ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ειαγωγή Υπάρχουν προβήµατα πιθανοτήτων τα οποία θα πρέπει να µεετηθούν δύο ή περιότερες τυχαίες µεταβητές από κοινού για να µπορεί να περιγραφεί επαρκώς και πήρως το αντίτοιχο πουδιάτατο πείραµα τύχης Με άα όγια θα πρέπει να µεετήουµε την από κοινού τοχατική υµπεριφορά δύο ή περιοτέρων τυχαίων µεταβητών και να διερευνήουµε την από κοινού κατανοµή τους ε υνδυαµό και µε άες ηµαντικές έννοιες όπως µεταξύ άων τη υνδιακύµανη το υντεετή υχέτιης και τη δεµευµένη µέη τιµή Ζεύγη τυχαίων µεταβητών Έτω οι τυχαίες µεταβητές µεταβητές που ορίζονται τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω I Οι τυχαίες είναι τέτοιες ώτε : Ω R Ποές φορές µας ενδιαφέρει να µεετήουµε τις τυχαίες µεταβητές ε υνδυαµό για να διερευνήουµε τυχόν υχετίεις τους Με άα όγια µας ενδιαφέρει ~ το διάνυµα των τυχαίων µεταβητών Για παράδειγµα έτω ότι η τυχαία µεταβητή αναπαριτά το βάρος και η τυχαία µεταβητή αναπαριτά το ύψος ενός αθενούς Μας ενδιαφέρει να διερευνήουµε τυχόν υχετίεις αυτών των δύο µεταβητών Κατά τη ρίψη δύο ζαριών µας ενδιαφέρει υνήθως τόο η ένδειξη του πρώτου όο και του δεύτερου ζαριού Σε µία κινική µεέτη µας ενδιαφέρει ο τρόπος µε τον οποίον η ηικία ενός αθενούς επηρεάζει το χρόνο αντίδραής του ε ένα υγκεκριµένο φάρµακο Σε όες τις παραπάνω περιπτώεις εµφανίζονται δύο τυχαίες µεταβητές Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει ο προδιοριµός της υµπεριφοράς της µιας τυχαίας µεταβητής ε χέη µε τη υµπεριφορά της άης Η περίπτωη της µεέτης της από κοινού τοχατικής υµπεριφοράς δύο τυχαίων µεταβητών είναι ~ ειδική περίπτωη της θεωρίας των διανυµατικών τυχαίων µεταβητών K Στη υνέχεια του παρόντος κεφααίου θα αναπτύξουµε τη θεωρία των διανυµατικών τυχαίων µεταβητών την περίπτωη ~ ~ κατά την οποία δηαδή όταν Μεετούµε οιπόν το διάνυµα ίνουµε τον ακόουθο οριµό ~ Οριµός Ένα διάνυµα που αποτεείται από δύο τυχαίες µεταβητές οριµένες τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω I καείται διδιάτατη διανυµατική τυχαία µεταβητή δδτµ dmsoal adom vaabl 9
Οριµός Η υνάρτηη κατανοµής : R της διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής: < < και καείται από κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής ot dstbuto ucto της διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής Η υνάρτηη κατανοµής κατανοµής της διδιάτατης δτµ ως εξής: της τυχαίας µεταβητής µπορεί να ηφθεί από την από κοινού υνάρτηη < lm{ } lm lm Στην τέταρτη ιότητα η ενααγή της θέης του ορίου και της πιθανότητας είναι επιτρεπτή Εντεώς ανάογα προκύπτει ότι lm Οι υναρτήεις και των τυχαίων µεταβητών και καούνται περιθώριες υναρτήεις κατανοµής maal dstbuto uctos Παράδειγµα Θα υποογίουµε την πιθανότητα > > υναρτήει των περιθωρίων υναρτήεων κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και της από κοινού αθροιτικής υνάρτηης κατανοµής της διδιάτατης δτµ ιαδοχικά έχουµε c c c > > { > > } { > } { > } { } { } { } { } { } Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια του Νόµου D Moa για την τοµή δύο ενδεχοµένων και η τέταρτη ιότητα είναι υνέπεια του προθετικού νόµου Ζεύγη διακριτών διανυµατικών τυχαίων µεταβητών Αν οι τυχαίες µεταβητές και είναι διακριτές τότε ορίζουµε την από κοινού υνάρτηη πιθανότητας π ot obablt ucto της διδιάτατης δτµ όπου S και S ως εξής: Απαραίτητη υνθήκη για να είναι η µία από κοινού π για τη δτµ είναι η εξής: Η υνάρτηη πιθανότητας S S της τυχαίας µεταβητής µπορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως εξής: S S S 9
Οµοίως η υνάρτηη πιθανότητας εξής: της τυχαίας µεταβητής µπορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως S S S Παράδειγµα Έτω η διακριτή δτµ µε ύνοο δυνατών τιµών φορέα S { } { } και π S α είξτε ότι η είναι πράγµατι µία από κοινού π β Βρείτε τις π των τυχαίων µεταβητών και Λύη α Είναι S πράγµατι µία από κοινού π Επιπέον Εποµένως η είναι β Είναι 7 7 Μπορούµε να υνοψίουµε τις παραπάνω πιθανότητες τον ακόουθο πίνακα: 7 7 7 Παρατηρούµε ότι η υνάρτηη πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής µπορεί να ηφθεί αν υποογίουµε τα αθροίµατα ανά γραµµή του πίνακα ενώ η υνάρτηη πιθανότηατς µεταβητής µπορεί να ηφθεί αν υποογίουµε τα αθροίµατα ανά τήη του πίνακα Επειδή οι π της τυχαίας και 9
των τυχαίων µεταβητών και εµφανίζονται τα περιθώρια του παραπάνω πίνακα καούνται περιθώριες υναρτήεις πιθανότητας maal obablt uctos Παράδειγµα Έτω η διδιάτατη διακριτή δτµ µε υνάρτηη πιθανότητας K και K α Να βρεθούν οι περιθώριες υναρτήεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβητών και β Να υποογιτεί η πιθανότητα Λύη α Είναι K β Έτω τα ενδεχόµενα { < } και B { < } K Είναι B B B όπου είναι οι περιθώριες αθροιτικές υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και είναι η από κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Άρα Ζεύγη υνεχών διανυµατικών τυχαίων µεταβητών Έτω δύο υνεχείς τυχαίες µεταβητές οι οποίες είναι οριµένες τον ίδιο δειγµατικό χώρο Τότε η διδιάτατη διανυµατική τυχαία µεταβητή είναι υνεχής αν υπάρχει µία µη-αρνητική υνάρτηη δύο µεταβητών : R R R τέτοια ώτε για κάθε περιοχή C R R η οποία µπορεί να γραφεί µέω ορθογωνίων µε χρήη πεπεραµένου ή απείρως αριθµήιµου πήθους πράξεων τοµή ένωη υµπήρωµα ιχύει ότι C dd Η υνάρτηη καείται από κοινού C υνάρτηη πυκνότητας π ot obablt dst ucto της διδιάτατης δτµ Αν και B 9
είναι υπούνοα του υνόου των πραγµατικών αριθµών τότε αν ορίουµε C { : B} B έχουµε C B dd B Αν a και B b έχουµε { a b} a b a b b a dd Η υνάρτηη καείται από κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Αν παραγωγίουµε ως προς a και b έχουµε a b a b Η τεευταία χέη υνδέει την από κοινού a b π και την από κοινού υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Απαραίτητη υνθήκη για να είναι η µία από κοινού π για τη διδιάτατη δτµ είναι dd Αν η διδιάτατη δτµ είναι υνεχής τότε οι τυχαίες µεταβητές και είναι υνεχείς εναακτικά καούνται από κοινού υνεχείς ot cotuous και οι υναρτήεις πυκνότητας τους αντίτοιχα µπορούν να ηφθούν ως εξής: και { } { } dd d όπου τυχαίας µεταβητής Οµοίως η π της τυχαίας µεταβητής δίνεται από τη χέη d είναι η π της d Για τις περιθώριες υναρτήεις κατανοµών ιχύουν οι εκφράεις: lm και lm Από τις δύο τεευταίες χέεις µπορούµε να υποογίουµε απευθείας τις περιθώριες υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και από την από κοινού υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ Ιχύει ότι: < < s d ds Όµοια < < t d dt t dt s ds 9
Παράδειγµα Η από κοινού π της δτµ δίνεται από τον τύπο υποογιτούν οι πιθανότητες α > < β < και γ < a Να Λύη α Είναι > < dd d d β < dd dd d d { : < } a a a d γ < a dd d Παράδειγµα Η από κοινού π της δτµ δίνεται από τον τύπο την π της τυχαίας µεταβητής Βρείτε Λύη Αρχικά θα υποογίουµε τη υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής Για a > έχουµε διαδοχικά a a a dd a dd a d a a a Αν παραγωγίουµε ως προς a αµβάνουµε τη π της τυχαίας µεταβητής η οποία δίνεται από τον ' τύπο: a a a a > Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας µιας διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο < < < < και αού α Να υποογιτεί η πιθανότητα < < < < β Να βρεθούν οι περιθώριες υναρτήεις πυκνότητας γ Να βρεθεί η από κοινού υνάρτηη κατανοµής δ Να βρεθούν οι περιθώριες υναρτήεις κατανοµών < < < < Λύη α dd d 97
9 β d d < < d d < < γ dsdt s t t < < < < δ ds s s ds s < < ds s ds s < < Παράδειγµα 7 Η από κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής των χρόνων ζωής δύο αµπτήρων B ε χιιάδες ώρες δίνεται από τον τύπο: > και αού α Να υποογιτούν οι περιθώριες υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και β Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο αµπτήρες να ζήουν περιότερο από ώρες τουάχιτον ένας από τους δύο αµπτήρες να ζήει περιότερο από ώρες; γ Να βρεθούν οι περιθώριες υναρτήεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβητών και Ποια είναι η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης διανυµατικής τυχαίας µεταβητής ; Λύη α lm lm > lm lm > β Έτω τα ενδεχόµενα : ο αµπτήρας ζει ιγότερο από ώρες δηαδή < και : B ο αµπτήρας B ζει ιγότερο από ώρες δηαδή < Ζητάµε την πιθανότητα B B B B B c c c Είναι % < < B < < B Ζητάµε την πιθανότητα B B B c c c
' γ ' > ' ' > Ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές Θεωρούµε ένα πείραµα το οποίο ρίχνουµε ένα νόµιµα και ένα ζάρι ιαιθητικά πιτεύουµε ότι όποιο κι αν είναι το αποτέεµα της ρίψης ενός νοµίµατος δεν θα πρέπει να έχει καµία επίδραη το αποτέεµα της ρίψης του ζαριού και αντίτροφα Έτω η τυχαία µεταβητή που ιούται µε ή ανάογα µε το αν το νόµιµα δείχνει κεφαή ή γράµµατα και έτω η τυχαία µεταβητή που παίρνει τις τιµές ή ανάογα µε το αν η άνω έδρα του ζαριού φέρει τον αριθµό ή αντίτοιχα Το αποτέεµα του διπού πειράµατος περιγράφεται από τη διδιάτατη διακριτή δτµ Το διαιθητικό µας υµπέραµα ότι τα αποτεέµατα των ρίψεων του νοµίµατος και του ζαριού δεν έχουν καµία επίδραη το ένα το άο µπορεί να διατυπωθεί αυτηρά ως εξής: αν είναι ένας από τους αριθµούς ή και είναι ένας από τους αριθµούς τότε τα ενδεχόµενα { } και { } πρέπει να είναι ανεξάρτητα ίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Οι τυχαίες µεταβητές και καούνται ανεξάρτητες ddt αν για οποιαδήποτε υπούνοα και B του υνόου των πραγµατικών αριθµών ιχύει ότι { B} { } { B} Ιοδύναµα οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν για οποιαδήποτε ύνοα και B τα ενδεχόµενα { } και { B} είναι ανεξάρτητα Για οποιαδήποτε a b R ιχύει ότι B { a b} { a} { b} ή ιοδύναµα a b a b όπου είναι η από κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της διδιάτατης δτµ και είναι οι υναρτήεις κατανοµών των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Όταν οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές η υνθήκη ανεξαρτηίας είναι ιοδύναµη µε τη χέη ή µε τη χέη για κάθε 99
Η ιοδυναµία των χέεων και εξηγείται ως εξής: Αν τη χέη θέουµε {} και B {} αµβάνουµε τη Επιπέον αν η χέη ιχύει τότε για οποιαδήποτε ύνοα και B έχουµε { B} { } { } { } { } B B B { B} { } { } Όταν οι και είναι υνεχείς τυχαίες µεταβητές η υνθήκη της ανεξαρτηίας είναι ιοδύναµη µε τη χέη για κάθε ιαιθητικά οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν η γνώη της κατανοµής της µίας δεν επηρεάζει την κατανοµή της άης Αν δύο τυχαίες µεταβητές δεν είναι ανεξάρτητες τότε καούνται εξαρτηµένες ddt Παράδειγµα Ένας άνδρας και µία γυναίκα έχουν υµφωνήει να υναντηθούν ε ένα ζαχαροπατείο κάποια χρονική τιγµή µεταξύ : και : το µεηµέρι Υποθέτουµε ότι ο άνδρας φθάνει το ζαχαροπατείο τις και η γυναίκα φθάνει τις Υποθέτουµε επιπέον ότι οι και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές και ότι ακοουθούν την Oµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα Να υποογιτεί η πιθανότητα > δηαδή η πιθανότητα ο άνδρας να περιµένει τη γυναίκα ή αντίτροφα για περιότερο από δέκα επτά Λύη Έτω η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης δτµ και οι π των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Είναι > { > } { < } και τα ενδεχόµενα { > } { < } αυµβίβατα Άρα > { < } { < } { < } < dd < dd dd d 7 είναι < dd Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια της υµµετρίας και η τέταρτη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και Παράδειγµα 9 Υποθέτουµε ότι ο αριθµός των ατόµων που ειέρχονται κατά τη διάρκεια µιας µέρας ε ένα ταχυδροµείο ακοουθεί την κατανοµή osso µε παράµετρο είξτε ότι αν το κάθε άτοµο που ειέρχεται το ταχυδροµείο είναι άνδρας µε πιθανότητα και γυναίκα µε πιθανότητα τότε ο αριθµός των ανδρών
και των γυναικών που µπαίνουν το ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές που ακοουθούν την κατανοµή osso µε παραµέτρους και αντίτοιχα Λύη Έτω και αντίτοιχα ο αριθµός των ανδρών και των γυναικών που ειέρχονται το ταχυδροµείο κατά τη διάρκεια µιας µέρας Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας και αν δεµευτούµε ως προς την τυχαία µεταβητή έχουµε! Η δεύτερη ιότητα προκύπτει διότι προφανώς ιχύει ότι Η τρίτη ιότητα προκύπτει διότι εξ υποθέεως η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή osso µε παράµετρο Επιπέον δοθέντος ότι άνθρωποι ειέρχονται το ταχυδροµείο και ο καθένας από αυτούς είναι άνδρας µε πιθανότητα η πιθανότητα ακριβώς άτοµα να είναι άνδρες και εποµένως ακριβώς άτοµα να είναι γυναίκες είναι ίη µε δηαδή η παραπάνω πιθανότητα είναι διωνυµική µε παραµέτρους και Συνεπώς!! K Η περιθώρια υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής βρίκεται ως εξής:!!!! K Άρα ~ osso Οµοίως η περιθώρια υνάρτηη κατανοµής της τυχαίας µεταβητής είναι! K Άρα ~ osso Παρατηρούµε ότι K Εποµένως οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πιθανότητας της διδιάτατης διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο K Να εξετατεί αν οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες και να υποογιτεί η πιθανότητα Λύη Για τη περιθώρια υνάρτηη πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής έχουµε K
Για τη περιθώρια υνάρτηη πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής έχουµε K Οι τυχαίες µεταβητές και είναι ανεξάρτητες διότι για όα τα K Χρηιµοποιούµε την ανεξαρτηία των τυχαίων µεταβητών και και έχουµε Όµως Με αντικατάταη τον προηγούµενο τύπο έχουµε Μέη τιµή και διαπορά δύο τυχαίων µεταβητών Στο παρόν εδάφιο θα αχοηθούµε µε την εύρεη της µέης τιµής και της διαποράς του αθροίµατος δυο τυχαίων µεταβητών Ιχύει η ακόουθη πρόταη Πρόταη Έτω δύο τυχαίες µεταβητές µε πεπεραµένες µέες τιµές Τότε η τυχαία µεταβητή έχει πεπεραµένη µέη τιµή και επιπέον ιχύει ότι Απόδειξη Έτω ότι η δτµ είναι υνεχής και έτω οι π της διδιάτατης δτµ και των τυχαίων µεταβητών αντίτοιχα Θεωρούµε τη υνάρτηη ιαδοχικά έχουµε dd dd dd d d παρόµοιο τρόπο Αν η διδιάτατη δτµ είναι διακριτή η απόδειξη γίνεται µε
Αν K είναι τυχαίες µεταβητές µε πεπεραµένες µέες τιµές τότε µε επαγωγή αποδεικνύεται ότι Η τεευταία χέη είναι πού χρήιµη για τον υποογιµό µέων τιµών Παράδειγµα Έτω ότι N άνδρες πετάνε τα καπέα τους το πάτωµα ενός δωµατίου Τα καπέα ανακατεύονται και ο κάθε άνδρας διαέγει ένα καπέο κατά τυχαίο τρόπο Βρείτε τη µέη τιµή του αριθµού των ανδρών που διαέγουν τα δικά τους καπέα Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή K N τέτοια ώτε αν ο άνδρας διαέγει το δικό του καπέο και αν ο άνδρας δεν διαέγει το δικό του καπέο Έτω η τυχαία µεταβητή L N Ζητάµε να βρούµε τη µέη τιµή Ιχύει ότι για κάθε N K N Συνεπώς L N Παράδειγµα έκα κυνηγοί περιµένουν να περάει ένα µήνος από δέκα κοτύφια Όταν περάει το µήνος οι κυνηγοί πυροβοούν ταυτόχρονα αά ο καθένας διαέγει το τόχο του τυχαία και ανεξάρτητα από τους άους Αν ο κάθε κυνηγός πετυχαίνει το τόχο του µε πιθανότητα να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός των κοτυφιών που ξεφεύγουν από τους πυροβοιµούς των κυνηγών Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή K τέτοια ώτε αν το οτό κοτύφι ξεφεύγει και αν το οτό κοτύφι δεν ξεφεύγει από τους πυροβοιµούς των κυνηγών Έτω η τυχαία µεταβητή L Ζητάµε να βρούµε τη µέη τιµή Ιχύει ότι L L Για κάθε K έχουµε Ο κάθε κυνηγός ανεξάρτητα από τους άους πετυχαίνει το οτό κοτύφι µε πιθανότητα Άρα Συνεπώς Η παραπάνω πρόταη µπορεί να γενικευτεί για τυχαίες µεταβητές K ως εξής: a L a a L a όπου a K a πραγµατικές ταθερές Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πιθανότητας µιας διακριτής διδιάτατης τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο c
α Ποια είναι η τιµή της ταθεράς c και ποιες οι περιθώριες υναρτήεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβητών και β Να υποογιτούν οι µέες τιµές των τυχαίων µεταβητών και Λύη α Πρέπει c 9 9 c c 9 9 β 9 9 Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας µιας διδιάτατης υνεχούς τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά α Να υποογιτούν οι µέες τιµές των τυχαίων µεταβητών β Να υποογιτεί η µέη τιµή και γ Να υποογιτούν αρχικά οι πιθανότητες < < και και να βρεθεί τη υνέχεια η µέη τιµή της τυχαίας µεταβητής Z όπου Z αν < Z αν < και Z αν Λύη α Έχουµε dd d d dd d dd β dd d d γ Είναι < dd d < dd dd d d < < < Για τη µέη τιµή της τυχαίας µεταβητής Z η οποία είναι διακριτή τυχαία µεταβητή έχουµε
Z z Z z z Παράδειγµα Ο Μήτρογου ε κάθε αγώνα βάζει έναν αριθµό από γκο που είναι τυχαίος και έχει την ακόουθη κατανοµή: Επιπέον τα γκο που βάζει ε διαφορετικούς αγώνες είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους α Να υπόογίετε τη µέη τιµή και τη διαπορά του αριθµού των γκο που βάζει ο Μήτρογου ε κάθε παιχνίδι β Ποια είναι η πιθανότητα ο Μήτρογου ε τρία παιχνίδια να βάει αθροιτικά γκο; Λύη α Va β Για να απαντήουµε το ερώτηµα έτω τα γκο που θα βάει ο Μήτρογου τα τρία παιχνίδια αντίτοιχα Έτω το ενδεχόµενο να βάει γκο Θα έχουµε { } { } { } Συνδιακύµανη δύο τυχαίων µεταβητών Έτω δύο τυχαίες µεταβητές Η διακύµανη µιας τυχαίας µεταβητής αποτεεί ένα µέτρο της µεταβητότητάς της Αν για παράδειγµα θεωρήουµε ένα γραµµικό υνδυαµό Z a b των τυχαίων µεταβητών και όπου a b R ταθερές είναι διαιθητικά προφανές ότι η διακύµανη της Z θα πρέπει να επηρεάζεται τόο από τις διακυµάνεις των όο και από την από κοινού υµπεριφορά των τυχαίων µεταβητών Η ποότητα που αντικατοπτρίζει την από κοινού υµπεριφορά των δίνεται τον ακόουθο οριµό Οριµός Συνδιακύµανη Η υνδιακύµανη covaac δύο τυχαίων µεταβητών και ορίζεται ως εξής: Cov { } Από τον παραπάνω οριµό αναπτύοντας το δεξιό µέος της τεευταίας ιότητας διαδοχικά έχουµε { } Cov
Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τότε έχουµε Cov Το αντίτροφο δεν ιχύει ηαδή αν Cov δεν έπεται ότι οι είναι ανεξάρτητες Ένα από παράδειγµα δύο εξαρτηµένων τυχαίων µεταβητών που έχουν µηδενική υνδιακύµανη µπορεί να ηφθεί αν υποθέουµε ότι η είναι τέτοια ώτε και ορίουµε την έτι ώτε αν και αν Τότε και εποµένως Επιπέον και Cov Οι είναι φανερά εξαρτηµένες τυχαίες µεταβητές Ιχύει η ακόουθη πρόταη Πρόταη Έτω µεταβητή δύο τυχαίες µεταβητές µε πεπεραµένες ροπές δεύτερης τάξης Τότε η τυχαία έχει πεπεραµένη ροπή δεύτερης τάξης και εποµένως έχει πεπεραµένη διαπορά Επιπέον ιχύει ότι Va Va Va Cov Απόδειξη Είναι Va Va Va Cov Η προηγούµενη πρόταη µπορεί να γενικευτεί για τυχαίες µεταβητές K ως εξής: Va a L a a Va aa Cov όπου a K a πραγµατικές ταθερές Στην περίπτωη που οι τυχαίες µεταβητές K είναι ανά δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους ιχύει ότι Va a L a a Va όπου a K a πραγµατικές ταθερές Ιχύει η ακόουθη πρόταη Πρόταη Αν Z τυχαίες µεταβητές και a b R ιχύει ότι Cov a b Z acov Z bcov Z Απόδειξη Είναι Z Z b Z Cov a b Z a b Z a b Z a Z acov Z bcov Z Παράδειγµα Για το παράδειγµα µε την επιογή καπέου υποογίτε τη διαπορά του αριθµού των ανδρών που διαέγουν τα δικά τους καπέα
Λύη Ιχύει ότι Va Va N N N Cov N για K N N N N Όµως Va Επίης για µε < έχουµε ότι Cov Όµως αν αµφότεροι οι άνδρες και διαέγουν τα δικά τους καπέα και ε οποιαδήποτε άη περίπτωη Άρα N N Συνεπώς Cov N N N N N N N N N Εποµένως Va N N N N N 7 Συντεετής υχέτιης δύο τυχαίων µεταβητών Έτω και δύο τυχαίες µεταβητές µε πεπεραµένες µη-µηδενικές διαπορές για τις οποίες διαπιτώαµε ότι Cov Τότε οι δεν είναι ανεξάρτητες Μας ενδιαφέρει να αποδώουµε ποοτικά το βαθµό εξάρτηης των και µε έναν κατάηο αριθµό Η τιµή της υνδιακύµανης των τυχαίων µεταβητών και επηρεάζεται ηµαντικά από τις µονάδες µέτρηης των και Για να εξαείψουµε την επίδραη των µονάδων µέτρηης των και το βαθµό της εξάρτηής τους δίνουµε τον ακόουθο οριµό Οριµός Ο υντεετής υχέτιης colato coct δύο τυχαίων µεταβητών τέτοιων ώτε Va Va > ορίζεται ως εξής: Cov ρ : και αποτεεί ένα µέτρο του βαθµού Va Va εξάρτηης µεταξύ τους Πρόταη Ιχύει ότι ρ Απόδειξη Έτω και οι διαπορές των τυχαίων µεταβητών και αντίτοιχα Ιχύει ότι Va Va Va Cov ρ ρ Va Va Cov Επίης ιχύει ότι Va ρ ρ Συνεπώς ρ 7
Ιχύει η ακόουθη πρόταη Πρόταη Αν Z είναι µία τυχαία µεταβητή τέτοια ώτε Va Z τότε { Z Z } Απόδειξη Από την ανιότητα του Chbshv έχουµε ότι Z Z > για κάθε Υποθέτουµε ότι Από το Θεώρηµα Συνέχειας ιχύει ότι lm Z Z > lm Z Z > { Z Z} Συνεπώς { Z Z } Va Va Cov Αν ρ τότε από τη χέη Va ρ προκύπτει ότι Va Η τεευταία χέη έχει ως άµεο επακόουθο ότι µε πιθανότητα η ποότητα a b R θα είναι ίη µε µία ταθερά Εποµένως θα ιχύει ότι a b όπου b > Οµοίως αν ρ τότε από τη χέη Va Va Va Cov ρ προκύπτει ότι Va Άρα µε πιθανότητα η ποότητα θα είναι ίη µε µία ταθερά Εποµένως θα ιχύει ότι a b όπου b < a b R Επιπέον αν a b τότε ρ ή ρ ανάογα µε το πρόηµο της ταθεράς b b Πράγµατι µετά από πράξεις έχουµε ότι ρ a b εποµένως ρ a b αν b > και b ρ a b αν b < Ο υντεετής υχέτιης δύο τυχαίων µεταβητών και είναι ένα µέτρο του βαθµού της γραµµικής εξάρτηης των και Μία τιµή του υντεετή υχέτιης κοντά το ή το - είναι ένδειξη υψηού βαθµού γραµµικής εξάρτηης µεταξύ των και ενώ µία τιµή του υντεετή υχέτιης κοντά το είναι ένδειξη ότι δεν υπάρχει γραµµική εξάρτηη Μία θετική τιµή του υντεετή υχέτιης είναι ένδειξη ότι
η αυξάνει καθώς η αυξάνει ενώ µία αρνητική τιµή του είναι ένδειξη ότι η µειώνεται καθώς η αυξάνει Αν ρ τότε οι τυχαίες µεταβητές και καούνται αυχέτιτες ucolatd Παράδειγµα 7 Έτω τρεις ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές που έχουν πεπεραµένες θετικές διαπορές αντίτοιχα Υποογίτε τον υντεετή υχέτιης των και Λύη Ιχύει ότι Cov Από την ανεξαρτηία των µετά από πράξεις προκύπτει ότι Cov Va Συνεπώς ρ Παράδειγµα Ένας αριθµός επιέγεται τυχαία το διάτηµα Έτω R η απόκιη του αριθµού που επιέχτηκε από ένα ταθερό αριθµό a όπου a α Να βρεθεί ο υντεετής υχέτιης των τυχαίων µεταβητών και R β Για ποια τιµή του a οι τυχαίες µεταβητές και R είναι αυχέτιτες; Λύη α Η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την Oµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα ενώ για την τυχαία µεταβητή R έχουµε R a Αφού η υνάρτηη πυκνότητας της είναι για έχουµε R a a d a d a a a d a a R a a d a d a a Va R R R a a a R a a d a d a a a a d a Επειδή Va προκύπτει µετά από πράξεις ότι R R ρ R Va Va R a a a a a 9
β Για να είναι οι τυχαίες µεταβητές R αυχέτιτες θα πρέπει ο υντεετής υχέτιης ρ R να είναι ίος µε µηδέν ή ιοδύναµα a a a a a Η εξίωη έχει µοναδική ύη το διάτηµα την a Παράδειγµα 9 Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά Να δειχθεί ότι ενώ οι τυχαίες µεταβητές και είναι αυχέτιτες δεν είναι ανεξάρτητες Λύη Για τις τυχαίες µεταβητές και έχουµε R και R Είναι d d < < d d < Οι τυχαίες µεταβητές δεν είναι ανεξάρτητες διότι δεν ιχύει η χέη για κάθε και Για παράδειγµα αν πάρουµε θα έχουµε Για τις µέες τιµές των τυχαίων µεταβητών και έχουµε d d d d dd d d Επειδή Cov έπεται ότι οι τυχαίες µεταβητές και είναι αυχέτιτες Εύρεη της κατανοµής υναρτήεων τυχαίων µεταβητών Έτω µία διδιάτατη υνεχής δτµ µε από κοινού υνάρτηη πυκνότητας Έτω τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώτε και για κάποιες υναρτήεις που ικανοποιούν τις εξής δύο υνθήκες Συνθήκη Οι εξιώεις και µπορούν κατά µοναδικό τρόπο να υθούν ως απρος και υναρτήει των και µε ύη: h h για κάποιες υναρτήεις h και h Συνθήκη Οι υναρτήεις έχουν υνεχείς µερικές παραγώγους ε όα τα ηµεία και είναι τέτοιες ώτε η παρακάτω ορίζουα να είναι διάφορη του µηδενός ε όα τα ηµεία
J Αν ιχύουν οι παραπάνω δύο υνθήκες αποδεικνύεται ότι η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης δτµ δίνεται από τον τύπο J όπου h και h για κάποιες υναρτήεις h και h Παράδειγµα Έτω διδιάτατη υνεχής δτµ µε από κοινού υνάρτηη πυκνότητας Έτω τυχαίες µεταβητές και Υποογίτε την από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ υναρτήει της Λύη Έτω και Τότε J Οι εξιώεις και έχουν ως ύη και Εποµένως Αν για παράδειγµα οι τυχαίες µεταβητές ακοουθούν την Oµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα και είναι ανεξάρτητες τότε: αν και διαφορετικά Αν για παράδειγµα η ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο και η ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο και είναι ανεξάρτητες τότε: διαφορετικά αν και Αν για παράδειγµα οι τυχαίες µεταβητές ακοουθούν την τυπική κανονική κατανοµή δηαδή ~ και είναι ανεξάρτητες τότε: N π R π π π
Στην τεευταία περίπτωη προκύπτει επιπέον το ενδιαφέρον αποτέεµα ότι οι τυχαίες µεταβητές και είναι επίης ανεξάρτητες Παράδειγµα Αν ~ N ~ και είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές δείξτε ότι ~ : t Z Λύη Έτω η βοηθητική τυχαία µεταβητή : W Τότε ZW και W Έτω Τότε Ιχύει ότι w J Άρα w W Z w zw w w z Γ φ όπου φ είναι η υνάρτηη πυκνότητας της τυπικής κανονικής κατανοµής και Γ είναι η υνάρτηη Γάµα Έχουµε ότι Γ w z w w z W Z π z R > w Όµως Γ ξ ξ π ξ d z dw w z z W Z Z Στη δεύτερη ιότητα θέαµε z w ξ Αν θέουµε ξ έχουµε Γ d d ξ ξ ξ Συνεπώς Γ Γ Z z z π z R δηαδή ~ t Z
Παράδειγµα Έτω οι υντεταγµένες ενός τυχαίου ηµείου το επίπεδο Υποθέτουµε ότι ~ N και ότι είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές Έτω Θ R οι ποικές υντεταγµένες του ηµείου Υποογίτε την από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ Θ R Λύη Θέτουµε τοξεφ θ Τότε Άρα J Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης δτµ είναι π Εποµένως η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς διανυµατικής τυχαίας µεταβητής Θ R τοξεφ δίνεται από τον τύπο π θ π θ < < > Θ R Οι περιθώριες υναρτήεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβητών R και Θ είναι > Θ d R R π θ θ και π θ π θ θ < < Θ Θ d R Η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής R καείται κατανοµή Ralh και η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής Θ είναι η Οµοιόµορφη το διάτηµα π Παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβητές R και Θ είναι επίης ανεξάρτητες Παράδειγµα Αν ~ a Gamma και ~ b Gamma και ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές υποογίτε την από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ V U όπου U και V Λύη Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ δίνεται από τον τύπο: Γ Γ Γ Γ b a b a b b a a b a b a Έτω Τότε Άρα J Οι εξιώεις v u έχουν ως ύη v u uv
u a b a b u v v Γ a b Εποµένως U V u v u U V uv u v Γ a b Γ a Γ b Συνεπώς οι τυχαίες µεταβητές U και V είναι επίης ανεξάρτητες Επιπέον ιχύει ότι ~ Gamma a b και ~ Bta a b 9 εµευµένη υνάρτηη πιθανότητας και δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας Έτω µία διδιάτατη διακριτή διανυµατική τυχαία µεταβητή και η από κοινού υνάρτηη πιθανότητάς της Για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώτε η δεµευµένη υνάρτηη πιθανότητας δπ codtoal obablt ucto της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: : όπου είναι η υνάρτηη πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής Παρατηρούµε ότι αν οι τυχαίες µεταβητές είναι ανεξάρτητες τότε η δπ της δοθέντος ότι υµπίπτει µε τη µη δεµευµένη υνάρτηη πιθανότητας της διότι Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και Για κάθε υγκεκριµένη τιµή S όπου S είναι ο φορέας της ορίζεται µία υνάρτηη πιθανότητας την οποία αντιτοιχεί µία αθροιτική υνάρτηη κατανοµής G t Η υνάρτηη G καείται δεµευµένη αθροιτική υνάρτηη κατανοµής codtoal cumulatv dstbuto ucto της δοθέντος ότι Μπορούµε να γράψουµε G t t Έτω µία διδιάτατη υνεχής διανυµατική τυχαία µεταβητή και η από κοινού υνάρτηη πυκνότητάς της Για µία υγκεκριµένη τιµή τέτοια ώτε η δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας δπ codtoal dst ucto της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: : όπου είναι η υνάρτηη πυκνότητας της τυχαίας µεταβητής t
Παρατηρούµε ότι αν οι τυχαίες µεταβητές είναι ανεξάρτητες τότε η δπ της δοθέντος ότι υµπίπτει µε τη µη δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας της διότι Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και Για κάθε υγκεκριµένη τιµή τέτοια ώτε ορίζεται µία υνάρτηη πυκνότητας S την οποία αντιτοιχεί µία αθροιτική υνάρτηη κατανοµής G t dt Η υνάρτηη G καείται δεµευµένη αθροιτική υνάρτηη κατανοµής της δοθέντος ότι Μπορούµε να γράψουµε G t dt Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι η από κοινού υνάρτηη πιθανότητας της διδιάτατης διακριτής δτµ δίνεται από τις χέεις: Υποογίτε τη δεµευµένη υνάρτηη πιθανότητας της δοθέντος ότι Λύη Ιχύει ότι Εποµένως και Παράδειγµα Έτω ότι ~ osso και ~ osso Υποθέτουµε ότι οι τυχαίες µεταβητές είναι ανεξάρτητες Αν Z : δείξτε ότι η δεµευµένη κατανοµή της δοθέντος ότι Z z είναι διωνυµική µε παραµέτρους z και : z z δηαδή Z z ~ B z : και Z z K z Λύη Ιχύει ότι Z ~ osso ιαδοχικά έχουµε ότι Z z z Z z z Z z z Z z Z z Z z
z! z! z z! z z z Η τέταρτη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και z Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ δίνεται από τον τύπο αν < < και διαφορετικά Υποογίτε τη δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας της δοθέντος ότι όπου < < Λύη Για < < < < έχουµε d d εµευµένη µέη τιµή Αν και είναι δύο διακριτές τυχαίες µεταβητές τότε για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώτε η δεµευµένη µέη τιµή codtoal ctato της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: S S όπου S είναι το ύνοο των δυνατών τιµών φορέας της και είναι η δεµευµένη υνάρτηη πιθανότητας της δοθέντος ότι Αν και είναι δύο υνεχείς τυχαίες µεταβητές τότε για κάθε δυνατή τιµή της τέτοια ώτε η δεµευµένη µέη τιµή της δοθέντος ότι ορίζεται ως εξής: d όπου είναι η δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας της δοθέντος ότι Παράδειγµα 7 Η από κοινού υνάρτηη πιθανότητας µιας διδιάτατης διακριτής διανυµατικής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο και Να υποογιτούν οι δεµευµένες µέες τιµές και να υγκριθούν µεταξύ τους
7 Λύη Είναι Όµως και Άρα και Είναι Είναι Όµως και Άρα Είναι Εποµένως > Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς δτµ δίνεται από τον τύπο < < και διαφορετικά Υποογίτε τη δεµευµένη µέη τιµή όπου > Λύη Αρχικά θα υποογίουµε τη δεµευµένη υνάρτηη πυκνότητας της δοθέντος ότι όπου > ιαδοχικά έχουµε > d d d Παρατηρούµε ότι ~ Εκθετική Εποµένως d Παράδειγµα 9 Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας της διδιάτατης υνεχούς διανυµατικής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο < < και αού α Να υποογιτούν οι υναρτήεις και β Να υποογιτούν οι ποότητες και Λύη α Είναι d d < <
d d < < < < < < β Είναι d d d d Παράδειγµα Η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας µιας διδιάτατης υνεχούς τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο > και διαφορετικά α Να βρεθούν οι περιθώριες υναρτήεις πυκνότητας των τυχαίων µεταβητών και β Να βρεθούν οι δεµευµένες υναρτήεις πυκνότητας και γ Να βρεθούν οι δεµευµένες υναρτήεις κατανοµής και δ Να βρεθούν οι δεµευµένες µέες τιµές και Λύη α Για > έχουµε d > Για > έχουµε d > Εκθετικής κατανοµής µε παράµετρο Το τεευταίο οοκήρωµα είναι ίο µε τη µέη τιµή της β Για > έχουµε > και για > έχουµε > γ Για > αν τότε s για κάθε s οπότε ενώ αν > τότε s s ds
Για τον υποογιµό της > παρατηρούµε ότι η δεµευµένη κατανοµή της δοθέντος ότι είναι η Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο Άρα αν και αν > δ Για τη δεµευµένη µέη τιµή > έχουµε d Το τεευταίο οοκήρωµα είναι ίο µε την ποότητα Z όπου η τυχαία µεταβητή Z ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο Για τη δεµευµένη µέη τιµή > έχουµε Για την εύρεη της δεµευµένης µέης τιµής µιας υνάρτηης της τυχαίας µεταβητής δοθέντος ότι ιχύουν οι εξής τύποι: αν οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές και d αν οι και είναι υνεχείς τυχαίες µεταβητές Αν θέουµε µ και θεωρήουµε τη υνάρτηη h µ R τότε από τους παραπάνω τύπους η δεµευµένη διακύµανη codtoal vaac της δοθέντος ότι είναι Va h και δίνεται από τον τύπο Va Συµβοίζουµε µε τη υνάρτηη της τυχαίας µεταβητής της οποίας η τιµή όταν είναι Παρατηρούµε ότι η ποότητα είναι επίης µία τυχαία µεταβητή Για τη υνάρτηη Va ιχύει η χέη Va Η παρακάτω πρόταη είναι ηµαντικότατη και έχει ποές εφαρµογές Πρόταη Έτω δύο τυχαίες µεταβητές Ιχύει ότι α Αν η είναι µία διακριτή τυχαία µεταβητή τότε η χέη γράφεται ως εξής: β Αν η είναι µία υνεχής τυχαία µεταβητή µε υνάρτηη πυκνότητας τότε η χέη γράφεται ως εξής: d 9
Στη υνέχεια θα αποδείξουµε την παραπάνω πρόταη για την περίπτωη κατά την οποία και οι δύο τυχαίες µεταβητές είναι διακριτές Απόδειξη ιαδοχικά έχουµε Η παραπάνω πρόταη ιχύει και όταν µία από τις τυχαίες µεταβητές είναι διακριτή και η άη είναι υνεχής Παράδειγµα Αν είναι ένα ενδεχόµενο και είναι µία τυχαία µεταβητή τότε αν η είναι µία διακριτή τυχαία µεταβητή και d αν η είναι µία υνεχής τυχαία µεταβητή µε π Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή τέτοια ώτε αν το ενδεχόµενο υµβαίνει και αν το ενδεχόµενο δεν υµβαίνει Ιχύει ότι και Εφαρµόζοντας την πρόταη έχουµε d Το άνω κέος των τεευταίων δύο ιοτήτων αντιτοιχεί την περίπτωη που η είναι διακριτή και το κάτω κέος αντιτοιχεί την περίπτωη που η είναι υνεχής µε π Παράδειγµα Οι τυχαίες µεταβητές N K ακοουθούν τη διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους m και η τυχαία µεταβητή N είναι ανεξάρτητη των N K και ακοουθεί την κατανοµή osso µε παράµετρο Υποογίτε τη µέη τιµή N
N Λύη Ιχύει ότι N N m Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών N και K Άρα N N mn N N Συνεπώς N mn m N m N ~ osso Η τεευταία ιότητα προκύπτει διότι Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι ο αριθµός των ταξιδιωτών που φθάνουν ε ένα ιδηροδροµικό ταθµό µέχρι τη χρονική τιγµή t ακοουθεί την κατανοµή osso t όπου είναι ο ρυθµός µε τον οποίον οι ταξιδιώτες φθάνουν το ιδηροδροµικό ταθµό Αν η χρονική τιγµή άφιξης του τρένου το ταθµό ακοουθεί την Οµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα T και είναι ανεξάρτητη των αφίξεων των ταξιδιωτών το ταθµό ποια είναι η µέη τιµή του αριθµού των ταξιδιωτών που επιβιβάζονται το τρένο; Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή N t που αναπαριτά τον αριθµό των αφίξεων των ταξιδιωτών το ταθµό µέχρι τη χρονική τιγµή t t Έτω ότι η τυχαία µεταβητή αναπαριτά τη χρονική τιγµή άφιξης του τρένου το ταθµό Ιχύει ότι Nt ~ osso t και ~ Οµοιόµορφη T Ζητάµε τη µέη τιµή N Ιχύει ότι N t N t t N t t Η δεύτερη ιότητα είναι υνέπεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων µεταβητών και N t Η τεευταία ιότητα προκύπτει διότι Nt ~ osso t Άρα N T Συνεπώς N N Η τεευταία ιότητα προκύπτει διότι ~ Οµοιόµορφη T Παράδειγµα Ένας µεταωρύχος είναι παγιδευµένος ε ένα ορυχείο το οποίο έχει τρεις πόρτες Η πρώτη πόρτα οδηγεί ε ένα τούνε το οποίο τον απεευθερώνει µετά από πορεία τριών ωρών Η δεύτερη πόρτα οδηγεί ε ένα τούνε το οποίο τον ξαναφέρνει το ορυχείο µετά από πορεία πέντε ωρών Η τρίτη πόρτα οδηγεί ε ένα τούνε το οποίο τον ξαναφέρνει το ορυχείο µετά από πορεία επτά ωρών Αν υποθέουµε ότι πάντοτε ο µεταωρύχος διαέγει κάποια από τις τρεις πόρτες µε την ίδια πιθανότητα ποιος είναι ο αναµενόµενος χρόνος µέχρι την απεευθέρωή του; Λύη Έτω η τυχαία µεταβητή που αναπαριτά το χρόνο µέχρι την απεευθέρωη και η τυχαία µεταβητή που αναπαριτά την πόρτα που διαέγει αρχικά ο µεταωρύχος Ζητάµε τη µέη τιµή Ιχύει ότι
Όµως εξ υποθέεως ιχύει ότι 7 Άρα 7