ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές Εξισώσεις Μετασχηµατισµοί Laplae Καταστατικών Εξισώσεων b I X Y H Συνάρτηση Μεταφοράς 2
Μετασχηµατισµοί Διανύσµατος Κατάστασης Ισοδύναµα Συστήµατα b I X Y H Έστω ένα σύστηµα {Α, b,, } µε Συνάρτηση Μεταφοράς ν P ένας αντιστρέψιµος Πίνακας, ποιά είναι η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήµατος {, b,, }; P Pb b PP 3
Από τη Συνάρτηση Μεταφοράς στη Κρουστική Απόκριση b I X Y H Συνάρτηση Μεταφοράς } { } { b I L U Y L h δ Κρουστική Απόκριση 4
Δυναµοσειρές Τετραγωνικών Πινάκων Από το Εκθετικό Σήµα x a e u a X a, Re{ } > a a στο Εκθετικό Σήµα Πίνακα x e u X L{ x }...; 5
Μετασχηµατισµός Laplae Πίνακα } { n n I x L X } { } { b I L X Y L h δ } { b e X Y L h δ και εποµένως η Κρουστική Απόκριση θα δίνεται από τη Σχέση: Άρα: 6
Μετασχηµατισµοί Laplae Καταστατικών Εξισώσεων Αποκρίσεις Μηδενικής Κατάστασης & Μηδενικής Εισόδου Καταστατικές Εξισώσεις bx y x Μονόπλευροι Μετασχηµατισµοί Laplae Καταστατικών Εξισώσεων I I bx Y I b Y Απόκριση Μηδενικής Εισόδου zi I b X Y z Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης 7
Χώρος Κατάστασης - Πίνακας Μετάβασης Ας υποθέσουµε την Οµογενή καταστατική εξίσωση µε αρχικό καταστατικό διάνυσµα. Μπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι το διάνυσµα κατάστασης x µπορεί να γραφεί ως Φ όπου Φ e ο Πίνακας Καταστατικής Μετάβασης. 8
Χώρος Κατάστασης-Πίνακας Μετάβασης Ιδιότητες Πίνακα Καταστατικής Μετάβασης. Φ Φ I Φ Φ Φ Φ Χρονική αµεταβλητότητα 9
Χώρος Κατάστασης -Εξίσωση Καταστατικής Μετάβασης Λύση Δυναµικών Εξισώσεων Αν µας δίνονται οι δυναµικές εξισώσεις: Εξίσωση Κατάστασης: bx Εξίσωση Εξόδου: y x πως µπορούµε να εκφράσουµε τις λύσεις τους µε την βοήθεια του Πίνακα Μετάβασης;
Χώρος Κατάστασης-Εξίσωση Καταστατικής Μετάβασης Λύση Δυναµικών Εξισώσεων τ τ τ bx Φ Φ x bx y Φ Φ τ τ τ Λύσεις δυναµικών εξισώσεων µε αρχική συνθήκη στο ο
τ τ τ bx Φ Φ x bx y Φ Φ τ τ τ Χώρος Κατάστασης-Εξίσωση Καταστατικής Μετάβασης Λύση Δυναµικών Εξισώσεων Λύσεις δυναµικών εξισώσεων µε αρχική συνθήκη στο ο 2
ΦΕΦΕ-Ασυµπτωτική-ΦΕΦΚ Ευστάθεια Εξίσωση Κατάστασης bx Οµογενής Εξίσωση Κατάστασης,, Θα λέµε ότι το δυναµικό σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές αν και µόνο αν lim, ή ισοδύναµα αν και µόνο αν limφ Ο 3
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα Υποθέσεις: Ας υποθέσουµε ότι µας δίνεται η τριάδα {Α, b, } που περιγράφει το σύστηµα στο χώρο κατάστασης. Ας υποθέσουµε επίσης ότι γνωρίζουµε την είσοδο x και µπορούµε να µετράµε την έξοδο y. Ερώτηµα. Μπορώ να υπολογίσω το διάνυσµα κατάστασης ; 4
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα Υποθέσεις: Ας υποθέσουµε ότι µας δίνεται η τριάδα {Α, b, } που περιγράφει το σύστηµα στο χώρο κατάστασης. Ας υποθέσουµε επίσης ότι γνωρίζουµε την αρχική κατάσταση. Ερώτηµα 2. Μπορώ να βρω ένα σήµα το οποίο αν το εφαρµόσω στην είσοδο του συστήµατος να οδηγήσω σε πεπερασµένο χρόνο το σύστηµα στην κατάσταση ; 5
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα Δεδοµένων της Εξίσωσης Κατάστασης και της Εξίσωσης Εξόδου bx y x θα λέµε ότι η κατάσταση του δυναµικού συστήµατος είναι παρατηρήσιµη τη χρονική στιγµή αν υπάρχει πεπερασµένο > τέτοιο ώστε αν γνωρίζουµε την είσοδο x και την αντίστοιχη έξοδο στο, να µπορούµε να υπολογίζουµε την κατάσταση. Αν αυτό ισχύει για κάθε θα λέµε ότι το αντίστοιχο σύστηµα είναι παρατηρήσιµο. Πίνακας Παρατηρησιµότητας O [ ] T T 2 T n... T, 6
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα Δεδοµένης της Εξίσωσης Κατάστασης bx θα λέµε ότι η κατάσταση του δυναµικού συστήµατος είναι ελέγξιµη τη χρονική στιγµή αν υπάρχει πεπερασµένο > τέτοιο ώστε για κάθε υπάρχει είσοδος x [ ], που µπορεί να οδηγήσει την σε οποιαδήποτε επιθυµητή κατάσταση. Αν αυτό ισχύει για κάθε θα λέµε ότι το αντίστοιχο σύστηµα είναι ελέγξιµο. Πίνακας Ελεγξιµότητας C, b [ ] b b 2 n b... b 7
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα To κλασσικό e της ορίζουσας των µητρώων To e των Popov-Belevih-Hauu PBH. To ζευγάρι {Α, } δεν είναι παρατηρήσιµο όταν και µόνο όταν: q : q λq, q 2. To ζευγάρι {Α,b} δεν είναι ελέγξιµο όταν και µόνο όταν: q : q λq, q b 8
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα x Η2 Η y x 2 2 2 u 2 y y y e e * x u 9
Παρατηρησιµότητα- Ελεγξιµότητα x Η Η2 y x 2 y 2 2 2 y y y y e e e e * x u 2 2