AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 1 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός σημείου P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις προς τρία γνωστά σημεία (βλέπε σχήμα). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται αναλυτικά οι τιμές των παρατηρήσεων, οι συντεταγμένες των γνωστών σημείων και οι προσεγγιστικές συντεταγμένες του άγνωστου σημείου P. Οι μετρήσεις των οριζοντίων αποστάσεων έχουν τυπική απόκλιση σ s = 5 cm και θεωρούνται ασυσχέτιστες μεταξύ τους. P 1 S 1 P S P S 3 P 3 Ζητούνται: Παρατηρήσεις (m) Συντεταγμένες (m) Σημείο x y S 1 = 41.109 P 1 698.41 1005.089 S = 4897.717 P 548.768 8503.3 S 3 = 739.177 P 3 6095.810 490.301 P 3508.441 401.071 (1) Ο υπολογισμός των συνορθωμένων συντεταγμένων του σημείου P διατηρώντας σταθερές τις συντεταγμένες των τριών γνωστών σημείων. () Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς από την παραπάνω συνόρθωση. (3) Ο υπολογισμός των τυπικών αποκλίσεων των συνορθωμένων συντεταγμένων του σημείου P. (4) Τι συμπέρασμα μπορείτε να βγάλετε από την τιμή που υπολογίσατε στο ο ερώτημα, θεωρώντας ότι οι συντ/νες των γνωστών σημείων δεν έχουν καθόλου σφάλματα. (5) Προκειμένου να βελτιωθεί η ακρίβεια προσδιορισμού των συντεταγμένων του σημείου P, πρόκειται να μετρηθεί η απόσταση προς ένα τέταρτο γνωστό σημείο P 4 το οποίο έχει συντεταγμένες x = 6191.160 m και y = 7160.60 m. Αν η τυπική απόκλιση της νέας παρατήρησης είναι 1 cm, προσδιορίστε την αναμενόμενη βελτίωση στην ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων του P. 1
Άσκηση Κατά τη συνόρθωση ενός οριζόντιου τοπογραφικού δικτύου προέκυψε ο εξής υποπίνακας συμ-μεταβλητοτήτων για τις συνορθωμένες συντεταγμένες ενός σημείου του δικτύου: ( xˆ i ) ( xˆ, ) i i 5.63.8 C ( ) [ xˆ Pi cm ] ( xˆ, ) i i ( i ).8 7.45 (α) Υπολογίστε τη διεύθυνση κατά την οποία η αβεβαιότητα της θέσης του παραπάνω σημείου είναι ελάχιστη. (β) Υπολογίστε την ακρίβεια της θέσης του σημείου κατά μήκος της παραπάνω διεύθυνσης. (γ) Σε μία μελλοντική αναθεώρηση του δικτύου, οι συντεταγμένες όλων των σημείων του πρόκειται να μετασχηματιστούν σύμφωνα με το αφινικό μοντέλο: xˆ a b xˆ e 0.5 0.3 xˆ.5 c d f 0. 0.7 3.4 όπου οι συντελεστές του μετασχηματισμού θεωρούνται απόλυτα γνωστές ποσότητες (χωρίς σφάλματα). Υπολογίστε την ακρίβεια των νέων μετασχηματισμένων συντεταγμένων του σημείου Ρ i. Άσκηση 3 Από τη συνόρθωση ενός οριζόντιου δικτύου μέσω ελάχιστων σταθερών συντεταγμένων υπολογίστηκαν οι ακρίβειες για τα συνορθωμένα μήκη κάποιων μετρημένων πλευρών του. Οι τιμές των συνορθωμένων μηκών για τις πλευρές αυτές, μαζί με τις αντίστοιχες ακρίβειες τους, δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Πλευρά δικτύου (ij) s ˆij (m) ( sˆ ij ) (cm) A-B 143.347 1.0 C-D 1734.085 1.6 E-F 1503.951 1. G-H 874.43 1.5 (α) Αν οι προδιαγραφές ακρίβειας για το συγκεκριμένο δίκτυο απαιτούν ότι η σχετική γραμμική ακρίβεια δεν πρέπει να είναι χειρότερη από 10 ppm, να ελεγχθεί με βάση τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα εάν τα αποτελέσματα της συνόρθωσης καλύπτουν με επιτυχία τις προδιαγραφές αυτές. (β) Αν η συνόρθωση του δικτύου πραγματοποιούνταν μέσω εσωτερικών δεσμεύσεων θα αναμέναμε βελτίωση ή όχι στα αποτελέσματα του παραπάνω πίνακα, και γιατί.
Άσκηση 4 Από τη συνόρθωση ενός οριζόντιου δικτύου προέκυψαν τα εξής αποτελέσματα για τις εκτιμήσεις των συντεταγμένων σε δύο από τις κορυφές του: ΚΟΡΥΦΗ Α xˆ A A 100.51 88.168 [ m] 1.5 4.1, C Â [ cm ] 4.1 19.80 ΚΟΡΥΦΗ Β xˆ B B 98.15 154.03 [ m] 6.5 1.98, C Bˆ [ ] 1.98 4.67 cm (α) Ποιά είναι η αβεβαιότητα της σχετικής θέσης του σημείου Β ως προς το Α; (Υπόδ.: να θεωρήσετε ότι οι συσχετίσεις μεταξύ των συνορθωμένων συντεταγμένων των δύο σημείων, δηλαδή ˆx A με ˆx B, ˆx A με ŷ B, ŷ A με ˆx B και ŷ A με ŷ B, είναι μηδενικές). (β) Αν τα σημεία Α και Β παρουσιάζουν μία σχετική κίνηση μεταξύ τους (εξαιτίας γεωδυναμικών διεργασιών στην ευρύτερη περιοχή του δικτύου) με ρυθμό 1 cm/έτος, κρίνετε με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα ότι το δίκτυο αυτό θα πρέπει να μετρηθεί και να συνορθωθεί εκ νέου σε ένα χρόνο; Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Άσκηση 5 Mεταξύ των χωροσταθμικών αφετηριών R 1, R, R 3 και των σημείων P 1 και P μετρήθηκαν οι υψομετρικές διαφορές με χωροβάτη του οποίου η ακρίβεια είναι 4 mm /km. Tα αποτελέσματα των μετρήσεων δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Σημείο i Σημείο j Τιμή παρατήρησης Μήκος χωροσταθμικής (ΔΗ ij = Η j - Η i, σε m) όδευσης (σε km) R1 P1 119.115 6.71 R P1 105.651 5.11 R P 117.384 3.68 R3 P 11.80 4.17 P1 P 11.730 5.48 Tα γνωστά υψόμετρα των χωροσταθμικών αφετηριών R1, R και R3 είναι 81.854 m, 95.319 m και 91.40 m, αντίστοιχα, και θα διατηρηθούν σταθερά κατά την εκτέλεση της συνόρθωσης του δικτύου. 3
Zητούνται: (α) Ο υπολογισμός του πίνακα βάρους που πρέπει να χρησιμοποιηθεί στη συνόρθωση του κατακορύφου δικτύου. (β) Ο υπολογισμός του πίνακα σχεδιασμού της συνόρθωσης. (γ) Ο προσδιορισμός των συνορθωμένων υψομέτρων των σημείων P 1 και P (σε μέτρα). (δ) Ο προσδιορισμός της ακρίβειας των συνορθωμένων υψομέτρων των σημείων P 1 και P (σε χιλιοστά). Άσκηση 6 Δίνεται το οριζόντιο δίκτυο του παρακάτω σχήματος, όπου οι μετρήσεις περιλαμβάνουν τα μήκη των έξι πλευρών: S AB, S BC, S AC, S AD, S DC, S DB. Οι προσεγγιστικές συντεταγμένες όλων των κορυφών του δικτύου παραθέτονται στον Πίνακα 1. Α D C Β (α) Προσδιορίστε τον πίνακα σχεδιασμού Α και τους πίνακες Η και c των ελαχίστων δεσμεύσεων (Η δx=c) που πρέπει να δημιουργηθούν για τη συνόρθωση του δικτύου σύμφωνα με το γενικό αλγόριθμο: T T 1 T T xˆ ( A PA H H) ( A Pb H c ) (οι ελάχιστες δεσμεύσεις που θα χρησιμοποιηθούν μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα από εσάς). (β) Πόση είναι η αδυναμία βαθμού του δικτύου και πόσοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στην παραπάνω συνόρθωση; Πίνακας 1 Προσεγγιστικές συντεταγμένες (m) Σημείο Χ Y Α 698.41 1005.089 Β 548.768 8503.3 C 6095.810 490.301 D 3508.441 401.071 4
Άσκηση 7 Από ένα σημείο Σ μετρούνται οι υψομετρικές διαφορές προς τέσσερα άλλα σημεία που έχουν γνωστά και σταθερά υψόμετρα (χωροσταθμικές αφετηρίες). Οι μετρήσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και έχουν πραγματοποιηθεί με χωροβάτη κατασκευαστικής ακρίβειας o mm / km μέσω γεωμετρικών χωροσταθμικών οδεύσεων που έχουν όλες μήκος περίπου ίσο με km. Αν οι προδιαγραφές για τον υψομετρικό υπολογισμό του σημείου Σ σε σχέση με τα γνωστά και σταθερά σημεία απαιτούν ακρίβεια της τάξης του ±1 mm, να ελέγξτε αν αυτό είναι εφικτό με βάση τις συγκεκριμένες μετρήσεις. Άσκηση 8 Μετά την εκτέλεση της συνόρθωσης ενός οριζόντιου τοπογραφικού δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις διαπιστώθηκε ότι οι σταθερές συντεταγμένες που χρησιμοποιήθηκαν για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς είχαν ένα συστηματικό σφάλμα κατά τη διεύθυνση του άξονα x ίσο με 1.5 m. Ποιά από τα αποτελέσματα της συνόρθωσης (π.χ. εκτιμήσεις συντεταγμένων στις κορυφές του δικτύου, τιμές συνορθωμένων παρατηρήσεων δικτύου, τιμές συνορθωμένων σφαλμάτων, ακρίβειες αποτελεσμάτων, κ.λπ.) θα πρέπει να διορθωθούν (και πως) και ποια θα παραμείνουν ανεπηρέαστα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Άσκηση 9 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων x και y ενός σημείου P δίνονται οι παρατηρήσεις των αποστάσεων του, S 1, S και S 3, από τρία γνωστά και σταθερά σημεία P1, P και P3. Oι παρατηρήσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και έχουν πραγματοποιηθεί με όργανο ακρίβειας cm. Ζητούνται: α. Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P. β. Τα στοιχεία της έλλειψης σφάλματος του σημείου Ρ. γ. Ο στατιστικός έλεγχος της υπόθεσης y = 4.900 m για το σημείο Ρ, με συντελεστή εμπιστοσύνης 99 %. Παρατηρήσεις (m) Συντεταγμένες (m) σημείο x y P 1 0.000 5.000 S 1 = 5.30 P 0.000 0.000 S = 7.170 P 3 5.000 0.000 S 3 = 4.880 P 5.00 4.900 5