Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ που συνδέει τ σηµεί Ρ (,) κι Ρ (4,) µε πέρς το Ρ. (γ) το µονδιίο διάνυσµ στην κτεύθυνση του 4. (δ) το διάνυσµ που έχει µέτρο 6 κι κτεύθυνση 60 0 (εντός του πρώτου τετρτηµορίου στο ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων). (Μονάδες: 4) () v y Ρ v () ( 4 ) ( ) v (γ) 60 0 (δ) Ρ x (γ) nˆ v 4 4 / 5 4 / 5 () (δ) x y tn 60 0 6 y x v (). ίνοντι τ δινύσµτ ( 6, 4) κι (,). Ν νλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η µί ν είνι πράλληλη προς το. (Μονάδες: 6) Ας υποθέσουµε ότι είνι: λ p, όπου p. Το εσωτερικό γινόµενο των κι λ p λ
Εποµένως Τελικά 6( ) ( 4) λ 5 0 5λ 5 λ 5 p 5 5 p (,) (6, 4) 5 4 6,. 4 6,. ίνοντι τ µη µηδενικά κι µη συγγρµµικά δινύσµτ κι. (). Ν ποδείξετε ότι γι όλους τους πργµτικούς ριθµούς λ κι µ ισχύει: λ λµ ( ) µ 0. Πότε ισχύει το ""; () Ν ποδείξετε ότι ο φορές του δινύσµτος γωνί των δινυσµάτων κι. (Μονάδες: 8) u διχοτοµεί τη () Η σχέση λ λµ ( ) µ 0 γράφετι ισοδύνµ ως ( λ µ ) 0, που είνι προφνές ότι ισχύει. Το "" ισχύει, ν κι µόνο ν λ µ 0 ή, ισοδύνµ, λ µ. µ Αν λ 0, τότε, οπότε //, που δεν ισχύει γιτί τ δινύσµτ είνι λ µη συγγρµµικά. Εποµένως λ 0, οπότε µ 0 κι άρ µ 0. Άρ το "" ισχύει, ν κι µόνο ν λ µ 0. () Αν ω είνι η γωνί των κι κι το u σχηµτίζει µε το γωνί φ κι µε το γωνί φ, τότε έχουµε: u u ( ) u συνφ συνω u συνφ ( συνω) συνφ ( συνω) u. ()
Οµοίως έχουµε: u ) ( u συν συν ω φ u ) συν ( συν ω φ u ) συν ( συν ω φ u. () Από τις () κι () έχουµε συν συν φ φ, άρ φ φ. () Άρ το µήκος της διγωνίου είνι 5. d Άρ το µήκος της διγωνίου είνι 5 d Εµδόν 6 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 4. () Υπολογίστε το µήκος των διγωνίων κι το εµδόν του πρλληλογράµµου µε πλευρές τ δινύσµτ κι. () Αν v, v κι v δείξτε ότι ( ) ( ) ( ). Σχεδιάστε ποιοτικά το διάνυσµ ( ) d. (Μονάδες: 8) d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Θέτω ( ) λ κι ( ) µ Άρ λ µ ( ) λ d µ όπου λ, µ πργµτικοί ριθµοί 5. ίνοντι τ σηµεί P(,,-) κι Q(-,,4). () Προσδιορίστε το διάνυσµ ΡQ κι υπολογίστε το µέτρο του. () Αν Ο είνι η ρχή των ξόνων, προσδιορίστε τ µέσ των πλευρών του τριγώνου ΟPQ. (γ) Προσδιορίστε τ δινύσµτ των διµέσων του τριγώνου (δ) Βρείτε το εµδόν του τριγώνου. (Μονάδες: 6) () PQ 4 6, PQ 56 () A(/, ½, -), B(-/, /, ) κι επειδή OP OQ OC
(γ) OC (προηγούµενο ερώτηµ) v PB OB OP ( /,/,) (,, ) (7 /,/,4) QA OA OQ ( /,/, ) (,,4) A P C Q ( /, 5/, 5) (δ)εµδόν OP OQ 5 B O Το διάγρµµ έγινε διδιάσττο γι λόγους πλότητς 6. είξτε κτά πόσο οι πρκάτω σχέσεις είνι ληθείς ή ψευδείς γι επι πίνκες. (). (). (γ). (δ). (Μονάδες: 7. Αληθές. Αληθές
. Ψευδές. Φίνετι πό το πρκάτω ντιπράδειγµ. d. Αληθές Αυτοί είνι ίσοι φού.
7. Λύστε το σύστηµ µε χρήση του κνόν του Cme. (Μονάδες: 6) Πρώτ υπολογίζουµε την : Τώρ ντικθιστούµε γι την στήλη κι υπολογίζουµε Όµοι, -4CC
Με ντικτάστση µπορούµε ν κάνουµε επλήθευση. 8. Βρείτε όλες τις τιµές των,,, γι τις οποίες ο A είνι συµµετρικός: (Μονάδες: 6) Έστω ότι ο A είνι συµµετρικός. Τότε οι ισότητες:,, δίνουν: - 0 - Έτσι το σύνολο των λύσεων είνι: {(, -9, -)}.
9. Υπολογίστε την ορίζουσ του πίνκ Α, όπου (Υπόδειξη: οκιµάστε ρχικά ένν πίνκ x κι γενικεύστε την διδικσί) (Μονάδες: 8) Αρχίζοντς πό την τελευτί σειρά φιρούµε κάθε σειρά πό την επόµενη σειρά: Έτσι κτλήγουµε στην ορίζουσ ενός τριγωνικού πίνκ κι εποµένως: deta x(x - )(x - )... (x - n-) 0. (). Πόσ στοιχεί είνι δυντον ν ορισθούν νεξάρτητ σε έν συµµετρικό πίνκ τάξης n γι τον οποίο ισχύει { }; () Πόσ στοιχεί είνι δυντον ν ορισθούν νεξάρτητ σε έν ντισυµµετρικό πίνκ τάξης n γι τον οποίο ισχύει { } ; (Υπόδειξη: Βρείτε το ριθµό των µη τετριµµένων σχέσεων µετξύ των στοιχείων των πινάκων κι φιρέστε τον πο τον συνολικό ριθµό των στοιχείων των πινάκων) (Μονάδες: 5) ( ) n n n n (.) n (.) n n n n n ( ) n n στοιχεί Στην () φιρούµε τ n στοιχεί της διγωνίου γιτί είνι µηδενικά n n στοιχεί
. (.) Πιο είνι το πεδίο ορισµού των συνρτήσεων: () f(x) x - x κι () g(x) - lnx x x (.) ίδετι η συνάρτηση f ( x) Kµε Kλ R. Ν ρεθούν οι τιµές x λx του λ γι τις οποίες το πεδίο ορισµού της f είνι όλο το R. (Μονάδες: 6).) Α) Η συνάρτηση f ορίζετι ότν κι µόνο ότν: x x 0 Το τριώνυµο όµως x x έχει ρίζες τους ριθµούς κι. Ετσι η νίσωση x x 0 ληθεύει ότν κι µόνο ότν x κι x Εποµένως το πεδίο ορισµού της f είνι το σύνολο Α(-,] [, ). Β) Η συνάρτηση g ορίζετι ότν κι µόνο ότν: -lnx 0 Είνι όµως -lnx 0 lnx lnx lne 0 < x e. Εποµένως το πeδίο ορισµού της f είνι το σύνολο Α(0,e]..) Γι ν είνι το πεδίο ορισµού της f όλο το R πρέπει: x λ x 0. Γι ν συµίνει υτό πρέπει: < 0. Οπότε: 4λ < 0 4λ < λ < < λ <
. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση x (µ ) x µ 5 0 έχει δύο άνισες ρίζες, γι κάθε µ R (Μονάδες: 8) Η δικρίνουσ της εξίσωσης είνι: (µ ) 4(µ 5) 6µ 4µ. Η δικρίνουσ υτή είνι έν τριώνυµο, που νάλογ µε το πρόσηµό του µπορούµε ν δώσουµε πάντηση στο πρόληµ που µς τέθηκε. Γι υτό ρίσκουµε τη δικρίνουσ του νέου τριωνύµου. ' 6 4 6 8 < 0. Αυτό σηµίνει πως το τριώνυµο υτό είνι οµόσηµο µε το συντελεστή του µ, δηλδή µε το 6 που είνι θετικό γι κάθε µ R. Εποµένως η δικρίνουσ της εξίσωσης είνι θετική γι κάθε µ R. Οπότε κι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες γι κάθε µ R.. Αν f ( x) ( ) x γι κάθε x R, τότε ν προσδιορίσετε τ, ώστε γι κάθε x R ν ισχύει ( fο f )( x) 9x 9 (Μονάδες: 8) Βρίσκουµε πρώτ τη σύνθετη συνάρτηση g( x) ( fof )( x) g( x) ( ) g( x) ( ) x ( )( [( ) x ] ) LL() Εχουµε: g ( x) 9x 9 κι πό την () ( ) 9 ± ή ρίζ πορρίπτετι γιτί το πάντ θετικό γι κάθε τιµή του. είνι ( )( ) 9
Γι έχουµε: 5 5 4 ( ) 9 4 8 Γι έχουµε: 4 ( ) 9 4 8 Οπότε οι λύσεις είνι: (,5/8) κι (-,/8). 4. ίνετι η συνάρτηση f (x) x () Ν ποδείξετε ότι η f είνι-. () Ν ρείτε την ντίστροφη συνάρτηση f της f. (Μονάδες: 6) ) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο A [, ) ) x 0 x ) Γι κάθε x, x A µε f ( x) f ( x ) έχουµε: (φού x x οπότε ) ( x ) ( x. ηλδή x x, οπότε x x Αρ η f είνι - (έν προς έν). ) Επειδή (πό το () η f είνι -, ορίζετι η ντίστροφή της f : f ( A) R Γι ν ρούµε το σύνολο f (A), θεωρούµε την εξίσωση y f (x) () κι ρίσκουµε εκείν τ y γι τ οποί η () έχει λύση, ως προς x, στο Α. Από την () ισοδύνµ έχουµε: y x () Γι y < 0 η () είνι δύντη.
Γι y 0 η () ισοδύνµ γράφετι: y ( x ) y x x y οπότε x y A [, ), ) συνεπώς (A) [ 0, ) f. Γι κάθε y 0 υπάρχει εποµένως x A τέτοιο, ώστε ν ισχύει η ισοδυνµί y f ( x) x y () Επίσης είνι y f ( x) x f ( y) (4) Από τις σχέσεις () κι (4) προκύπτει ότι f y) ( y Επειδή όµως συνηθίζουµε ν ονοµάζουµε την νεξάρτητη µετλητή της συνάρτησης µε το γράµµ x, γράφουµε τον τύπο της f ως εξής: f x) ( x µε x [ 0, ) f ( A). Το σύνολο f (A) είνι το πεδίο ορισµού της το [, ) A. f, ενώ το σύνολο τιµών της είνι
5. Αν µι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R είνι -, τότε η εξίσωση f ( x x ) f ( x) : Ι) έχει µονδική ρίζ τον ριθµό 0. ΙΙ) είνι δύντη στο R. ΙΙΙ) έχει τουλάχιστον δύο ρίζες άνισες στο R. Ν σηµειώσετε τη σωστή πάντηση κι ν τη δικιολογήσετε. (Μονάδες: 8) Επειδή η συνάρτηση f είνι -, γι κάθε x, x R µε f ( x ) f ( x ) ισχύει x, οπότε η εξίσωση f ( x x ) f ( x) ισοδύνµ γράφετι: x x x x x x x 0 x( x x ) 0 δηλδή: x 0 ή x x 0. Η τελευτί όµως εξίσωση είνι δύντη στο R φού < 0. Άρ η x 0 είνι µονδική ρίζ, οπότε σωστή είνι η πάντηση Α.