Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους Μετασχηματισμός Radon Θεώρημα τομής Fourier Filtered back projection Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής
Τομογραφικές μέθοδοι Τομογραφική μέθοδος Είδος ακτινοβολίας Αξονική τομογραφία (X-Ray CT) Μαγνητική τομογραφία (MRI) Τομογραφία Υπερήχων (Ultrasound CT) Τομογραφία Εκπομπής Ποζιτρονίου (PET) Τομογραφία Εκπομπής Φωτονίου (SPECT) Ακτίνες Χ Ηλεκτρομαγνητική RF Υπέρηχοι Ακτίνες γ Ακτίνες γ A. Cormack & G. Hounsfield Βραβείο Νόμπελ Ιατρικής 1979 "for the development of computer assisted tomography"
Διατάξεις πηγών - ανιχνευτών Παράλληλες προβολές Προβολές αποκλίνουσας δέσμης P θ 2 ( t) P θ1 ( t) P θ 2 ( t) P θ1 ( t)
Γραμμικά ολοκληρώματα και προβολές Τομογραφική ακτίνα x cosθ + y sinθ = t (t) P θ Το γραμμικό ολοκλήρωμα της f(x,y) κατά μήκος μιας τομογραφικής ακτίνας είναι f ( x, y) y P θ ( t) = f ( x, y) ds L P ( t) = f ( x, y) δ ( x cosθ + y sinθ t) dxdy θ Μετασχηματισμός Radon θ x y t x cosθ + y sinθ = t Johann Radon 1887-1956 x θ t y. x θ
Θεώρημα τομής Fourier S θ (w) Υπολογισμός των προβολών P θ (t) σε γωνίες προβολής θ 1, θ 2,,θ k P θ (t) t ω Υπολογισμός Μ/Σ Fourier S θ (w) για κάθε P θ (t) Υπολογισμός όλων των τιμών F(u,v) μέσω των S θ (w) F(u,v) Υπολογισμός του αντίστροφου δισδιάστατου Μ/Σ Fourier για τον προσδιορισμό της αρχικής συνάρτησης f(x,y) S θ (w)=f(wcosθ,wsinθ) v ω u
Θεώρημα τομής Fourier ΟδισδιάστατοςΜ/Σ Fourier της συνάρτησης f(x,y) είναι Η παράσταση μέσα στην αγκύλη ισούται με την προβολή της συνάρτησης στο σημείο x F( u, v) S j 2π ( ux+ vy) = f ( x, y) e dxdy θ F( u,0) ΟΜ/Σ Fourier της προβολής P θ (t) της συνάρτησης σε γωνία θ είναι ( w) F( u,0) = j2πwt = Pθ ( t) e dt Για την απλούστερη περίπτωση που αντιστοιχεί στην γωνία θ=0 είναι j πux = f ( x, y) e 2 dxdy f ( x, y) dy e j2πux dx Οπότε F( u,0) = P ( θ = 0 x) = f ( x, y) dy Pθ = 0 ) ( x e j2πux dx Συνεπώς η σχέση μεταξύ της κάθετης προβολής και του δισδιάστατου Μ/Σ Fourier της συνάρτησης είναι ( u,0) S 0( u) Γενικά F = θ = => S ( w) = F( wcosθ, wsinθ) = θ j 2πw( xcosθ + ysinθ ) = f ( x, y) e dxdy
Θεώρημα τομής Fourier Χαρακτηριστικά Οι τιμές S θ (w) παρέχονται σε διακριτές θέσεις κατά μήκος ακτινικών γραμμών στο επίπεδο <u,v>. Για τον υπολογισμό του αντίστροφου δισδιάστατου Μ/Σ Fourier απαιτούνται οι τιμές σε διάταξη πλέγματος στο επίπεδο <u,v>. Το πρόβλημα επιλύεται συνήθως με γραμμική παρεμβολή. Μεγαλύτερο σφάλμα ανακατασκευής παρουσιάζεται στις υψηλές συχνότητες γιατί στις μεγαλύτερες ακτινικές αποστάσεις τα δείγματα είναι πιο αραιά.
Filtered back projection (α) Ιδεατή περίπτωση (β) Θεώρημα τομής Fourier (γ) Η μέθοδοςfiltered back projection εφαρμόζει ένα φίλτρο βαρύτητας στον Μ/Σ Fourier S θ (w) της προβολής P θ (t) με σκοπό να αποτελέσει μια εκτίμηση της (α)
Filtered back projection Αρχική εικόνα Back projection Filtered back projection Back projection Filtered back projection 1 προβολή 32 προβολές Φίλτρο Ram-Lak 4 προβολές 64 προβολές 8 προβολές 128 προβολές http://bigwww.epfl.ch/demo/jtomography/ EPFL Biomedical Imaging Group
Αλγεβρικές μέθοδοι στο πεδίο της εικόνας M N Ρ θ,ρ = i= 1 j= 1 M N Ρ 1,1 = i= 1 j= 1 M N Ρ q,1 = i= 1 j= 1 : M N Ρ m,v = i= 1 j= 1 W ij ( θ, ρ) F ij W ij (1,1) F ij W W ( q,1) ij F ij ( q, v) ij F ij W Α= W W Α Χ=Β 11 11 11 F F Χ= M 11 12 F MN (1,1) M ( q,1) M ( q, v) W W W 12 12 12 P11 M Β= Pq 1 M P qv (1,1) ( q,1) ( q, v) W W W MN MN MN (1,1) ( q,1) ( q, v) q : σύνολο προβολών v : σύνολο δειγμάτων ανά προβολή ΜxN : διαστάσεις εικόνας ΜxΝ = 256x256 pixels } q = 180 γωνίες Α: [92160x65536] 6.04 10 9 v = 512 δείγματα ανά προβολή
Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής Βασικές αρχές Η συνάρτηση f (x,y) προσομοιώνεται από ένα πλέγμα αποτελούμενο από τετράγωνες περιοχές (pixels) σε κάθε μία από τις οποίες η τιμή της φωτεινότητας θεωρείται σταθερή. Η τομογραφική ακτίνα αντιστοιχεί σε μία παράλληλη ζώνη εύρους Δr. Η τιμή κάθε μέτρησης προβολής καθορίζεται από το εμβαδόν και την φωτεινότητα των pixels που τέμνει η τομογραφική ακτίνα. Γίνεται μια αρχική εκτίμηση της συνάρτησης f(x,y), υπολογίζονται οι προβολές και συγκρίνονται με τις υπάρχουσες μετρήσεις στις αντίστοιχες γωνίες. Οι διαφορές που προκύπτουν χρησιμοποιούνται για την διόρθωση της αρχικής εκτίμησης. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου η διαφορά μεταξύ των πραγματικών μετρήσεων και της εκτίμησης γίνει ικανοποιητικά μικρή.
Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής w 11 f 1 +w 12 f 2 + +w 1N f N =d 1 w 21 f 1 +w 22 f 2 + +w 2N f N =d 2.. w M1 f 1 +w M2 f 2 + +w MN f N =d M N: πλήθος pixels M: πλήθος γραμμικών ολοκληρωμάτων w: πίνακας βαρών που αντιστοιχούν στη συνεισφορά κάθε pixel σε κάθε ακτίνα f: οι τιμές των pixels d: μετρήσεις Επαναληπτική «μέθοδος προβολών» Kaczmarz (1937) r r r ( i 1) r ( i) ( i 1) ( f wi d f = f r r w w i) i i r w i
Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής Χαρακτηριστικά Αυξημένο κόστος σε υπολογιστικό χρόνο Μπορεί να χρησιμοποιηθεί εκ των προτέρων γνώση σχετικά με την εικόνα: φωτεινότητα των pixels διάταξη των pixels Ηύπαρξηθορύβουστιςμετρήσειςενόςυπερκαθορισμένου συστήματος δεν επιτρέπει την σύγκλιση της μεθόδου. Παραλλαγές αλγορίθμου - βελτιώσεις Μεταβολή σειράς των προβολών ταχύτερη σύγκλιση Δυαδική χρήση των βαρών w ij (ART) Υπολογισμός των βαρών w ij βάσει της απόστασης του κέντρου του pixel από το μέσον της τομογραφικής ακτίνας.
Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής Παράδειγμα
Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής
Συμμετρικότητα εικόνας 1ο ημιτεταρτημόριο Διαστάσεις εικόνας (2N+1) (2N+1) 8 ή 4 συμμετρικά pixels
Ο πίνακας συσσώρευσης s C(j,k)= i= 1 w ijk g( x i, y i ) Διαστάσεις πίνακα συσσώρευσης (2u+1) (4K) u=round((n+0.5) π K=round( ) 4Δθ 2 /Δr)
Προβολή των pixels στον πίνακα συσσώρευσης Πίνακας συσσώρευσης = Συσσώρευση ημιτονοειδών συνεισφορών 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 r(x,y,θ)=xcosθ+ysinθ (8,10) (7,4) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Συνεισφορά pixel σε δείγμα του άξονα προβολής j- δείγμα l 1 l 2 y i +0.5 y i y i -0.5 r r+r d Άξονας προβολής r r d x i -0.5 x i x i +0.5
Χαρακτηριστικό δείγμα ένα για κάθε pixel Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της grayscale τιμής του pixel S C(j,k)= wijk g( xi, yi ) = wsjk g( xs, ys ) i= 1 w ijk =0 για κάθε i s
Υπολογισμός συντελεστών κλιμάκωσης Δθ π Συνθήκη : Να μην Δθ 0-2θp d 1 =max{p[k c ],r[k c -1]} 2 επικαλύπτονται τα N 0.5 where θ p =arctan( ) N + 0.5 χαρακτηριστικά d 2 =r[k p ] δείγματα Δr
Ακολουθία αποδόμησης 1ου ημιτεταρτημορίου C jc( i), kc( i gi = Ταξινόμηση ως προς j c, k c w ijk ( ) ) (10,10) (10,9) (10,8) (9,9)
Αποδόμηση μέσω της συμμετρικότητας O (10,7) (10,-7) O O (-10,7) (-10,-7) O
Παράδειγμα ανάκτησης εικόνας
Μέθοδος περιορισμένων προβολών Αν τότε C i H : Δείγματα από τα οποία διέρχεται η καμπύλη του pixel (x i,y i ) : Σύνολο μη μηδενικών χαρακτηριστικών δειγμάτων C(j,k) C(j,k)-w ijk g i εάν C(j,k) C i H
Παράδειγμα ανάκτησης εικόνας με τη μέθοδο των περιορισμένων προβολών 1E+12 Απαιτούμενη Μνήμη 1E+08 10000 1 Αλγεβρική ανάκτηση (ART) Μέθοδος χαρακτηριστικών σημείων Μέθοδος περιορισμένων προβολών 100x100 150x150 200x200 250x250 300x300 Διαστάσεις εικόνας
Απόκριση σε προβολές με θόρυβο (a) Αρχική εικόνα (b) s in =1, s out =1.84 (c) s in =3, s out =5.62 (d) s in =5, s out =8.71 (e) s in =7, s out =11.41 (f) s in =9, s out =16.74. (a) (b) Ασσυμετρία στις τιμές θορύβου των pixels λόγω του κατωφλίου g i (0..255] αντί g i 0 Απόκριση ανεξάρτητη από την χρήση ή όχι της μεθόδου περιορισμένων προβολών Μη κενός πίνακας συσσώρευσης στο τέλος της διαδικασίας αποδόμησης (c) (d) (e) (f)
Σύνοψη Μ/Σ Radon + Θεώρημα τομής Fourier + Filtered back projection Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ανακατασκευής Μέθοδοςανακατασκευήςμεχρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής
Ευχαριστώ