Prechodové deje Štúdium obvodu J. Kúdelík Elektrická energia môže by uložená v zariadenia nazývaných kondenzátory. Pomerne veké množstvo energie pomaly nabije kondenzátor, ktorý sa môže za vemi krátky as vybi, napr. kondenzátor pre fotoblesk. Najjednoduchší kondenzátor je pár rovinných dosiek oddelených malou vzdialenosou, prípadne vyplnený uritým dielektrikom. Náboj Q uložený na platniach je priamo úmerný potenciálovému rozdielu U cez kondenzátor: Q = C U (1) kde C je kapacita kondenzátora. Ak sú platne kondenzátora pripojené do obvodu s odporom R, zane tiec obvodom prúd a kondenzátor sa vybíja. Doteraz sme sa zaoberali elektrickými obvodmi, v ktorých sa prúd nemenil s asom. V prípade zapojenia kondenzátora už do jednoduchého elektrického obvodu sa situácia razantne zmení a pozorujeme prechodové javy týkajúce sa asovej zmeny elektrického prúdu teúceho v danom obvode (obr. 1). V prípade obvodu môžeme študova dva typy prechodových dejov: nabíjanie a vybíjanie kondenzátora. Obr. 1: obvod (a) a asové priebehy náboja a prúdu pre hodnoty R = 2 k, C = 1 µf a = 10 V. Malé trojuholníky oznaujú intervaly s džkou asovej konštanty =. (b) Priebeh náboja pri vybíjaní (krivka 1) a pri nabíjaní (krivka 2) kondenzátora. (c) Priebeh prúdu pri vybíjaní alebo nabíjaní. Najprv si preberieme matematicky jednoduchší prípad vybíjania kondenzátora v obvode zobrazenom na obr. 1. Nech na kondenzátore je poiatoný elektrický náboj Q 0, teda je nabitý na napätie U 0 = Q 0 / C. Pri zopnutí prepínaa S do polohy 2 sa zane kondenzátor vybíja cez rezistor a v elektrickom obvode bude tiec asovo premenný elektrický prúd I(t). Pri vybíjaní sa vlastne premiea elektrická energia akumulovaná v kondenzátore na tepelnú energiu spotrebovanú v rezistore. Základná rovnica, popisujúca tento dej sa dá vyjadri pomocou II. Kirchhoffovho zákona nasledovne 0 = u R(t) + u C(t) =R I(t) + Q(t) / C (2).
Ak v predošlej rovnici vyjadríme prúd v obvode ako I(t)=dQ(t)/dt dostaneme diferenciálnu rovnicu popisujúcu asovú zmenu náboja Q(t) kondenzátora v nasledovnom tvare: ( ) Q( t) d Q t 0 = R + (3). d t C Keže sa jedná o diferenciálnu rovnicu so separovatenými premennými, pri jej riešení budeme d Q( t) d t postupova nasledovne. Najprv si separujeme premenné, priom dostaneme: =. Takto Q( t) získanú rovnicu integrujeme, ím dostaneme ( ) t d Q dτ = R Q Q t Q 0 0 ln ( ) Q t Q0 = t (4) Po jednoduchej úprave dostávame riešenie rovnice (3) v tvare Q(t) = Q 0 exp{- t } (5). Ako vidíme, náboj na kondenzátore exponenciálne klesá (obr. 1b (krivka 1)) s asovou konštantou = R C. Ak uplynie as t =, náboj na kondenzátore poklesne o 1/e na hodnotu Q() = 0,632 Q 0. Prechodový stav pri vybíjaní kondenzátora skoní približne za as 3, kedy náboj na kondenzátore takmer zanikne (5 % pôvodného náboja). Priebeh prúdu získame asovou deriváciou náboja I ( t) ( ) d Q t Q = = 0 t U t exp = 0 exp d t R C R (6) Ak predošlú rovnicu prenásobíme odporom R dostaneme priebeh napätia na kondenzátore poas procesu jeho vybíjania o sa dá popísa funkciou: U t = U 0 exp (7) Potenciálový rozdiel na kondenzátore sa mení tiež exponenciálne s asom. Napätie sa zmení o 1/e za as ( ) 1, ktorá aj asovou konštantou obvodu. Obr. 2 Schéma nabíjania kondenzátora.
V druhom prípade budeme študova nabíjanie kondenzátora v zapojení poda obrázku 2 (Obr. 1, prepína v polohe 1). Ak v ase t 0 = 0 s zopneme prepína, tak obvodom zane preteka elektrický prúd I(t) a pre daný obvod môžeme zase písa II. Kirchhoffov zákon nasledovne U = R I(t) + Q(t) / C (8). Ak si zase vyjadríme prúd ako asovú zmenu náboja (vi predošlé riešenie (3)), dostaneme nasledovnú diferenciálnu rovnicu popisujúcu proces nabíjania kondenzátora v tvare ( ) Q( t) d Q t ε = R + (9). d t C V tomto prípade sa jedná o lineárnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešenie s poiatonou podmienkou: Q(t 0 ) = 0 C je Q(t) = C U 0 (1 -exp{- t }) (10). Náboj na kondenzátore v tomto prípade exponenciálne narastá (obr. 1b (krivka 2)). asový priebeh prúdu v skúmanom obvode dostaneme opä derivovaním náboja Q(t) poda asu a má tvar ( ) d Q t t I( t) = = I0 exp (11). d t Poiatoná hodnota prúdu je I 0 = U 0 / R a exponenciálne klesá k nule (obr. 1(c)), ako sa kondenzátor nabíja. Z tejto poiatonej hodnoty prúdu môžeme tiež usúdi, že v okamihu t 0 = 0 s sa kondenzátor správa ako vodi so zanedbateným odporom. Proces nabíjania kondenzátora sa dá popísa funkciou: U t = U 0 1 exp (12)
Postup merania Úlohy 1. Uri konštantu z procesu nabíjania kondenzátora 2. Študova priebeh vybíjania kondenzátora 3. Preštudova napäový impulz V rámci všetkých úloh budeme tiež sledova vplyv zmeny hodnoty kapacity a odporu v našich elektrických obvodoch. Poznámka: Hodnoty odporov a kondenzátorov sú len približné s uritou toleranciou. Ako to vplýva na výsledok? Materiál Poíta s programom Coach6 Interface (CoachLab II alebo EuroLab, Senzor napätia a zdroj napätia) Zapájacia doska, vodie Kondenzátory (100 µf a 10 µf) Odpory (10 kω a 22 kω)
Úloha. 1: Uri konštantu z procesu nabíjania kondenzátora Nájdite asovú konštantu obvodu. (Táto hodnota je súin hodnoty odporu v ohmoch a kondenzátora vo faradoch.) Metóda 1: Interpolova exponenciálnou krivkou namerané hodnoty. Metóda 2: Zlogaritmovae rovnicu napäového poklesu: 1 ln ( U ) = t + ln ( U0 ) a nakresli graf závislosti ln(u) na ase. Vytvorte graf závislosti ln(u) na ase. Nájdite pokles tohto grafu použitím Analyze > Slope možnosti v programe Coach6. Vypoítajte as zo zadaných hodnôt súiastok obvodu a porovnajte s experimentálne urenou hodnotou. 1. K meraniu konštanty použijeme schému znázornenú na Obr. 1. Najprv použijeme 100 µf kondenzátor a 10 kω odpor. 2. Elektrický obvod si zostavíme pomocou zapájacej dosky a lenov ako: vypína, odpor, kapacita a prepojovacích lenov ako je znázornené na Obr. 2. 3. Zostavený elektrický obvod prepojíme s CoachLAB II poda Obr. 2. ervený kábel sa pripojíme na výstup napätia (+5V), modrý k snímau napätia (3>) Obr. 2 Zapojenie na sledovanie nabíjania kondenzátora. a ierny kábel pripojíme k zemi CoachLAB II (). Po skompletizovaní a kontrole zapojenia prepojíme CoachLAB II s poítaom pomocou dátového káblu do portu COM a pripojíme zdroj napájania pre CoachLAB II. 4. Na poítai spustíme projekt NabíjanieKondenzátora. Ak nemáme daný projekt otvoríme si nový projekt s CoachLab II. V prípade použitia EuroLab pripojíme tiež senzor napätia. alej z možnosti Voby vyberieme Nastavenia a nastavíme potrebné údaje (Doba Merania - 12 s, Frekvencia - 100 Hz). 5. Pri meraní nárastu napätia na kondenzátore postupujeme nasledovne: Najprv stlaíme zelené štartovacie tlaítko v programe CoachLab a hne na to prepneme vypína do polohy ON. alšie meranie je automatické a priebeh merania sa nám zobrazuje na grafe. Mali by ste pozorova podobnú závislos napätia od asu ako na Obr. 3.
6. V alšom kroku sa pokúsime fitnú namerané údaje pomocou exponenciálnej závislosti poda teórie, vzah (12). Kliknutím pravého tlaítka myši na zobrazenom grafe sa nám ukáže menu, z ktorého vyberieme možnos Spracova/Analyzova Fitovanie funkciou. V novo otvorenom okne vyberieme typ fitovacej funkcie z položky Typ funkcie. Keže sa v našom prípade jedná o nabíjanie kondenzátora popí-saného pomocou vzahu vyberieme ako fitovaciu funkciu: f(x) = a. Exp( b. x ) + c. alej nastavíme približne parametre Obr. 3 Nameraná závislos funkcie: a = 5 /maximum nameranej funkcie/, b = -1 (odpovedá hodnote 1/) a pre c = 0 /minimum nameranej funckie/. Spomenuté hodnoty prípadne ešte trochu pozmeníme, aby sa naša fitovacia krivka o najviac podobala nameranej. Po zadaní spomínaných hodnôt klikneme na tlaidlo Auto fit. Program uskutoní výpoet odpovedajúcej fitovacej funkcie a vypíše nové hodnoty pre a, b, c, kde b odpovedá, ako sme už spomenuli hodnote 1/ (konštante obvodu). Zo známej hodnoty odporu R si môžeme stanovi kapacitu C. 7. Výsledky nášho merania budeme zapisova do nasledovnej tabuky, kde R je hodnota použitého odporu, C je kapacita použitého kondenzátora, (teoretická) = R.C a (experimentálna, nameraná hodnota) = -1/b.. merania R [k] C [F] [s] [s] (teoretická) (experimentálna) 1. 100 100 1 1 8. Namerané údaje si môžeme aj zobrazi v tabuke. Klikneme pravým tlaitkom na myši a vyberieme možnos "Zobrazi ako tabuku". Namiesto kurzoru sa zobrazí mala tabuka, ktorou klikneme na vedajšie okno. Vo vybranom okne sa nám potom zobrazia namerané hodnoty v tabuke. Tieto údaje si môžeme uloži a použi na alšie spracovanie. Ak ich chceme teda uloži, klikneme na tabuku pravým tlaidlom na myši a vyberieme možnos "Exportuj dáta Textový súbor". Nastavíme potrebné údaje a adresár kde majú by uložené namerané hodnoty. Po nastavení si sa potom uložia namerané dáta kliknutím na tlaidlo OK. 9. Meranie môžeme zopakova viac krát a potom urobi to isté aj pre iné hodnoty kondenzátora a odporu.
Úloha. 2: Štúdium vybíjania kondenzátora 1. K tejto úlohe použijeme schému znázornenú na obr. 4. Najprv použijeme 100 µf kondenzátor a 10 kω odpor. 2. Zostavený elektrický obvod prepojíme s CoachLAB II. ervený kábel sa pripojíme na výstup napätia (+5V), modrý k snímau napätia (4>) a ierny kábel pripojíme k zemi CoachLAB II (). 3. Budeme pokraova už v otvorenej aktivite NabijanieKodenztora. Measurement settings nemeníme. 4. Pred zaiatkom merania nabijeme kondenzátor použitím +5V výstupu z CoachLAB II prepnutím vypínaa v elektrickom obvode do polohy ON. 5. Meranie spustíme stlaením zeleného štartovacieho tlaítka a hne na to prepneme vypínaa v elektrickom Obr. 4 Schéma zapojenia s prepojením CoachLABu II obvode do polohy OFF. 6. Na grafe pozorujeme postupné vybíjanie kondenzátora. Mali by ste pozorova podobnú závislos napätia od asu ako na obr. 5. 7. Výsleky spracujte ako v predošlej úlohe (8) v tabuke 1. 8. Uložte si namerané údaje na alšie spracovanie. 9. Meranie môžete potom zopakova aj pre iné hodnoty prvkov. Obr. 5 Priebeh napätia na kondenzátore poas jeho vybíjania
Úloha. 3 Štúdium napäového impulzu 1. K tejto úlohe použijeme schému znázornenú na obr. 6. Najprv použijeme 100 µf kondenzátor a ako R1 1 kω a R2 10 kω odpor. 2. Zostavíme si elektrický obvod a prepojíme ho s CoachLAB II ako v predošlých prípadoch. 3. Budeme pokraova alej v otvorenej aktivite NabijanieKondenzatora. Measurement settings nemeníme. 4. Najprv nabijeme kondenzátor cez odpor R1. Poas nabíjania kondenzátora vypína P2 bude v polohe OFF. 5. Po nabití kondenzátor prepneme vypína P1 do polohy OFF. 6. Meranie spustíme stlaením zeleného štartovacieho tlaítka a krátko na to prepneme vypínaa P2 v elektrickom obvode do polohy ON. 7. Na grafe pozorujeme napäový impulz. Mali by ste pozorova podobnú závislos napätia od asu ako na obr. 7. 8. Uložte si namerané údaje na alšie spracovanie. 9. Meranie môžete potom zopakova aj pre iné hodnoty prvkov. Obr. 6 Schéma zapojenia pre štúdium napäového impulzu Obr. 7 Priebeh napätia pri zapnutí a vypnutí vypínaa na schéme na obr. 6
Otázky: o Aký je efekt zmeny kapacity kondenzátora na vybíjanie? o Aký je efekt zmeny odporu obvodu? Extra úlohy 1. Upravte zapojenie a podmienky k meraniu procesu nabíjania rôznych kondenzátorov poda schémy na Obr. 8. o Aký je efekt zmeny kapacity kondenzátora na pozorovaný dej? o Aký je efekt zmeny hodnôt odporu R 1 a R 2? Obr. 8. Schéma na nabíjanie a vybíjanie kondenzátora Obr. 9. Priebeh napätia pri zapnutí a vypnutí vypínaa na schéme poda Obr. 8. 2. Zapojte obvod poda obr. 6 a pozorujte napäový impulz. o Aký je efekt zmeny kapacity kondenzátora na pozorovaný dej? o Aký je efekt zmeny hodnôt odporu R 1 a R 2?
Tlmené kmitanie elektromagnetického oscilátora J. Kúdelík Teória Rezonanný obvod alebo RLC obvod, LC obvod je komplexný jednobran. Vznikne paralelným alebo sériovým spojením kondenzátora a cievky. Pri jednej, tzv. rezonannej frekvencii sa v tomto obvode vyrovnáva kapacitná a induktívna reaktancia a rezonanný obvod sa pri tejto frekvencii chová ako inný odpor. Stav obvodu, ktorý nastane pri rezonannej frekvencii, sa nazýva rezonancia. Prúd pretekajúci obvodom je v tomto stave maximálny a odpor minimálny. Ke sú cievka a kondenzátor spolu zapojené, elektrický prúd medzi nimi kmitá pri frekvencii ω 0 = 1 LC kde L je induknos cievky vyjadrená v jednotkách henry a C je elektrická kapacita kondenzátora vyjadrená vo faradoch. Na obr. 1 je zapojenia oscilaného odporu zloženého z cievky s induknosou L (a odporom R) a kondenzátorom s kapacitou C. Pri polohe 1 prepínaa sa kondenzátor nabíja cez odpor R. Po prepnutí do polohy 2 sa kondenzátor vybíja cez cievku. Oscilaný obvod sa rozkmitá s uhlovou frekvenciou ω 2 2 = ω0 b b = R 2 L 2 0 kde prvý len pod odmocninou ( ω ) je.vlastná frekvencia, ktorú by mal skúmaný oscilátor bez tlmenia (R = 0), druhý blen (b) je súinite tlmenia. Kmity sú tlmené, amplitúda U m, napätia na kondenzátore, klesá v závislosti od asu poda vzahu kt U m U mz e kt u = U mz e sin ω t. sa v závislosti od asu mení poda vzahu ( ) =. Okamžité napätie u = u(t)
Postup merania Úlohy 1. Odmera a pomocou programu IP-Coach zobrazi' graf okamžitej hodnoty u = u(t) napätia v závislosti od asu. 2. Zostavi matematický model tlmeného kmitania oscilátora metódou dynamického modelovania v programe IP-Coach MODELOVANIE za predpokladu, že asová závislos' amplitúdy napätia U m = U m (t) má klesajúci exponenciálny priebeh, t. j. vyhovuje podmienke du m =-k U m dt. 3. Porovna odmerané grafy s matematickým modelom tlmeného kmitania elektromagnetického oscilátora. Zmenou parametrov R, L, C simulova správanie oscilátora tak, aby sa empirické grafy prekrývali s grafmi, ktoré vznikli matematickým modelovaním. Materiál Rezistor 20 Ω suchá (plochá) batéria 4,5 V sada kondenzátorov (napr. 20 µf, 10 µf, 2 µf, 1 µf, 0,5 µf) cievky z rozkladného transformátora (12000, 1200. 600, 300 závitov), uzavreté feromagnetické jadro niekoko rezistorov s hodnotami porovnatenými s odporom cievky (napr. s odpormi 1 Ω, 2 Ω, 5 Ω). Pomôcky CMA. Poíta, interface USB, merací panel CMA, program IP-Coach 6, (IPCoach 6 - MODELOVANIE).
Úloha. 1 Zmera priebeh tlmených kmitov LC obvodu 1. Zostavíme obvody poda vyobrazenej schémy zapojenia. Odmeriame odpor R cievky. Zistíme (orientane) hodnoty C, L. Kapacita C býva vyznaená na kondenzátore (asto s toleranciou okolo 20 %). Induknos L cievky uríme približne poda údajov z literatúry. 2. Realizácia. Po prepnutí prepínaa do polohy 2 sa kondenzátor vybíja. Pri postupných premenách energie z elektrickej na magnetickú a naopak dochádza ku kmitaniu, s tlmením. 3. Tlmenie by malo by úmerné odporu R cievky. Presvedíme sa o tom tak, že do oscilaného obvodu postupne zapájame rezistori s odpormi, ktoré sú porovnatené s odporom cievky. 4. Z grafov, ktoré dostaneme postupným posúvaním pohyblivej asti jadra cievky usúdime ako sa mení tlmenie v: závislosti od induknosti L cievky. 5. Príklad grafov získaných pri použití cievky so 600 závitmi, bez jadra, v oscilanom obvode s kondenzátorom s kapacitou 3,2 Ω, je na pripojenom obrázku. Úloha. 2 Teoretický model 1. Zostavíme matematický model tlmeného kmitaním oscilátora (program IP-Coach - MODELOVANIE). Ak sme poda zápisu v predchádzajúcich odstavcoch merali správne, máme dôvod sa domnieva, že konštanta b (súinite tlmenia) je priamo úmerná odporu R oscilaného obvodu a nepriamo úmerná induknosti L cievky. Presvedíme sa, že pre tento súinite platí vzah b = R / 2L, kde za elektrický odpor R dosadíme vopred odmeranú hodnotu odporu cievky a za induknos L postupne dosadzujeme hodnoty tak, aby sa pri poítaovej simulácii priebeh grafu modelovej funkcie Um = Um(t) dotýkal vrcholov maxím odmeranej závislosti u = u(t). Odmeranú závislos privoláme z adresára do programu MODELOVANIE výberom príkazu Pozadie. (Príklad programu predstavujúceho matematický model skúmaného deja je na obrázku.) Stav, ktorý chceme docieli, je zobrazený na hornom grafe alšieho obrázku, predstavujúceho výsledky poítaovej simulácie spolone s grafmi, ktoré sme získali meraním.) 2. Simulujeme deje v oscilanom obvode tak, že postupne zadávame do poítaovej simulácie hodnoty kapacity C kondenzátora dovtedy, kým sa krivka modelového grafu (spodný obrázok príkladu poítaovej simulácie) neprekryje s experimentálne -získaným grafom.
U1 Opakujte opísané experimenty a modelové postupy s rôznymi oscilanými obvodmi. U2 V pravom okne tabuky, predstavujúcej matematický poítaový model tlmeného kmitania, sú dva vzahy pre frekvenciu f obvodu, jeden so zapoítaním a druhý bez zapoítania lena b, súinitea tlmenia. Uvážte, akú chybu vnášame do matematického modelu vášho oscilaného obvodu zanedbaním lena b, vyjadrite ju v percentách a simulujte výsledky na poítai. (Pripomíname, že v programových oknách IP-Coach MODELOVANlE sa pri innosti programu neítajú výrazy napísané za odsuvníkom (').