Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Συμβολισμοί Μεταβλητών Γραμμική Άλγεβρα Τετραγωνικές Μορφές Περιεχόμενα Παράγωγοι Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών Ιακωβιανός Πίνακας Επίλυση Τριγωνομετρικών Εξισώσεων Μιγαδικοί Αριθμοί
Συμβολισμοί Μεταβλητών Μεταβλητή Στον Πίνακα Στα Slides Παράδειγμα Αριθμός x, X x, X x: συντεραγμένη Τ: κινητική ενέργεια Διάνυσμα x x x: θέση Πίνακας Χ X M: μητρώο αδράνειας
Γραμμική Άλγεβρα: Διανύσματα Διάσταση v 1 (μια μόνο στήλη) Παράδειγμα: r = x y z = x y z T Ένα διάνυσμα περιγράφει την θεση ενός σημείου στο χώρο v-ιοστής διάστασης r = r e r Απόσταση: μέτρο διανύσματος Διεύθυνση: μοναδιαίο διάνυσμα r = x 2 + y 2 + z 2 e r = 1 r r
Διάσταση μ v Παράδειγμα: Γραμμική Άλγεβρα: Πίνακες A = 1 2 3 4 5 6 Ένα πίνακας περιγράφει έναν μετασχηματισμό από έναν χώρο v-ιοστής διάστασης σε έναν χώρο μ-ιοστής διάστασης Βλέπε πολλαπλασιασμό πίνακα επί διάνυσμα. Παράδειγμα: A r = 1 2 3 x 4 5 6 y = 1 z 4 x + 2 5 y + 3 x + 2y + 3z z = 6 4x + 5y + 6z Ανάστροφος πίνακας Α Τ = 1 4 2 5 3 6
Γραμμική Άλγεβρα: Πίνακες Προσοχή στις διαστάσεις στον πολ/σμό πινάκων Παράδειγμα: A = 1 2 3 3 4 5 6, b = 0 1 D Α b c = 1 1 3 3 3 3 8 10 12 0 1, c = 7, D = 1 1 0 2 3 0 2 1 2 3 4 5 6 0 1 7 = 7 = 6 12 7 = 42 84
Γραμμική Άλγεβρα: Τετραγωνικοί Πίνακες Τετραγωνικοί πίνακες: έχουν διάσταση v v 1 0 0 Μοναδιαίος Πίνακας Ι = 0 0 0 0 1 Η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α είναι η det(a) O αντίστροφος πίνακας του Α είναι ο Α 1 ώστε Α Α 1 = Α 1 Α = Ι Για 2 2 πίνακες, υπάρχουν εύκολοι αναλυτικοί υπολογισμοί Α = α γ β δ Α 1 = 1 det A det A = aδ βγ, δ γ β a
Γραμμική Άλγεβρα: Ιδιοτιμές και Ιδιοανύσματα Οι ιδιοτιμές λ i και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ξ i ενός v v πίνακα Α ικανοποιούν: Α ξ i = λ i ξ i Υπάρχουν v ιδιοτιμές λ i. Για κάθε μια αντιστοιχεί ένα v 1 ιδιοανύσματα ξ i. Αν ξ i είναι ιδιοάνυσμα του Α, τότε και το c ξ i είναι ιδιοάνυσμα του Α, όπου c είναι μη μηδενικός αριθμός μας ενδιαφέρει η διεύθυνση! Τα ιδιοανύσματα περιγράφουν τις κατευθύνσεις κατά την οποίες ο μετασχηματισμός που περιγράφει ο πίνακας Α παράγει τον εαυτό του
Γραμμική Άλγεβρα: Ιδιοτιμές και Ιδιοανύσματα Κανονικοποίηση ιδιοανυσμάτων: μερικές φορές τα ιδιοανύσματα κανονικοποιούνται ώστε το μέτρο τους να ισούται με 1 Έστω ξ i ένα ιδιοάνυσμα. Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ισούται με ξ i ξ i Παράδειγμα: Tα ιδιοανύσματα του πίνακα Α = 3 1 υπολογίζονται ως 2 1 ξ 1 = 1.61. Τα κανονικοποιημένα ιδιοανύσματα είναι ξ 1 ξ 1 = 1 2 1.18 και ξ 2 = 1.03 2.81 1.61 1.18 = 0.81 0.59 και ξ 2 = 1 ξ 2 3 1.03 2.81 = 0.34 0.94
Γραμμική Άλγεβρα: Διαγωνιοποίηση Πίνακα Αν λ i και ξ i είναι οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ενός v v πίνακα Α, τότε αυτός γράφεται σαν Α = Ξ Λ Ξ 1 Όπου Λ είναι ένας διαγώνιος πίνακας που περιέχει τις ιδιοτιμές του Α: Λ = diag λ i = λ ν και Ξ είναι ένας σύνθετος πίνακας, του οποίου οι στήλες είναι τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα του Α: Ξ = ξ 1 ξ ν λ 1
Γραμμική Άλγεβρα: Συμμετρικοί Πίνακες Ο τετραγωνικός πίνακας Α είναι συμμετρικός αν Α Τ = Α Για οικομία χώρου μπορούμε να γράψουμε μονο τα στοιχεία πάνω από διαγώνιο. Παράδειγμα: 3 2 0 3 2 0 Α = 2 2 1 = 2 1 0 1 1 1 Διαγωνιοποίηση συμμετρικού πίνακα: Α = Ξ Λ Ξ Τ Δηλαδή σε συμμετρικούς πίνακες Ξ 1 = Ξ Τ
Τετραγωνικές Μορφές Έστω μια συνάρτηση 2 μεταβλητών της μορφής f x = f x 1, x 2 = 1 2 (a x 1 2 + 2β x 1 x 2 + γ x 2 2 ) x = x 1 x 2 Τότε αυτή περιγράφεται μέσω της τετραγωνικής μορφής f x 1, x 2 = 1 2 a β x 1 x 2 β γ x 1 x = 1 2 2 xτ D x Η οποία βασίζεται στον συμμετρικό πίνακα D = a β β γ
Διανυσματικοί Χώροι Πίνακα Έστω ο m n πίνακας A. O πίνακας αυτός περιγράφει ένα γραμμικό μετασχηματισμό το χώρο R n στον χώρο R m. Ο βαθμός (rank) του πίνακα Α ρ = rank(a) είναι o μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών/στήλων του Α. Ισχύει ρ min(m, n) Το εύρος (range) του πίνακα Α R(Α) είναι ο διανυσματικό χώρο του R m που καλύπτουν οι γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του Α. Ο πυρήνας (nullspace) του πίνακα Α Ν(Α) είναι ο διανυσματικός χώρος του R n που περιέχει τα n 1 διανύσματα x τα οποία απεικονίζονται από τον μετασχηματισμό Α στο m 1 μηδενικό διάνυσμα 0: Α x = 0 Ισχύει ότι dim R Α + dim N A = ρ
Τετραγωνικές Μορφές Γενίκευση σε συνάρτηση n μεταβλητών x = x 1 x n Τ n n f x = 1 2 ( a i x 2 i + 2β ij x i x j ) i=1 i=1 j i H συνάρτηση περιγράφεται μέσω της τετραγωνικής μορφής f x = 1 2 xτ D x D = O n n πίνακας D είναι συμμετρικός a 1 β 12 β 1n a 2 β 2n a n
Ιακωβιανός Πίνακας Συνάρτησης Πολλών Μεταβλητών Έστω μια συνάρτηση n μεταβλητών f x, όπου x = x 1 x n Τ Ο Ιακωβιανός πίνακας J f,x της f x ως προς τις μεταβλητές x ορίζεται: J f,x = f(x) f(x) x 1 x n Η διάσταση του πίνακα J f,x είναι 1 n Το i-ιοστό στοιχείο του J f,x είναι η μερική παράγωγος f(x) την i-ιοστή μεταβλητή x i x i της f x ως προς
Χρονική Παραγώγηση Συνάρτησης Πολλών Μεταβλητών Έστω μια συνάρτηση n μεταβλητών f x, όπου οι μεταβλητές είναι συνάρτηση του χρόνου x(t) = x 1 (t) x n (t) Τ Η χρονική παράγωγος της f μπορεί να υπολογιστεί μέσω του κανόνα της αλυσίδας χρησιμοποιώντας τον Ιακωβιανό πίνακα J f,x : df dt f = J f,x x = f(x) f(x) x 1 x 1 x n x n x = x 1 (t) x n (t) Τ H διάσταση της παραγώγου f είναι 1 1 (αριθμός)
Ιακωβιανός Πίνακας Διανύσματος Πολλών Μεταβλητών Έστω ένα m 1 διάνυσμα f = f 1 (x) f m (x) Τ του οποίου τα m στοιχεία f i x είναι συνάρτηση n μεταβλητών x = x 1 x Τ n Ο Ιακωβιανός πίνακας J f,x του f ως προς τις μεταβλητές x ορίζεται ως: f 1 (x) f 1(x) x 1 x n J f,x = f m (x) f m(x) x 1 x n Η διάσταση του πίνακα J f,x είναι m n Το στοιχείο του J f,x στην j-ιοστή γραμμή και i-σιοτή στήλη είναι η μερική παράγωγος f j (x) τoυ j-ιοστού στοιχείου f j (x) ως προς την i-ιοστή μεταβλητή x i x i
Χρονική Παραγώγηση Διανύσματος Πολλών Μεταβλητών Έστω ένα m 1 διάνυσμα f = f 1 (x) f m (x) Τ όπου οι n μεταβλητές είναι συνάρτηση του χρόνου x(t) = x 1 (t) x n (t) Τ Η χρονική παράγωγος f του διανύσματος f μπορεί να υπολογιστεί μέσω του κανόνα της αλυσίδας χρησιμοποιώντας τον Ιακωβιανό πίνακα J f,x : df dt f = f 1 f n = J f,x x = x = x 1 (t) f 1 (x) f 1(x) x 1 x n f m(x) x 1 f m (x) x n (t) Τ x n H διάσταση της παραγώγου διανύσματος f είναι επίσης m 1 x 1 x n
Επίλυση Τριγωνομετρικών Συστημάτων Πρόβλημα: βρείτε τις άγνωστες σταθερές c και φ της συνάρτησης y t = c cos(ωt + φ) Που ικανοποιούν y 0 = y 0 και y 0 = u 0. Επίλυση: 1. Αντικαθιστούμε τις συνθήκες y 0 = c cos(φ) u 0 = c ω sin(φ) 2. Επιλύουμε ως προς c cos(φ) και c sin(φ) c cos φ = y 0 u c sin φ = 0 ω
Επίλυση Τριγωνομετρικών Συστημάτων 3. Υπολογισμός σταθεράς c (η σταθερά c επιλέγεται θετικός αριθμός): (c cos(φ) ) 2 +(c sin(φ) ) 2 = c 2 c = (c cos(φ) ) 2 +(c sin(φ) ) 2 = y 2 u 0 + ( 0 ω ) 2 = y 2 0 + ( u 0 ω )2 4. Υπολογισμός γωνίας φ με βάση το πρόσημο των c cos(φ), c sin(φ) ως: φ = atan2(c sin φ, c cos φ ) Όπου atan2(y, x) είναι η προέκταση της atan(y, x) που λαμβάνει υπόψη τα πρόσημα των y και x: atan( y x) x > 0 atan y x + π y 0, x < 0 atan2 y, x = atan y x π y < 0, x < 0 π 2 y > 0, x = 0 π 2 y < 0, x = 0 απροσδιοριστος y = 0, x = 0
Μιγαδικοί Αριθμοί Μιγαδικές Συναρτήσεις Έστω ο μιγαδικός αριθμός z: z = a + b j όπου j = 1. Ο μιγαδικός z αντιστοιχεί στο μιγαδικό επίπεδο Z σε ένα σημείο με συντεταγμένες α, b To πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού z είναι: a = Re(z) b = Im(z) To μετρο και η γωνία του μιγαδικού z είναι: r z = a 2 + b 2 φ = z = tan 1 b φ a a Ο μιγαδικός z αναπαρήσταται μέσω των r και φ ως: z = ρ e jφ = ρ cos φ + j sin φ Μια μιγαδική συνάρτηση y = f(x), x, y Z είναι μια απεικόνηση από το μιγαδικό επίπεδο Z στο μιγαδικό επίπεδο Z. b Im(z) z Re(z)