Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες ταχύτητα και επιτάχυνση κινητού, οριακό κόστος, οριακή είσπραξη, οριακό κέρδος και τη σχέση τους με την έννοια του παραγώγου. 3. Να γνωρίζει σε ποιά σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ορίζεται η εφαπτομένη και να μπορεί κάθε φορά να σχηματίζει την εξίσωση της. 4. Να γνωρίζει: ότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση σε σημείο είναι συνεχής στο σημείο αυτό τις παραγώγους βασικών συναρτήσεων τον κανόνα της αλυσίδας και να μπορεί με τη βοήθειά τους να βρίσκει παραγώγους συναρτήσεων. τα θεωρήματα: Rolle, Μέσης Τιμής και Fermat και να μπορεί να τα εφαρμόζει σε απλές ασκήσεις. 5. Να μπορεί να προσδιορίζει τα διαστήματα στα οποία μια συνάρτηση είναι: Σταθερή γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα κυρτή ή κοίλη και να βρίσκει: α. τα τοπικά ακρότατα και β. τα σημεία καμπή της. 6. Να μπορεί να βρίσκει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης και το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης =.

7. Διαφορικός λογισμός Τύποι - Βασικές έννοιες 7. Να μπορεί να εφαρμόζει τους κανόνες de L Hospital στον υπολογισμό ορίων. 8. Να μπορεί να βρίσκει τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. 9. Να μπορεί να χαράζει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με τη βοήθεια των παραγώγων.

Τύποι - Βασικές έννοιες Διαφορικός λογισμός 73. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: Τύποι - Βασικές έννοιες Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το lim, και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με. Δηλαδή: Αν θέσουμε h = lim = = + h τότε έχουμε: + h = lim h h Ορισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο,αν και μόνο αν,υπάρχουν στο R τα όρια: lim lim και είναι ίσα. + Τα παραπάνω όρια ονομάζονται πλευρικές παράγωγοι στο. Εξίσωση εφαπτομένης Αν υπάρχει το lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός έστω λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο Α την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Δηλαδή, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Α, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C στο σημείo Α, είναι η παράγωγος της στο λ = = εφω, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι: y = Παράγωγος και συνέχεια Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων = c, c R τότε = c = α. Αν β. Αν = τότε = v v γ. Αν = v N-{,} τότε v = = = v v v,

74. Διαφορικός λογισμός Τύποι - Βασικές έννοιες δ. Αν =, [,+ στο = δεν είναι παραγωγίσιμη Για, + είναι: ' = = ε. Αν = ημ τότε = συν ημ στ. = συν τότε = ημ συν ζ. Αν e τότε e = = e η. Αν = ln, > τότε = ln = συν = ημ = e = Κανόνες παραγώγισης α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο παραγωγίσιμη στο με: + g = + g β. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο παραγωγίσιμη στο με: g = g + g Αν c R και παραγωγίσιμη στο τότε η συνάρτηση g τότε η συνάρτηση g τότε: c = c γ. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο g είναι παραγωγίσιμη στο με: και g g = g g + είναι είναι g τότε η συνάρτηση Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η σύνθεση της g με την είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g = g g

Τύποι - Βασικές έννοιες Διαφορικός λογισμός 75. Έστω η συνάρτηση h = g με την g να είναι παραγωγίσιμη στο Α και την παραγωγίσιμη στο g A. Η h = og είναι παραγωγίσιμη στο Α με h' = ' g g' ή dh dh du =, όπου u = g. Κανόνας αλυσίδας. d du d Αναφέρουμε τις παραγώγους βασικών σύνθετων συναρτήσεων μόνο τυπικά χωρίς το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος v v v ηµ συν συν ηµ εϕ σϕ συν ημ e e ln α,α> α lnα α οg, < α nα Θεώρημα Rolle Αν για μία συνάρτηση ισχύουν ότι : είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] είναι παραγωγίσιμη στο α, β και α = β τότε: υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α,β τέτοιο ώστε : ξ =, δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της παραγώγου στο διάστημα α,β. Θεώρημα μέσης τιμής Αν για μία συνάρτηση ισχύουν ότι: είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] είναι παραγωγίσιμη στο α, β β α τότε: υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α,β τέτοιο ώστε: ξ = β α Συνέπειες του θεωρήματος Μέσης Τιμης Πρόταση Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ' = τότε η είναι σταθερή στο Δ δηλαδή = c για κάθε Δ.

76. Διαφορικός λογισμός Τύποι - Βασικές έννοιες Πρόταση Αν οι, g είναι συνεχείς σε διάστημα Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει ' = g' τότε: = g + c για κάθε Δ. Θεώρημα Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: > για κάθε εσωτερικό του Δ, η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν Αν < για κάθε εσωτερικό του Δ, η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Θεώρημα Fermat Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, τότε είναι : =. Θεώρημα 3 Έστω συνάρτηση συνεχής στο α, β. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο α, και γνησίως φθίνουσα στο,β τότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο α, και γνησίως αύξουσα στο,β τότε η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση. ή με άλλη διατύπωση : Έστω συνάρτηση συνεχής στο α, β και παραγωγίσιμη σ αυτό με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του α, β. Αν >, για κάθε α, και <, για κάθε, η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση το. Αν <, για κάθε α β, τότε :, και >, για κάθε, η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση το. β, τότε : Αν η διατηρεί πρόσημο στο α,,β τότε: i. το δεν είναι τ. ακρότατο ii. η είναι γνησίως μονότονη στο α, β. Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Τύποι - Βασικές έννοιες Διαφορικός λογισμός 77. >, για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η είναι κυρτή στο Δ. <, για κάθε εσωτερικό του Δ τότε η είναι κοίλη στο Δ. Αν Αν Πως ορίζεται το σημείο καμπής μιας συνάρτησης. Μια συνάρτηση μπορεί να αλλάζει απο κυρτή σε κοίλη ή απο κοίλη σε κυρτή. Αν αυτό συμβαίνει σε σημείο που η γραφική παράσταση της δέχεται εφαπτομένη τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο καμπής της συνάρτησης. Θεώρημα Αν το Α, είναι σημείο καμπής της C και η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε =. το. Κατακόρυφη ασύμπτωτη Η ευθεία = χαρακτηρίζεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συ- lim lim είναι + ή. νάρτησης αν ένα τουλάχιστον από τα όρια, +. Οριζόντια ασύμπτωτη Αν για μια συνάρτηση ισχύει: lim = k R ή lim = k R, τότε ορίζουμε + οριζόντια ασύμπτωτη της C την ευθεία y = k στο + ή στο αντίστοιχα.

78. Διαφορικός λογισμός Τύποι - Βασικές έννοιες Πλάγια ασύμπτωτη Ορίζουμε την ευθεία y = λ + β ως πλάγια ασύμπτωτη της C στο + ή στο αν : αντίστοιχα. + lim λ + β = ή lim λ + β = Θεώρημα Η y = λ + β είναι ασύμπτωτη της C στο +, αντιστοίχως στο αν και μόνον αν : + = και lim λ R lim λ = β R ή + = και lim λ R lim λ = β R αντίτοιχα.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 79. µ µ µ µ, µ. µ µ, µ ; µ, lim[ ] lim lim lim, µ. µ, lim,. µ µ,, µ µ µ µ, µ µ. c, c R. µ R, c R, : µ, c c.

8. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο lim, c. 3. µ R, R, :. µ, lim lim,. 4,,. µ R, R, :, lim lim,.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 8. 5. µ,,, :, -. lim lim,, 6 µ. µ R, µ R h : h µ h µ µ h µ h µ h h h µ h µ h µ. h h µ h h lim lim, h h h h

8. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο, h lim µ. h h µ. 7. - µ R µ, µ, R h : h h h µ µ h h h h h µ h µ, h h h h lim lim h h h h µ. µ µ. lim µ h µ h h 8, g µ, g µ :, : g g g g g g g g, g µ, µ:.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 83. g g g g lim lim lim g, g g. 9 R * *,. A - * µ R, µ:. A, * R. 4 9,, µ, :, µ, k Z k Z,., =,,., = -,,.. A, µ R R, /

84. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο µ, R µ: µ µ µ µ µ µ. A,, R µ,, - µ,, y ln e µ u ln, µ u u ln y e e u e. u y e. µ- 3 A,, µ R ln, - ln µ,, y ln e µ u ln, µ u u ln y e e u e ln ln. u y e. µ-

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 85. 4 A, ln, µ : µ ln * R : R *, ln ln,, ln ln,, y ln µ u, - µ y ln u. µ, : y ln u u u ln. 5 µ Rolle µ- µ. µ : µ [, ] µ µ,,,,, :

86. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο µ, µ,,,, y,,, µ C M,. O 6 µ µ µ µ µ. µ : µ [, ] µ µ,,,,, : µ, µ,,,, y M,, µ Aa,a µ M, - a.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 87. 7 µ µ µ. µ, - µ. µ,. µ,., µ [, ] - µ µ µ. µ,,, µ,,,,., µ.,,. 8, g µ., g µ - g µ, c, : g c

88. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο g µ g g. µ, µ µ - µ, g y y=g+c y=g O., c, g c, g c. 9 µ, µ. µ,. µ,. ; µ., µ. µ. µ, ]... µ, [,,, µ, µ,.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 89. µ., -, -. µ, 3, y= R, 3 3, y R,. µ R. µ µ µ µ. - - µ µ, : µ µ. µ µ,, y,,,.,, µ, lim lim O. +

9. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο µ,,,,,, µ lim,,,,, - µ lim. 3 A 3.

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 9. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 3..-και.4 Παράγωγος -Ορισμός παραγώγου σελ., άσκηση,4 Α ομάδα σελ., άσκηση 5,6,7,8 σελ. 8, άσκηση Β ομάδα σελ. 4, άσκηση 7 -Παράγωγος συνάρτησης σελ. 38, άσκηση 4 σελ. 39, άσκηση,3,4 σελ. 4, άσκηση 5,9 -Εφαπτομένη σελ. 8, άσκηση,3,4 Β ομάδα σελ. 39, άσκηση 8,9,, σελ. 4, άσκηση,,3,4 σελ. 4, άσκηση, -Ρυθμός μεταβολής σελ. 4, Εφαρμογή σελ. 43, άσκηση,3 σελ. 44, άσκηση 5 Α ομάδα σελ. 44-45, άσκηση,4,5,7,8.5 Θεωρήματα Rolle-ΘΜΤ.6 Συνέπειες ΘΜΤ -Θεωρητικές ασκήσεις σελ. 48, εφαρμογές,3 -Εξισώσεις τουλάχιστον μια ρίζα, το πολύ μια ρίζα, μοναδική κ.λ.π σελ. 47, εφαρμογή σελ. 49, άσκηση Β ομάδα

9. Διαφορικός λογισμός Βήμα ο -Ανισότητες με ΘΜΤ -Να αποδεικνύουμε ότι η είναι σταθερη σελ. 5, άσκηση,3,7 σελ. 5, εφαρμογή σελ. 5, άσκηση 4,5 σελ. 5, εφαρμογή σελ. 56, άσκηση σελ. 57, άσκηση -Εύρεση τύπου συνάρτησης σελ. 93, άσκηση σελ. 38, άσκηση 4 Α ομάδα σελ. 39, άσκηση 4 Β ομάδα.6 Μονοτονία συνάρτησης.7 Τοπικά ακρότατα -Στο θεώρημα μονοτονίας σελ. 56, άσκηση 3,4 σελ. 57, άσκηση 6 -Εύρεση τοπικών-ολικών ακρότατων σελ. 68, άσκηση 3,4 σελ. 7, άσκηση 6 -Ανισότητες με μονοτονία-ακρότατα σελ. 58, άσκηση 7,8 σελ. 66, εφαρμογή σελ. 69, άσκηση 3 σελ. 9, άσκηση σελ. 9, άσκηση 6 -Στο θεώρημα Fermat σελ. 68, άσκηση 5 σελ. 69, άσκηση 4 σελ. 9, άσκηση 7 -Σύνολο τιμών σελ. 55, εφαρμογή σελ. 56, άσκηση 5 σελ. 57, άσκηση -Εξισώσεις σελ. 56, άσκηση 6 σελ. 57, άσκηση 5 σελ. 67, άσκηση σελ. 69, άσκηση, - Προβλήματα σελ. 57, άσκηση 3 σελ. 66, εφαρμογή 3

Βήμα ο Διαφορικός λογισμός 93. σελ. 68, άσκηση 8, σελ. 7-7, άσκηση 7, 8, 3.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής σελ. 77, άσκηση σελ. 78-79, άσκηση, 35.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l Hospital σελ. 85, άσκηση,3 Α Ομάδα σελ. 85-86, άσκηση, Β Ομάδα σελ. 85, άσκηση 4 σελ. 86, άσκηση 4,6. Μελέτη συνάρτησης σελ. 9, άσκηση 3 - Γενικές ασκήσεις σελ. 9, άσκηση 8, 9, - Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 95-99

94. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο. Υποθέτουμε ότι σε κάποια αγορά η τιμή ενός κιβωτίου αχλαδιών είναι μ ευρώ, είναι ο αριθμός των κιβωτίων σε χιλιάδες που εισάγονται στην αγορά κάθε μέρα και η εξίσωση που συσχετίζει αυτά είναι: μ μ 3 + 5 = Αν μετά από κάποια μέρα ο αριθμός των κιβωτίων που εισάγονται στην αγορά γίνεται μικρότερος κατά 5 κιβώτια την ημέρα, να βρείτε * το ρυθμό μεταβολής της αξίας του κιβωτίου όταν η ημερήσια εισαγωγή είναι 5. κιβώτια. Λύση: Αναζητούμε το μ t όταν t = 5. Αν t είναι ο αριθμός των ημερών από τότε που αρχίζει η μείωση της εισαγωγής των κιβωτίων, τα μεγέθη μ και είναι συνάρτηση του t. Επειδή η μείωση είναι κατά 5 5 κιβώτια την ημέρα: ' t = = 4 Παραγωγίζουμε ως προς t τη δοθείσα σχέση. μ t t μ t 3 t + 5 = μ t t + μ t t μ t 3 t = μ t t = μ t t + 3 t Στη σχέση t = 5 και ' t = ενώ από τη σχέση έχουμε: 4 μ t 5 μ t 3 5+ 5= 5μ t = 9 μ t = 6 Άρα από τη σχέση έχουμε: 6 3 μ t 5 = 6 + 3 μ t 5 = 4 4 4 4

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 95. 3 5μ t = μ t = /μέρα 4. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :R im = και = 5 6 3 3 R για την οποία ισχύουν: i. Να δείξετε ότι = 3 6. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M 3, 3. iii. Να δείξετε ότι η ευθεία y = + τέμνει την C σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα 3,5. iv. Αν η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ 3,5 στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Λύση: i. Έστω g =. Τότε img = και = g 3. 3 3 Άρα = g 3 +. Από την παίρνουμε: im = im g 3 + = 6 3 3 Επειδή η είναι συνεχής ισχύει: 3 = 6. ii. Αρχικά πρέπει να βρούμε τον ' 3. [ ] 3 6 + 6 ' 3 = im = im = im = 3 3 3 3 3 3 6 = im + im = + = 3, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι 3 3 3 3 y 3 ' 3 3 y 6 3 3 y 3 3 = = = iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση: h = που είναι συνεχής στο διάστημα [3,5] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι h 3 h 5 = 3 3 5 5 = <, 3,5 τέτοιο ώστε: συνεπώς υπάρχει = +

96. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο Το σημείο, είναι σημείο τομής της C με την y= +. iv. Επειδή η στρέφει τα κοίλα κάτω, ισχύει ότι για κάθε 3,5 η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο 3,5,άρα είναι και. Επειδή 3 = 5 υπάρχει ξ 3,5 τέτοιο ώστε ' ξ = απο θεώρημα Rolle,.Το ξ είναι μοναδικό αφού η είναι συνάρτηση.επομένως Αν 3,5 και < ξ : ' > 'ξ = Αν 3,5 και > ξ : ' < 'ξ = Ο πίνακας μεταβολών της στο 3,5. Άρα η παρουσιάζει στο ξ τοπικό μέγιστο και είναι μοναδικό. λ e + +, < 3. Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η 3 λ + 3, συνάρτηση να είναι συνεχής. Λύση: λ Για < η συνάρτηση = + + e είναι συνεχής. Το ίδιο ισχύει και για > 3 αφού = λ+ 3. Για να είναι συνεχής στο R,πρέπει να είναι συνεχής και στο.δηλαδή πρέπει im = im =. + λ Όμως im = + e ενώ im = λ 3 + 3=. + λ 3 λ 3 Άρα πρέπει να ισχύει e + = λ + 3 e + λ =. Προφανής λύση της είναι το μηδέν, λ =. λ 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση g λ λ = e + λ, λ R, τότε g' λ = e + 3λ > για κάθε λ R.Οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς η g λ = έχει μοναδική λύση στο R.

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 97. 4. Ένας πληθυσμός βακτηρίων μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t σε ώρες ώστε ο ρυθμός μεταβολής του να ισούται με το / του πληθυσμού. Βρείτε τον πληθυσμό t αν στην αρχή υπάρχουν βακτήρια. Πόσος είναι ο πληθυσμός μετά από ώρες; Λύση Για t ισχύει t = t απο όπου παίρνουμε ισοδύναμα: ' t t t ' = ln t = ln t = + c, c R t. t t t c c c Άρα t = e + = e e = c e, όπου c = e. Όμως c μετά από ώρες είναι = =, άρα τελικά t = e με t και ο πληθυσμός = e. 5. Δίνονται,g:[, +, + παραγωγίσιμες και τέτοιες ώστε: g = g και = g και g = και α. Δείξτε ότι = g για κάθε. Λύση β. Βρείτε τους τύπους των, g. α. Για, ισχύουν: = t =. g = g, με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: g g = g g ή = g ή g g g = g g g = ή Άρα υπάρχει c R ώστε g = g. = c = cg για κάθε. Για = έχουμε = cg c=. Άρα τελικά g = για κάθε.

98. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο β. Για ισχύει: = ή g g g g g = ή g g 3 ' = ή 4 g g g = 4 = 4 g ', άρα υπάρχει c R ώστε να ισχύει : 4 c g = + g = 4 + c g = 4 + c με διότι g > για Όμως g = = c=. Άρα τελικά g με. c = 4 + και = 4 + 6. Δίνεται συνάρτηση :, [ ] > για κάθε [,] = R για την οποία ισχύουν : α. Δείξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ, τέτοιο ώστε ξ β. Για, δείξτε ότι: <. Λύση: α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g = στο [ ],. η g είναι παραγωγίσιμη στο [, ] άρα και συνεχής με g g = = = = g ξ =. ξ = Άρα σύμφωνα με το Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g ξ = Δηλαδή: ξ ξ ξ = ξ ξ = ξ ξ ξ =. ξ

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 99. Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση h = στο [, ]. Για [,] ισχύει h = + = >,δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο [,] οπότε και,άρα θα έχει το πολύ μια ρίζα στο [, ].Έτσι το ξ,που προκύπτει απο το θ.rolle,είναι μοναδικό στο διάστημα, β. Θεωρούμε τυχαίο,. Από Θ.Μ.Τ. για την στο [, ], προκύπτει ότι υπάρχει ξ, ξ = Από Θ.Μ.Τ. για την στο [, ], προκύπτει ότι υπάρχει ξ, ξ = τέτοιο ώστε: τέτοιο ώστε: Επειδή < ξ < ξ < και η είναι γν. αύξουσα στο [, ], αφού [, ], ισχύει : ξ ξ < δηλαδή < > στο 7.α. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : [,] R. Δείξτε ότι υπάρχει ξ, + 3 τέτοιο ώστε: ξ =, αν β. Αν ξ = δείξτε ότι υπάρχουν,, 5 <. με < ώστε = 3 γ. Αν για την g = + α + β εφαρμόζεται το Θ. Rolle στα διαστήματα [,] και [,] βρείτε τα α, β Η είναι παραγωγίσιμη στο, δ. Δείξτε ότι υπάρχει p, ώστε 5 p = Η είναι παραγωγίσιμη στο, Λύση α. Θεωρούμε την h = 5 3 στο [, ] Η h είναι συνεχής στο [, ] h = 5 3 = 3 < h = 5 3 = >

. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο δηλαδή h h <. Άρα από Θ. Bolzano υπάρχει ξ, ώστε + 3 5 ξ 3 = ξ = 5 β. Από το Θ.Μ.Τ για την στο [, ] υπάρχει, = = + ώστε 3 3 = 5 5 Από το Θ.Μ.Τ για την στο [, ] υπάρχει, = = τότε + 3 = οπότε 5 5 h ξ = ή 6 6 = και 3 =, άρα 3 γ. Η g είναι 5 συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Rolle στα διαστήματα [, ] και [, ] θα ισχύει: g = g = + α+ β g = g + 4α+ β = + α+ β α β = α = 3α+ β = 3 + 4 β = 5 =. και επειδή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. δ. Ισχύουν g = + α και g = + α α+ β = 3α+ β = Από Θ. Rolle για την g στο [, ] υπάρχει ξ, ώστε g ξ = Από Θ. Rolle για την g στο [, ] υπάρχει ξ, ώστε g ξ = Από Θ. Rolle για την g στο [ ξ,ξ ] υπάρχει p ξ,ξ δηλαδή p, g p = ή p + α = p + 3 = + p p 5 = + = 5 ώστε

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός. 8.α. Δίνεται :,+ R δύο φορές παραγωγίσιμη ώστε = για κάθε >. Αν η ευθεία y= + είναι εφαπτομένη της γραφικής παρά- στασης της στο σημείο της Α, δείξτε ότι = + 3 β. Δίνεται g:, + R για την οποία ισχύει lim g = 4. Βρείτε + την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο +. Λύση: α. Η εφαπτομένη της c στο σημείο A, έχει εξίσωση: y = y= + όμως μας δίνεται ότι η εφαπτομένη είναι η y= +,άρα πρέπει Για > ισχύει : = = και και = = 3 = = = + Άρα υπάρχει c R τέτοιος ώστε: c Όμως = c = c=. Άρα για > είναι =, άρα υπάρχει k R ώστε Όμως = 3 k = 3, άρα τελικά 3 = = c για >. =. = + k με >. = + με >. β. Η y = λ + μ είναι ασύμπτωτη της c g στο + οπότε: g = και μ = lim g λ λ lim + + lim h = 4 Θέτουμε h = g στο, +, οπότε Ισχύει g = h +. Άρα: + g 3 + = h + g = h + + 3

. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο Άρα g 3 λ = lim = lim h + + 4 + = + =. + Επίσης, μ = lim g λ = + + lim h + = + + + = lim h + lim h 3 lim h + 3 + + = 3 + + 7 4 = + 3 + = + 3+. Άρα η ευθεία με εξίσωση 7 y = + είναι η ασύμπτωτη της c g στο +. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις,g:, οποίες ισχύουν: = g = e + R δύο φορές παραγωγίσιμες για τις g g + g = α. Δείξτε ότι g = e n για >. β. Αν τα A, και Λύση: n για > B,g είναι σημεία καμπής των γραφικών παραστάσεων των, g αντίστοιχα και οι εφαπτόμενες σ αυτα είναι παράλ- g. ληλες βρείτε τα και γ. Βρείτε το όριο α. Για +. g lim > ισχύει: g + g + = g Άρα υπάρχει c R ' g + n = g + n. + n ώστε ή g + n = ce Για = έχουμε: g = c e e e = c e c= Άρα: g = e n g = ce n με >.

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 3. β. Τα A,, B,g είναι σημεία καμπής των c, c g αντίστοιχα. Άρα = g =. Τώρα για > ισχύουν: g+ g = e και g + g + g + g = g + g + g = 4e + 4 e + οπότε για = έχουμε 4e = g g + 8 + 8 4e =,άρα g γ. Ισχύουν: = διότι οι εφαπτομένες είναι παράλληλες = = ± e 4e + 8 + e + lim = lim = lim e =+ + + + + + n n lim = lim = lim = + + + Άρα g e n e n lim = lim = lim =+. + + +. Έστω 3 = α + β + γ+ δ. Να βρεθούν τα α, β, γ, δ ώστε η να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο με τετμημένη, καμπή στο σημείο με τετμημένη και η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι η y = + 5. Λύση: Είναι ' = 3α + β + γ και " = 6α + β. Πρέπει ' =, δηλ. 3α+ β+ γ= και " =, δηλ. 6α+ β= 3α+ β= Πρέπει επίσης ' = και = 5,απο όπου παίρνουμε γ = 3 και δ= 5 4. 3 Άρα: 3α+ β= 3α+ 3α= 9α= α=. 9

4. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο Επομένως από τη προκύπτει : β =. 3. Δίνεται η συνάρτηση = πn, >. i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. e π π ii. Να δείξετε ότι e π > e. Λύση: i. ' = π. Είναι π ' > > π> > π. Σχηματίζουμε τον επόμενο πίνακα : π = π π nπ είναι η ελάχιστη τιμή της. ii. Επειδή e π < και η είναι γνησίως φθίνουσα στο ] e > π e πne> π πnπ π π π π e ne π nπ nπ ne π e > > π π π > π e e π π n π e e π π π π π e > e > e π > e π π e e e e, π έχουμε: e π π Άρα e π > e. Σημειώσεις: : Το ακρότατο είναι ολικό διότι: im =+ και im =+. + + n =,. i. Να βρεθούν τα ακρότατα της και το σύνολο τιμών της.. Δίνεται η συνάρτηση: ii. Να δειχθεί ότι e e για κάθε. iii. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης n =. 4

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 5. Λύση: n i. Είναι n ' = = για. 4 4 Έχουμε ' > n >. Για το πρόσημο της σχηματίζουμε τον επόμενο πίνακα: ' Eίναι n n im = im = im = im = im = + + ' + + + Όμοια βρίσκουμε im =. Επίσης im = im im n + + + = + = και όμοια im = Ακόμη είναι e n e = = e e e =. e και Άρα το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα, e. ii. Επειδή η συνάρτηση n είναι γνησίως αύξουσα,έχουμε : e e e e n e n ne en n e, που ισχύει διότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα e n iii. n = = = < 4 4 4 e, e.

6. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο Όμως όταν, e η είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών επειδή, 4 e υπάρχει ξ, e τέτοιο ώστε ξ =. 4 Όταν e, + η είναι γνησίως φθίνουσα με σύνολο τιμών επειδή, 4 e Άρα, στο, e και, e και υπάρχει μοναδικό ξ, ξ e, + τέτοιο ώστε ξ =. 4,+ η = έχει δύο ακριβώς λύσεις. Επειδή η είναι άρτια, η 4 εξίσωση θα έχει δύο ακριβώς λύσεις και στο,. Άρα, συνολικά η εξίσωση = θα έχει ακριβώς τέσσερις λύσεις. 4 3. Δίνεται η συνάρτηση α = n+ nα, α >, >. α i. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθεί η εξίσωση α = α n nα. iii. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. iv. Αν α, β είναι πραγματικοί αριθμοί ώστε α<β, να δείξετε ότι: α α β n > β αβ Λύση: i. Έχουμε α α α α ' = = α α α α + α = = = 4α α + α α α = =, για κάθε >. α α

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 7. α ii. α = α n nα n + nα = = α Όμως α το είναι η μοναδική της ρίζα. = προφανής λύση. Επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο,+ iii.α. Έλεγχος για κατακόρυφη ασύμπτωτη α α α n im = im n nα im nα + + + = + + = α α = im α α n + nα + α Έχουμε: im =+ + α n im n = im im im = + + + + = = Άρα im α α n = α. Από τις και έχουμε + im =. Άρα η = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. + β. Έλεγχος για οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες α α αn + αnα im = im n + nα = im = + + α + α α n nα + α + α = im =+, διότι : + α α αnα n im = im = +, im = im = + +. + Άρα η δεν υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη. α n nα Είναι im = im = + + α α

8. Διαφορικός λογισμός Βήμα 3 ο iv. α im = im n + nα = + α + α α α αn + = im + nα =+ + α Άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη. α α β α β β α n > nα nβ> nβ+ nα> β αβ αβ αβ β > β > α, που ισχύει διότι η είναι γνησίως αύξουσα στο,+ και β > α. 4. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο: n + = Λύση: Πρέπει, >, +,άρα το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα, +.Η είναι συνεχής,ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων,στο πεδίο ορισμού της και παραγωγίσιμη στο n, + με παράγωγο: n ' = = Είναι n ' = = n= = πιθανό ακρότατο n ' > > n< < Απο τα παραπάνω προκύπτει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο,] και γνησίως φθίνουσα στο [, +.Παρουσιάζει μέγιστο για = το =. + n Έχουμε: n n " = = = 4 4 3

Βήμα 3 ο Διαφορικός λογισμός 9. n " = = n= = 3 e πιθανό σημείο καμπής n " > > n> > 3 e 3 = e η παρουσιάζει σημείο καμπής το Άρα στη θέση A e, e = e, e δ. n + = = = e =. Άρα τέμνει τον άξονα στο ση- e μείο A,. Τον άξονα y y δεν τον τέμνει διότι e. ε. Είναι n + im = im = im n + = + = + + +, άρα η = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C στο. Έχουμε n+ im = im = im = im = = λ + + + + [ ] n + im λ = im = im = im = = β + + + + Άρα η y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της στο +. στ. Γραφική παράσταση Πίνακας μεταβολών Είναι n + im = και im = im = im = και επειδή η πα- + + + + ρουσιάζει μέγιστο στη θέση = το = το πεδίο τιμών της είναι το,].

. Διαφορικός λογισμός Βήμα 4 ο 3. Αν ' = 3ημ + συν και η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο M,4, να βρείτε τον τύπο της.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ώστε η συνάρτηση: α β, + =, να ικανοποιεί της υποθέσεις του θ.rolle + γ, < στο διάστημα [,]. 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση π π εφ + = έχει τουλά- 4 4 συν

Βήμα 4 ο Διαφορικός λογισμός. π χιστον μία ρίζα στο διάστημα, 4. 4. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,α] με " m για κάθε,α. Αν υπάρχει γ,α τέτοιο ώστε ' + ' α α m ' γ =, δείξτε ότι: 5. Έστω δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με ' + '' =, για κάθε R και = Δείξτε ότι =, για κάθε R

. Διαφορικός λογισμός Βήμα 4 ο 6. Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσημη στο [ α,β ] με α < < βκαι. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β β α α β = β α '' ξ =. τέτοιο ώστε. 7. Έστω συνάρτηση :, + R με y = y + y,,y, και ' =. i. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, ii. Να βρείτε τον τύπο της.

Βήμα 4 ο Διαφορικός λογισμός 3. 8. Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσημη στο R με α + β, R α,β : '' = Να δείξετε ότι υπάρχει 9. Αν η συνάρτηση είναι φορές παρ/μη στο [,] με g =, να δείξετε ότι υπάρχει ξ, g ξ =. = και τέτοιος ώστε.α. Έστω η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με, για κάθε R. Να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.

4. Διαφορικός λογισμός Βήμα 4 ο e = e + β. Να λύσετε την εξίσωση:. : [,] [,] παραγωγίσιμη με i. Δείξτε ότι υπάρχει, ώστε ii. Δείξτε ότι υπάρχουν =, =. = ξ,ξ, με ξ ξ ξ ξ = ώστε. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει για κάθε R* = + και = e, =. Να βρείτε το τύπο της. e

Βήμα 4 ο Διαφορικός λογισμός 5. 3. Αν συνεχής στο [ 4,4], 4 =, 4 = και παραγωγίσιμη στο 4,4, τότε υπάρχουν ξ,ξ στο 4,4 : + = 8. ξ ξ 4. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τις ευθείες y= και y= 4 σε σημεία με τετμημένες = και = 5, να δείξετε ότι υπάρχουν 4 ξ,ξ στο, 5 : + = 4. ξ ξ

6. Διαφορικός λογισμός Βήμα 4 ο 5. Έστω ότι η ευθεία y= 3 είναι ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της στο +. i. Να βρεθούν τα όρια ii. Να βρεθεί ο πραγματικός λ αν : lim και lim. + + λ 4ημ lim = + + 4

Βήμα 5 ο Διαφορικός λογισμός 7. Θέμα ο Α.α. Έστω, g συναρτήσεις τέτοιες ώστε: να είναι συνεχείς σε διάστημα Δ. ' = g', για κάθε σημείο εσωτερικό του Δ. Αποδείξτε τότε, ότι οι συναρτήσεις, g διαφέρουν κατά κάποια σταθερά c, δηλαδή = g + c. Μονάδες 4 β.να προσδιορίσετε τη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: ' =, για κάθε και η γραφική της παράσταση, διέρχεται από σημείο 4,6. Μονάδες Β.Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ Σωστό ή Λ Λάθος. α.αν η έχει 4 ρίζες τότε η ' έχει τουλάχιστον 3 ρίζες. Μονάδες 3

8. Διαφορικός λογισμός Βήμα 5 ο β.αν η ' έχει ρίζες τότε η έχει το πολύ ρίζες Μονάδες 3 γ.κάθε πολυώνυμο τρίτου βαθμού έχει πάντα σημείο καμπής. Μονάδες 3 Β.Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ έναν αριθμό από το έως το 4, ώστε κάθε όριο της πρώτης στήλης να ταιριάξει με το κατάλληλο σχήμα. 6 im + = 3 5 Α. + y= Β. im = + y=+ Γ. im = + Δ. im + = + 3 y= 6/5+3 5/ A B Γ Δ Μονάδες Θέμα Α.Αν οι συναρτήσεις,g έχουν ίσες παραγώγους στο διάστημα [,] και οι καμπύλες ψ =, ψ = g διέρχονται από τα σημεία 4,, 4,7 αντιστοίχως, τότε g =

Βήμα 5 ο Διαφορικός λογισμός 9. Α. 7 Β. -3 Γ. 3 Δ. -7 Ε. Μονάδες Β.Αποδείξτε ότι n +, για. Μονάδες 5 Θέμα 3 Η συνάρτηση θέσης ενός σωματιδίου που κινείται πάνω στον άξονα S t = t 3 9t + 4t ' είναι: Να βρείτε: α.τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σωματίδιο κινείται προς τα δεξιά. β.τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σωματίδιο κινείται προς τα δεξιά και επιταχύνει. γ.τις χρονικές στιγμές t, t κατά τις οποίες η ταχύτητα του σωματιδίου είναι ίση με το μηδέν. δ.τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η επιτάχυνση του σωματιδίου είναι ίση με το μηδέν. ε.αν σχεδιάσουμε την καμπύλη της συνάρτησης θέσης, τότε ποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά θα είχαν τα σημεία της που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές t,t, t Μονάδες 5

. Διαφορικός λογισμός Βήμα 5 ο Θέμα 4 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση, αν = και ' e =, για κάθε R. Μονάδες 5