МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - проблеми и задаци из прве области

Машински факултет Београд Катедра за механику флуида МЕХАНИКА ФЛУИДА Б - проблеми и задаци из прве области. Наjдубља тачка у океанима jе 0m, измерена у Мариjанскоj бразди у близини острва Гвам у Тихом океану. Притисак на тоj дубини jе приближно 6.4 kpa. Ако jе густина воде на површи мора 0 = 05kg/m 3 колика jе њена густина на дну, ако jе коефициjент стишљивости морске воде s = 0.5 0 9 Pa. Решење. Оваj пример се директно може решити применом израза коjим се дефинише коефициjент стишљивости, из кога следи приближна формула s = p 0 p, где jе 0 густина воде на нивоу океана, = 0 и p = p p 0 прираштаjи густине и притиска на дну океану у односу на њихове вредности на нивоу мора. Атмосферски притисак на нивоу мора jе p 0 = 35Pa, док jе притисак на дну Мариjанске бразде p = 6.4MPa. Имаjући у виду претходни израз, густина морске воде на дну Мариjанске бразде jе = 0 + 0 s(p p 0 ) = 05+05 0.5 0 9 (6.4 0 6 35) = 084.6kg/m 3. Њутновски флуид густине = 90kg/m 3 и кинематичке вискозности ν = 4 0 4 m /s тече преко чврсте, равне плоче. y U δ u 00000 00000 Слика. Пример. У близини плоче се формира профил брзине приказан на слици. Брзина на плочи (y = 0) jе нула и она се повећава удаљавањем од плоче. Оваj пораст брзине jе све мањи што jе удаљење y од плоче веће, тако да од неког коначног растоjања од плоче брзина постаjе практично константна и износи U. Оваj профил брзине се може апроксимирати изразом u U = sin ( π y δ ). Одредити интензитет и смер смицаjног напона коjим флуид делуjе на плочу. Одговор изразити у функциjи величина U и δ, где су U и δ изражени у m/s и m, респективно. Решење. За проучавање кретања свих врста флуида есециjална jе веза између стања напона и стања деформациjе тj. стања напона и брзине деформациjе. У случаjу већине флуида коjи се срећу у техничкоj пракси та веза jе линеарна и коефициjент пропорционалности jе динамичка вискозност флуида η. У конкретном примеру, смицаjни напон у флуиду jе одређен изразом Смицаjни напон на плочи (y = 0) jе τ pl τ w = η τ = η u y = τ(y). ( ) u = ν y y=0 ( ) u. y y=0 Из ових релациjа се може и веома просто обjаснити порекло смицаjних напона у флуиду коjи тече. Он jе, наиме, директна последица течења различитим брзинама одређених слоjева флуида. Ако нема тих разлика, тj. ако jе u/y = 0 смицаjни напони су jеднаки нули. За конкретан профил брзине извод u y = π U ( π δ cos y ) δ

и његова вредност на плочи, за y = 0 je ( ) u = π U y y=0 δ. Коначно, смицаjни напон на плочи jе ( ) π U τ w = ν = 90 4 0 4π U δ δ = 0.578 U δ [ ] N m 3. У челичном, цилиндричном резервоару се налазе ваздух, уље и вода. На слици jе приказан случаj када jе притисак у ваздуху jеднак атмосферском, тj. p a = bar. Ако се додавањем компримованог ваздуха натпритисак повећа на MPa, за колико ће се померити разделна површ између ваздуха и уља? Узети да су модули стишљивости уља и воде: ε ulja = 050MPa i ε voe = 075MPa. Остали подаци: = 500mm, = 800mm, = 300mm. Занемарити хидростатичку промену притиска. ваздух уље вода 0 0 0 h h 00 00 η η 00 00, U Слика. Проблем 3. Слика 3. Проблем 4. 4. Tанка равна плоча, налази се у процепу између две непокретне плоче на растоjањимаh = mm i h = 3mm од њих. У простору између плоча се налазе различита уља чиjе су динамичке вискозности η = η и η = η/. Контактна површ између средишње плоче и оба флуида jе A = 5m. Претпостављаjући да се у оба слоjа флуида формира линеарни профил брзине, и да се плоча креће константном брзином U = 0.35m/s под деjством силе = 40N, израчунати вредност η. 5. Танка равна плоча димензиjа 0 0cm креће се хоризонтално константном брзином U = m/s кроз уљe вискозности η = 0.07 Pas. Уље се се налази између две паралелне, хоризонталне плоче и при томе jе горња плоча непокретна, док се доња креће константном брзином U = 0.3m/s, у смеру приказаном на слици. У оба слоjа уља формира линеарни профил брзине, и дебљине слоjева су h = mm и h =.6mm. (a) нацртати профиле брзина у оба слоjа и наћи на ком месту у доњем слоjу jе брзина кретања уља jеднака нули; (б) израчунати интензитет силе коjом треба вући средишњу плочу да би се она кретала задатом брзином U. 0 0 0 h η U U h η 00 00 00 Слика 4. Проблем 3.

6. Вискозност течности се може мерити тзв. обртним вискозиметром, чиjи jе принцип рада приказан на слици. У непокретном цилиндру унутрашњег пречника налази M, ω се течност чиjа се вискозност одређуjе. Саосно са њим, у течности се налази цилиндар пречника коjи може да ротира око своjе осе. Ако jе за постизање угаоне брзине ω потребан обртни момент M, одредити релациjу за одређивање вискозности течности η у функциjи величина: M, ω,, и L. Сматрати да се у течности између L η цилиндара формира линеарни профил брзине. Решење: Приликом обртања цилиндра константном угаоном брзином ω цилиндар се налази у динамичкоj равнотежи, тj. обртним момент M коjим се на њега делуjе мора бити jеднак моменту силе трења M η. Сила трења се jавља на површи унутрашњег цилиндра и она jе последица 00 00 00 вискозности флуида коjи тече.ила трења (вискозна сила) Слика 5. Пример 6. између унутрашњег цилиндра пречника и флуида се добиjа сумирањем елементарних вискозних сила на самоj поврсхи цилиндра. Пример се разматра као равански. Елементарна вискозна сила делуjе на елементарну површ A цилиндра. У конкретном примеру та елементарна површ jе правоугаоник дужине L (управно на раван цртежа) и ширине θ, на коjоj се jавља смицаjни напон τ cil. 00000 0 00000 y 00 η 0000 0000 M η M, ω 0000 00 00000 000 000 θ θ / A = Lθ T Тако су елементарна вискозна сила T и њен, елементарни момент M η у односу на осу ротациjе одређени изразом T = τ cil A = τ cil Lθ, M η = T = τ cil Lθ = τ cil 4 Lθ. Укупни момент се одређуjе интеграциjом елементарног момента силе трења дуж читавог цилиндра, тj. M η = π 0 τ cil 4 Lθ. Смицаjни напон τ cil се одређуjе из задатог профила брзине, и релациjе између напона и деформациjе за њутновски флуид. Таj смицаjни напон у општем случаjу може бити промењив дуж површи цилиндра, тj. τ cil = τ cil (θ). Међутим, у конкретном примеру, он jе константан на површи цилиндра, jер jе профил брзине у простору измедjу цилиндара исти за сваки угао θ. Таj профил jе одређен изразом па jе смицаjни напон на површи цилиндра u = u(y) = U cil y = ω y = ω y τ cil = η ( ) u = η ω y y=. 3

Из услова динамичке равнотеже M = M η M = π 0 η ω 4 Lθ = η ω3 πl ( ) коначно се добиjа израз из кога може да се одреди динамичка вискозност флуида помоћу овог вискозиметра: M( ) η = ω 3 πl 7. У преградном зиду између два резервоара са водом густине = 000kg/m 3, налази се затварач облика квадрата странице a = 0.5m. Затварач jе обртан око осовине коjа пролази кроз тачку О. Ако су познати и следећи подаци: = m, = 5m и = 50mm, израчунати минималну вредност силе при коjоj ће доћи до обртања затварача око осовине О. 0 0 O a Слика 5. Проблем 7. 8. У реолошком диjаграму графички приказати две функционалне зависности τ( γ) у случаjу jедног њутновског гаса на две различите температуре t и t (t < t ). Образложити одговор. 9. Нестишљив флуид густине = 000kg/m 3 мируjе у пољу масених сила = i+0 k; [N/kg]. Одредити поље притиска p = p(x,y,z) ако у тачки O(0,0,0) влада притисак p = p a = 0 5 Pa. 0. Раванско стање напона у тачки M у флуиду jе одређено векторима напона p x и p y чиjе су броjне вредности проjекциjа изражене у килопаскалима (kpa) p x = i+3 j i p y = i 4 j. Шта треба да стоjи уз jединични вектор i у изразу за вектор напона p y? Образложи. Колики jе притисак у тачки M? 4

. За технички систем приказан на слици, у коме су сви флуиди у стању мировања, израчунати: (a) притиске у гасу у свим резервоарима и (б) силе истезања завртањске везе A-A и силу притиска на полусферно дно, причвршћено завртањском везом B-B за резервоар. Познати подаци: m = 3600kg/m 3, h m = 500mm, = m, =.5m, 3 = 3m, 4 = m, R = 0.5m, = 800kg/m 3, = 000kg/m 3 и 3 = 050kg/m 3. A гас A p a гас h m гас B B m 3 R 4 3 3 Слика 6. Проблем.. У десни крак отворене U цеви унутрашњег пречника = 0 mm, у коjоj се налази вода густине = 000kg/m 3 доливено jе V = 0cm 3 уља густине = 80kg/m 3. Нацртати положаjе нивоа течности у U цеви и одредити висинску разлику између нивоа течности у њеним краковима. Уље и вода су течности коjе се не мешаjу. 3. На слици jе приказан цилиндрични резервоар са сферним поклопцем у потпуности испуњен водом. На бочном зоду резервоара налази се затварач (клип), пречника. Ако се на клип делуjе силом = 00N, израчунати силу притиска на сферни поклопац. Познати су и следећи подаци: = 000kg/m 3 R = 0.5m, = m и = 50mm. R h m m h Слика 7. Проблем 3 Слика 8. Проблем 4 4. Хоризонтални кружни отвор у резервоару приказаном на слици затворен jе конусним затварачем занемарљиве тежине. Одредити минималну силу коjом jе потребно деловати на конусни затварач тако да отвор буде затворен. Познати су следећи подаци: m = 3600kg/m 3, h m = 50mm, = m, = 000kg/m 3, = h = 00mm. 5

Å Ü Ò ÙÐØ Ø Ó Ö Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ ¾¼º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼½¼º Ó º Å À ÆÁà ÄÍÁ ¹½º Ø Ø. ÖÙÔ ½º ËØÓ ¹ÇÞ ÒÓÚ ÓÖÑÙÐ Ó ÓÑ Ó Ö Æ Ò Ð ÓØÔÓÖ ÔÖ Ð ÓÑ Ö Ø Ö ÔÖ ÕÒ ÖÞ ÒÓÑU ÖÓÞ ÐÙ Ù Ø Ò Ò Ñ Õ Ú ¹ ÓÞÒÓ Ø η = 3πηU + 9π 6 U Ù 3,6,9 π Þ Ñ ÒÞ ÓÒ Ø ÒØ º Ð ÓÚ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÚÓ Ú ÔÖ Ò Ô Ñ ÒÞ Ó¹ ÑÓ ÒÓ Ø Ó Þ Ø ¾º ÈÖ ÔÓÚ Ù ÔÖ Ø Þ p Ù Ø Ò ÚÓ ÔÓÚ Ø Þ %º Ó ÑÓ ÙÐ Ø Ü ÚÓ Ø ÚÓ ε = 0 9 Pa Ó Ö Ø pº º ÓÓÖ Ò ØÒ Ø Ñ Oxyz ÔÓÞÒ Ø Ø ÒÞÓÖ Ò ÔÓÒ P Ù Ø Õ M ÐÙ 7 P = 3 5 [kpa] 4 ÓÔÙÒ Ñ ØÖ Ù P ÙÞ Ó Ö ÞÐÓ Ó ÓÚ¹ ÓÖ Ð ÐÙ Ñ ÖÙ Ð Ö Ð Ú ÓÞ Ò Ð Ò Ú ÓÞ Òº Æ ÔÖ Ø p Ù Ø Õ Mº º ÎÓ Ø Õ ÖÓÞ Ú ÔÖÓÑ ÚÓ ÔÓÔÖ ÕÒÓ ÔÖ ¹ º Í ÔÖ Ñ ½¹½ ¾¹¾ Ò Ó ÖÙ ÞÑ ÆÙ Þ Ù Ú ÚÓ Ú Ù Ñ ÕÙ Ò ÔÓÒ τ w, τ w, º Í ÔÖ ÞÒÓ ÔÓ ÙÒ Ø ÔÖ Ú Ð Ò ÞÒ < > Ð =º Ç Ö ÞÐÓ Ó ÓÚÓÖº τ w, τ w, ¾ ¾ ËÐ ½º ÈÖÓ Ð Ñ º º ÈÖ Ð ÓÑ ÔÓ ÚÓ Ò ØÖ Ú Ò Ú Ð Ñ Ù Ò Ñ Ó Ò Ù ÓÖ Ú Ù Ð Ò Ö ÕÒÓ Ó¹ ÑÓÖ ÙÒÙØÖ Ü ÔÖ ÕÒ Ò Þ δ Ò ÔÖ Ú ÒÓ Ó Ñ Ø Ö Ð Õ ÓÞÚÓ Ò Ò ÔÓÒ σ oz º Ç Ö Ø Ó Ó Ù Ò µ ÑÓ Þ ÒÓ ÔÙ Ø ÓÚ ÓÑÓÖ º º Ç Ö Ø ÔÓ Þ Ú h m Ñ ÒÓÑ ØÖ ÚÓѺ ÈÓÞÒ Ø Ù Ð ÔÓ p m = 0.5bar = m = 0.4m 3 =.5m h 3 =.5m = 000kg/m 3 = 800kg/m 3 3 = 00kg/m 3 m = 3600kg/m 3 º p m Ú Þ Ù 3 3 h 3 ËÐ º ÈÖÓ Ð Ñ º º Ì Ó Ð Ð Ò Ö ÔÖ ÕÒ = m ÔÓÚ Þ Ò Ù ØÓÑ Þ ØÚ Ö Õ Ñ Ó Ð ÔÖ ÚÓÙ ÓÒ Ü Ö Ò b = 3m ÙÔÖ ÚÒÓ Ò Ö Ú Ò ÖØ µº Ó Þ Ø Ú Þ ØÚ Ö Õ ÓØÚÓÖ Ò ÚÓ h Ô Ò Ò h =.5m Ó h 0 = m = 4m = 0 3 kg/m 3 Ó Ö Ø ÓÐ ØÖ Ù Ñ Ø mº Ò Ñ Ö Ø ØÖ Ó Ú ÞÑ ÆÙ Ù Ø ÓØÙÖ Õ º h m 00 00 00 00 00 00 00 p a 0000 0000 0000 ËÐ º ÈÖÓ Ð Ñ º º Æ Ð ÔÖ Þ Ò Ð Ò Ö ÕÒ Ö Þ ÖÚÓ Ö ÖÒ Ñ ÔÓ ÐÓÔ Ñ Ó Ù ÔÓØÔÙÒÓ Ø ÔÙ Ò ÚÓ ÓѺ Æ ÓÕÒÓÑ Þ Ù Ö Þ ÖÚÓ Ö Ò Ð Þ Þ Ø¹ Ú Ö Õ Ð Ôµ ÔÖ ÕÒ º Ó Ò Ð Ô ÐÙ ÐÓÑ = 00N ÞÖ ÕÙÒ Ø ÐÙ ÔÖ Ø Ò ÖÒ ÔÓ ÐÓÔ º ÈÓÞÒ Ø Ù Ð ÔÓ = 000kg/m 3 R = 0.5m = m = 50mmº h 0 h m R δ 0 0 00000 00000 0 0 0 p a 00000 0 0 ËÐ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ º ËÐ º ÈÖÓ Ð Ñ º