KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται αθροίσιµη και το όριο = = lim + = καλείται άθροισµα των όρων της ακολουθίας Σηµείωση Ένα άπειρο άθροισµα + + + + = καλείται σειρά των όρων της ακολουθίας Εάν = (έστω κι αν αυτό είναι ιδιόρρυθµο αφού το σύµβολο = = λ θα λέµε ότι η σειρά συµβολίζει στην καλύτερη περίπτωση έναν αριθµό ή και τίποτα) = συγκλίνει ως όριο µιας ακολουθίας = Ορισµός 5 Η ακολουθία = + + + = καλείται ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς Συνεπώς: Πρόταση 5 Η σειρά µοναδικό οριακό αριθµό και είναι φραγµένη k k = = συγκλίνει αν και µόνον αν η ακολουθία έχει = = + Παράδειγµα Mελετήστε τη σύγκλιση της σειράς: ( ) 83

k + Eχουµε = ( ), άρα = {,0,,0,,0 } k = έχει δύο οριακούς αριθµούς το 0 και το, οπότε η σειρά ( ) +, οπότε η είναι φραγµένη αλλά αποκλίνει = Πρόταση 5 Η σειρά > m> 0, k < ε k= m+ συγκλίνει αν και µόνον αν υπάρχει 0 = : k 0 υπονοεί ότι η ακολουθία είναι Cuchy k= m+ Απόδ Η συνθήκη < ε ( > m> ) και άρα συγκλίνει Παράδειγµα Mελετήστε τη σύγκλιση της σειράς (αρµονική σειρά) = Eχουµε k= + = + + + + = =, άρα k + 0: 0, 0, m 0 : m 0 k k= m+ ε = > = = + > > >, άρα από την άρνηση της Πρότασης 5 προκύπτει ότι = + = Πρόταση 53 Αν η σειρά συγκλίνει, τότε lim 0 = + = Απόδ Από την Πρόταση 5 γνωρίζουµε ότι η σειρά συγκλίνει αν και µόνον = αν k < ε, > m> 0 Aφού αυτή η συνθήκη ισχύει > m> 0 θα ισχύει και k= m+ για = m+ Τότε όµως < ε, οπότε από τον ορισµό έχουµε lim + = 0 Σηµείωση Το αντίστροφο της Πρότασης 53 ΕΝ ισχύει, πχ / 0 αλλά όπως είδαµε = + = Ορισµός 53 Θα λέµε ότι η σειρά συγκλίνει συγκλίνει απόλυτα αν η σειρά = = 84

Πρόταση 54 Αν η σειρά Απόδ k < ε Αρα k k= m+ k= m+ συγκλίνει απόλυτα τότε η σειρά συγκλίνει = k < + k = Το αντίστροφο της Πρότασης 54 ΕΝ ισχύει Όπως θα δούµε παρακάτω η σειρά ( ) + + ( ) <+ αλλά η σειρά = =+ = = = 5 Σειρές θετικών όρων-κριτήρια σύγκλισης Eστω α >0 Τότε η καλείται σειρά θετικών όρων Στην περίπτωση = είναι θετική και = αυτή η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς γνησίως αύξουσα Πρόταση 5 (Κριτήριο σύγκρισης) Αν όρων για τις οποίες ισχύει 0, τότε:, = = είναι δύο σειρές θετικών (i) αν < + τότε = < + = (ii) αν = + τότε = = + = Aπόδ (i) Εστω, είναι οι ακολουθίες των µερικών αθροισµάτων των σειρών, = αντίστοιχα Προφανώς ισχύει 0 = + = Αν λοιπόν ισχύει lim = <+ τότε η ακολουθία είναι φραγµένη άρα συγκλίνει (ii) Aν lim = =+ προφανώς θα ισχύει + = Παραδείγµατα: (i) Να δείξετε ότι <+ = =+ = 85

Εχουµε και εφόσον = = (ως άθροισµα απείρων όρων = γεωµετρικής προόδου), µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο (ii) Να δειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει όταν > ενώ αποκλίνει όταν = Εστω Τότε Εφόσον = + (όπως είδαµε παραπάνω), από = το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει = + = Εστω > Θεωρούµε την ακολουθία µερικών αθροισµάτων: = + + + + + + + + + + + 3 4 5 6 7 8 ( + ) ( ) να δυο να τεσσερα να Aλλά: + + < + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ), άρα: < + + + + + + 4 8 ( ) = + + + + + + ( ) ( ) ( ) 3 άρα η σειρά συγκλίνει = + + <+, (iii) Να δείξετε ότι = + l = Εφόσον l < l > και ζητούµενο = = +, από το κριτηρίο σύγκρισης προκύπτει το 86

ΣΕΙΡΕΣ ΠΟΥ ΣΤΟ ΕΞΗΣ ΘΑ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ = συγκλινει, > αποκλινει, = συγκλινει, λ < λ = ( γεωµετρικη σειρα ) αποκλινει, λ Πρόταση 5 (Κριτήριο ορίου) Εστω Αν lim + = k, τότε:, = είναι δύο σειρές θετικών όρων = (i) αν 0 < k <+ τότε οι σειρές, συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα = = (ii) αν k = 0 τότε <+ <+ = = =+ =+ = = (iii) αν k =+ τότε <+ <+ = = =+ =+ = = Απόδ (i) Εστω lim + = k Τότε ε > 0 0 : > 0 k ε < < k+ ε, οπότε µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο (ii) Εστω lim + = 0 Τότε ε > 0 0 : > 0 < ε, οπότε µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο (iii) Εστω lim + =+ Τότε ε > 0 0 : > 0 > ε οπότε µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο Παραδείγµατα (i) είξτε ότι = + = + 87

Εστω =, = Τότε lim lim lim, + = = = άρα από + + + το κριτήριο του ορίου οι σειρές, συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα = + = Εφόσον =+ προκύπτει = + = = + (ii) είξτε ότι εφ <+ = + Εστω εφ εφ + =, = Τότε lim lim + = + Oρίζουµε + + + εφ( x) τη συνάρτηση f( x) = και υπολογίζουµε το lim x 0 f( x) = Τότε x lim + = και από το κριτήριο του ορίου οι σειρές εφ = +, = + συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα Εφόσον < +, (διότι ο εκθέτης του = + είναι το >) προκύπτει εφ < + = + Πρόταση 53 (Κριτήριο λόγου ή D Alemert) Θεωρούµε τη σειρά θετικών όρων = + (i) Αν lim + = λ < τότε η σειρά + (ii) Αν lim + = λ > τότε η σειρά συγκλινει = αποκλινει = (iii) Αν λ = δεν υπάρχει συµπέρασµα σχετικά µε τη σύγκλιση της σειράς Πρόταση 54 (Κριτήριο ρίζας ή Cuchy) Θεωρούµε τη σειρά θετικών όρων (i) Αν lim + = λ < τότε η σειρά συγκλινει = = (ii) Αν lim + = λ > τότε η σειρά αποκλινει = 88

(iii) Αν λ = δεν υπάρχει συµπέρασµα σχετικά µε τη σύγκλιση της σειράς Παραδείγµατα (i) είξτε ότι Eστω! =, τότε:! < + = ( + )! ( + ) + + lim + = lim + = lim + = <,! e άρα από το κριτήριο του λόγου (ii) είξτε ότι ( ) = <+ = Εχουµε + ( ) ( )! < + + lim = lim = 0 <, οπότε από το κριτήριο ρίζας <+ = + Πρόταση 54 (Κριτήριο συµπύκνωσης Cuchy) Εστω α είναι µία γνησίως φθίνουσα ακολουθία θετικών όρων Τότε οι σειρές αποκλίνουν ταυτόχρονα και = = 0 συγκλίνουν ή Παράδειγµα Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς, = ( l ) Αν α = 0 προφανώς έχουµε απόκλιση διότι Αν α < 0 τότε ( l ) ( l ) σύγκρισης έχουµε πάλι απόκλιση Αν α > 0 τότε η ακολουθία = + = = >, άρα µε εφαρµογή του κριτηρίου ( l ) φθίνουσα οπότε εφαρµόζουµε το κριτήριο συµπύκνωσης: είναι προφανώς θετική και γνησίως <+, > = = = ( l ) = 0( l ) l = 0 = +, 0 89

Aρα η σειρά, συγκλίνει όταν α > και αποκλίνει όταν α = ( l ) 53 Εναλλάσουσες σειρές Ορισµός 53 Μία σειρά καλείται εναλλάσουσα όταν οι θετικοί και οι αρνητικοί όροι της εµφανίζονται διαδοχικά, δηλαδή όταν οι όροι της είναι εναλλάξ θετικοί και αρνητικοί Πρόταση 53 (Κριτήριο Leiitz) Μία εναλλάσουσα σειρά της οποίας οι όροι κατ απόλυτη τιµή σχηµατίζουν µία φθίνουσα και µηδενική ακολουθία συγκλίνει Παράδειγµα είξτε ότι η σειρά ( ) + συγκλίνει = ( ) + Εστω = Τότε η = είναι µία γνησίως φθίνουσα και µηδενική ( ) + ακολουθία οπότε από το κριτήριο του Leiitz η σειρά συγκλίνει Ισχύει ο ακόλουθος τύπος της άθροισης κατά µέρη του Αel: = = ( ) + lim + k + k = = k= k= Πρόταση 53 (Κριτήριο Ael) Aν η σειρά είναι µονότονη και φραγµένη τότε η σειρά συγκλίνει και αν η ακολουθία = συγκλίνει = Απόδ Αµεση εφαρµογή του τύπου άθροισης κατά µέρη του Αel Πρόταση 533 (Κριτήριο Dirichlet) Aν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς σειρά είναι φραγµένη και αν η ακολουθία = συγκλίνει = Απόδ Αµεση εφαρµογή του τύπου άθροισης κατά µέρη του Αel είναι µονότονη και µηδενική τότε η 90

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν u, υ > 0 και σειρές uυ, u = = u <+, υ <+, να µελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι = = x + y Λύση Επειδή xy προκύπτει ότι σύγκρισης και την υπόθεση uυ < + = Εστω υ =, τότε υ = <+ = = uυ <+, άρα και u <+ = και = u u υ u υ = + υ, άρα από το κριτήριο u Είδαµε όµως ότι Αν + + <+ και αν 0 = < να δείξετε ότι 0 <+ = Λύση 0 ισχύει: γινοµενο κατα µελη 0+ 0+ 0 0 0+ k 0+ k 0+ k 0+ k 0+ k 0+ k 0 0+ k 0+ k 0 0 0 Eφόσον = <+, από το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει < + = 3 Αν <+ να δείξετε ότι lim 0 = + = Λύση Αν ίσχυε lim + = k > 0, τότε lim + = k > 0, οπότε από το κριτήριο του ορίου οι σειρές, θα συνέκλιναν ή θα απέκλιναν ταυτόχρονα Εφόσον = = =+ =+, (άτοπο) = = 9

+ 4 Να υπολογίσετε το άθροισµα των σειρών:, ( + ) ( + ) = = Λύση = = lim ( + ) + k k+ + = = k= + + + + + k= k k= k+ k= k k= k = lim lim = lim lim = lim + = + Οµοια: + + ( + ) ( + ) k k + ( ) = lim = + = = k= ( ) + + + + + k= k k= ( k+ ) k= k k= k = lim lim = lim lim = lim + = ( + ) 5 Να µελετηθεί η σύγκλιση των σειρών: ηµ ( θ ) () i 0,, ( ii), ( ) ( ), iii 3 = = + = 3! ( iv) ηµ, ( v), ( vi), 0 > = = = 3 l (l(l )) + ( θ ( π) ) ( + ) ηµ ( θ) ηµ ( θ ) Λύση (i) Εστω = Τότε = Εφόσον κριτήριο σύγκρισης έχουµε = < + Αρα = < + = <+, από το (ii) Εστω = Τότε 3 = = = 3 3 3 3 + + + 3 Χρησιµοποιούµε το κριτήριο σύγκρισης Εφόσον = +, έχουµε = 3 =+ = (iii) Xρησιµοποιούµε το κριτήριο Leiitz για εναλλάσουσες σειρές Ορίζουµε 9

( + )( + + ) = + = = + + + + και παρατηρούµε ότι η ακολουθία α είναι γνησίως φθίνουσα και µηδενική, οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του κριτηρίου Leiitz και συνεπώς η σειρά ( + ) + ( ) συγκλίνει = (iv) Εστω = ηµ Ορίζουµε = και χρησιµοποιούµε το κριτήριο του ορίου ηµ Εχουµε lim lim ηµ ( x) + = + =, (διότι limx 0 = ), άρα οι σειρές x ηµ = και συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα Εφόσον =+ = = προκύπτει ηµ =+ = (v) Eστω 3! = Χρησιµοποιούµε το κριτήριο λόγου και έχουµε: άρα 3! =+ = + 3 ( + )! + + ( + ) 3 3 lim + = lim + = lim, + = > 3! e + (vi) Eστω =, > 0 Θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της l (l(l )) συµπύκνωσης Η είναι θετική και φθίνουσα ακολουθία Επίσης = ( ) l ( l( l ) ) l l(l ) = 3 = 3 = l l l(l ) ( + ) = 3 Παρατηρούµε ότι = < < l l l l ( l ) ( l + l ) ( l + l(l ) ) ( l ) = = = 3 = 3 93

Mελετούµε τώρα τη σύγκλιση της σειράς κριτήριο συµπύκνωσης: χρησιµοποιώντας πάλι το ( l ) = 3 Τότε < +, > = = = + 0 < = 3 (l) = 3 (l) (l) = 3 ( l ) = < + για >, άρα <+ (εφαρµογή = 3 l l(l ) ( ) του κριτηρίου σύγκρισης), συνεπώς < + (εφαρµογή του l (l(l )) = κριτηρίου συµπύκνωσης) Οµοια δείχνουµε ότι = + για 0 < l (l(l )) = 6 Να ευρεθούν οι τιµές του x για τις οποίες συγκλίνει η σειρά x! = Λύση Χρησιµοποιούµε το κριτήριο της ρίζας και έχουµε x lim lim + = x + = 0 <, άρα η σειρά!! x x συγκλίνει για κάθε! = 7 Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς: + + = Λύση Eστω = + + Παρατηρούµε ότι lim + = e, άρα από την άρνηση + της Πρότασης 53 η σειρά + = αποκλίνει 8 Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς ( ) Λύση Ισχύει + >, 0 = < < Με συγκλίνει Αρα ( ) εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει ότι η σειρά ( ) = 94

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εστω > 0 και = + = συγκλίνουν <+ Να δειχθεί ότι οι σειρές, = = + και Θεωρούµε ακολουθία έτσι ώστε lim = Να δείξετε ότι + <+ = 3 Να µελετηθεί η σύγκλιση των κάτωθι σειρών: + ( ) ( ) + l = = + l + ( ) 3 = = + x x, x ηµ, x = = 3 = = (l ) π συν = + + + ( ) = + 0 = ( + ) + = 5 7 = ( + )! ( ) = ( )! = (l ) = + ( x ), x + ( + ) 95