Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 Τα πάντα είναι παράγωγοι Παραγώγιση συναρτήσεων 4 f () f () f () Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 4 f () 5 f () 6 f () 7 f () 8 () 9 () 0 f f f () f () f () ln f () ln ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' ' ' ' ' ' ' v v a ' v ln ' ' Κανόνες παραγώγισης f g ' f ' g ' f g ' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g '
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 4 f () ln f 5 () 6 7 8 9 f () f () f () f () f 0 () f () f () 4 5 f () f () ln f () 6 f () ln 7 f () 8 () f 9 f () ln 0 f () f () f () f () 4 f () ln
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 5 6 f () f () f 7 () 4 8 f () ln 9 f () f 40 () 4 4 5 f () f () f 4 () 5 4 44 45 46 47 48 49 f () 4 ln f () f () ln f () f () f () 50 () 9 5 f 5 5 5 f () ln f () f ()
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 54 55 ln f () f () 5 56 f () ln Παραγώγιση συναρτήσεων Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 57 58 f () 4 f () 59 f () ln 60 6 () 6 6 64 65 66 67 68 69 70 f () f f () ln f () 8 f () 7 f () f () f () 4 f () f () 4 f () 4 Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '() Λύνω f '() 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '() Πεδία Ορισμού f () g() 0 g() f ()() 0 f ln()() f 0 f 4
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 7 () f 7 f (),, 7 f () f 74 () 75 76 77 () f () f () f 78 f () ln 79 80 8 8 f () f () f () 6 f () 6 5 8 f () 84 85 f () 4 f () 86 f () ln 87 88 f () f () 89 () 90 f f () ln 9 f () ln Το νου σου 0 0 0 0 P() 0()() P 0 Q Q() 9 f () ln 9 94 f () f () 5
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 95 96 f () f () 97 f () ln 98 99 00 0 0 f () ln f () f () ln f () f () 4 0 f () ln f 04 () 05 06 07 08 09 0 f () 4 ln f () f () f () f () f () 9 5 ln f () f () f () 5 4 f () 6
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 5 6 7 8 f () f () f () f () Σύνθετη παραγώγιση Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 9 f () 0 f () f () ln f () f () 4 f () 5 5 6 f () 4 f () 6 5 7 f () ln 8 f () ln 9 f () ln 0 f ()( ) f () f () ln f ()() f ' f '() f () ' f'() () f f () '() '() f f f () '() '() f f f () ' f () f '() f () ' f () f '() ()() v v f v '() f f ln() f ' '() f f () f () 4 f () ln 5 f () 6 f () 7
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 7 f () 8 f () 9 40 f () f () 4 f () ln f () 4 4 f () 44 f () f 45 () 46 f () 47 f () ln 5 48 f () ln 49 f () 50 f () ln 5 f () ln 5 5 5 f () f () 54 f () ln 55 f () ln f () 56 0 57 f () 58 f () ln Το νου σου a ' a ln a ln ln ' ' ' 59 f () Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 60 f () 6 f () ln 8
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 6 f () ln 9 f () 6 f () 64 4 f () 65 66 f () 4 67 f () ln 68 f () 6 9 69 () f 70 7 f () f () 5 7 f () 7 7 74 4 8 f () f () 75 f () 76 77 f () f () 78 79 80 f () ln f () ln f () f 8 () Προβλήματα παραγώγων 8 Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 8 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 9
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 84 Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 85 Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 86 Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 87 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία Νδο η υποτείνουσα 0 a Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 88 Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 89 Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6 Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό Μορφή εφαπτομένης (ε) y y o o y0 f o f ' 90 Δίνεται f () a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι 4 9 Δίνεται o f τετμημένη 0 o () Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με Θυμίζω : τετμημένη τεταγμένη y, yo (ε) διέρχεται από :, y (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 o (ε) / / y (ε) y o, o (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' () 9 Δίνεται 9 Δίνεται f () 5 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f () a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 94 Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f (), ' στο σημείο με τετμημένη 4 95 Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 96 Δίνεται f () / / ' f (), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη 6 0
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 97 Δίνεται η συνάρτηση f (), να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ άξονα 98 Να βρεις την εφαπτομένη της 99 Να βρεις την εφαπτομένη της f () που είναι / / y f () που είναι 4y 0 00 Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f () a,() b g, να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0 Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της f () Εφαρμογή «Frmat 0 Αν b Να βρεις α,β όταν f (), f '() f () a f''() () f f () a b f''()() 0a f 0 Αν 04 Αν f () f''() '()() f 0 f 05 Αν f () () ''() f0 f b 06 Αν f () a 4, να βρεις τα α,β ώστε να έχει μέγιστο στο - με τιμή FERMAT Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο τότε f '() o 0 o 07 Αν, να βρεις τα α,β αν η συνάρτηση έχει στο τοπικό μέγιστο με τιμή 5 4 f () a b 08 Αν f () a b, να βρεις τα αβ ώστε να έχει ακρότατο στο και να διέρχεται από το Α(0,) 09 Αν f () a, να βρεις το α ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στο π/ 0 Να βρεις πολυώνυμο ου βαθμού με P''() 0,() P, P'() 0,() P a b Να βρεις τα α,β για να έχει ακρότατο στο Α(,-) η συνάρτηση f () Όρια 0 0 και συνέχεια συναρτήσεων Να υπολογίσεις τα όρια : 6 4, 7 5
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 6, 8 5 4 Να υπολογίσεις τα όρια : 5 5 5 5, 5 6 4, 0 4, 6 9 6 8 7 Να υπολογίσεις τα όρια :, 4 8 9 0 4 4, 4, 6, 0 0 4, 7 49 0 Να υπολογίσεις τα όρια : 4, 4 8 5 4 0 4, 5 4 5 5 5, 6 8 5 h 4 5,,, 5 0 5 h h 6 Σε όριο ΑΜ 0 0 έχεις επιλογές Hornrσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές D l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το ()f τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g() Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση ΑΜ κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του Στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει () f τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά a, 5 Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 6 Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 7 Αν f () 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο 4 Η f είναι συνεχής στο o () f ()() f f o o o 8 Αν (), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5,
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 9 Αν f () 5, a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 0 Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a, () f Να βρεις τα όρια : ( ) a a,, a a Να υπολογίσεις : Να υπολογίσεις :,, 9 4 a, a a 4 5 4 Να υπολογίσεις :, 0 4 5, 5 Αν f (), (),(),(),() f f f f 5, a 6 Αν f (),,, 0 να υπολογίσεις (), f () f 7 Υπολόγισε τα όρια : 6 9 6,, 4 8 4,, 0 g() f () 9 Αν () f,() g (), f, 0 0 0 0 f ()() 0 g, 40 Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4 Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 9, 09, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4 Αν 4 Αν f () () f ;,() ; f 9 f ()()()() h f f h f f ()(),(), f f, h ; h h 0 h 44 Να υπολογίσεις τα όρια : 6 6,
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 45 46 9 7, 0 4, 6 9 6 8 5 47 Να υπολογίσεις τα όρια :, 5 4 5 48 4, 8 4 a, 49 Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 50 Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 5 Αν f () 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 5 Αν (), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 5 Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 54 Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το () f 5 a,, 55 Αν f (), (),(),(),() f f f f 5, a 56 Αν f (),,, 0 να υπολογίσεις (), f () 57 Στην παραπάνω να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο, 58 Δίνεται συνάρτηση f () 5,, να βρεις : f (),(),(),() f f f f 59 Δίνεται συνάρτηση f () 9, 09, να βρεις f (0),(),(),() f f f 60 Δίνεται συνάρτηση f () a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β 6 Δίνεται συνάρτηση f () a b, να βρεις τα α,β όταν () f,() 4f 0 6 Δίνεται συνάρτηση f () a, να βρεις α,β ώστε b () f και να διέρχεται από Α(,) 4
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου 6 Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; i) iii) f ( ), ii) f ( ) f ( ) iv) f ( ) ln( ) 64 Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: i) f ( ) 4, ii) f ( ), iii) f ( ) 65 Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: i) f ( ) και g( ) ii) f ( ) και g ( ) 66 Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες i) f ( ) ii) f ( ) ln( ) iii) f ( ) iv) f ( ) ( ), 67 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι " " και για καθεμία απ αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) f ( ) v) f ( ) ln( ) ii) f ( ) vi) f ( ) iii) f ( ) ( )( ) iv) f ( ) vii) f ( ) 5 viii) f ( ) Αντίστροφη συνάρτηση () Αποδεικνύεις ότι είναι - Θέτω f()=yκαι λύνω ως προς χ Αλλάζω το χ με το ψ Το νέο ψ είναι η f f () Το νου σου :το σύνολο τιμών f(α)= A : Πεδία ορισμού : f ()()() g0 g f () ln(())() g 0 g ()() 0 f g g () Προσοχή : μη ξεχνάς ότι εφχ,σφχ είναι κλάσματα «-» : μπορείς να αποδείξεις ένα από τα επόμενα ό f ()() f (μην το χρησιμοπ) f ()() f ό Νδο η f είναι γνησίως μονότονη : f '() κτλ Σε σχήμα θα πρέπει φέρνοντας οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία να τέμνεις το πολύ σε ένα σημείο Σε κλαδωτή συνάρτηση αποδεικνύουμε ότι είναι - κάθε κλάδος και μετά θα πρέπει τα σύνολα τιμών των κλάδων να μην έχουν κοινά σημεία Νδο η συνάρτηση δεν είναι «-» : απέδειξε ότι δεν ισχύει ένα από τα παραπάνω ή βρες τιμές για το χ όπου δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου 68 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f ( ) g( ) να i) f ( ) και g( ) ( ) ii) f ( ) και g( ) iii) f ( ) και g ( ) 69 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g( ) Πράξεις συναρτήσεων : Βρες το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης Af, Ag οπότε A Af Ag Ο αντίστοιχος τύπος θα είναι η αντίστοιχη πράξη των τύπων τους Προσοχή στη συνάρτηση f g θα πρέπει στο πεδίο ορισμού να λάβεις υπόψη ότι g() 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις f g, f g, fg και f g 70 Ομοίως για τις συναρτήσεις f ( ) και g( ) 7 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν i) f ( ) και g( ), ii) f ( ) ημ και g( ) Σύνθεση συναρτήσεων fμε g : Agof A f :() f Ag gof g f ()(()) g f iii) π f ( ) και g( ) εφ 4 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g ( ) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις gof και fog 7 Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει: i) ( fog )( ), αν g( ) ii) ( fog)( ), αν g( ) iii) ( gof )( ) συν, αν g( ) 74 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g ( ) α Για ποια τιμή του α ισχύει fog gof 75 Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο 0 όταν: 5 i) f ( ), 4 0 0 ii) f ( ), 4 4( ) 0 6 Μορφή 0 a : δίνει αποτέλεσμα Hornr σε παρονομαστή Βρες το προβληματικό Σπάσε σε όρια Υπολόγισε το πρώτο και στο δεύτερο κάνε
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 iii) f ( ), 0 0 76 Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο 0, όταν: 4 i) f ( ), 0 ii) f ( ), 0 0 iii) f ( ), 0 0 Β ΟΜΑΔΑΣ 77 Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το 78 Να αποδείξετε ότι: 9 4 4 8 π i) Η συνάρτηση f ( ) εφ δεν έχει όριο στο ii) Η συνάρτηση f ( ) σφ δεν έχει όριο στο 0 79 Δίνονται οι συναρτήσεις ( λ ) f ( ) Nα βρείτε τις τιμές των και g( ) μ λ, μ για τις οποίες υπάρχουν στο τα όρια f ( ) και g( ) 0 80 Να βρείτε το f ( ), όταν: 4 i) f ( ) ii) f ( ) iii) [ f ( )( )] 8 Nα βρείτε τα όρια: i) ( 0 5) ii) (5 ) iii) 5 8 ii) 4 5 v) vi) 4 0 vii) 5 8 Να βρείτε τα όρια: i) 4 iii) ( ) viii) 5 ii) 0 9 iv) ( ( α)( β) ), 7 α β Όρια στο : παίξε με τη μεγαλύτερη δύναμη παντού, σε αριθμητή, παρονομαστή, μέσα στη ρίζα, έξω από τη ρίζα,
τηλ Οικίας : 0-6078 κινητό : 697-008888 v) ( 4 4 ) 8 Να βρείτε τα όρια: i) ii) ( ) iii) iv) ( ) v) vi) ( ) B ΟΜΑΔΑΣ 84 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) ( μ) ii) ( μ ) μ 5 6 85 Nα προσδιορίσετε το λ, ώστε το ( 5 0 λ) να υπάρχει στο 86 Αν f ( ) α β 87 Να βρείτε τα όρια:, να βρείτε τις τιμές των β α,, για τις οποίες ισχύει f ( ) 0 i) 5 ii) 5 4 iii) 8