θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις Α = 4 4, Β = 8 + 4 κι Α Β (Μονάδες 6,5) Θέμ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ) y + yω 5 = ( 4y + ω 5) β) ( + ) β( + ) + ( + ) = ( + )( β + ) γ) 49 6 = (7 + 4)(7 4) δ) 8 = ( ) (4 + + ) ε) 8 + 7 = ( + ) = ( + ) (4 + 6 + 9 ) στ) 4 + y = ( ) ζ) 6 + 4 + 9 = (4 + ) η) + (5 + ) + 5 = ( + 5) ( + ) θ) (5 + ) + 5 = ( 5) ( ) ι) + (5 ) 5 = ( + 5) ( ) Θέμ ο ) 5 0 = 5( 4) = 5( ) = 5( )( + ) β) 7 = 0 + ή 7 0 = 0 ή 5 0 = 0 ή 5( )( + ) = 0, άρ = 0 ή = ή = Θέμ ο Α = 4 4 = ( ) = ( + )( ) Β = 8 + 4 = ( ) 4( ) = ( )( )( + )
Α Β = ( + )( ) ( )( )( + ) = = ( + )( ) [ ( )] = ( + )( )( + ) = = ( + )( )( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους
Α..9 «Ρητές λγεβρικές πρστάσεις» ΘΕΩΡΙΑ. Ορισμός ρητής πράστσης Μι λγεβρική πράστση [ όπως π.χ. οι +, y +, 0y ω + y, y ] που είνι κλάσμ κι οι όροι του είνι πολυώνυμ, λέγετι ρητή λγεβρική πράστση ή πλά ρητή πράστση.. Περιορισμοί Στην πράστση 4, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή, φού γι = ο πρνομστής γίνετι ίσος με 0. Γενικά, σε μι (ρητή) πράστση οι μετβλητές της δεν μπορούν ν πάρουν τις τιμές εκείνες γι τις οποίες ο πρνομστής γίνετι ίσος με το 0 (φού δεν ορίζετι κλάσμ με πρνομστή το 0). Πρδείγμτ: Στην πράστση 6, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση 0, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση, το y δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 5. y 0 Στην πράστση t 0, το t δεν μπορεί ν πάρει την τιμή. + Σχόλιο Στη συνέχει, ότν γράφουμε μι ρητή πράστση, θ εννοούμε ότι οι μετβλητές της δεν πίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον πρνομστή της.. Απλοποίηση Αν σε έν κλάσμ κι οι δύο όροι του (ριθμητής κι πρνομστής) είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά υπάρχει κοινός πράγοντς, τότε ο πράγοντς υτός μπορεί ν πλοποιηθεί (πρληφθεί) κι το κλάσμ ν πάρει πλούστερη μορφή. 4
Αυτό εξηγείτι ως εξής: β γ = β γ = β γ = β γ. Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους... Πρδείγμτ: y 5 = y 5 5 y = 5y ( + ) ( = + ) 4( ) 4( ) = 4 + 6 ( + ) ( + ) = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 4 β + δ) + ε) ( )( 5). Λ Υ Σ Η ) Το κλάσμ δεν ορίζετι ότν ο πρνομστής είνι ίσος με 0, δηλδή ότν = 0. β) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν y = 0, δηλδή ότν y =. γ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν β + = 0, δηλδή ότν β =. δ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν + = 0, δηλδή ότν =, δηλδή =. ε) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν ( )( 5) = 0. Η σχέση ( )( 5) = 0 ισχύει ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. Επομένως, το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν =, = 5. 05. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 6 y 0 β) y γ) ( + ) δ) 5 + 0 ( ) ε) y. Λ Υ Σ Η Η πράστση που έχουμε κάθε φορά ορίζετι ν: 5
) 6 0, δηλδή 6 β) y 0, δηλδή y γ) ( + ) 0, δηλδή + 0, δηλδή δ) ( ) 0, δηλδή 0 κι 0, δηλδή 0 κι. ε) y 0, δηλδή y. 06 Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες δεν ορίζετι η ριθμητική τιμή, σε κθεμί πό τις πρστάσεις: ) + 5 β) 4 γ) ( 4) : ( ) Λ Υ Σ Η ) Στην πράστσή μς, υπάρχουν πρνομστές οι κι 5. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. β) Στην πράστσή μς, υπάρχουν οι πρνομστές, οι κι κι. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή = 0, δηλδή ότν = 0 ή =, δηλδή ότν = 0 ή =. γ) Η πράστση ( 4) : ( ) είνι ένς άλλος τρόπος γρφής της πράστσης 4 Επομένως, ισχύουν όσ κριβώς είπμε στο β,. κι έτσι η πράστση υτή δεν ορίζετι ότν = 0, κθώς κι ότν =. 07 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 86 5 β) 0 γ) 0 y ( δ) 6 + )5 5y 8( + ) ) 86 = 4 4 4 = 4 Λ Υ Σ Η β) 5 0 = 5 6 5 = 4 4 6
γ) 0 y 5y = 5 y 5 y y = y Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ( δ) + )5 = ( + ) ( + ) ( = + ). 8( + ) 4 ( + ) 4 08 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β + β + β y y β) 5y 5( ) + ( )y γ) y 5 δ) 8 + 6 6 5 5y + στ) y y στ) 4 y 4 4 y + y 4 Λ Υ Σ Η ) β ( + β)( β) = + β + β ( + β) = β + β β) y y y( = ) 5y 5y = 5y 5( ) + ( )y ( )(5 + y) ( )(5 + y) γ) = = y 5 y 5 (y + 5)(y 5) = y 5 δ) 8 + 6 = 4 + 4 6 4 = ( 4) ( + 4)( 4) = + 4 4 5 5y + ε) y 5( y) + ( y) ( y)(5 + = = ) = 5 + y ( y) ( y) στ) 4 y 4 4 y + y = ( ) (y ) 4 ( ) y + ( ) = = ( + y )( y ) ( y ) = + y y 09 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) + y y β) y y y γ) y Λ Υ Σ Η ) + y y = + y ( + y) = ( + y) ( + y) = = β) y y = y ( y) =. 7
y ( y) ( y) γ) = = y (y ) ( y) = = Σχόλιο: Θυμίζουμε ότι μι διφορά β μπορεί ν γρφεί κι ως β = + β = ( β). ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 0. Ότν σε μι λγεβρική πράστση εμφνίζοντι έν ή περισσότερ κλάσμτ, τότε, γι ν ορίζετι η πράστση υτή, πρέπει όλοι οι πρνομστές που εμφνίζοντι σε υτή ν είνι 0. Γι πράδειγμ, γι ν ορίζετι η πράστση 0 5 + 6 πρέπει: 5 0 κι 0 κι 6 = 0.. Τονίζουμε ότι, γι ν γίνει πλοποίηση σ' έν κλάσμ, πρέπει κι ο ριθμητής κι ο πρνομστής ν είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά ν υπάρχει κοινός ( = ο ίδιος) πράγοντς, ο οποίος κι πλοποιείτι (πρλείπετι). Αν ο ένς (τουλάχιστον) πό τους όρους του κλάσμτος δεν είνι γινόμενο, τότε στο κλάσμ υτό δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση. Έτσι: στο κλάσμ β + γ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο ριθμητής δ δεν είνι γινόμενο το είνι πράγοντς του όρου β, λλά δεν είνι πράγοντς σε όλο τον ριθμητή). β στο κλάσμ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο πρνομστής δεν είνι γ + δ γινόμενο). β + γ το κλάσμ δεν είνι ίσο με β + γ, ούτε με β + γ. δ δ δ β + γ (β + γ) Ισχύει όμως = = β + γ δ δ δ. Γενικά, γι ν πλοποιήσουμε έν κλάσμ, πρέπει τώρ ν πργοντοποιήσουμε κι τους δύο όρους του. ( + β) Στο κλάσμ μπορεί ν γίνει πλοποίηση του + β, φού κι ο + β ριθμητής κι ο πρνομστής μπορούν ν γρφούν σε μορφή γινομένου, έτσι ώστε το + β ν ποτελεί πράγοντ κι των δύο όρων. 8
Συγκεκριμέν, έχουμε: ( + β) ( + β) = + β ( + β) = =. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες ορίζετι. Στήλη Α. 4 β. + γ. + ( )( + ) ( δ. ) Στήλη Β.. κι. 0 4. Οποιοσδήποτε ριθμός 5. 6. 4 7. β γ δ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες δεν ορίζετι. Στήλη Α. β. + γ. 5( δ. ) Στήλη Β. = 0. =. = 4. = 5. = 6. = 5 7. = ή = β γ δ 9
4. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες, ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). ) + = Σ Λ ( β) + ) = + Σ Λ ( + )( γ) + 5) = + 5 ( + ) Σ Λ δ) ( β ) + β = β Σ Λ + ( ε) ) = + 5( ) 5 Σ Λ ( β) στ) ( β) = Σ Λ ( β) ζ) = ( + β) Σ Λ ( β) 5. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις ισότητες: ) 5 (...) = 5 ( + β) (...) β) ( β) (...) = ( γ) + )... = + δ) 4... = + ε) (...) 4( β) = 4( β) στ) ( β ) ( β) = (...) ( + β) ( ζ) + )... = (...) η) + ( + ) = + Ασκήσεις κι προβλήμτ γι λύση 6. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y + 5 y 7 γ) ω (ω ) δ) β ( + ) ε) 7 + ( ) στ) 6 + 5 ( )( + ) 40
7. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 5 + β) + 7 γ) + 5 + δ) 8 ( + 4) ε) + 4 ( )( + ) στ) + y y 8. Ν βρείτε τις τιμές μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 5β δ) + ε) β 5 στ) 5 + 0 ( )( + 4) ζ) 9. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) γ) + δ) y ε) + y ( ) στ) ( )( 4) ζ) 0. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 y β) γ) 4 4 δ) ε) 5 ( )( + 7) στ) / ζ). Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 β) 7ω 8ω 0β γ) 40β δ) 5 5( ε) + ) (β + ) 5 στ) 6 0( + ) 6(β + ). Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) 60 90 β) 6β β γ γ) 45 y 0 5 y 4 4
4 4β δ) β ε) 8 y 4y y στ) 4 +. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 6 β) 4 γ) + + 6 + 9 δ) + 4 + 4 + ε) y 6 8y + y στ) 4 y 4 + y + y 4. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 0 4 β) ( + β) ( β) β + β γ) β + β β + β 5. Ν γίνουν οι πλοποιήσεις: _ ) 5 β γ 6 β γ 4 β γ 4 4 β γ β) + 5 _ 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ( ) + 4( ) ) 9 μ γ) 8ν μ + μν + 8ν β + β) β β β δ) 4 4β + 4γ β β + βγ ε) + 4 + + 5 + 6 στ) 0 5. 7. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β β β β + β β) β γ) + y + ω y + y + y ω ( + ) + ( δ) + ) ε) + στ) 5 + 6 + 8 9 + 8. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) 9 ( β) y) y) + 4 + 9y 4 γ) β + β 6 β 6 β 6β δ) + + ε) ( + β) β 4 β στ) 4 γ β 4 γ β + β β 4
9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( ) ( + ) β) y + y y + y + y γ) β + β β + β 0. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 + _ 0 _ β) + _. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 6y + 6 y + y, β) 4 β 4 y y + β + β + β. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 4 + 8 + +... + 400 4 + 8 + +... + 400y β) + 6 + 9 +... + 00 + 6 + 9 +... + 00 4
A..0.A. Πολλπλσισμός Διίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πολλπλσισμός Ο πολλπλσισμός μετξύ δύο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι ο πολλπλσισμός κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β γ δ = γ β δ... Πράδειγμ + ( = + ) 4 ( 4) = + 6 4 Επίσης, ο πολλπλσισμός μις πολυωνυμικής με μι ρητή πράστση γίνετι σύμφων με τους τύπους λ β = λ β κι β μ = μ β... Πρδείγμτ 4 0 = 4 0 = 0 = = 6 0 Διίρεση Η διίρεση δυο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι η διίρεση κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β : γ δ = β δ γ = δ β γ... Πρδείγμτ : 4y 5β = 5β 5β = 4y 4y = 5β 8y : 5 + 0 = 5 + 0 (5 = + 0) = 5 + 0 ( ) Επίσης, ισχύουν: β : λ = β : λ = β λ = β λ = βλ μ : β = μ : β = μ β = μ β = μβ 44... Πρδείγμτ y : 5 β 4 = y : 5 β 4 = y 5 β = y 4 5 β = y 4 5 β 4
+ y : 5 = + y : 5 = + y 5 = + y ( ) + y 5 = 5 0 y : β 5 = y 5 β = y 5 β = 55 y β Σχόλιο: Συνήθως, μετά τον πολλπλσισμό ή τη διίρεση δύο ρητών πρστάσεων γράφουμε το ποτέλεσμ σε όσο γίνετι πλούστερη μορφή, κάνοντς όλες τις δυντές πλοποιήσεις. 0 Σύνθετ κλάσμτ Έν κλάσμ του οποίου ο ένς τουλάχιστον όρος είνι επίσης κλάσμ, λέγετι σύνθετο κλάσμ. β Έν σύνθετο κλάσμ έχει τη μορφή γ δ ή β γ ή γ δ Έν σύνθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό ως εξής: β γ δ = δ = γινόμενο των «άκρων» όρων,δ β γ γινόμενο των «μέσων» όρων β,γ β Αυτό ισχύει διότι γ δ = β : γ δ = β δ γ = δ β γ Επομένως, έχουμε: β γ = β γ = β γ = βγ κι γ δ = γ δ = δ γ = δ γ = δ γ... Πρδείγμτ 5 5 7β 5β y = y = 7β 6y 5 β = 5 β = 5 β = 5 6β 5 β = 5 β = 5 β = 0β 45
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν κάνετε τις πράξεις: ) 0 ( 0 5 ) β) 4y + y + y + y Λ Υ Σ Η ) 0 ( 0 5 ) = 0 0 = 0 5 = 5 5 0 8 5 = 8 β) 4y + y + y + y = (y) ( + y) ( + y)( y)( + y) = = ( + y) + y ( + y)( + y) ( = y) = 4y 05 Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 6 y : 4 + y β) y 6 y + Λ Υ Σ Η ) 6 y : + y = 6 y + y 6( + y) = ( y ) = ( + y) ( + y)( y) = = ( y) = y 4 β) y ( = 4) ( y + ) 6 y + y ) ( 6) = ( 4) (y + ) ( y )( 6) = = ( 4) (y + ) ( + y)( y)( + 4)( 4) = ( y)( + 4) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. Γι κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ(σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). 46
) y = y Σ Λ β) y = y Σ Λ γ) 4 : y = 5 y Σ Λ δ) 5 : y = 5 y Σ Λ ε) γ β δ β = γ δ Σ Λ στ) = Σ Λ ζ) + β ( + β) = Σ Λ η) y + ω : y + ω = Σ Λ 7. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ) 5... y = 5 y β)... β δ = β δ γ) 5 β :... δ = δ β δ) + y ω...... = ε) y + ω :...... = στ) β : + β... = β + β 8. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς κάθε πράστση της στήλης Α στο ποτέλεσμά της πό τη στήλη Β. Στήλη Α. y y β. 6 5y 4 γ. 0 y : δ. y : y Στήλη Β. 4 5y. y. y 4. y 5. 6y 5 6. 5 6y β γ δ 47
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) 4 5y 5 y γ) 0 5 δ) 4 5 ( ) ε) 5 ( β ) στ) 5 7 ( 4 5 ) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 βγ 6β γ 6y β) y 4 γ) 8y β 9β 5γ δ βγδ 4 δ) ( + 5) β 5 ε) β β β 4 στ) + + β β + β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5y 45 y β) 6 + 9 + 4 γ) + β 5 δ) ( β) [ ( β) ] ε) + y y 4y + y + y στ) 4β ( + β) 6β ( + β). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) y β) ( β ) β γ) y y y δ) y + yω + ω 6y ω 4y ω (y + ω) ε) 4 9 + στ) β γ + γ β 48
. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β + 6β + 9β + β 4β β) 5 y 5 4y 5y 0 7y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ν ν ν ν β) + 4 + 4 + + 4 5 β γ γ βγ γ) + y 7γ 5 β + 5y βy 5. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 8 8 : β) 40 : 8 γ) y : y 6 δ) β : β ε) (4 β + 6 + 0 ) : 4 στ) (56 64y + y ):( 8y) 6. Ν κάνετε τις διιρέσεις ) 00 : 0 β) 50 : γ) 6 + 4 + 4 + : 9 6 4 7. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) y : 9 4y 4 β) 9y : 9y γ) 4 4β : 5β 6 δ) ( 4y y : 6 5y ) : 5y 4 ε) (β + β β):( β ) στ) ( 7 6β + 4 9β ) : 7 8. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) β 4 : β 6 β) + y : y + y γ) β : 4 β δ) β β : β β ε) 5 + 5 + 6 + 9 : 0 7 49
9. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) + β γ : + β γ β) β : 4β β γ) + : ( 4) δ) ( β ) : + β + β ε) + β ( 4 : 8 6 + 9 ) : 6 + 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) y y β + β y y β) y y + 6y : 4y + 6y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( 6 + 9 4 ) : 6 + β) 6y + y ( y) + y : y. Ν κάνετε τις πράξεις: β ) + β β + β yω β) ω γ) 4 ( 5 yω y β ) : ( 5 8β 5 : 60β 75 ). Ν κάνετε τις πράξεις: 8( + y) ( + y) ) [ : 5( y) ( y) ] 8( + ( y y) ( + y) ) β) [ : 5( y) ( y) ] ( y )] 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + y + y y + y : + y y + y y γ) 4 β 4 4 y + y y 4 β + y y β) + y y : y y y 50
A.0.B Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο προνομστή Η πρόσθεση κι η φίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο πρνομστή γίνοντι όπως κι η πρόσθεση κι η φίρεση ομώνυμων κλσμάτων, σύμφων με τους τύπους:... Πρδείγμτ β + γ β = + γ β κι β γ β = γ β + + 4 + = + + 4 + 4 = + 4 = 5 5 + β 5 β = + + + 4 + + 4 ( = + ) = + 4 = + 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που δεν έχουν τον ίδιο προνομστή Στην περίπτωση υτή, μεττρέπουμε πρώτ τ κλάσμτ σε ομώνυμ: β + γ δ = δ β + γ β δ = δ β δ + γ β δ β = δ βδ + γδ δβ = δ + γβ βδ... Πρδείγμτ + 4 + = + 4 + = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = 4 ( + ) = 4 4 = 4 ( + ) ( + ) ( + ) 5 + 4 = 5 + 4 = 5 = 5 + = 5 + 5
Γενικά, μπορούμε ν εργστούμε ως εξής: Γενικός τρόπος. Πργοντοποιούμε τους πρνομστές.. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των πρνομστών. Βρίσκουμε τ πηλίκ του ΕΚΠ υτού με κάθε πρνομστή. 4. Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε κλάσμτος με το ντίστοιχο πηλίκο κι εκτελούμε τις τελικές πράξεις: Πράδειγμ Ν υπολογιστεί το άθροισμ: + + 4 + 4 + + + + 4 + 4 = ( + ) + = + + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + + ) ( + ) ( + ) = + + + 4 + 4 + + + = = + ( + ) + + ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) = = ( + ) + ( + ) ( + ) (+) +) = = + + + ( + ) = + ( + ) Έστω κόμη, γι πράδειγμ, ότι θέλουμε ν υπολογίσουμε το άθροισμ 4 + 5. Τότε: 8( ). Οι πρνομστές είνι 4 = κι 8( ) ( ).. Το ΕΚΠ των πρνομστών είνι ( ).. Τ πηλίκ υτού του ΕΚΠ με κάθε πρνομστή είνι: ( ) = ( ) κι ( ) ( ) = 4. Έχουμε: 4 + 5 8( ) = + 5 ( ) = 5
( ) = ( ) + 5 ( ) = 9( ) = 7 ( ) + 0 7 ( ) = 9( ) + 0 = 7 ( ) = 9 9 + 0 7 ( ) = 9 9 7 ( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Θυμίζουμε ότι, γι ν πολλπλσιάσουμε ή ν διιρέσουμε δύο κλάσμτ, δε χρειάζετι υτά ν είνι ομώνυμ. Γι ν προσθέσουμε ή ν φιρέσουμε όμως δύο κλάσμτ, είνι πρίτητο ν τ κάνουμε πρώτ ομώνυμ (ν δεν είνι ήδη) κι μετά ν εκτελέσουμε την πράξη (πρόσθεση ή φίρεση) που έχουμε. 4. Αν θέλουμε ν προσθέσουμε έν κλάσμ με μι πράστση που δεν είνι κλάσμ, θεωρούμε την πράστση υτή ως κλάσμ με πρνομστή τη μονάδ. Γι πράδειγμ: + = + = + = + 4 = 4 = ( ) ( ) 4 = = 4 = 4 5. Γι ν εκτελέσουμε την πρόσθεση ή την φίρεση δύο κλσμάτων που δεν είνι ομώνυμοι, μπορούμε, ντί γι το ΕΚΠ των πρoνομστών ν χρησιμοποιήσουμε έν οποιοδήποτε κοινό πολλπλάσιο των πρoνομστών, π.χ. το γινόμενό τους. Μόνο που τότε, ενδεχομένως, ν χρειστούν ρκετά περισσότερες πράξεις. 6. Προσοχή στο συνηθισμένο λάθος β κ + λ β = κ + λ β [ το σωστό είνι β κ + λ β = κ λ β ]. 5
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 7. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη). ) + + + + = Σ Λ β) + y = 5 + y Σ Λ γ) + β + β β + β = Σ Λ δ) 5 y + 5 y = 0 Σ Λ ε) + β = + + β Σ Λ στ) 5 + 5 = Σ Λ ζ) β + β β = Σ Λ 8. Το ποτέλεσμ της πράξης 4 + είνι: ) + 5, β), γ) δ) 7 5 + 5 9. Το ποτέλεσμ της πράξης γ β + βγ β είνι: ( + β)γ β ) γ β) γ) γ δ) β + β 0. Αν + β = β κι β = 6 τότε το άθροισμ + είνι ίσο με: β ) 4 β) 4 γ) 4 δ). Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: )... = 0 β) + + +... = 54
γ)... + + + = + δ)... 4 + 5 = 5 + 5 ε) +... = στ) + 8 +... = Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β) + / γ) 4 β δ) 7 + ε) ω στ) + 5 7 5 0 + 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 4β + β β) y 7 ω γ) 5 y β δ) β y ε) β στ) κ κ 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) R ρ R γ) 8y 4y δ) 5 y ε) β 6y ω + 4yω στ) βγ 4γ 5β γ 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) 5 + γ) + δ) 0 + 0 + 5 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + 7 β) 7 + γ) 6 6 4 4 9 δ) 4y 6y 7. Ν κάνετε τις πράξεις: 55
) 5 + β) + γ) + 8. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + β) ( + ) γ) + + 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) β + β ( + β) γ) y 4y y δ) + β ( β) + β ( + β) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: y + y + y + y 5 + 5y y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) β γ βγ + γ β γ) β β + β + 4β 4β. Αν A = + β + β + β + β β κι Β = β + β, ν βρείτε το πηλίκο Α : Β. β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β + β + y β) y y + y + y + y γ) + + + + 4 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y ) y 6 β) δ) ( + ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: β) ( y + ω ) yω γ) ( ) 9 56
) ( + + ) ( + ) β) ( /β ) ( β) γ) ( + β ) ( β 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + β β + ) ( β ) δ) ( β ) : ( β) γ) + + + β β β ) ] Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ) : ( + β ) 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) μ β μ y y + + γ μ β) + y γ) + + 8. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( + y ) : y y β) ( + γ) ( y ) ( y + ) ( δ) ( 5 + y 9 + 8y 5 4β 4 4 y ) ) : ( 9 4β 0 + β 8y 0 ) ) ) ( + ) 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( 4 + + 6 + 9 : + 6 + 8 ) β) ( + y γ) [( + y( y)] : + y y y ) : ( + y ) y ) 57
0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) β + β + β + β γ) β + + β β + β δ) β. Ν κάνετε τις πράξεις: y ) ( y ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( + + + + ) 5 4 4 5 β) [ ( β + y β) 4 y ( y 5 ) γ) 4 + 4 + 4 4 4 β ) ( β + ) ] : ( β + β ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + ) : ( + ) ] β) + γ) y y y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( β)(β γ) + (β γ)(γ ) + (γ )( β) βγ β) ( β)(γ ) + γ (β γ)( β) + β (β γ)(γ ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) ( + y ) + ( y) ( y ) β) + + : 58
+ y + y γ) y y ( y ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β ( β + β + ) β) 4 β 4 4 y + y : β 4 y γ) ( + β + β ) 9β 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( 4 + + 4 ) : ( β) [ β ( + β) + + β ( β) ] : [ + ) ( + β) β + ( β) ] 8. Ν κάνετε τις πράξεις: + y + y + ω ω + + β β + ) + y + ω β) + β + β + β β β γ β γ γ) β β γ β γ β 9. Ν ποδείξετε ότι: + y y = ( y ) 40. ) Ν ποδείξετε ότι: + y + y y = ( y) β) Ν υπολογίσετε την πράστση 7 + 7 7 7 4 4. ) Αν Α = 4 + 4 κι Β = 4 + 4, ν ποδείξετε ότι Α + Β =. 59
β) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί:, 400, 9996 ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου 0.004 0.004 τριγώνου. 4. ) Ν ποδείξετε ότι ν(ν + ) = ν ν + β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ S = + + 4 +... + 000 00 4. ) Ν ποδείξετε ότι ν ν + = ν(ν + ) + (ν + )(ν + ) β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ: S = + + 4 + 4 5 +... + 99.00 + 00 0 60
ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Γι ν είνι η πράστση ν μονώνυμο του, ρκεί το ν ν είνι: Α. κέριος Β. θετικός πργμτικός Γ. θετικός ρητός Δ. θετικός κέριος. Αν ( + β) = + 4β + 4, τότε οι ριθμοί,β είνι: Α. ντίθετοι Β. ντίστροφοι Γ. ετερόσημοι Δ. Μεγλύτεροι του. Αν ισχύει ( + y) = ( y) = ( y), τότε: Α. + y = y Β. = y = 0 Γ. = 0 ή y = 0 Δ. =, =, y = 0 4. Αν ισχύει ( + y) = 8, τότε: Α. y = Β. y + = Γ. = y Δ. + = y 5. Το γινόμενο ( β)( β )( β )( β 4 4 ) είνι ίσο με: Α. 8 β 4 Β. β 6 6 Γ. β 8 8 Δ. 6 β 6 6. Αν,β 0 κι β = β, τότε η διφορά είνι ίση με: β Α. Β. Γ. 0 Δ. + β 7. Αν + /y = 0, τότε το πηλίκο y/4 + y είνι ίσο με: Α. Β. 5 Γ. 5 Δ. 8. Αν το εμβδόν ενός πρλληλογράμμου είνι κι μί διάστσή του είνι, τότε η άλλη είνι: Α. + Β. Γ. + Δ. 9. Στο πρώτο σχήμ φίνετι έν ορθογώνιο με διστάσεις +, με >. 6
Στο δεύτερο σχήμ φίνοντι δύο τετράγων με πλευρές, ντίστοι- χ. Αν τ γρμμοσκισμέν χωρί είνι ισεμβδικά, τότε το ισούτι με: Α. + Β. Γ. Δ. + (ΣΧΗΜΑ) (ΣΧΗΜΑ) 0. Η τιμή της λγεβρικής πράστσης + 4 γι =,5 είνι: Α. 0, Β. 0, Γ. 0,6 Δ.,. Αν + β = 9 00 (με,β 0) κι β = 0, τότε ( + β) είνι: Α. 0 Β. 9 Γ. 0 Δ. 4. Αν = 4, >0, τότε το + είνι ίσο με: Α. _ Β. _ Γ. _ Δ. 4 _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν θ είνι ένς θετικός κι ένς ρνητικός ριθμός, ν βρείτε το πρόσημο των ριθμών: ) θ β) 4θ γ) δ) 0 ε) θ θ + στ) θ + ζ) ( )( ) η) θ θ + θ) ι) + ι) θ + 6 4. Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων: ) Α = 006 [( ) 005 + ( ) 006 ] [( ) + 64
β) Β = ( ) : ( ) + ( ) ( ) 4 ( 4) 5. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: Α = ( + ) + 4 ( β + ) + [ ( β 006 ) 007 6. Ν πλοποιήσετε την πράστση (β ) ] 0 ( ) : { (β ) (β ) [ (β ) κι ν υπολογίσετε την ριθμητική της τιμή γι = _ κι β = ( _ ). γι = κι β =. (β ) ] } 7. Ν βρείτε την τιμή της πράστσης Α = [ y 4 ) ( 4 y ) ] / y 4 ) y 5, ν οι ριθμοί,υ είνι ντίστροφοι. 8. Αν ισχύει _ β β = 5. 0,5 + β =, ν υπολογίσετε την τιμή του 5 0,005 γι = 0 κι 9. Αν ν είνι ένς θετικός κέριος, ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης. Α = ( + 8 ) [ ( ) ν + ( ) ν + ] 0. Ν ποδείξετε ότι: ( _ 5 _ + _ 60 5 ) : 6 _ 5 5 =. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: 0 _ A = 80 9 5 _ 4 4 5 + 5 _ 5 + _ 0 0 _ 0, _ 7 _ _ 9 + _ 8 + 6 _ 9 40 _ 0,0 5. Ν μεττρέψετε το κλάσμ _ που έχει άρρητο πρνομστή σε ισοδύνμο με ρητό 5 πρνομστή.. Αν = _, ν ποδείξετε ότι = + _. 4. Δίνοντι οι ριθμοί Α = y κι Β = y (όπου,y 0). 6
) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί Α κι Β είνι ντίστροφοι β) Ν εξετάσετε ν είνι δυντόν οι Α κι Β ν είνι ντίθετοι. 5. Έν ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6 m κι περίμετρο 6 m. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του. 6. Ν βρείτε τις τιμές των λ κι μ γι τις οποίες η λγεβρική πράστση 5 μ + y + 7y λ + είνι μονώνυμο. 7. Ν βρείτε τ γινόμεν: ) ( β)( + β)( + β )( 4 + β 4 ) β) ( β + β )( + β)( β )( 6 + β 6 ) 8. Αν = y κι β = y, ν ποδείξετε ότι β + β β = + y + y + y 9. Αν + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = (γ β) 0. Αν Α = ( _ 6 _ ) _ + _, ν βρείτε τον ριθμό Α κι στη συνέχει ν ποδείξετε ότι Α =. Αν ισχύει + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = βγ.. Αν = + z, β = y + z, γ = y + z κι ( + y)( y) = z, ν ποδείξετε ότι ( + β)( β) = γ.. ) Ν ποδείξετε ότι [ ( + ) ] ( [ ) ] =. β) Ν γράψετε τον ριθμό 000 ως διφορά τετργώνων δύο κερίων. 4. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 y + 4 y y 4 β) y ω y ω + ω 4 γ) 4 + 4 + ( ) 9 + 8 δ) 4 + 64
5. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 4 4β + β 9 β β) + + yω y ω 6. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( y)( + y) ( y) ( 9y ) β) 4β + 4β 5γ γ) β + 4β 4 δ) 7 7 4 + 7 7. Ν κάνετε γινόμενο τις πρστάσεις: ) ( + 8) ( ) β) 9 8 β + 4β β 8. Ν πλοποιήσετε το κλάσμ 9 6 + 6 + 8 4 9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) κ λ 4 κ λ + κ 4 λ ( + β) β) y βy + y κ λ 4 κ 4 λ ( + β)( y ) y + 40. Ν πλοποιήσετε την πράστση 4 + + + + 4. Αν = + β, ν πλοποιήσετε την πράστση, β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β + β + β β β) + 4 5 + 6 γ) + + + + δ) 4 + 4β β β + β + β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: β + β β ) β + β : + + β β) β + γ + β + γ β + + γ β + γ 65