ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιαννίνν ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρση. Φάσμα συχνοτήτν. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά 3. Συναρτήσεις μεταφοράς Μέτρο & φάση 4. Διαγράμματα Bode κέρδους & φάσης 5. Απόκριση συχνοτήτν VLSI Systes ad Coputer Architecture Lab Απόκριση Συχνότητας
Φάσμα Συχνοτήτν Το φάσμα συχνοτήτν αποτελεί μία περιγραφή ενός σήματος στο πεδίο τν συχνοτήτν. Επιτυγχάνεται μέσ μαθηματικών εργαλείν (σειρά και μετασχηματισμός Fourier. Ειδικότερα, η σειρά Fourier επιτρέπει την έκφραση ενός σήματος, που είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου, ς το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού ημιτόνν τν οποίν οι συχνότητες έχουν αρμονική σχέση μεταξύ τους. V V υ Τετραγνικός Παλμός T 0=π/Τ 4V si3 t si5 t... t 4V 4V 3 Φάσμα Συχνοτήτν 4V 5 4V 7 ( t si 0t 0 0 ο 3 ο 5 ο 7 ο (rad/s 3 5 Σειρά Fourier Θεμελιώδης Αρμονικές Συχνότητες Συχνότητα Απόκριση Συχνότητας 3... Πεδίο Μιγαδικής Συχνότητας s Ζητούμενο είναι η εύρεση του κέρδους τάσης (ρεύματος ενός κυκλώματος καθώς και της διαφοράς φάσης μεταξύ εισόδου εξόδου ς συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας s ή j, με αναφορά σε ημιτονοειδή σήματα. Ως κέρδος τάσης ης(ρεύματος ορίζουμε το λόγο της τάσης (ρεύματος μ στην έξοδο του κυκλώματος προς την τάση (ρεύμα στην είσοδό του. Στην ανάλυση στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s η χρητικότητα αντικαθίσταται από μια σύνθετη αγγιμότητα sc (ή ισοδύναμα από μια σύνθετη αντίσταση /sc και η επαγγή από μια σύνθετη αντίσταση sl. Ακολούθς, με τη χρήση όλν τν γνστών τεχνικών ανάλυσης κυκλμάτν που έχουν παρουσιαστεί, βρίσκεται η συνάρτηση μεταφοράς: Vo (s T(s Η(s V (s i ή Vo (j T(j Η(j V (j i Απόκριση Συχνότητας 4
Παράδειγμα R Διαιρέτης τάσης: υ i (t ~ C υ o (t V sc o(s V i (s R sc V i (s ~ R /sc V o (s Vo (s T(s sc V (s i R sc s ed Απόκριση Συχνότητας 5 V i (s ~ Παράδειγμα Ν. Oh & KCL: V (s V (s R // /sc R R // /sc R R /sc V (s R /sc o T(s R V (s R /sc Vo (s i /sc R R /sc o i R /sc R /sc / scr R R /sc R /sc R R R R /sc R R /scr R s /CR R R /CRR ed Απόκριση Συχνότητας 6 3
Απόκριση Συχνότητας Κυκλμάτν Γραμμικό κύκλμα Συνάρτηση Μεταφοράς Τ( υ i =V i si t ~ υ o =V o si (tφ T( V o ( V ( i κέρδος T( 0log0 ή T( T( φ φάση Το εύρος τν συχνοτήτν, για το οποίο το κέρδος του ενισχυτή είναι περίπου σταθερό (με διακύμανση μέχρι 3dB, ονομάζεται: Εύρος Ζώνης Απόκριση Μέτρου ή Πλάτους ή Κέρδους Εύρος Ζώνης Απόκριση Συχνότητας 7 Λογαριθμικές Κλίμακες Συχνότητας Στην αναπαράσταση της απόκρισης του κέρδους και της φάσης χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα. Μια τέτοια λογαριθμική κλίμακα δίδεται στο σχήμα που ακολουθεί. Δεκάδα Οκτάβα 0 0 50 00 00 500 000 f (Hz log Μία δεκάδα είναι ένα εύρος συχνοτήτν για τις οποίες ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη είναι 0. Π.χ. το εύρος συχνοτήτν από Hz σε 0Hz είναι μία δεκάδα ενώ το εύρος συχνοτήτν από 50Hz σε 5000Hz είναι δύο δεκάδες. Μία οκτάβα είναι ένα εύρος συχνοτήτν για τις οποίες ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη είναι. Π.χ. το εύρος συχνοτήτν από 0Hz σε 0Hz είναι μία οκτάβα ενώ το εύρος συχνοτήτν από ΚHz σε 6ΚHz είναι τρεις οκτάβες. Απόκριση Συχνότητας 8 4
Δίκτυα Μονής Σταθεράς Χρόνου Ένα δίκτυο μονής σταθεράς χρόνου ΜΣΧ συνίσταται (ή μπορείνα εκφυλιστεί σε ένα τέτοιο από ένα παθητικό στοιχείο (πηνίο ή πυκντή και μία μική αντίσταση. Δίκτυο Πυκντή C Αντίστασης R τ CR Σταθερά Χρόνου Δίκτυο Πηνίου L Αντίστασης R L τ R Δίκτυα Μονής Σταθεράς Χρόνου Πυκντή Αντίστασης R C V i ~ C V o V i ~ R V o Βαθυπερατό Υψιπερατό Απόκριση Συχνότητας 9 Δίκτυα ΜΣΧ Βαθυπερατού Τύπου 0 Ζ C = /(jc και Z L = jl 0 Απόκριση Συχνότητας 0 5
Δίκτυα ΜΣΧ Υψιπερατού Τύπου Ζ C = /(jc 0 και Z L = jl Απόκριση Συχνότητας Απόκριση Βαθυπερατών Δικτύν ΜΣΧ Απόκριση Πλάτους 0dB / δεκάδα V i ~ R C V o Βαθυπερατό Δίκτυο Μονής Σταθεράς Χρόνου ο τ Απόκριση Φάσης 45 ο / δεκάδα Απόκριση Συχνότητας 6
Απόκριση Υψιπερατών Δικτύν ΜΣΧ Απόκριση Πλάτους V i ~ C R V o 0dB / δεκάδα Υψιπερατό Δίκτυο Μονής Σταθεράς Χρόνου ο τ 45 ο / δεκάδα Απόκριση Φάσης Απόκριση Συχνότητας 3 Συνάρτηση Μεταφοράς Γνρίζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς Τ(s μπορούμε να τη μελετήσουμε για φυσικές συχνότητες με αντικατάσταση του s με j. Η συνάρτηση μεταφοράς Τ(j είναι μια σύνθετη ποσότητα και το μέτρο της δίνει την απόκριση μέτρου (κέρδους ενώ η γνία την απόκριση φάσης ενός κυκλώματος. Γενικά για τα κυκλώματα που μας ενδιαφέρουν η Τ(s μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή: T(s s s b s s...... b 0 0 ( όπου οι συντελεστές α και b είναι πραγματικοί αριθμοί και η τάξη του αριθμητή είναι μικρότερη ή ίση με την τάξη του παρονομαστή (τάξη του δικτύου. Απόκριση Συχνότητας 4 7
Πόλοι και Μηδενικά Εναλλακτικά, η συνάρτηση μεταφοράς Τ(s μπορεί να εκφραστεί ς: T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P όπου Ζ, Ζ,,Ζ είναι οι ρίζες του πολυνύμου του αριθμητή και P, P,,P είναι οι ρίζες του πολυνύμου του παρονομαστή. Τα Ζ, Ζ,,Ζ ονομάζονται μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς και τα P, P,,P ονομάζονται πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ή φυσικές συχνότητες του συστήματος. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορεί να είναι είτε πραγματικοί είτε μιγαδικοί αριθμοί. Επειδή τα α, b είναι πραγματικοί, οι μιγαδικοί πόλοι ή μηδενικά πρέπει να εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη [(xjy και (xjy]. Για τιμές του s>> από όλους τους πόλους και τα μηδενικά ισχύει: T(s s Για να είναι ευσταθές ένα κύκλμα θα πρέπει οι συντελεστές του παρονομαστή να είναι τέτοιοι ώστε οι ρίζες του παρονομαστή να έχουν όλες αρνητικά πραγματικά μέρη. Απόκριση Συχνότητας 5 Μέτρο & Φάση Συνάρτησης Μεταφοράς T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς Τ(s το s με j παίρνουμε την T(j η οποία μπορεί να γραφεί στο συμβολισμό τν φασόρν ς ακολούθς: T(j T(j e jt(j όπου Τ(j το μέτρο (κέρδος και Τ(j η φάση της T(j. Το μέτρο: T(j (j Z (j (j Z (j Z Z Z Z P (j P (j P P P P Η φάση: T(j ta ta i Zi i P i αντίστροφο τόξο εφαπτομένης ta (x arcta(x y =arcta(x x= ta(y Απόκριση Συχνότητας 6 8
Το Μέτρο (Κέρδος σε dβ T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Όπς αναφέρθηκε φρη νρίτερα, ρ, το μέτρο (κέρδος ρ της αντέρ συνάρτησης ρη ης μεταφοράς είναι: T(j (j Z (j Z (j Z (jp (j P (j P Z P Z P Z P Συνηθίζουμε να εκφράζουμε το κέρδος σε decibel (dβ, ς ακολούθς: db T(j 0log0 T(j db Απόκριση Συχνότητας 7 Συναρτήσεις Πρώτης Τάξης Συχνά, οι συναρτήσεις μεταφοράς που μας απασχολούν έχουν πραγματικούς πόλους και μηδενικά και μπορούν να γραφούν ς γινόμενο συναρτήσεν μεταφοράς πρώτης τάξης με την ακόλουθη μορφή: s T(s s όπου 0 ο πραγματικός πόλος και η 0 καλείται συχνότητα πόλου και είναι ίση με το αντίστροφο της σταθεράς χρόνου του αντίστοιχου δικτύου μονής σταθεράς χρόνου. Οι σταθερές α 0 και α καθορίζουν τον τύπο του δικτύου μονής σταθεράς χρόνου. 0 0 Βαθυπερατό δίκτυο πρώτης τάξης: Υψιπερατό δίκτυο πρώτης τάξης: 0 T(s s s T(s s 0 0 Κέρδος DC α 0 / 0 και 0 συχνότητα γονάτου ή 3dB Μηδενικό στο s= Μηδενικό στο s=0 Απόκριση Συχνότητας 8 9
Παράδειγμα 3(Ι I i (s R /sc V o (s o Η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος είναι: /C T(s s / και έχει ένα πόλο στο s=/. Αντικαθιστώντας το s με j, το μέτρο και η φάση της Τ(j προκύπτουν ς εξής: T(j C j ( / T(j C T(j ta j ( / C (/ Απόκριση Συχνότητας 9 Παράδειγμα 3(ΙΙ Τ(j R R Απόκριση Συχνότητας Μέτρου C (/ T(j C j ( / C (/ Για =0 Τ(0 =R ενώ για >> Τ(j /C 0 00 000 (log rad/sec Τ(j 0 0 00 000 (log rad/sec T(j ta 45 ο 90 ο Απόκριση Συχνότητας Φάσης ta ( Για =0 Τ(0=0 ενώ για >> Τ(j 90ο Απόκριση Συχνότητας 0 0
Παράδειγμα 3(ΙΙΙ j ( x πόλος θ d 45 o I(s 0 j j j Re(s Στο επίπεδο της μιγαδικής συχνότητας θα έχουμε: j d d j Συνεπώς: T (j Cd και T (j Για = /: R T(j και o T(j 45 ed Απόκριση Συχνότητας Διαγράμματα Bode Κέρδους (Ι Τα διαγράμματα Bode είναι μια απλή τεχνική για να εξάγουμε προσεγγιστικά διαγράμματα του μέτρου (κέρδους και της φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς όταν γνρίζουμε τους πόλους και τα μηδενικά της. Έστ η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς: T(s T(j (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Αντικαθιστώντας το s με j, το κέρδος (μέτρο θα είναι: Εκφράζοντας το κέρδος σε db θα έχουμε: T(j (db (db (j Z (j Z (j Z (j P (j P (j P (j Zi i (db Απόκριση Συχνότητας (j P i i (db
Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙΙ Η στρατηγική για τη σχεδίαση τν διαγραμμάτν Bode του κέρδους Τ(j σε db είναι απλή και βασίζεται στη σχεδίαση ξεχριστά κάθε όρου στο δεξί μέρος τηςπροηγούμενηςεξίσσηςκαιστησυνέχειαμευπέρθεσητνγραφημάτν γίνεται η εξαγγή γή του διαγράμματος: α Αρχικά ο όρος α db =0log 0 α δίνει μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 α. β Οι όροι (jζ i db =0log 0 (jζ i μπορούν να αναλυθούν ς ακολούθς: i. Για <<Ζ i ο όρος jζ i μπορεί να αντικατασταθεί με το Ζ i με αποτέλεσμα για αυτές τις τιμές του η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 Ζ i. ii. Για >>Ζ i οόρος jζ i μπορεί να αντικατασταθεί με j, που απλά είναι το. Συνεπώςγιααυτέςτιςτιμέςτουηγραφικήαπόδοσηείναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec (λογαριθμική κλίμακα στον x άξονα. Υπενθύμιση: logx y logx logy Απόκριση Συχνότητας 3 Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙΙΙ Κέρδος (db ιάγραμμα Bode Κέρδους Η συχνότητα = Ζ i ονομάζεται συχνότητα γονάτου Στη συχνότητα αυτή εμφανίζεται η μέγιστη απόκλιση από την πραγματική καμπύλη πραγματική απόκριση συχνότητας κλίση 0dB/dec 0log 0 Z i Zi db 3 0log 0 Z i db Z i 00 Z i 0 Z i 0 Zi 00 Zi δεκάδα decade (log Κέρδος (db κλίση 0dB/dec Όταν Ζ i =0 η γραφική τέμνει τον άξονα 0dB στο =. 0 db (log 0 00 0 3 0 4 Απόκριση Συχνότητας 4
Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙV γ Οι όροι (jρ i db =0log 0 (jρ i μπορούν να αναλυθούν ς ακολούθς: i. Για <<Ρ i ο όρος jρ i μπορεί να αντικατασταθεί με το Ρ i με αποτέλεσμα για αυτές τις τιμές του η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 Ρ i. ii. Για >>Ρ i οόρος jρ i μπορεί να αντικατασταθεί με j, που απλά είναι το. Συνεπώςγιααυτέςτιςτιμέςτουηγραφικήαπόδοσηείναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec (λογαριθμική κλίμακα στον x άξονα. Απόκριση Συχνότητας 5 Διαγράμματα Bode Κέρδους (V Κέρδος (db Pi db P i db 3 P i 00 P i 0 Pi 0 Pi 00 Pi -0log 0 (log -0log 0 Ρ i πραγματική απόκριση συχνότητας κλίση 0dB/dec Η συχνότητα = Ρ i είναι η συχνότητα γονάτου ιάγραμμα Bode Κέρδους Απόκριση Συχνότητας 6 3
Διαγράμματα Bode Φάσης (Ι Έστ και πάλι η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς: T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P ( Αντικαθιστούμε το s με το j : (j Z (j Z (j Z T(j (j P (j P (j P Η φάση θα δίνεται από τη σχέση: T(j ta ta i Zi i Pi Απόκριση Συχνότητας 7 Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙΙ Η στρατηγική για τη σχεδίαση τν διαγραμμάτν Bode της φάσης (Τ(j βασίζεται και πάλι στη σχεδίαση ξεχριστά κάθε όρου στο δεξί μέρος της εξίσσης και την εν συνεχεία υπέρθεση τν γραφημάτν ώστε να προκύψει το διάγραμμα: α Αρχικά επισημαίνετε ότι ο όρος α δεν επηρεάζει το διάγραμμα. β Οι όροι (jζ i μπορούν να αναλυθούν ς ακολούθς: i. Για < Ζ i /0, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0deg. ii. Για Ζ i /0<<0 Ζ i, η γραφική απόδοση είναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 45deg/dec (log κλίμακα στον x άξονα. iii. Για >0 Ζ i, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 90 deg. Απόκριση Συχνότητας 8 4
Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙIΙ Ι Φάση (deg ιάγραμμα Bode Φάσης 90 ο 45 ο 0 ο 5.7 ο Z i 00 πραγματική φασική απόκριση συχνότητας Z i 0 Z i κλίση 45 ο /dec 5.7 ο 0 Zi 00 Zi Η μέγιστη απόκλιση του διαγράμματος από την πραγματική καμπύλη, στις συχνότητες Z i /0 και 0 Z i, είναι ίση με 5.7 ο. (log Φάση (deg o 90 o 45 Όταν Ζ i =0 η γραφική είναι παράλληλη στον x άξονα στις 90 ο. o 0 0 00 0 3 0 4 0 5 (log Απόκριση Συχνότητας 9 Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙV γ Οι όροι (jp i μπορούν να αναλυθούν ς ακολούθς: i. Για < P i /0, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ρζ ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0deg. ii. Για P i /0<<0 P i, η γραφική απόδοση είναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 45deg/dec (log κλίμακα στον x άξονα. iii. Για >0 P i, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 90 deg. Απόκριση Συχνότητας 30 5
Διαγράμματα Bode Φάσης (V Φάση (deg P i 0 ο 00 57 5.7 ο P i 0 Pi 0 Pi 00 Pi (log 45 ο κλίση 45 ο /dec 90 ο πραγματική φασική απόκριση συχνότητας 5.7 ο ιάγραμμα Bode Φάσης Η μέγιστη απόκλιση του διαγράμματος από την πραγματική καμπύλη, στις συχνότητες P i /0 και 0 P i, είναι ίση με 5.7 ο. Απόκριση Συχνότητας 3 Παράδειγμα 4(Ι Έστ κύκλμα με συνάρτηση μεταφοράς τάσης Τ(s: s T(s 0 5 ( s/0 ( s/0 να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά και να σχεδιαστεί το κέρδος και η φάση ς προς τη συχνότητα. Υπάρχει ένα μηδενικό στο s=0. Οι πόλοι είναι στο s=0 rad/sec και στο s= 0 5 rad/sec. Απόκριση Συχνότητας 3 6
Κέρδος (db ιάγραμμα Bode Κέρδους Παράδειγμα 4(ΙΙ Το σχήμα δείχνει τα ασυμπττικά διαγράμματα Bode κέρδους για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. ( ( Ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec που αντιστοιχεί 60 (5 στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 40 πόλο s= 0 και αποτελείται από δύο ασύμπττες που 0 (4 τέμνονται στο =0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 5 και αποτελείται 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 (log από δύο ασύμπττες που τέμνονται στο =0 5. 0 ( (3 (4 Οριζόντια ευθεία για την πολλαπλασιαστική σταθερά 40 0. (5 Με υπέρθεση (πρόσθεση τν τεσσάρν καμπυλών έχουμε το ασυμπττικό διάγραμμα Bode για το κέρδος του ενισχυτή. Απόκριση Συχνότητας 33 Φάση (deg 90 ο Παράδειγμα 4(ΙIΙ Ι ιάγραμμα Bode Φάσης ( Το σχήμα δείχνει τα ασυμπττικά διαγράμματα Bode φάσης για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. 45 ο (4 0 ο 3 4 0 5 0 0 0 0 0 6 7 8 0 0 0 45 ο φ3 ta 5 0 ( (3 90 ο φ ta 0 (log ( Οριζόντια γραμμή στις 90 ο που αντιστοιχεί στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 5. (4 Με υπέρθεση (πρόσθεση τν τριών καμπυλών έχουμε το ασυμπττικό διάγραμμα Bode γιατηφάσητουενισχυτή. ed Απόκριση Συχνότητας 34 7
Παράδειγμα 5 (Ι Έστ κύκλμα με συνάρτηση μεταφοράς τάσης Τ(s: T(s 0 9 (0 s (0 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση μεταφοράς. Εν συνεχεία, να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά και να σχεδιαστεί το κέρδος και η φάση ς προς τη συχνότητα. Απλοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς: 3 s s (0 4 s s T(s 0 3 4 ( s/0 ( s/0 ( s/0 Υπάρχει ένα μηδενικό στο s=0. Οι πόλοι είναι: s= 0rad/sec, s= 0 3 rad/sec και s= 0 4 rad/sec. Απόκριση Συχνότητας 35 Παράδειγμα 5 (ΙΙ Γράφουμε τα ασυμπττικά διαγράμματα Bode κέρδους για Κέρδος (db τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. ( Ευθεία γραμμή με κλίση 60 ιάγραμμα Bode Κέρδους 0dB/dec που αντιστοιχεί ( στο μηδενικό s=0. 40 (6 ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 και αποτελείται 0 (5 από δύο ασύμπττες που τέμνονται στο =0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 3 4 5 7 8 0 (log πόλο s= 0 0 0 0 0 0 0 0 3 και αποτελείται από δύο ασύμπττες που 0 τέμνονται στο =0 3. ( (3 (4 (4 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 40 πόλο s= 0 4 και αποτελείται από δύο ασύμπττες που 60 τέμνονται στο =0 4. 0 6 (6 Με υπέρθεση (πρόσθεση τν πέντε καμπυλών έχουμε το ασυμπττικό διάγραμμα Bode για το κέρδος του ενισχυτή. (5 Οριζόντια ευθεία για την πολλαπλασιαστική σταθερά 0. Απόκριση Συχνότητας 36 8
Φάση (deg Παράδειγμα 5 (ΙIΙ Ι ιάγραμμα Bode Φάσης 90 ο ( 45 ο (5 0 ο 3 4 0 5 0 0 0 0 0 0 6 45 ο 90 ο φ ta 35 ο 80 ο ( (3 0 φ ta 3 0 3 Γράφουμε τα ασυμπττικά διαγράμματα Bode φάσης για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. (4 4 7 0 φ ta 8 0 4 0 (log ( Οριζόντια γραμμή στις 90 ο που αντιστοιχεί στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 3. (4 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 4. (5 Με υπέρθεση (πρόσθεση τν τριών καμπυλών έχουμε το ασυμπττικό διάγραμμα Bode γιατηφάσητουενισχυτή. ed Απόκριση Συχνότητας 37 Συνάρτηση Μεταφοράς Ενισχυτή (Ι A (db Απόκριση Συχνότητας 3 db A (db Κέρδος Μέσης Ζώνης Εύρος Ζώνης: BW = Η L Η 3 db L << Η A o A Μ Ενισχυτής dc Η L Η Συνάρτηση Κέρδους Α(s: Χρητικά συζευγμένος ενισχυτής Γινόμενο Κέρδους Εύρους Ζώνης: GBW = A M Η Αποτελεί μέτρο αξιολόγησης τν ενισχυτών. Είναι εφικτό να ανταλλάξουμε κέρδος για εύρος ζώνης. Α(s = Α M. F L (s. F H (s Οι συναρτήσεις F L (s και F H (s εκφράζουν την εξάρτηση του κέρδους από τη συχνότητα στη ζώνη τν χαμηλών και υψηλών συχνοτήτν αντίστοιχα. Ισχύει ότι F L (s για >> L και F H (s για << H. Συνεπώς: Α(s Α M όταν L << << Η Καθορισμός κέρδους μέσης ζώνης Α Μ με ανάλυση του ισοδύναμου κυκλώματος του ενισχυτή, θερώντας ότι οι πυκντές ζεύξης και παράκαμψης λειτουργούν ς τέλεια βραχυκυκλώματα και ότι οι εστερικές χρητικότητες τν κυκλματικών στοιχείν (π.χ. τρανζίστορ λειτουργούν ς τέλεια ανοικτοκυκλώματα. Απόκριση Συχνότητας 38 9
Συνάρτηση Μεταφοράς Ενισχυτή (ΙΙ Συνάρτηση Κέρδους Α(s στη ζώνη χαμηλών συχνοτήτν: Α L (s Α M. F L (s Καθορισμός κέρδους με ανάλυση του ισοδύναμου κυκλώματος του ενισχυτή, λαμβάνοντας υπόψιν τους πυκντές ζεύξης και παράκαμψης και θερώντας ότι οι εστερικές χρητικότητες τν κυκλματικών στοιχείν (π.χ. τρανζίστορ λειτουργούν ς τέλεια ανοικτοκυκλώματα. Συνάρτηση Κέρδους Α(s στη ζώνη υψηλών συχνοτήτν: Α Η (s Α M. F Η (s Καθορισμός κέρδους με ανάλυση του ισοδύναμου κυκλώματος του ενισχυτή, θερώντας ότι οι πυκντές ζεύξης και παράκαμψης λειτουργούν ς τέλεια βραχυκυκλώματα και λαμβάνοντας υπόψιν τις χρητικότητες τν κυκλματικών στοιχείν (π.χ. τρανζίστορ. Απόκριση Συχνότητας 39 Απόκριση Χαμηλών Συχνοτήτν (I Γενική μορφή συνάρτησης απόκρισης στη ζώνη χαμηλών συχνοτήτν: (s FL (s ( s (s (s (s (s Ζ Ζ ΖL ( P P PL Pj >0 Για s >> (πρακτικά s=j >> j L ισχύει ότι F L (s. Προσέγγιση επικρατούντος πόλου χαμηλών συχνοτήτν: Πολλές φορές τα μηδενικά Zi είναι σε πολύ χαμηλότερες συχνότητες από την L και έχουν πολύ μικρή σημασία στον καθορισμό της. Επιπρόσθετα, συνήθς υπάρχει ένας πόλος (έστ ο P ο οποίος είναι σε πολύ μεγαλύτερη συχνότητα από όλους του άλλους πόλους. Έτσι για συχνότητες κοντά στη μέση ζώνη, η F L (s μπορεί να γραφεί: s FL (s s P Συνάρτηση μεταφοράς υψιπερατού δικτύου πρώτης τάξης Σε αυτή την περίπτση ισχύει: L P Η προσέγγιση είναι αποδεκτή αν ο πόλος υψηλών συχνοτήτν απέχει από πλησιέστερο μηδενικό τουλάχιστον οκτάβες. Απόκριση Συχνότητας 40 0
Απόκριση Χαμηλών Συχνοτήτν (II Μη ύπαρξη επικρατούντος πόλου χαμηλών συχνοτήτν Προσέγγιση: Αν δεν υπάρχει ένας επικρατών πόλος τότε μπορεί να γίνει χρήση της προσέγγισης που ακολουθεί για την εύρεση της L ς συνάρτηση τν πόλν και τν μηδενικών. Για απλότητα θα θερήσουμε κύκλμα με δύο πόλους και δύο μηδενικά και θα γενικεύσουμε για οποιουσδήποτε αριθμούς πόλν και μηδενικών. (s FL (s (s P (s (s P F (j L ( ( P ( ( Ισχύει εξ ορισμού ότι στη συχνότητα 3dB = L και F L =/. Συνεπώς: L L ( ( Z P L L ( ( Z P s=j P L > ( Ζ, Ζ, Ρ, Ρ (/ L 4 << 4 / L Z Z / L Z Z 4 / L P P / L P P L P P Z Z Απόκριση Συχνότητας 4 Παράδειγμα 6 Η απόκριση χαμηλών συχνοτήτν ενισχυτή έχει συνάρτηση μεταφοράς: s (s 0 F L (s (s 00 (s 5 Καθώς ο πόλος s= 00 είναι δύο οκτάβες ψηλότερα από τον δεύτερο πόλο και μία δεκάδα υψηλότερα από το μηδενικό, εφαρμόζοντας την προσέγγιση του επικρατούντος πόλου προκύπτει L 00 rad/s /s. F L (j db Απόκριση Συχνότητας Μέτρου 0 3 0 0 Διάγραμμα Bode Εφαρμόζοντας τη δεύτερη προσέγγιση: L 0 4 5 0 0rad/s 30 40 Αναλυτικά: L 05rad/s 5 0 5 50 00 (log rad/sec ed Απόκριση Συχνότητας 4
Απόκριση Υψηλών Συχνοτήτν (Ι Γενική μορφή συνάρτησης απόκρισης στη ζώνη υψηλών συχνοτήτν: ( s/ FH (s ( s/ ( s/ ( s/ ( s/ ( s/ Ζ Ζ ΖH ( P P PH Pj >0 Για s << (πρακτικά s=j << j H ισχύει ότι F Η (s. Προσέγγιση επικρατούντος πόλου υψηλών συχνοτήτν: Πολλές φορές τα μηδενικά Zi είναι σε πολύ υψηλότερες συχνότητες από την Η και έχουν πολύ μικρή σημασία στον καθορισμό της. Επιπρόσθετα, συνήθς υπάρχει ένας πόλος (έστ ο P ο οποίος είναι σε πολύ μικρότερη συχνότητα από όλους του άλλους πόλους. Έτσι για συχνότητες κοντά στη μέση ζώνη, η F H (s μπορεί να γραφεί: Σε αυτή την περίπτση ισχύει: Η P FH (s s/ P Συνάρτηση μεταφοράς βαθυπερατού δικτύου πρώτης τάξης Απόκριση Συχνότητας 43 Απόκριση Υψηλών Συχνοτήτν (II Μη ύπαρξη επικρατούντος πόλου υψηλών συχνοτήτν Προσέγγιση: Αν δεν υπάρχει ένας επικρατών πόλος τότε μπορεί να γίνει χρήση της προσέγγισης που ακολουθεί για την εύρεση της Η ς συνάρτηση ρη ητν πόλν και τν μηδενικών. Για απλότητα θα θερήσουμε κύκλμα με δύο πόλους και δύο μηδενικά και θα γενικεύσουμε για οποιουσδήποτε αριθμούς πόλν και μηδενικών. Ισχύει εξ ορισμού ότι στη συχνότητα 3dB = Η και F Η =/. Συνεπώς: H H Z P ( / ( / ( ( ( s/ FH (s ( s/ H H / / Z P P ( s/ ( s/ P Η <( Ζ, Ζ, Ρ, Ρ (/ Ζ (/ Ζ << και (/ Ρ (/ Ρ << 4 H / Z / Z H / Z Z 4 H / P / P H / P P H P P Z Z Απόκριση Συχνότητας 44
Παράδειγμα 7 Η απόκριση υψηλών συχνοτήτν ενισχυτή έχει συνάρτηση μεταφοράς: s/0 FH (s 4 4 ( s/0 ( s/40 5 Καθώς ο πόλος s= 0 4 είναι δύο οκτάβες χαμηλότερα από τον δεύτερο πόλο και μία δεκάδα χαμηλότερα από το μηδενικό, εφαρμόζοντας την προσέγγιση του επικρατούντος πόλου προκύπτει Η 0 4 rad/s. F L (j db Απόκριση Συχνότητας Μέτρου 0 3 0 0 Διάγραμμα Bode Εφαρμόζοντας τη δεύτερη προσέγγιση: H 8 8 0 6 0 0 0 9800rad/s 30 40 Αναλυτικά: H 9537rad/s 0 4 4x0 4 0 5 (log rad/sec ed Απόκριση Συχνότητας 45 Γενίκευση Απόκρισης Συχνοτήτν Μη ύπαρξη επικρατούντν πόλν υψηλών & χαμηλών συχνοτήτν Προσέγγιση Έστ κύκλμα με πόλους και μηδενικά. Η χαμηλή συχνότητα αποκοπής (3db θα είναι: L P Z Η υψηλή συχνότητα αποκοπής (3db θα είναι: H P Z Απόκριση Συχνότητας 46 3