ΧΑΣΖΟΠΟΤΛΟ ΓΕΡΑΙΜΟ ΚΑΘΗΓΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ - ΔΙΔΑΚΣΙΚΗ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ - Απειροστικός Λογισμός 3 Όρια πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών Α. υνοπτική Θεωρία 1. Ορισμός: Έστω f : A n μια πραγματική συνάρτηση η μεταβλητών με πεδίο ορισμού το υποσύνολο Α του n και ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο τον πραγματικό αριθμό k, όταν το τείνει στο σημείο και συμβολίζουμε: τότε και μόνο τότε, limf k, ( ) : f() k, A < Αν το είναι μεμονωμένο σημείο του Α (οπότε limf : f A) τότε ορίζουμε: 1
2. Ισοδύναμος ορισμός του ορίου: limf k, ( ) : f (k,k ), A S,, 3. Άρνηση του ορισμού ορίου:, A : < f() k 4.ημείωση συμβολισμού: Για ευκολία αντί του διανύσματος, θα συμβολίζουμε, όταν δεν υπάρχει σύγχυση. Αν συμβολίζουμε (, y) τότε τα, y δεν είναι διανύσματα αλλά πραγματικοί αριθμοί. 5. Ιδιότητες ορίων: i. Αν υπάρχει το όριο, αυτό θα είναι και μοναδικό ii. iii. iv. Ισχύουν οι ιδιότητες των ορίων που ισχύουν και στο R Ισχύει το κριτήριο παρεμβολής Μηδενική - φραγμένη v. Μετατόπιση συντεταγμένων lim f(,y) yy X Y limf(x,y y ) ημείωση: Θέτουμε: X y y Y,άρα μετατρέπουμε όλα τα όρια να τείνουν στο μηδέν (μας διευκολύνει γιατί κάποια βασικά όρια τα ξέρουμε όταν τείνουν μόνο στο μηδέν) 2
6. υμβολισμοί Πολλές φορές θα συμβολίζουμε ως εξής: (,y) (,y ) y y (,y,z) (,y,z ) y y z z 7. Ειδικές περιπτώσεις Για πραγματικές συναρτήσεις δύο ή τριών μεταβλητών (που είναι και οι πιο συνηθισμένες περιπτώσεις) ο ορισμός γίνεται ως εξής: η=2: (,y) (,y ) η=3: lim f k, ( ) : f(,y)-k, (,y) A < (- ) (y y ) (,y,z) (,y,z ) lim f k, ( ) : f(,y,z)-k, (,y,z) A < (- ) (y y ) (z z ) 2 8. Παρατηρήσεις Προαπαιτούμενες γνώσεις Γνωστά όρια στο R είναι: lim 1 1 lim lim 3
lim 1 lim 1 1 lim ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΟΡΙΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ f : A n Κατηγορία 1 η Μορφή: Ορισμός ορίου - limf(,y) I, I y Επίλυση: Όταν ζητείται να αποδείξουμε ένα όριο με τον ορισμό ορίου όλη η δυσκολία είναι η εύρεση κατάλληλου δ. Παρακάτω παρουσιάζουμε την διαδικασία αυτή. Παίρνουμε ε>, διαλέγουμε δ = > (θα το συμπληρώσουμε στο τέλος όταν θα το βρούμε) τέτοιο ώστε: (,y) (,) y τότε: f(,y) I...... c y c όπου c: σταθερά Στάδιο: (1 ο ) (2 ο ) (3 ο ) (4 ο ) τάδιο 1 ο, 2 ο : Κάνουμε μια απλή κίνηση, όπως τριγωνική ανισότητα ή ημχ 1 ή ημχ χ τάδιο 3 ο : Χρησιμοποιούμε μια από τις παρακάτω ανισώσεις (για το R 2, ανάλογα ισχύουν και στο R 3 ) 4
y y y y 2 y ή + y 2 (,y) y (,y) 2 2 y 1 i e e e y τάδιο 4 ο : Θέτουμε την ποσότητα που βρίσκουμε στην τελευταία ανίσωση με ε και λύνουμε ως προς δ. υμβουλή: Όταν το δ εμφανίζεται σε δύο όρους (π.χ. e στον εκθέτη και ως συντελεστής) θέτουμε το ένα δ (του εκθέτη) με 1 και λύνουμε ως προς το άλλο δ. Άρα το δ είναι το min{1, } και του άλλου όρου που βρήκαμε. Δες άσκηση 3. ΑΚΗΕΙ ΚΑΣΗΓΟΡΙΑ 1 ης 1. Να αποδείξετε με τον ορισμό του ορίου: 1 lim y y Απόδειξη Από τον ορισμό του ορίου έχουμε για κάθε ε> διαλέγουμε δ =... (δες στο τέλος) με (,y) (,) είναι: 5
Οπότε έχουμε: (,y) (,) y 1 1 1 y y y y 2 y 2 Θέτουμε: 2 ημείωση: Έτσι βρίσκουμε το δ, εμείς τώρα την διαδικασία αυτή θα την κάνουμε στο πρόχειρο και κατά την επίλυση θα το βάζουμε έτοιμο το δ, άρα θα καταλήγουμε πάντα στο μικρότερο του ε, δηλαδή f(,y) I... και δεν θα εξηγούμε πως το βρήκαμε το δ! 2 2. Να αποδείξετε με τον ορισμό του ορίου: y lim e y Απόδειξη Από τον ορισμό του ορίου έχουμε για κάθε ε> διαλέγουμε δ =... (δες στο τέλος) με (,y) (,) είναι: Έχουμε, (,y) (,) y y y y y y e e e y e e e Θέτουμε: e το 1. Άρα, e για ευκολία βάζουμε στον εκθέτη του e οπότε, min 1, e e 6
Κατηγορία 2 η Μορφή: Ακολουθίες Αρχή της μεταφοράς Πρόταση Έστω πραγματική συνάρτηση f : A n και n σημείο συσσώρευσης τότε τα επόμενα είναι ισοδύναμα: lim f f n A, n, n, n f n f Επίλυση Σην παραπάνω πρόταση της αρχής της μεταφοράς την χρησιμοποιούμε αρνητικά, δηλαδή για να αποδείξουμε ότι ένα όριο δεν υπάρχει. Σα βήματα είναι τα εξής: Θέτουμε την συνάρτηση του ορίου με f(,y)... Εκλέγουμε ακολουθίες (υπάρχει μεθοδολογία) (...,...) (,y ) n y (...,...) (,y ) n που να τείνουν στο ίδιο σημείο Παίρνουμε τις τιμές των ακολουθιών, δηλαδή f n..., n f y..., n n αν α β από την μοναδικότητα του ορίου δεν υπάρχει το όριο. 7
ΑΚΗΕΙ ΚΑΣΗΓΟΡΙΑ 2 ης 1. Εξετάστε αν υπάρχει το όριο: lim y y ( 2 y 2 ) 2 y 5 5 Λύση 5 5 y y Θέτοσμε: f(,y) 2 ( y ) Παίρνοσμε κατάλληλες ακολοσθίες: 1 1 n n n,, και y,, Υπολογίζοσμε τις τιμές των σσναρτήσεων f n n 1 n αντικαθιστούμε στην συνάρτηση όπου χ το 1 n κ στο y το 1 n f n... 2 n 1 όταν n 4n 4 Όμοια, n 1 f y... οπότε το όριο δεν υπάρχει. n 2. Εξετάστε αν υπάρχει το όριο: 1 lim y 1 y Λύση Θέτουμε: 1 f(,y) y Παίρνουμε ακολουθίες: 1 2n n 1, 1, f n... και n υπάρχει. και y 1, 1, n 1 2n 2 f y... 1 1 άρα το όριο δεν για n 8
Κατηγορία 3 η Μορφή: Κατά μήκος των καμπύλων Μεθοδολογία: Αν η συνάρτηση f(,y) με,y να είναι υψωμένα σε διαφορετικές δυνάμεις, τότε παίρνουμε την διαδρομή, y v,όπου ν: κατάλληλος αριθμός ώστε οι δυνάμεις των,y που θα προκύψουν να είναι ίσες. Έτσι παίρνουμε την συνάρτηση v f(, ) και από το (,y) (,) γίνεται. Αν το όριο που θα προκύψει είναι συνάρτηση του λ, τότε το όριο δεν υπάρχει αφού εξαρτάται από την διαδρομή. Προσοχή: Αν προκύψει ένας πραγματικός αριθμός, ανεξάρτητος του λ, τότε το όριο μπορεί να υπάρχει και το εξετάζουμε με την κατηγορία 1. Κυρίως αυτήν την μέθοδο την εφαρμόζουμε για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει όριο. Ασκήσεις Κατηγορίας 3 ης 1. Εξετάστε αν υπάρχει το όριο: lim 2 y y y 2 4 2 4 Λύση Παρατηρούμε ότι η δύναμη του y είναι διπλάσια του χ. Παίρνουμε την διαδρομή, 2 y που προφανώς διέρχεται από το (,). Οπότε: 2 4 4 2 4 2 y y ( 1)y 1 lim lim y 2 4 4 y 2 4 2 2 y y (2 1)y 2 1 οπότε εξαρτάται από το λ, άρα δεν υπάρχει το όριο. 9
ΚΑΣΗΓΟΡΙΑ 4 η Μορφή: Πολικό πλησίασμα Πολικές συντεταγμένες Μεθοδολογία Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται όταν έχουμε: Ρητές συναρτήσεις Παραστάσεις της μορφής y Α. Αν (,y) (,). Πλησιάζουμε το σημείο συσσώρευσης με πολικές συντεταγμένες, δηλαδή, θέτουμε: p και y p όταν (,y) (,) οπότε, limf(,y) limfp,p p y αν βρούμε το όριο συναρτήσει του θ, τότε το όριο δεν υπάρχει, ενώ αν βρούμε το όριο ένα πραγματικό αριθμό τότε αυτό είναι το όριο. Β. Αν (,y) (,y ) τότε όμοια κάνουμε τα εξής, θέτουμε p οπότε το όριο γίνεται: y y p p y limf(,y) limf p,y p υμβουλή: Όταν καταλήξουμε στο όριο που p, τότε το υπολογίζουμε κατά τα γνωστά, πχ. κανόνας De L Hospital. Ασκήσεις Κατηγορίας 4 ης 1. Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) το όριο: y ( y ) lim 2 y 2 1
Έστω συνάρτηση f(,y) Λύση ( y ) y τότε θέτουμε: p και y p 2 p y και p όταν (,y) (,), άρα: pp p limf(,y) lim lim p p p 2 p y αφού: Κατηγορία 5 η v lim (αποδεικνύεται εύκολα με De L Hospital). o Μορφή: Επάλληλα ή διαδοχικά όρια Ορισμός: Ονομάζουμε επάλληλα ή διαδοχικά όρια μιας συνάρτησης f(,y) στο lim lim f(,y) yy Ιδιότητες: (,y )τα όρια: lim lim f(,y) yy και Αν τα διαδοχικά όρια υπάρχουν και δεν είναι ίσα, τότε δεν υπάρχει το όριο lim f(,y) y Αν υπάρχουν τα διαδοχικά όρια στο (,y ) και υπάρχει το όριο της ƒ στο(,y )τότε τα διαδοχικά όρια είναι ίσα. Αν τα διαδοχικά όρια υπάρχουν και ισούται με κ, τότε το κ είναι το πιθανό όριο. 11
Μπορεί να μην υπάρχουν τα επάλληλα όρια και να υπάρχει το όριο Μπορεί να υπάρχει το όριο και το ένα από τα διαδοχικά όρια χωρίς να σημαίνει ότι υπάρχει το άλλο διαδοχικό όριο Μεθοδολογικό σχόλιο: Σα διαδοχικά όρια τα χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει το όριο. Ασκήσεις Κατηγορίας 5 ης 1. Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο: lim y y y Λύση y Έχουμε διαδοχικά, lim lim lim lim1 1 y y και y y limlim lim lim( 1) 1 y y y y y άρα δεν υπάρχει το όριο. Με εκτίμηση, Χατζόπουλος Γεράσιμος 12