ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
Αριθμητικά Συςτήματα Ζνασ αριθμόσ m-ψηφίων και βάςησ b, γράφεται ωσ μια ακολουθία m-ψηφίων. x = xm-1xm-2 x1x0 Όπου τα ψηφία xi ανήκουν ςτο διάςτημα 0 xi b-1 Ζτςι, η τιμή ενόσ μη προςημαςμζνου ακζραιου είναι :
Αριθμητικά Συςτήματα Κάθε αριθμόσ Ν, μπορεί να παραςταθεί, ςε οποιοδήποτε ςφςτημα αρίθμηςησ ωσ εξήσ : Ακζραιο μζροσ αριθμοφ: Κλαςματικό μζροσ αριθμοφ:
Αριθμητικά Συςτήματα
Βαςικζσ μετατροπζσ αριθμϊν Η μετατροπή ενόσ αριθμοφ από οποιοδήποτε ςφςτημα αρίθμηςησ ςτο δεκαδικό γίνεται με βάςη τον τφπο: (101,11)2= (?)10 (27,2)8= (?)10 (Α2,C)16= (?)10
Βαςικζσ μετατροπζσ αριθμϊν Η μετατροπή ενόσ αριθμοφ (ακζραιο μζροσ) από το δεκαδικό ςφςτημα αρίθμηςησ ςε οποιοδήποτε γίνεται με ςυνεχείσ διαιρζςεισ με τη βάςη, μζχρι το πηλίκο να γίνει μηδζν. Ο επιθυμητόσ αριθμόσ είναι τα υπόλοιπα από το τελευταίο ωσ το πρϊτο:
Βαςικζσ μετατροπζσ αριθμών Η μετατροπή ενόσ αριθμοφ (δεκαδικό μζροσ) από το δεκαδικό ςφςτημα αρίθμηςησ ςε οποιοδήποτε άλλο γίνεται με ςυνεχείσ πολλαπλαςιαςμοφσ με τη βάςη, μζχρι το δεκαδικό μζροσ να γίνει μηδζν. Ο επιθυμητόσ αριθμόσ είναι τα ακζραια μζρη από το πρϊτο ωσ τον τελευταίο:
Βαςικζσ μετατροπζσ αριθμών Μετατροπή από δυαδικό ςε οκταδικό 001110011101 1 6 3 5
Βαςικζσ μετατροπζσ αριθμών Μετατροπή από δυαδικό ςε δεκαεξαδικό 001110011101 3 9 D
Βαςικζσ αριθμητικζσ πράξεισ ςτο δυαδικό ςφςτημα Πρόςθεςη Αφαίρεςη
Προςημαςμζνη Αριθμητική Το MSB παριςτάνει το Πρόςημο Τα υπόλοιπα n-1 bits παριςτάνουν το Μζτρο Πχ η παράςταςη των αριθμϊν +12 και -12 για n=8. +12: 0 0001100-12: 1 0001100 Μέγιστος θετικός + (2^(n-1)-1), Μέγιστος αρνητικός (2^(n-1)-1) Για n=4 θα ζχουμε 2^(n-1)-1=2^(4-1)-1=2^3-1=7=1112 Μέγιστος θετικός 0 111, Μέγιστος αρνητικός 1 111 Το μηδζν μπορεί να παραςταθεί ωσ: 0 000 1 000 ΔΕΝ είναι αποδεκτή η παράςταςη του 0 με δυο τρόπουσ
Συμπληρϊματα Ωσ προσ r-1 (βάςη-1) είναι r n -1-N με βάςη το 10 ζχουμε ςυμπλήρωμα προσ 9 π.χ. το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 9 του 245 είναι το 754 Ωσ προσ r (βάςη) είναι r n -N με βάςη το 10 ζχουμε ςυμπλήρωμα προσ 10 π.χ. το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 10 του 245 είναι το 755
Συμπλήρωμα ωσ προσ 1 Το ψηφίο MSB, παριςτάνει το πρόςημο (0=θετικό, 1=αρνητικό). Όταν MSB=0, n-1 bit (υπόλοιπα bit) = το μζτρο του αριθμοφ. Όταν MSB=1, ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 των n bit = το μζτρο του αριθμοφ. Αντιςτρζφουμε τα ψηφία (0 -> 1, 1 -> 0) Π.χ Παράςταςη του +12 και -12: +12: 0 01100-12: 1 10011 -> -(110011) Συμπλήρωμα ωσ προσ 1 -> -(001100) -> -12 Μζγιςτοσ Θετικόσ: + (2^(n-1)-1) Μζγιςτοσ Αρνητικόσ: (2^(n-1)-1) Το μηδζν μπορεί να παραςταθεί ωσ: 0 000 1 1 1 1 ΔΕΝ είναι αποδεκτή η παράςταςη του 0 με δυο τρόπουσ
Συμπλήρωμα ωσ προσ 1
Συμπλήρωμα ωσ προσ 2 Λφνει το πρόβλημα τησ «διπλήσ» παράςταςησ του αριθμοφ 0. Το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 ενόσ αριθμοφ, παράγεται αν υπολογίςουμε το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 και προςθζςουμε μια μονάδα (1). Αυτόσ ο τρόποσ παράςταςησ, ζχει επικρατήςει ςτα ςημερινά ψηφιακά κυκλϊματα.
Πράξεισ με ςυμπληρϊματα Η πρόςθεςη πραγματοποιείται όπωσ ζχουμε μάθει. Θυμηθείτε: Τα ςυμπληρϊματα χρηςιμοποιοφνται για αναπαράςταςη αρνητικϊν αριθμϊν!!! Όταν το αποτζλεςμα τησ πρόςθεςησ είναι μεγαλφτερο από αυτό που μποροφμε να αναπαραςτήςουμε τότε ζχουμε υπερχείλιςη (overflow). Ζςτω ότι θζλουμε να προςθζςουμε δυο προςημαςμζνουσ 8bit αριθμοφσ. Η μεγαλφτερη επιτρεπτή τιμή του αποτελζςματοσ είναι το +127. Εάν το αποτζλεςμα είναι μεγαλφτερο, τότε φαίνεται η πρόςθεςη δυο θετικϊν αριθμϊν να δίνει ζναν αρνητικό!
Πράξεισ με ςυμπληρϊματα Η αφαίρεςη πραγματοποιείται με πρόςθεςη του ςυμπληρϊματοσ του αρνητικοφ αριθμοφ. Όταν χρηςιμοποιείται ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1, αν ςτην πρόςθεςη των MSB bit, προκφψει κρατοφμενο, τότε προςτίθεται ςτο αποτζλεςμα.
Πράξεισ με ςυμπληρϊματα Όταν το αποτζλεςμα είναι αρνητικό, το μζτρο του είναι το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1.
Πράξεισ με ςυμπληρϊματα Αν ςτην πρόςθεςη των MSB bit, προκφψει κρατοφμενο, τότε αυτό αγνοείται ςτο αποτζλεςμα. Όταν υπάρχει κρατοφμενο (αριςτερά του MSB), ςτο αποτζλεςμα τότε αυτό αγνοείται και ο αριθμόσ που προκφπτει είναι θετικόσ. Στην περίπτωςη που δεν προκφψει κρατοφμενο ςε αυτή τη θζςη, τότε το αποτζλεςμα είναι αρνητικόσ αριθμόσ με μζτρο το Σ.2 του αθροίςματοσ.
Πράξεισ με ςυμπληρϊματα Όταν το αποτζλεςμα είναι αρνητικό, το μζτρο του είναι το ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2.