CAMPO MAGNETOSTÁTICO

Σχετικά έγγραφα
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

Conceptos previos. Nocións de mecánica clásica.

POTENCIAL ESCALAR. R R o campo electrostático (1.8) póde expresarse como o gradente dun campo escalar: 1 R

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

Introdución ao cálculo vectorial

MATEMÁTICAS I. Exercicio nº 1.- a) Clasifica os seguintes números segundo sexan naturais, enteiros, racionais ou reais: 3

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Matrices. Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n números reais dispostos en m filas e n columnas

TEMA 1: FUNCIÓNS. LÍMITES E CONTINUIDADE

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

CAMPO ELECTROSTÁTICO. LEI DE COULOMB

Procedementos operatorios de unións non soldadas

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Os números reais... páx. 4 Números irracionais. Números reais

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Semellanza e trigonometría

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

Determinantes. 1. Introdución. 2. Determinantes de orde dúas. 1. Introdución 2. Determinantes de orde dúas. 3.3 Determinantes de orde tres

5.1. Relaciones elementales. Dado el triángulo ABC, que se muestra en la figura

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

ELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico

Tema 4 Magnetismo. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

A circunferencia e o círculo

Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio.

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

Hidrostática. Iván López Moreira, Rodrigo Carballo Sánchez, Alberte Castro Ponte. Hidráulica I. Grao en Enxeñaría Civil

FORMULACIÓN DO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Exercicios de Física 02b. Magnetismo

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

CHAPTER (2) Electric Charges, Electric Charge Densities and Electric Field Intensity

Indución electromagnética

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA

Resistencia de Materiais. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?

Lógica Proposicional

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109


PROBLEMAS CUESTIONS 1.

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

FISICA 2º BACH. CURSO 99-00

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.

SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial


TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2018

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

PAAU (LOXSE) Setembro 2006

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά

24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

Interferencia por división da fronte

MECÁNICA. = 1 m/s, calcular a velocidade angular da roda, e a velocidade do punto B.

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

PAU XUÑO 2015 FÍSICA

Academic Opening Opening - Introduction Greek Spanish En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré...

Catálogodegrandespotencias

MATRICES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS. 3D. ü INCLUDES. ü Cálculo de las componentes de la Matriz de rotación de tensiones (3-3)

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

1.- Evolución das ideas acerca da natureza da luz! Óptica xeométrica! Principio de Fermat. Camiño óptico! 3

Física A.B.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B)

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

Transcript:

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 AMPO MAGNETOTÁTO Anque os efectos eléctricos e mgnéticos ern conocidos desde tempos remotos relción entre o mgnetismo e s correntes eléctrics non se sospeitóu hst o descubrimento ccidentl por Oersted (80) d cción dun fío que trnsportb corrente sobre unh gull imnd. As primeirs medids cuntittivs ds fors entre correntes débense Ampère. c F Fig. 7. c F LE DE AMPÈE Ddos dous circuitos cerrdos e de correntes estcionris e respectivmente (fig. ) for F de sobre póde ser clculd pol seguinte epresión: µ ˆ (7.) ds ds 0 F ntercmbindo os ppeles dos circuitos cmbi de signo e for de sobre result F F (principio de cción e rección). Pero (7.) solo é certo ns condiciós especificds. Por eemplo for sobre un conductor recto (fig. ) é sempre norml ó conductor. Unh epresión máis conveniente d for sobre deberí incluir un producto vectoril polo vector unitrio ĉ tnente. En enerl for está dd pol seguinte lei de Ampère ( ds ˆ ) ds (7.) F Evidentemente gor F + F 0. Fig. 7. (7.) é un cso prticulr de (7.). upoñmos os circuitos cerrdos e s correntes estcionris o que signific que e son uniformes ó longo dos circuitos respectivos. hmndo ĉ e ĉ ós vectores unitrios tnentes e : ds ( ds ˆ ) cˆ ( cˆ ˆ ) cˆ ds ds ds ds cˆ cˆ ˆ cˆ cˆ ds ds ˆ ds ds omo integrl de circulción dun grdente sobre unh curv cerrd dá cero qued o resultdo (7.) que querímos demostrr. Eemplo 7.: for entre línes prlels en dous conductores rectos prlelos e infinitos que conducen correntes e respectivmente. lculremos for por unidde de lonitude que se eerce entre eles. ollmos o segmento entre e do primeiro conductor. Temos que ˆ ( ) + ˆ A for sobre vle A pesr desto o momento totl síguese conservndo. O término que flt é o momento do cmpo electromgnético que se estudirá en tems máis vndos.

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 µ F { [ ( ) + ]} ˆ ˆ ˆ ˆ d d 3 [( ) + ] 0 ˆ A integrl en resólvese usndo ( ) [ ( ) + ] 3 d d F Fig. 7.3 d [ + ] Aplicndo esto dá 3 lím + µ ˆ 0 F ( π ) lím + e s correntes son do mesmo signo os fíos tráense cunh for por unidde de lonitude inversmente proporcionl á distnci entre eles. (7.3) Definición de mperio A unidde de corrente eléctric no sistem interncionl de uniddes é o mperio (A). egún (7.3) o mperio (A) é corrente que circulndo por dous fíos rectos prlelos seprdos m produce entre eles unh for de trcción por unidde de lonitude de 0 7 N/m. AMPO MAGNÉTO. A lei de Ampère pódese epresr como F ds ˆ ds Definindo o cmpo mgnético d corrente como ˆ (7.4) ds for result epresd como o producto vectoril d corrente polo cmpo F ds (7.5) Pr unh distribución volúmic de corrente J epresión correspondente do cmpo será: ˆ (7.6) J dv que no cso de correntes superficiles e lineles se converte en: ˆ K d ˆ ds (corrente superficil) (7.7) (corrente linel)

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 Pr unh crg puntul q movéndose con velocidde u podemos dr unh epresión proimd válid cndo u << c (c é velocidde d lu no espcio libre): µ ˆ 0q u (7.8) ntroducindo o cmpo for sobre unh distribución volúmic de corrente eprésse: F J dv sendo s correspondentes pr correntes superficiles lineles e puntules: F K d (corrente (crg en superficil) movemento) (7.9) (7.0) F ds (corrente linel) F q u Obsérvse que o cmpo mgnético non fi trbllo sobre s crgs. As fors eléctrics e mgnétics son ditivs A for electromgnétic sobre un volumen chámse for de Lorent e vle F ( ρ E + J ) dv (7.) e sobre unh crg puntul: F q (E + u ) (7.) A prtir d for mgnétic sobre unh crg en movemento determínnse s uniddes do cmpo mgnético. Poñendo for como trbllo dividido por lonitude e o trbllo como crg por diferenci de potencil: s Wb [ ] T - m s m m (7.3) O Weber ( Wb s) é unidde de fluo mgnético. O cmpo que produce un fluo de Wb/m é unidde de cmpo mgnético do chmd Tesl (T). Xenerción de cmpos mgnetostáticos upoñmos un sistem de correntes contids nun volumen. En (7.6) desenrolmos o integrndo: Agor como ˆ J J J J + J J J dv n ˆ d 0 porque J 0 (s correntes están contids no volumen) integrl result A epresión ect cndo u c debe ter en cont efectos reltivists. 3

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 0 µ J dv (7.4) Pódese conseguir J 0 fcendo circulr unh corrente por unh bobin de fío conductor. Un dispositivo usdo n práctic pr enerr cmpos mgnéticos é o solenoide (fig. 7) que consiste nun conductor bobindo en hélice. r K r Fig. 7.4 y y Eemplo 7.: mpo dun plno con corrente superficil uniforme upoñmos que no plno 0 hi unh corrente superficil K uniforme e diriid n dirección positiv (fig. 4). O problem tén simetrí trslcionl ns direcciós e y logo o cmpo solo póde depender de. lculrémolo pr puntos deste eie. N figur r r ˆ ˆ yˆ y. O cmpo será K y ˆ ˆ y K dy d ( ) 4 K d dy d y 3 ˆ 3 π + + y 3 ( + + y ) ( que o integrndo d compoñente é función impr de y núlse ó integrr). A integrl resólvese com no eemplo 4 do cpítulo quedndo yˆ Pr un plno de orientción rbitrri obteríse K K nˆ (7.5) Eemplo 7.3: efecto Hll obre os portdores de crg dun volumen con densidde de crg ρ i no que eiste unh densidde de corrente estcionri J ctú por unidde de volumen for de Lorent fi ρie + J i ρi E + J i ρi A for mgnétic produce unh redistribución ds crgs que restblece o equilibrio de fors. Por eemplo nun conductor linel isótropo J σ E e corrente debe ser prlel E e esto serí imposible eistindo unh compoñente d for perpendiculr J. A distribución estátic de crg modificd produce un cmpo E electrostático e polo tnto conservtivo. e o volumen é estático for por unidde de volumen debe ser ρ E de onde 3 E E + J i ρ i Pero gor E non é conservtivo. Esto pódese entender notndo que densidde de crg que dentro de compens for J produce un cmpo conservtivo en todo o espcio 3 Os cmpos eléctrico e mgnético dependen do movemento do observdor. Os cmpos que ctún sobre s crgs en movemento con respecto ó volumen que s contén non é o mesmo que ctú sobre o volumen. 4

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 pero J solo é non nul en. obre un cmiño cerrdo que trves o volumen teremos unh for electromotri b J J y ε E ds ( J i ) ds φ φ ρ i sendo e os puntos por onde sle e entr respectivmente no volumen. No cso concreto d fig. 5 corrente distribúese uniformemente n sección ( Jb) e ε J i /ρ i. Epresndo densidde de crg en función d crg q i do portdor e do número n i de portdores por unidde de volumen (ρ i n i q i ) ε φ φ n q b i i Fig. 7.5 Observmos que o eperimento permite determinr concentrción de portdores de crg e o signo d crg destes portdores. FONTE DO AMPO MAGNETOTÁTO. TEOEMA DE AMPÈE. D epresión do (7.6) do cmpo mgnético obténse directmente diverenci de. Ó derivr con respecto r integrl en r qued simplemente integrl d derivd do integrndo: ˆ J dv ˆ ˆ J J dv J solo depende de r non de r logo J 0. E o rotcionl dun cmpo con simetrí esféric é cero. Logo 0 (7.6) omo consecuenci o fluo do cmpo mgnético sobre clquer superficie cerrd que drí crg mgnétic ou cntidde de polo mgnético contido dentro des superficie é sempre cero: d 0 É dicir non eisten polos mgnéticos isldos do cmpo mgnético producido por un sistem de correntes. (7.7) Teorem de Ampère No rotcionl de (7.6): ˆ J dv ˆ ˆ J ˆ J + ˆ J ( J ) Os operdores diferenciles ctundo sobre J volven dr cero. O último término clcúlse tendo en cont que ˆ ˆ ( J ) ( J ) dv 5

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 e plicndo o teorem integrl ˆ ˆ ˆ J + ( J ) dv ˆ n J d No cso de correntes estcionris J 0. Por outro ldo o volumen de integrción inclúe no seu interior tódls correntes que producen o cmpo logo J 0. Polo tnto integrl deste término é cero. Tmén sbemos que ˆ δ ( ) O resultdo é o teorem de Ampère que se plic solo correntes estcionris: J (7.8) O teorem de Ampère póde ser epresdo en form integrl plicndo o teorem de tokes unh superficie limitd pol curv cerrd : ds µ J d 0 sendo corrente eléctric que trves superficie. (7.9) ONDÓ DE FONTEA DO AMPO MAGNETOTÁTO D diverenci do cmpo (fonte esclr) result continuidde d compoñente norml unh superficie. omo 0 n ( ) 0 (7.0) ˆ A discontinuidde d compoñente tnencil virá dd pol densidde superficil de fonte vectoril (rotcionl). endo K densidde superficil de corrente por ser J ˆ ( ) µ K (7.) n 0 Eemplo 7.4: mpo mgnético dun conductor cilíndrico e un conductor cilíndrico de sección circulr recto uniforme e infinito n dirección lonitudinl (fig. 6). Dcordo cos condiciós de homoeneidde do conductor simetrí cilíndric e condiciós de fronteir densidde de corrente terá dirección e será uniforme dentro do conductor e cero fór del: ˆ J J( ) π 0 ˆ < > Por (7.6) o cmpo é perpendiculr. E por simetrí s compoñentes cilíndrics do cmpo solo póden depender d coordend rdil: ˆ ( ) + φˆ ( ) A compoñente rdil é cero. Demóstrse plicndo o teorem de Guss unh superficie cilíndric de rdio e lonitude concéntric co conductor. Terímos π d dv 0 0 ϕ 6

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 J < > Fig. 7.6 (dentro e fór do conductor). Logo o cmpo é cimutl ( ϕ ). A compoñente determínse plicndo o teorem de Ampère unh circunferenci no plno perpendiculr ó fío e co centro coincidindo co eie. omo dirección ĉ d curv é prlel ó cmpo: π ds J ds A integrl de superficie é corrente que trves o círculo limitdo pol curv. onsiderndo s superficies e d figur J d < > o relción nterior sbendo que ϕˆ ( ) e observndo que é continuo en : φˆ π (7.) φˆ π Eemplo 7.5: mpo mgnético dun solenoide idel Un solenoide (fig. 7) é un conductor envolto en form de hélice sobre un cilindro (en principio de sección rbitrri). Aquí considerremos un solenoide idel de sección circulr cos volts (espirs) moi unts e uniformemente espcids de mneir que corrente se póde similr unh corrente superficil cimutl (perpendiculr á dirección ) co compoñente lonitudinl desprecible e infinito. Por todo esto o cmpo tén simetrí cilíndric: ˆ ( ) + φˆ Β ( ) + ˆ ( ) ϕ l n l Fig. 7.7 solenoide. omo ( ) 0 Aplicndo o teorem de Guss com no eemplo nterior obtemos 0. Aplicndo o teorem de Ampère tmén com ntes sbendo que corrente n dirección é desprecible result que ϕ 0. Logo solo hi compoñente e. lculrémolo por medio do teorem de Ampère usndo un cmiño de integrción rectngulr formdo por dous segmentos de lonitude l n dirección unidos por outros dous perpendiculres e eles (fig. 5). Evidentemente ds l[ ( ) ( )] e > non brc ningunh corrente polo tnto ( ) ( ) ou se que é uniforme no eterior. A grndes distncis do solenoide o cmpo debe tender cero. Polo tnto no eterior do solenoide 0. Fgmos gor < e >. Neste cso curv de integrción está trvesd nl veces pol corrente do 7

Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 l ( ) ds nl resultndo n (tmén é uniforme) dentro do solenoide. En form vectoril: ˆ 0 µ n 0 dentro do solenoide fór do solenoide (7.3) Este resultdo tmén é correcto nun solenoide idel de sección rbitrri que cumple s condiciós de simetrí trslcionl s ecuciós d diverenci e do rotcionl do cmpo e s condiciós de fronteir n superficie do solenoide. TENO DE MAXWELL MAGNÉTO Usndo o teorem de Ampère e o desenrolo do grdente ( ) reescribimos for (7.): ( ) F dv dv ( ) dv sendo superficie que limit o volumen. A identidde vectoril [( ) + ] dv ( nˆ ) d ( ) nˆ d sbendo que 0 converte últim integrl de volumen nunh integrl de superficie. hmndo ó tensor identidde definimos o tensor de Mwell mgnético T ( M ) µ 0 e podemos epresr for mgnétic como se ctuse sobre superficie: ( M ) F T ˆ n d nˆ d (7.4) (7.5) Fors sobre superficies Aplicndo (7.3) ás dús crs e dunh superficie obtemos unh for f s por unidde de superficie ( M ) ( M ) fs ( T T )nˆ n ˆ nˆ f egún (7.8) compoñente norml de é continu. Ademáis eisten csos importntes en que é nul. Nestes csos fcendo obtense presión mgnétic ˆn ( M ) T nˆ nˆ µ 0 Fig. 7.8 resultndo for superficil como unh diferenci de presiós. Ó contrrio do que ps co cmpo electrostático for vi diriid n dirección en que o cmpo é menos intenso. É dicir superficie é repelid polo cmpo (levitción mgnétic). 8