ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου» Ονοµατεπώνυµο : Αλέξανδρος Ζυµάρης Κωδικός : mc-14 Ακαδηµαϊκό έτος : 4-5 Τµήµα : Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Υπεύθυνος Καθηγητής : ρ. Κυριάκος Γιαννάκογλου Ε.Μ.Π. ευτέρα 11 Οκτωβρίου 4

Γενική ειαγωγή. Η παρούα εργαία πραγµατεύεται την κατακευή µεταπροτύπων µε χρήη τεχνικών της τατιτικής. Στόχος µας είναι να µπορέουµε να εκτιµήουµε την απόκριη ενός προβλήµατος, το οποίο εφεξής θα αναφέρουµε ως πρότυπο. Ένα τέτοιο πρότυπο πρόβληµα θα µπορούε να είναι ένας υπολογιτικός κώδικας που µοντελοποιεί ένα φυικό ή τεχνολογικό πρόβληµα ( π.χ. που να µοντελοποιεί την ροή ε µια πτερύγωη ή που να υπολογίζει τις κατανοµές τάεων ε ένα µηχανολογικό εξάρτηµα ή ένα ανθρώπινο οτό). Γενικότερα, πρότυπο πρόβληµα µπορεί να είναι µια οποιοδήποτε φυική ή τεχνολογική διεργαία, π.χ. η εξάρτηη των µηχανικών ιδιοτήτων ενός υλικού από την ύταη του µείγµατος, αλλά και ένα υπολογιτικό µοντέλο µιας τέτοιας διεργαίας. Πρέπει να διευκρινιτεί ότι η παρούα εργαία θα πραγµατευθεί την κατακευή µεταπροτύπων ε υπολογιτικά µοντέλα. Στο εκάτοτε πρόβληµα ξεχωρίζουµε δύο βαικές υνιτώες : Τις µελετούµενες ιδιότητες, δηλαδή αυτό που πριν ονοµάαµε απόκριη, π.χ. αναφερόµενοι το προηγούµενο παράδειγµα απόκριη θα µπορούε να είναι η ελατικότητα του υλικού, η αντοχή του ε κάµψη ή η αεροδυναµική υµπεριφορά µιας πτερύγωης. Συχνά µας ενδιαφέρουν περιότερες από µια ιδιότητες έτι µελετάµε και περιότερες από µια αποκρίεις (εµείς τη παρούα εργαία θα διαχειριτούµε προβλήµατα µε µια απόκριη. Στην περίπτωη αυτή κατακευάζουµε περιότερα µεταπρότυπα, όα και οι προς µελέτη ιδιότητες. Τις παραµέτρους από τις οποίες εξαρτάται η απόκριη, οι παράµετροι αυτές αποτελούν τις ελεύθερες µεταβλητές του πρότυπου προβλήµατος και εποµένως και του µεταπροτύπου µας (υχνά µπορούµε να απλοποιήουµε το πρόβληµα αγνοώντας κάποιες µεταβλητές αυτό όµως πρέπει να γίνεται µόνο όταν αποδεδειγµένα οι µεταβλητές αυτές έχουν µικρή επίδραη την µελετούµενη απόκριη). Ο καθοριµός των µεταβλητών είναι καθοριτικός για την ωτή κατακευή του µεταπροτύπου γιατί µια λάθος επιλογή µπορεί να µας οδηγήει την αναζήτηη λύης ε ένα πρόβληµα διαφορετικό από αυτό το οποίο θέλουµε να επιλύουµε. Οι µεταβλητές µπορεί να είναι υνεχή µεγέθη ή διακριτά (εµείς θα αχοληθούµε µόνο µε υνεχή) και υχνά οι τιµές που µπορούν να λάβουν περιορίζονται είτε από υπαρκτούς περιοριµούς του προβλήµατος είτε επειδή ο µηχανικός ενδιαφέρεται να µελετήει την απόκριη εντός µιας υγκεκριµένης περιοχής τιµών. Τα όρια των µεταβλητών καθορίζουν το χωρίο µελέτης το οποίο αποτελεί την πειραµατική µας περιοχή. Επιηµαίνουµε ότι ο µεγάλος αριθµός µεταβλητών οδηγεί υχνά ε προβλήµατα µε αυξηµένη πολυπλοκότητα. Προκειµένου να κατακευάουµε το µεταπρότυπο θα πρέπει να αποκοµίουµε πληροφορία για το πώς εξαρτάται η απόκριη από τις µεταβλητές, αυτό επιτυγχάνεται µε την διεξαγωγή πειραµάτων. Τα πειράµατα διενεργούνται εντός της πειραµατικής περιοχής και πρόκειται για τις αποκρίεις του πρότυπου προβλήµατος ε καθοριµένες τιµές των µεταβλητών. Οι τιµές αυτές των µεταβλητών ονοµάζονται πειραµατικά ηµεία ή ηµεία εκπαίδευης του µεταπροτύπου και η επιλογή τους είναι ηµαντική για την επιτυχία ή όχι του µεταπροτύπου. Η επιλογή των ηµείων εκπαίδευης χαρακτηρίζεται υχνά µε τον όρο «χεδιαµός περαµάτων» (δείτε χετική παράγραφο). Επιηµαίνουµε ότι κατά την χρήη του µεταπροτύπου δεν πρέπει ε καµία περίπτωη να «εγκαταλείπουµε» την πειραµατική περιοχή.

Η κατακευή µεταπροτύπων για υπολογιτικά µοντέλα αποκοπεί κυρίως την µερική ή πλήρη αντικατάταη του πρότυπου υπολογιτικού κώδικα έτι ώτε να εξοικονοµηθεί χρόνος. Εποµένως, αφορά πρότυπους κώδικες των οποίων οι απαιτήεις ε χρόνο CPU είναι ιδιαίτερα υψηλές. Καθίταται εποµένως εµφανές ότι ένα µεταπρότυπο θα πρέπει να έχει ιδιαίτερα περιοριµένες απαιτήεις ε υπολογιτικούς πόρους ειδάλλως δεν τίθεται θέµα αντικατάταης του προτύπου. Επίης, ένα τέτοιο µεταπρότυπο θα µπορούε να χρηιµεύει για να µοντελοποιήει µαθηµατικά µια φυική ή τεχνολογική διεργαία για την οποία δεν υπάρχει γνωτό ή ικανό υπολογιτικό µοντέλο που να βαίζεται ε επαρκή φυική θεώρηη του προβλήµατος. Μια ιδιαίτερα ηµαντική εφαρµογή αυτών των µεταπροτύπων αφορά την βελτιτοποίηη, όπου το µεταπρότυπο χρηιµοποιείται αντικαθιτώντας το πρότυπο πρόβληµα την αναζήτηη για παράδειγµα, µιας αεροτοµής «τόχου», δηλαδή µιας αεροτοµής µε καθοριµένη π.χ. γεωµετρία. Η χρηιµοποίηη µεταπροτύπου υµφέρει όταν το λογιµικό βελτιτοποίηης πρόκειται να κάνει πολλές κλίεις της αντικειµενικής υνάρτηης και είναι χρονοβόρο να πάρουµε αυτές τις αποκρίεις µε το πρότυπο πρόβληµα (η αξιολόγηη των υποψήφιων βέλτιτων λύεων µε το µεταπρότυπο τοιχίζει υγκριτικά ε χρόνο πολύ λιγότερο από την αξιολόγηη µε το πρότυπο). Πριν την κατακευή του µεταπροτύπου πρέπει να ληφθούν αποφάεις οι οποίες χετίζονται µε : Την επιλογή των ηµείων του χωρίου µελέτης τα οποία θα χρηιµοποιηθούν για να κατακευατεί το µεταπρότυπο (ηµεία εκπαίδευης). εδοµένου ότι τα φυικά και τεχνολογικά πειράµατα διενεργούνται είτε υπολογιτικά (όταν το πρότυπο είναι υπολογιτικό µοντέλο) είτε µε µετρήεις (όταν µελετάµε απευθείας το πρόβληµα), τα ηµεία εκπαίδευης προκύπτουν από µια «επίπονη» διαδικαία, δαπανηρή χρονικά και χρηµατικά. Εποµένως, είναι εύλογο να επιθυµούµε µειωµένο αριθµό πειραµατικών ηµείων. Το «ιδανικό» θα ήταν να µειώναµε τον αριθµό των ηµείων εκπαίδευης χωρίς όµως να αυξήουµε την ανακρίβεια του µεταπροτύπου. Από τα παραπάνω καθίταται αφές ότι πρόκειται για δύο αντικρουόµενους τόχους (µικρός αριθµός ηµείων εκπαίδευης µικρό φάλµα), ε κάθε περίπτωη ο µηχανικός είναι αυτός που θα πρέπει να επιτύχει µια ιορροπία µεταξύ των δύο αυτών παραµέτρων. Επίης, επιηµαίνουµε ότι τις εφαρµογές που θα ακολουθήουν, ότι το πρότυπο πρόβληµα αντιµετωπίζεται αν να ήταν υπολογιτικά χρονοβόρο παρότι για πρακτικούς λόγους τα µεταπρότυπα που χρηιµοποιήθηκαν δεν είναι απαιτητικά ε χρόνο CPU. Έτι επιθυµούµε να χρηιµοποιούµε εύλογους αριθµούς ηµείων εκπαίδευης. Τη µαθηµατική µορφή του µεταπροτύπου, όπου µια πολύπλοκη µορφή θα έχει και αυξηµένες απαιτήεις ε πειράµατα, εποµένως αν µπορούµε να εφαρµόουµε λιγότερο πολύπλοκα µεταπρότυπο αυτό είναι ίγουρα επιθυµητό. Μετά την κατακευή του µεταπροτύπου ακολουθεί η διαδικαία της επιβεβαίωης των αποκρίεων που αυτό δίνει και η ύγκριή τους µε τις αντίτοιχες αποκρίεις του προτύπου προβλήµατος, επιθυµούµε οι δύο αποκρίεις να είναι «κοντά». Πλέον, έγκειται τον µηχανικό να αποφαίει κατά πόο το µεταπρότυπο που κατακεύαε πληροί τις απαιτήεις του ( να ορίει το «κοντά»), ένα µεταπρότυπο που κρίνεται π.χ. από εµένα επαρκές για να χρηιµοποιηθεί την δουλεία Α µπορεί να το κρίνω ανεπαρκές για την δουλεία Β, 3

ή κάποιος άλλος µηχανικός (µε βάη τις απαιτήεις που αυτός έχει θέει ή του έχουν τεθεί) να το κρίνει ανεπαρκές και για την δουλεία Α. Η διαδικαία της επιβεβαίωης είναι πολύ ηµαντική και πρέπει να διενεργείται πριν το µεταπρότυπο χρηιµοποιηθεί έτι ώτε να αποφύγουµε µελλοντικά εφαλµένα αποτελέµατα. Για παράδειγµα, χρηιµοποιήουµε µεταπρότυπο για την αντικειµενική υνάρτηη ε ένα πρόβληµα βελτιτοποίηης. Αν το πρόγραµµα βελτιτοποίηης τηρίζεται αποκλειτικά το µεταπρότυπο (δουλεία Α) για την αξιολόγηη των υποψηφίων λύεων η απόκριη του µεταπροτύπου οφείλει να είναι ιδιαίτερα «κοντά» την πραγµατική απόκριη, πολλές φορές µια απλά κοινή υµπεριφορά των δύο δεν αρκεί. Στην περίπτωη (δουλεία Β) όπου το λογιµικό βελτιτοποίηης εκτός από το µεταπρότυπο κάνει και οριµένες αξιολογήεις λύεων µε τον πρότυπο υπολογιτικό κώδικα µπορεί ένα λιγότερο ακριβές µεταπρότυπο να κρίνεται επαρκές. Τέλος, ας επιηµανθεί, ότι επειδή η παρούα εργαία αποτελεί το πρώτο εγχείρηµά µας το αντικείµενο αυτό, και εποµένως, προς το παρόν, δεν αποκοπούµε τη αριτοποίηη της όλης διαδικαίας. Ειαγωγή την µεθοδολογία. Προτού προβούµε την παρουίαη της µορφής του µεταπροτύπου την οποία θα χρηιµοποιήουµε την παρούα εργαία, είναι χρήιµο να αναφέρουµε ότι αυτό το µεταπρότυπο τηρίζεται την θεώρηη ότι η προς µοντελοποίηη απόκριη ακολουθεί το µοντέλο των Γκαουιανών Τυχαίων Συναρτήεων (Gaussia Radom Fuctios), πράγµα που ηµαίνει ότι : T ( x) = β + Z( x) Y f (1) όπου : x είναι το διάνυµα των ελεύθερων µεταβλητών του προβλήµατος, η διάταη (d) του διανύµατος αυτού καθορίζει και τη διάταη του προβλήµατος, Υ είναι η απόκριη το ηµείο x, =, 1 β p ( p είναι ο αριθµός των υναρτήεων αναδροµής δείτε παρακάτω ), Z ( x) µια γκαουιανή διεργαία µε µέη τιµή µηδέν και µεταβλητότητα, και το διάνυµα f [ p 1] αποτελεί το διάνυµα γνωτών υναρτήεων αναδροµής το ηµείο x, οι οποίες είναι p τον αριθµό. Στις υναρτήεις θα επανέλθουµε ύντοµα και πιο αναλυτικά. Άµεη υνέπεια της θεώρηης (1) είναι ότι οι αποκρίεις, ε ένα πρόβληµα µε διάταη d, µε ηµεία εκπαίδευης του µεταπροτύπου και p υναρτήεις αναδροµής, θα ακολουθούν πολυµεταβλητή κανονική κατανοµή : β είναι το διάνυµα αγνώτων υντελετών β [ β β,..., ] T Y Y T T f r ~ N 1 + β, () F r R 1 όπου : x το ηµείο το οποίο ζητάµε την απόκριη Y, p 1 το διάνυµα των υναρτήεων αναδροµής το ηµείο x, οι οποίες είναι p τον αριθµό, F i, j [ p] ο πίνακας που εµπεριέχει ανά γραµµή την τιµή των p υναρτήεων αναδροµής ε f [ ] 4

κάθε ένα από τα ηµεία εκπαίδευης, ο πίνακας αυτός πρέπει να είναι οµαλός. Το διάνυµα Y περιέχει όλες τις γνωτές αποκρίεις τα ηµεία εκπαίδευης, Y = [ Y ( x ), Y ( x ),..., Y ( x )] T 1. Το διάνυµα r είναι το διάνυµα της υχέτιης (correlatio vector) την θέη x, δηλαδή : r [ R( x x ), R( x x ) R( x )] T = 1,..., x όπου R(h) η υνάρτηη υχέτιης. Ο πίνακας i, j = [ R( xi x j )], R είναι ο πίνακας των υχετίεων (correlatio matrix) που κάθε του γραµµή i αποτελεί το εκάτοτε διάνυµα της υχέτιης της µεταβλητής i, δηλαδή το r i = [ R ( x i x1 ), R( x i x ),..., R( x i x )] 1,, R i, j = [ r i ],, είναι εµφανές ότι είναι υµµετρικός και πρέπει να είναι οµαλός και θετικά ηµιοριµένος. Το διάνυµα β είναι το διάνυµα των αγνώτων υντελετών [ β ] 1, p. Στην παρούα εργαία επιλέγουµε υνάρτηη υχέτιης R(h) που δίνεται από την χέη : d h ( ) j R h = exp όπου d η διάταη του προβλήµατος και j= 1 θ h j = ( xi x j ), i = 1,...,. Σε µια γενικότερη περίπτωη µπορούµε να χρηιµοποιήουµε την παρακάτω µορφή για την R : P d j h ( ) j R h = exp j= 1 θ j Επίης µε µια αναδροµή την χετική βιβλιογραφία µπορούµε να βρούµε και άλλες µορφές υναρτήεων R(h) το τέλος της εργαίας µας παραθέτουµε µια την περιγραφή της οικογένειας Matér τέτοιων υναρτήεων. Τα µεγέθη [ θ θ,...,, p, p,..., ] T ψ = τον παρονοµατή και τον εκθέτη, µπορούν να 1, θ d 1 p d υπολογιτούν µε χρήη του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας (δείτε την χετική παράγραφο ). Στην χέη () δεν γνωρίζουµε ούτε τους υντελετές β ούτε την, έτι η κατανοµή () είναι υπό υνθήκη κατανοµή µε παραµέτρους τα β και. Το µεταπρότυπο και οι χετικές µε αυτό αποφάεις του µηχανικού. Προκειµένου να προβούµε ε εκτίµηη της απόκριης Y(x ) χρηιµοποιούµε την παρακάτω µαθηµατική έκφραη : ( Y ˆ β ) ˆ T ˆ T 1 Y = β + r R (3) f F Όπου η διάταη d του προβλήµατος είναι καθοριµένη, ο αριθµός των ηµείων εκπαίδευης καθορίζεται από τον µηχανικό µε βάη τις απαιτήεις του προβλήµατος, την «δουλεία» όπου θα χρηιµοποιήει το µεταπρότυπο και πρωτίτως από το κότος ε CPU που είναι διατεθειµένος να καταβάλει για να πάρει τις αποκρίεις αυτές. Επίης οι υναρτήεις αναδροµής αλλά και ο αριθµός p αυτών καθορίζονται από τον 5

µηχανικό, υνήθως µε βάη την εµπειρία του γύρω από το προς µελέτη πρόβληµα. Επιπροθέτως, όπως θα δούµε την παρακάτω παράγραφο, την πράξη ο µηχανικός αποφαίζει και για τα µητρώα R και r, εκλέγοντας την µορφή της υνάρτηης αναδροµής. ηλαδή, την έκφραη (3) οι άγνωτοι που θα υπολογιτούν είναι τα βˆ. Στην περίπτωη που ο πίνακας της υχέτιης είναι γνωτός αποδεικνύεται ότι η έκφραη (3) αποτελεί, όπως λέµε, την Βέλτιτη Γραµµική Ανεπηρέατη Εκτίµηη (Best Liear Ubiased Predictor ) του Y(x ). ηλαδή είναι το µεταπρότυπο εκείνο το οποίο µας δίνει το ελάχιτο µέο τετραγωνικό φάλµα (από το ύνολο των µεταπροτύπων εκείνων όπου ιχύει γραµµική εξάρτηη µεταξύ ˆ Y και Y και των οποίων η εκτίµηη είναι ανεπηρέατη ). Στην πραγµατικότητα όµως δεν γνωρίζω τον πίνακα της υχέτιης, έτι όπως φάνηκε και από τα παραπάνω υποθέτουµε ότι η P d j h υνάρτηη υχέτιης έχει µια υγκεκριµένη µορφή π.χ. ( ) j R h = exp, j= 1 θ j αυτό ίγουρα αποτελεί προέγγιη. Στην περίπτωη αυτή το µεταπρότυπό µας εξακολουθεί να δίνεται από την χέη (3) όµως πλέον κανείς δεν µας εξαφαλίζει την γραµµικότητα µεταξύ ˆ Y και Y αλλά και το ότι η εκτίµηη είναι ανεπηρέατη. Στην πράξη οι εκφράεις R ˆ = R ˆ ( Y ) και ( rˆ rˆ Y ) = είναι µη γραµµικές. Για αυτό λέµε ότι η έκφραη (3) αποτελεί πλέον την Εµπειρική Βέλτιτη Γραµµική Ανεπηρέατη Εκτίµηη (Empirical Best Liear Ubiased Predictor ) του Y(x ). Η έκφραη (3) γράφεται ως εξής (για να δηλώουµε ότι χρηιµοποιούµε εκτίµηη του πίνακα υχέτιης ) : ( Y ˆ β ) ˆ T ˆ T β ˆ ˆ 1 Y = + r R (3a) f F (τα παρακάτω επειδή πάντα θα αναφερόµατε ε Rˆ και rˆ για απλότητα θα παραλείπουµε τα «καπέλα» και θα γράφουµε R και r ) Οι υναρτήεις αναδροµής f(x) εκλέγονται από εµάς και είναι υνήθως πολυωνυµικής µορφής. π.χ. Έτω ότι το πρόβληµά µου είναι τριδιάτατο (d= 3, δηλαδή έχω τρεις µεταβλητές x 1, x, x 3 ), θα έχουµε ότι : x =, x x µια επιλογή υναρτήεων αναδροµής θα µπορούε να ήταν η εξής : [ ] T x1, 3 f ( x) = [ 1,, x, x, x, x, x, x x, x x x x ] T x1 3 1 3 1 1 3, 3 Στην παρούα εργαία χρηιµοποιούνται πολυώνυµα ου ή 3 ου βαθµού καθώς επίης και εκθετικές υναρτήεις. Προπαθώντας να δώουµε µια απλή ερµηνεία την χέη (3) θα µπορούαµε T 1 να πούµε ότι ο όρος r R ( Y Fβ ) αποτελεί «διόρθωη» της πρόβλεψης που µας δίνει το µοντέλο β. Επίης ηµαία έχει να µην ξεχνάµε ότι η έκφραη f T (3) αποτελεί υνάρτηη τόο του ηµείου x το οποίο γίνεται η πρόβλεψη όο και της απόκριης Y των ηµείων εκπαίδευης. 6

Κατακευή του µεταπροτύπου όταν θεωρούµε γνωτά. και R (πίνακας υχέτιης) Μέχρι τώρα δεν έγινε λόγος για το πώς υπολογίζονται οι άγνωτες παράµετροι β και. Αρχικά θα αχοληθούµε µόνο µε τον υπολογιµό των άγνωτων υντελετών β - ας θεωρήουµε ότι η µεταβλητότητα είναι γνωτή - εξάλλου η µεταβλητότητα δεν υπειέρχεται την χέη (3) θα µας χρηιµεύει βέβαια την υνέχεια όπου θα επιχειρήουµε να υπολογίουµε την µεταβλητότητα της απόκριης ˆ Y, την. ( Στην περίπτωη αυτή η Y ακολουθεί την κατανοµή ().) Μπορούµε να θεωρήουµε ότι οι υντελετές β ακολουθούν πολυδιάτατη κανονική κατανοµή γύρω από µια µέη τιµή b (που αποτελεί µια εκ των πρότερων δοµένη ποότητα) µε γνωτή υνδιακύµανη τ V ( V : correlatio matrix, τ : µεταβλητότητα κατανοµής ) : [, ] β ~ N p b τ V (3) Στην γενικότερη περίπτωη όπου το τ είναι πεπεραµένο, λέµε ότι έχουµε iformative ή ormal prior, δηλαδή είµατε την περίπτωη όπου οι άγνωτοι υντελετές β ακολουθούν κανονική κατανοµή γύρω από την prior µέη τιµή b. Στην περίπτωη αυτή υπολογίζουµε την λεγόµενη posterior µέη τιµή : 1 1 1 T 1 1 V T V 1 µ = F R F + F R Y + b R β (4a) τ τ όποτε µπορούµε να χρηιµοποιήουµε την έκφραη (3) την παραπάνω προέγγιη (4a) για τους άγνωτους υντελετές β, έχουµε λοιπόν ότι : ( Y F ) Yˆ = (3a) T T 1 f µ + r R µ β β Η µεταβλητότητα της κατανοµής (), για την περίπτωη αυτή, δίνεται από την παρακάτω έκφραη (θεωρούµε ότι η µεταβλητότητα είναι γνωτή) : T 1 T 1 T T 1 1 T 1 [ r R r + ( f F R r ) ( Q R Q) ( f F R )] (5a) = 1 r T 1 V όπου: Q = F R F + τ Θεωρώντας τώρα, ότι τ (όποτε λέµε ότι έχουµε o-iformative prior), από την χέη (4a) προκύπτει ότι : ( T 1 ) 1 T 1 1 ˆ β = F R F F R Y (4b) αντιτοίχως από την χέη (5a) προκύπτει ότι : 7

T 1 T 1 T T 1 1 T 1 [ r R r + ( f F R r ) ( F R F) ( f F R )] (5b) = 1 r Η παραπάνω χέη (4b) αποδεικνύεται ότι αποτελεί µέη τιµή µιας υπό υνθήκη β Y, την οποία ακολουθούν οι πολυµεταβλητής κανονικής κατανοµής [ ] υντελετές β. Για την [ β Y ] ιχύει ότι : 1 [ β Y ] ~ N ˆ β, ( F T R F) p 1 [ ] η έκφραη (4b) για τους υντελετές βˆ υχνά αναφέρεται ως µέθοδος των γενικευµένων ελάχιτων τετραγώνων, τα δε βˆ αποτελούν MLE (Maximum Likelihood Estimator) των β. Έτι µπορούµε την χέη (3) να χρηιµοποιήουµε την µέη τιµή βˆ ως την καλύτερη δυνατή προέγγιη για τα άγνωτα β. Όπότε έχουµε ότι : ( Y ˆ β ) ˆ T ˆ T 1 Y = β + r R (3b) f F Με µεταβλητότητα ίη προς : T 1 T 1 T 1 T 1 = 1 r R r + f F R r F R F f T 1 F R (5b) [ ( ) ( ) ( )] r Σε όλη την µελέτη που ακολουθεί γίνεται χρήη της o-iformative υπόθεης για τα β και εποµένως χρηιµοποιούµε την χέη (1b) για την µέη τιµή της απόκριης και την έκφραη (5b) για την µεταβλητότητα αυτής. Η έκφραη αυτή αποτελεί ουιατικά το µεταµοντέλο µας. Η περίπτωη όπου είναι άγνωτη και η µεταβλητότητα (γνωτός ο πίνακας R ). Η πιο γενική αντιµετώπιη του προβλήµατος επιβάλει η να είναι και αυτή άγνωτη (όπως και τα β ), την περίπτωη αυτή η απόκριη ακολουθεί κατανοµή Studet µε ν i βαθµούς ελευθερίας : Y Y ~ T, Yˆ, [ ] ( ) ν i Υποθέτοντας ότι η ακολουθεί κατανοµή : c είτε της µορφής : [ ] = χ v, κατανοµή χι-τετράγωνο. είτε της µορφής :[ ] = 1 o c µια ταθερά, χ v µεταβλητή που ακολουθεί 8

και για την o-iformative υπόθεη ε ότι αφορά τα β ( ) την εκτίµηη της από την έκφραη: 1 T 1 = Y p R ( Y F ˆ β ) (8a), για όταν ιχύει [ ] = µε τ, καταλήγουµε 1 1 1 ή = c ( ˆ + Y T R Y Fβ ) (8b), για όταν ιχύει [ ] c p ( εν µελετάµε την περίπτωη της iformative υπόθεης για τα β.) =. χ v Το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας. Μέχρι τώρα θεωρήαµε «ιωπηλά» ότι η υνάρτηη υχέτιης είναι γνωτή ή ότι είναι γνωτός ο πίνακας R. Όµως αυτό υχνά δεν ιχύει, έτι µε την εφαρµογή του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας µπορούµε να υπολογίουµε τις παραµέτρους της υνάρτηης υχετίεως την περίπτωη που αυτή δεν είναι πλήρως γνωτή. Έτω ότι ενδιαφερόµατε να κατακευάουµε το παρακάτω µεταπρότυπο : ˆ T ˆ T 1 = β + r R Y ˆ T 1 T Y β µε ˆ 1 1 β = ( F R F) F R Y ( ) f F η απόκριη του οποίου ακολουθεί την πολυδιάτατη κανονική κατανοµή (), επίης θεωρούµε ότι δεν γνωρίζουµε και R. Για τον προδιοριµό του µητρώου R λαµβάνουµε υνάρτηη υχετίεως µε την παρακάτω µορφή : P d j h ( ) j R h, ψ = exp j= 1 θ j µε άγνωτες παραµέτρους τις : θ j, p j, όπου: j = 1,..., d ή όπως θα γράφουµε πιο υνοπτικά : = [ θ θ,...,, p, p,..., ] T ψ. 1, θ d 1 p d Το εν λόγω κριτήριο αφορά την εύρεη του διανύµατος ψ το οποίο ελαχιτοποιεί την παρακάτω έκφραη : Ω ( ψ) = log ( ψ) + log( det( R( ψ) )) (7) Στην παραπάνω έκφραη η µεταβλητότητα προεγγίζεται από την χέη : = T ( ˆ Y Fβ ) R ( Y F ˆ β ) 1 1 (6) Η ποότητα αυτή χρηιµοποιείται αντί της την χέη (7), και υπολογίζεται αφού έχουµε ήδη υπολογίει από την (4b) τα βˆ. Το διάνυµα ψ όπως υπολογίζεται από την ελαχιτοποίηη της (7) και την (6) είναι ο MLE (Maximum Likelihood Estimator). Η διαδικαία εποµένως, έχει ως εξής : 9

Εκτελούµε την ελαχιτοποίηη της αντικειµενικής υνάρτηης (7) µε παράµετρο το διάνυµα ψ µε βάη τα ηµεία εκπαίδευης που διαθέτουµε. Αφού υπολογίουµε το βέλτιτο ψ opt ώτε Ω mi ( ψ opt ) θεωρούµε γνωτή την υνάρτηη υχέτιης και χρηιµοποιούµε την παραπάνω θεωρία για τον υπολογιµό της εκτίµηης Y ˆ και της µεταβλητότητας της. Αντί της έκφραης (6) µπορούµε να χρηιµοποιήουµε την : ~ = T ( ˆ Y Fβ ) R ( Y F ˆ β ) 1 1 p (6 α ) όταν αντί της (6) χρηιµοποιούµε την (6 α ), το διάνυµα ψ είναι ο RΕML (Restricted Maximum Likelihood Estimator). Oπότε λέµε ότι εφαρµόζουµε το κριτήριο της Περιοριµένης Μέγιτης Πιθανοφάνειας. Η περίπτωη όπου είναι άγνωτη η µεταβλητότητα και ο πίνακας R. Η περίπτωη αυτή αποτελεί την πλέον γενική και είναι αυτή η οποία έχει πρακτικό ενδιαφέρον και κόπιµα πριν αναφερθεί αναπτύξαµε τόο την περίπτωη µε γνωτό R όο και το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας. Η αντιµετώπιη του προβλήµατος θα γίνει µε τον πλέον απλό τρόπο, που χρηιµοποιεί το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας για τον υπολογιµό του διανύµατος ψ. Από την τιγµή που καθορίζεται η υνάρτηη υχέτιης είναι πια υπολογίιµο το µητρώο R, και από εδώ και πέρα εφαρµόζουµε τα όα αναφέρθηκαν για την περίπτωη όπου άγνωτη είναι µόνο η µεταβλητότητα (και βέβαια τα β), δηλαδή τις χέεις (3b) και (5b) καθώς και την (8a) (ή την (8b)). Στο ηµείο αυτό οφείλουµε να επιηµάνουµε ότι µε την µέθοδο αυτή προβαίνουµε τον προδιοριµό µιας εκτίµηης του διανύµατος ψˆ το οποίο οδηγεί την ειαγωγή φάλµατος. Γενικά ιχύει ότι : ( ψ) ( x ψ) x ˆ δηλαδή προβαίνουµε ε υποεκτίµηη του φάλµατος. Η υποεκτίµηη αυτή, είναι υχνά υψηλή όταν η υχέτιη είναι µικρή, η µεθοδολογία όµως χρηιµοποιείται γιατί ε πολλές περιπτώεις η υποεκτίµηη είναι αρκετά µικρή. (Υπενθυµίζουµε ότι το MLE και το RΕML τηρίζονται την θεώρηη της πολυδιάτατης κανονικής κατανοµής για το [ Y Y ] και όχι της κατανοµής Studet.) Για λόγους πληρότητας αναφέρουµε ότι ο πιο ωτός τρόπος επίλυης του προβλήµατος είναι η Bayesia αντιµετώπιη (δείτε βιβλιογραφία), µε την οποία όµως δεν θα αχοληθούµε. Σχεδιαµός Πειραµάτων (Desig of Experimets -DoE). Όπως αναφέραµε και την αρχή, για την κατακευή ενός µεταπροτύπου πρέπει εκτός από την µορφή αυτού να αποφαίουµε και για το πώς θα επιλέξουµε τα ηµεία του χωρίου µε τα οποία θα εκπαιδεύουµε το µεταπρότυπό µας. Μέχρι τώρα δεν αχοληθήκαµε καθόλου µε αυτό το ζήτηµα. Στην υνέχεια όµως, το ζήτηµα αυτό θα µας απαχολήει αρκετά και η επιλογή των ηµείων θα γίνεται µε πιο εξειδικευµένες µεθόδους. 1

Πριν προχωρήουµε την περιγραφή της µεθόδου των Λατινικών Τετραγώνων (Lati Squares), που αφαλώς είναι µια από τις πολλές τεχνικές που υπάρχουν, πρέπει να επιηµάνουµε δύο βαικά τοιχεία χετικά µε το χεδιαµό πειραµάτων. Καταρχάς, κατά την εκτέλεη πειραµάτων τον υπολογιτή την τιµή της απόκριης του προς µοντελοποίηη προτύπου δεν υπειέρχονται φάλµατα µέτρηης (υτηµατικά ή τυχαία). Εποµένως, όες φορές και να εκτελέουµε ένα πείραµα, για τα ίδια ηµεία εκπαίδευης, οι αποκρίεις τα ηµεία αυτά δεν θα αλλάζουν. Έτι δεν χρειάζεται να ειάγουµε ηµεία εκπαίδευης τα οποία να επαναλαµβάνονται. Επιπροθέτως, οι επιλογή των ηµείων εκπαίδευης πρέπει να µας επιτρέπει να «εξερευνούµε» όλο το χωρίο, και κατά το δυνατόν να µην αφήνουµε περιοχές για τις οποίες υπάρχει ανεπαρκής πληροφόρηη. Στην περίπτωη που δεν έχουµε κάποια εκ των πρότερων γνώη της επιφάνειας έτι ώτε π.χ. να επικεντρωθούµε ε κάποια «δύκολη» περιοχή αυτής είναι λογικό να επιδιώξουµε τα ηµεία εκπαίδευης να είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα το χωρίο µας (space fillig desigs). Τέλος, πρέπει ο αριθµός των ηµείων εκπαίδευης να είναι επαρκής (µεγαλύτερος από τον αριθµό των άγνωτων υντελετών β ) έτι ώτε να περιορίζουµε την µεταβλητότητα του µεταµοντέλου και επίης, να µπορούµε να κατακευάζουµε περιότερα του ενός µεταµοντέλα (για διαταύρωη των αποτελεµάτων µας). Η µέθοδος των Λατινικών Τετραγώνων. Ας επανέλθουµε την επιλογή ηµείων µέω ενός ορθογωνικού πλέγµατος, η µέθοδος αυτή µας εξαφαλίζει ότι εξερευνούµε όλο το χωρίο και ότι τα ηµεία εκπαίδευης είναι «χετικά» οµοιόµορφα διανεµηµένα ε αυτό. Όµως η µέθοδος δεν ενδείκνυται όταν η διάταη του προβλήµατος είναι µεγάλη µιας και ο αριθµός των πειραµάτων που πρέπει να διεξαχθούν γίνεται πλέον υπερβολικά µεγάλος (αν d= 4 ένα πλέγµα µε 9 διαµερίεις ανά µεταβλητή οδηγεί ε 1 4 ηµεία!!!). Η µέθοδος των Λατινικών Τετραγώνων µας επιτρέπει να χεδιάζουµε πειράµατα µε «χετικά» οµοιόµορφα κατανεµηµένα ηµεία εκπαίδευης χωρίς όµως να φτάνουµε ε εξωπραγµατικούς αριθµούς ηµείων. Παρακάτω θα περιγράψουµε την εφαρµογή της µεθόδου επιλέγοντας ηµεία το αδιάτατο χωρίο [,1] [,1]. Καταρχάς χωρίζουµε κάθε άξονα ε τµήµατα ίου µήκους, έτι χωρίζουµε το χωρίο ε υποχωρία (κελιά). Τώρα ε κάθε ένα από τα κελιά της πρώτης τήλης αντιτοιχίζουµε έναν ακέραιο από το 1,,, χωρίς να υπάρχουν κελιά µε κοινή αρίθµηη. Αν επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικαία και για τα κελιά των επόµενων τηλών προέχοντας όµως ο κάθε αριθµός να εµφανίζεται µόνο µια φορά ε κάθε γραµµή αποκτάµε, όπως λέµε, ένα λατινικό τετράγωνο Για παράδειγµα, αν επιζητούµε 5 ηµεία το χωρίο [,1] [,1] δηµιουργούµε το παρακάτω λατινικό τετράγωνο της επόµενης ελίδας. Στην υνέχεια, επιλέγουµε την τύχη ένα ακέραιο από το 1 ως και το και ε κάθε ένα κελί του λατινικού τετραγώνου το οποίο έχει την αρίθµηη αυτή επιλέγουµε την τύχη ένα ηµείο (µέα από το κελί). Έτι αποκτάµε τα ηµεία εκπαίδευης τα οποία επιζητούαµε. Εύκολα µπορούµε να φαντατούµε την γενίκευη των παραπάνω τον χώρο των d διατάεων. 11

Σχήµα 1: Λατινικό τετράγωνο για επιλογή 5 ηµείων το χωρίο [:1]. Επιλογή ηµείων εκπαίδευης για προθήκη τα ήδη υπάρχοντα. Παρακάτω θα περιγράψουµε µια διαδικαία χεδιαµού πειραµάτων τηριζόµενη ε κάποιο ήδη προϋπάρχον πείραµα. Πρόκειται για «εµπλουτιµό» των ήδη προϋπαρχόντων ηµείων εκπαίδευης µε νέα, τα οποία επιλέγονται κάνοντας χρήη της µεταβλητότητας της απόκριης. Παρότι την παρούα εργαία δεν προβαίνουµε την εφαρµογή αυτής της µεθοδολογίας κρίνουµε ότι παρουιάζει ενδιαφέρον και για αυτό την καταγράφουµε. Καταρχάς τόχος µας είναι ξεκινώντας από ένα µικρό αριθµό ηµείων εκπαίδευης να φτάουµε ε επιθυµητό φάλµα του µεταπροτύπου προθέτοντας ταδιακά νέα ηµεία εκπαίδευης. Έτι εξοικονοµούµε ηµεία εκπαίδευης, γεγονός που είναι ηµαντικό όταν η εκτέλεη των πειραµάτων είναι απαιτητική ε χρόνο CPU. Η διαδικαία είναι απλή : 1. Επιλογή λίγων ηµείων εκπαίδευης µε κάποια χετική µέθοδο (π.χ. λατινικά τετράγωνα).. Κατακευή µεταπροτύπου και υπολογιµός της µεταβλητότητας της εκτίµηης (ποότητα που εκφράζει το φάλµα της απόκριης του µεταπροτύπου). Στο τάδιο αυτό περιλαµβάνεται ο προδιοριµός των παραµέτρων θ µε χρήη του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας. 3. Αν το υπάρχον µεταπρότυπο µας ικανοποιεί ταµατάµε ίως θα έπρεπε να είχαµε επιλέξει λιγότερα ηµεία εκπαίδευης το πρώτο βήµα! Η επιλογή αυτή απαιτεί µια χετική εµπειρία από τον µηχανικό 4. Αν το υπάρχον µεταπρότυπο δεν µας ικανοποιεί, τότε εντοπίζουµε το ηµείο του χωρίου µελέτης µε την µέγιτη µεταβλητότητα ή πιο απλά το ηµείο 1

εκείνο µε µέγιτο (αφού η Ζ είναι µια ταθερή τιµή για το εκάτοτε µεταµοντέλο µε δεδοµένα ηµεία εκπαίδευης και υγκεκριµένα θ ). Η διαδικαία αυτή απαιτεί την χρήη κάποιου αλγόριθµου ανίχνευης. Επιηµαίνουµε ότι για τον υπολογιµό του λόγου δεν απαιτείται να γνωρίζουµε την απόκριη του προτύπου τα ηµεία εκπαίδευης. 5. Αφού εντοπιτεί το ηµείο του χωρίου όπου έχουµε max εκκινούµε µια άλλη διαδικαία ελαχιτοποίηης αυτή την φορά κατά την οποία ειάγουµε υποψήφια ηµεία εκπαίδευης µε τόχο να επιλέξουµε εκείνα τα οποία οδηγούν ε ελαχιτοποίηη του λόγου το ηµείο εκείνο του χωρίου όπου κατά το προηγούµενο βήµα είχαµε βρει το µέγιτο. Πρόκειται δηλαδή για ένα κριτήριο mi-max που έχει ως τόχο την επιλογή των ηµείων που θα προτεθούν τα ήδη υπάρχοντα ώτε να ελαχιτοποιούν το φάλµα της εκτίµηης (το οποίο εδώ εκφράζεται µε τον λόγο αυτό ήταν µέγιτο. 6. Μεταβαίνουµε το ο βήµα κ.ο.κ. ) εκεί όπου πριν Επιηµάνεις : Στο 5 ο βήµα, κάθε φορά που ειάγουµε τα υποψήφια ηµεία εκπαίδευης και για αυτά (µαζί και µε τα ήδη υπάρχοντα) υπολογίζουµε τον λόγο, χρηιµοποιούµε τις παραµέτρους θ, όπως αυτές έχουν υπολογιτεί για τα ήδη υπάρχοντα ηµεία εκπαίδευης. Το γεγονός αυτό δηµιουργεί κάποιο φάλµα και για αυτό είναι προτιµητέο η προθήκη ηµείων εκπαίδευης να γίνεται ταδιακά µε λίγα ηµεία κάθε φορά. Το «ιδανικό» θα ήταν για κάθε υπολογιµό του να προηγούνταν η εφαρµογή του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας ώτε να υπολογίουµε τις παραµέτρους θ, όµως µια τέτοια διαδικαία θα ήταν ηµαντικά χρονοβόρα (και ιδίως όο αυξάνεται η διάταη του προβλήµατος καθώς και τα ηµεία εκπαίδευης). Αυτό το οποίο κάνουµε είναι αφού εντοπίουµε τα ηµεία που θα «εµπλουτίουν» τα ήδη υπάρχοντα, µε την διαδικαία του βήµατος 5, µετά να υπολογίουµε τις νέες παραµέτρους θ. Ανάλογα µε την κρίη µας, θα µπορούαµε να υπολογίζαµε τις νέες παραµέτρους θ π.χ. µετά την εκτέλεη δύο ή τριών κύκλων, αυτό υνήθως εξαρτάται από το πόο απαιτητικό ε χρόνο CPU είναι το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας αλλά και από πόα ηµεία ειάγουµε µε κάθε κύκλο (αν είναι πολλά καλό θα ήταν να ανανεώναµε τις παραµέτρους ε κάθε κύκλο). Στην περίπτωη που επιθυµούµε ε κάθε κύκλο να ειάγουµε ένα µόνο ηµείο δεν χρειάζεται να εκτελέουµε την διαδικαία του βήµατος 5, αφού το 13

ηµείο αυτό θα είναι ίγουρα αυτό το οποίο εντοπίτηκε το βήµα 4. Και η νέα τιµή του το ηµείο αυτό θα είναι ίη µε µηδέν (). εδοµένου ότι αχολούµατε µε «πειράµατα» ε υπολογιτή δεν έχουµε δύο ή περιότερα ίδια ηµεία εκπαίδευης, έτι απαιτείται κατά την επιλογή των υποψήφιων ηµείων να µην επιλέγονται ηµεία τα οποία αποτελούν ήδη ηµεία εκπαίδευης. Σίγουρα, την περίπτωη της ειαγωγής ενός µόνο ηµείου ε κάθε κύκλο κάτι τέτοιο δεν είναι απαραίτητο µε βάη τα όα αναφέρθηκαν προηγουµένως (δείτε 3 ο γράφηµα). Από τη χέη (5b) έχουµε : T 1 T 1 T T 1 1 T 1 = [ 1 r R r + ( f F R r ) ( F R F) ( f F R r )] που αποτελεί την έκφραη υπολογιµού του Στα παρακάτω θα εφαρµόουµε την διαδικαία που µόλις αναπτύχθηκε, θα ξεκινήουµε µε ηµεία εκπαίδευης και ε κάθε κύκλο θα προθέτουµε ένα ηµείο, αυτό το οποίο το µεταµοντέλο του προηγούµενου κύκλου είχε max.. 14

Εφαρµογή µε πρότυπο µαθηµατική υνάρτηη (d=). Στην παρούα εφαρµογή επιλέγουµε να παρουιάουµε µια χετικά «απλή» περίπτωη, ε ότι αφορά την διάταη του προβλήµατος, έχοντας δύο () µόνο ελεύθερες παραµέτρους ( x, x 1 ). Η µικρή διάταη του προβλήµατος µας επιτρέπει να εντοπίουµε εύκολα την εξάρτηη της µεταβλητότητας το χωρίο από την επιλογή των ηµείων εκπαίδευης ε αυτό, επίης µπορούµε να δούµε τη υνειφορά του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας τη βελτίωη της ικανότητας πρόβλεψης του µεταπροτύπου µας. Ως πρότυπο χρηιµοποιούµε την παρακάτω µαθηµατική υνάρτηη, την απόκριη της οποίας θα προπαθήουµε να προεγγίουµε δηµιουργώντας ένα αντίτοιχο µεταπρότυπο, η επιλογή της δεν είναι τυχαία αφού το χωρίο µελέτης [ 1,1 ] [ 1,1 ] η υνάρτηη διαθέτει πληθώρα τοπικών ακροτάτων (δείτε 3 ο χήµα): όπου ( x ) [ 1,1 ] [ 1,1 ] x. 1, ( π x ) 1 cos( ) y = + x x π x 1 + 1 cos 1 Στο ηµείο αυτό θα επιηµάνουµε ότι λόγω της φύης του προτύπου είναι εξαιρετικά εύκολο να έχουµε όα το πλήθος πειράµατα (δηλαδή ηµεία εκπαίδευης) θέλουµε, µιας και το υπολογιτικό κότος είναι αήµαντο. Όµως υχνά κατακευάζουµε µεταπρότυπα ώτε να αποφύγουµε την χρηιµοποίηη ενός υπολογιτικά χρονοβόρου προτύπου (π.χ. ε µια µέθοδο βελτιτοποίηης). Έτι ε όλη την ανάλυη µας θα έχουµε αυτό το γεγονός υπόψη µας και βέβαια δεν θα καταφύγουµε την χρηιµοποίηη πολλών ηµείων εκπαίδευης επειδή την περίπτωή µας υµβαίνει να είναι κάτι µη απαιτητικό ε χρόνο CPU. Επιλέγουµε να χρηιµοποιήουµε υνάρτηη υχέτιης της µορφής : d h ( ) j R h, ψ = exp, µε d= j= 1 θ j Εφαρµόζουµε το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας, για την παραπάνω υνάρτηη υχέτιης, ώτε να υπολογίουµε τις άγνωτες παραµέτρους τα θ,θ. Έτι 1 εκτελούµε την ελαχιτοποίηη της παράταης (7) µε άγνωτες παραµέτρους τα θ,θ 1. Τα αποτελέµατα αυτής της διαδικαίας, που γίνεται µε χρήη γενετικού αλγορίθµου, παρατίθενται παρακάτω : θ 1 =.636358645161 θ =.616774193548387 Ω mi ( ψ) = 5.4938799779 Με την χρήη γενετικού αλγορίθµου αποφεύγουµε τον εγκλωβιµό ε τοπικά ελάχιτα, τα οποία είναι πολλά, ιδίως όο η διάταη του προβλήµατος αυξάνει, τη περίπτωη πάντως που χρηιµοποιηθεί κάποια αιτιοκρατική µέθοδος ελαχιτοποίηης απαιτείται η επανεκκίνηη της µεθόδου αρκετές φορές από διαφορετικά ηµεία. 15

Για την εκπαίδευη του µεταπροτύπου εκλέγονται µε τη µέθοδο των λατινικών τετραγώνων 5 το πλήθος ηµεία, η επιλογή του πλήθους είναι µεν τυχαία (µε την έννοια ότι θα µπορούαµε να επιλέγαµε για παράδειγµα 4 ή 6) αλλά επιλέχθηκε έτι ώτε να µας δίνει ένα ικανό µεταπρότυπο από πλευράς δυνατοτήτων πρόβλεψης της πραγµατικής απόκριης. Θα µπορούαµε να ξεκινήουµε από λιγότερα το πλήθος ηµεία εκπαίδευης και µετά ιγά ιγά να προθέτουµε καινούργια ηµεία ως ότου το µεταπρότυπο µας φτάει ε ικανά επίπεδα πρόβλεψης τα επίπεδα αυτά τα καθορίζει ο µηχανικός µε βάη την φύη και τις απαιτήεις του προβλήµατος το οποίο καλείται να µοντελοποιήει-. Σε µια τέτοια διαδικαία µπορούµε να αξιοποιήουµε τη µεταβλητότητα του µεταπροτύπου µας τοχεύοντας τη χρηιµοποίηη του κατά το δυνατόν ελαχίτου πλήθους ηµείων εκπαίδευης (ζήτηµα εξαιρετικής ηµαίας όταν το πρότυπό µας είναι απαιτητικό ε χρόνο CPU). Οι υναρτήεις αναδροµής ( f ) τις οποίες χρηιµοποιούµε είναι τα εκθετικά όλων των πολυωνύµων, µέχρι και 3 ου βαθµού, που µπορούν να µας δώουν οι υνδυαµοί των τεάρων µεταβλητών x. f 1, x 3 ( x) = [ 1, exp( x1 ), exp( x1 ), exp( x1 ), exp( x1 x ), exp( x1x ) 3 exp( x x ), exp( x ), exp( x ), exp( x )] T 1, 1.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-1 -1 -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 1 Σχήµα : Τα ηµεία εκπαίδευης του µεταπροτύπου. Οριζόντιος άξονας: παράµετρος x1. Κάθετος άξονας : παράµετρος x. Στην υνέχεια, παραθέτουµε τα αποτελέµατα που προέκυψαν από την εφαρµογή της µεθοδολογίας. 16

Αποτελέµατα µε εφαρµογή κριτηρίου µέγιτης πιθανοφάνειας, µε 5 ηµεία εκπαίδευης ( Lati Squares). Σχήµα 3: Ιοταθµική x1(οριζόντιος)-x(κατακόρυφος). Αριτερά η «πρόβλεψη», δεξιά το «πρότυπο». Σχήµα 4: Αριτερά τα ηµεία εκπαίδευης το χωρίο µελέτης x1-x (µε κόκκινο κιαγραφούνται οι περιοχές εκείνες όπου απουιάζουν ηµεία). εξιά Ο δεκαδικός λογάριθµος της µεταβλητότητας ε όλο το χωρίο για τις µεταβλητές x1-x. Από τα παραπάνω γραφήµατα (&3) παρατηρούµε αυτό που αναµένουµε, ότι δηλαδή η µεταβλητότητα (η οποία εκφράζει το φάλµα της εκάτοτε εκτίµηης) είναι µεγαλύτερη τις περιοχές όπου δεν υπάρχει επαρκής πληροφορία (απουία ηµείων εκπαίδευης) και τις οποίες το µεταπρότυπο δεν επιτυγχάνει τόο καλή εκτίµηη. 17

Αποτελέµατα χωρίς την χρήη του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας,, µε 5 ηµεία εκπαίδευης ( Lati Squares). Στην υνέχεια προβαίνουµε την κατακευή ενός µεταπροτύπου, όπως και πριν, µε µόνη διαφορά την εκλογή των παραµέτρων θ,θ 1 έτι ώτε αυτές να µην πληρούν το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας, έχουµε ότι : θ 1 =.16 θ =.36 Ω ψ = 8.66 ( ) Σχήµα 5: Ιοταθµική x1(οριζόντιος)-x(κατακόρυφος). Αριτερά η «πρόβλεψη», δεξιά το «πρότυπο». Σε αντιπαραβολή µε το γράφηµα καθίταται εµφανές το ότι επιτυγχάνουµε καλύτερη εκτίµηη. Σχήµα 6: Αριτερά o δεκαδικός λογάριθµος της µεταβλητότητας το χωρίο για τις µεταβλητές x1-x, για την περίπτωη που πληρείται το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας ( δείτε γράφηµα 3 ). εξιά όταν δεν πληρείται. ιακρίνουµε µε ευκολία ότι η µεταβλητότητα δεξιά είναι αυξηµένη (άρα η εκτίµηη γίνεται µε µεγαλύτερο φάλµα). 18

Στο παρακάτω γράφηµα καθίταται εµφανές ότι όο µειώνεται η τιµή Ω(ψ) της παράταης (7), δηλαδή όο «περιότερο» πληρείται το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας (το οποίο εκφράζεται από την χέη (7) ) τόο µειώνεται το µέο εκατοτιαίο φάλµα του µεταπροτύπου µας. Το παρακάτω γράφηµα έρχεται ε πλήρη υµφωνία µε τα ήδη αναφερθέντα την προηγούµενη ελίδα. Σχήµα 7: Οριζόντιος άξονας : η τιµή της αντικειµενικής υνάρτηης Ω(ψ) για τυχαία επιλεγµένα ζεύγη παραµέτρων ψ=[θ 1, θ ] Τ. Κατακόρυφος άξονας : το µέο εκατοτιαίο φάλµα όπως αυτό υπολογίτηκε ε =5 ηµεία το χωρίο µελέτης, τα ηµεία αυτά προέκυψαν από ένα πλέγµα 5 5. Το µέο εκατοτιαίο φάλµα δίνεται από την παρακάτω έκφραη : direct metamodel 1 yi yi mid _ error[ %] = direct y Εποµένως, υµπεραίνουµε ότι η εφαρµογή του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας, για τον προδιοριµό των παραµέτρων ψ = [ θ, θ,..., θ ] T 1 d, οδηγεί ε δηµιουργία µεταπροτύπων µε καλύτερες δυνατότητες πρόβλεψης και παρότι υχνά είναι απαιτητικό ε χρόνο CPU (κυρίως όταν αυξάνει η διάταη (d) του προβλήµατος καθώς και όταν αυξάνει ο αριθµός των ηµείων εκπαίδευης ) κρίνεται κόπιµη η εφαρµογή του ε κάθε περίπτωη. Στο ηµείο αυτό πρέπει να επιηµανθεί ότι µε την εφαρµογή του κριτηρίου, ακόµα και όταν δεν έχει επέλθει ύγκλιη της µεθόδου ελαχιτοποίηης ( οπότε το διάνυµα ψ = [ θ, θ,..., θ ] T 1 d δεν αντιτοιχεί ε το ολικό ελάχιτο), υνήθως εξαφαλίζουµε ότι ο πίνακας R των υχετίεων έχει καθοριµένες ιδιότητες. Γιατί µια τυχαία επιλογή των παραµέτρων θ i δεν οδηγεί πάντα, για παράδειγµα, ε αντιτρέψιµο µητρώο R. ( Επιπρόθετα, θα πρέπει να αναφέρουµε ότι για να δίνει η έκφραη (3) το ελάχιτο µέο τετραγωνικό φάλµα που είναι ιδιότητα της Βέλτιτης Γραµµικής Ανεπηρέατης Εκτίµηης (BLUP) και i= 1 i 19

υπενθυµίζουµε ότι η χέη (3) αποτελεί BLUP θα πρέπει το µητρώο R να είναι θετικά ηµιοριµένο. Μια «τυχαία» επιλογή των παραµέτρων θ δεν οδηγεί ε µητρώο θετικά ηµιοριµένο.) ιάτηµα εµπιτούνης της απόκριης Y. Το διάτηµα εµπιτούνης της απόκριης Υ για επίπεδο εµπιτούνης είναι : P = 1 a Y ˆ t 1 a / p Y Yˆ + t 1 a / p Όπου t είναι η τιµή της κατανοµής Studet για -p βαθµούς ελευθερίας για την P a / p = 1, Y ˆ η απόκριη (εκτίµηη) του µεταπροτύπου και η τυπική απόκλιη της εκτίµηής µας. ( Υπενθυµίζουµε ότι όταν είναι a / οποία ιχύει ότι : P( t t ) 1 a άγνωτο ιχύει :[ Y ] ~ T(, Yˆ, ) Y.) ν i o Στη υνέχεια επανερχόµατε το πρόβληµά µας και θα παρουιάουµε την απόκριη ε 5 ηµεία του χωρίου µελέτης µας (που προέκυψαν από ένα 5 5 πλέγµα) καθώς και το διάτηµα εµπιτούνης αυτής για επίπεδο εµπιτούνης 9%. Τα παραπάνω γίνονται αφού έχει εφαρµοτεί το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας και µε 5 ηµεία εκπαίδευης, επιλεγµένα µε χρήη λατινικών τετραγώνων (για το µεταπρότυπο ιχύουν όα είπαµε την αρχή ). Καταρχάς το πρόβληµά µας έχουµε ν = - p = 5-1 = 4 βαθµούς ελευθερίας ( : αριθµός ηµείων εκπαίδευης, p : διάταη διανύµατος f ). Από πινακαποιηµένες τιµές της κατανοµής Studet υναρτήει των βαθµών ελευθερίας και του εµβαδού 1 a, βρίκουµε ότι για επίπεδο εµπιτούνης P = 1 a =. 9 έχουµε ότι : a.95 a =.1 1 =.95 και άρα η ζητούµενη τιµή είναι : t 4 = 1. 684. Στο χήµα 8 καταγράφουµε την πραγµατική απόκριη (δηλαδή αυτή του προτύπου), την εκτίµηη (δηλαδή την απόκριη του µεταπροτύπου) και το διάτηµα εµπιτούνης της τελευταίας, εντός του οποίου αναµένουµε να βρίκεται «περίπου» το 9% των πραγµατικών αποκρίεων (για λόγους εποπτικούς έχουµε παρατάξει τις αποκρίεις κατά αύξουα ειρά). Παρατηρούµε ότι όντως αυτό υµβαίνει, όµως αδυναµία φαίνεται να αποτελεί το γεγονός ότι ε περιοχές όπου το µεταµοντέλο απέχει από την πραγµατική (πρότυπη) απόκριη το διάτηµα εµπιτούνης δεν είναι απλά αυξηµένο αλλά υχνά λαµβάνει αρκετά ιδιαίτερα υψηλές τιµές. Επίης φαίνεται ότι το µεταπρότυπο αδυνατεί να παρακολουθήει τις µικρές διακυµάνεις της πραγµατικής απόκριης (ροζ ), θα µπορούαµε να πούµε ότι αυτές υπερβαίνουν την «διακριτική» δυνατότητα του µεταπροτύπου. Ως θετικό λαµβάνουµε το γεγονός ότι η εκάτοτε εκτίµηη του µεταπροτύπου (πράινη καµπύλη) «ακολουθεί» την πραγµατική απόκριη (ροζ καµπύλη) δηλαδή δεν έχουµε χονδροειδείς αποκλίεις. Καθώς επίης και το ότι εκεί που υπάρχει µεγαλύτερη διαφορά µεταξύ πραγµατικής

απόκριης (ροζ) και εκτίµηης (πράινο) το διάτηµα εµπιτούνης αυξάνει (λόγω του ότι αυξάνει η µεταβλητότητα της απόκριης- δείτε χήµατα 3&4). 1

Εφαρµογή µε πρότυπο µαθηµατική υνάρτηη (d=4). Εφαρµογή µε d= 4, το µαθηµατικό µας πρότυπο είναι : y = 4 + 1 cos x1 + x + x3 + x4 1 cos( π x1 ) 1 cos( π x ) ( π x ) 1 cos( π x ) 3 όπου ( x, x, x ) [ 1,1 ] [ 1,1 ] [ 1,1 ] [ 1,1 ] 4 x 1, 3 4. Επιλέγουµε να χρηιµοποιήουµε υνάρτηη υχέτιης της µορφής : d h ( ) j R h, ψ = exp, µε d= 4 j= 1 θ j Εφαρµόζοντας το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας, για την παραπάνω υνάρτηη υχέτιης, έτι εκτελούµε την ελαχιτοποίηη της παράταης (7) µε άγνωτες παραµέτρους τα θ 1, θ, θ 3, θ 4. Τα αποτελέµατα αυτής της διαδικαίας παρατίθενται παρακάτω : θ 1 =.5475415571848 θ =.5377935865 θ =.579539589448 3 θ 4 =.5377935865 Ω ψ = 819.6461591946 mi ( ) Οι υναρτήεις αναδροµής ( f ) τις οποίες χρηιµοποιούµε είναι τα εκθετικά όλων των πολυωνύµων, µέχρι και 3 ου βαθµού, που µπορούν να µας δώουν οι υνδυαµοί των τεάρων µεταβλητών x1, x, x3, x4. Επιπροθέτως, τα ηµεία εκπαίδευης του µεταµοντέλου µας εκλέγονται µε τη µέθοδο των λατινικών τετραγώνων και είναι 5 το πλήθος. 8 7 6 5 4 3 1 5 1 15 5 3 35 4 45 5 Σχήµα 9: Τα ηµεία εκπαίδευης του µεταπροτύπου. Οριζόντιος άξονας: αύξων αριθµός ηµείου εκπαίδευης. Κάθετος άξονας : η απόκριη του πρότυπου.

Στη υνέχεια, παραθέτουµε τα αποτελέµατα που προέκυψαν από την εφαρµογή της µεθοδολογίας. Σχήµα 1: Ιοταθµική x1(οριζόντιος)-x(κατακόρυφος) για x3= (αδιάτατη τιµή [-1:1]) και για x4= (αδιάτατη τιµή [-1:1]). Αριτερά η «πρόβλεψη», δεξιά το «πρότυπο». Σχήµα 11: Ο δεκαδικός λογάριθµος της µεταβλητότητας ε όλο το χωρίο για τις µεταβλητές x1- x, για x3= (αδιάτατη τιµή [-1:1]) και για x4= (αδιάτατη τιµή [-1:1]). 3

Σχήµα 1: Ιοταθµική x3(οριζόντιος)-x4(κατακόρυφος) για x1= (αδιάτατη τιµή [-1:1]) και για x= (αδιάτατη τιµή [-1:1]). Αριτερά η «πρόβλεψη», δεξιά το «πρότυπο». Σχήµα 13: Ο δεκαδικός λογάριθµος της µεταβλητότητας ε όλο το χωρίο για τις µεταβλητές x3- x4, για x1= (αδιάτατη τιµή [-1:1]) και για x= (αδιάτατη τιµή [-1:1]). Τα αποτελέµατα είναι παραπλήια µε αυτά για τις υπόλοιπες ιοταθµικές έτι κρίνουµε περιττό το να παρουιάουµε και τις υπόλοιπες ιοταθµικές. Από τα παραπάνω επιβεβαιώνουµε το αναµενόµενο, ότι δηλαδή η υπολογιζόµενη µεταβλητότητα είναι πιο αυξηµένη τις περιοχές εκείνες όπου το µεταπρότυπό µας δεν επιτυγχάνει καλή εκτίµηη της πρότυπης απόκριης. Έτι η χρήη της µεταβλητότητας µπορεί να εφαρµοτεί, ε δεύτερο τάδιο, για τη βελτίωη του µεταπροτύπου, για παράδειγµα επιλέγοντας να ειάγουµε ηµεία εκπαίδευης τις περιοχές όπου η µεταβλητότητα (και άρα το φάλµα του µεταπροτύπου) είναι υψηλή. 4

Εφαρµογή µε πρότυπο µοντέλο ανάλυης υνεκτικών ροών ε πτερυγώεις τροβιλοµηχανών. Παρακάτω παρουιάζουµε ένα πρόβληµα εωτερικής αεροδυναµικής το οποίο έχουµε έξι (6) µεταβλητές. Το ροϊκό πρόβληµα είναι διδιάτατο και η επίλυη της ροής γίνεται µε το λογιµικό Mises. ηλαδή, το λογιµικό Mises αποτελεί το πρότυπο την απόκριη του οποίου για διάφορες µορφές αεροτοµών επιχειρούµε να µοντελοποιήουµε (οι 6 µεταβλητές του προβλήµατος αφορούν την µορφή της πτερύγωης). Το εν λόγω λογιµικό επιτρέπει την ανάλυη υνεκτικών ροών ε διδιάτατες πτερυγώεις µε την αλληλεπίδραη ενός επιλύτη ροής ατριβούς εξωτερικής ροής και µια ολοκληρωµατική µέθοδο για τον υπολογιµό του οριακού τρώµατος και αποτελείται από ένα ύνολο προγραµµάτων για τη γένεη του πλέγµατος, την επίλυη της ροής και για την παρουίαη των αποτελεµάτων. Η επίλυη της ροής γίνεται µε την χρήη των εξιώεων Euler ε υνδυαµό µε την θεωρία του οριακού τρώµατος, η δε παραµετροποίηη των πτερυγώεων γίνεται µε χρήη καµπυλών splies (τις ακµές προφυγής και εκφυγής χρηιµοποιούµε κύκλους). Η απόκριη, την οποία και καλούµατε να µοντελοποιήουµε, είναι ο is Pt Pt υντελετής απωλειών ολικής πίεης : ω = για την πτερύγωη ενός P P υµπιετή µε βήµα =. 65 (αδιάτατη ποότητα : χορδή (c)/βηµα(s) ). Στον παρακάτω πίνακα παρατίθενται υνοπτικά οριµένα τοιχεία χετικά µε το πρόβληµα και τις υνθήκες ροής του. Συνθήκες ροής 1 αριθµός Mach ειόδου : M1=.7 χετική γωνία ειόδου ροής : β1= 45 [deg] 3 Κρίιµος αριθµός Reyolds : Rec= = 4*1^6 t1 1 Στοιχεία χετικά µε την κατακευή του µεταπροτύπου. Η επιλογή των ηµείων εκπαίδευης γίνεται µε τη χρήη της µεθόδου των Λατινικών Τετραγώνων (δείτε χετική παράγραφο), την υνέχεια εξαιρούµε τα ηµεία εκείνα τα οποία ο κώδικας της ροής δεν µας δίνει αποτέλεµα, το γεγονός αυτό οφείλεται το ότι βρικόµατε εκτός της βαθµονόµηης του κώδικα. Ο αριθµός των ηµείων εκπαίδευης καταλήγει να είναι 47. Η διαχείριη των ηµείων όπου ο κώδικας Mises δεν δίνει αποτέλεµα απαιτεί προοχής µιας και το µεταµοντέλο µας θα παρέχει πρόλεξη για το υγκεκριµένο ηµείο παρότι την πραγµατικότητα αυτή δεν υφίταται (θεωρώντας πάντα ως πρότυπο τον κώδικα Mises ). Η εξαίρεη αυτών των ηµείων από την εκπαίδευη του µεταπροτύπου µας «λύνει απλά τα χέρια» την περίπτωη της εκπαίδευης του µεταπροτύπου όµως δεν βοηθά το παραπάνω πρόβληµα (ύπαρξη απόκριης του µεταµοντέλου την τιγµή που αυτής δεν υφίταται). Θα µπορούαµε ιδίως αν αξιοποιούαµε το µεταπρότυπο ε εφαρµογή βελτιτοποίηης (ελαχιτοποίηης απωλειών) να χρηιµοποιήουµε και αυτά τα ηµεία θέτοντάς τους µια µεγάλη τιµή (ως ποινή) έτι ώτε να αποφύγουµε µια πιθανή ύπαρξη ελαχίτου του µεταµοντέλου την περιοχή αυτή. Στα επόµενα γραφήµατα φαίνονται οριµένες αεροτοµές που αντιτοιχούν ε κάποια από τα ηµεία εκπαίδευης, παρατηρούµε ότι περιλαµβάνουν µεγάλη ποικιλία περιπτώεων µάλιτα οριµένες από αυτές µοιάζουν «µη λογικές». Αυτό υµβαίνει γιατί η περιοχή τιµών την οποία γίνεται η µοντελοποίηη είναι ιδιαίτερα µεγάλη 5

(δείτε αρχείο datagas.dat το τέλος). Βέβαια την πράξη, και ιδίως όταν ενδιαφερόµατε να εντοπίουµε µια βέλτιτη -από πλευράς αεροδυναµικήςπτερύγωη, θα ήταν εύκολο και χρήιµο να περιορίζαµε το χώρο θέτοντας περιοριµούς (π.χ. εξαιρώντας κάποιες πολύ «παχιές» και «περίεργες» αεροτοµές). Όµως αυτό δεν είναι πάντα εφικτό ε όλα τα προβλήµατα δηλαδή το να περιορίουµε το χωρίο µελέτης µας µε βάη κάποιο κριτήριο και εµείς ε αυτό το τάδιο ενδιαφερόµατε πιο πολύ να επιδείξουµε τη υγκεκριµένη µεθοδολογία παρά να προβούµε ε µια βέλτιτη χεδίαη µε τη χρήη του λογιµικού Mises και του µεταπροτύπου µας. Σχήµα : Αεροτοµές που αντιτοιχούν ε έξι τυχαία επιλεγµένα ηµεία εκπαίδευης. Οι υναρτήεις αναδροµής οι οποίες χρηιµοποιούµε την εν λόγω περίπτωη είναι πολυωνυµικής µορφής και περιλαµβάνουν όλα τα πολυώνυµα µέχρι και 3 ου βαθµού που µπορούν να µας δώουν οι υνδυαµοί των έξι µεταβλητών x 1, x, x3, x4, x5, x6. Επιλέγουµε να χρηιµοποιήουµε υνάρτηη υχέτιης της µορφής : R d h j ψ = exp, µε d= 6 j= 1 θ j ( h, ) 6

Εφαρµόζοντας το κριτήριο της µέγιτης πιθανοφάνειας, για την παραπάνω υνάρτηη υχέτιης, έτι εκτελούµε την ελαχιτοποίηη της παράταης (7) µε άγνωτες παραµέτρους τα θ 1, θ, θ3, θ 4, θ 5, θ 6, η ελαχιτοποίηη αυτή λαµβάνει χώρα µε χρήη γενετικού αλγορίθµου. Ω ( ψ) = log ( ψ) + log( det( R( ψ) )) ( 7 ) Τα αποτελέµατα αυτής της διαδικαίας παρατίθενται παρακάτω : θ =.3193916846 1 θ = 1.965443797664E - θ = 8.7435986415 3 θ = 7.66379579667644 4 θ = 1.E - 4 5 θ = 1.3496686179 6 ελάχιτη τιµή υνάρτηης (7) : Ωmi = - 36.63965936 Στην υνέχεια παρουιάζουµε οριµένες ιοταθµικές των µεταβλητών ανά ζεύγη (οι άλλες µεταβλητές διατηρούνται ταθερές το µέο του διατήµατος διακύµανης τους ) καθώς και τη µεταβλητότητα το χωρίο µελέτης µας, έτι ώτε να προβούµε ε έλεγχο της ικανότητας πρόβλεψης του µεταπροτύπου. Από την µορφή των γραφηµάτων της µεταβλητότητας υµπεραίνουµε ότι το µεταπρότυπο επιτυγχάνει καλύτερη πρόλεξη το κέντρο του χωρίου µελέτης. Σχήµα : Μεταβλητές x1(οριζόντιος) - x(κατακόρυφος). Αριτερά η απόκριη του µεταµοντέλου, δεξιά η πραγµατική. 7

Σχήµα 3: Ο λογάριθµος της µεταβλητότητας το χωρίο των µεταβλητών x1-x. Με βάη αυτό το γράφηµα το κέντρο του χωρίου έχουµε καλύτερη ικανότητα πρόβλεψης. Σχήµα 4: Μεταβλητές x(οριζόντιος) - x3(κατακόρυφος). Αριτερά η απόκριη του µεταµοντέλου, δεξιά η πραγµατική. 8

Σχήµα 5: Ο λογάριθµος της µεταβλητότητας το χωρίο των µεταβλητών x-x3. Με βάη αυτό το γράφηµα το κέντρο του χωρίου έχουµε καλύτερη ικανότητα πρόβλεψης. Σχήµα 6: Μεταβλητές x3(οριζόντιος) - x5(κατακόρυφος). Αριτερά η απόκριη του µεταµοντέλου, δεξιά η πραγµατική 9

Σχήµα 7: Ο λογάριθµος της µεταβλητότητας το χωρίο των µεταβλητών x-x3. Με βάη αυτό το γράφηµα το κέντρο του χωρίου έχουµε καλύτερη ικανότητα πρόβλεψης. Για την περαιτέρω αξιολόγηη του µεταπροτύπου µας επιλέγουµε ένα ετ από 1875 τυχαία επιλεγµένα και τυχαίως διακορπιµένα το χωρίο ηµεία (τα οποία το πρότυπο λογιµικό Mises δίνει απόκριη). Σε αυτά υπολογίζουµε την απόκριη του πρότυπου κώδικα καθώς και του µεταπροτύπου και τη υνέχεια υπολογίζουµε το µέο εκατοτιαίο φάλµα του µεταπροτύπου µας. [ ] mid _ error % y y direct metamodel i i = direct yi 1 =.7 % Παρακάτω παραθέτουµε τα χήµατα 8&9 που τον κατακόρυφο άξονα απεικονίζουν την απόκριη των ηµείων αυτών τόο µε τον πρότυπο κώδικα ( ) όο και µε το µεταµοντέλο ( ) αλλά και το εύρος εντός του οποίου µπορεί να διακυµανθεί η απόκριη του µεταµοντέλου µε επίπεδο εµπιτούνης 95%. (Υπενθυµίζουµε ότι τα ηµεία είναι τυχαία επιλεγµένα και τυχαία διακορπιµένα το χωρίο µελέτης ενώ έχουµε επιλέξει για λόγους εποπτικούς να καταγράψουµε τα ηµεία αυτά κατά αύξουα ειρά από αυτό µε την µικρότερη απόκριη του µεταµοντέλου προς αυτό µε την µεγαλύτερη). 3

31

3

(καθορίζει το χωρίο εκπαίδευης δίνοντας τα όρια των ελευθέρων µεταβλητών, ελεύθερες µεταβλητές :1, αµετάβλητες : ). Αρχείο datagas.dat 46 - Total umber of variables x_le (fixed) y_le (fixed).1.1 R-LE 44.196 44.196 Phi_LE 1 1 x_te (fixed) y_te (fixed).5.5 R-TE -3-3 Phi_TE 5 5 umber of cotrol SS 4 4 degree of basis fuctios SS.15.15 iterior of the kot vector SS.6.6 iterior of the kot vector SS.83.83 iterior of the kot vector SS.983333.983333 x3 SS.891373.891373 y3 SS.7476.7476 x4 SS 1.1.18 y4 SS.47948.47948 x5 SS 1.1.18 y5 SS.685397.685397 x6 SS 1.1.14 y6 SS.85.85 x7 SS.69941.69941 y7 SS 5 5 umber of cotrol PS + 3 4 4 degree of basis fuctios PS.1.1 iterior of the kot vector PS.6.6 iterior of the kot vector PS.8.8 iterior of the kot vector PS.6354.6354 x3 PS 1.5.6 y3 PS.4538.4538 x4 PS 1.4.1 y4 PS.548413.548413 x6 PS 1.5.134 y6 PS.677619.677619 x7 PS.8835.8835 y7 PS.84.84 x8 PS.541765.541765 y8 PS 61 61 see shape.for ps 61 61 see shape.for ss 41 41 see shape.for le circle 41 41 see shape.for te circle 11 11 kodps 11 11 kodss -17.316-17.316 stagger.65.65 pitch 33

Συµπεράµατα. Σε αυτήν την εργαία παρουιάαµε µια µεθοδολογία κατακευής µεταπροτύπων. Παρότι πρόκειται για την πρώτη µας προπάθεια κατακευής µεταπροτύπων µε αυτήν την µεθοδολογία, και τόχος µας δεν ήταν η βελτιτοποίηη της όλης διαδικαίας αλλά περιότερο η επίδειξη αυτής, τα αποτελέµατα κρίνονται ικανοποιητικά, µιας και ε όλες τις παραπάνω περιπτώεις τα µεταπρότυπα κατάφεραν να δώουν καλές εκτιµήεις των πραγµατικών αποκρίεων. Πλεονέκτηµα των µεταπροτύπων αυτών είναι η δυνατότητα εκτίµηης του φάλµατός τους, χωρίς να απαιτείται επιπλέον πληροφορία. Παρουιάτηκε επίης (χωρίς να εφαρµοτεί όµως) µια πιθανή εφαρµογή της υπολογιζόµενης µεταβλητότητας για την επιλογή ηµείων εκπαίδευης τα οποία θα προτεθούν τα ήδη υπάρχοντα. Επίης παρουιάαµε την εφαρµογή του κριτηρίου της µέγιτης πιθανοφάνειας για την εκτίµηη των αγνώτων παραµέτρων των υναρτήεων υχέτιης, το κριτήριο αυτό µας οδήγηε ε κατακευή µεταπροτύπων µε µικρότερο φάλµα την χεδόν ε ολόκληρο το χωρίο µελέτης µας (χωρίο µελέτης και εκπαίδευης εδώ ταυτίζονται, γενικά το χωρίο µελέτης µας µπορεί να είναι υποχωρίο του χωρίου εκπαίδευης ). Επιπροθέτως δείξαµε πως µπορούµε εύκολα να επιλέξουµε ηµεία εκπαίδευης που να είναι κατά το δυνατόν πιο διακορπιµένα το χωρίο εκπαίδευης. Και το τέλος της εργαίας µας παραθέαµε µια εφαρµογή από τον χώρο των τροβιλοµηχανών. Η κατακευή τέτοιων µεταπροτύπων µπορεί να βοηθήει εξοικονοµώντας χρόνο ε προβλήµατα βελτιτοποίηης την περίπτωη όπου το πρότυπο υπολογιτικό πρόγραµµα είναι ιδιαίτερα χρονοβόρο και απαιτούνται πολλές κλήεις της αντικειµενικής υνάρτηης από το πρόγραµµα της βελτιτοποίηης. εδοµένου ότι το µεταπρότυπο έχει ελάχιτες απαιτήεις από πλευράς χρόνου CPU. 34

***Συναρτήεις υχέτιης οικογένειας Matér*** Μια υχνά χρηιµοποιούµενη έκφραη για την υνάρτηη υχέτιης αποτελεί η εξής : d 1 ν h ( ) = ( ) i ν h = i R h K 1 ν (1) ν Γ i 1 ν θ i θi ν όπου : 1 Γ ( ν ) είναι η υνάρτηη Γάµα, µε ν = +, {,1,,... } K ν είναι η τροποποιηµένη υνάρτηη Bessel τάξης ν. Η παραπάνω οικογένεια υναρτήεων υχέτιης αναφέρεται υχνά την βιβλιογραφία µε το όνοµα Matér I. Η τροποποιηµένη υνάρτηη Bessel, για την περίπτωη όπου 1 ν = +, {,1,,... }, δίνεται από την παρακάτω ειρά : λ π ( ) ( + k)! 1 K + 1 λ = e () k λ k! k! λ k = ( ) ( ) 1 Για την ειδική περίπτωη όπου ν = (δηλαδή = ) προκύπτει ότι : λ π d h K 1 ( λ) = e και υνεπώς έχουµε ότι : ( ) = i R h exp. λ i= 1 θi d h Όο ν τόο R( h) exp i, δηλαδή το όριο η κλάη των i= 1 θ i υναρτήεων Matér I µας δίνει την ως τώρα χρηιµοποιούµενη υνάρτηη υχέτιης µε p=. Στη περίπτωη όπου η υνάρτηη υχέτιης Matér έχει την µορφή : d 1 ν ( ) = ( ) i hi ν = i hi R h K i 1 ν (1 ) ν Γ i i 1 ν i θ i θ i λέµε ότι ανήκει την οικογένεια Matér IΙ. ν 35