ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ Α Α1 Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ) Μονάδες 7 Α Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου () ενός δείγματος παρατηρήσεων Μονάδες Α3 Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 A; Μονάδες Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν και είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με, τότε για τις πιθανότητές τους ισχύει ( ) ( ) β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: (f (x) g(x)) f (x)g(x) f (x)g (x) δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής ε) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 3 x 5 f (x) x 6x 1 3, x R Β1 Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f Μονάδες 9 Β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της (0,f (0)) Μονάδες 8 Β3 Να υπολογίσετε το όριο x 1 f (x) 1 lm x 1 Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλο και προς τη σειρά γέννησής τους Γ1 Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδροδιάγραμμα Μονάδες Γ Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: A: «τo πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου» Μονάδες 6 Γ3 Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:,, (μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Η: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα,» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,» (μονάδες 6) Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος Κεντρική Τιμή Συχνότητα (σε λεπτά) x [8, ) 0 [, ) 1 15 [, ) 10 [, ) ΣΥΝΟΛΟ Δ1 Να αποδείξετε ότι c Μονάδες Δ Αν η μέση τιμή των χρόνων είναι x 1, να αποδείξετε ότι 5 (μονάδες ) και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο (μονάδες ) Μονάδες 6 Δ3 Αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα Μονάδες 5 Δ Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομοιογενές Μονάδες 6 Δ5 Αντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 80% του χρόνου που χρειαζόταν πριν Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων Μονάδες ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΘΕΜΑ Α Α1 Απόδειξη σχ βιβλίου (σελ 150 151) Α Ορισμοί σχ βιβλίου (σελ 87) Α3 Ορισμοί σχ βιβλίου (σελ 1) Α α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Σωστό, ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β1 Βρίσκουμε τη παράγωγο της συνάρτησης f: και λύνουμε την εξίσωση f (x) 0 x 5x 6 0 x 3 ή x Φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμου για την (αλλιώς πίνακας μονοτονίας για την f ): x 3 f (x) + - + f (x) Για Για έχουμε θέση τοπικού μεγίστου το οποίο είναι: έχουμε θέση τοπικού ελαχίστου το οποίο είναι: Β Η εφαπτομένη θα είναι της μορφής Αρκεί να προσδιορίσουμε τα α,β Ο συντελεστής διεύθυνσης α ισούται με τη παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο με τετμημένη, άρα: Επομένως, η εφαπτομένη είναι της μορφής Επειδή το σημείο επαφής (όπου ) ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο της, δηλαδή: Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης για είναι η: Β3 f (x) 1 x 5x 6 1 x 5x 6 (x 1)(x 6) x 1 x 1 x 1 x 1 Άρα f (x) 1 x 6 x 1 και f (x) 1 lm 7 x 1 x 1
ΘΕΜΑ Γ Γ1 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Γ Γ3 α) Βρίσκουμε πρώτα το ενδεχόμενο και από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας (αφού ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα) προκύπτει ότι: Ομοίως βρίσκουμε το ενδεχόμενο και από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας (αφού ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα) προκύπτει ότι: Ομοίως βρίσκουμε το ενδεχόμενο και από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας (αφού ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα) προκύπτει ότι: β) Επειδή το ενδεχόμενο Η πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β έχουμε: άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με: Επειδή το ενδεχόμενο Θ πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α,Β έχουμε: άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με:
ΘΕΜΑ Δ Χρόνος Κεντρική Τιμή Συχνότητα (σε λεπτά) x [8, ) 0 [, ) 1 15 [, ) 10 [, ) ΣΥΝΟΛΟ Δ1 Οι κλάσεις είναι της μορφής [, c), [ c, c), [ c, 3c), [ 3c, c) με 8 και αφού x c c 8 1 c 3c 8 16 3c 8 3c 1 c 1 τότε Δ Οι κλάσεις είναι: [ 8, 1), [1, 16), [16, 0), [0, ) x 1 x 1 1 1 x x x x 1 1 3 3 1 3 0 0 1 15 18 10 0 155 10 00 10 180 0 155 10 1 (5 ) 590 590 630 1 1 630 590 8 0 5 [ ) x [ 8, 1) 10 0 [1, 16) 1 15 [16, 0) 18 10 [0, ) 5 ΣΥΝΟΛΟ - 50 Δ3 Λόγω ομοιόμορφης κατανομής δεδομένων, στην υποκλάση [8 9) υπάρχουν 0 5 υπολογιστές οι οποίοι έκαναν το πολύ 9 λεπτά να τρέξουν το πρόγραμμα Άρα οι υπόλοιποι 5 χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά να τρέξουν το πρόγραμμα
Δ Άρα [ ) x (x x) (x x) (x x) [ 8, 1) 10 0-16 30 [1, 16) 1 15 0 0 0 [16, 0) 18 10 16 160 [0, ) 5 8 6 30 ΣΥΝΟΛΟ - 50 - - 800 (x x) 1 800 s 16 50 Άρα s s 16 S CV 0, 85 ή 8,5% και αφού c 10%, x 1 το δείγμα δεν είναι ομοιογενές Δ5 Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου (σελ 99): 80 80 x x και s s άρα 100 100 80 x c 100 c δηλαδή δεν μεταβλήθηκε η ομοιογένεια 80 s 100 και παρέμεινε περίπου 8,5% ΚΡΙΤΙΚΗ Τα θέματα ήταν βατά χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία Κάλυπταν μεγάλο μέρος της ύλης Δεν υπήρχε υποερώτημα παγίδα Μόνο το Δ5 θέμα απαιτούσε πολύ καλή γνώση της Στατιστικής και κατανόηση της αντίστοιχης εφαρμογής του σχολικού βιβλίου Να σημειωθεί ότι στα Μαθηματικά ΓΠ σήμερα εξετάστηκαν στην πλειοψηφία τους υποψήφιοι μόνο της Θεωρητικής για το ο Πεδίο Παιδαγωγικές σχολές (νέο σύστημα) αλλά και (ελάχιστοι) Απόφοιτοι του παλαιού συστήματος ΣΠΥΡΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ