Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων µε πλήθος εφαρµογών στην φυσική, στην µηχανική και σε άλλες επιστήµες. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών, διατυπώνοντας και αναλύοντας τα κύρια βήµατα και βασικά χαρακτηριστικά της µεθόδου σε σχέση µε την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν προβλήµατα οριακών τιµών. Η συγκεκριµένη επιλογή είναι εκπαιδευτικά σκόπιµη, αφού πρόκειται για την απλούστερη ίσως εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Στο σηµείο αυτό είναι σκόπιµο να δώσουµε µία πρώτη σύντοµη και γενική περιγραφή της µεθόδου που ισχύει για συνήθεις και µερικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ στη συνέχεια θα επικεντρωθούµε µόνο σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Το συνεχές πεδίο ορισµού, όπου ορίζεται η διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων D, όπου το Ω είναι υποσύνολο του ( D D ) και παράλληλα το όριο του πεδίου ορισµού αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων Ω D που µπορεί να ανήκουν ή και να µην ανήκουν στο +Ω. Το νέο πεδίο ορισµού του προβλήµατος ονοµάζεται υπολογιστικό πλέγµα, δοµικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σηµεία που ονοµάζονται κόµβοι. Για κάθε σηµείο (κόµβο) P του D, διατυπώνεται µια αλγεβρική εξίσωση που περιλαµβάνει την τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο P και σε γειτονικά σηµεία του P εντός των D και Ω D. Η

αλγεβρική εξίσωση ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών και αποτελεί προσέγγιση της µερικής διαφορικής εξίσωσης στο σηµείο P. Η συστηµατική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται µέσω της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Εάν υπάρχουν N σηµεία στο προκύπτει ένα σύστηµα N αλγεβρικών εξισώσεων µε D αγνώστους. Εάν το σύστηµα έχει µοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση µε αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάµεσα στην υπολογιστική (αριθµητική) και πραγµατική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριµένη µεθοδολογία πεπερασµένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται µελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθµητικού σχήµατος. Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισµού της µε ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών που ορίζονται στους κόµβους του υπολογιστικού πλέγµατος ονοµάζεται διακριτοποίηση. N. Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών Η διαδικασία της διακριτοποίησης όπως ορίσθηκε στην εισαγωγή του κεφαλαίου προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτηµένης µεταβλητής και των παραγώγων της στους κόµβους του πλέγµατος. Ειδικά, η προσέγγιση των παραγώγων σε κάθε κόµβο του πλέγµατος προϋποθέτει την διατύπωση εκφράσεων που προσεγγίζουν την παράγωγο µε τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στον συγκεκριµένο και γειτονικούς κόµβους. Οι εκφράσεις αυτές ονοµάζονται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και προκύπτουν µε δύο κυρίως τρόπους: τη σειρά Taylor και την πολυωνυµική παρεµβολή.

.. Σειρά Taylor Θεωρώντας ότι η συνάρτηση ( ) είναι αναλυτική, η ( + ) αναπτύσσεται σε σειρά Taylor ( ) ( ) + = + + + + +!! όπου το υπόλοιπο n = + n! είναι τάξης παράγωγο προκύπτει n ( ξ ) n n n δηλαδή n O( ), (..) 0< ξ < (..) =. Λύνοντας ως προς την πρώτη και απαλείφοντας όρους τάξης ίσης ή µεγαλύτερης του δύο ( + ) ( ) = O( ) +. (..) Η εξίσωση (..) αποτελεί µία έκφραση πεπερασµένων διαφορών, δηλαδή µια προσεγγιστική αλγεβρική έκφραση της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης ως προς. Ονοµάζεται κατάντη ή πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά πρώτης τάξης, αφού η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της στο σηµείο και στο σηµείο έπεται του σηµείου είναι ανάλογο της απόστασης + που και είναι πρώτης τάξης αφού το σφάλµα αποκοπής. Θεωρώντας στη συνέχεια το ανάπτυγµα Taylor της ( ) ( ) ( ) = + + +!! όπου το n έχουµε, (..4) n δίδεται από την (..). Λύνοντας και πάλι ως προς προκύπτει η ανάντη ή ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών πρώτης τάξης ( ) ( ) = O( ) +. (..5)

Τώρα, η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της και στο σηµείο που προηγείται του σηµείου απεικόνιση των (..) και (..5) φαίνεται στο Σχήµα.. στο σηµείο. Η γραφική Σηµειώνεται ότι µε κατάλληλη αλγεβρική επεξεργασία των αναπτυγµάτων Taylor προκύπτουν διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την πρώτη παράγωγο της ως προς. Για παράδειγµα, αφαιρώντας τα αναπτύγµατα Taylor (..) και (..4) και λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει ως προς την πρώτη παράγωγο οδηγούµεθα στην κεντρώα σχέση πεπερασµένων διαφορών ( + ) ( ) = ( ) + O. (..6) Παρατηρούµε ότι το σφάλµα αποκοπής στην έκφραση (..6) είναι ης τάξης που σηµαίνει ότι η ακρίβεια της προσέγγισης της σε σχέση µε την ακρίβεια των εκφράσεων (..) και (..5). είναι καλύτερη A ω A ω + - Σχήµα.: Γραφική απεικόνιση πρόδροµης (αριστερά) και ανάδροµης (δεξιά) προσέγγισης της παραγώγου στο σηµείο A. Η προσέγγιση παραγώγων υψηλότερης τάξης γίνεται µε αντίστοιχη µεθοδολογία. Για παράδειγµα, προσθέτοντας τα αναπτύγµατα (..) και (..4) και διατηρώντας όρους µέχρι και τέταρτης τάξης προκύπτει η κεντρώα πεπερασµένη διαφορά για την δεύτερη παράγωγο 4

( + ) ( ) + ( ) = ( ) + O. (..7) Επίσης συνδυάζοντας τα αναπτύγµατα (..) και (..4) µε τα αναπτύγµατα ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ± + ± + +!! n (..8) διατυπώνονται οι κατάντη και ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την δεύτερη παράγωγο και ( + ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + O. (..9) ( ) + O (..0) αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι θεωρώντας περισσότερους όρους στα αναπτύγµατα Taylor η ακρίβεια των προσεγγιστικών εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών βελτιώνεται αντίστοιχα. Επίσης τονίζεται ότι η χρήση κατάντη ή ανάντη ή κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών εξαρτάται άµεσα µε τη φυσική και τον τύπο του προβλήµατος που εξετάζεται. Στη περίπτωση των µερικών διαφορικών εξισώσεων, η προσέγγιση των µερικών παραγώγων γίνεται µε ανάλογο τρόπο µε βάση τη σειρά Taylor δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών. Στην περίπτωση των δυο µεταβλητών η σειρά Taylor είναι ( +, y+ y) = (, y) + + y ( y) + y, + + y (, y) + +! y n + + y (, y) + ( n! ) y όπου το υπόλοιπο n (..) 5

n n = y ( ξ, y η ) n! + + + y y, 0 < ξ, η <. (..) Το σφάλµα αποκοπής είναι τάξης n n, δηλαδή n = O( + y ). Έστω ότι ζητείται µια έκφραση πεπερασµένων διαφορών της µικτής παραγωγού y. Προσθαφαιρώντας κατάλληλα τα τέσσερα αναπτύγµατα Taylor ( ± y, ± y) = y (, ) + ± ± y y (, ) + y + ± ± y y + ± ± y y! y! y + ± ± y y 4! y 4 (, ) (, ) (, ) + (..) προκύπτει η κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης για τη µικτή παράγωγο y = ( +, y+ y) (, y+ y) 4 y (, ) (, ) ( ) + y y + y y + O + y (..4) Τις περισσότερες φορές οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι ανάντη, κατάντη και κεντρώες, ακριβείας ης και ης τάξης. Σε όλες τις περιπτώσεις οι παράγωγοι της εξαρτηµένης µεταβλητής σε ένα σηµείο διατυπώνονται σε σχέση µε τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο αυτό και στα αµέσως γειτονικά του. Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών υψηλότερης ακρίβειας είναι αναγκαίες σε εξειδικευµένα προβλήµατα και απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αφού εµπλέκονται περισσότερα σηµεία και εποµένως περισσότερες αριθµητικές πράξεις. Ακολουθεί ενδεικτικός πίνακας µε εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών ης και 4 ης τάξης που προσεγγίζουν µερικές παραγώγους ης, ης, ης και 4 ης τάξης. Για λόγους συντοµίας εισάγονται οι συµβολισµοί (, ) =, και ( ), y ± m, y± n y = ± m ± nµε = y= h. 6

Πίνακας.: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών µε περισσότερα από τρία σηµεία. Παράγωγος 4 4,,,,,,,, Έκφραση πεπερασµένων διαφορών h h 4 ( +, + 8+, 8, +, ) + O( h ) ( +, + 4+, 5+, +, ) + O( h ) 5 4 h h h h (,, +,, ) + O( h ) 4 ( +, + 6+, 0, + 6,, ) + O( h ) ( +, +, +,, ) + O( h ) ( + 4, + 4+, 4+, + 8+, 5, ) + O( h ) 5 8 4 4 h 4 h (,, +,, + 4, ) + O( h ) ( +, 4+, + 6, 4, +, ) + O( h ) Επίσης στον Πίνακα. παρατίθενται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την µικτή παράγωγο y για y. Πίνακας.: Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την µικτή παράγωγο. y Παράγωγος y y,, Έκφραση πεπερασµένων διαφορών +, +,,, + O y y y (, ),,, +, + O y y y (, ) 7

y y y y y y y,,,,,,,,,, +, + O y y y (, ) +, +,, +, + O y y y (, ) + O y y y (, ) +, + +,, +, + O y y y (, ), +,, +, +, + +,, +, + O y y y (, ) +, +,,, + O y y y (, ) + O y y y (, ) +, + +,, +,.. Πολυώνυµα παρεµβολής Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης παραγώγων είναι η παρεµβολή της συνάρτησης µε ένα πολυώνυµο. Οι συντελεστές του πολυωνύµου υπολογίζονται από τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής σε επιλεγµένα σηµεία. Ο βαθµός του πολυωνύµου παρεµβολής αντιστοιχεί στην τάξη της ακριβείας της έκφρασης πεπερασµένων διαφορών. Θεωρώντας, για παράδειγµα, ένα πολυώνυµο παρεµβολής ου βαθµού µπορούµε να προσεγγίσουµε τοπικά την άγνωστη συνάρτηση ( ) µε τη σχέση ( ) = A + B + C. (..5) Για τον υπολογισµό των αγνώστων συντελεστών του πολυωνύµου, επιλέγουµε τρία γειτονικά ισαπέχοντα σηµεία, + και +, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να είναι στο σηµείο (βλέπε Σχήµα.). Για συντοµία τα τρία σηµεία, που βρίσκονται στις θέσεις, =, συµβολίζονται µε, + και +. Εποµένως έχουµε + και 8

( ) = = A + B + C (..6α) ( ) = = A + B + C (..6β) + + + + ( ) = = A + B + C (..6γ) + + + Στις εξισώσεις (..6) αντικαθιστούµε τις τιµές 0 + =, + = και = και λύνοντας στη συνέχεια το σύστηµα των τριών εξισώσεων που προκύπτει ως προς τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύµου βρίσκουµε C = (..7α) + + 4+ B = A = + + + (..7β) (..7γ) + - + - + + - - Σχήµα.: Γραφική απεικόνιση πολυωνυµικής παρεµβολής για πρόδροµη (αριστερά) και ανάδροµη (δεξιά) προσέγγιση των παραγώγων. Παίρνοντας τη παράγωγο του πολυώνυµο (..5) ως προς προκύπτει η παράγωγος = A+B (..8) 9

και αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις εκφράσεις (..7β) και (..7γ) για τους συντελεστές A και B αντίστοιχα βρίσκουµε ότι στο σηµείο = 0, η παράγωγος είναι + + 4+ = B=. (..9) Πρόκειται για µια κατάντη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης. Παίρνοντας τη παράγωγο της εξίσωσης (..8) άλλη µια φορά προκύπτει ότι η δεύτερη παράγωγος στο σηµείο = 0 είναι = = + + + A. (..0) Τονίζεται ότι οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών (..9) και (..0) µπορούν να διατυπωθούν επίσης χρησιµοποιώντας την µεθοδολογία που βασίζεται στο ανάπτυγµα Taylor. Ανάντη εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών, µε τη µεθοδολογία των πολυωνύµων παρεµβολής, προκύπτουν αρκετά εύκολα επιλέγοντας τα σηµεία, και (ή, και ) και θέτοντας το σηµείο στην αρχή των αξόνων (βλέπε Σχήµα.). Ανάλογα πράττουµε και στη περίπτωση κεντρώων εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών. Τώρα τα τρία σηµεία παρεµβολής είναι τα, ± µε την αρχή των αξόνων να ορίζεται και πάλι στο σηµείο. Το κύριο πλεονέκτηµα της πολυωνυµικής παρεµβολής είναι ότι εφαρµόζεται ευκολότερα όταν τα σηµεία δεν ισαπέχουν µεταξύ τους.. Προβλήµατα δύο οριακών τιµών Ο αριθµός προβληµάτων οριακών τιµών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα µεγάλος. Στις περιπτώσεις αυτές, και σε αντίθεση µε ότι συµβαίνει στα προβλήµατα αρχικών τιµών, οι συνθήκες 0

του προβλήµατος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής. Για τον συγκεκριµένο λόγο, τα προβλήµατα αυτά είναι γνωστά στη βιβλιογραφία σαν προβλήµατα δύο οριακών τιµών. Μερικά κλασσικά παραδείγµατα προβληµάτων δύο οριακών τιµών περιλαµβάνουν τη ροή Poselle ανάµεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό, το πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο και το πρόβληµα του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού. Η ροή Poselle ανάµεσα σε πλάκες περιγράφεται από την Σ Ε d d dp µ dy = dy d όπου 0 y L είναι η απόσταση ανάµεσα στις δύο πλάκες, (..) dp d είναι η = η κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση της ροής και ( y) άγνωστη κατανοµή της ταχύτητας. Οι οριακές συνθήκες µη ολίσθησης είναι ( ) ( L) 0 = = 0. Το πρόβληµα της ροής θερµότητας σε µονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται από την Σ Ε d dt k + h T T = d d όπου 0 L ( ) 0 είναι το µήκος της ράβδου, T T( ) (..) = η άγνωστη θερµοκρασιακή κατανοµή κατά µήκος της ράβδου, T η θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και και οι συντελεστές θερµικής αγωγής και συναγωγής αντίστοιχα. Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της ράβδου είναι θερµοκρασίες. T ( 0) = T L και T( L) T k h =, όπου T L και T είναι γνωστές Τέλος το πρόβληµα του λυγισµού λεπτής µονοδιάστατης δοκού, κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες και υποθέσεις περιγράφεται από την Σ Ε d f λ f 0 d + = (..)

όπου 0 L είναι το µήκος της δοκού και f f ( ) = η αποµάκρυνση (παραµόρφωση) από τη θέση ισορροπίας. Επίσης λ = P/ ( EI) είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο,, όπου E το µέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας. Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωµένα, προκύπτουν οι οριακές συνθήκες ( 0) ( ) f = f L = 0. Παρατηρούµε ότι το πρόβληµα του λυγισµού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριµένη περίπτωση, περιγράφεται από οµογενή διαφορική εξίσωση και οµογενείς οριακές συνθήκες. Εποµένως, σε αντίθεση µε τα δύο προηγούµενα προβλήµατα, είναι ένα πρόβληµα ιδιοτιµών τύπου Strm-Lovlle που µπορεί να λυθεί, όπως και τα δύο προηγούµενα κλασσικά προβλήµατα οριακών τιµών, µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. P Στα παραπάνω παραδείγµατα όταν οι συντελεστές των παραγώγων θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραµµικές και µπορούν να επιλυθούν αναλυτικά και αριθµητικά. Στη περίπτωση αυτή τα αριθµητικά αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να µελετήσουµε και να προσδιορίσουµε την ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής (άµεσα ή έµµεσα) τότε οι εξισώσεις είναι µη γραµµικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται µόνο αριθµητικά. Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά µε την ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Πρόκειται για ένα ιδιαίτερα σηµαντικό ζήτηµα που θα εξετασθεί συστηµατικά σε επόµενα κεφάλαια. Σηµειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιµο για τον µη µυηµένο αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήµατα δύο οριακών τιµών που περιγράφονται από γραµµικές και µη γραµµικές Σ Ε.

.4 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών Έχοντας πλέον µία σύντοµη περιγραφή των οριακών προβληµάτων δύο σηµείων και κυρίως γνωρίζοντας τις µεθοδολογίες διατύπωσης εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών για τις παραγώγους µιας συνάρτησης, µπορούµε να προχωρήσουµε στην περιγραφή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε Σ Ε. Θεωρούµε τη γραµµική Σ Ε ης τάξης στη γενική µορφή ( ) ( ) ( ) ( ) P y'' + Q y' + y+ S = 0 στο διάστηµα [, y y L L ] µε οριακές συνθήκες (.4.) = για = L και y= y για =. (.4.) Οριακές συνθήκες, όπως οι (.4.), που περιέχουν τιµές µόνο της εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονοµάζονται οριακές συνθήκες τύπου Drchlet και δύναται να είναι οµογενείς ή µη οµογενείς. Το πρώτο βήµα, στη εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών, είναι ο καθορισµός του υπολογιστικού πλέγµατος και των κόµβων. Το διάστηµα [, ] διαιρείται σε, όπως φαίνεται στο Σχήµα (.), L L N ίσα τµήµατα και το κάθε τµήµα έχει µήκος h =. Τα N σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τµήµατος ονοµάζονται κόµβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγµα προσδιορίζεται από τις σχέσεις L ( ) = + h =,, N +., (.4.) Είναι προφανές ότι = L και N+ =. Συνολικά, ορίζονται κόµβοι, εκ των οποίων οι N κόµβοι N +, =,,, N είναι εσωτερικοί κόµβοι, ενώ οι δύο κόµβοι και N + ταυτίζονται µε τα δύο όρια L και αντίστοιχα. Επίσης οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις ( ) y = y, =,, N +. (.4.4)

Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους είναι άγνωστες και αποτελούν το αντικείµενο της υπολογιστικής επίλυσης του προβλήµατος, ενώ οι αντίστοιχες τιµές στα όρια είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες (.4.). - + N- N N+ - + N- N N+ Σχήµα.: Το υπολογιστικό πλέγµα και οι κόµβοι του πλέγµατος. Το δεύτερο βήµα είναι η προσέγγιση της Σ Ε σε ένα τυχαίο εσωτερικό κόµβο, έστω { ( ) } ( ), του πλέγµατος. Η πράξη αυτή συµβολίζεται ως εξής: { } { ( ) } ( ) P y '' + Q y ' + y + S = 0 (.4.5) = = = = Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της Σ Ε προσεγγίζονται µε τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών ης τάξης y' και y'' = = y y h ( ) + = + O h (.4.6α) y+ y + y = +O ( h ) (.4.6β) h αντίστοιχα. Οι εκφράσεις (.4.6) αντικαθίστανται στη εξίσωση (.4.5) που γράφεται στη µορφή y+ y + y y+ y P + Q 0 + y + S = =,, N h h,. (.4.7) Οι δείκτες, και στις διάφορες ποσότητες συµβολίζουν τις ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόµβους. Σηµειώνεται ότι η εξίσωση (.4.8) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της εξίσωσης (.4.5) και το σφάλµα είναι + O( h ). Βλέπουµε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει για κάθε εσωτερικό κόµβο. Εποµένως µε βάση την εξίσωση (.4.7) δηµιουργείται ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων µε αγνώστους τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος. 4

Η εξίσωση (.4.7) ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (.4.7), την ξαναγράφουµε στη µορφή P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h + Εποµένως έχουµε =,, N, (.4.8) N αλγεβρικές εξισώσεις µε αγνώστους τις N τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής. Οι τιµές και που εµφανίζονται στην πρώτη (,,, N y y N + y y y = ) και τελευταία ( N = ) εξίσωση του συστήµατος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. Εποµένως, οι αντίστοιχοι όροι θα πρέπει να µετακινηθούν στην δεξιά πλευρά του συστήµατος µε αποτέλεσµα να έχουµε το σύστηµα: P P Q P Q y y S + + = y h h h h h P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h +, =,, N (.4.9α) (.4.9β) PN QN PN PN QN yn + N y N = SN + y + h h h h h N. (.4.9γ) Το τρίτο (και τελευταίο) βήµα είναι η επίλυση του συστήµατος (.4.9). Το σύστηµα έχει τριδιαγώνια µορφή και γνωρίζουµε, ότι στη περίπτωση αυτή, η πλέον αποτελεσµατική µέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθµος Thomas. Τονίζεται ότι η λύση του συστήµατος και ο υπολογισµός των αγνώστων y, y,, yn της αρχικής εξίσωσης (.4.) στα σηµεία αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης,,, N αριθµητική µέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθµός αυξάνει και το διάστηµα h 0. Λέµε ότι η των κόµβων, βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων σε σχέση µε τα αναλυτικά. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα αφού οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι ης N + τάξης, αναµένεται η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για h h 0 µικρές τιµές του διαστήµατος και ακόµα καλύτερα για. Είναι προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθµός των κόµβων αυξάνει παράλληλα ο 5

αριθµός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήµατος και βεβαίως το υπολογιστικό κόστος (µνήµη υπολογιστή και χρόνος υπολογισµών). Η επιλογή του κατάλληλου πλέγµατος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρµογή. Είναι όµως χρήσιµο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται δοκιµές µε διαφορετικά πλέγµατα ώστε να εξετάζεται η συµπεριφορά των αποτελεσµάτων για διαφορετικά h και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους. Όπως βλέπουµε το σύστηµα (.4.9) αλλά όπως θα δούµε και στη συνέχεια, ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστηµάτων που προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών, περιέχει πολλά µηδενικά στοιχεία και µόνο ένας µικρός αριθµός συντελεστών, σε σχέση µε τη τάξη του συστήµατος, είναι µη µηδενικοί. Εποµένως, πρόκειται για αραιούς πίνακες. Επίσης η απόλυτη τιµή των διαγωνίων στοιχείων είναι µεγαλύτερη ή ίση από το άθροισµα των απολύτων τιµών των υπολοίπων στοιχείων κάθε γραµµής. Άρα οι επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης συστηµάτων (Jacob, Gass-Sedel, SO) θα πρέπει να προτιµώνται αντί των άµεσων µεθόδων (απαλοιφή Gass, παραγοντοποίηση LU), εκτός βεβαίως αν πρόκειται για ειδικές µορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι συµµετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθµος Thomas και η µέθοδος Cholesky αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσµατικές µέθοδοι επίλυσης..5 Οριακές συνθήκες µε παραγώγους Αρκετά συχνά µία από τις δύο οριακές συνθήκες προσδιορίζει την τιµή της παραγώγου της εξαρτηµένης µεταβλητής (και όχι την ίδια την µεταβλητή) στο όριο αυτό. Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της Σ Ε (.4.) δίδονται από τις σχέσεις y y L = για = L και y Η οριακή συνθήκη στο όριο dy d = για =. (.5.) = ονοµάζεται οριακή συνθήκη τύπου Newmann και δύναται να είναι οµογενής ή µη οµογενής. Εποµένως, τώρα η τιµή y N + δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί µαζί µε τις 6

y y N + υπόλοιπες τιµές της. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τιµή είναι άγνωστη, η εξίσωση (.4.9γ), τροποποιείται και γράφεται στη µορφή PN QN PN PN QN yn + N y N + + y N+ = S N. (.5.) h h h h h Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί µία επιπλέον εξίσωση για τον κόµβο N +, ώστε ο αριθµός των εξισώσεων να ισούται µε τον αριθµό των αγνώστων. Αυτό επιτυγχάνεται µε δύο διαφορετικούς τρόπους: Ο πρώτος τρόπος εµπλέκει µόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο =. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την ανάδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης dy y y d h N + ( ) N+ N = + O h (.5.) και η οριακή συνθήκη στο όριο = αντικαθίσταται από την αλγεβρική έκφραση yn + yn+ = hy. (.5.4) Η εξίσωση (.5.4) είναι η επιπλέον εξίσωση που απαιτείται και µαζί µε τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β) και (.5.) αποτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων για τους N αγνώστους y, y,, y N + N. Η µεθοδολογία αυτή είναι απλή και το σύστηµα των αγνώστων παραµένει τριδιαγώνιο. Το µειονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (.5.4) για το κόµβο N + είναι ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόµβους είναι ης τάξης. υστυχώς η ακρίβεια του σχήµατος µειώνεται από δεύτερη σε πρώτη τάξη, αφού το σφάλµα στην τιµή y N + θα διαδοθεί και στις άλλες τιµές y. Ο δεύτερος τρόπος εµπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την Σ Ε στο =. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την κεντρώα έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης dy y y d N+ N = + O( h ) (.5.5) N + h 7

ή y = N y + + N hy. (.5.6) Ο όρος y N + αντιστοιχεί στο εικονικό κόµβο N + (βλέπε Σχήµα.4). N- N N+ N+ N- N N+ N+ Σχήµα.4: Οριακή συνθήκη µε παράγωγο - εικονικός κόµβος πλέγµατος. Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασµένων διαφορών (.4.7) εφαρµόζεται στον κόµβο N + και παίρνουµε την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών P Q P P Q y + y + + y = S h h h h h N+ N+ N+ N+ N+ N N+ N+ N+ N+. (.5.7) Συνδυάζοντας τις (.5.6) και (.5.7) προκύπτει, για το κόµβο N +, η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης PN+ PN+ PN+ y N + N+ y N+ = SN+ hy + h h h Q N +. (.5.8) h Τώρα το σύστηµα των εξισώσεων αποτελείται από τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β), (.5.) και (.5.8). Το σύστηµα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και επιλύεται µε τον αλγόριθµο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών και εποµένως ολόκληρου του αριθµητικού σχήµατος είναι ης τάξης. Τέλος σηµειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για προβλήµατα οριακών τιµών τόσο για συνήθεις όσο και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. 8