ΚΕΦ.6 Σχεδιασµός FIR φίλτρων Λύσεις των ασκήσεων

ΚΕΦ.6 Σχεδιασµός FIR φίλτρων Λύσεις των ασκήσεων Άσκηση Ποια είναι η αόκριση συχνότητας σε ένα φίλτρο µέσης τιµής (averager) (α) -σηµείων (β) σηµείων (α) -σηµεία Ένα φίλτρο µέσης τιµής (averager) -σηµείων δίνεται αό τον τύο: y(n)= [ xn ( ) xn ( ) xn ( 2)... xn ( 8)] + + + + Παίρνουµε τον µετασχηµατισµό z και έχουµε: 2 8 Y( z) = [ X( z) + z X( z) + z X( z) +... + z X( z)] Y( z) H συνάρτηση µεταφοράς: H( z) = X ( z) 2 8 H ( z) = [ + z + z +... + z ] jw Για να βρούµε την αόκριση συχνότητας αντικαθιστούµε z = e jω 2 jω 8 jω H( ω) = [ + e + e +... + e ] 4 jω 4 jω 3jω 2 jω jω jω 2 jω 3jω 4 jω H( ω) = e [ e + e + e + e + + e + e + e + e ] 4 jω H( ω) = e [ + 2cosω + 2cos(2 ω) + 2cos(3 ω) + 2cos(4 ω)] Το µέτρο της Η(ω) = [ + 2cosω + 2cos(2 ω) + 2cos(3 ω) + 2cos(4 ω) ] ενώ η φάση Θ(ω)=4ω Για τους µηδενισµούς έχουµε: Άρα 2 j k k z = z = e k=,, 8 z H z z z z z ( ) = [ + 2 8 + +... + ] = ( ) Το διάγραµµα µηδενισµών και η αόκριση µέτρου φαίνονται στο εόµενο σχήµα Im.8.6 8 7.4 6.2 5 -.2 4 -.4 3 -.6 2 -.8 - - -.5.5 Re 2/ 4/ 6/ 8/ (β) σηµείων Εαναλαµβάνουµε την ροηγούµενη διαδικασία για τον averager -σηµείων

Η συνάρτηση µεταφοράς του είναι : Y( z) 2 8 H( z) = = [ + z + z +... + z X( z) και η αόκριση συχνότητας H = e + + + + 2 8 z Για τους µηδενισµούς: H( z) = [ + z + z +... + z ] = ( ) z jω ( ω) [ 2cosω 2cos2 ω... 2cos ω] 2 j k δηλαδή ρέει: z = zk = e k=, 2, 8 ιάγραµµα µηδενισµών και αόκριση µέτρου δεικνύονται στα εόµενα διαγράµµατα.8 Im.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 - - -.5.5 Re 2 Άσκηση 2 ιαµορφώστε ( modulate) το φίλτρο της ροηγούµενης άσκησης ώστε να γίνει ζωνοδιαβατό κεντρικής συχνότητας ω= 3. Πολλαλασιάζουµε (διαµορφώνουµε) την αρχική κρουστική αόκριση µε το σήµα cos(nω)=cos(/3) Έχουµε: Έχουµε: h() = / =. h(-) = h() = /8 =.556 h(-2) = h(2) = -/8 = -.556 h(-3) = h(3) = -/ =. h(-4) = h(4) = -/8 = -.556 cos h(n) = 3 4 n 4 n > 4 /3 2

Άσκηση 3 Με την µέθοδο των αραθύρων (αντίστροφου Μετασχ. Fourier) να βρεθεί η κρουστική αόκριση h(n) των εξής 5 ης τάξεως FIR φίλτρων: α) Ιδανικό βαθυερατό µηδενικής φάσεως µε συχνότητα αοκοής ω =.4, ενίσχυση στη ζώνη διέλευσης = και µηδέν στη ζώνη αοκοής. β) Ιδανικό υψιερατό φίλτρο µε συχνότητα αοκοής ω =.8 και χαρακτηριστικά ενίσχυσης όως στο α). (α) Βαθυερατό φίλτρο ω =.4. (Θεωρούµε ορθογώνιο αράθυρο) Γνωρίζουµε ότι η κρουστική αόκριση για ένα βαθυερατό φίλτρο συχνότητας ω sin(nω ) αοκοής ω =.4 δίνεται αό τη σχέση : h(n) = sin(nω ) = nω Υολογίζουµε τους συντελεστές:.4 h() = =.4.4 sin(.4 ) h() = h( ) = =.327 Αόκριση συχνότητας h(2) = h( 2) =.35.8 h(3) = h( 3) =.623 h(4) = h( 4) =.757.4 h(5) = h( 5) = h(6) = h( 6) =.54 h(7) = h( 7) =.267.4 β) Υψιερατό φίλτρο συχνότητας αοκοής ω =.8 και χαρακτηριστικά όως το α) Σχεδιάζουµε το αντίστοιχο βαθυερατό φίλτρο µε συχνότητα αοκοής.8 =.2 και στη συνέχεια το διαµορφώνουµε σε υψιερατό ολλαλασιάζοντας το µε cos(). Το βαθυερατό φίλτρο έχει τη µορφή: sin( n.2 ) hn ( ) = sin( n.2 ) = Υολογίζουµε τους συντελεστές του βαθυερατού φίλτρου h() =.2 h() = h( ) =.87 h(2) = h( 2) =.53 h(3) = h( 3) =. h(4) = h( 4) =.467 h(5) = h( 5) = h(6) = h( 6) =.32 h(7) = h( 7) =.432 3

Για το σχεδιασµό του αντίστοιχου υψιερατού φίλτρου αο τη σχέση h( n) h( n)*cos( ) = βρίσκουµε τους συντελεστές του υψιερατού φίλτρου: h () =.2 h() = h( ) =.87 h(2) = h( 2) =.53 h(3) = h( 3) =. h(4) = h( 4) =.467 h(5) = h( 5) = h(6) = h( 6) =.32 h(7) = h( 7) =.432 Άσκηση 4 Να βρεθούν και να σχεδιαστούν οι τιµές αραθύρων:a) Von Hann µε όρους β) Hamming µε 3 όρους. α) Γενικά: w (n) =.5 +.5 cos, -M n M M + Εδώ είναι 2Μ+= Μ=5 Άρα w (n) =.5 +.5cos, -5 n 5 6 Υολογίζουµε τους συντελεστές του αραθύρου: w() =.5+.5 = w(-) = w() =.5+.5..866 =.33 w(-2) = w(2) =.75 w(-3) = w(3) =.5 w(-4) = w(4) =.25 w(-5) = w(5) =.67 β) w (n) =.54 +.46 cos, -M n M M Είναι 2Μ+=3 Μ=6 Άρα w ( n) =.54 +.46 cos, -6 n 6 6 Υολογίζουµε τους συντελεστές του αραθύρου: w() = w(-) = w() =.384 w(-2) = w(2) =.77 w(-3) = w(3) =.54 w(-4) = w(4) =.3 w(-5) = w(5) =.46 w(-6) = w(6) =.8 4

Άσκηση 5 Να σχεδιαστεί ένα βαθυερατό φίλτρο µε αράθυρο (µέθοδο) Kaiser, είεδο κυµάτωσης δ=.2, και µεταβατική ζώνη ω=.. Να βρεθεί η τιµή της αραµέτρου α και το µήκος του αραθύρου 2Μ+. Θα αρχίσουµε εκφράζοντας το είεδο κυµάτωσης σε db: A = 2logδ Α= 54dB Εειδή Α>5dB, η αράµετρος α υολογίζεται αό τον (εµειρικό) τύο: α =.2(Α-8.7) α = 4.2 Για το αράθυρο Kaiser, ο αριθµός των συντελεστών του φίλτρου ισούται µε: A 7.5 M M 32.68 M = 33 4.36 f Άρα 2Μ+=67 (Παρατήρηση: Η τιµή f είναι σε δείγµατα/κύκλο και όχι σε rad/κύκλο. Αρα ω=. f=.5) Άσκηση 6 Να εαναληφθεί η διαδικασία της άσκησης 5 για υψιερατό φίλτρο µε δ=.5 και ω=.5. Αρχικά θα εκφράσουµε το είεδο κυµάτωσης σε db. A=-2logδ Α=46 db Εειδή 2<Α<5 η αράµετρος α θα υολογιστεί αό τον τύο :.4 a =.5842( A 2) +.7886( A 2) a = 4.886 Για το αράθυρο Kaiser, ο αριθµός των συντελεστών του φίλτρου ισούται µε : A 7.5 M M 7.66 4.36 f Ειλέγουµε Μ=8 Άρα 2Μ+=37 5

Άσκηση 7 Ένας αλός διαφοριστής µορεί να εριγραφεί ως εξής : α) y(n)= x(n)-x(n-) β) y(n)=.5[x(n)-x(n-2)] Να σχεδιαστεί η αόκριση συχνότητας για <ω< Πόσο διαφέρει αό τον ιδανικό διαφοριστή στη συχνότητα ω=.2 ; α) Αρχικά βρίσκουµε την αόκριση συχνότητας του διαφοριστή. yn ( ) = xn ( ) xn ( ) H( z) = z Με το matlab σχεδιάζουµε τη ζητούµενη αόκριση συχνότητας Για συχνότητα ω=.2 η αόκλιση της αόκρισης συχνότητας αό τον ιδανικό διαφοριστή ου έχει γραµµική µορφή θα δοθεί αό τον τύο. i(.2 ) =.2 ( e ) =.. β) y(n)=.5{x(n) x(n-2)} Βρίσκουµε την αόκριση συχνότητας του διαφοριστή. 2 Είναι H( z) =.5.5z Σχεδιάζουµε την αόκριση συχνότητας. Η αόκλιση για τη συχνότητα.2 θα δοθεί αό τον τύο. 2(.2 i ) =.2 (.5.5 e ) =. Η(ω) Η(ω).2.5 2 ω rad ω Άσκηση 8 Ένα φίλτρο FIR 7 ης τάξεως σχεδιάζεται µε την µέθοδο Fourier ώστε να ροσεγγίζει την αόκριση ενός υψιερατού φίλτρου µε συχνότητα αοκοής ω=/2 και ενίσχυση στη ζώνη διέλευσης. Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου µε τετραγωνικό αράθυρο και µε αράθυρο Hamming α) Βρίσκουµε τους συντελεστές για το βαθυερατό φίλτρο µε συχνότητα αοκοής ω=/2 : ω sin(nω ) h(n) = sin(nω ) =. Για την συχνότητα του (βαθυερατού) ω =/2 nω αφού -/2= /2 Οι συντελεστές του βαθυερατού είναι: h() =.5 h() = h( ) =.383 h(2) = h( 2) = h(3) = h( 3) =.6 6

Πολλαλασιάζοντας µε cos() βρίσκουµε τους συντελεστές του υψιερατού h() =.5 h() = h( ) =.38 h(2) = h( 2) = h(3) = h( 3) =.6 Άρα το υψιερατό φίλτρο θα έχει την εξής συνάρτηση µεταφοράς 2 3 4 6 H( z) =.6.38z +.5z.38z +.6z β) Για να βρούµε τη συνάρτηση µεταφοράς µε αράθυρο Hamming ολλαλασιάζουµε τους συντελεστές ου βρήκαµε µε τους συντελεστές Hamming ου είναι:.8.3.77..77.3.8 Άρα η ζητούµενη συχνότητα αναφοράς είναι η 2 3 4 6 H( z) =.8.245z +.5z, 245z +.8z Άσκηση Να σχεδιασθεί ένα FIR βαθυερατό φίλτρο µε την µέθοδο των αραθύρων και µε τις εξής ροδιαγραφές: Ζώνη διέλευσης -khz Ζώνη αοκοής 22kHz Εξασθένηση στην ζώνη αοκοής 74dB Συχνότητα δειγµατοληψίας 5kHz Α. Βρίσκουµε τη ζώνη µετάβασης f=22-=2khz Β. Τη συχνότητα αοκοής : f =khz+2/2khz=6khz Γ. Μετατρέουµε σε ψηφιακές κανονικοοιηµένες συχνότητες (rad): ω =2 f /f s =.64 ω=2 2/5=.48. Υολογίζουµε τους συντελεστές; sinnω sin(n.64) h (n) = = - <n< Ε. Για την εξασθένηση των 74dB ειλέγουµε αράθυρο Blackman. Άρα ο αριθµός των συντελεστών Ν είναι : Ν=/ ω= =22. 23.48 Και οι συντελεστές του αραθύρου (Blackman) είναι w(n)=.42+.5cos(2/22)+.8cos(4/22) w(n)= {..67.873.736 h()=.64 w()= h()=.64 h()=h(-)=.288 w()=w(-)=.67 h()=h(-)=.2785 h(2)=h(-2)=-.23 w(2)=w(-2)=.873 h(2)=h(-2)= -.75 h(3)=h(-3)=-.26 w(3)=w(-3)=.736 h(3)=h(-3)= -. h(2)=h(-2)= 7

Άσκηση Να σχεδιασθεί ένα FIR ζωνοδιαβατό φίλτρο για σύστηµα µε συχνότητα δειγµατοληψίας 22kHz και ζώνη διέλευσης 3.5 έως 4.5 khz. Oι ζώνες µετάβασης είναι 5Hz και η εξασθένηση στη ζώνη αοκοής είναι 5dB. khz 4kHz Μετατρέουµε τις ροδιαγραφές για το αντίστοιχο βαθυερατό φίλτρο: f =5+5/2=75 Hz Ψηφιακή κανονικοοιηµένη: ω = 2f /f s =.688 και ω=25/22 sin(.688) h LP (n)= Ειλέγουµε αράθυρο Hamming Ν= 6.6/ ω=45.2 47 (και η 45 είναι αοδεκτή τιµή) H συνάρτηση αραθύρου είναι: w(n)=.54+.46cos(2/46) Έχοντας βρει τους συντελεστές της βαθυερατής συνάρτησης την µετατοίζουµε στη συχνότητα ω ο =24/22=.3636 Άρα οι συντελεστές γίνονται: h BP (n)= h LP (n)w(n)cos(nω ο ) -73<n<73-5 -2.5 2.5 5 7.5 khz.75khz Άσκηση Να σχεδιασθεί ένα FIR φίλτρο αόρριψης ζώνης (bandstop ) ου να αοκότει συχνότητες µεταξύ 4 και 8 Hz και µε συχνότητα δειγµατοληψίας khz. ίδεται το µήκος του φίλτρου Ν=5 και το αράθυρο Hamming. To φίλτρο αυτό θα ροέλθει σαν άθροισµα ενός βαθυερατού µε συχνότητα αοκοής 4 Hz και ενός υψιερατού µε συχνότητα 8 Hz ή αντίστοιχα ω LP =24/=.8 και ω HP =28/=.6 Εειδή το αράθυρο έχει ροειλεγεί έχουµε w(n)=.54+.46cos(2/5) -75 n 75 Για το βαθυερατό έχουµε: sin(.8) h LP (n)= -75 n 75 Για το ηψιερατό σχεδιάζουµε ρώτα το αντίστοιχο βαθυερατό µε sin(.84) ω p = -.6 =.84 h p (n)= h HP (n)= (-) n sin(.84) -75 n 75 4 8 5 Hz 8

To ζητούµενο φίλτρο αοκοής θα έχει συντελεστές το άθροισµα των αραάνω δύο διαµορφωµένο µε τις τιµές του αραθύρου w(n): sin(.8) h BR (n) ={ +(-) n sin(.84) }w(n) -75 n 75.5 H (ω ) Αόκριση συχνότητας µε τετραγωνικό αράθυρο.5 ω 2 3 4 5 Η z.5 Αόκριση συχνότητας µε αράθυρο Hamming.5 2 3 4 5