ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γενικές οδηγίες για την εργασία Η εργασία περιλαμβάνει τέσσερις υποχρεωτικές ασκήσεις. Οι απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα αναπτυχθούν σε δύο αρχεία (ένα Word και ένα Excel) σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία θα πρέπει να αναρτηθούν στο moodle. Καταληκτική ημερομηνία ανάρτησης: Κυριακή, 12/05/2013 Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα, επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό της κλίμακας 0-10, για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Προσοχή! Εργασίες οι οποίες αναρτώνται 7 ημέρες μετά την 12 Μαΐου (δηλαδή μετά την 19 η Μαΐου) δεν γίνονται δεκτές. Αναλυτικές Οδηγίες Οι πλήρεις απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα πρέπει να δοθούν σε ένα αρχείο Word το οποίο θα ονομάσετε EponymoOnoma-GE04.doc (π.χ. IoannouIoannis-GE04.doc) και θα συνοδεύονται από το αρχείο Excel που περιγράφεται στην επόμενη παράγραφο. Για την εισαγωγή μαθηματικών εκφράσεων, όπου είναι απαραίτητο, να χρησιμοποιήσετε τον επεξεργαστή εξισώσεων - Equation Editor (Βλέπε οδηγίες στο συμπληρωματικό εγχειρίδιο Εισαγωγή στους Η/Υ στην ιστοσελίδα της ΔΕΟ13). Για απλές μαθηματικές εκφράσεις (π.χ. εκθέτες ή δείκτες) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις επιλογές μορφοποίησης του Word. Για τα ερωτήματα της Άσκησης 4, που απαιτούν τη χρήση του Excel, να δημιουργήσετε ένα αρχείο Εxcel το οποίο θα ονομάσετε EponymoOnoma-GE04.xls (π.χ. IoannouIoannis-GE04.xls). Το αρχείο σας θα πρέπει να περιέχει τρία φύλλα εργασίας (βλ. τις εκφωνήσεις για περαιτέρω οδηγίες). Τα αποτελέσματα από το excel πρέπει να ενσωματωθούν στην εργασία σας στο αρχείο Word ως εικόνες, ώστε το κείμενο της εργασίας να περιέχει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για την ανάγνωσή της, ανεξάρτητα από τον έλεγχο που θα πραγματοποιηθεί στο αντίστοιχο αρχείο Excel. Η εργασία σας πρέπει να είναι επιμελημένη και ευανάγνωστη.
ΑΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Η δασική υπηρεσία σχεδιάζει την αναδάσωση μίας μεγάλης περιοχής δημιουργώντας 8 συστάδες (δασύλλια) με διάφορες ποικιλίες δέντρων. Επιθυμεί να αναπτύξει ένα σύστημα δασικών δρόμων που θα καθιστά κάθε δασύλλιο προσβάσιμο από οποιοδήποτε άλλο. Οι αποστάσεις (km) μεταξύ ζευγών δασυλλίων δίνονται στον ακόλουθο πίνακα, μόνο όπου υπάρχει δυνατότητα κατασκευής δρόμου. Οι δρόμοι που θα κατασκευαστούν θα είναι διπλής κατεύθυνσης. Δασύλλιο Απόσταση μεταξύ ζευγαριών δασυλλίων (km) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1.3 2.1 0.9 0.7 1.8 2.0 1.5 2 1.3 0.9 1.8 1.2 3 2.1 0.9 2.6 1.9 1.0 4 0.9 1.8 2.6 0.7 5 0.7 1.2 0.7 0.9 1.1 0.8 6 1.8 0.9 0.6 1.0 7 2.0 1.9 1.1 0.6 0.5 8 1.5 1.0 0.8 1.0 0.5 Όπως αναφέρθηκε, η διοίκηση της δασικής υπηρεσίας επιθυμεί να προσδιορίσει τους δρόμους που θα κατασκευάσει ώστε να μπορεί κάθε επισκέπτης της περιοχής να μεταβεί από οποιοδήποτε δασύλλιο βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο. Το κόστος κατασκευής κάθε δρόμου είναι ανάλογο της χιλιομετρικής απόστασης και το συνολικό κόστος του έργου αποτελεί το βασικό κριτήριο για τη εύρεση της καλύτερης δυνατής λύσης. Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της δασικής υπηρεσίας να επιλύσει το πρόβλημα. Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει να διατυπώσετε με σαφήνεια την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει το προς επίλυση πρόβλημα δικαιολογώντας την απάντησή σας, καθώς και τον αλγόριθμο με τον οποίο επιτυγχάνεται η λύση. Η επίλυση που θα παρουσιάσετε να είναι σαφής και να δείχνει ότι εφαρμόζετε με ακρίβεια το σχετικό αλγόριθμο πάνω στο δίκτυο που θα κατασκευάσετε με βάση τα δεδομένα. Λύση Οι κόμβοι (δασύλλια) και οι δυνατές συνδέσεις μεταξύ τους παριστάνονται στο δίκτυο του ακόλουθου σχήματος. Στο δίκτυο που κατασκευάσαμε δεν έχει ιδιαίτερη σημασία η μορφή του ως εικόνα, σημασία έχει να παρουσιάζονται σωστά οι ακμές, που να δείχνουν που μπορεί να υπάρχει σύνδεση σύμφωνα με τον πίνακα δεδομένων και τα κόστη που προκύπτουν. Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου και θα εφαρμοστεί ο αντίστοιχος αλγόριθμος. Ο λόγος που ανήκει στην κατηγορία αυτή, είναι ότι μας ενδιαφέρει η δυνατότητα πρόσβασης από κάθε κόμβο (δασύλλιο) προς οποιοδήποτε άλλο κόμβο με το ελάχιστο συνολικά κόστος χάραξης δρόμων. 2
1 η Επανάληψη: Επιλέγουμε (αυθαίρετα αλλά χωρίς περιορισμό της γενικότητας) ως πρώτο κόμβο τον κόμβο 1. Ο κόμβος αυτός εισέρχεται στο σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων, C={1}. Συνδέουμε στον κόμβο 1 τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος 5, μέσω της ακμής 1-5 με μήκος 0.7. Οι κόμβοι {1, 5} είναι συνδεδεμένοι. 2 η Επανάληψη: Ο πιο κοντινός στους {1, 5} είναι ο κόμβος 4 με την ακμή 5-4 μήκους 0.7. Συνδεδεμένοι τώρα είναι οι κόμβοι {1, 5, 4}. 3 η Επανάληψη: Συνδέουμε στη συνέχεια τον κόμβο 8 με την ακμή 5-8 μήκους 0.8. Συνδεδεμένοι καθίστανται οι κόμβοι του συνόλου {1, 5, 4, 8}. 3
4 η Επανάληψη: Ο πιο κοντινός στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 7 με την ακμή 8-7 μήκους 0.5. Το σύνολο γίνεται {1, 5, 4, 8, 7}. 5 η Επανάληψη: Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 6 με τον κόμβο 7 μέσω της ακμής 7-6 μήκους 0.6. Το σύνολο γίνεται τώρα {1, 5, 4, 8, 7, 6}. 4
6 η Επανάληψη: Ο πιο κοντινός στους συνδεδεμένους είναι τώρα ο κόμβος 3 που συνδέεται στον κόμβο 8 με την ακμή 8-3 μήκους 1.0. Το σύνολο γίνεται {1, 5, 4, 8, 7, 6, 3}. 7 η Επανάληψη: Στη συνέχεια, συνδέεται ο κόμβος 2 με την ακμή 3-2 μήκους 0.9. Το σύνολο καθίσταται {1, 5, 4, 8, 7, 6, 3, 2}. Εφόσον έχουν εισέλθει όλοι οι κόμβοι στο σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων η διαδικασία ολοκληρώθηκε. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 5.2 (χιλιόμετρα) και αντιστοιχεί στο ελάχιστο συνολικό κόστος. 5
Το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα, στο οποίο οι ενεργοποιημένες συνδέσεις απεικονίζονται με έντονες ακμές. Το ελάχιστο συνολικό κόστος κατασκευής του δικτύου είναι των δασικών δρόμων είναι ανάλογο των 5.2 χιλιομέτρων. Σημειώνεται, ότι στις εξετάσεις δεν είναι απαραίτητο να ξανασχεδιάζεται σε κάθε βήμα το δίκτυο από την αρχή, απλά να αναφέρεται η επανάληψη και να σχεδιάζεται σε ένα σχήμα η εισερχόμενη ακμή και κόμβος. 6
ΑΣΚΗΣΗ 2 (ΜΟΝΑΔΕΣ 30) Σε ένα αεροδρόμιο, οι επιβάτες καταφθάνουν στα σημεία ελέγχου εισιτηρίων (check-in) στις αναχωρήσεις σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό άφιξης 55 επιβάτες ανά 15λεπτο και σχηματίζει μία ουρά αναμονής. Η διαδικασία ελέγχου από τους υπαλλήλους στα check-in ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέσο χρόνο 45 δευτερόλεπτα ανά επιβάτη. Η υπηρεσία του αεροδρομίου εκτιμά ότι η παραμονή (αναμονή και εξυπηρέτηση) ενός επιβάτη στo σύστημα αυτό, κοστίζει 1 ευρώ ανά ώρα. Κάθε υπάλληλος αμείβεται με 5 ευρώ ανά ώρα. Ερώτημα Α Η διεύθυνση του αεροδρομίου θέλει να προσδιορίσει τον αριθμό των υπαλλήλων που πρέπει να διαθέτει στο check-in έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το ωριαίο συνολικό λειτουργικό κόστος (αναμονής + εξυπηρέτησης). (20 μονάδες) Ερωτήματα Β Αφού καταλήξει στον βέλτιστο αριθμό υπαλλήλων θέλει να προσδιορίσει τα παρακάτω μέτρα απόδοσης για το εν λόγω σύστημα: 1. Βαθμός απασχόλησης των υπαλλήλων. 2. Μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή. 3. Μέσος αριθμός επιβατών στο σύστημα check-in. 4. Μέσος χρόνος αναμονής ενός επιβάτη. 5. Μέσος συνολικός χρόνος παραμονής ενός επιβάτη στο check-in. 6. Πιθανότητα ένας επιβάτης που φθάνει στο check-in να μην περιμένει καθόλου. 7. Πιθανότητα η ουρά αναμονής να είναι ίση ή μεγαλύτερη των 4 ατόμων; (10 μονάδες) Υπόδειξη: Για να απαντήσετε στα ερωτήματα είναι απολύτως απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου την ώρα. Στους υπολογισμούς σας, είτε να διατηρείτε κλασματικούς αριθμούς, είτε να διατηρείτε τουλάχιστον τέσσερα (4) δεκαδικά ψηφία. Κάθε τύπο που χρησιμοποιείτε να τον παραθέτετε με σαφήνεια και στη συνέχεια να αντικαθιστάτε στους τύπους τις αριθμητικές τιμές ώστε να κάνετε τους υπολογισμούς. Λύση Ερώτημα Α Κατ' αρχάς, πρέπει να προσδιορίσουμε τους ρυθμούς άφιξης λ και εξυπηρέτησης μ σε ωριαία βάση. Βάσει των δεδομένων προκύπτει ότι λ ωριαίος =(60/15)*55=220 επιβάτες ανά ώρα και μ ωριαίος = (60/0,75)*1=80 επιβάτες ανά ώρα (0,75 λεπτά είναι 45 δευτερόλεπτα) Υπολογίζουμε το συνολικό κόστος θέτοντας διαδοχικά: αριθμός υπαλλήλων s=1,2,3,4,5,. Βέβαια, οι 2 αρχικές περιπτώσεις s=1 και s=2 δεν εξετάζονται διότι το s=1, αποκλείεται λόγω του γεγονότος ότι λ/μ=220/80 >1, και διότι s=2 αποκλείεται λόγω του γεγονότος ότι λ/2μ=220/160 >1. Για s=3 έχουμε ότι λ/3μ=220/240 < 1 Με τρεις υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/3 με ρυθμό εισόδου λ=220 επιβάτες ανά ώρα και συνολικό ρυθμό εξυπηρέτησης μ s=3 80= 240 επιβάτες ανά ώρα. Υπολογίζουμε την πιθανότητα Ρ 0 1 P0 = s 1 n s ( / ) ( / ) s n0 n! s! s 1 P0 0 1 2 3 2,75 2,75 2,75 2,75 380 0! 1! 2! 3! 380 220 =0,020536 7
Ο μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή στο check-in δίνεται από τη σχέση L q ( s ) ( s 1)!( s ) L q 2 P 3 (2,75) 220 80 0 0,020356 9,313613 2 (31)!(3 80 220) Ο μέσος αριθμός επιβατών στο σύστημα (Αναμονή + εξυπηρέτηση) είναι ίσος με L L q 9,313613 2, 75 12,06361 Το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/3 ανέρχεται σε: TC s=3 =c w L+c s s= 1 12,06361+5 3=27,0636 ευρώ ανά ώρα Για s=4 έχουμε: Με τέσσερεις υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/4 με ρυθμό εισόδου λ=220 επιβάτες ανά ώρα και συνολικό ρυθμό εξόδου μ s=4 80= 320 επιβάτες ανά ώρα. Υπολογίζουμε την πιθανότητα Ρ 0. P 0 s 1 n0 ( / ) n! n 1 ( / ) s! s s s 1 P0 =0,053697 0 1 2 3 4 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 480 0! 1! 2! 3! 4! 480 220 Ο μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή στο check-in δίνεται από τη σχέση ( s ) Lq P 2 0 ( s 1)!( s ) L q 4 (2,75) 220 80 0,053697 0,900833 2 (41)!(4 80 220) Ο μέσος αριθμός επιβατών στο σύστημα (Αναμονή + εξυπηρέτηση) είναι ίσος με L L q 0,900833 2, 75 3,65083 Το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/4 ανέρχεται σε: TC s=3 =c w L+c s s= 1 3,65083+5 4=23,65083 ευρώ ανά ώρα Για s=5 έχουμε: Με πέντε υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/5 με ρυθμό εισόδου λ=220 επιβάτες ανά ώρα και συνολικό ρυθμό εξόδου μ s=5 80= 400 επιβάτες ανά ώρα. Υπολογίζουμε την πιθανότητα Ρ 0. P 0 s 1 n0 ( / ) n! n 1 ( / ) s! s s s P0 0 1 2 3 4 5 1 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 2,75 5 80 0! 1! 2! 3! 4! 5! 580 220 = 0,061376 8
Ο μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή στο check-in δίνεται από τη σχέση L q ( s ) ( s 1)!( s ) L q 2 P 5 (2,75) 220 80 0 0,061376 0,2185 2 (5 1)!(5 80 220) Ο μέσος αριθμός επιβατών στο σύστημα (Αναμονή + εξυπηρέτηση) είναι ίσος με L L q 0,2185 2,75 2,9685 Το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/5 ανέρχεται σε: TC s=3 =c w L+c s s= 1 2,9685+5 5=27,9685 ευρώ ανά ώρα Συγκρίνοντας τα συνολικά κόστη για s=3,4 και 5 διαπιστώνουμε ότι ενώ έχουμε μείωση του κόστους όταν μεταβαίνουμε από τους 3 στους 4 υπαλλήλους, έχουμε αύξηση όταν ο αριθμός των υπαλλήλων γίνεται ίσος με 5 άτομα. Οπότε, συμπεραίνουμε ότι ο βέλτιστος αριθμός υπαλλήλων είναι ίσος με s=4 που αντιστοιχεί στο μικρότερο κόστος, ίσο με 23,65083 ευρώ ανά ώρα. Ερωτήματα Β Για την περίπτωση λοιπόν των τεσσάρων υπαλλήλων (s=4) τα μέτρα απόδοσης είναι τα εξής: 1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος : λ/sμ = 220/4 80=220/320=0,6875 2. Μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή: L q =0,9008 επιβάτες (υπολογίστηκε ήδη) 3. Μέσος αριθμός επιβατών σε αναμονή και σε εξυπηρέτηση : L= 3,65083 επιβάτες (ομοίως) 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός επιβάτη στην ουρά : Lq Wq = 0.9008/(220) = 0,0041 ώρες (=14,7409 δευτερόλεπτα) 5. Μέσος συνολικός χρόνος παραμονής ενός επιβάτη στο check-in 1 W W =0,0041+1/80=0,0166 ώρες (=59,7409 δευτερόλεπτα) q 6. Η απάντηση είναι : P 0 + P 1 + P 2 + P 3. Με βάση τον ακόλουθο τύπο: P n n 1 P0, n! n 1 P, ns 0 s! s n s n s Γνωρίζουμε ότι P 0 = 0,053697 ή 5,3697%, και παίρνουμε επίσης: P 1 = (1/1!) (2,75) 1 0,053697 = 14,77 % P 2 = (1/2!) (2,75) 2 0,053697 = 20,30 %, P 3 = (1/3!) (2,75) 3 0,053697 = 18,61 % Άρα, P 0 + P 1 + P 2 + P 3 = 59,049 % 7. Για να φτάσει ή να ξεπεράσει η ουρά τα 4 άτομα, θα πρέπει στο σύστημα να υπάρχουν τουλάχιστον 8 επιβάτες (4 στην εξυπηρέτηση και τουλάχιστον 4 στην αναμονή). Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Pr[Queue 4]=Pr[Number in System 8] =1-Pr[Number in System 7] = 1 (P 0 + P 1 + P 2 + P 3 +P 4 + P 5 + P 6 + P 7 ). Υπολογίζουμε και τις επιπλέον πιθανότητες που χρειαζόμαστε: P 4 = (1/4!) (2,75) 4 0,053697 = 12,79 % P 5 = (1/4! 4) (2,75) 5 0,053697 = 8,79 % P 6 = (1/4! 4 2!) (2,75) 6 0,053697 = 6,04 % P 7 = (1/4! 4 3 ) (2,75) 7 0,053697 = 4,15 % και τελικά: Pr[Queue 4]= 1-90,82%= 9,18% 9
ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Οι τηλεοπτικοί σταθμοί Α και Β πρακτικά μοιράζονται τα διαφημιστικά έσοδα κατά τη ζώνη υψηλής τηλεθέασης (9-10 μμ) που συνολικά ανέρχονται σε 14.000 ευρώ. Τα διαφημιστικά έσοδα κάθε σταθμού εξαρτώνται από το πρόγραμμά του αλλά και από το πρόγραμμα του ανταγωνιστή του. Κατά τη διάρκεια της ζώνης υψηλής τηλεθέασης, ο σταθμός Α έχει τη δυνατότητα να προβάλει μία Ταινία (Τ), Ειδήσεις (Ε) ή Ξένο Σήριαλ (ΞΣ). Αντίστοιχα, ο σταθμός Β έχει τη δυνατότητα να προβάλει μία Πολιτική Συζήτηση (ΠΣ), Ντοκιμαντέρ (Ν) ή Ελληνικό Σήριαλ (ΕΣ). Κάθε σταθμός δηλώνει το πρόγραμμά του στην αρχή της ημέρας χωρίς να γνωρίζει τι έχει δηλώσει ο ανταγωνιστής του. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα εκτιμώμενα διαφημιστικά έσοδα (σε χιλιάδες Ευρώ) του σταθμού Α, για κάθε συνδυασμό προγραμμάτων των δύο σταθμών. Πολιτική Συζήτηση (ΠΣ) Σταθμός Β Ντοκιμαντέρ (Ν) Ταινία (Τ) 10 4 2 Σταθμός Α Ειδήσεις (Ε) 9 3 2 Ξένο Σήριαλ (ΞΣ) 5 8 12 Ελληνικό Σήριαλ (ΕΣ) Ερώτημα 1 Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε σταθμό καθώς και τα αναμενόμενα διαφημιστικά έσοδα του σταθμού Α και του σταθμού Β. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. (15 μονάδες) Ερώτημα 2 Λαμβάνοντας υπόψη τα διαφημιστικά έσοδα με βάση τον αρχικό πίνακα πληρωμών, ο σταθμός Α θεωρεί ότι υπερισχύει του ανταγωνιστή του κάθε φορά που τα διαφημιστικά έσοδά του ξεπερνούν τις 7 χιλιάδες ευρώ (κάτι, που είναι λογικό αφού το σύνολο των εσόδων είναι 14.000 ευρώ). Στην αντίθετη περίπτωση, θεωρούμε ότι ο σταθμός Β υπερισχύει του Α. Υπό αυτή την έννοια, ας υποθέσουμε ότι οι δύο σταθμοί δεν ενδιαφέρονται τόσο για το κέρδος, όσο να εντοπίσουν εκείνη τη στρατηγική που μακροπρόθεσμα τους οδηγεί να υπερισχύουν του αντιπάλου τους. Με βάση τον αρχικό πίνακα, να διαμορφώσετε έναν νέο κατάλληλο πίνακα πληρωμών και να βρείτε την άριστη στρατηγική για κάθε σταθμό. (5 μονάδες) Λύση: Ερώτημα 1 Εφόσον τα συνολικά διαφημιστικά έσοδα των δύο σταθμών είναι σταθερά (14.000 ευρώ), ο παρακάτω πίνακας δείχνει με βάση την εκφώνηση τι μπορεί να αποσπάσει ο σταθμός Α και είναι ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος. Από τον πίνακα πληρωμών του παιγνίου προκύπτει ότι η στρατηγική (Ε) του σταθμού Α διαγράφεται ως υποδεέστερη της στρατηγικής (Τ), οπότε ο πίνακας πληρωμών περιορίζεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 23, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Πολιτική Συζήτηση (ΠΣ) y 1 Σταθμός Β Ντοκιμαντέρ (Ν) y 2 Ελληνικό Σήριαλ (ΕΣ) y 3 Row Min Maximin Σταθμός Α Ταινία (Τ) x 10 4 2 2 Ξένο Σήριαλ (ΞΣ) 1-x 5 8 12 5 5 Col Max 10 8 12 Minimax 8 8 5 Όπως βλέπουμε στoν παραπάνω πίνακα, η maximin τιμή του σταθμού Α είναι ίση με 5 (τομή των στρατηγικών (ΞΣ) της Α και (ΠΣ) της Β) και η minimax τιμή του Β είναι ίση με 8 (τομή των στρατηγικών (ΞΣ) της Α και (Ν) της Β). Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του σταθμού Α δεν προσδιορίζει αμιγείς στρατηγικές, γεγονός που σημαίνει ότι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας, οπότε θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Έστω x η πιθανότητα o σταθμός Α να ακολουθήσει τη στρατηγική (Τ), οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική (ΞΣ). Για το 10
σταθμό Β έστω y1 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική (ΠΣ), y2 να εφαρμόσει την (Ν) και y3 να εφαρμόσει την (ΕΣ). Προφανώς ισχύει y1+y2+y3 =1. Για τoν τηλεοπτικό σταθμό με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(Α, ΠΣ) = 10x + 5(1-x) = 5 + 5x, V(Α, Ν) = 4x+ 8(1-x) = 8 4x και V(Α, ΕΣ) = 2x + 12(1-x) = 12 10x. Σύρουμε δύο κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τα διαφημιστικά έσοδα για το σταθμό Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τα διαφημιστικά έσοδα του Α ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο σταθμός Β και την πιθανότητα εφαρμογής από το σταθμό Α είτε της στρατηγικής (Τ) είτε της (ΞΣ). Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(Α, ΠΣ) συνδέουμε το 5 με το 10, για το V(Α, Ν) συνδέουμε το 8 με το 4 και για την ευθεία V(Α, ΕΣ) συνδέουμε το 12 με το 2. 12 (ΕΣ) 10 8 (Ν) Κ 20/3 5 (ΠΣ) 4 2 0 0,2 1/3 0,4 0,6 0,8 1 Ο σταθμός Α επιλέγει Maximin στρατηγική, δηλαδή επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Επομένως, θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το υψηλότερο σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική (ΕΣ) απορρίπτεται από την πλευρά του σταθμού Β, αφού δε συμμετέχει στον καθορισμό του Maximin σημείου Κ και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y1 και y2 με y και 1-y αντίστοιχα: Σταθμός Β Σταθμός Α Ταινία (Τ) x Ξένο Σήριαλ (ΞΣ) 1-x Πολιτική Συζήτηση (ΠΣ) y 10 5 Ντοκιμαντέρ (Ν) 1-y 4 8 Στη συνέχεια, επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2: εξισώνουμε τις V(Α, ΠΣ) και V(Α, ΠΣ) και έχουμε 5+5x = 8 4x που δίνει x=1/3 και 1-x=2/3. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(Α, ΠΣ) ή V(Α, N), δηλαδή είναι V = 5+5 (1/3) = 8 4 (1/3) =20/3=6,67 χιλιάδες Ευρώ. Για το σταθμό B έχουμε ότι V(B,T) = V(B,ΞΣ) δηλαδή 10y + 4(1-y) = 5y +8(1-y) απ όπου προκύπτει ότι y = 4/9 και 1-y = 5/9. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B,T)) είτε στο V(B,ΞΣ) προκύπτει ότι V(B,T) = V(B,ΞΣ) =20/3=6,67 χιλιάδες Ευρώ, δηλαδή η αξία του παιγνίου που υπολογίσαμε νωρίτερα. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για το σταθμό Α: (1/3, 0, 2/3) Μεικτή στρατηγική για το σταθμό Β: (4/9, 5/9, 0) Τιμή του παιγνίου V = 6,67 χιλιάδες Ευρώ Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί η διαδικασία για πολλές ημέρες, τα αναμενόμενα διαφημιστικά έσοδα του σταθμού Α από τις διαφημίσεις στη ζώνη 9-10 μμ ανέρχονται σε 6,67 χιλιάδες Ευρώ ημερησίως, κάτι που σημαίνει ότι κατά μέσο όρο ο σταθμός Β κερδίζει κατά μέσο όρο 7,33 χιλιάδες ευρώ (και είναι κερδισμένος έναντι του Α). 11
Ερώτημα 2 Αφού μας ενδιαφέρει η επικράτηση και όχι το κέρδος, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι όταν ένας σταθμός υπερισχύει έναντι του ανταγωνιστή του αυτό έχει αξία 1 (ή οποιοδήποτε θετικό αριθμό έστω α) ενώ, όταν υπερισχύει ο αντίπαλος του αυτό έχει αξία -1 (ή -α). Με βάση τον αρχικό πίνακα πληρωμών, ο νέος πίνακας εκφράζει ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος αυτή τη φορά και διαμορφώνεται ως εξής: Πολιτική Συζήτηση (ΠΣ) Σταθμός Β Ντοκιμαντέρ (Ν) Ταινία (Τ) 1-1 -1 Σταθμός Α Ειδήσεις (Ε) 1-1 -1 Ξένο Σήριαλ (ΞΣ) -1 1 1 Ελληνικό Σήριαλ (ΕΣ) Από τον πίνακα πληρωμών προκύπτει ότι οι στρατηγικές (Τ) και (Ε) είναι ισοδύναμες για το σταθμό Α, με την έννοια ότι εξασφαλίζουν το ίδιο αποτέλεσμα ανεξαρτήτως της στρατηγικής που θα εφαρμόσει ο σταθμός Β. Με όμοιο σκεπτικό, οι στρατηγικές (Ν) και (ΕΣ) είναι ισοδύναμες για το σταθμό Β. Επομένως, ο πίνακας πληρωμών γίνεται: Σταθμός Β (ΠΣ) (Ν) ή (ΕΣ) (Τ) ή (Ε) x 1-1 Σταθμός Α (ΞΣ) 1-x -1 1 Έστω x η πιθανότητα o σταθμός Α να ακολουθήσει τη στρατηγική (Τ) ή (Ε), οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική (ΞΣ). Η αναμενόμενη αξία του Α για κάθε στρατηγική του Β είναι: V(Α, ΠΣ)= x (1 x)=2x 1 V(Α, Ν ή ΕΣ)= x+(1 x)= 2x+1 Εξισώνοντας τις V(Α, ΠΣ) και V(Α, Ν ή ΕΣ) βρίσκουμε ότι x=1/2 και 1-x=1/2. Επομένως, η άριστη στρατηγική του σταθμού Α είναι να εναλλάσσει τις στρατηγικές (Τ) ή (Ε) και (ΞΣ) με πιθανότητα 1/2. Η αναμενόμενη αξία του παιγνίου προκύπτει αν αντικαταστήσουμε το x=1/2 στην V(Α, ΠΣ) ή στην V(Α, Ν ή ΕΣ) και είναι 2(1/2)-1=0. Με παρόμοιο τρόπο, προκύπτει ότι άριστη στρατηγική του σταθμού Β είναι να εναλλάσσει τις στρατηγικές (ΠΣ) και (Ν)ή (ΕΣ) με πιθανότητα ½ με αναμενόμενη αξία του παιγνίου μηδέν (όπως είναι αναμενόμενο). Επομένως, κατά μέσο όρο, κανένας σταθμός δεν υπερισχύει περισσότερο από τον αντίπαλό του και με βάση την έννοια της επικράτησης, το παίγνιο είναι μακροπρόθεσμα δίκαιο. Βέβαια, στο προηγούμενο ερώτημα, με βάση το κέρδος, είδαμε ότι ο σταθμός Β, είναι (μακροπρόθεσμα) ελαφρά πιο ευνοημένος. 12
ΑΣΚΗΣΗ 4 (ΜΟΝΑΔΕΣ 30) Σε ένα ξυλουργείο υπάρχουν 3 μηχανήματα: μια πριονοκορδέλα, ένα τρυπάνι και μία πλάνη. Ο ξυλουργός, κατασκευάζει σε μόνιμη βάση δύο προϊόντα Α και Β. Κάθε προϊόν απαιτεί χρόνο επεξεργασίας (σε λεπτά) ο οποίος δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Προϊόν Μηχάνημα πριονοκορδέλα τρυπάνι πλάνη Α 6 3 4 Β 7 5 3 Όλα τα μηχανήματα τα χειρίζεται ο ξυλουργός. Ο χρόνος λειτουργίας του τρυπανιού δεν μπορεί να ξεπερνά το χρόνο λειτουργίας της πλάνης περισσότερο από 30 λεπτά. Ο ημερήσιος συνολικός διαθέσιμος χρόνος λειτουργίας της πριονοκορδέλας είναι τρεις ώρες. Ο ξυλουργός δεν επιθυμεί να δουλεύει περισσότερο από οκτώ ώρες την ημέρα. Ο αριθμός των προϊόντων τύπου Α πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσιος του αριθμού των προϊόντων τύπου Β. Αν το κέρδος του ξυλουργού ανέρχεται σε 250 ευρώ από το προϊόν Α και σε 200 ευρώ από το προϊόν Β, να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ερώτημα 1. Αφού διατυπώσετε το στόχο του ξυλουργού να διαμορφώσετε το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για το σκοπό αυτό. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιείτε, την αντικειμενική συνάρτηση και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. (10 μονάδες) Ερώτημα 2. Χρησιμοποιείστε τη γραφική μέθοδο για να σκιαγραφήσετε την εφικτή περιοχή και να βρείτε τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Να εξηγήσετε πώς προκύπτει ο χώρος των εφικτών λύσεων και ποια είναι η άριστη λύση και η άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τι θα κάνει τελικά ο ξυλουργός; (8 μονάδες) Ερώτημα 3 Πόσο (επί τοις %) εργάζεται ο ξυλουργός την ημέρα;. (1 μονάδα) Ερώτημα 4 Ποιοι περιορισμοί του μοντέλου είναι δεσμευτικοί μετά την εύρεση της άριστης λύσης ; (1 μονάδα) Ερώτημα 5 Επιλύστε το μοντέλο σας στο excel και συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με εκείνα της γραφικής επίλυσης. Να μεταφέρετε στο κείμενο της εργασίας σας ως εικόνες το μοντέλο, την αναφορά απάντησης και την αναφορά ευαισθησίας. (8 μονάδες) Ερώτημα 6 Με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας, αν ο ξυλουργός αυξήσει κατά 6 λεπτά τον διαθέσιμο χρόνο λειτουργίας της πριονοκορδέλας, θα αλλάξει το κέρδος; Αν ναι, πόση είναι η μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης; Ξαναλύστε το μοντέλο σας με την αύξηση αυτή του χρόνου πριονοκορδέλας και δώστε την νέα αναφορά απάντησης του excel που θα επαληθεύει την απάντησή σας. Πόσο είναι η νέα άριστη λύση; (2 μονάδες) Υπόδειξη: Για την κατασκευή της εφικτής περιοχής, να χρησιμοποιήσετε τα εργαλεία σχεδίασης του WORD. Για τη μεθοδολογία χρήσης του Excel στην επίλυση γραμμικών μοντέλων, μπορείτε να διαβάσετε την ενότητα 5.2 του τόμου «Γραμμικός Προγραμματισμός» του ΕΑΠ. Στο αρχείο excel που θα παραδώσετε, για την άσκηση αυτή πρέπει να υπάρχουν τέσσερα φύλλα εργασίας (τα δεδομένα, αναφορά απάντησης, αναφορά ευαισθησίας και αναφορά απάντησης για το 6 ο ερώτημα). 13
Λύση 1. Κατ αρχάς, ο στόχος του ξυλουργού είναι η μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους. Οι μεταβλητές απόφασης του προβλήματος είναι: Χ 1 : ο αριθμός των προϊόντων τύπου Α που θα παραχθούν Χ 2 : ο αριθμός των προϊόντων τύπου Β που θα παραχθούν Στη συνέχεια, καθορίζουμε την αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή το μαθηματικό ισοδύναμο του στόχου του ξυλουργού, που είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους: Max z=250 Χ 1 + 200Χ 2 Κατόπιν, προσδιορίζουμε τους περιορισμούς του προβλήματος: Η συνολική κατανάλωση χρόνου τρυπανιού (σε λεπτά) είναι (3Χ 1 +5Χ 2 ) και η συνολική κατανάλωση χρόνου της πλάνης (σε λεπτά) που δίνεται από τη σχέση (4Χ 1 +3Χ 2 ). Η διαφορά δεν πρέπει να ξεπερνά τα 30λεπτά. Αυτό γράφεται: Ο περιορισμός του συνολικού χρόνου εργασίας (8ωρο) (3Χ 1 +5Χ 2 ) (4Χ 1 +3Χ 2 ) 30 ή X 1 + 2Χ 2 30 (1) Ο χρόνος εργασίας για τα προϊόντα τύπου Α είναι (6+3+4) λεπτά και ο χρόνος εργασίας για τα προϊόντα Β είναι (7+5+3) λεπτά. Το άθροισμά τους δεν πρέπει να ξεπερνά τις 8 ώρες δηλαδή τα 480 λεπτά οπότε: 13Χ 1 +15Χ 2 480 (2) Ο ημερήσιος χρόνος λειτουργίας της πριονοκορδέλας δεν μπορεί να ξεπεράσει τις τρεις ώρες ή 180 λεπτά 6Χ 1 +7Χ 2 180 (3) Ο αριθμός των προϊόντων τύπου Α πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσιος του αριθμού των προϊόντων τύπου Β οπότε: Χ 1 2Χ 2 ή Χ 1 2Χ 2 0 (4) Συνοψίζοντας έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού μετασχηματισμού: Max z=250 Χ 1 + 200Χ 2 s.t. -Χ 1 + 2Χ 2 30 (1) 13Χ 1 +15Χ 2 480 (2) 6Χ 1 +7Χ 2 180 (3) Χ 1 2Χ 2 0 (4) 2. Χαράσσουμε τις περιοριστικές ευθείες σε σύστημα συντεταγμένων και εντοπίζουμε την εφικτή περιοχή όπου συναληθεύουν όλοι οι περιορισμοί. Ο χώρος των εφικτών λύσεων δίνεται από το σκιασμένο τρίγωνο ABΓ(στο Σχήμα 1). 14
Από τον πίνακα υπολογισμών για κάθε κορυφή (στο Σχήμα) ή από την παράλληλη μετακίνηση της ισοκερδούς, βρίσκουμε ότι η άριστη λύση είναι (Χ 1, Χ 2 )= (30, 0). Άρα ο ξυλουργός πρέπει να κατασκευάσει 30 προϊόντα τύπου Α και κανένα τύπου Β. Το μέγιστο κέρδος ανέρχεται σε 250Χ 1 +200Χ 2 = 250*30+200*0 = 7500 ευρώ. 3. Ο ξυλουργός εργάζεται 13Χ 1 +15Χ 2 = 13*30 + 15*0= 390 λεπτά, δηλαδή: 390/480= 81,25% του 8ώρου. 4. Μόνο ο περιορισμός (3) που αναφέρεται στο συνολικό χρόνο λειτουργίας της πριονοκορδέλας: 6Χ 1 +7Χ 2 180 είναι δεσμευτικός (καταναλώνεται πλήρως ο διαθέσιμος χρόνος). 5. Στην επόμενη εικόνα βλέπετε το μοντέλο, έχει επιλυθεί και είναι ανοικτό και το παράθυρο της επίλυσης. Παρατηρούμε ότι η άριστη λύση και η άριστη τιμή συμπίπτουν με εκείνες που βρέθηκαν στη γραφική επίλυση. Στην επόμενη εικόνα είναι η αναφορά απάντησης: 15
και στην επόμενη η αναφορά ευαισθησίας 6. Παρατηρούμε, ότι η σκιώδης τιμή για τον χρόνο λειτουργίας της πριονοκορδέλας είναι 41,6667 ευρώ. Δηλαδή, αύξηση κατά 1 μονάδα (1 λεπτό) στη διαθεσιμότητα χρόνου λειτουργίας της πριονοκορδέλας, οδηγεί σε αύξηση του κέρδους κατά 41,66667 ευρώ. Η αύξηση από 180 σε 180+6=186 λεπτά, είναι μέσα στο εύρος ευαισθησίας (επιτρεπόμενη αύξηση = 41,5384) και θα μας δώσει επιπλέον κέρδος 6*41,66667=250 ευρώ. Δηλαδή, το συνολικό κέρδος θα διαμορφωθεί στα 7.750 ευρώ. Πράγματι, στην επόμενη εικόνα έχουμε την αναφορά απάντησης αφού πρώτα αλλάξαμε το δεξιό μέλος του περιορισμού σε 186. 16
Όντως, η νέα βέλτιστη λύση είναι (Χ 1, Χ 2 )= (31, 0), με αντίστοιχο βέλτιστο κέρδος 7.750 ευρώ. 17
ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ για την επίλυση της άσκησης 4 Στις εκδόσεις του Excel πριν από εκείνη του 2007, η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στο μενού Εργαλεία (Tools). Όμως, είναι πιθανό την πρώτη φορά που θα προσπαθήσετε να την ενεργοποιήσετε, να μην υπάρχει η εντολή αυτή στο μενού, επειδή η επίλυση είναι ένα πρόσθετο εργαλείο (add ins). Για να εισαχθεί στο μενού, πρέπει από την εντολή Εργαλεία (Tools) να επιλέξετε Πρόσθετα (Add-ins), και στη συνέχεια να κάνετε κλικ στην επιλογή Επίλυση (Solver). Με τον τρόπο αυτό, ενεργοποιείται μόνιμα η Επίλυση (Solver) στο μενού Εργαλεία (Tools), και είναι διαθέσιμη κάθε φορά που χρησιμοποιείτε το Excel. Στο Office 2007 η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στο μενού Data (Δεδομένα) στη βορειοανατολική γωνία. Αρκεί βέβαια, να έχει ενεργοποιηθεί από τα πρόσθετα, όπως και στις παλαιότερες εκδόσεις. Για την ενεργοποίηση του Solver (Επίλυση) στο Office 2007, πρέπει να ακολουθήσετε ανάλογη προσέγγιση με εκείνη της ενεργοποίησης του Analysis Toolpak (δείτε τις σχετικές οδηγίες στο moodle για την τρίτη εργασία της Στατιστικής, είναι όμοια η διαδικασία, το module της επίλυσης είναι στην ίδια ομάδα των πρόσθετων). 18