Κεφάλαιο 1 Αποταµιεύσεις, Επενδύσεις και Οικονοµική Μεγέθυνση

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 Αποταµιεύσεις, Επενδύσεις και Οικονοµική Μεγέθυνση Η ανάλυση του γιατί κάποιες χώρες έχουν επιτύχει υψηλό και αυξανόµενο βιοτικό επίπεδο, ενώ άλλες έχουν έχουν µείνει πίσω, αποτελεί µία από τις σηµαντικότερες προκλήσεις της οικονοµικής επιστήµης, και της µακροοικονοµικής ειδικότερα. Στο κεφάλαιο αυτό ξεκινούµε την παρουσίαση των κυριότερων υποδειγµάτων που διερευνούν τους προσδιοριστικούς παράγοντες της οικονοµικής µεγέθυνσης. Επικεντρωνόµαστε αρχικά στη σχέση µεταξύ αποταµιεύσεων, επενδύσεων, συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου και οικονοµικής µεγέθυνσης. Το υπόδειγµα που χρησιµοποιούµε για την ανάλυση της διαδικασίας αυτής είναι το υπόδειγµα του Solow (1956). Το υπόδειγµα αυτό βασίζεται σε µία νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής και στην υπόθεση ενός σταθερού ποσοστού αποταµίευσης. Δεδοµένου ότι σε µία κλειστή οικονοµία οι αποταµιεύσεις ισούνται µε τις επενδύσεις σε φυσικό κεφάλαιο, η διαδικασία της συσσώρευσης του κεφαλαίου εξαρτάται από το ποσοστό αποταµίευσης. 1 Στο υπόδειγµα αυτό, η συσσώρευση κεφαλαίου ανά εργαζόµενο συνεχίζεται έως ότου οι αποταµιεύσεις ανά εργαζόµενο εξισωθούν µε τις αποσβέσεις και τις επιπλέον επενδύσεις που απαιτούνται για να διατηρηθεί σταθερός ο λόγος του κεφαλαίου προς τη συνολική αποδοτικότητα της εργασίας. Στην µακροχρόνια ισορροπία αυτού του υποδείγµατος, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης είναι εξωγενής, και ισούται µε το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού συν τον ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Ουσιαστικά, στη µακροχρόνια ισορροπία, η οποία συνήθως αναφέρεται ως η πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, το κατά κεφαλήν προϊόν αυξάνεται µε το ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας, που στο υπόδειγµα αυτό προσδιορίζεται από την εξωγενή τεχνολογική πρόοδο. Στη διαδικασία της προσαρµογής προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, µία οικονοµία που έχει χαµηλό απόθεµα κεφαλαίου, έχει ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης που υπερβαίνει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης, καθώς το κεφάλαιο συσσωρεύεται µε ρυθµό που ξεπερνά το άθροισµα του ρυθµού αύξησης του πληθυσµού και της αποδοτικότητας της εργασίας. Για µία οικονοµία που έχει απόθεµα κεφαλαίου το οποίο είναι υψηλότερο από το κεφάλαιο ισορροπίας, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης υστερεί του µακροχρόνιου ρυθµού µεγέθυνσης, καθώς το κεφάλαιο συσσωρεύεται µε ρυθµό που υπολείπεται του αθροίσµατος του ρυθµού αύξησης του πληθυσµού και της αποδοτικότητας της εργασίας. Το υπόδειγµα αυτό αναφέρεται συχνά και ως υπόδειγµα Solow-Swan, καθώς ένα παρόµοιο υπόδειγµα είχε αναπτυχθεί 1 και από τον Swan (1956).

Κατά συνέπεια, το υπόδειγµα αυτό προβλέπει µία διαδικασία σύγκλισης των οικονοµιών. Μία φτωχή σε κεφάλαιο οικονοµία και µία πλούσια σε κεφάλαιο οικονοµία συγκλίνουν προς την ίδια ισορροπία, µε την προϋπόθεση βέβαια ότι έχουν το ίδιο ποσοστό αποταµίευσης και τις ίδιες τεχνολογικές και πληθυσµιακές παραµέτρους. Αν όµως δύο οικονοµίες χαρακτηρίζονται από διαφορετικό ποσοστό αποταµίευσης και επενδύσεων, διαφορετική συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών, διαφορετική αρχική αποδοτικότητα της εργασίας, διαφορετικό ρυθµό αύξησης του πληθυσµού ή διαφορετικό ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου, θα συγκλίνουν προς διαφορετικές πορείες ισόρροπης µεγέθυνσης. Η σύγκλιση που προβλέπει το υπόδειγµα αυτό είναι σύγκλιση υπό προϋποθέσεις, και οι προϋποθέσεις αναφέρονται στα διαρθρωτικά χαρακτηριστικά των οικονοµιών, όπως το ποσοστό των αποταµιεύσεων και επενδύσεων, η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών, το ποσοστό αύξησης του πληθυσµού και η τεχνολογική πρόοδος. Το υπόδειγµα αυτό προβλέπει ότι όσο µεγαλύτερο είναι το ποσοστό αποταµίευσης (και επενδύσεων), τόσο µεγαλύτερο θα είναι το κεφάλαιο και το προϊόν ανά εργαζόµενο στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Επιπλέον, προβλέπει θετικές επιπτώσεις στο κεφάλαιο και το προϊόν ανά εργαζόµενο από µεγαλύτερη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και αρχική αποδοτικότητα της εργασίας, και αρνητικές επιπτώσεις από το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού και το ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου. Το υπόδειγµα του Solow αποτελεί ακόµη και σήµερα βασικό σηµείο αναφοράς στη θεωρία της οικονοµικής µεγέθυνσης. Παρότι οι ρίζες του βρίσκονται σε παλαιότερα υποδείγµατα, και παρότι έχει θεωρητικές και εµπειρικές αδυναµίες, το υπόδειγµα αυτό παρέχει ένα εξαιρετικά χρήσιµο, απλό και ευέλικτο πλαίσιο ανάλυσης των προβληµάτων της µεγέθυνσης. Ωστόσο, η διαδικασία της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου, που είναι η βασική ατµοµηχανή της οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow, δεν επαρκεί για να εξηγήσει ούτε τη µακροχρόνια αύξηση του προϊόντος ανά εργαζόµενο που έχει παρατηρηθεί στις αναπτυγµένες οικονοµίες, αλλά ούτε και τις µεγάλες διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ των αναπτυγµένων και των λιγότερο αναπτυγµένων οικονοµιών. Μικρό µόνο µέρος αυτών των φαινοµένων εξηγείται από τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου. Το µεγαλύτερο µέρος οφείλεται στην αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών και της αποδοτικότητας της εργασίας (τεχνολογική πρόοδο), που για το υπόδειγµα του Solow θεωρούνται εξωγενείς παράµετροι. Με την έννοια αυτή, το υπόδειγµα του Solow, όπως και όλα τα υποδείγµατα που κάνουν παρόµοιες µε αυτό υποθέσεις για την τεχνολογία και την τεχνολογική πρόοδο, µας υποδεικνύει πως να ξεπεράσουµε τις αδυναµίες του και να επιχειρήσουµε να εξηγήσουµε την τεχνολογική πρόοδο. 1.1 Κύρια Χαρακτηριστικά της Οικονοµικής Μεγέθυνσης Ο κόσµος αποτελείται από χώρες που χαρακτηρίζονται από πολύ µεγάλες διαφορές τόσο στο βιοτικό επίπεδο των κατοίκων τους, όσο και το ρυθµό αύξησης του βιοτικού τους επιπέδου. Για παράδειγµα, το κατά κεφαλήν εισόδηµα των ΗΠΑ το 2012 ανερχόταν σε 52220 δολάρια (σε τιµές N2

του 2005), ενώ το κατά κεφαλή εισόδηµα του Κογκό ανερχόταν µόλις σε 710 δολάρια ισοδύναµης αγοραστικής δύναµης. Ήταν δηλαδή µόλις το 1,4% του κατά κεφαλήν εισοδήµατος των ΗΠΑ. 2 Η Παγκόσµια Τράπεζα δηµοσιεύει συγκρίσιµα στοιχεία για το κατά κεφαλήν Ακαθάριστο Εθνικό Εισόδηµα 214 χωρών του κόσµου, σε $ ισοδύναµης αγοραστικής δύναµης. Για το 2012 τα σχετικά στοιχεία υπήρχαν για 184 χώρες. Πέντε χώρες (Κατάρ, Μακάο, Σιγκαπούρη, Βερµούδες και Νορβηγία), είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ πάνω από $60000. Επτά χώρες (Ηνωµένα Αραβικά Εµιράτα, Λουξεµβούργο, Ελβετία, Σαουδική Αραβία, Οµάν, ΗΠΑ και Χονγκ Κόνγκ) είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $50000 και $60000. Οκτώ αναπτυγµένες Ευρωπαϊκές οικονοµίες, αλλά και η Αυστραλία και ο Καναδάς, είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $40000 και $50000. Δώδεκα χώρες (µεταξύ των οποίων και η Γαλλία, η Μ. Βρετανία, η Ιαπωνία, η Ιταλία, η Ν. Κορέα, η Ισπανία, η Νέα Ζηλανδία και το Ισραήλ) είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $30000 και $40000. Είκοσι δύο χώρες (µεταξύ των οποίων η Ελλάδα και η Κύπρος, αλλά και η Ρωσία) είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $20000 και $30000. Σαράντα χώρες (µεταξύ των οποίων η Τουρκία, η Βραζιλία και η Κίνα) είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $10000 και $20000. Ενενήντα χώρες, οι µισές περίπου από τις 184, είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ µεταξύ $1000 και $10000. Σε αυτές περιλαµβάνεται και η Ινδία, µε κατά κεφαλήν ΑΕΕ $5080. Τέλος, έξι χώρες της Αφρικής, όλες κάτω από τη Σαχάρα, είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΕ λιγότερο από $1000. Οι οικονοµολόγοι ασχολούνται µε το γιατί κάποιες χώρες είναι πλούσιες και κάποιες φτωχές τουλάχιστον από την εποχή που δηµοσιεύθηκε ο Πλούτος των Εθνών του Adam Smith. Στις αναπτυγµένες οικονοµίες σήµερα, το κατά κεφαλήν εισόδηµα είναι τουλάχιστον 10 φορές πιο υψηλό από ό,τι ήταν πριν από διακόσια χρόνια, ενώ το κατά κεφαλήν εισόδηµα των αναπτυγµένων οικονοµιών είναι κατά µέσο όρο 17 φορές υψηλότερο από αυτό των µη αναπτυγµένων οικονοµιών. Η αύξηση του κατά κεφαλήν εισοδήµατος ούτε είναι ούτε υπήρξε οµοιόµορφη. Μετά από αιώνες στασιµότητας στο µέσο βιοτικό επίπεδο όλων των χωρών του κόσµου, ο µέσος ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης άρχισε να αυξάνεται στην Ευρώπη και στις πρώην αποικίες της, όπως οι ΗΠΑ, ο Καναδάς και η Αυστραλία, από τις αρχές του 19ου αιώνα. Σε άλλες χώρες, όπως η Ιαπωνία, η διαδικασία της µεγέθυνσης ξεκίνησε αργότερα. Ο µέσος ρυθµός µεγέθυνσης του παγκόσµιου κατά κεφαλήν προϊόντος αυξήθηκε µεταξύ του 1820 και του 1870 και έφθασε το 0,5% το χρόνο. Μεταξύ του 1870 και του 1950 ο µέσος ρυθµός µεγέθυνσης διπλασιάστηκε στο 1,1% και µετά το 1950 διπλασιάστηκε και πάλι, και ξεπέρασε το 2%. Μεταξύ του 1960 και των αρχών του εικοστού πρώτου αιώνα, πολλές χώρες είδαν το βιοτικό τους επίπεδο να υπερδιπλασιάζεται. 3 Το 1820, οι πιο αναπτυγµένες χώρες είχαν κατά κεφαλήν ΑΕΠ που ήταν περίπου τριπλάσιο από το κατά κεφαλήν ΑΕΠ των λιγότερο αναπτυγµένων χωρών. Το 2010 ήταν περίπου δεκαεπτά (17) 2 Θεωρούµε ότι το βιοτικό επίπεδο µετράται από το κατά κεφαλήν Ακαθάριστο Εθνικό Εισόδηµα (ΑΕΕ) ή το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν (ΑΕΠ) κάθε χώρας. Για να γίνουν όµως συγκρίσεις µεταξύ των χωρών, το κατά κεφαλήν ΑΕΕ πρέπει να µετράται µε συγκρίσιµες µονάδες µέτρησης. Αυτό προϋποθέτει την µετατροπή του κατά κεφαλήν ΑΕΕ κάθε χώρας σε ένα κοινό νόµισµα (συνήθως το δολάριο των ΗΠΑ), µε βάση ισοτιµίες που λαµβάνουν υπόψη την ισοδυναµία των αγοραστικών δυνάµεων. Για την ακριβή µεθοδολογία βλ. World Bank ή Summers and Heston (1991). Οι υπολογισµοί της World Bank και των Summers and Heston επικαιροποιούνται συχνά. Ο αριθµός των ετών που απαιτείται για να διπλασιαστεί ένα µέγεθος, όπως το κατά κεφαλήν εισόδηµα, που αυξάνεται 3 µε µέσο ετήσιο ρυθµό g%, ισούται περίπου µε 70/g. Έτσι, µε ρυθµό 1% απαιτούνται 70 χρόνια, µε ρυθµό 2% 35 χρόνια, µε ρυθµό 3% 23 χρόνια, µε ρυθµό 4% 17,5 χρόνια και ούτω καθεξής. Το 70 προκύπτει από 100xln2=69,3 που ισούται περίπου µε 70. N3

φορές υψηλότερο. Οι πρώην αποικίες της Δυτικής Ευρώπης (ΗΠΑ, Καναδάς, Αυστραλία και Νέα Ζηλανδία) το 1820 είχαν ελαφρώς χαµηλότερο βιοτικό επίπεδο σε σχέση µε τις µητρικές τους χώρες. Το 1950 είχαν διπλάσιο κατά κεφαλήν εισόδηµα. Η Ιαπωνία ξεπέρασε το βιοτικό επίπεδο της Ανατολικής Ευρώπης, της Λατινικής Αµερικής, της πρώην Σοβιετικής Ένωσης και της Δυτικής Ευρώπης στο δεύτερο ήµισυ του 20ου αιώνα. Η Κίνα, από τις φτωχότερες χώρες του κόσµου το 1950, το 2010 είχε υπερδιπλάσιο κατά κεφαλήν εισόδηµα από την Ινδία και την Αφρική. Μεταξύ του 1960 και του 2010, δηλαδή στα τελευταία 50 χρόνια, το πραγµατικό κατά κεφαλήν εισόδηµα των ΗΠΑ σχεδόν τριπλασιάστηκε. Για την ακρίβεια ανέβηκε κατά 2,8 φορές περίπου, από $15398 του 2005 το 1960, στα $41365 το 2010. Ο µέσος ετήσιος ρυθµός ανάπτυξης του ήταν περίπου 2% το χρόνο. Αντίστοιχες τάσεις εµφανίστηκαν και στις αναπτυγµένες Ευρωπαϊκές οικονοµίες. Ο µέσος ετήσιος ρυθµός ανάπτυξης του κατά κεφαλήν εισοδήµατος στη Γερµανία, τη Γαλλία, τη Μεγάλη Βρετανία και την Ιταλία ήταν 2,2-2,3%, ελαφρά υψηλότερος από ότι στις ΗΠΑ. Ο µέσος ετήσιος ρυθµός ανάπτυξης του κατά κεφαλήν εισοδήµατος στην Ιαπωνία ήταν 3,4%, σηµαντικά υψηλότερος από τις ΗΠΑ και τις µεγάλες ευρωπαϊκές οικονοµίες. Ωστόσο, ούτε στα τελευταία 50 χρόνια, έχουν επιδείξει οι αναπτυσσόµενες οικονοµίες µία οµοιόµορφη τάση σύγκλισης µε το κατά κεφαλήν εισόδηµα των αναπτυγµένων βιοµηχανικών χωρών. Κάποιες αναπτυσσόµενες οικονοµίες, κυρίως στην Ευρώπη και τη Νοτιοανατολική Ασία, έχουν επιτύχει εντυπωσιακές αυξήσεις στο κατά κεφαλήν εισόδηµά τους σε σχέση µε το 1960, και σηµαντική σύγκλιση µε το βιοτικό επίπεδο των αναπτυγµένων οικονοµιών. Ωστόσο, άλλες οικονοµίες, κυρίως στη Λατινική Αµερική, την υπόλοιπη Ασία και την Αφρική, έχουν µείνει δραµατικά πίσω. 1.2 Το Υπόδειγµα του Solow Προκειµένου να εξηγήσει τη διαδικασία της οικονοµικής µεγέθυνσης, το υπόδειγµα του Solow επικεντρώνεται σε τέσσερεις κυρίως µεταβλητές. Το συνολικό προϊόν (Υ), το συνολικό φυσικό κεφάλαιο (K), τον αριθµό των εργαζοµένων (L), και την αποδοτικότητα της εργασίας (h). Ο ρυθµός αύξησης του αριθµού των εργαζοµένων (n) θεωρείται εξωγενής, όπως και ο ρυθµός αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (g). Έτσι, το υπόδειγµα εξηγεί το ύψος και το ρυθµό µεγέθυνσης του συνολικού προϊόντος και του φυσικού κεφαλαίου, ως συνάρτηση των εξωγενών αυτών παραγόντων, του ποσοστού αποταµίευσης (s), το οποίο επίσης θεωρείται εξωγενές, της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών και του εξωγενούς ποσοστού απόσβεσης του κεφαλαίου (δ). Αφού προσδιορισθούν αυτές οι µεταβλητές, µπορεί κανείς να εξετάσει και τον προσδιορισµό του πραγµατικού επιτοκίου r (αµοιβή του κεφαλαίου) και των πραγµατικών µισθών ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας w (αµοιβή της εργασίας), καθώς αυτές εξαρτώνται από το λόγο του κεφαλαίου προς τη συνολική αποδοτικότητα της εργασίας. Οι ορισµοί των βασικών µεταβλητών και των παραµέτρων του υποδείγµατος του Solow µπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Y K L h t n Συνολικό Προϊόν Συνολικό (Φυσικό) Κεφάλαιο Αριθµός Εργαζοµένων γνώση, ή αποδοτικότητα της εργασίας χρόνος (θεωρείται συνεχής µεταβλητή) ποσοστό αύξησης του αριθµού των εργαζοµένων (εξωγενές) N4

N N N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 g s δ r w ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενές) ποσοστό αποταµίευσης (εξωγενές) ποσοστό απόσβεσης (φυσικού) κεφαλαίου (εξωγενές) πραγµατικό επιτόκιο πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) 1.2.1 Η Νεοκλασσική Συνάρτηση Παραγωγής Σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή t, η οικονοµία έχει κάποιο απόθεµα κεφαλαίου, εργασίας και γνώσης, που συνδυάζονται προκειµένου να υπάρχει παραγωγή. Η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή, Y (t) = F( K(t),h(t)L(t) ) (1.1) Σε σχέση µε τη συνάρτηση παραγωγής αξίζει να σηµειωθούν τα εξής: Πρώτον, ο χρόνος εισέρχεται στη συνάρτηση παραγωγής µόνο µέσω των συντελεστών παραγωγής. Διαχρονικά το προϊόν µπορεί να µεταβληθεί µόνο µέσω µεταβολών στους συντελεστές παραγωγής. Δεύτερον, η τεχνολογική πρόοδος αυξάνει µόνο την αποδοτικότητα της εργασίας. Η υπόθεση αυτή καλείται τεχνολογική πρόοδος επαυξάνουσα της εργασίας (labour augmenting) ή ουδέτερη κατά Harrod. Τρίτον, η συνάρτηση παραγωγής θεωρείται ότι χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Πολλαπλασιασµός των συντελεστών παραγωγής µε οποιαδήποτε σταθερά, πολλαπλασιάζει το συνολικό προϊόν κατά την ίδια σταθερά. Λόγω της τελευταίας αυτής υπόθεσης, η συνάρτηση παραγωγής µπορεί να γραφεί ως y(t) = f ( k(t) ) (1.2) όπου y = Y/hL k = K/hL f(k) = F(k, 1) προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας Η (1.2) αναφέρεται ως συνάρτηση παραγωγής σε εντατική µορφή (βλ. Διάγραµµα 1.1) Η ένταση της παραγωγής (προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) εξαρτάται από την κεφαλαιακή ένταση (κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητα της εργασίας). Τέταρτον, υποτίθεται ότι η συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: f (0) = 0, f = f k > 0, f = 2 f k 2 < 0 Το οριακό προϊόν της κεφαλαιακής έντασης είναι θετικό αλλά φθίνον. Επιπλέον, υποτίθεται ότι, N5

N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 lim k 0 f (k) =,lim k f (k) = 0 Οι τελευταίες αυτές υποθέσεις καλούνται συνθήκες Inada (Inada 1964), και είναι ισχυρότερες από ότι απαιτείται για τις περισσότερες από τις κεντρικές προβλέψεις του υποδείγµατος. Οι συνθήκες Inada διασφαλίζουν ότι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι πολύ µεγάλο όταν η κεφαλαιακή ένταση είναι χαµηλή, και πολύ µικρό όταν η κεφαλαιακή ένταση είναι υψηλή. 1.2.2 Η Συνάρτηση Παραγωγής Cobb Douglas Μία σύναρτηση παραγωγής η οποία συχνά χρησιµοποιείται στη θεωρία της µεγέθυνσης είναι η συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas. Αυτή παίρνει τη µορφή, N F(K(t),h(t)L(t)) = AK(t) α (h(t)l(t)) 1 a, N A > 0, N 0 < α < 1 (1.3) Το A ορίζεται ως η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών (total factor productivity), και το α ως η σχετική συµβολή (µερίδιο) του κεφαλαίου στην παραγωγή. Αντίστοιχα, το 1-α είναι η σχετική συµβολή (µερίδιο) της εργασίας. Η εντατική µορφή της συνάρτησης Cobb Douglas ορίζεται από, N y(t) = f (k(t)) = Ak(t) α (1.4) Μπορεί εύκολα κανείς να διαπιστώσει ότι η συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες τις οποίες έχουµε υποθέσει. Το οριακό προϊόν είναι θετικό αλλά φθίνον, και οι συνθήκες Inada ικανοποιούνται. Επιπλέον, για τη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, η τεχνολογική πρόοδος που είναι επαυξάνουσα της εργασίας (ουδέτερη κατά Harrod), δεν διαφέρει από την τεχνολογική πρόοδο που είναι επαυξάνουσα του κεφαλαίου ή και των δύο συντελεστών ταυτοχρόνως (ουδέτερη κατά Hicks). Ο λόγος είναι ότι στη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas οι συντελεστές παραγωγής εισέρχονται πολλαπλασιαστικά, και έτσι δεν έχει σηµασία ποιον συντελεστή πολλαπλασιάζει η τεχνολογική πρόοδος. 1.2.3 Μεγέθυνση του Πληθυσµού και Τεχνολογική Πρόοδος Πριν προχωρήσουµε στην ανάλυση της συσσώρευσης του κεφαλαίου και της διαδικασίας της µεγέθυνσης, πρέπει να αναφερθούµε στην εξέλιξη των εξωγενών µεταβλητών. Το υπόδειγµα είναι σε συνεχή χρόνο, και όλες οι µεταβλητές ορίζονται σε κάθε χρονική στιγµή. 4 Τα αρχικά επίπεδα κεφαλαίου, αριθµού εργαζοµένων και αποδοτικότητας της εργασίας είναι δεδοµένα. Ο αριθµός των εργαζοµένων αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό n, και η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό g. Κατά συνέπεια υποθέτουµε ότι, 4 Στο παράρτηµα αυτού του κεφαλαίου αναλύουµε το υπόδειγµα του Solow και σε διακριτό χρόνο, όπου όλες οι µεταβλητές ορίζονται ανά διακριτή χρονική περίοδο και όχι χρονική στιγµή. N6

L(t) = L(0)e nt (1.5) h(t) = h(0)e gt (1.6) όπου L(0) και h(0) είναι ο αριθµός των εργαζοµένων και το απόθεµα γνώσης τη στιγµή 0, και e είναι η βάση των φυσικών (νεπερείων) λογαρίθµων. Από τις (1.5) και (1.6) προκύπτει ότι, L (t) = dl(t) dt h (t) = dh(t) dt = nl(t) = gh(t) (1.7) (1.8) Μία τελεία πάνω από µία µεταβλητή υποδηλώνει την πρώτη παράγωγο της µεταβλητής ως προς το χρόνο, δηλαδή τη µεταβολή της στο χρόνο. 5 1.2.4 Αποταµιεύσεις, Συσσώρευση Κεφαλαίου και Οικονοµική Μεγέθυνση Η παραγωγή αποτελεί εισόδηµα, που είτε καταναλώνεται είτε αποταµιεύεται. Στο υπόδειγµα του Solow, το ποσοστό του εισοδήµατος που αποταµιεύεται, s, θεωρείται σταθερό. Η συνολική κατανάλωση δίνεται κατά συνέπεια από, N C(t) = (1 s)y (t), N 0 < s < 1 (1.9) Οι αποταµιεύσεις επενδύονται. Οι ακαθάριστες επενδύσεις είτε οδηγούν σε αύξηση του αποθέµατος κεφαλαίου, είτε αντικαθιστούν κεφάλαιο που αποσβένεται. Το στιγµιαίο ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου υποδηλώνεται µε δ. Κατά συνέπεια, οι ακαθάριστες επενδύσεις προσδιορίζονται από, N I(t) = K (t) + δ K(t), N 0 δ 1 (1.10) Η συνολική ζήτηση στην οικονοµία ισούται µε το άθροισµα της συνολικής κατανάλωσης µε τις συνολικές ακαθάριστες επενδύσεις. Η εξίσωση της συνολικής ζήτησης µε το συνολικό εισόδηµα, συνεπάγεται την ακόλουθη συνθήκη ισορροπίας, N Y (t) = (1 s)y (t) + K (t) + δ K(t) (1.11) Τεχνικά οι (1.7) και (1.8) είναι πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις, η λύση των οποίων δίνεται από τις (1.5) και (1.6) 5 αντίστοιχα. Για µια εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις, βλ. Μαθηµατικό Παράρτηµα 1. N7

N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 Η (1.11) είναι µία συνθήκη ισορροπίας στην αγορά αγαθών και υπηρεσιών. Η συνολική ζήτηση, η οποία ισούται µε τη συνολική κατανάλωση συν τις ακαθάριστες επενδύσεις, ισούται µε το συνολικό εισόδηµα. Από την (1.11), η συσσώρευση του φυσικού κεφαλαίου προσδιορίζεται από, K (t) = sy (t) δ K(t) (1.12) Διαιρώντας την (1.12) µε το hl, και λαµβάνοντας υπόψη ότι ο ρυθµός αύξησης του h είναι g και του L είναι n, λαµβάνουµε ότι, N k (t) = sy(t) (n + g + δ )k(t) (1.13) Η διαφορική εξίσωση (1.13) δείχνει ότι η µεταβολή στο χρόνο της κεφαλαιακής έντασης (του φυσικού κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) προσδιορίζεται από τη διαφορά δύο όρων: Τις τρέχουσες επενδύσεις ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας (επενδυτική ένταση) οι οποίες ισούνται µε τις τρέχουσες αποταµιεύσεις, µείον τις επενδύσεις ισορροπίας, οι οποίες απαιτούνται για να διατηρηθεί σταθερό το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Δεδοµένου ότι η συνολική αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνεται µε ρυθµό n+g, για να διατηρηθεί σταθερό το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, το συνολικό κεφάλαιο θα πρέπει να αυξάνεται και αυτό µε ρυθµό n+g. Οι επενδύσεις που απαιτούνται για να γίνει αυτό ισούνται µε (n+g+δ)k, δεδοµένου ότι και ένα ποσοστό δ του συνολικού κεφαλαίου αποσβένεται (µειώνεται) κάθε χρονική στιγµή. Χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση παραγωγής σε εντατική µορφή (1.2) για να αντικαταστήσουµε για το είσοδηµα ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην (1.13), καταλήγουµε σε, N k (t) = sf (k(t)) (n + g + δ )k(t) (1.14) Η εξίσωση (1.14) είναι η εξίσωση κλειδί στο υπόδειγµα του Solow. Είναι µία µη γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού στο κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, η επίλυση της οποίας προσδιορίζει την πορεία του στο χρόνο. 1.2.5 Η Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης και η Διαδικασία της Σύγκλισης Από την (1.14), το κεφάλαιο ισορροπίας προσδιορίζεται από, N k (t) = 0, sf (k(t)) = (n + g + δ )k(t) (1.15) Θα υποδηλώσουµε το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας που ικανοποιεί την (1.15) ως k*, το οποίο µπορεί κανείς να συνάγει ότι είναι σταθερό και ανεξάρτητο από το χρόνο. Το k* προσδιορίζει την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Στην πορεία αυτή, το κεφάλαιο, το εισόδηµα, η κατανάλωση και οι επενδύσεις ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι σταθερές ανεξάρτητες από το χρόνο. Στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, όλα τα κατά κεφαλήν N8

µεγέθη µεγεθύνονται µε τον εξωγενή ρυθµό τεχνολογικής προόδου g, ενώ τα συνολικά µεγέθη µεγεθύνονται µε ρυθµό g+n, δηλαδή το άθροισµα του ρυθµού αύξησης του πληθυσµού και του ρυθµού τεχνολογικής προόδου. Το υπόδειγµα του Solow προβλέπει ότι ανεξάρτητα από το σηµείο εκκίνησης, η οικονοµία συγκλίνει σε µια µοναδική πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Ο προσδιορισµός της πορείας της ισόρροπης µεγέθυνσης και της σύγκλισης προς αυτήν στο υπόδειγµα του Solow παρίσταται στο Διάγραµµα 1.2. Η ευθεία γραµµή παριστάνει τις επενδύσεις ισορροπίας (n+g+δ)k. Η καµπύλη sf(k) παριστάνει τις τρέχουσες αποταµιεύσεις και επενδύσεις. Στο σηµείο k* οι τρέχουσες αποταµιεύσεις (επενδύσεις) ισούνται µε τις επενδύσεις ισορροπίας. Η ισορροπία στο k* είναι µοναδική και σταθερή. Η οικονοµία συγκλίνει προς αυτήν από οποιαδήποτε αρχική κατάσταση. Αν το αρχικό κεφάλαιο είναι µικρότερο από το k*, δηλαδή βρίσκεται αριστερά του k* στο Διάγραµµα 1.2, οι τρέχουσες επενδύσεις είναι µεγαλύτερες από τις επενδύσεις ισορροπίας και το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας αυξάνεται µέσω της συσσώρευσης του κεφαλαίου. Η συσσώρευση του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας προκαλεί αύξηση και του προϊόντος ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δια της συνάρτησης παραγωγής. Αν το αρχικό κεφάλαιο είναι µεγαλύτερο από το k*, δηλαδή βρίσκεται δεξιά του k* στο Διάγραµµα 1.2, οι τρέχουσες επενδύσεις είναι µικρότερες από τις επενδύσεις ισορροπίας και το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας µειώνεται καθώς ο ρυθµός συσσώρευσης του κεφαλαίου είναι µικρότερος από n+g+δ. Η αποσυσσώρευση κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας προκαλεί µείωση και του προϊόντος ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δια της συνάρτησης παραγωγής. Στο σηµείο της µακροχρόνιας ισορροπίας (k*) οι αποταµιεύσεις ισούνται µε τις επενδύσεις ισορροπίας, αυτές δηλαδή που απαιτούνται προκειµένου το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας να παραµένει σταθερό. Το συνολικό προϊόν και το συνολικό κεφάλαιο αυξάνονται µε ρυθµό n+g, ενώ το κατά κεφαλήν προϊόν και το κατά κεφαλήν κεφάλαιο αυξάνονται µε ρυθµό g. Κατά συνέπεια, το υπόδειγµα του Solow δεν ερµηνεύει το µακροχρόνιο ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης, δηλαδή το ρυθµό που επικρατεί στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, διότι αυτός ισούται µε g+n και είναι εξωγενής. Επιπλέον, δεν ερµηνεύει ούτε το ρυθµό µεγέθυνσης των κατά κεφαλήν µεγεθών στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, διότι αυτός ισούται µε το ρυθµό τεχνολογικής προόδου g και είναι εξωγενής. Αυτό που ερµηνεύει το υπόδειγµα του Solow είναι ο προσδιορισµός του κατά κεφαλήν εισοδήµατος στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, διότι αυτό εξαρτάται από το k*, και κατά συνέπεια από όλες τις παραµέτρους του υποδείγµατος. Αυτό που επίσης ερµηνεύει το υπόδειγµα του Solow είναι η διαδικασία της σύγκλισης προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Η σύγκλιση είναι αποτέλεσµα της συσσώρρευσης (ή αποσυσσώρευσης) φυσικού κεφαλαίου µε ρυθµό που διαφέρει από το µακροχρόνιο ρυθµό N9

µεγέθυνσης n+g, καθώς στην πορεία της σύγκλισης οι αποταµιεύσεις και οι επενδύσεις διαφέρουν από τις επενδύσεις ισορροπίας. 1.3 Επιπτώσεις του Ποσοστού Αποταµίευσης Για το υπόδειγµα του Solow µπορεί κανείς να αποδείξει ότι µία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης προκαλεί αύξηση τόσο του κεφαλαίου, όσο και του προϊόντος ανά εργαζόµενο. Ο ρυθµός αύξησης του προϊόντος και του κεφαλαίου ανά εργαζόµενο αυξάνεται προσωρινά πάνω από τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Η σχετική ανάλυση παρουσιάζεται στο Διάγραµµα 1.3. 1.3.1 Το Ποσοστό Αποταµίευσης και η Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Υποθέτουµε ότι η αρχική ισορροπία είναι στο σηµείο (k*,y*). Μία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης από το s στο s µετακινεί την καµπύλη αποταµιεύσεων και τρεχουσών επενδύσεων προς τα επάνω. Στο επίπεδο κεφαλαιακής έντασης k* οι τρέχουσες επενδύσεις ξεπερνούν τις επενδύσεις ισορροπίας και αρχίζει µία διαδικασία συσσώρευσης κεφαλαίου που αυξάνει την κεφαλαιακή ένταση και την ένταση της παραγωγής. Η οικονοµία σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία (k**,y**). Στη διάρκεια της προσαρµογής οι αποταµιεύσεις και οι επενδύσεις υπερβαίνουν τις επενδύσεις ισορροπίας, και ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης υπερβαίνει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης. Η διαχρονική διαδικασία της σύγκλισης προς τη νέα ισορροπία παρουσιάζεται στο Διάγραµµα 1.4, που δείχνει πως συσσωρεύεται προς τη νέα ισορροπία το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας ως συνάρτηση του χρόνου. Η αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης οδηγεί σε συσσώρευση κεφαλαίου που υπερβαίνει αυτή που απαιτείται για τη διατήρηση του κεφαλαίου στο παλαιό επίπεδο ισορροπίας k*. Αρχίζει να συσσωρεύεται κεφάλαιο, το οποίο οδηγεί σε αύξηση του κατά κεφαλήν προϊόντος, και η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου η οικονοµία φθάσει στην νέα ισορροπία k**. Η διαδικασία της σύγκλισης είναι ασυµπτωτική. 1.3.2 Το Ποσοστό Αποταµίευσης και ο Χρυσός Κανόνας Μία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης προκαλεί προσωρινή µείωση της κατανάλωσης ανά εργαζόµενο. Το αν στη νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης η κατανάλωση ανά εργαζόµενο θα είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη εξαρτάται από τη διαφορά του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου από το (n+g+δ), το οποίο είναι η απαιτούµενη αύξηση των επενδύσεων ανά µονάδα αύξησης του κεφαλαίου, ώστε η αύξηση του κεφαλαίου να είναι διατηρήσιµη. Στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, ισχύει, N c* = f (k*) (n + g + δ )k * (1.16) Κατά συνέπεια, η επίπτωση µιας µεταβολής του ποσοστού αποταµίευσης, την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, δίδεται από, c * N (1.17) s = ( f (k*) (n + g + δ ) ) k * s N10

Δεδοµένου ότι ο τελευταίος όρος είναι θετικός, η επίπτωση της αύξησης του ποσοστού αποταµίευσης στην κατανάλωση εξαρτάται από τη διαφορά του καθαρού οριακού προϊόντος του κεφαλαίου f (k*)-δ, από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης n+g. Εάν το καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι µικρότερο από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης, τότε το οριακό προϊόν από το αυξηµένο κεφάλαιο δεν επαρκεί για να διατηρήσει στο υψηλότερο επίπεδο το απόθεµα του κεφαλαίου, και η ιδιωτική κατανάλωση θα µειωθεί ως αποτέλεσµα της αύξησης του ποσοστού αποταµίευσης. Στην αντίθετη περίπτωση η κατανάλωση θα αυξηθεί. Στην ειδική περίπτωση που το καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισούται µε (n+g), η κατανάλωση παραµένει στο αρχικό επίπεδο ισορροπίας. Σε αυτή την περίπτωση η κατανάλωση βρίσκεται στο µέγιστο δυνατό της σηµείο και η τιµή του k* που αντιστοιχεί σε αυτό το επίπεδο είναι γνωστή ως το επίπεδο του χρυσού κανόνα της συσσώρευσης του κεφαλαίου. Ο χρυσός κανόνας ορίζεται από το επίπεδο της κεφαλαιακής έντασης που µεγιστοποιεί την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Αν στόχος της πολιτικής είναι να µεγιστοποιεί την κατανάλωση στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, γιατί η ευηµερία των νοικοκυριών εξαρτάται από την κατανάλωση, τότε, από την (1.16), οι συνθήκες πρώτης τάξης για µεγιστοποίηση της κατανάλωσης απαιτούν, N f (k*) = n + g + δ f (k*) δ = n + g (1.18) Κατά συνέπεια, το κεφάλαιο ισορροπίας που µεγιστοποιεί την κατανάλωση στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι εκείνο το οποίο συνεπάγεται καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου (οριακό προϊόν στην παραγωγή µείον ποσοστό απόσβεσης) το οποίο ισούται µε το µακροχρόνιο ρυθµό ανάπτυξης της οικονοµίας n+g. 1.3.3 Ελαστικότητα του Προϊόντος ως προς το Ποσοστό Αποταµίευσης Η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης του προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης ισούται µε το λόγο του µεριδίου του κεφαλαίου προς το µερίδιο της εργασίας στο συνολικό προϊόν. Για να το αποδείξουµε ξεκινούµε από τη µεταβολή του προϊόντος σε σχέση µε τη µεταβολή του ποσοστού αποταµίευσης. y * N (1.19) s = f (k*) k * s Το k* ορίζεται από, N sf (k*) = (n + g + δ )k * (1.20) Από την διαφοροποίηση της (1.20) ως προς s, προκύπτει ότι, k * N (1.21) s = f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) N11

Αντικαθιστώντας την (1.21) στην (1.19), έχουµε, y * N (1.22) s = f (k*) f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) Από την (1.22), η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης ορίζεται από, s y * N (1.23) y * s = s f (k*) f (k*) f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) = (n + g + δ )k * f (k*) f (k*)(n + g + δ )[1 k * f (k*) / f (k*)] Η (1.23) απλοποιείται σε, s y * N (1.24) y * s = k * f (k*) / f (k*) 1 [k * f (k*) / f (k*)] = α (k*) K 1 α K (k*) όπου ak(k*) είναι η ελαστικοτητα του συνολικού προϊόντος σε σχέση µε το φυσικό κεφάλαιο στο σηµείο k=k*. Με ανταγωνιστικές αγορές, οι συντελεστές παραγωγής αµείβονται µε το οριακό τους προϊόν. Στην περίπτωση αυτή, η ελαστικότητα του συνολικού προϊόντος σε σχέση µε το φυσικό κεφάλαιο ισούται µε το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν. Μία ευρύτερα αποδεκτή εκτίµηση για το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν είναι 1/3. Κατά συνέπεια, η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης του προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης είναι ½. 1.4 Η Ταχύτητα της Σύγκλισης προς την Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Κοντά στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, η ταχύτητα της σύγκλισης του k προς το k* είναι ανάλογη της απόστασης τους. Με βάση ρεαλιστικές εκτιµήσεις για τις παραµέτρους του υποδείγµατος, εκτιµάται ότι η ταχύτητα της σύγκλισης στο υπόδειγµα του Solow είναι περίπου 4% το χρόνο. Κατά συνέπεια, απαιτούνται περίπου 17 χρόνια για να κλείσει το µισό της όποιας διαφοράς µεταξύ k και k*. Για να συνάγουµε την ταχύτητα της σύγκλισης ξεκινούµε από τη βασική εξίσωση συσσώρευσης του κεφαλαίου στο υπόδειγµα του Solow. N k (t) = sf (k(t)) (n + g + δ )k(t) (1.25) Το κεφάλαιο ισορροπίας k* προσδιορίζεται από την (1.25) για N k (t) = 0. Για να προσδιορίσουµε την ταχύτητα µε την οποία το k(t) προσεγγίζει το k*, γραµµικοποιούµε την (1.25) στην περιοχή της ισορροπίας k*. Από την γραµµική προσέγγιση της διαφορικής εξίσωσης (1.25) κατά Taylor, στην περιοχή της ισορροπίας k*, έχουµε, N12

N N N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 k (t)! k k k=k* ( k(t) k *) (1.26) όπου η παράγωγος λαµβάνεται από την (1.25). Η (1.26) µπορεί να γραφεί ως, k (t)! λ ( k(t) k *) (1.27) όπου O λ = k. k k=k* Η (1.27) συνεπάγεται ότι κοντά στην ισορροπία k*, το k προσεγγίζει το k* µε µια ταχύτητα ανάλογη της απόστασής του από το k*. Δηλαδή, συνεπάγεται ότι το ποσοστό µείωσης του k(t) k* (η ταχύτητα της σύγκλισης) είναι κατά προσέγγιση µία σταθερά ίση µε λ. Κατά συνέπεια η (1.27) συνεπάγεται ότι, k(t)! k *+e λt ( k(0) k *) (1.28) όπου το k(0) είναι η αρχική τιµή του k. Για να βρούµε το λ λαµβάνουµε την πρώτη παράγωγο του σε σχέση µε το k από την εξίσωση (1.25). λ = k k k=k* = - [ sf (k*) (n+g+δ) ] = (n+g+δ) - sf (k*) = (n+g+δ)[ 1 k* f (k*)/f (k*) ] = (n+g+δ)[ 1-a (k*)] (1.29) όπου ak(k*) είναι το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν στην ισορροπία k*. Για να φθάσουµε στην (1.29) χρησιµοποιήσαµε το ότι στην ισορροπία sf (k*) = (n+g+δ)k*, ώστε να αντικαταστήσουµε το s. Ευρέως αποδεκτές ετήσιες εκτιµήσεις του (n+g+δ) το προσδιορίζουν περίπου στο 6%. Για παράδειγµα µε n = 1%, g = 2% και δ = 3%. Με το µερίδιο του κεφαλαίου να εκτιµάται περίπου στο 1/3, η (1.29) µας δίνει µία ετήσια ταχύτητα προσαρµογής περίπου 4%. Από την (1.28) µπορούµε να βρούµε χρονικό διάστηµα χρειάζεται µε αυτή την ταχύτητα για να καλυφθεί ένα οποιοδήποτε ποσοστό της διαφοράς µεταξύ k(0) και k*. Για να καλυφθεί το µισό, K N13

N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 λt e = 0,5 Κατά συνέπεια, t = - ln(0,5)/λ = 0,69/λ = 0,69/0,04 = 17,3. Για να καλυφθούν τα 2/3, λt e = 0,33 Κατά συνέπεια, t = - ln(0,33)/λ = 1,1/λ = 1,1/0,04 = 27,5 Οι εµπειρικές ενδείξεις που έχουµε στην διάθεσή µας (π.χ Mankiw, Romer and Weil 1992), υποδεικνύουν ότι µεταπολεµικά η µέση ταχύτητα της σύγκλισης είναι περίπου 2% το χρόνο. Κατά συνέπεια το υπόδειγµα του Solow προβλέπει µία µάλλον ταχεία διαδικασία σύγκλισης σε σχέση µε τα πραγµατικά δεδοµένα. Θα επανέλθουµε στο ζήτηµα αυτό στο κεφάλαιο 6. 1.5 Ανταγωνιστικές Αγορές, Πραγµατικά Επιτόκια και Πραγµατικοί Μισθοί Όπως το έχουµε παρουσιάσει µέχρι τώρα, στο υπόδειγµα του Solow η παραγωγή γίνεται από µία και µόνη εγχώρια επιχείρηση και ένα και µόνο εθνικό νοικοκυριό στο οποίο ανήκει αυτή η επιχείρηση. Ωστόσο, λόγω της υπόθεσης των σταθερών υποθέσεων κλίµακας, όλες οι ιδιότητες του υποδείγµατος αυτού παραµένουν ακόµη και αν υποθέσουµε πολλές ανταγωνιστικές επιχειρήσεις και πολλά νοικοκυριά. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός νοικοκυριών τα οποία κατέχουν κεφάλαιο και προσφέρουν εργασία. Το επιτόκιο είναι r(t) και ο πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) είναι w(t). Κάθε επιχείρηση χρησιµοποιεί κεφάλαιο και εργασία και παράγει µε βάση µία συνάρτηση παραγωγής η οποία σε εντατική µορφή δίνεται από την (1.2). Κάθε επιχείρηση πληρώνει την απόδοση του κεφαλαίου στα νοικοκυριά που κατέχουν τις µετοχές της, και τους πραγµατικούς µισθούς στους εργαζοµένους σε αυτήν. Από τις συνθήκες µεγιστοποίησης των κερδών της επιχείρησης θα ισχύει ότι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου θα ισούται µε το κόστος χρήσης του κεφαλαίου (το πραγµατικό επιτόκιο συν το ποσοστό απόσβεσης), και ότι το οριακό προϊόν της εργασίας θα ισούται µε τον πραγµατικό µισθό. Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι, N f (k(t)) = r(t) + δ (1.30) N f (k(t)) k(t) f (k(t) = w(t) (1.31) Μπορεί κανείς εύκολα να συνάγει ότι όταν ικανοποιούνται οι (1.30) και (1.31), οι επιχειρήσεις έχουν µηδενικά κέρδη. Το συνολικό εισόδηµα των νοικοκυριών, ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, ισούται µε το εγχώριο εισόδηµα και δίνεται από, ( r(t) + δ )k(t) + w(t) N14

N Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 1 Η εξίσωση αποταµιεύσεων και συσσώρευσης του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, ( ) (n + g + δ )k(t) N k (t) = s ( r(t) + δ )k(t) + w(t) (1.32) Αντικαθιστώντας τις (1.30) και (1.31) στην (1.32), έχουµε τη βασική εξίσωση συσσώρευσης του υποδείγµατος του Solow. k (t) = sf (k(t)) (n + g + δ )k(t) Κατά συνέπεια, η συµπεριφορά του υποδείγµατος του Solow, όπως το αναλύσαµε ως τώρα, είναι συµβατή µε την ύπαρξη ανταγωνιστικών αγορών για αγαθά, εργασία και κεφάλαιο. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στη διαδικασία της προσαρµογής προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης από αριστερά, όταν δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µικρότερο από το κεφάλαιο ισορροπίας, οι πραγµατικοί µισθοί ανεβαίνουν και τα πραγµατικά επιτόκια µειώνονται, καθώς παρακολουθούν την εξέλιξη του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου και του οριακού προϊόντος της εργασίας. Στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης ο πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) παραµένει σταθερός και το ίδιο συµβαίνει µε το πραγµατικό επιτόκιο. Ωστόσο, ο πραγµατικός µισθός ανά εργαζόµενο, όπως και όλα τα κατά κεφαλήν µεγέθη, αυξάνεται µε ρυθµό g, το ρυθµό µεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας. 1.6 Η Διαδικασία της Οικονοµικής Μεγέθυνσης και το Υπόδειγµα του Solow Το υπόδειγµα του Solow, όπως και κάθε οικονοµικό υπόδειγµα, βασίζεται σε σχετικά απλές και σε µεγάλο βαθµό µη ρεαλιστικές υποθέσεις. Ωστόσο, αποτελεί σηµαντική βελτίωση σε σχέση µε προηγούµενα υποδείγµατα τα οποία δεν χρησιµοποιούσαν τη νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής. Τέτοιο ήταν για παράδειγµα των υπόδειγµα των Harrod (1939) και Domar (1946), που βασίζονταν σε συναρτήσεις παραγωγής µε σταθερές αναλογίες, όπως αυτή του Leontieff (1941). Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν το υπόδειγµα του Solow (και όλα τα υποδείγµατα που βασίζονται σε ανάλογες υποθέσεις για την τεχνολογία της παραγωγής) εξηγεί ικανοποιητικά τα κύρια χαρακτηριστικά της διαδικασίας της οικονοµικής µεγέθυνσης στον πραγµατικό κόσµο. Για να απαντήσουµε σε αυτό το ερώτηµα, θα πρέπει να επανέλθουµε στο ποια είναι αυτά τα κύρια χαρακτηριστικά. 1.6.1 Η Κωδικοποίηση των Κύριων Χαρακτηριστικών της Μεγέθυνσης από τον Kaldor Μια σηµαντική πρώτη κωδικοποίηση αυτών των κύριων χαρακτηριστικών είχε γίνει από τον Kaldor (1961), µε βάση την αναπτυξιακή εµπειρία της Μεγάλης Βρετανίας και των ΗΠΑ. Σύµφωνα µε τον Kaldor, µια θεωρία οικονοµικής µεγέθυνσης θα πρέπει να είναι συνεπής µε τα εξής έξι (6) κύρια εµπειρικά χαρακτηριστικά: 1. Το κατά κεφαλήν προϊόν µεγεθύνεται διαχρονικά, και ο ρυθµός µεγέθυνσής του δεν παρουσιάζει πτωτική τάση. 2. Το φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο διαχρονικά µεγεθύνεται. N15

3. Ο ρυθµός απόδοσης του κεφαλαίου είναι µακροχρόνια σταθερός. 4. Ο λόγος κεφαλαίου προϊόντος είναι µακροχρόνια σταθερός. 5. Τα µερίδια της εργασίας και του κεφαλαίου στο εγχώριο προϊόν δεν παρουσιάζουν µακροχρόνια τάση. 6. Ο ρυθµός µεγέθυνσης της παραγωγικότητας της εργασίας διαφέρει ουσιωδώς µεταξύ χωρών. Αυτά τα κύρια χαρακτηριστικά εξακολουθούν και είναι κατά βάση παραδεκτά και σήµερα, µε την προσθήκη και κάποιων νεότερων. 6 Το υπόδειγµα του Solow είναι σε πρώτη ανάγνωση συνεπές µε όλα αυτά τα βασικά εµπειρικά χαρακτηριστικά. Ωστόσο, η διαδικασία της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου, που είναι η βασική ατµοµηχανή της οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow, δεν επαρκεί για να εξηγήσει ούτε τη µακροχρόνια αύξηση του προϊόντος ανά εργαζόµενο που έχει παρατηρηθεί ιστορικά σε όλες σχεδόν τις αναπτυγµένες οικονοµίες του κόσµου, αλλά ούτε και τις µεγάλες διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ των αναπτυγµένων και των λιγότερο αναπτυγµένων οικονοµιών. Μικρό µόνο µέρος αυτών των φαινοµένων εξηγείται από τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου. Το µεγαλύτερο µέρος φαίνεται να οφείλεται σε διαφορές στη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και διαφορές στην αποδοτικότητα της εργασίας, που για το υπόδειγµα του Solow θεωρούνται εξωγενείς. 7 Το υπόδειγµα του Solow εντοπίζει τρεις πηγές διαφορών στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ χωρών ή µεταξύ χρονικών περιόδων: Πρώτον, διαφορές στο κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, δεύτερον, διαφορές στην συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αποδοτικότητα της εργασίας, και τρίτον, διαφορές στις αρχικές συνθήκες των οικονοµιών. Προκειµένου να αναλύσουµε τις επιπτώσεις αυτών των διαφορών, θα χρησιµοποιήσουµε το υπόδειγµα του Solow, υποθέτοντας µια συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas. 1.6.2 Διαφορές µεταξύ Οικονοµιών στην Πορεία της Μεγέθυνσης Στο υπόδειγµα του Solow, µε βάση τη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης ορίζεται από τη συνθήκη, ( ) α = (n + g + δ )k * N sa k * (1.33) Από την (1.33) προκύπτει ότι, 6 Πιο πρόσφατα, οι Jones and Romer (2010) κωδικοποίησαν τα επιπρόσθετα βασικά χαρακτηριστικά τα οποία θα πρέπει να εξηγεί ικανοποιητικά µία θεωρία οικονοµικής µεγέθυνσης. Θα εξετάσουµε αυτά τα χαρακτηριστικά στο Κεφάλαιο 6. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Kaldor, ο οποίος ήταν έντονα επικριτικός για τη νεοκλασσική θεωρία, θεωρούσε ότι το 7 νεοκλασσικό υπόδειγµα µεγέθυνσης ήταν ασύµβατο µε τα βασικά χαρακτηριστικά που επεσήµανε. Ωστόσο, δεν έλαβε υπόψη του την πιθανότητα εξωγενούς τεχνολογικής προόδου η οποία έχει µεγάλη σηµασία για την συµπεριφορά του νεοκλασσικού υποδείγµατος στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. N16

1 sa 1 α N k* = (1.34) n + g + δ Από την (1.34), το προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, α N y* = A( k *) α sa 1 α = A (1.35) n + g + δ Το κατά κεφαλήν προϊόν στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης δίνεται από, N y *(t) = Y *(t) (1.36) L(t) = y *h(t) = A( k *)α h(0)e gt όπου η περισπωµένη (~) πάνω από µία µεταβλητή συµβολίζει το κατά κεφαλήν µέγεθος. Με βάση την (1.36), οι διαφορές στο κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, για ρεαλιστικές εκτιµήσεις των παραµέτρων του υποδείγµατος, δεν µπορούν να εξηγήσουν τις διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο που παρατηρούµε στον πραγµατικό κόσµο. Για παράδειγµα, ας πούµε ότι θέλουµε να εξηγήσουµε µία αναλογία x στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ δύο χωρών, την 1 (αναπτυγµένη) και την 2 (λιγότερο αναπτυγµένη). Από την (1.36), αν υποθέσουµε ότι όλες οι άλλες παράµετροι πλην του κεφαλαίου είναι ίδιες µεταξύ των δύο χωρών, θα ισχύει ότι, ( ) 1 α ( ) = k 1 α α y N (t) 1 = A k 1(t) α h(0)e gt 1(t) = x (1.37) y (t) 2 A k 2(t) α h(0)e gt k 2(t) Για να εξηγήσουµε αυτή την αναλογία, το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο θα πρέπει να διαφέρει κατά x στη δύναµη 1/α, όπου α είναι το µερίδιο του κεφαλαίου στο εγχώριο εισόδηµα. Δεδοµένου ότι το α είναι της τάξης του 1/3, για να εξηγήσεις ότι το προϊόν ανά εργαζόµενο είναι σήµερα στις αναπτυγµένες χώρες 10 φορές υψηλότερο από ό,τι στις λιγότερο αναπτυγµένες χώρες, το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο θα έπρεπε να είναι 1000 φορές (10 στην 3η) υψηλότερο. Κάτι τέτοιο όµως δεν συµβαίνει. Στις αναπτυγµένες οικονοµίες το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο είναι µόλις 20 έως 30 φορές υψηλότερο από ό,τι στις λιγότερο αναπτυγµένες οικονοµίες. Αυτό µπορούµε να το πιστοποιήσουµε και µε έµµεσο τρόπο. Αν οι διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο οφείλονταν µόνο σε διαφορές στο φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, τότε θα έπρεπε να υπάρχουν τεράστιες διαφορές στο ποσοστό απόδοσης του κεφαλαίου (πραγµατικό επιτόκιο) µεταξύ περιόδων και µεταξύ χωρών. Τέτοιες τεράστιες διαφορές όµως δεν υπάρχουν. Για να εξηγήσουµε τις µεγάλες διαφορές µεταξύ αναπτυγµένων και µη αναπτυγµένων χωρών στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, θα πρέπει να επιτρέψουµε διαφορές στη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αρχική αποδοτικότητα της εργασίας. Επιτρέποντας τέτοιες διαφορές στην (1.37), έχουµε ότι, N17

( ) 1 α ( ) = A k 1 1 α y N (t) 1 = A k 1 1(t) α h 1 (0)e gt 1(t) α h 1 (0) 1 α = x (1.38) y (t) 2 A 2 k 2(t) α h 2 (0)e gt A 2 k 2(t) α h 2 (0) 1 α Οι διαφορές στην συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αποδοτικότητα της εργασίας, µαζί µε τις διαφορές στο φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, µπορούν να εξηγήσουν το σύνολο σχεδόν των διαφορών στο προϊόν ανά εργαζόµενο που παρατηρούµε στον πραγµατικό κόσµο. Για παράδειγµα, αν οι αναπτυγµένες χώρες 1 έχουν κεφάλαιο ανά εργαζόµενο 20 φορές υψηλότερο από τις λιγότερο αναπτυγµένες χώρες 2, διπλάσια συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών (Α1=2Α2) και τριπλάσια αρχική αποδοτικότητα της εργασίας (h1(0)=3h2(0)), τότε η (1.34) προβλέπει ότι στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης θα έχουν κατά περίπου 10 φορές υψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδηµα. Ωστόσο, η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και η αποδοτικότητα της εργασίας δεν εξηγούνται από το υπόδειγµα του Solow, αλλά θεωρούνται εξωγενείς. Εποµένως, θα µπορούσε κανείς να πει ότι το υπόδειγµα αυτό δεν εξηγεί τη διαδικασία της µεγέθυνσης, αλλά κατά βάση την υποθέτει. 8 Για αυτό και το υπόδειγµα αυτό, όπως και άλλα υποδείγµατα που βασίζονται σε αντίστοιχες υποθέσεις για την τεχνολογία της παραγωγής, κατατάσσεται στην κατηγορία των υποδειγµάτων εξωγενούς µεγέθυνσης, καθώς υποθέτει ότι η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A, η αρχική αποδοτικότητα της εργασίας h(0), και η τεχνολογική πρόοδος που αυξάνει την αποδοτικότητα της εργασίας µε ρυθµό g, είναι εξωγενείς παράµετροι. 1.6.3 Σύγκλιση Υπό Προϋποθέσεις Η προηγούµενη ανάλυσή µας καθιστά σαφές ότι η διαδικασία της σύγκλισης που προβλέπει το υπόδειγµα του Solow δεν είναι σύγκλιση στο ίδιο κατά κεφαλήν εισόδηµα για όλες τις οικονοµίες. Το κατά κεφαλήν εισόδηµα στο οποίο συγκλίνει µια οικονοµία προσδιορίζεται από την (1.35) ως α N y sa *(t) = A(k*) α h(0)e gt 1 α = A (1.39) n + g + δ h(0)e gt Στο βαθµό που παράµετροι όπως το ποσοστό αποταµίευσης και επενδύσεων s, η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A, ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού n, το ποσοστό απόσβεσης δ και το αρχικό ανθρώπινο κεφάλαιο (αποδοτικότητα της εργασίας) h(0) διαφέρουν µεταξύ δύο οικονοµιών, τότε οι οικονοµίες θα συγκλίνουν προς διαφορετικά επίπεδα κατά κεφαλήν εισοδήµατος, ακόµη και αν στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης το κατά κεφαλήν εισόδηµά τους µεγεθύνεται µε τον ίδιο ρυθµό τεχνολογικής προόδου (αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας) g. Οι Mankiw, Romer και Weil (1992) γενίκευσαν το υπόδειγµα του Solow, εξηγώντας τις διαφορές στην αποδοτικότητα 8 της εργασίας µεταξύ των χωρών στη βάση των επενδύσεων που κάνουν σε ανθρώπινο κεφάλαιο (εκπαίδευση εργατικού δυναµικού). Διατήρησαν όµως την υπόθεση ότι η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό g. Το γενικευµένο υπόδειγµα του Solow στο οποίο κατέληξαν δείχνει να εξηγεί αρκετά ικανοποιητικά την µεταπολεµική εµπειρία 98 µη πετρελαιοπαραγωγών χωρών µετά το 1960. Βλ. επίσης Jones (2002) καθώς και το κεφάλαιο 6 για γενικευµένα υποδείγµατα οικονοµικής µεγέθυνσης µε επενδύσεις τόσο σε φυσικό όσο και σε ανθρώπινο κεφάλαιο. N18

Η σύγκλιση προς διαφορετικά επίπεδα κατά κεφαλήν εισοδήµατος, τα οποία εξαρτώνται από τις παραµέτρους που χαρακτηρίζουν τη διάρθρωση των οικονοµιών, ονοµάζεται σύγκλιση υπό προϋποθέσεις (conditional convergence). Το κατά κεφαλήν εισόδηµα στο οποίο συγκλίνουν οι οικονοµίες στο υπόδειγµα του Solow, αλλά και στα υπόλοιπα υποδείγµατα εξωγενούς µεγέθυνσης τα οποία θα αναλύσουµε στα επόµενα κεφάλαια, εξαρτάται από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Η σύγκλιση που προβλέπει το υπόδειγµα του Solow είναι σύγκλιση προς το κατά κεφαλήν εισόδηµα το οποίο προσδιορίζεται από τις διαρθρωτικές παραµέτρους της κάθε οικονοµίας. Δεν συγκλίνουν όλες οι οικονοµίες προς το ίδιο κατά κεφαλήν εισόδηµα. Κάθε οικονοµία συγκλίνει προς το κατά κεφαλήν εισόδηµα που προσδιορίζεται από τις δικές της τεχνολογικές, πληθυσµιακές και αποταµιευτικές (επενδυτικές) παραµέτρους. 1.6.4 Η Πορεία της Σύγκλισης µε Συνάρτηση Παραγωγής Cobb Douglas Για το υπόδειγµα του Solow µε συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas προκύπτει ότι µπορούµε να υπολογίσουµε αναλυτικά όχι µόνο τα µεγέθη στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, όπως κάναµε ως τώρα, αλλά και την εξέλιξη των µεγεθών στην πορεία της σύγκλισης. Αυτό συµβαίνει διότι η διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού που χαρακτηρίζει την πορεία της σύγκλισης στο υπόδειγµα αυτό έχει τη µορφή µιας εξίσωσης Bernoulli, η οποία µπορεί να µετατραπεί σε γραµµική εξίσωση στο λόγο κεφαλαίου-προϊόντος, και έτσι να επιλυθεί αναλυτικά. Με συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas το προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, N y(t) = Ak(t) α (1.4) Η προσαρµογή του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται κατά συνέπεια από, N k (t) = sak(t) α (n + g + δ )k(t) (1.40) Αυτή είναι µία εξίσωση Bernoulli, η οποία µπορεί να µετατραπεί σε γραµµική αν ορίσουµε µία νέα µεταβλητή z, σύµφωνα µε, 9 N z(t) = k(t) (1.41) y(t) = 1 A k(t)1 α Η µεταβλητή αυτή δεν είναι άλλη από το λόγο κεφαλαίου προϊόντος. Από την (1.41) προκύπτει ότι, N z (t) = z(t) (1.42) k(t) k (t) = 1 α A k(t) α k (t) Αντικαθιστώντας την (1.40) στην (1.42) έχουµε, 9 Η µέθοδος αυτή επίλυσης προτείνεται από τον Jones (2002). N19

N z (t) = (1 α )s λz(t) (1.43) όπου λ=(1-α)(n+g+δ). Η παράµετρος λ δεν είναι παρά η ταχύτητα της σύγκλισης. Η (1.43) είναι µία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού στη µεταβλητή z (το λόγο κεφαλαίου προϊόντος), και µπορεί να επιλυθεί ως, s N z(t) = (1.44) n + g + δ + z s 0 n + g + δ e λt όπου, N z 0 = 1 είναι ο αρχικός λόγος κεφαλαίου-προϊόντος. A k 1 α 0 Αντικαθιστώντας από τον ορισµό του λόγου κεφαλαίου προϊόντος µε συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, η σύγκλιση του κεφαλαίου και του προϊόντος ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, As N k(t) = ( 1 e λt ) + k 1 α 0 e λt 1 α (1.45) n + g + δ As N y(t) = A ( 1 e λt ) + y 1 α 1 α 0 α (1.46) n + g + δ A e λt Το όριο των (1.45) και (1.46), καθώς ο χρόνος τείνει προς το άπειρο, είναι η πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, όπως προσδιορίζεται από τις (1.30) και (1.31). 1.7 Δυναµικές Προσοµοιώσεις του Υποδείγµατος του Solow 1 α Προκειµένου να δούµε στην πράξη τη διαδικασία της δυναµικής προσαρµογής που προβλέπει το υπόδειγµα του Solow, µπορούµε να προσοµοιώσουµε στον υπολογιστή, για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων του υποδείγµατος, τη µετάβαση από µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης σε µία άλλη, όταν υπάρξει µία εξωγενής µόνιµη µεταβολή σε µία συγκεκριµένη παράµετρο, όπως για παράδειγµα το ποσοστό αποταµίευσης ή η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών. Προκειµένου να προσοµοιώσουµε το υπόδειγµα στον υπολογιστή θα το µετατρέψουµε από υπόδειγµα συνεχούς χρόνου σε υπόδειγµα διακριτού χρόνου (βλ. Παράρτηµα Κεφ. 1). Σε διακριτό χρόνο, η εξίσωση συσσώρευσης του κεφαλαίου, ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, δίνεται από, 1 N k t+1 = ( (1.47) (1+ n)(1+ g) sf (k ) + (1 δ )k t t ) N20

Μπορεί εύκολα να δείξει κανείς διαγραµµατικά (βλ. Διάγραµµα 1.5), ότι η εξίσωση διαφορών (1.47) συγκλίνει σε µία µοναδική ισορροπία. Η διαδικασία της σύγκλισης προσδιορίζεται από την (1.47) και η ισορροπία στην οποία γίνεται η σύγκλιση προσδιορίζει την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Για τις ανάγκες της προσοµοίωσης θα υποθέσουµε ότι η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή Cobb Douglas, α N y t = f (k t ) = Ak t (1.48) όπου A>0 είναι η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών, και 0<α<1 ο εκθέτης (µερίδιο) του κεφαλαίου στην συνάρτηση παραγωγής. 1-α είναι ο εκθέτης της εργασίας. Αντικαθιστώντας την (1.48) στην (1.47), η εξίσωση συσσώρευσης του κεφαλαίου δίνεται από, 1 N k t+1 = ( (1.49) (1+ n)(1+ g) sak α t + (1 δ )k t ) Από την (1.49), το κεφάλαιο ισορροπίας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης δίνεται από, sa 1 α N k* = (1.50) (1+ n)(1+ g) (1 δ ) Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι συνάρτηση του k. 1 Η παραγωγή δίνεται από την (1.48). Η κατανάλωση δίνεται από, α N c t = (1 s)ak t (1.51) Τέλος, το πραγµατικό επιτόκιο και ο πραγµατικός µισθός δίνονται από, α N r t = α Ak 1 t δ (1.52) α N w t = (1 α )Ak t (1.53) Επιλύοντας την (1.49) στον υπολογιστή, για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων, µπορούµε να υπολογίσουµε τη δυναµική προσαρµογή του κεφαλαίου προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης που δίνεται από την (1.46). Η δυναµική προσαρµογή των άλλων µεταβλητών µπορεί να υπολογισθεί κατόπιν από τις (1.48), (1.51), (1.52) και (1.53). 10 Στο Διαγράµµα 1.6 παρουσιάζουµε τη δυναµική προσαρµογή του υποδείγµατος του Solow µετά από µία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης s κατά 5%. Στο Διάγραµµα 1.7 παρουσιάζουµε τη Η προσοµοίωση του συγκεκριµένου υποδείγµατος µπορεί να γίνει είτε µε ένα γενικό υπολογιστικό λογισµικό (π.χ το 10 Excel ή κάποιο άλλο υπολογιστικό φύλλο), είτε µε κάποιο εξειδικευµένο µαθηµατικό λογισµικό όπως η Matlab. Η προσοµοίωση αυτή, όπως και οι υπόλοιπες προσοµοιώσεις που παρουσιάζονται στο βιβλίο αυτό χρησιµοποιούν τη Matlab. N21