυτή την κυκλική συχνότητα. Σελίδα 4 από 4