5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 84 85 A Οµάδας. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() = log και g() = log Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντηση. Πίνακας τιµών για τη συνάρτηση f() = log /4 / 4 y = log y 0 Μπορούµε να συνεχίσουµε µε περισσότερα σηµεία. Έτσι θα έχουµε τη µορφή της C f Πίνακας τιµών για τη συνάρτηση g() = log O - A(,0) y = log /4 / 4 y 0 Μπορούµε να συνεχίσουµε µε περισσότερα σηµεία. Έτσι θα έχουµε τη µορφή της C g Παρατηρούµε ότι οι C f και Αυτό συµβαίνει διότι g() = C g είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα log log = = log log = log log log = 0 = log = f()
. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() = log, g() = log και h() = log ( ) Μετακινούµε τη C f κατακόρυφα y κατά µία µονάδα προς τα κάτω, οπότε έχουµε τη C O y = log(-) g. Μετακινούµε τη C f οριζόντια κατά µία µονάδα προς τα δεξιά, οπότε έχουµε τη C. h y = log y = log - 3.i) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() = α και τη λογαριθµική συνάρτηση g() = logα, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σηµείο Α(, 4). Α 4 = C f Άρα f() = α = α α = Α C g 4 = logα Άρα g() = log 4 4 α = α= 4 3.ii) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() = α και τη λογαριθµική συνάρτηση g() = logα, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σηµείο Β(, 4). Β C f 4 = α = α = α = α α = Άρα f() = Β 4 = log ( ) C g α αδύνατη
3 3.iii) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() = α και τη λογαριθµική συνάρτηση g() = logα, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σηµείο Γ(, 4). Γ C f 4 = α Γ C g 4 = logα Άρα g() = log 4 αδύνατη 4 α = 4 α = 4 α = α = 4 α= 4 3.iv) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() = α και τη λογαριθµική συνάρτηση g() = logα, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σηµείο (, 4). C f 4 = α 4 = αδύνατη α C g 4 = log α( 4) αδύνατη
4 4. Η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φιλµ µετριέται σε µονάδες ΑSA ή σε µονάδες DIN. Αν µονάδες ΑSA συνδέονται µε y µονάδες DIN µε τον τύπο y = + 0 log, να φτιάξετε έναν πίνακα τιµών της παραπάνω συνάρτησης για = 50, 00, 00, 400, 800, 600 ΑSA. Τι παρατηρείτε; ( ίνεται ότι log = 0,3) Για = 50, είναι log = log50 = log 00 = log00 log = log0 0,3 = log0 0,3 = 0,3 =,7 Άρα y = + 0,7 = + 7 = 8 Για = 00, είναι log = log00 = log0 = log0 = Άρα y = + 0 = Για = 00, είναι log = log00 = log( 0 ) = log + log0 = 0,3 + log0 = 0,3 + =,3 Άρα y = + 0,3 = + 3 = 4 Για = 400, είναι log = log400 = log(4 0 ) = log + log0 Άρα y = + 0,6 = + 6 = 7 = log + log0 = 0,3 + = 0,6 + =,6 Για = 800, είναι log = log800 = log(8 0 ) = log 3 + log0 = 3 log + log0 = 3 0,3 + = 0,9 + =,9 Άρα y = + 0,9 = + 9 = 30 Για = 600, είναι log = log600 = log(6 0 ) = log 4 + log0 Άρα y = + 0 3, = + 3 = 33 = 4 log + log0 = 4 0,3 + =, + = 3, 50 00 00 400 800 600 y 8 4 7 30 33 Παρατηρούµε ότι, ενώ οι τιµές του είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου µε λόγο, οι τιµές του y είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά 3.
5 5.i) Να λυθεί η εξίσωση log( + ) + log( ) = log Περιορισµοί: Πρέπει + > 0 και > 0 > και > > log( + ) + log( ) = log log[( + ) ( )] = log ( + ) ( ) = = = 3 = 3 5.ii) Να λυθεί η εξίσωση log( ) + log = log5 Περιορισµοί: Πρέπει > 0 και > 0 > και > 0 > log( ) + log = log5 log[( )] = log0 log5 = + 8 = 9, = ± 9 log[( )] = log 0 5 ( ) = = 0 = ± 3 = ή που απορρίπτεται. 5.iii) Να λυθεί η εξίσωση log = ( log ) Περιορισµός: Πρέπει > 0 log = ( log ) log = ( log ) Θέτουµε log = y H εξίσωση γίνεται y = y Για y = 0, έχουµε log = 0 = Για y =, έχουµε log = = y y = 0 y (y ) = 0 y = ή y = 0 0 = 00
6 5.iv) Να λυθεί η εξίσωση log( + ) log = log Περιορισµός: Πρέπει > 0 log( + ) log = log log + = log + = + = + = 0 ( ) = 0 = 6.i) Να λυθεί η εξίσωση 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 0 = = log 6.ii) Να λυθεί η εξίσωση + 3 = + 3 = 33 = 3 3 = 6 = 6 3 log = log6 log (,5) = log6 = log 6 log(, 5)
7 7. Να συγκριθούν οι αριθµοί: i) log3 και log3 5 ii) log 0,3 5 και log 0,3 7 iii) log( + ) και log i) Θεωρούµε τη λογαριθµική συνάρτηση f() = log3 Επειδή η βάση είναι α = 3 >, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Εποµένως: < 5 f() < f(5) log3 < log3 5 ii) Θεωρούµε τη λογαριθµική συνάρτηση f() = log0,3 Επειδή η βάση είναι α = 0,3 <, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Εποµένως: 5 < 7 f(5) > f(7) log 0,3 5 > log 0,3 7 iii) Περιορισµός: > 0 Αποδεικνύουµε πρώτα ότι Αρκεί + + 0 ( ) 0 που ισχύει Θεωρούµε τη λογαριθµική συνάρτηση f() = log Επειδή η βάση είναι α = 0 >, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. α) Όταν =, τότε β) Όταν, τότε + =, οπότε log( + ) = log + >, οπότε f( + ) > f() δηλαδή log( + ) > log 8. Ένα διάλυµα θεωρείτε όξινο αν [H ] + > 7 0 + 7 και βασικό αν [H ] < 0. Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για το pη. + 7 [H ] > 0 + log[h ] > log0 + log[h ] > 7 + log[h ] < 7 pη < 7 Εποµένως το όξινο διάλυµα έχει pη < 7 και το βασικό έχει pη > 7
8 Β Oµάδας.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ln Πρέπει > 0 0 Άρα πεδίο ορισµού είναι R = (,0) (0, + ) f( ) = ln = ln = f() άρα η συνάρτηση είναι άρτια, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y y. y = ln(-) (-,0) O y (,0) y = ln ln, όταν > 0 Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται f() = ln( ), όταν < 0 Εποµένως, η C f προκύπτει από την καµπύλη µε εξίσωση y = ln και τη συµµετρική της ως προς τον άξονα y y..ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ln Πρέπει > 0 0 Άρα πεδίο ορισµού είναι R = (,0) (0, + ) f() = ln = ln f( ) = ln = ln = ln = f() άρα η συνάρτηση είναι άρτια, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y y. y = ln(-) (-,0) O y (,0) y = ln ln, όταν > 0 Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται f() = ln( ), όταν < 0 Εποµένως, η C f προκύπτει από την καµπύλη µε εξίσωση y = ln και τη συµµετρική της ως προς τον άξονα y y.
9.iii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = ln Πρέπει > 0 Άρα πεδίο ορισµού είναι R = (,0) (0, + ) Όταν ln > 0, δηλαδή όταν >, τότε ln = ln, οπότε f() = ln Όταν ln < 0, δηλαδή όταν <, τότε ln = ln, οπότε f() = ln Άρα, ο τύπος της συνάρτησης γράφεται ln, όταν f() = ln, όταν < y O y = - ln (,0) y = ln Εποµένως, η C f προκύπτει από την καµπύλη µε εξίσωση y = ln για και τη συµµετρική της ως προς τον άξονα για 0 < <.iv) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = log(0 0) Πρέπει 0 0 > 0 0 > 0 > Άρα πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα (, + ) y (3,) y=f() f() = log(0 0) f() = log[0( )] f() = log0 + log ( ) f() = + log ( ) O y = log Άρα η C f προκύπτει από την καµπύλη µε εξίσωση y = log µεταφέροντάς τη κατά µονάδα επάνω και δεξιά.
0.i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln ( ) Εύρεση του πεδίου ορισµού Για κάθε R ισχύει + + > Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το R. + + είναι περιττή. + = αφού Εποµένως, για κάθε R και R + 0 f( ) = ln ( + ( ) + ) = ln ( + + ) ( )( ) + + + = ln = ln = ln Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. + + + + + + + = ln ln ( ), δηλαδή + 0 + + = 0 f() = f()
.ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln + Εύρεση του πεδίου ορισµού Πρέπει > 0 + ( )( + ) > 0 > 0 είναι περιττή. < < < < Άρα D = (, ), το οποίο είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, f άρα για κάθε D f και D f f( ) = ln ( ) = ln + + ( ) = ln + = ln ln + Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. = 0 f() = f() 3. Για ποιες τιµές του R οι αριθµοί log78, log ( 8 3 ) σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου; Πρέπει και αρκεί log ( 8 3 ) log ( ) 8 3 log ( ) + = log78 + log3 + = log78 + log3 8 + 3 = log(78 3 ) 8( + 3 ) = 78. 3 +, log3 µε τη 8. + 6 3 = 78 3 8 = 6 3 3 = 6 8 3 = 3 4 = 4
4. Αν logα β = logβ γ logγ α δείξτε ότι α = β ή α = β Περιορισµοί α, β, γ >0 και α, β, γ τότε logα β = logβ γ logγ α logβ logα = logγ logβ logα logγ (logβ) = (logα) logβ = logα ή logβ = logα logβ = logα ή logβ = logα - α = β ή α = β 5.i) Να λύσετε την εξίσωση log = log. Περιορισµοί: Πρέπει > 0 και log 0 > 0 και log = log log = log log = log log = 4 log log 4 log = 0 log(log 4) = 0 log = 0 ή log 4 = 0 4 = ή log = 4 = ή = 0 5.ii) Να λύσετε την εξίσωση Θέτουµε ln = y. 4 ln 5ln + 4= 0 Η εξίσωση γίνεται y 5y +4 = 0 Ρίζες: y = ή y = 4 α) για y = έχουµε β) για y = 4 έχουµε ln = ln = ή ln = = e ή = e ln = 4 ln = ή ln = = e ή = e
3 6. Να αποδείξετε ότι log 5 = log 5 = log 5 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log 5 = 5 + 4 log 5 log log 5 5 log( ) = log( 5 log ) log5 log = log log5 που ισχύει log Η εξίσωση γράφεται ( 5 ) = 5 + 4 log 5 log 5 log Θέτουµε = 5 = y Η εξίσωση γίνεται y = 5 + 4y y 4y 5 = 0 y = 5 ή y = α) για y = 5 έχουµε β) για y = έχουµε log 5 = 5 log = = 0 log 5 = που είναι αδύνατη 7.i) log(y) = 4 log Να λύσετε το σύστηµα log log y= 3 log Περιορισµοί: > 0 και y > 0 ( ) log(y) = 4 log log log y= 3 log ( ) log + log y= 4log log log y= 3 log ( ) Αναζητάµε δύο αριθµούς, τους log και logy, µε άθροισµα 4log και γινόµενο 3(log ). Αυτοί οι αριθµοί είναι οι log και 3log. Εποµένως log = log log y= 3 log ή log = 3log log y= log = log y= log 3 ή log = log y= 3 = 3 y = = 8 ή = 3 = 8 y=
4 7.ii) y= 8 Να λύσετε το σύστηµα log y= log Περιορισµοί: > 0 και y > 0 y= 8 log y= log y= 8 log y= log y= 8 y = = 8 y = 3 = 8 y = = y = = y = = 4 7.iii) y= Να λύσετε το σύστηµα log y= log + log Περιορισµοί: > 0 και y > 0 y= y= log y= log + log log y = log() y= y = y= y y = y= y = y= = y= =
5 8.i) Να λύσετε την ανίσωση Περιορισµός: > 0 log > (log ) log > (log ) log > Θέτουµε log = y (log ) Η ανίσωση γίνεται y > y y y < 0 Τριώνυµο αρνητικό, ετερόσηµο του α =, άρα ο y εντός των ριζών 0 και. 0 < y < 0 < log < log < log < log00 < < 00 8.ii) Να λύσετε την ανίσωση log( 4) < log 3 Περιορισµός: 3 > 0 και 4 > 0 > 0 και > 4 > 0 και > > 0 και < - ή > > () log( 4) < log 3 4 < 3 3 4 < 0 < < 4 () Συναλήθευση των (), () < < 4
6 8.iii) Να λύσετε την ανίσωση log > 0 Περιορισµός: > 0 () log log > 0 log( ) > log0 log log > log > log > log < ή log > < 0 ή > 0 < 0 Συναλήθευση των (), () : 0 < < 0 ή > 0 ή > 0 () 9. είξτε ότι log 3 > log6 9 log 3 > log6 9 log3 log > log9 log 6 log3 log > log 3 log( 3) log3 log > log3 log log 3 + log3(log + log3) >loglog3 log3log + (log3) > loglog3 (log3) - loglog3 >0 log3(log3 log ) >0 πράγµα που ισχύει αφού log3 > 0 και log3 > log
7 0. Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε α, β > 0 µε α β, ισχύει : Αρκεί να αποδείξουµε ότι α β β α α β > α β α β β α log( α β ) > log(α β ) logα α + logβ β > logα β + logβ α α logα + βlogβ > βlogα + α logβ α logα + βlogβ βlogα α logβ > 0 α(logα log β ) β(logα log β ) > 0 (logα log β ) (α β ) > 0 Όταν α > β τότε α β > 0 και logα > logβ α β > 0 και logα logβ > 0 (logα log β ) (α β ) > 0 Όταν α < β τότε α β < 0 και logα< logβ α β < 0 και logα logβ < 0 (logα log β ) (α β ) > 0