Σχεδιασµός Φίλτρων µε τηµέθοδο των παραθύρων

Transcript

1 Σχεδιασµός Φίλτρων µε τηµέθοδο των παραθύρων (ή µέθοδο Μετ/σµού. Fourier) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ

2 Βασίζεται στον αντίστροφο µετ/σµό Fourier (IDTFT). ηλ. δίνεται η µορφή της απόκρισης συχνότητας Η(ω) και ζητείται η αντίστοιχη h(n) h( n) = 2π π π H ( e jω ) e jnω dω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 2

3 Συνήθως εφαρµόζεται για απλές µορφές Η(ω) Το βασικό πρόβληµα στη µέθοδοαυτήείναιοαριθµόςαριθµός των συντελεστών h(n) που πρέπει να επιλεγούν. Η µέθοδος αρχίζει µε την υλοποίηση ιδανικής µορφής βαθυπερατού φίλτρου Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 3

4 Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 4 -π - ω ω π ω Η(ω) Επιθυµητή Η(ω) Εύρεση του h(n) ) ( sin ) sin( ) (. ) ( ) ( ω π ω π ω ω ω ω ω ω ω π ω ω ω π ω π π π n c n n n h jn e d e d e n h jn jn jn = = = = Η =

5 παράδειγµα Θα υπολογισθούν οι συντελεστές h(n) για ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω =π/5 sin( nω) h( n) = nπ ω =π/5 h(n) = sin(n nπ π 5 ) h(n) = [ ].3.2. h(n) 33 συντελεστές n Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 5

6 h(n) = sin(n nπ π 5 ) >> n= -2::2, h = sin(n*pi/5)./ (n*pi) h(n)? n Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 6

7 Aποκοπή.3 h(n).2. n Γιαναέχεινόηµα το φίλτρο πεπερασµένου µήκους (FIR) πρέπει να κρατήσουµε έναν πεπερασµένο µόνο αριθµό απότους συντελεστές h(n) δηλ. να κάνουµε αποκοπή. Η αποκοπή αυτή αλλοιώνει την αρχική ιδανική βαθυπερατή συνάρτηση της οποίας είναι προσέγγιση. Η προσέγγιση είναι η βέλτιστη µε την έννοια του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος ηλ. είναι ελάχιστο το σφάλµα e = Η (ω) Η (ω)dω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 7 2π d a

8 .3 h(n).2. n Ηαποκοπήεκφράζεται καλύτερα µε την έννοια του παραθύρου Είναι πράξη πολλαπλασιασµού της (άπειρης) ακολουθίας h(n) µε ένα ορθογώνιο παράθυρο w(n) πεπερασµένου µήκους Ν. Ηέννοιατουπαραθύρου µας δίνει την δυνατότητα γενίκευσης της αποκοπής µε ταυτόχρονη διαµόρφωση των συντελεστών h(n). Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 8

9 α)ιδανική άπειρη κρουστική απόκριση β) ορθογώνιο παράθυρο γ) η πραγµατική απόκριση.3.2. h (n) (α).5.5 H (ω) n w(n) (β).5 xπ ω 5 5 W(ω) h(n) (γ).5 Η(ω) h(n) = h (n) w(n) H(ω) ω)=η (ω) W( W(ω) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 9

10 Αποκλίσεις: εµφάνιση ζώνης µετάβασης και πεπερασµένη τιµή τηςελάχιστης εξασθένισης που είναι ανεξάρτητη του µήκους του παραθύρου (περίπου 2dB) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ

11 Βελτίωση: Τριγωνικό παράθυρο w(n)=m+- n -M n M ή πιο απλά: w(n)= [,2,3,4..M,M+,M,.4,3,2, ] παράθυρο Bartlett M + n w(n) = M n 2 (M + ) M παράθυρο Ηanning και Ηamming w(n)=.5+.5 cos{nπ/(m+)} -M n M w(n)= cos{nπ/m} -M n M και Ν=2Μ+ Νοέµβριος 25 ΨΕΣ

12 Triangular Bartlett w(n) w(n) n n w(n) w(n) Hanning n Hamming n Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 2

13 W(ω) 5 Απόκριση συχνότητας ---- Hanning ---- Hamming ---- τριγωνικό Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 3

14 Μέθοδος των παραθύρων -ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ Η(ω) σε db R p Η(ω) +δ -δ Ζώνη µετάβασης A s δ 2 ω p ω s ω ω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 4

15 Η διαδικασία σχεδιασµού βασίζεται στον παρακάτω πίνακα Τύπος παραθύρου Εύρος ζώνης µετάβασης ω (rad) Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N 2 Bartlett 6.π/N 25 Hanning 6.2π/N 44 Hamming 6.6π/N 53 Blackman π/n 74 Eπιλέγεται το παράθυρο από την επιθυµητή εξασθένηση στηζώνηαποκοπής Bρίσκεται η τάξη Ν του φίλτρου από το εύρος της ζώνης µετάβασης sin(nω) h(n) = Στη συνέχεια βρίσκονται οι συντελεστές nπ & διαµορφώνονται από το παράθυρο (h(n). w(n)) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 5

16 Παράθυρο Kaiser Mε τοπαράθυροkaiser γίνεται ένας "συµβιβασµός" µεταξύ του εύρους και της εξασθένησης Ορισµός: w(n) = I o α I o (α) n M 2 2 n x Io(x) n= 2 n! = + Μ n Μ Η D (ω) +δ -δ δ π -δ ω Πρέπει να υπολογίσουµε την παράµετρο α και το Μ που καθορίζει την τάξη του φίλτρου (Ν=2Μ+) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 6

17 Παράθυρο Kaiser - σχεδιασµός Αρχίζει µε τον υπολογισµό τηςπαραµέτρουαπουείναιη εξασθένηση δ σε db: A =-2 log δ Από την τιµή Α επιλέγεται η παράµετρος α ως εξής: α=.2(α-8.7) εάν Α (Α-2) (Α-2) εάν 2<Α<5 εάν Α 2 Επιλέγεται η τάξητουφίλτρου Ν=2Μ+ : M A εύρος Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 7

18 We ve created a Low-pass filter (ideal Pass-Band & modulation with a window); How can we transform it to a Band-pass filter? Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 8

19 Ζωνοδιαβατά φίλτρα Μία βαθυπερατή συνάρτηση Η(ω) µετατοπίζεται στο πεδίο των συχνοτήτων κατά ω ο εάν συνελιχθεί µε τηµοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(ω ο ). ω ο ω ο Επειδή η συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό στο πεδίο του χρόνου, µια ζωνοδιαβατή συνάρτηση προκύπτει από τους συντελεστές του βαθυπερατού φίλτρου αν πολλαπλασιαστούν µε cos( nω ο ) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 9

20 Υψιπερατά φίλτρα Υψιπερατά φίλτρα υλοποιούνται όπως τα ζωνοδιαβατά ω ο ω ο αν η µετατόπιση της συχνότητας είναι ω ο =π Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 2

21 Σχεδιασµός Υψιπερατού, Ζωνοδιαβατού και Απόρριψης ζώνης (φίλτρων). Με διαµόρφωση Μετά την εύρεση του παραθύρου και αντίστοιχης διαµόρφωσης των συντελεστών h(n) του βαθυπερατού φίλτρου, πολλαπλασιάζουµε τους συντελεστές h(n) µε cos(nω ο ) όπου ω ο αντιστοιχεί στη συνολική µετατόπιση της βαθυπερατής απόκρισης. Με την διαδικασία αυτή υλοποιούµε zωνοδιαβατά και υψιπερατά φίλτρα Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 2

22 2. Με συνδυασµό Βαθυπερατών συναρτήσεων. Μία οποιαδήποτε ιδανική συνάρτηση απόκριση συχνότητας µπορεί να υλοποιηθεί σαν άθροισµα βαθυπερατών συναρτήσεων. π.χ. ζωνοδιαβατό h BP =sin(ω 2 n)/(πn)- sin(ω n)/(πn). windowing. ω ω 2 π Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 22

23 Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 23

24 Παράδειγµα Να σχεδιασθεί FIR βαθυπερατό φίλτρο µε προδιαγραφές: f p =.5kHz, f (ζώνη µετάβασης)=.5khz, A s >5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας f s =8kHz Η(ω) σε db R p Η(ω) +δ -δ Ζώνη µετάβασης ω= 2π f/f s A s δ 2 ω p ω s ω >5dB ω c ω p =2π f p /f s Ω= 2π f ω =2π f/f Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 24

25 A s >5dB ---. Επιλέγουµε παράθυρο Hamming Τύπος παραθύρου Εύρος ζώνης µετάβασης ω (rad) Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N 2 Bartlett 6.π/N 25 Hanning 6.2π/N 44 Hamming 6.6π/N 53 Blackman π/n Για την τάξη Ν του φίλτρου από τις προδιαγραφές για το εύρος και τον πίνακα ισχύει : ω= 2π f/f s = 6.6 π/ν 2π.5/8 = 6.6 π/ν.5/8 = 3.3/Ν - Ν= 3.3/(.5/8) = Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 25

26 3. Υπολογίζουµε τους συντελεστές του ιδανικού βαθυπερατού που αντιστοιχούν στη συχνότητα αποκοπής ω c h D (n) = sin(n ω C )/(nπ), n=, ±, ±2, ±3, ±4. Οπότε έχουµε: για n= h D (n)=.4375, n=±.322 n=±2.69 n=± n=± n=± 26 end Η(ω) σε db R p A s Ζώνη µετάβασης ω p ω s ω ω c ω C = 2π f C / f s =2π (f p + f/2)/ f s =.4375π Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 26

27 4. Υπολογίζουµε τους συντελεστές του Ηamming παραθύρου w(n) = cos {π n/ 26} -26 n 26 5.Tελικά διαµορφώνουµε τους συντελεστές του ιδανικού βαθυπερατού h A (n) = h D (n).w(n) Oι συντελεστές τελικά είναι : n= h A (n) =.4377 n=±.33 n=±2.6 n=± n=± n=± x π Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 27 H(ω) (db) π

28 Παράδειγµα Nα σχεδιασθεί FIR φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές ω p =.2π, R p =.25 db, ω s =.3π, Α s =5dB Η(ω) σε db R p Η(ω) +δ -δ Ζώνη µετάβασης R p Α s + δ = 2log δ δ 2 = 2log + δ 2logδ A s 2 δ 2 ω p ω s ω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 28

29 α. Επιλέγεται παράθυρο Hamming διότι αυτό εξασφαλίζει εξασθένιση 5dB στη ζώνη αποκοπής. β. Η επιλογή αυτή ικανοποιεί και τη συνθήκη κυµάτωσης στη ζώνη διέλευσης που είναι.25 db: R A p s + δ p = 2log δ = 2logδ s p = =.25 δ 5 δ s = p = min( δ, δ ) = δ p s s 2. Γιά την τάξη του φίλτρου από τις προδιαγραφές για το εύρος : Ν= 6.6π/ ω =6.6π/(.3π-.2π)= N=67 ` (Προσθέτουµε + για να έχουµε FIR φίλτρο oυ τύπου) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 29

30 3. Υπολογίζουµε τους συντελεστές του ιδανικού βαθυπερατού που αντιστοιχούν στη συχνότητα αποκοπής ω c h D (n) = sin(n ω C )/(nπ), n=, ±, ±2, ±3, ±4. όπου ω c =.2π +(.3π-.2π)/2=.25π 4. Υπολογίζουµε τους συντελεστές του Ηamming παραθύρου w(n) = cos {π n/ 33} -33 n 33 5.Tελικά διαµορφώνουµε τους συντελεστές του ιδανικού βαθυπερατού h A (n) = h D (n).w(n) Οι 5 πρώτοι (n= έως ±4) συντελεστές είναι οι ακόλουθοι:.252,.2248,.579,.737,. Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 3

31 Παράδειγµα Nα σχεδιασθείfir φίλτρο µε παράθυρο Kaiser και τις εξής προδιαγραφές Ζώνη διέλευσης: 5-25 Hz. Ζώνη µετάβασης: 5 Hz Kυµάτωση στη Ζώνη διέλευσης: δ p R p =.db ΕξασθένησηστηΖώνηαποκοπής: δ s A s = 6 db Συχνότητα δειγµατοληψίας ΚΗz Το φίλτρο είναι Ζωνοδιαβατό Σχεδιάζουµε τοαντίστοιχοβαθυπερατόφίλτρο Η(ω) σε db R p Εύρεση των αρχικών συντελεστών h D µε ω c =2π{(25-5)/2+5/2}/=.5 π ΥπολογισµόςτηςτάξεωςΝ=(Α-7.95)/(4.36 f) Το Α υπολογίζεται σε db ως: Α=-2log{min(δ p, δ s )} = 6 f= 5/ N=(6-7.95)/(4.36 x.5)= Η µεταβλητή α=.2(6-8.7)=5.67 Υπολογισµός του παραθύρου w(n)=i o {5.67 [-(n/36) 2 ]}/I o (5.67) h A =h D (n).w(n) -36 n 36 και το ιαµόρφωση του βαθυπερατού για µετατροπή στο ζητούµενο Ζωνοδιαβατό: h(n)= h A cos(n.2π.2/) -36 n 36 Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 3 A s.5..5 ω s ω p ω p2 ω s2 ω h(n) για το βαθυπερατό h(n) για το Zωνοδιαβατό

32 Απόκριση συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου H db συχνότητα Hz Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 32

33 optimal equiripple FIR filter design. Ισοκυµατικά φίλτρα (equiripple filters) Στη µέθοδο των παραθύρων το σφάλµα βρίσκεται κυρίως πλησίον της ζώνης µετάβασης - Αντίθετα εδώ το σφάλµα κατανέµεται σε όλες τις συχνότητες - Ο σχεδιασµός βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του µεγίστου σφάλµατος Η µέθοδος υλοποίησης φέρεται µε το όνοµα Parks - McClellan.4 H(ω) Μέθοδος παραθύρων Μέθοδος ισοκυµατικών Οι κυµατώσεις σχετίζονται µε την τάξη του φίλτρου ω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 33.2

34 Ισοκυµατικά φίλτρα-συνέχεια H(ω) +δ -δ δ ω >> remez Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 34

35 FIR Φίλτρα δειγµατοληψίας συχνότητας.5 H(ω) συχνότητα ω Ηαπόκριση συχνότητας δειγµατοληπτείται στο διάστηµα 2π ( f s ) Με τον IDFT λαµβάνουµε την επιθυµητή κρουστική απόκριση h(n) Fs Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 35

36 Απόκριση σε γραµµική και σε λογαριθµική κλίµακα Η απόκριση διέρχεται από τα σηµεία που έγινε η δειγµατοληψία της απόκρισης συχνότητας Η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής είναι πολύ «φτωχή» Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 36

37 ιαφοριστές x(n) h(n) y(n)=x (n) Χ(ω) H(ω) Υ(ω) Από ιδιότητες DTFT: d dn e jn ω = jω e? jn ω? e jnω H(ω) jω e jnω Aπόκριση συχνότητας Υ(ω)/Χ(ω) : H(ω) = jω Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 37

38 Η(ω)/j π ω Ηκρουστική απόκριση h(n) =IDTF{ H(ω) } είναι: h( n) = n π jωn = jω e dω =... 2π π n = ±, 3, 5... n n = ± 2 4, 6... για n = Σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση των παραθύρων για αποκοπή και «διαµόρφωση» των συντελεστών h(n) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 38

39 Για 2 σηµεία η h(n) είναι h(n) =[ ] h(n).5 n 4 Η(ω) 3 2 Ιδανικός ιαφοριστής σηµείων - ω π Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 39

40 Μία προσέγγιση διαφοριστού µε διαφορά ης τάξεως y(n) = x(n)-x(n-) Υ(ω) =Χ(ω)- e -jω Χ(ω) Υ(ω) = Χ(ω) (-e -jω ) H(ω)=-e -jω = -cosω+jsinω Η(ω) =.=2sin(ω/2) ω για ω<<π π Η(ω) 3 2 ιδανικός πραγµατικός ω π 4

41 Μετασχηµατιστής Hilbert Χ(ω) H(ω) Υ(ω) Απόκριση συχνότητας: Η(ω) = -j sign(ω) Η(ω)/j -Π π ω - π = jωn jnω h(n) H(ω)e dω = je dω + je 2π 2π 2π π για = cos(nπ) nπ n = γιά n π dω =... Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 4 π jnω

42 J. Galvanic Skin Reflex (GSR), Electrodermal Response (EDR) The principle: the Autonomic nervous system in response to emotional stimulus, changes the activity of the sweat glands Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 42

43 the Media Lab at MIT has a program called the Affective Computing Research Project that uses this sensor. Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 43

44 It is popularly known as a lie detector, but is also used in Biofeedback conditioning. The theory is that: the more relaxed you are the dryer your skin is andsothehigherthe skin s electrical resistance. When you are under stress your hand sweats andthentheresistance goes down. The range is reported to be 5K to 25K Ohms. Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 44

45 Νοέµβριος 25 ΨΕΣ 45