ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα Αντοχή Υλικών ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΤΡΙΚΑΛΑ, ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...3 2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΟΠΕΣ...4 2.1 Συστήματα συντεταγμένων... 4 2.2 Δύναμη... 4 2.3 Ανάλυση μοναχικής δύναμης σε δύο κάθετες συνιστώσες... 5 2.4 Σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συντρεχουσών δυνάμεων... 5 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο ζεύγος δυνάμεων... 6 2.6 Παράλληλη μεταφορά δυνάμεων στο επίπεδο... 7 3. ΚΕΝΤΡΟΕΙΔΗ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ...9 3.1 Κεντροειδές επίπεδης επιφάνειας... 9 3.2 Ροπές αδράνειας επίπεδης επιφάνειας... 10 3.3 Πινακοποιημένος υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας... 10 4. ΕΝΤΑΣΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ...13 5. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ...15 5.1 Ορισμός... 15 5.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο... 15 5.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο... 16 5.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου... 17 6. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ...20 6.1 Γενικά... 20 6.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής... 20 6.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών... 21 7. ΚΑΘΑΡΗ ΔΙΑΤΑΣΗ...24 7.1 Ορισμός... 24 7.2 Ορθή τάση... 24 7.3 Τάσεις σε πλάγια επίπεδα... 25 7.4 Αξονική ή ορθή παραμόρφωση... 26 7.5 Ο λόγος του Poisson... 27 8. ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ...29 8.1 Ορισμός... 29 8.2 Απλή κάμψη συμμετρικών διατομών... 29 8.3 Σύνθετες διατομές... 32 9. ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ...34 10. ΔΙΑΤΜΗΣΗ...36 10.1 Ορισμός... 36 10.2 Διατμητική τάση... 36 1

10.3 Διατμητική ή γωνιακή παραμόρφωση... 37 10.4 Διάτμηση συμμετρικών διατομών... 37 11. ΣΤΡΕΨΗ...40 11.1 Ορισμός... 40 11.2 Στρέψη κυκλικών διατομών... 40 12. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...42 2

1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι ανά χείρας σημειώσεις απευθύνονται στους σπουδαστές του 3 ου εξαμήνου του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. του ΤΕΙ Θεσσαλίας (Παράρτημα Τρικάλων) και καλύπτουν το μάθημα της Αντοχής Υλικών. Αποτελούνται ουσιαστικά από δύο μέρη: Στο 1 ο μέρος γίνεται μια σύντομη επισκόπηση βασικών στοιχείων από την Τεχνική Μηχανική, ενώ στο 2 ο γίνεται μια εισαγωγή στην Αντοχή Υλικών. Προφανώς, δεν διεκδικούν την πληρότητα ενός συγγράμματος Μηχανικής ή Αντοχής Υλικών, αλλά στοχεύουν στην όσο το δυνατόν πιο συνοπτική και απλή παρουσίαση των απαραίτητων θεωρητικών γνώσεων. Ωστόσο, επισημαίνεται στους σπουδαστές ότι απλώς και μόνο η μελέτη της θεωρίας δεν επαρκεί για την κατανόηση των βασικών αρχών της Μηχανικής και της Αντοχής Υλικών και συνεπώς για την επιτυχία στις εξετάσεις του μαθήματος απαιτείται ταυτόχρονα συστηματική παρακολούθηση και ενεργός συμμετοχή κατά την επίλυση ασκήσεων στην τάξη. Επιπλέον, κρίνεται απαραίτητη και η αυτοδύναμη επίλυση ασκήσεων στο σπίτι. 3

2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΟΠΕΣ 2.1 Συστήματα συντεταγμένων Στη Μηχανική χρησιμοποιούνται κατά κανόνα δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων Οxz. Ένας πρακτικός τρόπος για να διακρίνουμε ένα δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς είναι ο κανόνας του δεξιού χεριού, σύμφωνα με τον οποίο αν εκτείνουμε τα τρία πρώτα δάκτυλα του δεξιού χεριού έτσι ώστε να σχηματίζουν τρισορθογώνιους άξονες και ο αντίχειρας να δείχνει προς τη θετική φορά του άξονα x, τότε ο δείκτης δείχνει τη θετική φορά του άξονα και ο μέσος του z. Δεδομένου ότι στο πλαίσιο του μαθήματος της Μηχανικής Ι εξετάζονται μόνο επίπεδοι φορείς, θα θεωρείται εφεξής ότι αυτοί βρίσκονται στο επίπεδο x, οπότε θα εργαζόμαστε στο σύστημα αναφοράς του σχήματος 2.1. Επισημαίνεται ότι η θετική φορά του άξονα z εξέρχεται από το επίπεδο εργασίας. Αυτό έχει ως συνέπεια η θετική φορά των ροπών και στροφών να είναι η αριστερόστροφη. Σχήμα 2.1 Επίπεδο σύστημα αναφοράς Οx 2.2 Δύναμη Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (σχ. 2.2.α). Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιοριστεί πλήρως μια μοναχική δύναμη απαιτείται η γνώση του μέτρου, της διεύθυνσης, της φοράς και του σημείου εφαρμογής της. Η μονάδα μέτρησης της δύναμης στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI) είναι το Newton (1N=1Kgr m/sec 2 ) και τα παράγωγά του (kn, MN κτλ.). Στο πλαίσιο της Μηχανικής συναντούμε μοναχικές δυνάμεις είτε ως φορτία, οπότε συμβολίζονται συνήθως με Ρ ή F, είτε ως εσωτερικά φορτία διατομής (τέμνουσα δύναμη Q ή V και αξονική δύναμη Ν). Εκτός από τις μοναχικές δυνάμεις, συναντούμε ως φορτία και κατανεμημένες δυνάμεις με ομοιόμορφη (σχ. 2.2.β), τριγωνική (σχ. 2.2.γ), τραπεζοειδή (σχ. 2.2.δ) ή και τυχαία κατανομή. Οι κατανεμημένες δυνάμεις συμβολίζονται κατά κανόνα με q και έχουν διαστάσεις δύναμης ανά μονάδα μήκους (συνήθως kn/m). 4

Σχήμα 2.2 Μοναχική και κατανεμημένες δυνάμεις 2.3 Ανάλυση μοναχικής δύναμης σε δύο κάθετες συνιστώσες Συχνά στη Μηχανική τίθεται το πρόβλημα της ανάλυσης μιας μοναχικής δύναμης με τυχαία διεύθυνση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (συνήθως κατά τους άξονες x και ). Αν το διάνυσμα μιας δύναμης Ρ σχηματίζει γωνία φ με τον οριζόντιο άξονα x (σχ. 2.3), τότε το μέτρο των δύο συνιστωσών της P x και P είναι: P x = Ρcosφ και P = Ρsinφ (2.1) Σχήμα 2.3 Ανάλυση δύναμης 2.4 Σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συντρεχουσών δυνάμεων Το μέτρο της συνισταμένης Ρ δύο συντρεχουσών δυνάμεων P 1 και P 2 που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία θ (σχ. 2.4) υπολογίζεται γραφικά με τη βοήθεια του κανόνα του παραλληλογράμμου και αναλυτικά από τον παρακάτω τύπο: P 1 2 1 2 2 2 P P 2 P P cosθ (2.2) Από το σχήμα 2.4 προκύπτει γεωμετρικά ότι το ημίτονο της γωνίας a που σχηματίζει η συνισταμένη Ρ με την P 1 είναι: P2 sina sinθ (2.3) P Σχήμα 2.4 Σύνθεση δύο συντρεχουσών δυνάμεων 5

Για τη σύνθεση ενός συστήματος περισσοτέρων των δύο συντρεχουσών δυνάμεων Ρ i στο επίπεδο ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα: Όλες οι δυνάμεις Ρ i αναλύονται σε δύο συνιστώσες Ρ xi και Ρ i παράλληλες με τους άξονες του συστήματος αναφοράς εφαρμόζοντας τις σχέσεις (2.1). Υπολογίζονται οι δύο συνιστώσες της συνισταμένης δύναμης Ρ κατά τους δύο άξονες: Ρ x = ΣΡ xi και Ρ = ΣΡ i (2.4) Υπολογίζεται το μέτρο Ρ και η γωνία διεύθυνσης a της συνισταμένης. Με δεδομένο οι Ρ x και Ρ είναι κάθετες μεταξύ τους (θ = 90 ο ) οι σχέσεις (2.2) και (2.3) απλοποιούνται ως εξής: P (2.5) tana = 2 2 P x P P P x (2.6) 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο ζεύγος δυνάμεων Η ροπή μιας δύναμης ως προς ένα σημείο του επιπέδου συμβολίζεται με Μ και ισούται με το μέτρο της επί την απόσταση του σημείου από το φορέα της δύναμης: Μ = Ρ r (σχ. 2.5). Η ροπή έχει διαστάσεις δύναμης επί μήκος (συνήθως knm). Είναι και αυτή διανυσματικό μέγεθος με το διάνυσμά της κάθετο στο επίπεδο εργασίας. Η φορά της λαμβάνεται θετική όταν η φορά του διανύσματός της ταυτίζεται με τη θετική φορά του άξονα z, δηλαδή όταν εξέρχεται από το επίπεδο x (αριστερόστροφη). Για παράδειγμα η ροπή της δύναμης Ρ ως προς το σημείο Α στο σχήμα 2.5 είναι θετική. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν δύο σημαντικές ιδιότητες της ροπής: Η ροπή μιας δύναμης ως προς ένα συγκεκριμένο σημείο δεν μεταβάλλεται αν η δύναμη μετακινηθεί πάνω στο φορέα της. Η ροπή μιας δύναμης ως προς όλα τα σημεία μιας ευθείας που είναι παράλληλη στο φορέα της είναι ίση. Μ = Ρ r Σχήμα 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο 6

Δύο παράλληλες δυνάμεις με ίσα μέτρα, αλλά αντίθετες φορές ονομάζονται ζεύγος δυνάμεων (σχ. 2.6). Η ροπή του ζεύγους δυνάμεων (δηλαδή το άθροισμα των ροπών κάθε δύναμης) είναι σταθερή ως προς όλα τα σημεία του επιπέδου και ίση με το γινόμενο του μέτρου της μιας δύναμης επί την μεταξύ τους απόσταση: Μ = Ρ d (στην περίπτωση του σχήματος 2.6 είναι αριστερόστροφη, δηλαδή θετική). Συνήθως, τη ροπή ενός ζεύγους τη συμβολίζουμε με ένα καμπύλο βέλος στο επίπεδο, μια μοναχική ροπή. Στο πλαίσιο της Μηχανικής συναντούμε μοναχικές ροπές είτε ως φορτία είτε ως εσωτερικά φορτία διατομής (ροπή κάμψης Μ). Σχήμα 2.6 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Η ροπή μιας κατανεμημένης δύναμης ως προς οποιοδήποτε σημείο ισούται με τη ροπή της συνισταμένης της ως προς το σημείο αυτό. Η συνισταμένη μιας κατανεμημένης δύναμης ισούται με το ολοκλήρωμα της δύναμης κατά μήκος του δομικού στοιχείου στο οποίο ασκείται, ενώ το σημείο εφαρμογής της είναι η προβολή στον άξονα του δομικού στοιχείου του κεντροειδούς της επιφάνειας που ορίζεται μεταξύ της δύναμης και του δομικού στοιχείου. Για παράδειγμα η συνισταμένη ενός ομοιόμορφου φορτίου q που ασκείται σε μήκος L ενός γραμμικού δομικού στοιχείου είναι R = q L και το σημείο εφαρμογής της είναι στο μέσο του μήκους L. Προσοχή: η αντικατάσταση ενός κατανεμημένου φορτίου από τη συνισταμένη του είναι επιτρεπτή μόνο κατά την κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας και όχι κατά τον υπολογισμό και τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής. 2.6 Παράλληλη μεταφορά δυνάμεων στο επίπεδο Μια δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα σημείο Α του επιπέδου μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα σε οποιοδήποτε σημείο Β, εάν συνοδευτεί και από τη ροπή της ως προς αυτό. Π.χ. η μοναχική δύναμη Ρ του σχήματος 2.7 που εφαρμόζεται στο σημείο Α ισοδυναμεί με το σύστημα της δύναμης Ρ που εφαρμόζεται στο σημείο Β και την αντίστοιχη ροπή ως προς το Β, Μ = Ρ r. Προσοχή: η παράλληλη μεταφορά δύναμης είναι επιτρεπτή μόνο κατά την κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας 7

και όχι κατά τον υπολογισμό και τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής. Σχήμα 2.7 Παράλληλη μεταφορά δύναμης 8

3. ΚΕΝΤΡΟΕΙΔΗ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ 3.1 Κεντροειδές επίπεδης επιφάνειας Οι συντεταγμένες του κεντροειδούς G μιας επίπεδης επιφάνειας (που μπορεί να είναι η διατομή ενός δομικού στοιχείου) υπολογίζονται εν γένει με τη βοήθεια επιφανειακών ολοκληρωμάτων. Στην πράξη, οι συντεταγμένες των κεντροειδών ορισμένων χαρακτηριστικών επιφανειών (π.χ. ορθογώνιο, τρίγωνο κτλ) λαμβάνονται από πίνακες. Οι συντεταγμένες x G και G του κεντροειδούς μιας σύνθετης επιφάνειας που αποτελείται από n επιμέρους επιφάνειες με γνωστά εμβαδά Α i και συντεταγμένες κεντροειδών x i και i (i = 1, 2,, n) δίνονται από τους παρακάτω τύπους: x ia i x G, A i ia i G (3.1) A Στην περίπτωση που στη σύνθετη επιφάνεια υπάρχει μια οπή k, τότε η επιφάνεια Α k και τα γινόμενα x k Α k και k Α k εισάγονται στους τύπους με αρνητικό πρόσημο. Παρατήρηση 1: Στην πράξη έχει επικρατήσει αντί του όρου κεντροειδές να χρησιμοποιείται ο όρος κέντρο βάρους, πράγμα που είναι μάλλον αδόκιμο, καθώς οι επίπεδες επιφάνειες δεν έχουν βάρος. Παρατήρηση 2: Οι συντεταγμένες x i και i των κεντροειδών των επιμέρους τμημάτων μιας σύνθετης επιφάνειας, θα πρέπει να αναφέρονται πάντα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων Οx. Παρατήρηση 3: Για λόγους διευκόλυνσης των υπολογισμών, συνιστάται η αρχή Ο του συστήματος συντεταγμένων να λαμβάνεται στην κάτω αριστερή γωνία της σύνθετης επιφάνειας (χωρίς κάτι τέτοιο να είναι δεσμευτικό). Παρατήρηση 4: Υπενθυμίζεται ότι το κεντροειδές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ταυτίζεται με το σημείο τομής των δύο διαγωνίων του, ενός κύκλου με το κέντρο του, ενώ το κεντροειδές ενός ορθογωνίου τριγώνου βρίσκεται σε απόσταση ενός τρίτου κάθε κάθετης πλευράς από την κορυφή της ορθής γωνίας (σχ 3.1). i Σχήμα 3.1 Κεντροειδή βασικών διατομών 9

3.2 Ροπές αδράνειας επίπεδης επιφάνειας Οι ροπές αδράνειας μιας επίπεδης επιφάνειας (που μπορεί να είναι η διατομή ενός δομικού στοιχείου) εκφράζουν την αντίσταση μιας διατομής σε κάμψη. Υπολογίζονται εν γένει με τη βοήθεια επιφανειακών ολοκληρωμάτων. Στην πράξη, οι ροπές αδράνειας ορισμένων χαρακτηριστικών επιφανειών (π.χ. ορθογώνιο, τρίγωνο κτλ.) ως προς το κεντροειδές τους λαμβάνονται από πίνακες, όπως ο πίνακας 3.1. Οι μονάδες μέτρησής τους είναι m 4. Πίνακας 3.1 Ροπές αδράνειας βασικών διατομών L x L Ιx = 12 3 L x L Ι = 12 3 L x L Ιx = 36 3 3 L x L Ι = 36 π r Ιx = Ι = 4 4 Οι ροπές αδράνειας Ιx G και Ι G μιας σύνθετης επιφάνειας που αποτελείται από n επιμέρους επιφάνειες με γνωστά εμβαδά Α i, ροπές αδράνειας Ιx i και Ι i και συντεταγμένες κεντροειδούς x i και i (i = 1, 2,, n) δίνονται από τους παρακάτω τύπους που βασίζονται στο θεώρημα των παράλληλων αξόνων ή θεώρημα Steiner: Ιx G = ( Ιx i + Α i 2 0i ) (3.2) Ι G = ( Ι i + Α i x 2 0i ) (3.3) όπου x 0i, 0i οι αποστάσεις κατά τους άξονες x και αντίστοιχα του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας από το κεντροειδές της σύνθετης επιφάνειας συνολικά. 3.3 Πινακοποιημένος υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας Οι απαιτούμενοι υπολογισμοί για την εύρεση της θέσης του κεντροειδούς και των ροπών αδράνειας μιας σύνθετης επιφάνειας μπορούν να οργανωθούν επί ενός πίνακα, όπως ο πίνακας 3.2. Αυτός ο τρόπος υπολογισμού είναι ο πλέον πρακτικός, ιδιαίτερα όταν η σύνθετη διατομή αποτελείται από πολλές επιμέρους επιφάνειες. Η όλη διαδικασία περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 10

1. Η σύνθετη επιφάνεια αναλύεται σε n επιμέρους επιφάνειες (ορθογώνια, τρίγωνα, κύκλους, κτλ.) των οποίων τα χαρακτηριστικά είναι άμεσα υπολογίσιμα από πίνακες. 2. Καθορίζεται η θέση του γενικού συστήματος συντεταγμένων Ox (κατά προτίμηση το Ο λαμβάνεται στην κάτω αριστερή γωνία της σύνθετης διατομής). 3. Καταγράφονται οι συντεταγμένες x i και i του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας ως προς το γενικό σύστημα συντεταγμένων Ox (στήλες (2) και (3) του πίνακα). 4. Υπολογίζεται το εμβαδόν Α i κάθε επιμέρους επιφάνειας, καθώς και το συνολικό εμβαδόν της σύνθετης διατομής (στήλη (4) του πίνακα). 5. Υπολογίζονται τα γινόμενα x i A i και i A i (στήλες (5) και (6) του πίνακα). Τα σύνολα των δύο στηλών είναι ίσα με x ia i και ia i αντίστοιχα. 6. Υπολογίζονται από τις σχέσεις (3.1) οι συντεταγμένες του κεντροειδούς της σύνθετης διατομής x G και G. 7. Υπολογίζονται με τη βοήθεια πινάκων οι ροπές αδράνειας Ιx i και Ι i κάθε επιμέρους επιφάνειας ως προς το κεντροειδές της (όχι ως προς το κεντροειδές της σύνθετης διατομής) (στήλες (7) και (8) του πίνακα). 8. Οι Ιx i και Ι i μεταφέρονται στο κεντροειδές της σύνθετης διατομής με τη βοήθεια των σχέσεων (3.4) και (3.5) (στήλες (9) και (10) του πίνακα), Ιx Gi = Ιx i + Α i 0i 2 Ι Gi = Ι i + Α i x 0i 2 (3.4) (3.5) όπου x 0i, 0i οι αποστάσεις κατά τους άξονες x και αντίστοιχα του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας από το κεντροειδές της σύνθετης διατομής, δηλαδή: x 0i = x i - x G (3.6) 0i = i - G (3.7) 9. Τα σύνολα των στηλών (9) και (10) ταυτίζονται με τις ζητούμενες ροπές αδράνειας Ιx G και Ι G αντίστοιχα. 11

Πίνακας 3.2 Υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας σύνθετης επιφάνειας (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) α/α x i i Α i x i A i i A i Ιx i Ι i Ιx Gi Ι Gi 1 2 n Σύνολα (m) (m) (m 2 ) (m 3 ) (m 3 ) (m 4 ) (m 4 ) (m 4 ) (m 4 ) 12

4. ΕΝΤΑΣΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Κάθε φορέας υπό την επίδραση μιας συγκεκριμένης φόρτισης εμφανίζει μια αντίστοιχη εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση. Με τον όρο εντασιακή κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (αντιδράσεις) και εσωτερικών (φορτία διατομής) εντασιακών μεγεθών ενός φορέα. Αντιστοίχως, με τον όρο παραμορφωσιακή κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (μετατοπίσεις και στροφές κόμβων) και εσωτερικών (παραμορφώσεις) παραμορφωσιακών μεγεθών. Η εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση ενός φορέα συνίσταται σε επιμέρους καταστάσεις επιπόνησης που εν γένει συνυπάρχουν σε κάθε δομικό στοιχείο. Οι καταστάσεις επιπόνησης είναι οι εξής τέσσερεις: διάταση, κάμψη, διάτμηση, στρέψη. Σε κάθε κατάσταση επιπόνησης αντιστοιχεί ένα είδος φορτίου διατομής και ένα εργικά ανταποκρινόμενο μέγεθος παραμόρφωσης, τα οποία συνδέονται αναλογικά μεταξύ τους με συντελεστή αναλογίας μια ποσότητα που ονομάζεται στιβαρότητα και εξαρτάται από το υλικό και το σχήμα της διατομής κάθε δομικού στοιχείου. Στον πίνακα 4.1 συνοψίζονται οι καταστάσεις επιπόνησης, με τα σχετιζόμενα μεγέθη (φορτία διατομής, παραμορφωσιακά μεγέθη, στιβαρότητες). Με κάθε μέγεθος δίνονται οι μονάδες μέτρησής του και οι αντίστοιχοι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πράξη. Πίνακας 4.1 Καταστάσεις επιπόνησης Κατάσταση Φορτίο διατομής επιπόνησης Διάταση (εφελκυσμός ή θλίψη) Κάμψη Διάτμηση Στρέψη Αξονική δύναμη (εφελκυστική ή θλιπτική) N (kn) Ροπή κάμψης M (knm) Τέμνουσα δύναμη Q ή V (kn) Ροπή στρέψης M T (knm) Μέγεθος παραμόρφωσης Αξονική παραμόρφωση (επιμήκυνση ή επιβράχυνση) ε (-) Καμπύλωση κ (m -1 ) Γωνιακή παραμόρφωση γ (-) Συστροφή θ (m -1 ) Επεξήγηση συμβολισμών Ε: Μέτρο ελαστικότητας υλικού (kn/m 2 = kpa) G: Μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης υλικού (kn/m 2 = kpa) Α: Εμβαδόν διατομής (m 2 ) Ι: Ροπή αδράνειας διατομής (m 4 ) A s : Επιφάνεια διάτμησης διατομής (m 2 ) I T : Στρεπτική ροπή αδράνειας διατομής (m 4 ) Στιβαρότητα Δυστένεια EA (kn) Δυσκαμψία EI (knm 2 ) Δυστμησία GA s (kn) Δυστρεψία GI T (knm 2 ) 13

Παρατήρηση 1: Εν γένει τα φορτία διατομής που καταπονούν ένα δομικό στοιχείο στο χώρο είναι έξι (και όχι τέσσερα), καθώς ροπές κάμψης και τέμνουσες δυνάμεις υπάρχουν σε δύο άξονες. Το ίδιο ισχύει και για τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά μεγέθη. Παρατήρηση 2: Οι στιβαρότητες εξαρτώνται από δύο παράγοντες, ο ένας εκ των οποίων εκφράζει τη συμβολή του υλικού (Ε ή G) και ο άλλος τη συμβολή του σχήματος της διατομής του δομικού στοιχείου (Α ή Ι ή A s ή I T ). Διευκρινίζεται ότι οι στιβαρότητες του πίνακα αναφέρονται σε επίπεδο διατομής. Στην πραγματικότητα οι στιβαρότητες ενός γραμμικού δομικού στοιχείου εξαρτώνται επιπλέον και από το μήκος και τις συνθήκες στήριξής του. Παρατήρηση 3: Πολλές φορές στην πράξη, ο όρος δυσκαμψία χρησιμοποιείται λανθασμένα για να εκφράσει το σύνολο των στιβαροτήτων μιας διατομής. Επίσης, μερικές φορές, αντί του όρου δυσκαμψία χρησιμοποιείται ο όρος ακαμψία, που στην κυριολεξία σημαίνει πρακτικώς άπειρη δυσκαμψία. Καλό είναι η χρήση των παραπάνω όρων να γίνεται προσεκτικά, ώστε να αποφεύγονται παρερμηνείες. 14

5. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ 5.1 Ορισμός Δίσκος είναι ένα σώμα, που υπό την παραδοχή ότι όλα τα επιμέρους δομικά του στοιχεία είναι απαραμόρφωτα, είναι και αυτός στο σύνολό του απαραμόρφωτος. Πρακτικά δίσκος θεωρείται οποιοδήποτε συνεχές τμήμα ενός φορέα που δεν διακόπτεται από εσωτερικούς μηχανισμούς, π.χ. εσωτερικές αρθρώσεις. Όταν όλα τα δομικά στοιχεία ενός δίσκου βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε αυτός καλείται επίπεδος. 5.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο Έστω ένας επίπεδος δίσκος που αποτελείται από ένα γραμμικό δομικό στοιχείο (η επιλογή της απλούστερης αυτής μορφής δίσκου δεν περιορίζει την γενικότητα των συμπερασμάτων που θα εξαχθούν). Ο δίσκος (σχ. 5.1) μετακινείται στο επίπεδο από την αρχική του θέση ΑΒ στην τελική Α Β. Η κίνηση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε τρεις επιμέρους μετακινήσεις ως εξής: καταρχάς ο δίσκος υφίσταται μια παράλληλη μετατόπιση στη θέση Α Β που περιλαμβάνει μια κατακόρυφη συνιστώσα u και μια οριζόντια u x. Στη συνέχεια υφίσταται μια περιστροφή φ γύρω από το σημείο Α. Οι τρεις αυτές δυνατότητες μετακίνησης (u x, u, φ) που διαθέτει ένας δίσκος στο επίπεδο ονομάζονται ελευθερίες κίνησης ή βαθμοί ελευθερίας. Σχήμα 5.1 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο 15

5.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο Προκειμένου ένας επίπεδος δίσκος να στηριχθεί στερεά θα πρέπει να αρθούν οι τρεις διαθέσιμες ελευθερίες κίνησης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των δεσμικών ράβδων. Οι δεσμικές ράβδοι μπορεί να είναι είτε δρομικές είτε στροφικές. Κάθε δρομική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη διεύθυνσή της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια διεύθυνση. Κάθε στροφική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη στροφή γύρω από το σημείο τοποθέτησής της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-ροπή. Στην απλούστερη περίπτωση ένας δίσκος μπορεί να στηριχτεί μόνο με δρομικές δεσμικές ράβδους (σχ. 5.2). Δεδομένου ότι οι ελευθερίες κίνησης του επίπεδου δίσκου είναι τρεις, τόσος είναι και ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός δεσμικών ράβδων ώστε η στήριξη να είναι στερεή. Ωστόσο, η ύπαρξη του ελάχιστου αριθμού δεσμικών ράβδων δεν αρκεί για να εξασφαλίσει την στερεότητα στήριξης (αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή). Θα πρέπει επιπλέον οι δεσμικές ράβδοι να είναι και κατάλληλα διατεταγμένες, ώστε να αποφεύγονται ασταθείς (χαλαρές) μορφές στήριξης. Για παράδειγμα, όταν ο δίσκος στηρίζεται με δρομικές δεσμικές ράβδους, τότε αυτές δεν πρέπει να είναι όλες παράλληλες, ούτε οι φορείς τους να τέμνονται όλοι στο ίδιο σημείο. (α) (β) (γ) Σχήμα 5.2 Στήριξη δίσκου με δρομικές δεσμικές ράβδους (α) στερεή (β), (γ) χαλαρή Στην πράξη οι φορείς στηρίζονται στο στερεό υπόβαθρο μέσω κατάλληλων μηχανισμών-εφεδράνων που ονομάζονται στηρίξεις. Οι συνηθέστερες είναι οι εξής: Κύλιση. Η κύλιση αντιστοιχεί σε στήριξη με μια δρομική δεσμική ράβδο. Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη διεύθυνση της ράβδου και εισάγει μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια διεύθυνση. Άρθρωση. Η άρθρωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές δεσμικές ράβδους που τέμνονται σε ένα σημείο. Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση του σημείου προς οποιαδήποτε διεύθυνση και εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις κατά τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων. 16

Πάκτωση. Η πάκτωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές και μία στροφική δεσμική ράβδο. Έτσι, απαγορεύει τη στροφή και τη μετατόπιση του σημείου τοποθέτησής της προς οποιαδήποτε διεύθυνση, ενώ παράλληλα εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις κατά τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων και μια αντίδραση-ροπή. Στον πίνακα 5.1 δίνονται οι συνήθεις συμβολισμοί των τριών βασικών μηχανισμών στήριξης. Πίνακας 5.1 Συνήθεις συμβολισμοί μηχανισμών στήριξης Μηχανισμός Συμβολισμοί Κύλιση Άρθρωση Πάκτωση 5.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός στερεά εδραζόμενου επίπεδου δίσκου υπό οποιαδήποτε φορτία εφαρμόζεται η αρχή της αποδεσμεύσεως του Lagrange σε συνδυασμό με τις συνθήκες ισορροπίας. Σύμφωνα με την αρχή της αποδεσμεύσεως του Lagrange, αν καταλύσουμε τις στηρίξεις ενός ισορροπούντος φορέα και στις θέσεις τους προσάγουμε τις αντίστοιχες αντιδράσεις, τότε η εντασιακή κατάσταση του φορέα δεν μεταβάλλεται και αυτός εξακολουθεί να βρίσκεται σε ισορροπία. Πρακτικά, για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός επίπεδου δίσκου, σαν αυτόν του σχήματος 5.3.α, ακολουθούνται τα εξής βήματα: 1. Καταλύονται οι στηρίξεις. 2. Στη θέση των στηρίξεων προσάγονται οι αντίστοιχες αντιδράσεις. Από τη διαδικασία αυτή προκύπτει το λεγόμενο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος (ΔΕΣ) (σχ. 5.3.β). 17

3. Καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας, από τις οποίες προκύπτουν οι άγνωστες αντιδράσεις. Ως γνωστόν, στο επίπεδο διατίθενται τρεις εξισώσεις ισορροπίας και συγκεκριμένα οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων: F x 0 και F 0 (5.1) και μια εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς ένα σημείο i του επιπέδου: M i 0 (5.2) (α) (β) Σχήμα 5.3 Επίπεδος δίσκος (α) και Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος αυτού (β) Παρατήρηση 1: Η φορά προσαγωγής των αντιδράσεων κατά το βήμα 2 μπορεί καταρχάς να επιλέγεται τυχαία. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική τιμή για κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά συμπίπτει με την αρχικά επιλεγείσα. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αντίθετη με την αρχικά επιλεγείσα. Στην πράξη πολλές φορές μπορεί να γίνει διαισθητικά μια προεκτίμηση της πραγματικής φοράς των αντιδράσεων, ώστε να αποφευχθούν αρνητικές τιμές. Παρατήρηση 2: Σε περίπτωση ύπαρξης λοξών φορτίων, κατά τη σχεδίαση του Διαγράμματος Ελεύθερου Σώματος του φορέα θα πρέπει αυτά να αναλύονται σε δύο συνιστώσες παράλληλες με τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Ox, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η (αρχικά επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου ταυτίζονται με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη εισάγονται στις εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η (αρχικά επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου είναι αντίθετες με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη εισάγονται στις εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις 18

ροπές (φορτία ή αντιδράσεις). Υπενθυμίζεται ότι η θετική φορά των ροπών είναι η αριστερόστροφη. Παρατήρηση 4: Δεδομένου ότι οι διαθέσιμες εξισώσεις ισορροπίας στο επίπεδο είναι τρεις, συνεπάγεται ότι ο μέγιστος αριθμός αντιδράσεων ενός δίσκου που μπορεί να προσδιοριστεί με την παραπάνω διαδικασία είναι επίσης τρεις. Στην περίπτωση αυτή η στήριξη του δίσκου ονομάζεται ισοστατική. Αν ο αριθμός των αντιδράσεων είναι μεγαλύτερος, τότε οι εξισώσεις ισορροπίας δεν αρκούν για τον προσδιορισμό τους και η στήριξη ονομάζεται υπερστατική. Παρατήρηση 5: Η μία ή και οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων μπορούν να αντικατασταθούν από εξισώσεις ισορροπίας ροπών ως προς οποιαδήποτε σημεία του επιπέδου (πλην του i). Σε κάθε περίπτωση όμως, αυτές οι επιπλέον εξισώσεις είναι εξαρτημένες με τις προηγούμενες και ο μέγιστος αριθμός των αντιδράσεων που μπορούν να προσδιοριστούν παραμένει τρεις. Παρατήρηση 6: Στην πράξη θα πρέπει να γίνεται έξυπνη επιλογή τόσο των σημείων ως προς τα οποία καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας ροπών, όσο και της σειράς κατάστρωσης των εξισώσεων. Για παράδειγμα, στο φορέα του σχήματος 5.3 μια έξυπνη επιλογή είναι η εξίσωση ισορροπίας ροπών στο σημείο Α, καθώς τα δύο από τα τρία άγνωστα μεγέθη (Α x και A ) έχουν μηδενικές ροπές (αφού διέρχονται από το Α). Ως εκ τούτου στην εξίσωση υπεισέρχεται μόνο ένα άγνωστο μέγεθος (Β ) το οποίο μπορεί να υπολογιστεί άμεσα χωρίς την επίλυση συστήματος εξισώσεων. Για τον ίδιο λόγο, η κατάστρωση της ισορροπίας ροπών ως προς το Α θα πρέπει να προηγηθεί της κατάστρωσης της ισορροπίας δυνάμεων κατά τον άξονα. 19

6. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 6.1 Γενικά Οι δομικοί φορείς υπό την επίδραση των φορτίων τους εμφανίζουν εσωτερική ένταση. Έστω για παράδειγμα η δοκός του σχήματος 6.1, από την οποία αποκόπτουμε ένα τμήμα ΓΔ με μια κλειστή διαχωριστική τομή. Δεδομένου ότι ο φορέας ισορροπεί, έπεται ότι και κάθε τμήμα του ισορροπεί. Όμως, τα φορτία που ασκούνται στο αποκομμένο τμήμα είναι φανερό ότι δεν εξισορροπούνται μεταξύ τους, συνεπώς προκειμένου να διατηρηθεί η ισορροπία αναπτύσσονται στις διατομές Γ και Δ δυνάμεις και ροπές που αποκαλούνται εσωτερικά εντασιακά μεγέθη ή φορτία διατομής. Γενικά, σε κάθε διατομή αναπτύσσεται μια ροπή που ονομάζεται ροπή κάμψης Μ και μια δύναμη που μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες. Η συνιστώσα που είναι παράλληλη με τον άξονα της δοκού καλείται ορθή ή αξονική δύναμη Ν, ενώ η συνιστώσα που είναι κάθετη στον άξονα της δοκού καλείται τέμνουσα δύναμη Q. Λόγω του 3 ου νόμου του Νεύτωνα (δράση-αντίδραση) στις απέναντι όχθες των τομών, δηλαδή στις διατομές Γ και Δ, θα ασκούνται ίσα κατ απόλυτη τιμή και αντίθετα εντασιακά μεγέθη. Παρατήρηση 1: Το παραπάνω σκεπτικό οφείλεται στον Euler και ουσιαστικά συνιστά γενίκευση της αρχής της αποδεσμεύσεως του Lagrange. Σχήμα 6.1 Ανάπτυξη εσωτερικών εντασιακών μεγεθών 6.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής Για πρακτικούς λόγους θα πρέπει να οριστούν οι συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής. Για το σκοπό αυτό εισάγεται η έννοια της ίνας αναφοράς. Ως ίνα αναφοράς επιλέγεται μία ίνα κάθε δομικού στοιχείου (άνω ή κάτω για οριζόντια στοιχεία, αριστερή ή δεξιά για κατακόρυφα). Στην πράξη έχει επικρατήσει σε οριζόντια στοιχεία να επιλέγεται η κάτω ίνα, ενώ σε κατακόρυφα και κεκλιμένα στοιχεία η επιλογή γίνεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται κατά το δυνατόν η συνέχεια 20

των ινών αναφοράς των δομικών στοιχείων του φορέα. Η ίνα αναφοράς συμβολίζεται με μια διακεκομμένη γραμμή. Οι θετικές φορές των φορτίων διατομής ορίζονται κατά σύμβαση ως εξής (σχ. 6.2): Η αξονική δύναμη θεωρείται θετική όταν είναι εφελκυστική (δηλαδή όταν εξέρχεται από τη διατομή). Η τέμνουσα δύναμη θεωρείται θετική όταν στο δεξί άκρο ενός τμήματος δομικού στοιχείου (αριστερή όχθη τομής) έχει φορά προς την ίνα αναφοράς και στο αριστερό άκρο ενός τμήματος δομικού στοιχείου (δεξιά όχθη τομής) έχει την αντίθετη φορά. Ένας εναλλακτικός και αρκετά πρακτικός τρόπος για να καθοριστεί η θετική φορά των τεμνουσών δυνάμεων είναι και ο εξής: το διάνυσμα (βέλος) που αναπαριστά μια θετική τέμνουσα δύναμη προκύπτει από το διάνυσμα της θετικής αξονικής δύναμης αν αυτό στραφεί γύρω από τη βάση του κατά 90 ο δεξιόστροφα. Η ροπή κάμψης θεωρείται θετική όταν εφελκύει την ίνα αναφοράς. Σχήμα 6.2 Συμβατικά θετικές φορές φορτίων διατομής 6.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής σε μια συγκεκριμένη θέση ενός φορέα εφαρμόζεται η μέθοδος των διαχωριστικών τομών. Η μέθοδος βασίζεται στο σκεπτικό που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 6.1 και περιλαμβάνει τα εξής βήματα (συνήθως προαπαιτείται ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης): 1. Γίνεται μία νοητή διαχωριστική τομή που τέμνει το φορέα στο σημείο όπου ζητούνται τα φορτία διατομής. Έτσι, ο φορέας χωρίζεται σε δύο τμήματα. 2. Αποσπάται το ένα τμήμα του φορέα και σχεδιάζεται το Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος, στο οποίο περιλαμβάνονται τα εξωτερικά φορτία και οι αντιδράσεις που ασκούνται μόνο στο υπόψη τμήμα. Επιπλέον, στη 21

διατομή που τμήθηκε ο φορέας προσάγονται τα άγνωστα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά. 3. Καταστρώνονται οι τρείς εξισώσεις ισορροπίας του αποκομμένου τμήματος. Δεδομένου ότι τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη είναι τρία, οι εξισώσεις ισορροπίας επαρκούν για τον προσδιορισμό τους. Παρατήρηση 1: Κατά το βήμα 2 μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε από τα δύο τμήματα του φορέα. Κατά προτίμηση επιλέγεται το μικρότερο ή αυτό με τα λιγότερα φορτία ή αντιδράσεις, ώστε να ελαχιστοποιείται ο όγκος των απαιτούμενων πράξεων. Παρατήρηση 2: Τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη πρέπει να προσάγονται στο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος του αποκομμένου τμήματος πάντοτε με τη συμβατικά θετική τους φορά. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική τιμή για κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά συμπίπτει με τη συμβατικά θετική. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά είναι αντίθετη με τη συμβατικά θετική. Όλα τα γνωστά μεγέθη, εξωτερικά φορτία ή αντιδράσεις, συνιστάται (χωρίς να είναι δεσμευτικό) να προσάγονται με την πραγματική τους φορά και την απόλυτη τιμή του μέτρου τους. Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Ox, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η φορά μιας δύναμης (γνωστής ή άγνωστης) ταυτίζεται με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε η δύναμη εισάγεται στις εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η φορά μιας δύναμης είναι αντίθετη με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε η δύναμη εισάγεται στις εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις ροπές (φορτία ή αντιδράσεις ή ροπές κάμψης). Υπενθυμίζεται ότι η θετική φορά των ροπών είναι η αριστερόστροφη. Προσοχή: Παρόλο που τα φορτία διατομής προσάγονται στο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος πάντα με τη συμβατικά θετική φορά τους, στις εξισώσεις ισορροπίας μπορεί να εισάγονται είτε με θετικό είτε με αρνητικό πρόσημο, ανάλογα αν η φορά αυτή συμπίπτει ή όχι με τη θετική φορά του γενικού συστήματος συντεταγμένων. Παρατήρηση 4: Σε αντίθεση με τη διαδικασία υπολογισμού αντιδράσεων (παρ. 5.4), η αντικατάσταση των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων από επιπλέον εξισώσεις ισορροπίας ροπών δεν προσφέρει κανένα πλεονέκτημα και δεν συνηθίζεται στην 22

πράξη. Επίσης, για πρακτικούς λόγους, είναι σκόπιμο η εξίσωση ισορροπίας ροπών να καταστρώνεται ως προς το σημείο που τμήθηκε ο φορέας (έτσι ώστε να μηδενίζονται οι ροπές της αξονικής και της τέμνουσας δύναμης). 23

7. ΚΑΘΑΡΗ ΔΙΑΤΑΣΗ 7.1 Ορισμός Διάταση είναι η κατάσταση κατά την οποία μια διατομή δομικού στοιχείου καταπονείται από μια δύναμη (φορτίο διατομής) παράλληλη με τον άξονά του. Η δύναμη αυτή ονομάζεται αξονική δύναμη. Για παράδειγμα, η ράβδος του σχήματος 7.1α υποβάλλεται σε φόρτιση με δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις Ρ παράλληλες με τον άξονά της. Αν τμήσουμε τη ράβδο σε μια τυχαία διατομή, εύκολα αποδεικνύεται με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών (παράγραφος 6.3) ότι η στη διατομή αυτή αναπτύσσεται μια αξονική δύναμη Ν = Ρ (σχήμα 7.1β). Όταν η δύναμη Ν τείνει να επιμηκύνει το δομικό στοιχείο (όπως στο σχήμα 7.1), ονομάζεται εφελκυστική και η κατάσταση επιπόνησης εφελκυσμός. Στην αντίθετη περίπτωση, η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη ονομάζεται θλιπτική και η κατάσταση επιπόνησης θλίψη. Όταν μια διατομή καταπονείται αποκλειστικά και μόνο από αξονική δύναμη, η κατάσταση επιπόνησης ονομάζεται καθαρή διάταση (καθαρός εφελκυσμός ή καθαρή θλίψη). Στην πράξη, καθαρή διάταση συναντούμε κατά κανόνα σε δικτυωτές κατασκευές. (α) (β) Σχήμα 7.1 Αξονική φόρτιση ράβδου (α) και αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη (β) 7.2 Ορθή τάση Η γνώση της αξονικής δύναμης δίνει ένα μέτρο της φόρτισης, δεν παρέχει όμως πληροφορίες για το αν η εξεταζόμενη διατομή είναι σε θέση να φέρει τα ασκούμενα φορτία χωρίς να αστοχήσει (αν δηλαδή αντέχει υπό τα δεδομένα φορτία). Προφανώς, κάτι τέτοιο εξαρτάται από τις διαστάσεις και πιο συγκεκριμένα από το εμβαδό της διατομής Α. Έτσι, ένα φυσικό μέγεθος ανηγμένο στο εμβαδό, θα ήταν πιο αντιπροσωπευτικό για την καταπόνηση της διατομής. Το μέγεθος αυτό είναι η τάση. Γενικά, ως τάση ορίζεται η πυκνότητα των εσωτερικών δυνάμεων της διατομής, δηλαδή η εσωτερική δύναμη ανά μονάδα επιφανείας. Ειδικότερα, στην περίπτωση της διάτασης η αξονική ή ορθή τάση σ δίνεται από την εξίσωση 7.1: dn σ = da (7.1) 24

Η μονάδα μέτρησης της τάσης είναι το Pascal (1Pa = 1N/m 2 ) και τα παράγωγά του (kpa, MPA κτλ.). Η ορθή τάση στην πραγματικότητα διαφέρει σε κάθε σημείο της διατομής. Κατά κανόνα όμως, γίνεται η παραδοχή ότι η κατανομή της στη διατομή είναι ομοιόμορφη, δηλαδή σε όλα τα σημεία η ορθή τάση είναι ίση με τη μέση τιμή της σ m : N σ σ m = (7.2) A Η παραδοχή αυτή προϋποθέτει ότι η αξονική δύναμη ασκείται στο κεντροειδές της διατομής (κεντρική φόρτιση) και είναι τόσο πιο ρεαλιστική, όσο μικρότερες είναι οι διαστάσεις της διατομής και όσο απομακρυνόμαστε από τα σημεία εφαρμογής της εξωτερικής φόρτισης. Η ορθή τάση θεωρείται θετική όταν εφελκύει τη διατομή και αρνητική όταν τη θλίβει, δηλαδή ισχύει ο ίδιος κανόνας προσήμανσης με τις αξονικές δυνάμεις. Παρατήρηση 1: Συνήθως στην Εδαφομηχανική, επειδή παρατηρούνται σχεδόν αποκλειστικά θλιπτικές τάσεις, ακολουθείται ο αντίστροφος κανόνας προσήμανσης. Παρατήρηση 2: Το αν μια διατομή είναι σε θέση να φέρει μια αξονική δύναμη εξαρτάται, εκτός από τις διαστάσεις της και από το υλικό κατασκευής του δομικού στοιχείου που ανήκει. Κάθε υλικό έχει μια συγκεκριμένη αντοχή που εκφράζεται σε όρους τάσης. Στην πράξη, για λόγους ασφαλείας λαμβάνεται υπόψη μια μειωμένη τιμή αντοχής που ονομάζεται επιτρεπόμενη τάση. Ο λόγος της πραγματικής αντοχής προς την επιτρεπόμενη τάση είναι ο λεγόμενος συντελεστής ασφαλείας. Με βάση τη σύγκριση αναπτυσσόμενης και επιτρεπόμενης τάσης γίνεται ο έλεγχος αντοχής της διατομής. 7.3 Τάσεις σε πλάγια επίπεδα Σε μια αξονικά φορτιζόμενη ράβδο, όπως αυτή του σχήματος 7.1, σε όλες τις κάθετες στον άξονα της ράβδου διατομές, αναπτύσσονται αποκλειστικά και μόνο ορθές τάσεις. Τι συμβαίνει όμως σε πλάγια επίπεδα; Αν τμήσουμε τη ράβδο με μια τομή κεκλιμένη κατά γωνία θ ως προς το διαμήκη άξονα (σχήμα 7.2α), τότε εύκολα αποδεικνύεται με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών (σχήμα 7.2β) ότι αναπτύσσεται μια εσωτερική δύναμη Ρ που μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες (παράλληλη και κάθετη στην τομή) που δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: Ν = Ρcosθ (7.3) 25

Q = Ρsinθ (7.4) Αν Α είναι το εμβαδό μιας διατομής της τότε το εμβαδό της επιφάνειας μιας κεκλιμένης τομής είναι: Α θ = Α/cosθ (7.5) Τότε στο πλάγιο επίπεδο αναπτύσσεται η ορθή τάση: Pcosθ P σ 0 (7.6) A/cosθ A 2 N 0 2 2 σ θ = cos θ σ cos θ 1 cos2θ A θ όπου σ 0 η ορθή τάση στις κάθετες στον άξονα της ράβδου διατομές. Επιπλέον όμως, υπάρχει και η δύναμη Q (παράλληλη στην επιφάνεια της τομής) η οποία δημιουργεί και αυτή μια τάση τ θ που ονομάζεται διατμητική και η μέση τιμή της δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: τ θ = A Psinθ P σ sinθ cosθ σ 0sinθ cosθ sin2θ (7.7) A/cosθ A 2 Q 0 θ Από τις εξισώσεις 7.6 και 7.7 προκύπτει ότι σε τυχόν επίπεδο με κλίση θ ως προς τον άξονα της φορτιζόμενης ράβδου αναπτύσσονται τόσο ορθές, όσο και διατμητικές τάσεις. Στις εγκάρσιες διατομές της ράβδου (θ=0) η ορθή τάση παίρνει τη μέγιστη τιμή της σ 0, ενώ η διατμητική τάση είναι μηδέν. Για θ=45 ο η ορθή τάση και η διατμητική τάση είναι ίσες με το μισό της σ 0. Η τιμή αυτή μάλιστα είναι και η μέγιστη για τις διατμητικές τάσεις. Τέλος, για θ=90 ο τόσο η ορθή, όσο και η διατμητική τάση μηδενίζονται. Παρατήρηση 1: Εκτενέστερη αναφορά στις διατμητικές τάσεις θα γίνει στο κεφάλαιο 10 των ανά χείρας σημειώσεων. (α) (β) Σχήμα 7.2 Αξονική φόρτιση ράβδου (α) και δυνάμεις σε πλάγιο επίπεδο (β) 7.4 Αξονική ή ορθή παραμόρφωση Υπό την επίδραση αξονικής φόρτισης μια ράβδος, όπως αυτή του σχήματος 7.1, παραμορφώνεται. Συγκεκριμένα, όταν η φόρτιση είναι εφελκυστική το μήκος της ράβδου αυξάνεται, ενώ όταν η φόρτιση είναι θλιπτική το μήκος της ράβδου 26

μειώνεται. Ως ορθή παραμόρφωση ή ορθή τροπή ε ορίζεται ο λόγος της μεταβολής δ του μήκους της ράβδου (επιμήκυνσης ή βράχυνσης) προς το αρχικό μήκος της δοκού: ε = L δ (7.8) Η ορθή τροπή είναι αδιάστατο μέγεθος και για την προσήμανσή του ισχύει ο ίδιος κανόνας με τις ορθές τάσεις και τις αξονικές δυνάμεις. Παρατήρηση 1: Ο παραπάνω ορισμός της ορθής τροπής ισχύει υπό τη συνήθη παραδοχή ότι η κατανομή της τροπής είναι ομοιόμορφη κατά μήκος της ράβδου και ότι λαμβάνει σχετικά χαμηλές τιμές. Για γραμμικά ελαστικά υλικά η ορθή τροπή συνδέεται με την ορθή τάση με το νόμο του Hooke: σ = Ε ε (7.9) όπου Ε το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. Με τη βοήθεια του νόμου του Hooke προκύπτει μια χρήσιμη σχέση από την οποία μπορεί να προσδιοριστεί η μεταβολή δ του μήκους μιας ράβδου σε συνάρτηση με την αξονική της δύναμη Ν. Πράγματι, αν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση 7.9 τις 7.2 και 7.8 έχουμε: N δ = Ε A L NL δ (7.10) EA Παρατήρηση 2: Αν μια ράβδος αποτελείται από πολλά τμήματα εν σειρά, με διαφορετικές ιδιότητες το καθένα (υλικό και διαστάσεις διατομής), τότε υπολογίζεται ξεχωριστά η επιμήκυνση ή βράχυνση του καθενός και η συνολική μεταβολή μήκους της ράβδου προκύπτει ως το αλγεβρικό τους άθροισμα. Παρατήρηση 3: Ορθές τάσεις και τροπές σε μια ράβδο μπορεί να αναπτυχθούν όχι μόνο λόγω των εξωτερικών φορτίων, αλλά και από διάφορα άλλα αίτια, όπως μεταβολές θερμοκρασίας, κατασκευαστικές ατέλειες κτλ. Αυτές οι περιπτώσεις δεν θα εξεταστούν στις ανά χείρας σημειώσεις. 7.5 Ο λόγος του Poisson Όταν μια ράβδος επιμηκύνεται, δηλαδή το μήκος της Lx αυξάνει κατά δx (σχήμα 7.3), τότε στις εγκάρσιες διευθύνσεις εμφανίζονται βραχύνσεις δ = δz. Αυτό σημαίνει ότι αναπτύσσονται οι ορθές τροπές: δx δ δz ε x =, ε = - και εz = ε = - Lx L Lz (7.11) 27

Ο λόγος: ε ε ν = - = - z ε x ε x (7.12) καλείται λόγος του Poisson και εξαρτάται από το υλικό της ράβδου (συνήθεις τιμές 0-0.5). Παρατήρηση 1: Τα παραπάνω ισχύουν κατ αναλογία και για την περίπτωση βράχυνσης της ράβδου. Σχήμα 7.3 Αξονική και πλευρική παραμόρφωση ράβδου 28

8. ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ 8.1 Ορισμός Κάμψη είναι η κατάσταση κατά την οποία μια διατομή δομικού στοιχείου καταπονείται από μια ροπή κάμψης (φορτίο διατομής). Όταν ένα τμήμα δομικού στοιχείου καταπονείται αποκλειστικά και μόνο από σταθερή ροπή κάμψης, η κατάσταση επιπόνησης ονομάζεται καθαρή κάμψη. Για παράδειγμα, μια αμφιέρειστη δοκός που υποβάλλεται σε δύο ίσες και αντίθετες ροπές - φορτία στα άκρα της ή ένας πρόβολος υπό μια ροπή-φορτίο υπόκεινται σε καθαρή κάμψη. Στην πράξη, η καθαρή κάμψη είναι πολύ σπάνια. Τα δομικά στοιχεία που καταπονούνται σε κάμψη (είτε καθαρή είτε όχι) καλούνται δοκοί. Για τη μελέτη τους θα χρησιμοποιηθεί το δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Οxz του σχήματος 8.1 με αρχή το κεντροειδές της διατομής. Στις ανά χείρας σημειώσεις θα εξεταστεί η κάμψη δοκών με διατομή που διαθέτει τουλάχιστον ένα άξονα συμμετρίας. Σχήμα 8.1 Σύστημα συντεταγμένων για τη μελέτη της κάμψης δοκών 8.2 Απλή κάμψη συμμετρικών διατομών Έστω μια δοκός με συμμετρική διατομή (άξονας συμμετρίας ο z) (σχήμα 8.2). Όταν η διατομή κάμπτεται μέσα στο επίπεδο συμμετρίας xz, δηλαδή η ροπή κάμψης τείνει να περιστρέψει τη διατομή γύρω από τον άξονα, τότε έχουμε απλή κάμψη. Σχήμα 8.2 Διατομή δοκού με ένα άξονα συμμετρίας 29

Μια συμμετρική δοκός που υποβάλλεται σε καθαρή κάμψη παραμορφώνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 8.3. Ο άξονας της δοκού παίρνει τη μορφή ενός τόξου κύκλου με κέντρο το Ο. Ο τρόπος αυτός παραμόρφωσης ονομάζεται καμπύλωση κ και το σημείο Ο κέντρο καμπυλότητας. Αν η ακτίνα του κύκλου είναι ρ (ακτίνα καμπύλωσης), τότε: 1 κ = (8.1) ρ Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι άνω ίνες της δοκού βραχύνονται (θλίβονται) ενώ οι κάτω ίνες επιμηκύνονται (εφελκύονται). Δηλαδή, στην άνω πλευρά εμφανίζονται αρνητικές ορθές τροπές, άρα και αρνητικές ορθές τάσεις, ενώ στην κάτω πλευρά εμφανίζονται θετικές ορθές τροπές, άρα και θετικές ορθές τάσεις. Κάπου ενδιάμεσα υπάρχει μια ίνα στην οποία η παραμόρφωση και η τάση είναι μηδενική. Η ίνα αυτή αποτελεί την ουδέτερη επιφάνεια της δοκού και η τομή της με οποιαδήποτε εγκάρσια διατομή καλείται ουδέτερη γραμμή. Δεδομένου ότι η αξονική δύναμη στη διατομή είναι μηδέν, από την εξίσωση 7.1 προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα των ορθών τάσεων ισούται με μηδέν. Από τη συνθήκη αυτή προκύπτει ότι η ουδέτερη γραμμή διέρχεται από το κεντροειδές της διατομής (ταυτίζεται ουσιαστικά με τον άξονα ). Σχήμα 8.3 Κάμψη δοκού Αν z είναι η απόσταση (συντεταγμένη) μιας ίνας από την ουδέτερη γραμμή, αποδεικνύεται με γεωμετρικούς συλλογισμούς ότι η ορθή τροπή στην ίνα αυτή είναι: ε = κ z (8.2) Για γραμμικά ελαστικά υλικά, με βάση το νόμο του Hooke έχουμε: σ = Ε κ z (8.3) 30

Από τις σχέσεις 8.2 και 8.3 προκύπτει ότι τόσο οι ορθές τάσεις, όσο και οι ορθές τροπές κατανέμονται γραμμικά καθ ύψος της διατομής, δηλ. η γραφική τους παράσταση είναι μια ευθεία που διέρχεται από το κεντροειδές της διατομής (σχήμα 8.4). Σχήμα 8.4 Κατανομή τάσεων και παραμορφώσεων σε διατομή υπό κάμψη Δεδομένου ότι για λόγους ισορροπίας η συνισταμένη ροπή που προκύπτει από τις ορθές τάσεις θα πρέπει να ισούται με τη ροπή κάμψης που καταπονεί την κάθε διατομή, προκύπτει μια συνθήκη που οδηγεί στη συσχέτιση της ροπής κάμψης Μ με την καμπύλωση κ. Ειδικότερα, αποδεικνύεται ότι: κ = M EI (8.4) όπου Ι η ροπή αδράνειας της διατομής. Από τις εξισώσεις 8.2, 8.3 και 8.4 προκύπτουν σχέσεις που συνδέουν τις ορθές τάσεις και τροπές με τη ροπή κάμψης: σ = M I z (8.5) ε = M EI z (8.6) Είναι προφανές ότι οι μέγιστες κατ απόλυτη τιμή τάσεις και τροπές εμφανίζονται στα σημεία με τη μεγαλύτερη απόσταση c από την ουδέτερη γραμμή δηλ. σε μια από τις ακραίες ίνες. Η ποσότητα W : I W = (8.7) c ονομάζεται ελαστική ροπή αντίστασης της διατομής και εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της. 31

Παρατήρηση 1: Η καμπύλωση είναι θετική όταν προκαλείται από θετική ροπή, δηλαδή όταν εφελκύει την ίνα αναφοράς. Υπενθυμίζεται ότι κατά κανόνα ως ίνα αναφοράς λαμβάνεται η κάτω ίνα. Έτσι, η καμπύλωση της δοκού του σχήματος 8.3 είναι θετική. Παρατήρηση 2: Ο δείκτης στα Μ, Ι και W καταδεικνύει ότι τα μεγέθη αυτά αναφέρονται σε κάμψη γύρω από τον άξονα. Παρατήρηση 3: Η ανάπτυξη που προηγήθηκε και οι σχέσεις που προέκυψαν ισχύουν προφανώς και για διατομές με περισσότερους άξονες συμμετρίας. 8.3 Σύνθετες διατομές Σύνθετη είναι η διατομή που αποτελείται από δύο ή περισσότερα διαφορετικά υλικά. Έστω για παράδειγμα η απλά συμμετρική διατομή του σχήματος 8.5α που αποτελείται από δύο τμήματα Α και Β διαφορετικών υλικών Υ Α και Υ Β με μέτρα ελαστικότητας Ε Α και Ε Β αντίστοιχα. Αποδεικνύεται ότι η ουδέτερη γραμμή της διατομής δεν διέρχεται από το κεντροειδές της, αλλά από το κεντροειδές μιας υποκατάστατης διατομής που προκύπτει με βάση το εξής σκεπτικό: Το ένα τμήμα της αρχικής διατομής, π.χ. το Β, αντικαθίσταται με ένα τμήμα από το υλικό Υ Α, με ύψος όσο το ύψος του τμήματος Β και πλάτος όσο το πλάτος του Β πολλαπλασιασμένο με το λόγο των μέτρων ελαστικότητας λ=ε Β /Ε Α. Έτσι, προκύπτει η διατομή του σχήματος 8.5β, από το κεντροειδές της οποίας διέρχεται η ουδέτερη γραμμή. Με γνωστή πλέον τη θέση της ουδέτερης γραμμής, μπορεί να εφαρμοστεί η σχέση 8.6 για τον υπολογισμό των ορθών τροπών σε οποιοδήποτε σημείο. Στη συνέχεια, από την εξίσωση 8.3, μπορούν να βρεθούν και οι αντίστοιχες τάσεις. Είναι προφανές ότι στη διεπιφάνεια των δύο υλικών αντιστοιχούν δύο τιμές τάσης, δηλαδή στο διάγραμμα κατανομής των ορθών τάσεων παρουσιάζεται άλμα. (α) (β) Σχήμα 8.5 Σύνθετη (α) και υποκατάστατη διατομή (β) 32

Παρατήρηση 1: Το σχήμα 8.5β έχει σχεδιαστεί για Ε Β >Ε Α. Παρατήρηση 2: Η παραπάνω διαδικασία εφαρμόζεται κατ αναλογία και στην περίπτωση που η διατομή αποτελείται από περισσότερα των δύο υλικά. Παρατήρηση 3: Η διαδικασία εύρεσης της θέσης της ουδέτερης γραμμής δεν είναι απαραίτητη για διπλά συμμετρικές διατομές, καθώς στην περίπτωση αυτή η ουδέτερη γραμμή διέρχεται από το κεντροειδές της αρχικής διατομής. 33

9. ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ Κατά κανόνα στην πράξη οι δοκοί καταπονούνται ταυτόχρονα από ροπές κάμψης και αξονικές δυνάμεις. Για γραμμικά ελαστικά υλικά και μικρές παραμορφώσεις οι ορθές τάσεις και τροπές μπορούν να υπολογιστούν με βάση την Αρχή της Επαλληλίας αθροίζοντας τις τιμές που προκύπτουν από τις δύο επιμέρους καταστάσεις επιπόνησης (καθαρή κάμψη και καθαρή διάταση). Έτσι, οι ορθές τάσεις και τροπές σε οποιοδήποτε σημείο μιας διατομής που καταπονείται από αξονική δύναμη Ν και ροπή κάμψης Μ δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: N M z σ = + A I (9.1) N ε = + AE M EI z (9.2) Η γραφική παράσταση της κατανομής τους προκύπτει επίσης με βάση την Αρχή της Επαλληλίας και φαίνεται ενδεικτικά στο σχήμα 9.1. (α) (β) (γ) Σχήμα 9.1 Κατανομή τάσεων και τροπών λόγω Ν (α), Μ (β) και Ν + Μ (γ) Παρατήρηση 1: Το σχήμα 9.1 έχει σχεδιαστεί για θετικές Ν και Μ. Η ουδέτερη γραμμή της διατομής, όπου οι τάσεις και οι τροπές είναι μηδενικές, δεν διέρχεται πλέον από το κεντροειδές της διατομής, αλλά η θέση της μπορεί να υπολογιστεί θέτοντας στην 9.1 ή την 9.2, σ = 0 ή ε = 0 αντίστοιχα. Αν z 0 είναι η απόσταση της ουδέτερης γραμμής από το κεντροειδές της διατομής, τότε: NI z 0 = (9.3) M A 34

Η ουδέτερη γραμμή μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε στη διατομή, ακόμα και έξω από αυτή. Στην τελευταία περίπτωση, οι τάσεις και οι τροπές σε όλα τα σημεία της διατομής είναι ομόσημες (είτε εφελκυστικές είτε θλιπτικές). Μια διατομή που καταπονείται από αξονική δύναμη Ν και ροπή κάμψης Μ, μπορεί να θεωρηθεί εναλλακτικά ότι καταπονείται μόνο από τη δύναμη Ν, εφαρμοζόμενη όμως όχι στο κεντροειδές της διατομής, αλλά σε μια απόσταση e z από αυτό τέτοια ώστε: Ν e z = Μ. Για το λόγο αυτό, σε πολλά συγγράμματα Αντοχής Υλικών η κατάσταση αυτή αναφέρεται ως «έκκεντρη αξονική φόρτιση». Όταν η έκκεντρη αξονική δύναμη εφαρμόζεται σε μια συγκεκριμένη περιοχή γύρω από το κεντροειδές της διατομής, οι τάσεις και τροπές σε όλα τα σημεία της διατομής είναι ομόσημες. Η περιοχή αυτή ονομάζεται πυρήνας της διατομής. 35

10. ΔΙΑΤΜΗΣΗ 10.1 Ορισμός Διάτμηση είναι η κατάσταση κατά την οποία μια διατομή δομικού στοιχείου καταπονείται από μια δύναμη (φορτίο διατομής) κάθετη στον άξονά του. Η δύναμη αυτή ονομάζεται τέμνουσα δύναμη. Στην πράξη, διάτμηση συναντούμε κατά κανόνα σε συνήθη καμπτόμενα δομικά στοιχεία κατασκευών πολιτικού μηχανικού. Οι δύο καταστάσεις επιπόνησης μάλιστα (κάμψη διάτμηση) αλληλοεπηρεάζονται. Η διάτμηση προκαλεί στρέβλωση των διατομών με αποτέλεσμα οι γεωμετρικοί συλλογισμοί που οδηγούν στον υπολογισμό των ορθών τάσεων και τροπών διατομών υπό κάμψη (βλέπε παράγραφο 8.2) να μην ισχύουν πλέον. Παρατήρηση 1: Οι τύποι που δόθηκαν στην παράγραφο 8.2 ισχύουν μόνο σε περιοχές δομικών στοιχείων με σταθερή τέμνουσα δύναμη και άρα ομοιόμορφη στρέβλωση των διατομών. Αν η τέμνουσα μεταβάλλεται, τότε οι παραπάνω τύποι οδηγούν σε σφάλματα της τάξεως h/l, όπου h το ύψος της διατομής και L το μήκος του δομικού στοιχείου. Συνεπώς, για πολύ χαμηλές τιμές του λόγου h/l (<0.1) το σφάλμα θεωρείται αποδεκτό. 10.2 Διατμητική τάση Κατ αναλογία με την ορθή, η διατμητική τάση τ ορίζεται ως η πυκνότητα της τέμνουσας δύναμης, δηλαδή: dq τ = da (10.1) Η μονάδα μέτρησής της είναι προφανώς το Pascal (1Pa = 1N/m 2 ) και τα παράγωγά του (kpa, MPa κτλ.). Η διατμητική τάση διαφέρει σε κάθε σημείο της διατομής. Σε αντίθεση με την ορθή τάση λόγω αξονικής δύναμης, η παραδοχή ότι η κατανομή της στη διατομή είναι ομοιόμορφη, δηλαδή σε όλα τα σημεία είναι ίση με τη μέση τιμή της τ m δεν είναι ρεαλιστική, δηλαδή: τ τ m = A Q (10.2) Προς αποφυγή σύγχυσης, η διατμητική τάση θα θεωρείται θετική όταν προκαλείται από θετική τέμνουσα δύναμη και αρνητική όταν προκαλείται από αρνητική τέμνουσα δύναμη. 36

10.3 Διατμητική ή γωνιακή παραμόρφωση Υπό την επίδραση τέμνουσας δύναμης ένα δομικό στοιχείο παραμορφώνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 10.1. Η γωνία γ καλείται διατμητική ή γωνιακή παραμόρφωση. Για την προσήμανσή της ισχύει ο ίδιος κανόνας με τις διατμητικές τάσεις. Σχήμα 10.1 Διατμητική ή γωνιακή παραμόρφωση δομικού στοιχείου Για γραμμικά ελαστικά υλικά η διατμητική παραμόρφωση συνδέεται με την διατμητική τάση με το νόμο του Hooke: τ = G γ (10.3) όπου G το μέτρο διάτμησης του υλικού. Τα μέτρα ελαστικότητας Ε και διάτμησης G συνδέονται με την παρακάτω σχέση: όπου ν ο λόγος του Poisson. G = E 2(ν 1) (10.4) Παρατήρηση 1: Διατμητικές τάσεις και παραμορφώσεις μπορεί να αναπτυχθούν όχι μόνο λόγω των εξωτερικών φορτίων, αλλά και από διάφορα άλλα αίτια, όπως κατασκευαστικές ατέλειες κτλ. Αυτές οι περιπτώσεις δεν θα εξεταστούν στις ανά χείρας σημειώσεις. 10.4 Διάτμηση συμμετρικών διατομών Έστω μια δοκός με συμμετρική διατομή που καταπονείται από μια τέμνουσα δύναμη Q παράλληλη με τον άξονα συμμετρίας z (σχήμα 10.2). Η διατμητική τάση τ Α σε οποιοδήποτε σημείο Α που ανήκει στον άξονα z δίνεται από την παρακάτω σχέση: τ Α = Q S b I κ (10.5) όπου b το πλάτος της διατομής, I η ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα και κ S η στατική ροπή ως προς το κέντρο βάρους της επιφάνειας της διατομής που βρίσκεται 37

κάτω από μια ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στον άξονα (γραμμοσκιασμένο τμήμα στο σχήμα 10.2). Σχήμα 10.2 Διατομή δοκού με ένα άξονα συμμετρίας Παρατήρηση 1: Αν τα πλαϊνά όρια της διατομής είναι παράλληλα με τον άξονα z, η σχέση 10.5 ισχύει για κάθε σημείο και όχι μόνο για όσα ανήκουν στον άξονα z. Παρατήρηση 2: Η στατική ροπή S οποιασδήποτε επιφάνειας ως προς την αρχή του συστήματος συντεταγμένων είναι ίση με το γινόμενο του εμβαδού της Α επί την τεταγμένη του κέντρου βάρους της z: S = Α z (10.6) Η στατική ροπή επιφάνειας μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές, δεδομένου ότι η τεταγμένη z μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Παρατήρηση 3: Η στατική ροπή μιας σύνθετης επιφάνειας ισούται με το άθροισμα των στατικών ροπών των επιμέρους επιφανειών από τις οποίες αποτελείται. Παρατήρηση 4: Από το συνδυασμό των παρατηρήσεων 2 και 3 προκύπτει ότι οι στατικές ροπές των δύο επιφανειών στις οποίες χωρίζεται μια διατομή από μια ευθεία είναι αντίθετες. Για παράδειγμα, αν η στατική ροπή της μη γραμμοσκιασμένης επιφάνειας της διατομής του σχήματος 10.2 είναι και η σχέση 10.5 γίνεται: α S = - α S, τότε: κ S (10.7) α Q S τ Α = (10.8) b I 38