ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Διαρθρωτικές μεταβολές και «αστάθεια» των αποδόσεων επιμέρους μετοχών και δεικτών του Χρηματιστηρίου Αθηνών Μεταπτυχιακή φοιτήτρια: Καζάκου Βαρβάρα Υπεύθυνος Καθηγητής: Βενέτης Ιωάννης 1
Ευχαριστίες Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ιωάννη Βενέτη, ο οποίος στάθηκε πολύτιμος αρωγός στην ολοκλήρωση αυτής της εργασίας. Θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές του Τμήματος Οικονομικών Επιστημών για την καθοδήγηση και τις γνώσεις που μου προσέφεραν και σε επίπεδο προπτυχιακού αλλά και μεταπτυχιακού επιπέδου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την αγάπη και υποστήριξη που μου προσέφεραν όλα αυτά τα χρόνια.
Σύνοψη Στην παρούσα μελέτη εξετάζεται ο εντοπισμός διαρθρωτικών μεταβολών εφαρμόζοντας ένα έλεγχο τύπου σωρευτικών αθροισμάτων τετραγώνων και συγκεκριμένα τη στατιστική των Kokoszka και Leipus σε σειρές αποδόσεων του Χρηματιστηρίου Αθηνών. Η ανάλυση στηρίζεται στην εφαρμογή ενός GARCH (1,1) υποδείγματος. Λέξεις κλειδιά: διαρθρωτικές μεταβολές, GARCH, CUSUM, εμμονή, δεσμευμένη και/ ή μη δεσμευμένη διακύμανση 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 5.Βιβλιογραφική ανασκόπηση... 6 3. Ερευνητικό υπόβαθρο... 10 3.1 GARCH και πλασματική εμμονή... 10 3. CUSUM ess για μία διαρθρωτική μεταβολή... 13 3.3 CUSUM ess για πολλαπλές διαρθρωτικές μεταβολές... 17 3.4 Ιδιότητες Μεγέθους και ισχύς ελέγχου... 18 3.5 Ιδιότητες της KL στατιστικής σε πεπερασμένα δείγματα... 19 3.5.1 Ανάλυση Πίνακα για μία διαρθρωτική μεταβολή... 19 3.5. Ανάλυση Πίνακα για δύο διαρθρωτικές μεταβολές... 1 4. Εμπειρική ανάλυση... 7 4.1 Δεδομένα... 7 4. Εμπειρική εφαρμογή... 3 4..1 Μελέτη της Τράπεζας Πειραιώς... 33 4.. Μελέτη της Alpha Bank... 38 4..3 Μελέτη του Γενικού Δείκτη... 4 5. Συμπεράσματα... 46 6. Βιβλιογραφία... 49 7. Παράρτημα... 53 4
1. Εισαγωγή Η ανάλυση διακύμανσης των χρηματοοικονομικών σειρών έχει αποσπάσει το ερευνητικό ενδιαφέρον καθώς μια αλλαγή της διακύμανσης όπως μια υπερβολική αύξηση της θα επέφερε σημαντικές αλλαγές στο χρηματοοικονομικό σύστημα. Ο Schwer (1989) τονίζει ότι οι αλλαγές της διακύμανσης έπονται αλλαγών στις επενδύσεις, στην κατανάλωση και σε άλλες μεταβλητές του οικονομικού κύκλου. Ακόμη, η διακύμανση βρίσκεται (συνήθως) σε υψηλότερες τιμές όταν η οικονομία βρίσκεται σε ύφεση. Εξαιτίας αυτού του γεγονότος, το μέτρο αυτό θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως ένδειξη της γενικότερης κατάστασης της οικονομίας στην οποία βρίσκεται μια χώρα. Η διακύμανση των χρηματοοικονομικών σειρών είναι ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά στην καθημερινή λειτουργία των χρηματαγορών. Αποτελεί το βασικό στοιχείο στη διαχείριση κινδύνου και επενδύσεων αφού το ενδιαφέρον των επενδυτών είναι στραμμένο στη σχέση ανταλλαγής κινδύνουαπόδοσης με τον κίνδυνο να αντανακλάται στην διακύμανση. Παράλειψη των διαρθρωτικών μεταβολών της διακύμανσης στην υποδειγματοποίηση της μπορεί να προκαλέσει αναξιόπιστα αποτελέσματα όπως εμφάνιση πλασματικής εμμονής. Ακόμη όμως και ένα υπόδειγμα που επιτρέπει την ύπαρξη μιας διαρθρωτικής μεταβολής δεν θα ήταν σωστά εξειδικευμένο αν υπήρχαν περισσότερες από μια διαρθρωτικές μεταβολές (Zivo & Andrews, 199). Βασικός στόχος της συγκεκριμένης μελέτης είναι να διερευνήσει τη διακύμανση και διαρθρωτικές μεταβολές των δεικτών και των επιμέρους μετοχών του Χρηματιστηρίου Αθηνών. Συγκεκριμένα εξετάζεται η ύπαρξη διαρθρωτικών μεταβολών με εμπειρική εφαρμογή σε πραγματικά δεδομένα του Χρηματιστηρίου Αθηνών. Με τη χρήση του οικονομετρικού προγράμματος Eviews εφαρμόζεται το 5
GARCH υπόδειγμα και η κατάλληλη στατιστική των Kokoszka και Leipus για τον εντοπισμό των διαρθρωτικών μεταβολών..βιβλιογραφική ανασκόπηση Η διακύμανση χρησιμοποιείται συχνά για να ποσοτικοποιήσει την έννοια του ρίσκου. Σύμφωνα με τη παραδοσιακή χρηματοοικονομική θεωρία και βασική υπόθεση του Capial Asse Pricing Model (CAPM) οι αποδόσεις είναι κανονικά κατανεμημένες. Η κανονική κατανομή περιγράφεται πλήρως από τον μέσο και τη διακύμανση. Ο μέσος αντιστοιχεί στην απόδοση ενώ η διακύμανση στο ρίσκο. Αν θεωρήσουμε ότι οι επενδυτές αποστρέφονται τον κίνδυνο, τότε θεωρούμε ότι προτιμούν τις πιο σταθερές καταστάσεις από τις πιο ασταθείς. Εξ αιτίας αυτού, μια αύξηση του κινδύνου ωθεί τους επενδυτές να ζητούν υψηλότερο ασφάλιστρο κινδύνου (risk premium). Σύμφωνα με τους Εizaguirre, Biscarri, Hidalgo (004) δεν υπάρχει ομοφωνία στις αιτίες που προκαλούν αλλαγές στη διακύμανση. Οι δυο οπτικές γωνίες από τις οποίες θα μπορούσε να εξεταστεί το θέμα αφορούν τις αλλαγές στη δεσμευμένη διακύμανση και τις αλλαγές στη μη- δεσμευμένη διακύμανση. Ο Schwer (1989) συσχετίζει τις αλλαγές της διακύμανσης με αλλαγές της αβεβαιότητας για την μελλοντική μακροοικονομική κατάσταση. Εξετάζοντας την χρονική περίοδο 1857-1987 συμπεραίνει ότι δεν υπάρχουν αλλαγές της διακύμανσης όταν αλλάζει η σύνθεση του χαρτοφυλακίου αγοράς κάτι που επέρχεται σαν αποτέλεσμα διαφοροποίησης του κινδύνου. Αιτία της διακύμανσης είναι η ύφεση στην οποία είχε επέλθει η οικονομία. Αποδίδει μια μικρή μόνο αύξηση της διακύμανσης σε αύξηση των επιπέδων μόχλευσης. Ακόμη παρατηρείται ίδια κίνηση της διακύμανσης και της συναλλακτικής δραστηριότητας και με την έννοια του όγκου των συναλλαγών (volume) αλλά και σύμφωνα με το ποιες μέρες μπορούν να πραγματοποιηθούν συναλλαγές συγκριτικά 6
με σαββατοκύριακα και αργίες. Δεν είναι γνωστό όμως αν η κοινή κίνηση της διακύμανσης και των συναλλαγών στο σύνολο τους οφείλεται σε ενσωμάτωση της σχετικής διαθέσιμης πληροφόρησης ή σε θόρυβο. Πολλοί οικονομολόγοι στηριζόμενοι στη θεωρία αποτελεσματικότητας της αγοράς θεωρούν ότι η διακύμανση είναι απλά μια συνέπεια της διαδικασίας με την οποία η νέα πληροφόρηση ενσωματώνεται στις τιμές. Υποστηρίζουν ότι οι αλλαγές στη διακύμανση αντανακλούν αλλαγές σε τοπικό και παγκόσμιο περιβάλλον. Η υπόθεση αποτελεσματικότητας της αγοράς στηρίζεται στην αρχή ότι το σύνολο της σχετικής διαθέσιμης πληροφόρησης αντανακλάται πλήρως και ακαριαία στις τιμές. Κύριο χαρακτηριστικό είναι ότι οι μελλοντικές τιμές είναι προβλέψιμες στο μέτρο και το βαθμό που μπορούμε να προβλέψουμε το τυχαίο σφάλμα το οποίο είναι άγνωστο και απρόβλεπτο δοθείσας της τρέχουσας πληροφόρησης. Οι τρεις βασικές μορφές πληροφόρησης που υπάρχουν διαφέρουν ως προς την ευρύτητα του διαθέσιμου συνόλου πληροφόρησης. Η μορφή Ασθενούς Ισχύος υποστηρίζει ότι το σχετικό διαθέσιμο σύνολο πληροφόρησης περιλαμβάνει μόνο τις παρελθοντικές τιμές. Η μορφή Μέσης Ισχύος υποστηρίζει ότι το σχετικό διαθέσιμο σύνολο περιλαμβάνει εκτός των παρελθοντικών τιμών και τη δημοσίως διαθέσιμη πληροφόρηση. Η μορφή Υψηλής Ισχύος υποθέτει ότι το διαθέσιμο σύνολο περιλαμβάνει τις παρελθοντικές τιμές, τη δημόσια αλλά και ιδιωτική πληροφόρηση. Η υπόθεση αποτελεσματικότητας της αγοράς έχει αρχίσει να εγκαταλείπεται και στη θέση της ανέρχεται η Μπιχεβιοριστική Χρηματοοικονομική (Behavioral Finance). Ο κλάδος αυτός προσπαθεί να κατανοήσει πως τα λάθη μάθησης και τα συναισθήματα επηρεάζουν τους επενδυτές στη διαδικασία λήψης χρηματοοικονομικών αποφάσεων. Σύμφωνα με τον Shiller (000) οι χρηματαγορές καθοδηγούνται από 7
κοινωνιολογικούς, ψυχολογικούς παράγοντες καθώς και από παράγοντες συμπεριφοράς που συνδέονται άμεσα με τις συναλλαγές. Άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν τη διακύμανση είναι η ταχύτητα των συναλλαγών, ο βαθμός ανάπτυξης της αγοράς και ο βαθμός ενοποίησης της αγοράς. Σύμφωνα με τους Zhang, Gabrys και Kokoszka (007) η υποδειγματοποίηση της διακύμανσης στις χρηματοοικονομικές σειρές γίνεται είτε με βάση τα υποδείγματα μακροχρόνιας μνήμης είτε στηριζόμενη σε διαρθρωτικές αλλαγές. Η επιλογή κάποιας από τις δύο μεθόδους υποδειγματοποίησης της διακύμανσης διαδραματίζει καθοριστικό ρόλο ειδικά όταν αναφερόμαστε σε χρηματοοικονομικές εφαρμογές όπως μέτρηση του κινδύνου ή καταμερισμό περιουσιακών στοιχείων. Κατόπιν, έχουν υπάρξει έρευνες για την ανάπτυξη υποδειγμάτων και εύρεση στοιχείων συνύπαρξης της μακροχρόνιας μνήμης και των διαρθρωτικών αλλαγών. Η ύπαρξη των διαρθρωτικών μεταβολών της διακύμανσης οφείλεται σε παγκόσμια αλλά και τοπικά γεγονότα. Σύμφωνα με τους Cuñado, Biscarri και Gracia (006) η επίδραση που επιφέρουν τα παγκόσμια γεγονότα στις περισσότερες από τις χώρες που εξετάζουν είναι μικρότερης διάρκειας και δεν μπορεί να προκαλέσει διαρθρωτικές αλλαγές στην οικονομία. Τα τοπικά γεγονότα φαίνεται να επεξηγούν αλλαγές στην διακύμανση τόσο στο επίπεδο όσο και στην διάρθρωσή της. Τα περισσότερα από αυτά φαίνεται να σχετίζονται με διαδικασίες απελευθέρωσης των χρηματοοικονομικών αγορών (financial liberalizaion processes). Παρόλα αυτά, ο Laopodis (004) δεν εντόπισε διαρθρωτικές αλλαγές στην ελληνική χρηματιστηριακή αγορά σε δυο διαστήματα, πριν και μετά την απελευθέρωση της η οποία άρχισε στα μέσα του 1980. 8
Οι Malik, Ewing, και Payne (005) τονίζουν ότι οι απότομες αλλαγές στην διακύμανση οφείλονται σε μεγάλα γεγονότα όπως κρίσεις και αλλαγές στην πολιτική. Οι αλλαγές στην διακύμανση της καναδικής οικονομίας για το διάστημα που εξέτασαν μπορεί να αποδοθούν σε διάφορα πολιτικά και οικονομικά γεγονότα όπως στην μείωση των επιτοκίων προηγούμενων περιόδων, στην πεποίθηση ότι η νομισματική πολιτική δεν λειτουργούσε σωστά, στα υψηλά επίπεδα ανεργίας, στα χαμηλά επίπεδα αποταμίευσης και υψηλό δανεισμό των νοικοκυριών, στην επίδραση της ασιατικής και ρωσικής κρίσης. Επισημαίνουν όμως το γεγονός ότι δεν μπορούν να συσχετιστούν όλα αυτά τα γεγονότα με απότομη αλλαγή διακύμανσης καθώς οι αγορές δημιουργούν προσδοκίες και περιμένουν κάποια από αυτά τα γεγονότα να συμβούν πριν αυτά αρχίσουν να συντελούνται. Μεγάλης σημαντικότητας είναι ο εντοπισμός των χρονικών σημείων στα οποία συμβαίνουν οι διαρθρωτικές μεταβολές στη διακύμανση της πιθανώς ετεροσκεδαστικής χρονοσειράς. Έχουν γίνει αρκετές έρευνες για πολλές χώρες για τον εντοπισμό των οποιοδήποτε διαρθρωτικών αλλαγών. Οι Cuñado, Biscarri,, Pérez de Gracia (006) εξέτασαν και εντόπισαν την ύπαρξη διαρθρωτικών μεταβολών σε χρονοσειρά μηνιαίων αποδόσεων μετοχών για έξι αναπτυσσόμενες χώρες. Στηρίχθηκαν στο πλαίσιο και διαδικασία των Bai και Perron για την εύρεση των χρονικών σημείων στα οποία συμβαίνουν οι διαρθρωτικές αλλαγές τα οποία και συσχέτισαν με χρονικές περιόδους στις οποίες οι χώρες προέβησαν σε άνοιγμα των αγορών τους. Ακολούθησαν και τους ελέγχους των Kokoszka και Leipus (KL, 000) και Chen e al. (CCZ, 005) επισημαίνοντας ότι οι έλεγχοι αυτοί είναι ευαίσθητοι σε ακραίες τιμές. Όπως τόνισαν απαιτείται ιδιαίτερη 9
προσοχή στην χρήση των ελέγχων σε αναπτυσσόμενες χώρες καθώς τα αποτελέσματα δεν είναι αξιόπιστα και οι ακραίες τιμές στη σειρά των αποδόσεων είναι πολύ συχνές σε αυτές τις περιπτώσεις. Ακόμη, οι ίδιοι το 004 είχαν εξετάσει την ισπανική αγορά για τη χρονική περίοδο 1941-001 και είχαν εντοπίσει μια διαρθρωτική αλλαγή. Ο Laopodis (004) στην έρευνα του για την αλλαγή της αποτελεσματικότητας της ελληνικής χρηματιστηριακής αγοράς, ακολούθησε Chow και Wald ελέγχους για την εύρεση των διαρθρωτικών μεταβολών με τελικό αποτέλεσμα να μην απορρίπτει την μηδενική υπόθεση μη- αλλαγής της διακύμανσης. Οι Malik., Ewing, Payne (005) εντόπισαν διαρθρωτικές αλλαγές και στην περίπτωση της καναδικής οικονομίας για την χρονική περίοδο 199-1999 ακολουθώντας τον αλγόριθμο ICSS. 3. Ερευνητικό υπόβαθρο 3.1 GARCH και πλασματική εμμονή Οι περισσότερες χρηματοοικονομικές σειρές αποδόσεων παρουσιάζουν αυξημένη κύρτωση, δεν παρουσιάζουν χρονικές εξαρτήσεις στον δεσμευμένο μέσο της διακύμανσης ή τουλάχιστον οι τυχόν εξαρτήσεις είναι στατιστικά σημαντικές αλλά οικονομικά αμελητέες. Δηλαδή η όποια τυχόν εξάρτηση δεν οδηγεί σε προβλεψιμότητα των αποδόσεων. Για την εκτίμηση χρονοσειρών με τα ανωτέρω χαρακτηριστικά στις περισσότερες περιπτώσεις εφαρμόζονται τα GARCH (p,q) υποδείγματα (Bollerslev, Engle, Nelson, 1994). 10
Στόχος των γενικευμένων αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (εφεξής GARCH) είναι η απεικόνιση των αλλαγών της διακύμανσης. Πλεονέκτημα τους είναι ότι ένα μεγάλης τάξης αυτοπαλίνδρομο δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας υπόδειγμα- ARCH μπορεί να αναδιατυπωθεί ως ένα GARCH μικρότερης τάξης που είναι ευκολότερο να εκτιμηθεί και χρειάζεται λιγότερους περιορισμούς στους συντελεστές (Bollerslev, 1986). Η γενική μορφή των GARCH (p,q) υποδειγμάτων (όπου p είναι η τάξη των GARCH όρων η τάξη των ARCH όρων z και q είναι ) που πρότεινε ο Bollerslev (1986) περιγράφεται ως εξής: z ~iid ( 0,1) a, (1) i1, q i i j1, p j j ( L) 1 ( L) 1 όπου το L υποδηλώνει τον τελεστή υστέρησης, δηλαδή είναι η δεσμευμένη διακύμανση της σειράς. i L y y και i Για να ορίζεται σωστά το υπόδειγμα και να προκύπτει απόλυτα θετική η δεσμευμένη διακύμανση σε ένα GARCH (1,1) θα πρέπει 0, 0 και 0 1 1 Ορίζοντας v μπορούμε να ξαναγράψουμε την παραπάνω σχέση ως: [ ( L) ( L)] ( L) v 1 1 v () Δηλαδή, προκύπτει ότι η τετραγωνική σειρά των διαταρακτικών όρων ή της υπο- εξέταση χρονοσειράς ακολουθεί ένα ARMA[max(p,q),p] υπόδειγμα δηλαδή αυτοσυσχετίζεται. Η διαδικασία θεωρείται στάσιμη όταν το άθροισμα των αυτοπαλίνδρομων παραμέτρων είναι λιγότερο από ένα. Η μη- δεσμευμένη διακύμανση της δίνεται από τη σχέση: 11
Var ( ) / 1...... ) ( 1 q 1 p (3) Οι περισσότερες χρηματοοικονομικές σειρές υποδειγματοποιούνται ικανοποιητικά από τη χρήση ενός GARCH (1,1) υποδείγματος (Lamoureux & Lasrapes, 1990, Engle, 003). Στην μελέτη που ακολουθεί θεωρούμε ότι η y είναι η σειρά των ποσοστιαίων λογαριθμισμένων αποδόσεων και y = ~ N. i. d.(0,1) = y, όπου 0, 0, 0 1 1 (4) Η διακύμανση των λογαριθμισμένων αποδόσεων δίνεται από την Var( y ) 1 (5) Στις περισσότερες χρηματοοικονομικές σειρές αποδόσεων η εφαρμογή των GARCH υποδειγμάτων συνήθως δίνει το άθροισμα των εκτιμημένων παραμέτρων των αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων δεσμευμένης διακύμανσης να είναι κοντά στο ένα υποδηλώνοντας υψηλό βαθμό εμμονής στην δεσμευμένη διακύμανση ή στα τετράγωνα της υπό- εξέτασης χρονοσειράς. Δηλαδή, 1. Η εμμονή της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής αναφέρεται στην ιδιότητα της ροπής (momenum) της δεσμευμένης διακύμανσης, κατά πόσο δηλαδή η παρελθούσα διακύμανση μπορεί να ερμηνεύει την τρέχουσα. Η εμμονή της δεσμευμένης διακύμανσης δείχνει το ποσοστό της αιφνίδιας διαταραχής της διακύμανσης η οποία μεταφέρεται στην επόμενη χρονική περίοδο. Ο υψηλός βαθμός εμμονής μπορεί όμως να είναι πλασματικός και να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ υπήρχαν (διαρθρωτικές) αλλαγές στις παραμέτρους του υποδείγματος, αυτές δεν ελήφθησαν υπόψη. 1
Οι Lamoureux & Lasrapes (1990) αναφέρουν ότι η εμμονή της διακύμανσης υπερεκτιμάται όταν τα GARCH υποδείγματα εφαρμόζονται σε σειρές που υφίστανται ξαφνικές αλλαγές στη διακύμανση. Αυτές οι αλλαγές μπορεί να οφείλονται σε πολιτικά, κοινωνικά ή οικονομικά γεγονότα. Σύμφωνα με τον Hillebrand (005) στην περίπτωση που έχουν αγνοηθεί τα σημεία αλλαγών ακόμη κι αν το εκτιμημένο άθροισμα αυτοπαλίνδρομων παραμέτρων δεν είναι σχεδόν ένα η εμμονή έχει υπερεκτιμηθεί σε μεγάλο βαθμό. Έστω κι αν αγνοήσουμε μόνο μία διαρθρωτική μεταβολή αρκεί για τη δημιουργία πλασματικής εμμονής. Η χρήση GARCH υποδειγμάτων με μεγαλύτερο αριθμό p και q δεν εξαλείφει το πρόβλημα της πλασματικής εμμονής. 3. CUSUM ess για μία διαρθρωτική μεταβολή Η εύρεση των αλλαγών που μπορούν να προκαλούν την εμφάνιση της υψηλής εμμονής μπορεί να βασιστεί σε ελέγχους τύπου σωρευτικών αθροισμάτων τετραγώνων (εφεξής CUSUM). Αν υποθέσουμε ότι η σειρά του ενδιαφέροντος μας είναι η { y } και για λόγους T 1 απλότητας ότι η y έχει σταθερό μέσο ίσο με μηδέν τότε το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως ένας έλεγχος με μηδενική υπόθεση σταθερής διακύμανσης έναντι της εμφάνισης μιας διαρθρωτικής μεταβολής σε κάποιο άγνωστο σημείο αλλαγής k όπου 1 k T. 13
Σχηματικά, H 0 : Var( y 1)= y για 1,... T H 1 :Var( y 1)= y,0 y,1 1,... k k 1,... T (6) Οι διαφορετικές μορφές των CUSUM ελέγχων οφείλονται σε διαφορετικές υποθέσεις για τις ιδιότητες της χρονοσειράς που αναλύεται. Ο έλεγχος των Inclán και Tiao (1994) υποθέτει ότι η χρονοσειρά είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων και ομοιόμορφα κανονικών κατανεμημένων μεταβλητών. Μπορεί να υπάρξει ελαφρά διαφοροποιημένος από τον προαναφερθέντα έλεγχος ο οποίος αφορά τις περιπτώσεις στις οποίες η υπόθεση για την χρονοσειρά είναι και εδώ ανεξαρτησία και ομοιογενής κατανομή των μεταβλητών αλλά όχι και απαραίτητα κανονικότητα. Τέλος, υπάρχει ένας CUSUM έλεγχος ο οποίος «χαλαρώνει» όλες τις προηγούμενες υποθέσεις και η χρονοσειρά μπορεί να έχει κάποιες μορφές εξάρτησης και ετεροσκεδαστικότητας. Οι Lee και Park (001) υπέθεσαν ότι η χρονοσειρά ακολουθεί μία MA( ) διαδικασία και οι Kokoszka και Leipus (000) ότι η σειρά του ενδιαφέροντος ακολουθεί μια ARCH( ) διαδικασία. Ακόμη, οι Kim e al. (000) υποθέτουν ότι η χρονοσειρά μπορεί να υποδειγματοποιηθεί από ένα GARCH(1,1) υπόδειγμα. Στην περίπτωση που εξετάζουμε χρηματοοικονομικές σειρές οι δύο πρωτοαναφερόμενοι εδώ έλεγχοι δεν φαίνεται να αρμόζουν με τις ιδιότητες που συχνά εμφανίζονται όπως μεταβαλλόμενη υπό- συνθήκη διακύμανση (ετεροσκεδαστικότητα) τύπου GARCH. Το πλεονέκτημα του Kokoszka και Leipus 14
ελέγχου (εφεξής KL έλεγχος) είναι ότι έχει μεγάλη ισχύ σε ευρεία ομάδα διαδικασιών συμπεριλαμβανομένων και διαδικασιών μακροχρόνιας μνήμης, υποδειγμάτων GARCH και υποδειγμάτων μη γραμμικών χρονοσειρών. Ο KL έλεγχος μπορεί να εφαρμοστεί σε μη- γραμμικούς μετασχηματισμούς των σειρών αποδόσεων ή υπόεξέταση χρονοσειρών (π.χ. απόλυτες αλλά και τετραγωνικές αποδόσεις) και χαρακτηρίζεται από τη σχετική υπολογιστική απλότητα που αποτελεί και ένα σημαντικό πλεονέκτημα για τις σύνθετες σειρές που προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε. (Andreou & Ghysels, 00). Ακόμη όμως και στην περίπτωση του KL ελέγχου που υποθέτει ετεροσκεδαστικότητα τα αποτελέσματα μπορεί να είναι στατιστικά αναξιόπιστα. Η KL στατιστική (Kokoszka & Leipus, 1998, 000) βασίζεται στην τυποποιημένη και κεντροθετημένη ποσότητα D ( k) y 1 T k 1 y k T T T 1 y (7) έτσι ώστε D ( 0) D ( T ) 0 y y Η απόλυτη τιμή D y (k) μεγιστοποιείται στο σημείο αλλαγής k * αν αυτό υπάρχει. Έπεται λοιπόν ότι η D y (k) παρέχει τρόπο για έλεγχο αλλαγής της διακύμανσης αλλά και μέθοδο εκτίμησης του σημείου αλλαγής. Αναγνωρίζουμε το σημείο αλλαγής στο k * όταν η D ( k*) y είναι μεγαλύτερη από κάποια προκαθορισμένη κριτική τιμή. Οι κριτικές τιμές του δικατάληκτου ελέγχου για 90%, 95%, 99% είναι 1., 1.36 και 1.63 αντίστοιχα. 15
Ο εκτιμητής kˆ του σημείου αλλαγής k * δίνεται από: kˆ kˆ = min { k : D ( k) max D ( j) } (9) y 1 jt y Ο εκτιμητής kˆ είναι το σημείο στο οποίο υπάρχουν οι περισσότερες ενδείξεις για διαρθρωτική μεταβολή στην υπό- εξέταση χρονοσειρά. Κάτω από τη μηδενική υπόθεση σταθερής διακύμανσης και συγκεκριμένες συνθήκες ομαλότητας της y η (k) D y τείνει ασθενώς (weak convergence) σε μια στοχαστική διαδικασία Brownian bridge. Άρα, 1 0 U y ( k * )= max Dy ( k) sup W ( s) ˆ 1k T 0s1 LR (8) όπου LR είναι η μακροχρόνια διακύμανση της τετραγωνικής σειράς y και η παραπάνω ασθενής σύγκλιση απαιτεί ένα συνεπή εκτιμητή ˆ LR της μακροχρόνιας διακύμανσης. Οι Andreou & Ghysels (00) χρησιμοποιούν τον συνεπή εκτιμητή αυτοπαλίνδρομης ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης (ARHAC) (auoregression heeroscedasiciy and auocorrelaion esimaor). Ενώ ο ARHAC έχει καλές ασυμπτωτικές ιδιότητες σε διαδικασίες υψηλής εμμονής προτιμάται ο συνεπής εκτιμητής ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης (HAC) για να μην υπάρχει εξάρτηση από το βαθμό συσσώρευσης, μετασχηματισμού των αποδόσεων και «φιλτραρίσματος» της σειράς (Andreou & Ghysels, 004). Oι Pooer & Dijk (004) χρησιμοποιούν τον εκτιμητή Barle kernel. 16
Η W 0 ( s ) είναι η τυποποιημένη Brownian bridge η οποία καθορίζεται ως W 0 ( s) = W (s) - sw (1) όπου W (.) η τυποποιημένη κίνηση κατά Brown. 3.3 CUSUM ess για πολλαπλές διαρθρωτικές μεταβολές Παραπάνω αναλύθηκε η διαδικασία με την οποία εντοπίζεται μία διαρθρωτική μεταβολή. Η σειρά του ενδιαφέροντος μας όμως θα μπορούσε να παρουσιάζει περισσότερες από μία μεταβολές. Οι Inclán και Tiao (1994) έχουν αναπτύξει έναν αλγόριθμο επαναλαμβανόμενων σωρευτικών αθροισμάτων τετραγώνων (εφεξής ICSS) με τον οποίο γίνεται η εύρεση των διαρθρωτικών μεταβολών με βάση τη στατιστική των σωρευτικών αθροισμάτων τετραγώνων. Πρέπει να αναφερθεί ότι ο ICSS αλγόριθμος στηρίζεται στη στατιστική των Inclán και Tiao (1994) και απαιτείται για την εφαρμογή του η ικανοποίηση της υπόθεσης κανονικότητας. Επιπρόσθετα, θα πρέπει οι μεταβλητές να είναι ανεξάρτητα και ομοιόμορφα κατανεμημένες. Συνεπάγεται ότι ο ICSS αλγόριθμος δεν εφαρμόζεται σε περιπτώσεις εμφάνισης δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας που είναι συχνά εμφανίσιμη σε χρηματοοικονομικές σειρές. Η βασική ιδέα στην οποία στηρίζεται και ο αλγόριθμος ICSS είναι ότι εξετάζεται ολόκληρο το δείγμα για την ύπαρξη μιας διαρθρωτικής μεταβολής χρησιμοποιώντας την CUSUM στατιστική. Εάν βρεθεί μια διαρθρωτική μεταβολή τότε το αρχικό μας δείγμα χωρίζεται σε δύο τμήματα. Έπειτα το κάθε τμήμα από αυτά τα δύο εξετάζεται για ύπαρξη διαρθρωτικής μεταβολής χρησιμοποιώντας την ίδια στατιστική. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου δεν μπορούν να βρεθούν άλλες διαρθρωτικές μεταβολές σε κάποια από τα επιμέρους δείγματα ή οι αλλαγές φτάσουν ένα προκαθορισμένο μέγιστο. Στον ICSS αλγόριθμο η διαδικασία επαναλαμβάνεται σε κάθε υπό- δείγμα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη πόσες διαρθρωτικές μεταβολές έχουν 17
ήδη βρεθεί. Με βάση τα παραπάνω οι Pooer και Dijk (004) εφάρμοσαν και άλλο ένα περιορισμό, μια ελάχιστη απόσταση μεταξύ των διαρθρωτικών μεταβολών (αντίθετα με τον ICSS αλγόριθμο ο οποίος δεν απαιτεί ελάχιστη απόσταση). Συγκεκριμένα, για την αποφυγή εύρεσης διαρθρωτικών μεταβολών που είναι μηρεαλιστικά «κοντά» ορίζουν ως ελάχιστη απόσταση τον αριθμό 63 παρατηρήσεων. 3.4 Ιδιότητες Μεγέθους και ισχύς ελέγχου Όλες οι CUSUM στατιστικές σύμφωνα με τους Pooer και Dijk (004) ακόμη και η KL, που επιτρέπει την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας, υφίστανται εμπειρικά αλλοιώσεις μεγέθους όταν εφαρμόζονται στις αρχικές σειρές που μας ενδιαφέρουν. Δηλαδή, η «αληθής» μηδενική υπόθεση της μη-ύπαρξης μεταβολής απορρίπτεται πολύ συχνότερα από το ονομαστικό επίπεδο σημαντικότητας του 5%. Κάτι τέτοιο καθιστά τα αποτελέσματα στατιστικά αναξιόπιστα. Η KL στατιστική θα απαιτούσε εξαιρετικά (μη ρεαλιστικά) μεγάλα δείγματα για να μην εμφανίζονται αλλοιώσεις μεγέθους. Λύση στο συγκεκριμένο πρόβλημα αποτελεί η εφαρμογή ενός CUSUM ελέγχου σε κανονικοποιημένα κατάλοιπα που προέρχονται από ένα εκτιμημένο GARCH υπόδειγμα (Pooer & Dijk, 004). Ισοδυναμεί με «φιλτράρισμα» της σειράς με το υπόδειγμα GARCH(1,1) για αφαίρεση της ετεροσκεδαστικότητας (Lee e al., 003). Οδηγούμαστε σε αρκετά αξιόπιστα αποτελέσματα με καλή ισχύ του ελέγχου για μία διαρθρωτική μεταβολή. Παρόλα αυτά οι CUSUM στατιστικές παρουσιάζουν δυσκολίες στην εύρεση πολλαπλών διαρθρωτικών μεταβολών. Παρατηρείται πως στην περίπτωση πολλαπλών διαρθρωτικών μεταβολών αντιθέτου πρόσημου η στατιστική δεν μπορεί να εντοπίσει τα σημεία μεταβολής. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή λοιπόν καθώς αγνοώντας την ύπαρξη αυτού του προβλήματος 18
στις περισσότερες των περιπτώσεων δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση ενώ θα έπρεπε. 3.5 Ιδιότητες της KL στατιστικής σε πεπερασμένα δείγματα Η παρακάτω ανάλυση στηρίζεται σε δεδομένα και στοιχεία των Pooer & Dijk (004). Οι κριτικές τιμές που χρησιμοποιούνται για την απόρριψη ή μη της μηδενικής υπόθεσης είναι κριτικές τιμές πεπερασμένου δείγματος και έχουν υπολογιστεί μέσω προσομοίωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιφάνειας απόκρισης (response surface mehod). 3.5.1 Ανάλυση Πίνακα για μία διαρθρωτική μεταβολή Στον Πίνακα 1 απεικονίζονται οι παρατηρούμενες συχνότητες απόρριψης της KL στατιστικής για μία μόνο διαρθρωτική μεταβολή όταν η διαδικασία γένεσης δεδομένων είναι GARCH(1,1) όπως αυτό έχει ήδη περιγραφτεί στις σχέσεις 4 και 5. Η διαρθρωτική μεταβολή σε αυτό το μέρος της ανάλυσης συμβαίνει στο, που είναι μόνο ο ένας από τους όρους οι οποίοι μπορεί να υφίστανται διαρθρωτικές μεταβολές (οι άλλοι δύο είναι το και ). Τα στοιχεία του Πίνακα 1 είναι οι πιθανότητες απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης σταθερής διακύμανσης έναντι της εναλλακτικής, εμφάνισης μιας μόνο διαρθρωτικής μεταβολής. Η KL στατιστική εφαρμόζεται σε κανονικοποιημένα κατάλοιπα ενός GARCH(1,1) υποδείγματος που όπως έχει προαναφερθεί ισοδυναμεί με φιλτράρισμα της σειράς για αφαίρεση ετεροσκεδαστικότητας. Οι πιθανότητες απόρριψης προέρχονται από 1000 επαναλήψεις (replicaions) και λαμβάνουμε υπόψη διαρθρωτικές μεταβολές που συμβαίνουν ακριβώς στο μέσο του δείγματος. Δηλαδή, 0. 10, b 1 αν T και ab αν T, με 0.50 στο υπόδειγμα: 19
y z h, όπου h y 1 h 1 και z ~iid N (0,1) (10) Η ισχύς αυξάνεται καθώς αυξάνεται το μέγεθος της αλλαγής στο και το μέγεθος του δείγματος εκτός των περιπτώσεων που το 0. 5 και η διακύμανση μετά την αλλαγή του είναι πολύ μικρή, a =0.50. Για παράδειγμα, με επίπεδο σημαντικότητας 0.05, όταν =4000, =0.8 και a =1.50, δηλαδή υπάρχει αύξηση της διακύμανσης κατά 50%, τότε στο 99.6% των περιπτώσεων η στατιστική εντοπίζει τη μεταβολή και απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Αντίθετα, με το ίδιο επίπεδο σημαντικότητας, σε δείγμα μεγέθους =500 όπου ξανά =0.8 και a =1.50 η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται μόνο στις 16.1% των περιπτώσεων. Υπάρχει ασυμμετρία στη δυνατότητα του ελέγχου να εντοπίσει τις διαρθρωτικές μεταβολές με την έννοια ότι εντοπίζονται πιο εύκολα οι αυξήσεις της διακύμανσης παρά οι μειώσεις και αντίστροφα. Η κατεύθυνση της ασυμμετρίας εξαρτάται από την εμμονή της διακύμανσης η οποία εκφράζεται από το μέγεθος. Γενικότερα, όταν το =0.8 η ισχύς είναι μεγαλύτερη για μειώσεις της διακύμανσης ενώ όταν το =0.5 η ισχύς είναι μεγαλύτερη για την εύρεση αύξησης διακύμανσης. Για μικρά δείγματα, η ισχύς είναι υψηλότερη για μικρή εμμονή. Για παράδειγμα, σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05 όταν =500 και =0.5 με a =0.6 η πιθανότητα 0
απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης είναι 0.497 έναντι της περίπτωσης όπου =500, a =0.6 με =0.8 που η πιθανότητα μειώνεται στο 0.1. Σε μεγάλα δείγματα, η ισχύς είναι υψηλότερη για υψηλή εμμονή. Σε επίπεδο σημαντικότητας 5% με T =4000, a =0.5 και =0.5 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση μόνο στο 41,7% των περιπτώσεων ενώ όταν και πάλι T =4000, a =0.5 αλλά με =0.8 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση σε όλες τις χρονοσειρές (η πιθανότητα απόρριψης μηδενικής υπόθεσης είναι 1) 3.5. Ανάλυση Πίνακα για δύο διαρθρωτικές μεταβολές Στον Πίνακα απεικονίζονται οι παρατηρούμενες συχνότητες απόρριψης της KL στατιστικής για δύο διαρθρωτικές μεταβολές όταν η διαδικασία γένεσης δεδομένων είναι και εδώ GARCH(1,1). Η διαρθρωτική μεταβολή και σε αυτό το μέρος της ανάλυσης συμβαίνει μόνο στο ω το οποίο εκφράζει το μέγεθος της διακύμανσης. Το επίπεδο σημαντικότητας είναι 0.05. Εδώ οι Pooer & Dijk (004) θέτουν: 0.10, b 1 αν T, a1 b αν και 1 1 ab αν με 0. 1 33και 0. 67. Όπως και στο προηγούμενο μέρος της ανάλυσης μας η KL στατιστική εφαρμόζεται σε κανονικοποιημένα κατάλοιπα ενός GARCH(1,1) υποδείγματος. Το GARCH υπόδειγμα εκφράζεται από τις σχέσεις : 1
y z h, όπου h y 1 h 1 και z ~iid N (0,1) (11) Η ισχύς είναι καλή όταν η διακύμανση αυξάνεται και μετά μειώνεται ξανά ή και το αντίστροφο αλλά με τέτοιο τρόπο που δεν επανέρχεται στο αρχικό της επίπεδο. Παρατηρούμε πως για χαμηλή εμμονή ο έλεγχος εντοπίζει σε αρκετά καλό βαθμό τις δυο διαρθρωτικές μεταβολές. Όσο αυξάνεται όμως η εμμονή μειώνεται η ισχύς του ελέγχου. Για =4000, a1=1.0, a =0.8 και =0.5 όταν δηλαδή η διακύμανση αυξάνεται και έπειτα μειώνεται κάτω από το αρχικό της επίπεδο, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται με πιθανότητα 0.670. Αυξάνοντας τον βαθμό εμμονής σε 0.8 και με σταθερές τις υπόλοιπες τιμές του δείγματος Τ και των επιμέρους διακυμάνσεων μετά τις διαρθρωτικές μεταβολές a1 και a παρατηρείται μείωση της ισχύος σε 0.30. Δηλαδή, ενώ υπάρχουν δύο διαρθρωτικές μεταβολές, μόνο στο 30.% των χρονοσειρών αυτές εντοπίζονται. Όταν όμως μετά την πρώτη αλλαγή της διακύμανσης αυτή επανέρχεται με τη δεύτερη αλλαγή στο αρχικό της επίπεδο τότε ο έλεγχος έχει χαμηλή ισχύ, δεν μπορεί να εντοπίσει και τις δύο διαρθρωτικές μεταβολές. Όταν η εμμονή είναι 0.80 και η διακύμανση κινείται από το 1 στο 1. και μετά στο 1 σε κανένα από τα δείγματα (Τ=1000,000,4000) δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Συγκεκριμένα, η πιθανότητα εύρεσης δύο διαρθρωτικών μεταβολών είναι 0.004, 0.013 και 0.040 αντίστοιχα σε κάθε δείγμα. Ο έλεγχος δεν απορρίπτει τη μηδενική υπόθεση και επομένως συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει καμία διαρθρωτική
μεταβολή με πιθανότητες 96.4%, 91.9% και 88.6% στα αντίστοιχα δείγματα που προαναφέρθηκαν. Μείωση όμως της εμμονής δεν βελτιώνει τα αποτελέσματα. Για εμμονή ίση με 0.50 και την ίδια «κίνηση» της μεταβολής της διακύμανσης η πιθανότητα που δίνεται να μην υπάρχει διαρθρωτική μεταβολή είναι 93.8%, 85% και 7.% αντίστοιχα σε κάθε δείγμα (Τ=1000,000,4000). Και στις δύο των περιπτώσεων ο έλεγχος αρχίζει να εντοπίζει μεταβολές στη διακύμανση μόνο σε πολύ μεγάλο δείγμα. Ακόμη, υπάρχουν οι περιπτώσεις η διακύμανση να μειώνεται ή να αυξάνεται συνεχώς. Η ισχύς είναι υψηλότερη για μειώσεις της διακύμανσης έναντι αυξήσεων της όπως δείχνουν και τα στοιχεία παρακάτω. Συγκεκριμένα, για μείωση διακύμανσης ( =0.7, a1 a =0.4) και για χαμηλή εμμονή ( =0.5) η πιθανότητα απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης είναι για Τ=1000 ίση με 0.088, για Τ=000 ίση με 0. και για Τ=4000 0.180 (για εμφάνιση δύο διαρθρωτικών μεταβολών). Αντίστοιχα για συνεχείς αυξήσεις της διακύμανσης από 1 σε 1.1 και έπειτα σε 1. με χαμηλή εμμονή οι πιθανότητες απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης και εντοπισμού των δύο διαρθρωτικών μεταβολών είναι 0.01, 0.013 και 0.08 για τα τρία δείγματα αντίστοιχα (Τ=1000,000,4000). Η αντίστοιχη περίπτωση υψηλής εμμονής και αύξησης της διακύμανσης από 1 σε 1.1 και έπειτα σε 1. έχει πιθανότητες εντοπισμού των δύο διαρθρωτικών μεταβολών 0.00, 0.007 και 0.05 αντίστοιχα. 3
Σε αυξήσεις της διακύμανσης δεδομένης της χαμηλής εμμονής ( =0.5) και κίνηση από 1 σε 1.3 και έπειτα σε 1.6 υπάρχει 70% πιθανότητα εμφάνισης μία μόνο διαρθρωτικής μεταβολής σε δείγμα 1000 παρατηρήσεων, 80.6 % σε δείγμα 000 παρατηρήσεων και 47.4% σε δείγμα 4000 παρατηρήσεων. Οι αντίστοιχες πιθανότητες για εντοπισμό δύο διαρθρωτικών μεταβολών είναι.3%, 11.1% και 43.9%. Στην περίπτωση εμμονής ίσης με 0.8 και ίδιας κίνησης της διακύμανσης (από 1 σε 1.3 και έπειτα σε 1.6) παρατηρούνται οι εξής πιθανότητες στην εύρεση μιας διαρθρωτικής μεταβολής για τα δείγματα =1000, =000 και =4000 αντίστοιχα: 37.8%, 75.6% και 86.%. Οι πιθανότητες εντοπισμού και των δύο διαρθρωτικών μεταβολών είναι 1.7% για =1000,.1% για =000 και 1.1% για =4000. 4
Πίνακας 1 T=500 T=1000 T=000 T=4000 a 0.100 0.050 0.010 0.100 0.050 0.010 0.100 0.050 0.010 0.100 0.050 0.010 0.50 0.50 0.659 0.473 0.7 0.654 0.514 0.397 0.630 0.481 0.380 0.54 0.417 0.333 0.60 0.50 0.683 0.497 0.5 0.837 0.741 0.595 0.85 0.793 0.79 0.836 0.793 0.747 0.70 0.50 0.51 0.345 0.118 0.840 0.75 0.450 0.96 0.940 0.883 0.988 0.985 0.980 0.80 0.50 0.65 0.158 0.038 0.519 0.389 0.161 0.813 0.7 0.458 0.976 0.968 0.874 0.90 0.50 0.15 0.050 0.011 0.191 0.109 0.019 0.318 0.31 0.079 0.55 0.39 0.01 1.10 0.50 0.110 0.064 0.007 0.143 0.077 0.01 0.84 0.190 0.070 0.471 0.334 0.156 1.0 0.50 0.19 0.117 0.08 0.390 0.46 0.071 0.651 0.58 0.96 0.91 0.868 0.680 1.30 0.50 0.351 0.4 0.055 0.6 0.471 0.6 0.897 0.83 0.616 0.999 0.995 0.964 1.40 0.50 0.504 0.30 0.107 0.783 0.667 0.398 0.950 0.91 0.849 0.993 0.991 0.984 1.50 0.50 0.598 0.45 0.169 0.861 0.778 0.58 0.931 0.897 0.853 0.966 0.949 0.935 0.50 0.80 0.505 0.5 0.053 0.874 0.716 0.93 0.996 0.987 0.916 1.000 1.000 1.000 0.60 0.80 0.46 0.1 0.041 0.776 0.608 0.196 0.981 0.956 0.794 1.000 1.000 0.998 0.70 0.80 0.71 0.117 0.013 0.540 0.351 0.086 0.835 0.74 0.443 0.988 0.977 0.891 0.80 0.80 0.166 0.064 0.010 0.83 0.164 0.0 0.495 0.35 0.150 0.779 0.673 0.407 0.90 0.80 0.098 0.034 0.003 0.19 0.053 0.004 0.07 0.1 0.033 0.96 0.0 0.061 1.10 0.80 0.095 0.044 0.007 0.094 0.049 0.006 0.187 0.111 0.04 0.58 0.168 0.05 1.0 0.80 0.140 0.055 0.010 0.06 0.090 0.015 0.38 0.48 0.085 0.67 0.511 0.49 1.30 0.80 0.08 0.099 0.016 0.345 0.0 0.031 0.601 0.467 0.13 0.891 0.810 0.594 1.40 0.80 0.63 0.19 0.017 0.484 0.314 0.063 0.796 0.680 0.380 0.976 0.960 0.859 1.50 0.80 0.34 0.161 0.06 0.617 0.43 0.114 0.908 0.844 0.550 0.999 0.996 0.970 Πίνακας 4 σελ. 5 των de Pooer & van Dijk (004)) 5
Πίνακας T =1000 T =000 T =4000 a1 a 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0.70 0.40 0.50 0.67 0:8 0.088 0.003 0.701 0.086 0.00 0.013 0.746 0.004 0.180 0.070 0.80 0.60 0.50 0.45 0.75 0.030 0.000 0.101 0.77 0.163 0.009 0.063 0.37 0.551 0.059 0.90 0.80 0.50 0.74 0.60 0.016 0.000 0.48 0.493 0.05 0.000 0.160 0.790 0.049 0.001 0.80 1.00 0.50 0.915 0.070 0.015 0.000 0.78 0.099 0.115 0.004 0.58 0.064 0.385 0.03 0.80 1.0 0.50 0.639 0.66 0.095 0.000 0.56 0.330 0.403 0.011 0.0 0.111 0.84 0.043 1.0 0.80 0.50 0.570 0.318 0.11 0.000 0.167 0.458 0.365 0.010 0.010 0.90 0.670 0.030 1.0 1.00 0.50 0.938 0.048 0.014 0.000 0.850 0.081 0.068 0.001 0.7 0.084 0.18 0.01 1.10 1.0 0.50 0.835 0.155 0.010 0.000 0.616 0.371 0.013 0.000 0.30 0.650 0.08 0.00 1.0 1.40 0.50 0.494 0.489 0.017 0.000 0.150 0.80 0.09 0.001 0.009 0.836 0.144 0.011 1.30 1.60 0.50 0.77 0.700 0.03 0.000 0.079 0.806 0.111 0.004 0.04 0.474 0.439 0.045 0.70 0.40 0.80 0.377 0.567 0.055 0.001 0.036 0.703 0.5 0.009 0.000 0.18 0.715 0.067 0.80 0.60 0.80 0.556 0.44 0.00 0.000 0.166 0.783 0.049 0.00 0.006 0.839 0.138 0.017 0.90 0.80 0.80 0.881 0.106 0.01 0.001 0.74 0.43 0.014 0.001 0.50 0.470 0.08 0.000 0.80 1.00 0.80 0.959 0.034 0.007 0.000 0.910 0.060 0.09 0.001 0.819 0.083 0.093 0.005 0.80 1.0 0.80 0.886 0.096 0.018 0.000 0.639 0.44 0.113 0.004 0.64 0.93 0.415 0.08 1.0 0.80 0.80 0.834 0.146 0.00 0.000 0.581 0.315 0.098 0.006 0.199 0.495 0.30 0.004 1.0 1.00 0.80 0.964 0.03 0.004 0.000 0.919 0.068 0.013 0.000 0.886 0.073 0.040 0.001 1.10 1.0 0.80 0.933 0.065 0.00 0.000 0.81 0.181 0.007 0.000 0.638 0.334 0.05 0.003 1.0 1.40 0.80 0.78 0.11 0.007 0.000 0.509 0.481 0.010 0.000 0.170 0.780 0.046 0.004 1.30 1.60 0.80 0.605 0.378 0.017 0.000 0.0 0.756 0.01 0.003 0.01 0.86 0.110 0.007 πίνακας 7 σελ. 8 των de Pooer & van Dijk (004) 6
4. Εμπειρική ανάλυση 4.1 Δεδομένα Στην παρούσα ανάλυση χρησιμοποιήθηκαν ημερήσια δεδομένα του Χρηματιστηρίου Αθηνών. Συγκεκριμένα, η ανάλυση εξετάζει τις αποδόσεις των τιμών των μετοχών της Τράπεζας Πειραιώς και της Alpha Bank για το χρονικό διάστημα από Ιανουαρίου 1986 έως 30 Μαΐου 008. Ακόμη χρησιμοποιούνται ημερήσια δεδομένα του γενικού δείκτη του Χρηματιστηρίου Αθηνών για το διάστημα από Ιανουαρίου 1985 έως 30 Μαΐου 008. Οι λογαριθμικές αποδόσεις υπολογίζονται από την εξής σχέση: R 100 ln( P ) ln( P 1 ) Όπου P είναι η τιμή για το χρόνο, P 1 είναι η τιμή για 1 και το R συμβολίζει τις αποδόσεις (αντίστοιχα για το δείκτη, P εκφράζει το επίπεδο του δείκτη). Παρακάτω εμφανίζονται οι τιμές περιγραφικής στατιστικής για τις τρεις περιπτώσεις που αναλύονται καθώς επίσης και τα γραφήματα των αποδόσεων. Αναφέρεται για την κάθε περίπτωση η μέση τιμή, η διάμεση τιμή, το μέγιστο και ελάχιστο, η τυπική απόκλιση, η ασυμμετρία, η κύρτωση καθώς και ο έλεγχος Jarque- Bera με την p- τιμή. Το σημείο το οποίο χρίζει ιδιαίτερης σημασίας στην περίπτωση μας είναι η τιμή της ροπής τέταρτης τάξης. Εφόσον η τιμή της κύρτωσης σε όλες τις περιπτώσεις είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό 3 εξάγεται το συμπέρασμα πως οι εν λόγω κατανομές είναι λεπτόκυρτες. Αυτό αποτελεί βασική ένδειξη ως προς το υπόδειγμα χρονολογικών σειρών που πρέπει να υιοθετηθεί, δηλαδή το κλασσικό πλέον GARCH(1,1). Η ύπαρξη ακραίων τιμών είναι ένα σύνηθες φαινόμενο στις χρηματοοικονομικές σειρές. Στην παρούσα ανάλυση και για την πιο αξιόπιστη ή 7
ανθεκτική εφαρμογή της στατιστικής των Kokoszka και Leipus έχει γίνει διόρθωση ακραίων τιμών. Τράπεζα Πειραιώς 1400 100 1000 800 600 400 00 0-15 -10-5 0 5 10 15 Series: RN Sample 1 486 Observaions 486 Mean 0.090579 Median 0.000000 Maximum 16.83353 Minimum -15.90647 Sd. Dev..655899 Skewness 0.30708 Kurosis 7.07014 Jarque-Bera 305.887 Probabiliy 0.000000 Στην περίπτωση της Τράπεζας Πειραιώς η μέση τιμή είναι 0.0906, η διάμεση τιμή είναι 0, το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο 16.8335, το ελάχιστο στο -15.9065, η τυπική απόκλιση είναι.6559, η ασυμμετρία είναι 0.3071 και η κύρτωση 7.070. Σύμφωνα με την τιμή του ελέγχου Jarque- Bera και την p- τιμή, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται για κάθε επίπεδο εμπιστοσύνης. Απορρίπτεται δηλαδή η υπόθεση ότι τα δεδομένα έχουν προέλθει από την κανονική κατανομή. 8
0 15 10 5 0-5 -10-15 -0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 Alpha Bank 1400 100 1000 800 600 400 00 0-15 -10-5 0 5 10 15 Series: RN Sample 1 55 Observaions 55 Mean 0.108491 Median 0.000000 Maximum 15.768 Minimum -15.6768 Sd. Dev..474104 Skewness 0.36087 Kurosis 7.869909 Jarque-Bera 538.643 Probabiliy 0.000000 Για την Alpha Bank η μέση τιμή είναι 0.1085, η διάμεση τιμή είναι 0, το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο 15.763, το ελάχιστο στο -15.677, η τυπική απόκλιση 9
είναι.4741, η ασυμμετρία είναι 0.361 και η κύρτωση 7.8699. Η τιμή του ελέγχου Jarque- Bera και η p- τιμή δείχνουν ότι πρέπει να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. 16 1 8 4 0-4 -8-1 -16 1000 000 3000 4000 5000 30
Γενικός Δείκτης 000 1600 100 800 400 0-10 -5 0 5 10 Series: RN Sample 1 584 Observaions 584 Mean 0.073957 Median 0.054356 Maximum 9.551673 Minimum -10.4065 Sd. Dev. 1.64019 Skewness -0.096316 Kurosis 7.8903 Jarque-Bera 5653.56 Probabiliy 0.000000 Τέλος για τον γενικό δείκτη, ο μέσος είναι 0.0740, η διάμεση τιμή είναι 0.0544, το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο 9.5517, το ελάχιστο στο -10.407, η τυπική απόκλιση είναι 1.640, η ασυμμετρία είναι -0.0963 και η κύρτωση 7.830. Και εδώ απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση σύμφωνα με την τιμή του ελέγχου Jarque- Bera και την p- τιμή. 1 8 4 0-4 -8-1 1000 000 3000 4000 5000 31
4. Εμπειρική εφαρμογή Στόχος της συγκεκριμένης μελέτης είναι η εύρεση των πιθανών πολλαπλών διαρθρωτικών μεταβολών στη δεσμευμένη διακύμανση. Γίνεται η εφαρμογή του GARCH (1,1) υποδείγματος στις τρεις υπό- εξέταση χρονοσειρές. Στην ανάλυση που ακολουθεί λοιπόν εφαρμόζουμε το GARCH(1,1) υπόδειγμα: R ~ N. i. d.(0,1) R 1 1 με 0, 0, 0 και 1 όπως έχει ήδη προαναφερθεί στις σχέσεις 4 και 5. Παρακάτω, το συμβολίζει τη μη- δεσμευμένη διακύμανση, το την τυπική απόκλιση και το άθροισμα των παραμέτρων και δείχνει το βαθμό εμμονής ( ). Όταν το άθροισμα αυτό είναι ίσο με 1 η διαδικασία R θεωρείται μη- στάσιμη και η μη- δεσμευμένη διακύμανση δεν ορίζεται (ειδικότερα, τα τετράγωνα της R, R, ακολουθούν μια διαδικασία τυχαίας εξέλιξης). Εξετάζοντας όλο το δείγμα και στις τρεις περιπτώσεις παρατηρείται υψηλή εμμονή. Όπως έχει προαναφερθεί η εμμονή μπορεί να είναι ψευδής και να οφείλεται σε διαρθρωτικές μεταβολές που δεν ελήφθησαν υπόψη. 3
Συγκεκριμένα, το άθροισμα των παραμέτρων και, που είναι ο δείκτης εμμονής, για την Τράπεζα Πειραιώς είναι 0.9877, για την Alpha Bank 0.9781 και για τον γενικό δείκτη είναι 0.9999. Τράπεζα Πειραιώς Alpha Bank Γενικός δείκτης 0.1030 0.155 0.048 0.1033 0.14 0.195 0.8844 0.8557 0.8074 0.9877 0.9781 0.9999 Πίνακας 1. Χρονική περίοδος εκτίμησης: Τράπεζα Πειραιώς και Alpha Bank 1//1986-5/30/008 και Γενικός Δείκτης 1//1985-5/30/008 4..1 Μελέτη της Τράπεζας Πειραιώς Η στατιστική των Kokoszka και Leipus εντοπίζει στην περίπτωση της Τράπεζας Πειραιώς τρεις διαρθρωτικές μεταβολές. Ο εντοπισμός και των τριών όμως αυτών σημείων γίνεται με μια επαναληπτική διαδικασία όπως αυτή του αλγόριθμου ICSS. Συγκεκριμένα: Αρχικά εξετάζουμε ολόκληρο το δείγμα. Η εύρεση των διαρθρωτικών μεταβολών γίνεται σε επίπεδο σημαντικότητας 5% εκτός του σημείου 630 για το οποίο το επίπεδο σημαντικότητας είναι 10%. Η εφαρμογή της στατιστικής βρίσκει μια διαρθρωτική μεταβολή στο χρονικό σημείο 7 που αντιστοιχεί στην 3/1/1995 (1 Μαρτίου 1995). Αυτό οδηγεί στην εξέταση των δύο επιμέρους δειγμάτων 1-50 και 94-5578. Ο προσδιορισμός των παρατηρήσεων των δειγμάτων καθορίζεται από την πρόσθεση και αφαίρεση 33
παρατηρήσεων από το σημείο που υφίσταται η διαρθρωτική μεταβολή ούτως ώστε να μην περιλάβουμε παρατηρήσεις που βρίσκονται πολύ κοντά στο σημείο της μεταβολής και επηρεαστεί η αξιοπιστία της εκτίμησης της KL στατιστικής. Και στα δύο αυτά δείγματα όμως δεν εντοπίζονται άλλες διαρθρωτικές μεταβολές. Μετά όμως από προσεκτική μελέτη των δειγμάτων εντοπίζονται άλλες δύο διαρθρωτικές μεταβολές στο πρώτο δείγμα (1-50). Εξετάζοντας το δείγμα 1-1700 εντοπίζεται διαρθρωτική μεταβολή στο σημείο 630 (σε επίπεδο 10%) και εξετάζοντας το δείγμα 65-7 εντοπίζεται διαρθρωτική μεταβολή στο σημείο 1611. Παρατηρώντας το γράφημα που απεικονίζει τις αποδόσεις της Τράπεζας Πειραιώς, τα σημεία διαρθρωτικών μεταβολών και τη διαχρονική «μεταβολή» της αστάθειας παρατηρούμε ότι από την αρχή του δείγματος μέχρι και το σημείο 50 υπάρχει αλλαγή της διακύμανσης διαφορετικού πρόσημου. Δηλαδή, η διακύμανση είναι σε ένα αρχικό επίπεδο μέχρι το 630, έπειτα μειώνεται και μετά το 1611 αυξάνεται στο ύψος περίπου της αρχικής διακύμανσης. Αυτή η «κίνηση» μειώνει την ισχύ του ελέγχου και είναι ο λόγος για τον οποίο δεν είχαν εντοπιστεί εξαρχής από την στατιστική οι διαρθρωτικές μεταβολές των σημείων 630 και 1611. 34
1-608 65-1589 1633-50 94-487 1//86-6/17/88 8/19/88-6/18/9 8/19/9-1/30/95 4/3/95-3/8/03 0.40 0.511.6798 0.679 0.041 0.1693 0.93 0.1449 0.9363 0.733 0.5497 0.7769 KLsa 1.961 1.9467 1.5015 KL95 1.395 1.365 1.3367 KL90 1.1935 1.1996 1.087 Πίνακας - Τράπεζα Πειραιώς Η εφαρμογή του GARCH(1,1) υποδείγματος δίνει τα παραπάνω αποτελέσματα. Τα υπό- δείγματα καθορίζονται από τα σημεία που υφίστανται διαρθρωτικές μεταβολές (630, 1611, 7) αφού έχουν προστεθεί και αφαιρεθεί παρατηρήσεις ούτως ώστε να μην λαμβάνονται υπόψη παρατηρήσεις που βρίσκονται πολύ κοντά στο σημείο που συμβαίνει η διαρθρωτική μεταβολή. Ακόμη, έχει γίνει διόρθωση ακραίων τιμών στο πρώτο από τα επιμέρους δείγματα (1-608). Έχουν αφαιρεθεί οι παρατηρήσεις που είναι μεγαλύτερες του τετραπλάσιου της τυπικής απόκλισης. Τα σημεία των διαρθρωτικών μεταβολών αντιστοιχούν στις ημερομηνίες 19 Ιουλίου 1988 (630), 0 Ιουλίου 199 (1611) και 1 Μαρτίου 1995 (7). 35
1-608 65-1589 1633-50 94-487 1//86-6/17/88 8/19/88-6/18/9 8/19/9-1/30/95 4/3/95-3/8/03 10.6470 4.765 1.134 3.447 3.630.183 3.4819 1.8506 0.9774 0.897 0.7790 0.918 % 11.8394 44.37-90.0039 % 311.109 35.3761-36.7913 % -.7440-4.005 41.360 % -55.687 154.558-71.7511 % -33.1186 59.5488-46.8503 % -8.6734-1.7377 18.3351 Πίνακας 3- Τράπεζα Πειραιώς Στον Πίνακα 3 για την Τράπεζα Πειραιώς σημειώνονται η διακύμανση, τυπική απόκλιση και εμμονή για κάθε επιμέρους δείγμα καθώς και οι ποσοστιαίες μεταβολές του, του, του, της διακύμανσης, τυπικής απόκλισης και εμμονής. Ακόμη στον Πίνακα (αλλά και στους Πίνακες 4 και 6) ακολουθεί η τιμή της KL στατιστικής και οι κριτικές τιμές σε επίπεδο σημαντικότητας 5% (KL95) και 10% (KL90). Η τιμή της KLsa αφορά την τιμή της στατιστικής για το αντίστοιχο δείγμα 36
στο οποίο γίνεται ο εντοπισμός της διαρθρωτικής μεταβολής και η απόρριψη ή όχι της μηδενικής υπόθεσης γίνεται μέσω των κριτικών τιμών για 5% και 10%. Η εμμονή είναι αρκετά υψηλή σε όλα τα δείγματα. Το αυξάνεται στη δεύτερη περίοδο κατά 11.8394%, έπειτα αυξάνεται κατά 44.37% και ακολουθεί μείωση κατά 90.0039%. Το αυξάνεται κατά 311.109%, έπειτα αυξάνεται κατά 35.3761% και στην τελευταία χρονική περίοδο μειώνεται κατά 36.7913%. Το κατά τη μετάβαση από την πρώτη στη δεύτερη περίοδο μειώνεται κατά.7440%, έπειτα μειώνεται κατά 4.005% και στην περίπτωση του τελευταίου από τα επιμέρους δείγματα αυξάνεται κατά 41.360%. Η μη- δεσμευμένη διακύμανση μειώνεται κατά 55.687%, έπειτα αυξάνεται κατά 154.558% και μειώνεται ξανά κατά 71.7511%. Επιστρέφοντας στο ζήτημα της εμμονής παρατηρούμε πως η εμμονή μειώνεται κατά 8.6734%, έπειτα μειώνεται κατά 1.7377% και τέλος αυξάνεται κατά 18.3351%. Τα παραπάνω μεγέθη αντικατοπτρίζονται από τα γραφήματα 1 και. Γράφημα 1. 0 15 10 5 0-5 -10-15 -0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 RN 37
Γράφημα. 0 15 10 5 0-5 -10-15 -0 50 500 750 1000 150 1500 1750 000 50 500 750 3000 350 3500 3750 4000 450 Στο γράφημα 1 παρουσιάζεται η σειρά αποδόσεων της Τράπεζας Πειραιώς. Οι κάθετες γραμμές ορίζουν τα σημεία στα οποία η στατιστική των Kokoszka και Leipus εντοπίζει τις διαρθρωτικές μεταβολές. Μια ακόμη καλύτερη παρουσίαση της αλλαγής της διακύμανσης γίνεται στο γράφημα. Οι οριζόντιες ευθείες δείχνουν για το κάθε επιμέρους δείγμα το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης του. 4.. Μελέτη της Alpha Bank Στην περίπτωση της Alpha Bank σε επίπεδο σημαντικότητας 5% εντοπίζονται τέσσερις διαρθρωτικές μεταβολές. Αφορούν τα σημεία 1108, 1817, 405 και 3618 η αλλιώς τα χρονικά σημεία 15 Ιουνίου 1990, 14 Μαΐου 1993, 13 Σεπτεμβρίου 1995 και 0 Ιουλίου 000. Συγκεκριμένα, εφαρμόζοντας τη στατιστική σε όλο το δείγμα εντοπίζεται μια διαρθρωτική μεταβολή στο σημείο 1108. Αυτό δημιουργεί την ανάγκη εξέτασης για διαρθρωτική μεταβολή των δύο επιμέρους δειγμάτων 1-1086 και 1130-553. Στο πρώτο δείγμα δεν εντοπίζεται πλέον διαρθρωτική μεταβολή ενώ στο δεύτερο 38
εντοπίζεται μια ακόμη στο σημείο 405. Ελέγχονται επομένως τα επιμέρους δείγματα 1130-383 και 47-553 με αποτέλεσμα την εύρεση διαρθρωτικών μεταβολών στα σημεία 1817 και 3618 αντίστοιχα. Τα επιμέρους δείγματα που ορίζονται από τα τελευταία σημεία δεν εντοπίζουν άλλες στατιστικά σημαντικές διαρθρωτικές μεταβολές. 1-1086 1130-1795 1839-383 47-3596 3640-553 1//86-5/15/90 7/19/90-4/1/93 6/16/93-8/10/95 10/13/95-6/0/00 8//00- /6/07 0.1907 0.9401 0.9801 1.130 0.183 0.0959 0.50 0.918 0.187 0.091 0.8910 0.558 0.1399 0.6596 0.850 KLsa 1.4619.001 1.4799.0674 KL95 1.3373 1.3157 1.34 1.3478 KL90 1.069 1.1881 1.033 1.055 Πίνακας 4- Alpha bank 39
1-1086 1130-1795 1839-383 47-3596 3640-553 1//86-5/15/90 7/19/90-4/1/93 6/16/93-8/10/95 10/13/95-6/0/00 8//00- /6/07 14.5653 4.9515 1.746 7.1763 3.64 3.8165.5 1.313.6789 1.806 0.9869 0.8101 0.4317 0.843 0.9441 % 39.9514 4.609 15.4934-83.8955 % 16.7131 15.793-37.3896-49.5350 % -37.3548-74.9338 371.483 9.167 % -66.005-65.1694 316.1060-54.5395 % -41.6950-40.985 103.9868-3.5756 % -17.9111-46.715 95.1110 1.0938 Πίνακας 5- Alpha bank Όπως και στην περίπτωση της Τράπεζας Πειραιώς έτσι και στην Alpha Bank η εμμονή είναι αρκετά υψηλή για τα επιμέρους δείγματα. Για το δείγμα όμως των παρατηρήσεων 1839-383 παρατηρείται σχετικά χαμηλή εμμονή ίση με 0.4317. Η εμμονή από το πρώτο στο δεύτερο δείγμα μειώνεται κατά 17.9111%, ακολουθεί επιπρόσθετη μείωση κατά 46.715%, αύξηση μετά κατά 95.1110% και ξανά αύξηση κατά 1.0938%. Η παράμετρος αυξάνεται από το πρώτο στο δεύτερο δείγμα κατά 39.9514%, έπειτα αυξάνεται κατά 4.609, ακολουθεί μια αύξηση κατά 15.4934 ακόμη και τέλος μείωση κατά 83.8955. Το αυξάνεται αρχικά κατά 16.7131%, από το δεύτερο στο τρίτο από τα επιμέρους δείγματα αυξάνεται κατά 15.793%, μειώνεται κατά 37.3896% και έπειτα μειώνεται ακόμη κατά 49.5350%. Το αρχικά μειώνεται κατά 40
37.3548%, ακολουθεί επιπρόσθετη μείωση κατά 74.9338%, έπειτα αυξάνεται κατά 371.483% και τέλος αυξάνεται κατά 9.167%. Η μη- δεσμευμένη διακύμανση μειώνεται κατά 66.005%, μειώνεται ακόμη κατά 65.1694%, αυξάνεται κατά 316.1060% και τέλος μειώνεται κατά 54.5395%. Γράφημα 3. 16 1 8 4 0-4 -8-1 -16 1000 000 3000 4000 5000 RN 41
Γράφημα 4. 16 1 8 4 0-4 -8-1 -16 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 4500 5000 Στο γράφημα 3 παρουσιάζεται η σειρά των αποδόσεων με τις διαρθρωτικές μεταβολές στα σημεία 1108, 1817, 405 και 3618. Στο γράφημα 4 αντικατοπτρίζονται όσα έχουν αναφερθεί παραπάνω για την διακύμανση. Παρουσιάζεται και διαγραμματικά η μείωση από το αρχικό επίπεδο της διακύμανσης κατά 66.005%, η περαιτέρω μείωση κατά 65.1694%, η αύξηση κατά 316.1060% και στο τελευταίο από τα επιμέρους δείγματα η μείωση σε σχέση με το προηγούμενο δείγμα κατά 54.5395%. 4..3 Μελέτη του Γενικού Δείκτη Ιδιάζουσα περίπτωση για την εύρεση διαρθρωτικών μεταβολών αποτελεί η σειρά των αποδόσεων του γενικού δείκτη. Συνολικά εντοπίζονται δυο διαρθρωτικές μεταβολές στα σημεία 967 και 4154. Αντιστοιχούν στις ημερομηνίες 15 Οκτωβρίου 1996 και 11 Σεπτεμβρίου 001. Εξετάζοντας αρχικά όλο το δείγμα ο έλεγχος δεν εντοπίζει καμία διαρθρωτική μεταβολή κάτι που φαίνεται παράδοξο και από το διάγραμμα. Μειώνοντας το 4
μέγεθος του δείγματος στο 1-5100 η στατιστική εντοπίζει σε επίπεδο μόνο 10% μια διαρθρωτική μεταβολή στο σημείο 967 ενώ μειώνοντας κι άλλο το δείγμα στο 1-5000 η στατιστική εντοπίζει και σε επίπεδο 5% διαρθρωτική μεταβολή στο ίδιο σημείο. Έχοντας εντοπίσει μια διαρθρωτική μεταβολή το δείγμα χωρίζεται στα επιμέρους δείγματα 1-945 και 989-585. Στο πρώτο από τα επιμέρους δείγματα δεν εντοπίζεται άλλη μεταβολή ενώ στο δεύτερο προκύπτει η διαρθρωτική μεταβολή του σημείου 4154. Χωρίζοντας το δείγμα σε περαιτέρω τμήματα με βάση τις αναφερθείσες διαρθρωτικές μεταβολές δεν εντοπίζεται άλλη. Έχει εφαρμοστεί διόρθωση ακραίων τιμών σε όλο το δείγμα αφαιρώντας ουσιαστικά τις παρατηρήσεις οι οποίες είναι μεγαλύτερες του τετραπλάσιου της τυπικής απόκλισης. Αν δεν γίνει διόρθωση ακραίων τιμών εμφανίζεται το πρόβλημα μηστασιμότητας της διακύμανσης. 1-945 989-413 4176-585 1//85-11/11/96 1/16/97-8/9/01 10/11/01-5/8/08 0.0577 0.438 0.044 0.3304 0.1411 0.0944 0.755 0.7548 0.8706 KLsa 1.5308 1.514 KL95 1.3317 1.3357 KL90 1.1967 1.007 Πίνακας 6- Γενικός δείκτης 43
1-945 989-413 4176-585 1//85-11/11/96 1/16/97-8/9/01 10/11/01-5/8/08 4.8803 4.1596 1.650.091.0395 1.147 0.988 0.8960 0.9650 % 651.0698-89.7858 % -39.415-33.1100 % -0.058 15.3501 % -14.7689-69.5883 % -7.6793-44.853 % -9.3348 7.713 Πίνακας 7- Γενικός δείκτης Η εμμονή στην περίπτωση του γενικού δείκτη είναι πολύ υψηλή και στα τρία επιμέρους δείγματα λαμβάνοντας τιμές 0.988, 0.8960 και 0.9650 για τις παρατηρήσεις 1-945, 989-413 και 4176-585 αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, τη μεταβολή αποτελεί μια μείωση κατά 9.3348% και έπειτα μια αύξηση κατά 7.713%. Το αυξάνεται κατά 651.0698% από το πρώτο στο δεύτερο δείγμα και ύστερα μειώνεται κατά 89.7858%. Το μειώνεται κατά 39.415% και ακολουθεί επιπρόσθετη μείωση κατά 33.1100%. Το μειώνεται κατά 0.058% και έπειτα αυξάνεται κατά 15.3501%. Αυτά συνοψίζονται στην μείωση της μη-δεσμευμένης διακύμανσης κατά 14.7689% και σε επιπρόσθετη μείωση κατά 69.5883%. 44
Γράφημα 5. Γενικός δείκτης 1 8 4 0-4 -8-1 1000 000 3000 4000 5000 RN Όπως και στην περίπτωση των τραπεζών Πειραιώς και Alpha Bank έτσι και για το Γενικό δείκτη το γράφημα 5 παρουσιάζει τη σειρά των αποδόσεων και τα σημεία διαρθρωτικών μεταβολών, δηλαδή στις παρατηρήσεις 967 και 4154. 45
Γράφημα 6. Γενικός δείκτης 1 8 4 0-4 -8-1 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 Στο γράφημα 5 παρατηρούμε την αλλαγή της διακύμανσης με τη μείωση της κατά 14.7689% από το αρχικό της επίπεδο και έπειτα μια περαιτέρω μείωση κατά 69.5883%. 5. Συμπεράσματα Στόχος της συγκεκριμένης εργασίας είναι η μελέτη της διακύμανσης και η εύρεση των διαρθρωτικών μεταβολών της δεσμευμένης διακύμανσης. Ακόμη παρουσιάζεται αναλυτικά ο βαθμός εμμονής και οι ποσοστιαίες μεταβολές των διαθρωτικών παραμέτρων της δεσμευμένης διακύμανσης. Το οικονομετρικό υπόδειγμα είναι το GARCH(1,1) και το πρόγραμμα το οποίο χρησιμοποιείται για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων είναι το Eviews. Εφαρμόζεται έλεγχος τύπου σωρευτικών αθροισμάτων τετραγώνων και συγκεκριμένα η στατιστική των Kokoszka και Leipus σε τρεις χρηματοοικονομικές σειρές, στις αποδόσεις της Τράπεζας Πειραιώς και Alpha Bank για τα έτη 1986-008 46