Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί µε τις παρακάτω µορφές: z = (x, y) = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = re iθ, x, y, r, θ R όπου: i =, r = z = x + y, cos θ = x r, sin θ = y r Η µορφή z = (x, y) µας λέει ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί µ ένα σηµείο του z επιπέδου µε καρτεσιανές συντεταγµένες (x, y) ή µ ένα διάνυσµα του z επιπέδου που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σηµείο (x, y). Με τη µορφή z = x+iy µπορούµε να κάνουµε άφοβα τις πράξεις της Άλγεβρας ϑέτοντας όπου i =. Είναι καλό να ϑυµόµαστε ότι ισχύουν οι σχέσεις: i n =, n = 4k i, n = 4k +, n = 4k + i, n = 4k + 3, k N Η τρίτη µορφή του µιγαδικού αριθµού και (κυρίως) η τέταρτη (z = re iθ ) ϐοηθούν στις πράξεις του πολλαπλασιασµού, της διαιρέσεως, των δυνάµεων και των ϱιζών. Το µέτρο r δηλώνει την απόσταση του µιγαδικού αριθµού z = (x, y) από την αρχή των αξόνων και η γωνία θ (πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος του z) είναι η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σηµείο z = (x, y) µε το ϑετικό πραγµατικό άξονα. Ισχύουν οι παρακάτω τύποι: z z = r r e i(θ +θ ), z z = r r e i(θ θ ), z /n = r /n e i(θ+kπ)/n, k =,,,..., n. z n = r n e inθ Τέλος ενώ δύο µιγαδικοί αριθµοί µπορούν να είναι ίσοι ή να µην είναι ίσοι, δεν έχει έννοια να γράψουµε σχέσεις ανισότητας µεταξύ δύο µιγαδικών αριθµών... Αλυτες ασκήσεις. Να δειχτούν αλγεβρικά οι παρακάτω σχέσεις: α) z Re z Re z, z Im z Im z, Arg(z z ) = Arg z + Arg z β) zz = z, z = z, z z = z z n n γ) z z z z, z + z z + z, δ) z k z k, (n =,, 3, ). Να δειχτεί ότι το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία: z = + i, z = 4 i, z 3 = i6 είναι ισοσκελές και να ϐρεθούν τα µήκη των πλευρών του. 3. Αν οι µιγαδικοί αριθµοί z, z, z 3 ικανοποιούν τις συνθήκες: z = z = z 3 και z + z + z 3 =, να δειχτεί ότι αυτοί απεικονίζονται στο z επίπεδο στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. 4. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί : z = + i, z = i (, 3, z 3 = +i i) z4 = cos 3π + i sin 3π, z 5 = (+i)( i 3). Να ϐρεθούν : α) τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη τους, ϐ) τα µέτρα και οι πρωτεύουσες τιµές των ορισµάτων τους. Να παρασταθούν µε τη µορφή z = re iθ και να γίνει η γεωµετρική παράσταση τους στο z επίπεδο. k= k=

5. Να δειχτεί ότι, αν το διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό z (στο z επίπεδο) περιστραφεί κατά 9 o γύρω από την αρχή, γίνεται το διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό iz. 6. Αν z = x + iy, να ϐρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών x και y που ικανοποιούν τις εξισώσεις: α) x + y + 3 = i( + y 3x), ϐ) z = 3z, γ) z + i = z i, δ) z = 3 z, ε) 4 z + z + 8. 7. Να δειχτεί ότι η παράσταση: f n (z) = (cos α + z sin α) n cos nα z sin nα, έχει ϱίζες τα σηµεία: z = ±i. 8. Να δειχτεί ότι: α) ( + i 3) = ( + i ( ) i 8 3), ϐ) =, γ) ( 3 3i) 6 = 3, + i δ) [ i ( i) n ] ( + i) n = n/ sin nπ 4. 9. Να δειχτεί ότι: α) Αν (cos θ + i sin θ) n = τότε (cos θ i sin θ) n =, ϐ). Να δειχτούν οι σχέσεις: cos(kθ) = sin(kθ) = k ( ) r( k ) sin r θ cos (k r) θ r r= ( + i tan θ i tan θ k ( ) r( k ) sin r+ θ cos k (r+) θ r + r= ) n ( + i tan nθ ) = i tan nθ Υπόδειξη. Στο δεξιό µέλος του τύπου του De Moivre: cos nθ + i sin nθ = (cos nθ + i sin nθ) n, χρησιµοποιήστε τον τύπο n ( n ( του διωνύµου: (x + y) n = x r) r y n r n n!, όπου =. Θέστε n = k και εξισώστε τα πραγµατικά και τα r) r!(n r)! r= ϕανταστικά µέρη των δύο µελών της εξισώσεως.. Χρησιµοποιώντας την εκθετική µορφή των µιγαδικών αριθµών, να δειχτεί ότι: α) + cos θ + cos θ + + cos kθ = sin(k + )θ/ sin θ ϐ) sin θ + sin θ + + sin kθ = cot θ cos(k + )θ/ sin θ γ) cos θ + cos 3θ + + cos (n )θ = sin nθ/ sin θ δ) sin θ + sin 3θ + + sin (n )θ = sin nθ/ sin θ Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τη γνωστή σχέση που δίνει το άθροισµα των όρων µιας γεωµετρικής προόδου : + z + z + + z n = zn+ z. Θέστε z = eiθ και εξισώστε τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη των δύο µελών της εξισώσεως.. Να αποδειχτεί ο τύπος (.3) που δίνει την τετραγωνική ϱίζα ενός µιγαδικού αριθµού, z = α + iβ. Υπόδειξη. Θέστε α + iβ = (x + iy) και προσδιορίστε κατάλληλα τα x και y. 3. Να δειχτεί ότι αν z = r(cos θ + i sin θ) και m, n ακέραιοι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους, τότε: (z m ) /n = (z /n ) m = n [ r m cos ( m n (θ + kπ)) + i sin ( m n (θ + kπ))] 4. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων: α) z n =, ϐ) z n + =, γ) z n i =, δ) z n + i =, ε) z n + ( + i) =, στ) z = z n, n N και να τοποθετηθούν στο z επίπεδο, όταν n = 3 και n = 4. 5. Να δειχτεί ότι το άθροισµα των n το πλήθος ϱιζών (z /n, n N) ενός µιγαδικού αριθµού είναι µηδέν. = n r e i θ n e i kπ n, k =,,,..., n. Η πρόσθεση των n ϱιζών ] Υπόδειξη. Οι n ϱίζες του z είναι: z /n = n r e i θ+kπ n δίνει: S = n r e i θ n [ + e i π n + e i 4π n + + e i (n )π n

.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 Το άθροισµα της αγκύλης είναι το άθροισµα των όρων µιας γεωµετρικής προόδου, που είναι τ = e i (n )π n και ω = e i π n. 6. Να δειχτεί ότι: sin π n sin π n sin (n )π n = n n. τω α ω όπου α =, Υπόδειξη. Επειδή οι ϱίζες της εξισώσεως z n =, είναι: z k = e i kπ n, k =,,,..., n, το πολυώνυµο z n γράφεται: z n = (z ) ( z e i ) ( ) π n z e i (n )π n. Χρησιµοποιήστε τη γνωστή σχέση z n z = +z +z + +z n n ( ) και στην εξίσωση που ϑα προκύψει, ϑέστε z = για να οδηγηθείτε στη σχέση: n = e i kπ n. Πολλαπλασιάστε τη σχέση αυτήν µε τη συζυγή της και λάβετε υπόψη ότι sin kπ n k= > για k =,,..., n. 7. Αν A, A,..., A n είναι οι κορυφές κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας ίσης µε τη µονάδα, να δειχτεί ότι: (A A )(A A ) (A A n ) = n Υπόδειξη. Αντιστοιχείστε τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου µε τις n ϱίζες της µονάδας, που είναι: z = e =, z = e iπ/n,..., z n = e i(n )π/n. Γράψτε το αριστερό µέλος της προς απόδειξη σχέσης µε τη µορφή (A A )(A A ) (A A n ) = z z z z z z n = και συνεχίστε όπως και στην προηγούµενη άσκηση. n k= e ikπ/n 8. Θεωρήστε τις συνιστώσες ˆL x, ˆL y, ˆL z του τελεστή της στροφορµής: ˆL = i r, δηλαδή : ˆLx ( ) = i y z z y, ˆL y = i ( z x x ) ( ) z και ˆLz = i x y y x. Εξηγήστε γιατί ισχύει: (ˆL x + iˆl y ) (ˆL x iˆl y );. Ασκήσεις Κεφαλαίου Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στις µιγαδικές συναρτήσεις πρέπει να ϑυµόµαστε ότι: Μια µιγαδική συνάρτηση µπορεί πάντα να γραφεί µε τις µορφές: w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = R(x, y) e iφ(x,y) όπου u(x, y), v(x, y), R(x, y) και φ(x, y) είναι πραγµατικές συναρτήσεις των πραγµατικών µεταβλητών x και y. Η γραφική παράσταση µιας µιγαδικής συναρτήσεως γίνεται σε δύο επίπεδα. Το z επίπεδο όπου παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή και το w επίπεδο όπου παίρνει τιµές η συνάρτηση. Ορισµός της εκθετικής συναρτήσεως: e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y). Οι ϐασικές ιδιότητες της e z είναι: e z = e x και arg(e z ) = y + kπ, k = ±, ±,... e z e z = e z +z, e z e z = ez z, (e z ) n = e nz Η συνάρτηση e z δεν µηδενίζεται πουθενά και είναι περιοδική µε περίοδο inπ, όπου n ακέραιος. Επίσης: e iπ/ = i, e iπ =, e i3π/ = i, e inπ =, n =, ±, ±,... Ορισµός των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων: cos z = (eiz + e iz ), sin z = i (eiz e iz ) κλπ. Ορισµός των και υπερβολικών συναρτήσεων: cosh z = (ez + e z ), sinh z = (ez e z ) κλπ.

4 Οι συναρτήσεις cos z και sin z έχουν άπειρες ϱίζες που ϐρίσκονται επάνω στον πραγµατικό άξονα. Οι συναρτήσεις cosh z και sinh z έχουν άπειρες ϱίζες που ϐρίσκονται επάνω στο ϕανταστικό άξονα: sin z = z = nπ και cos z = z = (n + ) π, n =, ±, ±,... sinh z = z = inπ και cosh z = z = i(n + ) π, n =, ±, ±,... Για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ισχύουν όλες οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες, π.χ.: Σηµείωση. Τα µέτρα των συναρτήσεων cos z και sin z µπορούν να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [, )! Ορισµός του λογαρίθµου: ln z = Ln r + i(θ + kπ), k =, ±, ±,..., r = z, θ = Arg z. Ορισµός µη ϱητών δυνάµεων: z c = e c ln z = e c[ln z +i(θ+kπ)] = e c[ln z +iθ] e ickπ, k =, ±, ±,... Η συνάρτηση z c είναι µονότιµη συνάρτηση όταν c =, ±, ±,..., πλειότιµη συνάρτηση µε n κλάδους όταν c = m/n και m, n ακέραιοι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους και πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c = m/n =άρρητος αριθµός ή µιγαδικός αριθµός... Αλυτες ασκήσεις. Να ϐρεθεί τι παριστάνουν στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία που καθορίζονται από τις σχέσεις: α) z + i =, ϐ) < z <, γ) z + i >, δ) z <, ε) z+ =, στ) Im z <, Ϲ) Im z, η) Re z, z ϑ) Re z = 4, ι) Re z = 4 ια) z z = i, ιβ) z = (z ). Να εκφραστούν οι παρακάτω συναρτήσεις µε τη µορφή, f(z) = u(x, y) + iv(x, y): f (z) = z i z + i, f (z) = z + i, f 3(z) = zz, f 4(z) = z + z, f 5 (z) = sin z, f 6 (z) = sinh z, f 7 (z) = cosh z, f 8 (z) = tan z 3. Να αποδειχτούν οι παρακάτω ιδιότητες της εκθετικής συναρτήσεως: α) Είναι περιοδική µε περίοδο inπ, n =ακέραιος. ϐ) e z = (e z ) και e iz (e iz ) για z nπ, όπου n =, ±, ±,... γ) e z e z = e z +z, e z /e z = e z z, (e z ) m = e mz, (m=ακέραιος). 4. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση e z δεν έχει καµιά ϱίζα. Επίσης να δειχτεί ότι e imz όταν Imz και m. 5. Να ϐρεθεί η περιοχή του z επιπέδου για την οποία ισχύει η σχέση e z <. 6. Να δειχτεί ότι: e z+i + e iz e x + e xy. 7. Να εξεταστεί η συµπεριφορά των συναρτήσεων: e x+iy όταν x και e +iy όταν y. 8. Να ϐρεθούν οι εικόνες των σηµείων των σκιασµένων τόπων του z επιπέδου των παρακάτω σχηµάτων, µε το µετασχηµατισµό f(z) = e z : (α) 9. Να λυθεί η εξίσωση: F Eiπ D A y B z- x (β) n (cos kx + i sin kx) =. A E k= Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τον τύπο του Euler e iθ = cos θ + i sin θ και τη γνωστή σχέση που δίνει το άθροισµα των όρων µιας αριθµητικής προόδου : + + + n = n(n+). z- D iπ B y x (γ) y iπ F z- E A D B x

.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5. Να δειχτεί ότι: α) αν: (cos z +i sin z) n = τότε: (cos z i sin z) n =, ϐ) ( ) + i tan z n + i tan nz = i tan z i tan nz.. Χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες να δειχτεί ότι ο µετασχηµατισµός f(z) = z + z κύκλο z = του z επιπέδου στο ευθύγραµµο τµήµα [, ] του w επιπέδου. απεικονίζει τον. Πως απεικονίζονται στο w επίπεδο οι ευθείες: x = και y = µε το µετασχηµατισµό f(z) = sin z ; 3. Να δειχτούν οι σχέσεις: sin( z) = sin z, cos( z) = cos z, sin(z + π) = sin z, cos(z + π) = cos z, sin(z + z ) = sin z cos z + cos z sin z, cos(z + z ) = cos z cos z sin z sin z 4. Να δειχτούν οι σχέσεις: sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, sin z = sin x + sinh y, cos(iz) = cosh z, sin(iz) = i sinh z, sinh y sin z cosh y, sinh y cos z cosh y. 5. Να ϐρεθούν και να παρασταθούν στο z επίπεδο, οι ϱίζες των συναρτήσεων: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f 3 (z) = sinh z, f 4 (z) = cosh z 6. Να ϐρεθούν και να παρασταθούν στο z επίπεδο οι ϱίζες των εξισώσεων: α) e z =, ϐ) e z = + i 3, γ) e z =, δ) z 4 + i =, ε) cos z =, στ) cosh z =, Ϲ) tan(iz) =, η) sin z =, ϑ) sinh z = i, ι) cos z = i sinh z, ια) tan z = 7. Η εξίσωση: tan z = ±i έχει λύσεις; 8. Για τη συνάρτηση f(z) = z c = e c ln z να δειχτεί ότι είναι: α) µονότιµη συνάρτηση όταν c =ακέραιος αριθµός, ϐ) πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων όταν c = m n (m, n πρώτοι αριθµοί), γ) πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c =άρρητος ή µιγαδικός αριθµός. 9. Να ϐρεθούν οι τιµές των δυνάµεων : i /, ( + i) i, i.. Να δειχτεί ότι : ln(z z ) = ln z +ln z +i(arg z +Arg z +kπ), k =, ±, ±,... και εποµένως εν γένει είναι ln(z z ) ln z + ln z και ln z m m ln z.. Πότε ισχύουν οι σχέσεις: z b z c = z b+c, (z z ) c = z c zc, (zb ) c = z bc, όταν z, z, z, b και c ;. Ορίζοντας τις αντίστροφες τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής z µε τον ίδιο τρόπο που ορίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις, δείξτε ότι : sin z = i ln(iz + z ), cos z = i ln(z + z ), tan z = ( ) + iz i ln, cot z = ( ) z + i iz i ln, z i sinh z = ln(z + + z ), cosh z = ln(z + z ), tanh z = ( ) + z ln, coth z = ( ) z + z ln z 3. Να µονοσηµαντοποιηθεί η συνάρτηση f(z) = ln[( + z)/( z)] αν f(i) = iπ/. 4. Να ϐρεθούν οι κλάδοι της συναρτήσεως f(z) = z i. Να µονοσηµαντοποιηθεί αυτή αν f() =.

6 5. Στην κβαντική ϑεωρία του ϕωτοϊονισµού συναντάται η σχέση: ( ) iy λ = e λ cot y iy + όπου λ, y πραγµατικοί αριθµοί. Να αποδειχτεί αυτή η σχέση. 6. Να δείξετε, χρησιµοποιώντας µιγαδικές παραστάσεις, ότι, όταν τα κύµατα: y (x, t) = A cos(kx + ωt) και y (x, t) = A cos(kx ωt + π) συναντηθούν σε ένα σηµείο του χώρου, προκύπτει το στάσιµο κύµα : y(x, t) = y (x, t) + y (x, t) = A sin kx sin ωt 7. Η κυµατοσυνάρτηση ενός σωµατίου είναι: Ψ(x, t) = +ix +ix e iet/. α) Να κανονικοποιηθεί η κυµατοσυνάρτηση αυτή. ϐ) Να γίνει η γραφική παράσταση της πυκνότητας πιθανότητας. γ) Να ϐρεθεί η ϑέση στην οποία είναι το πιο πιθανό να ϐρεθεί το σωµάτιο. 8. Οι συναρτήσεις ψ (x, t) = c e i(kx Et/ ) και ψ (x, t) = c e i(kx Et/ ), είναι οι κυµατοσυναρτήσεις ( ) δύο επιπέδων υλοκυµάτων. Να δειχτεί ότι: ψ (x, t) = ψ + ψ = c + c + Re(c c ) cos E E t.3 Ασκήσεις Κεφαλαίου 3 Ορισµός της παραγώγου µιας µιγαδικής συναρτήσεως: f w (z ) lim z z = lim f (z + z) f (z ) z z Η µεταβλητή z = z + z µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή στην περιοχή του z, στην οποία η f(z) υπάρχει και η µεταβολή z µπορεί να πλησιάσει το µηδέν κατά µήκος οποιουδήποτε από τους άπειρους δρόµους που ενώνουν τα σηµεία z και z. Θεώρηµα συνθήκες auchy-riemann και έκφραση της παραγώγου: Α. Καρτεσιανές συντεταγµένες: u x = v y, u y = v x, f (z) = f x = i f y u Β. Πολικές συντεταγµένες: r = v r θ, v r = u r θ, f (z) = f iz θ = r f z r Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες παραγωγίσεως που ισχύουν και στις πραγµατικές συναρτήσεις καθώς και ο κανόνας του L Hospital. f Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε: z = f f (z) και =. ηλαδή, οι αναλυτικές z συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Αν οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι αναλυτικές σ έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις: f(z) ± g(z), f(z) g(z) και f(z)/g(z) εφόσον g(z). Για την εύρεση της παραγώγου µιας µιγαδικής συναρτήσεως µπορούµε να ακολουθήσουµε τους παρακάτω τρόπους:. Από τον ορισµό της παραγώγου.. Από το ϑεώρηµα των auchy-riemann. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο και για τη διαπίστωση της µη αναλυτικότητας µιας µιγαδικής συναρτήσεως. 3. Αν γνωρίζουµε τις παραγώγους µερικών ϐασικών συναρτήσεων µποϱούµε να ϐρούµε τις παραγώγους άλλων συναρτήσεων που προκύπτουν από αυτές χρησιµοποιώντας τους κανόνες παραγωγίσεως, όπως ακριβώς και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Αν η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) είναι αναλυτική τότε οι συναρτήσεις u(x, y) και v(x, y) λέγονται συζυγείς αρµονικές και ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace στο επίπεδο. Αν η συνάρτηση u(x, y) είναι αρµονική µπορεί να ϐρεθεί µια οικογένεια συζυγών αρµονικών µε τη ϐοήθεια του τύπου: (x,y) v (x, y) = u y dx + u x dy + c () (x,y )

.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 7.3. Αλυτες ασκήσεις. Να δειχτούν οι σχέσεις: α) d dz [f (z) g (z)] = f (z) g (z) + f (z) g (z) ϐ) d dz [ ] f (z) = f (z) g (z) f (z) g (z) g (z) [g (z)], γ) d df f (g (z)) = dz dg. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f(z) = z έχει παράγωγο µόνο στο σηµείο z =. Μπορούµε να πούµε ότι η f(z) είναι αναλυτική στο σηµείο z = ; 3. Να δειχτεί ότι : α) d dz (c) =, ϐ) d dz cos z = sin z, γ) d dz tan z = cos z, δ) d dz cot = sin z, ε) d dz sinh z = cosh z στ) d dz cosh z = sinh z, Ϲ) d dz tanh z = cosh z, η) d dz coth z = sinh z, ϑ) d dz az = a z ln a 4. Χρησιµοποιώντας τις συνθήκες auchy-riemann να ϐρεθούν οι περιοχές του z επίπεδου όπου οι παρακάτω συναρτήσεις είναι αναλυτικές: f = i + sin z, f = e z, f 3 = z Re z, f 4 = 3z 3 z, f 5 = z + z 5. Να εξεταστεί ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες (και που) και να ϐρεθεί η παράγωγός τους, όπου υπάρχει: f = x + i3y, f = x + iy, f 3 = cos y i sin y f 4 = x iy, f 5 = x + iy, f 6 = sin x cosh y + i cos x sinh y 6. Να δειχτεί ότι αν µια αναλυτική συνάρτηση είναι πραγµατική στο εσωτερικό ενός τόπου, τότε αυτή είναι µια σταθερά. f 7. Να δειχτεί ότι αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε ισχύουν οι σχέσεις: z = f f (z) και z = Υπόδειξη. Επειδή x = (z + z ) και y = i (z z ), µια µιγαδική συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) µπορεί να ϑεωρηθεί ως συνάρτηση των z και z που λέγονται µιγαδικές συζυγείς συντεταγµένες. ηλαδή f = u(z, z ) + iv(z, z ). u Με τη ϐοήθεια των µερικών παραγώγων: z, v x z και z =, y z =, διαπιστώστε ότι: i f z = ( u x v ) + i ( u y y + v ). x 8. Να δειχτεί ότι σε πολικές συντεταγµένες οι συνθήκες auchy-riemann και η παράγωγος γράφονται: u r = r v θ, v r = r u θ, f (z) = iz f θ = r z Υπόδειξη. ος τρόπος. Εκφράστε τα x, y και τις µερικές παραγώγους u x, u y, v x, v y σε πολικές συντεταγµένες και αντικαταστήστε στις συνθήκες auchy - Riemann και στην έκφραση της παραγώγου σε καρτεσιανές συντεταγµένες. ος τρόπος. Εκφράστε το λόγο w z σε πολικές συντεταγµένες (z = r w f(r + r, θ + θ) f(r, θ) eiθ ): = και z z εξετάστε τις περιπτώσεις: α) z : r και θ =, οπότε z = e iθ r. ϐ) z : r = και θ, οπότε z = ir e iθ θ. συντεταγµένων. Στη συνέχεια ακολουθήστε την πορεία που ακολουθούµε στην περίπτωση των καρτεσιανών 9. Μια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στον τόπο R που δεν περιέχει το σηµείο z =. Αν f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ), δείξτε ότι οι συναρτήσεις u και v ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace σε πολικές συντεταγµένες: r u r + r u r + u θ =, εφόσον όλες οι µερικές παράγωγοι των u και v είναι συνεχείς. r v r + r v r + v θ = f r dg dz

8. ίνεται η συνάρτηση u(x, y) = x x 3 +axy. Να προσδιοριστεί η παράµετρος a, ώστε u(x, y) = Re f(z), όπου f(z) µια αναλυτική συνάρτηση.. Να δειχτεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση, u(x, y), σε έναν απλά συνεκτικό τόπο D έχει µια οικογένεια αρµονικών συζυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια σταθερά. Συγκεκριµένα να δειχτεί ότι η οικογένεια των αρµονικών συζυγών δίνεται από τη σχέση: v (x, y) = (x,y) (x,y ) u y dx + u x dy + c Να γίνει εφαρµογή των παραπάνω, όταν u(x, y) = xy.. είξτε ότι η συνάρτηση u = e x (x sin y y cos y) είναι αρµονική συνάρτηση. Να ϐρεθεί επίσης η συνάρτηση v, ώστε η f(z) = u + iv να είναι αναλυτική. 3. Να δειχτεί ότι το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος της συναρτήσεως f(z) = ln(z a) είναι αρµονικές συναρτήσεις σε οποιονδήποτε τόπο που δεν περιέχει το σηµείο z = a (a R). 4. ίνεται η αναλυτική συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y). είξτε ότι οι συναρτήσεις (καµπύλες) u(x, y) = και v(x, y) = όπου και είναι δύο σταθερές, είναι ορθογώνιες. ηλαδή να δειχτεί ότι, αν z = x + iy είναι ένα κοινό σηµείο των δύο καµπυλών και αν f (z ), τότε τα εφαπτόµενα διανύσµατα των δύο καµπυλών στο σηµείο (x, y ) είναι κάθετα µεταξύ τους. 5. Αν f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = z, να σχεδιαστούν οι καµπύλες u(x, y) = c, και v(x, y) = c όταν: c = c =, c = c = ±, c = c = ±. 6. Η µετατόπιση ενός σηµείου από την αρχή, ως συνάρτηση του χρόνου, δίνεται από την εξίσωση : z = r e iωt. Να δειχτεί ότι το σηµείο κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας r µε ταχύτητα v = r ω, που είναι κάθετη στη διεύθυνση της ακτίνας και µε επιτάχυνση που έχει µέτρο a = v /r = r ω και που διευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. Υπόδειξη. Η µιγαδική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής: z = z (t) = x (t) + iy (t), (t a t t b ) περιγράφει στο z επίπεδο µια καµπύλη µε καθορισµένη ϕορά, y καθώς το t µεταβάλλεται από t a σε t b. Αν το όριο του λόγου: z=z(t+ t) z(t) z t = z (t + t) z (t) t για t υπάρχει, το όριο αυτό είναι ένα διάνυσµα εφαπτόµενο της καµπύλης στο σηµείο P (ϐλέπε Σχ. ) και είναι: z lim t t = dz dt = dx dt + idy dt z(t+ t) z(t) Σχήµα : Αν η παράµετρος t παριστάνει το χρόνο, τότε η παράγωγος dz/dt παριστάνει την ταχύτητα του σηµείου z που κινείται πάνω στην καµπύλη. Οµοια η δεύτερη παράγωγος d z/d t παριστάνει την επιτάχυνση. 7. Η µετατόπιση ενός σωµατίου από την αρχή ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από την εξίσωση : z = a cos ωt + ib sin ωt, όπου a, b και ω ϑετικές σταθερές. Να δειχτεί ότι το σωµάτιο κινείται πάνω σε µια έλλειψη µε ϕορά αντίθετη της ϕοράς των δεικτών του ωρολογίου. Να προσδιοριστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σωµατίου καθώς και τα αντίστοιχα µέτρα τους. P x.4 Ασκήσεις Κεφαλαίου 4 Το ολοκλήρωµα µιας µιγαδικής συναρτήσεως κατά µήκος ενός δρόµου του z επιπέδου, µε αρχή το σηµείο a και πέρας το σηµείο b και παραµετρικές εξισώσεις των συντεταγµένων (x, y) : x = x(t), y = y(t), z(t) = x(t) + iy(t), t a t t b µπορεί να οριστεί από τη σχέση: S = f(z)dz = u dx v dy + i v dx + u dy ()

.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 9 που γράφεται και µε τη µορφή: S = f(z)dz = tb t a f(z(t))z (t) dt Η µορφή αυτή του ολοκληρώµατος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Το ολοκλήρωµα της f(z) κατά µήκος ενός δρόµου υπάρχει όταν αυτή είναι συνεχής ή κατά τµήµατα συνεχής z. Αν σ έναν τόπο που περιέχει το δρόµο υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z), f(z) = F (z), τότε η tb df (z(t)) τιµή του ολοκληρώµατος είναι: f(z) dz = dt = F (b) F (a) dt t a Στον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιότητες του ολοκληρώµατος. Στη ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων κεντρικό ϱόλο έχουν τα διάφορα ϑεωρήµατα του auchy. Θεώρηµα του auchy για απλά συνεκτικό τόπο: f(z)dz =. Η f(z) είναι αναλυτική πάνω στον κλειστό δρόµο και σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z) µεταξύ δύο σηµείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρόµο, εφόσον αυτή είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµεία αυτά και πάνω στους δρόµους αυτούς. Σηµείωση. Πριν από τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατος πρέπει να εξετάζουµε πού είναι αναλυτική η ολοκληρωτέα συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποιος τόπος που περικλείει το δρόµο ολοκληρώσεως και στον οποίο η ολοκληϱωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε διαλέγουµε ως δρόµο ολοκληρώσεως τον πιο απλό δρόµο του τόπου που έχει τα ίδια συνοριακά σηµεία µε το. Θεώρηµα του auchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο: f(z) dz = n j= j f(z) dz Η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση στον κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά από το δρόµο και εσωτερικά από τους δρόµους,,..., n. Τύπος του auchy για απλά συνεκτικό τόπο: f (n) (z ) = n! πi f(z) dz, n =,,,... (z z ) n+ Η f(z) είναι αναλυτική πάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο. δρόµου. Το σηµείο z είναι εσωτερικό σηµείο του Τύπος του auchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο: f (n) (z ) = n! πi f(z) n (z z ) n+ dz j= f(z) (z z ) n+ dz Η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση στον κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά από το δρόµο και εσωτερικά από τους δρόµους,,..., n. Το σηµείο z είναι εσωτερικό σηµείο του δρόµου και εξωτερικό σηµείο των δρόµων,,..., n. Σηµείωση. Αν και η ϑεωρία του κεφαλαίου 4 είναι πολύ ϐασική δεν ϑα ασχοληθούµε µε πολλές ασκήσεις. Θεωρούµε ότι οι ϕοιτητές γνωρίζουν, από τα µαθήµατα των Γενικών Μαθηµατικών, να υπολογίζουν ολοκλη- ϱώµατα πραγµατικών συναρτήσεων κατά µήκος διαφόρων δρόµων. Επίσης όπως ϑα δούµε στο κεφάλαιο 6 τα ολοκληρώµατα των αναλυτικών συναρτήσεων κατά µήκος κλειστών δρόµων υπολογίζονται πολύ πιο εύκολα και κοµψά µε τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος των υπολοίπων.

.4. Αλυτες ασκήσεις. Να ϐρεθούν οι δρόµοι που ορίζονται από τις εξισώσεις: α) z = it, t, ϐ) z = t + it, t <, γ) z = t + i t, < t <, δ) z = r π eit, r >, t 3π, ε) z = t + i t, t, στ) z = a(t + i ie it ), t <, a >. Να αποδειχτεί ότι, αν η f(z) είναι ολοκληρώσιµη κατά µήκος ενός δρόµου µε πεπερασµένο µήκος L και αν υπάρχει ϑετικός αριθµός, max f(z), τότε: z f(z) dz f(z) dz max f(z) L (Ανισότητα του Darboux). z 3. Να υπολογιστεί ένα άνω ϕράγµα του ολοκληρώµατος π και : z = re iθ. 4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα +4i +i z dz : Ln z z dz όπου Ln z = Ln z + iθ, < θ < α) κατά µήκος της παραβολής x = t, y = t ( t ). ϐ) κατά µήκος της ευθείας γραµµής που ενώνει τα σηµεία z = + i και z = + 4i. γ) κατά µήκος της τεθλασµένης γραµµής από το σηµείο z = + i στο σηµείο z = + i και µετά στο σηµείο z 3 = + 4i. 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα ze iz dz, όπου η ευθεία που ενώνει τα σηµεία z = i και z = i. z 6. Χρησιµοποιώντας την γνωστή σχέση e kz dz = z k ekz + c ( c = σταθερά), που ισχύει για κάθε δρόµο που ενώνει τα σηµεία z και z, να δειχτεί ότι: α) e ax cos bx dx = a + b eax (a cos bx + b sin bx) ϐ) e ax sin bx dx = a + b eax (a sin bx b cos bx) Υπόδειξη. Να ϑέσετε k = a + ib, να διαλέξετε το δρόµο πάνω στον πραγµατικό άξονα και να ολοκληρώσετε από x έως x. 7. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: α) του Σχ.. y a a z dz και ϐ) y b (z/z ) dz, όπου a και b οι κλειστοί δρόµοι b Σχήµα : x - - x 8. Να δειχτεί ότι το ολοκλήρωµα z m n dz, όπου m, n ακέραιοι αριθµοί και κλειστός δρόµος που πi περικλείει την αρχή, είναι µια αναπαράσταση του δέλτα του Kronecker, δ mn.

.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 9. Να αποδειχτεί ο τύπος του auchy για έναν πολλαπλά συνεκτικό τόπο που περιορίζεται εξωτερικά από το δρόµο και εσωτερικά από τους δρόµους j : f(z) = f(z ) n f(z ) πi z z dz j= j z z dz dz. Να δειχτεί ότι: z =, όπου ο κύκλος z = R >. + z. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: α) (z 5 3z + i) dz, : z = 3, ϐ) e z cos z dz : z =, e z tan z γ) dz, : z πi =, δ) ( ) z(z + ) z π dz, : z + πi = 4. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: dz α) z, : x + y e z = 4, ϐ) dz, : z =, z + sin z γ) dz, : x + 4y z + 4 =, δ) dz, : z = z z e z ε) dz, : z = 3, z(z + ) στ) e πz dz, : z i = 3 z(z + ) 3. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: α) γ) 5z 3z + (z ) 3 dz, : z =, ϐ) e z (z π ) dz, : z = 5, δ) 4. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: tan z α) ( ) z = z π dz, ϐ) 4 5. Ξεκινώντας από τη γνωστή σχέση: e z = n! πi το σηµείο z, δείξτε ότι: π z = e z (z π dz, : z = 4 ) e iz dz, : z =, z3 cot z dz, γ) z(z ) z = 3 tan z z(z ) dz e z (z z) n+ dz, όπου τυχαίος δρόµος που περικλείει e ρ cos θ cos(ρ sin θ nθ) dθ = π ρn n! Υπόδειξη. Θεωρήστε ως κύκλο µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα ρ. 6. ίνεται ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα r και µια συνάρτηση f(z) που είναι αναλυτική στο εσωτερικό και πάνω στο. Να δειχτεί: α) Η ανισότητα του auchy : f (n) (z ) Mn! r ϐ) Το ϑεώρηµα της µέσης τιµής, του Gauss: f(z ) = π n, n =,,,..., όπου f(z) M, z. π f(z + re iθ ) dθ. 7. είξτε ότι κάθε εξίσωση της µορφής: P (z) = a + a z + + a n z n = (n >, a n ) έχει µια τουλάχιστον ϱίζα. Υπόδειξη. Να γραφεί κατάλληλα το πολυώνυµο και να εφαρµοστεί το ϑεώρηµα του Liouville.

.5 Ασκήσεις Κεφαλαίου 5 Θεώρηµα Taylor. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο εσωτερικό του κύκλου : z z < R, τότε για κάθε εσωτερικό σηµείο του κύκλου µπορεί να αναπαρασταθεί ως δυναµοσειρά της µορφής: f(z) = A n (z z ) n, z z < R όπου A n = f (n) (z ) n! (3) Σηµείωση. Η ακτίνα συγκλίσεως της σειράς Taylor (δηλαδή η µεγαλύτερη ακτίνα που µπορεί να έχει ο κύκλος ) είναι η απόσταση του σηµείου z από το πιο κοντινό ανώµαλο σηµείο της f(z). Σηµείωση. Η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως σε σειρά Taylor στην περιοχή του οµαλού σηµείου z = z είναι µόνο µια. Σηµείωση 3. Για την εύρεση του αναπτύγµατος Taylor της αναλυτικής συναρτήσεως f(z) στο εσωτερικό του κύκλου : z z < R, µπορούµε να ακολουθήσουµε διάφορους τρόπους, µερικοί από αυτούς αναφέρονται παρακάτω: Βρίσκουµε τις παραγώγους όλων των τάξεων της f(z) στην περιοχή του οµαλού σηµείου της z = z και αντικαθιστούµε στον τύπο (3). Χρησιµοποιούµε κατάλληλους µετασχηµατισµούς σε γνωστά αναπτύγµατα Taylor άλλων συναρτήσεων. Αυτός ο τρόπος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Πρέπει να προσέχουµε όµως ότι έχει ϐρεθεί το ανάπτυγµα στην περιοχή του οµαλού σηµείου z και όχι σε κάποιο άλλο οµαλό σηµείο της f(z). Παραγωγίζουµε ή ολοκληρώνουµε γνωστά αναπτύγµατα Taylor άλλων συναρτήσεων. Θεώρηµα Laurent. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο εσωτερικό του δακτυλίου r < z z < R, τότε σε κάθε εσωτερικό σηµείο του δακτυλίου µπορεί να αναπαρασταθεί ως δυναµοσειρά της µορφής: f(z) = n= A n (z z ) n, r < z z < R, A n = πi όπου τυχαίος κλειστός δρόµος του δακτυλίου που περικλείει τον εσωτερικό κύκλο. f(z ) dz (z z ) n+ n =, ±, ±,... (4) Παρατήρηση. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο µέσα στον κύκλο R εκτός από το σηµείο z, η ακτίνα r µπορεί να πάρει οσοδήποτε µικρή τιµή και το ανάπτυγµα (4) ισχύει για < z z < R. Σηµείωση 4. Η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) σε σειρά Laurent στο εσωτερικό ενός δακτυλίου είναι µόνο µια. Η παρατήρηση αυτή µας ϐοηθάει πολλές ϕορές να ϐρούµε τη σειρά Laurent της f(z), χωρίς να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο (4), που δίνει τους συντελεστές του αναπτύγµατος. Σηµείωση 5. Για την εύρεση του αναπτύγµατος Laurent µιας αναλυτικής συναρτήσεως στο εσωτερικό του δακτυλίου r < z z < R µπορούµε να ακολουθήσουµε διάφορους τρόπους, όπως και στην περίπτωση του αναπτύγµατος Taylor. ύο από αυτούς τους τρόπους αναφέρονται παρακάτω: Βρίσκουµε τους συντελεστές A n του αναπτύγµατος Laurent χρησιµοποιώντας τον τύπο (4), δηλαδή υπολογίζοντας το ολοκλήρωµα για όλες τις τιµές του n. Χρησιµοποιούµε κατάλληλους µετασχηµατισµούς (αντικαταστάσεις) σε γνωστά αναπτύγµατα Taylor ή αναπτύγµατα Laurent άλλων συναρτήσεων. Αυτός ο τρόπος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Πρέπει να προσέχουµε όµως ότι έχει ϐρεθεί το ανάπτυγµα στο εσωτερικό του δακτυλίου r < z z < R και όχι σε κάποιον άλλο δακτύλιο. Σηµείωση 6. Αν ισχύει: f(z)= A n (z z ) n και g(z)= B n (z z ) n τότε µπορούµε να γράψουµε

.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 3 τις σχέσεις: c f(z) = f(z)g(z) = c A n (z z ) n, f(z) ± g(z) = ( n ) A k B n k (z z ) n k= (A n ± B n )(z z ) n.5. Αλυτες ασκήσεις. Για την αναλυτική συνάρτηση f(z) ισχύει: f (n) (z) z=z =, για n =,,,..., k και f (k+) (z) z=z. Να δειχθεί ότι το σηµείο z = z είναι ϱίζα (k + ) τάξεως της f(z).. Να δειχθεί ότι τα σηµεία όπου µηδενίζονται οι συναρτήσεις: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f 3 (z) = e z, f 4 (z) = sinh z, f 5 (z) = cosh z είναι ϱίζες πρώτης τάξεως. Ποιά είναι η τάξη των ϱιζών των συναρτήσεων fi (z), i =,,..., 5; 3. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) µε σειρά Taylor είναι µια και µόνο. 4. Να δειχτεί ότι, αν µια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σ έναν τόπο που περικλείει τον πραγµατικό άξονα, και πραγµατική όταν το z είναι πραγµατικό, τότε f (z) = f(z ). 5. Να δεχτεί ότι : ( ) n 3 = 3 n 4, 3 = 3 n 6. Να ϐρεθούν οι σειρές Maclaurin των συναρτήσεων : f (z) = sinh z, f (z) = cosh z, f 3 (z) = cos z, και f 4 (z) = sin z και να καθοριστεί η ακτίνα συγκλίσεώς τους. Να ϐρεθούν οι σειρές χρησιµοποιώντας: α) τον τύπο (3), ϐ) µε τη ϐοήθεια των αναπτυγµάτων Taylor γνωστών συναρτήσεων. Υπόδειξη. Στη δεύτερη περίπτωση µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι σχέσεις: sinh z = i sin(iz), cosh z = cos(iz), cos z = + cos z καθώς και τα γνωστά αναπτύγµατα των συναρτήσεων sin z και cos z. 7. Να δειχτεί ότι: e z n/ cos z = cos nπ n! 4 zn, z <. Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τις σχέσεις: e z cos z = [ e (+i)z + e ( i)z], ± i = e ±iπ/4 και το γνωστό ανάπτυγµα Maclaurin της εκθετικής συναρτήσεως. 8. Να ϐρεθεί το ανάπτυγµα Maclaurin της συναρτήσεως ( + z) α (α =πραγµατικός αριθµός) και η περιοχή συγκλίσεως του αναπτύγµατος. 9. Να ϐρεθεί η σειρά Taylor της συναρτήσεως sin z στην περιοχή του σηµείου z = π/4 και η ακτίνα συγκλίσεώς της.. Να ϐρεθούν τα αναπτύγµατα Taylor των συναρτήσεων: f (z) =, στην περιοχή του σηµείου z = i 3 z και f (z) = ( z )(z, στην περιοχή του σηµείου z =. Ποιές είναι οι ακτίνες συγκλίσεως των + 4) δυναµοσειρών; Υπόδειξη. Γράψτε τη συνάρτηση f (z) µε τη µορφή: f (z)= [ 5 z + 4 + z /4. Να ϐρείτε τη σειρά Maclaurin της συναρτήσεως f(z) = ln( + z) παίρνοντας τον κλάδο της για τον οποίο ισχύει f() ( =. ) Ποιά είναι η ακτίνα συγκλίσεως της σειράς; Να ϐρεθεί επίσης η σειρά Maclaurin της συναρτήσεως ln +z z, καθώς και η περιοχή συγκλίσεως της σειράς.. Να ϐρεθούν οι ακτίνες συγκλίσεως των δυναµοσειρών: ( ) n ( z n, α) ϐ) n! ) k = σταθερά ]. ( ) n z ) n+k, γ) n!(n + k)!( (n)! zn

4 3. Να γραφούν υπό κλειστή µορφή οι δυναµοσειρές (δηλαδή να ϐρεθούν οι συναρτήσεις στις οποίες συγκλίνουν οι δυναµοσειρές): α) ( ) n+ nz n, ϐ) n! zn+3, γ) z < z < z < 4 n (n)! zn 4. Να ϐρεθεί η σειρά Maclaurin της συναρτήσεως: f(z) = Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το γνωστό ανάπτυγµα z συµβόλου της παραγώγου µε το σύµβολο της σειράς. 5. Με τη ϐοήθεια της συναρτήσεως f(z) = z να δειχτεί ότι: z n (z + i) n = ( + i) n+ για κάθε z του σκιασµένου τόπου του Σχ. 3. 6. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) µε σειρά Laurent είναι µια και µόνο. ( z). = zn, z < και ότι µπορεί να γίνει αλλαγή του y i : z = x : z+i = / Σχήµα 3: 7. Να ϐρεθούν τα αναπτύγµατα Laurent της συναρτήσεως f(z) = 3 z(z i) στους δακτύλιους: α) < z + i <, ϐ) < z + i, γ) < z i <, δ) < z < 8. Να ϐρεθεί η σειρά Laurent της συναρτήσεως: f(z) = e z + Ποιά είναι η τιµή της ακτίνας R; z 4i z 4i 3 στο δακτύλιο: < z i < R. 9. Να ϐρεθούν οι σειρές Laurent των συναρτήσεων: f (z) = e /z για z > και f (z) = z cos z για < z <.. ίνεται η συνάρτηση g(z, a) = e a(z z ) (όπου a µια σταθερά), που είναι αναλυτική στο δακτύλιο < z < και εποµένως µπορεί να παρασταθεί µε σειρά Laurent της µορφής: e a(z z ) = n= A n z n = n= J n (a)z n Να δειχτεί ότι οι συντελεστές J n (a) µπορούν να γραφούν µε τις µορφές: α) J n (a) = π π cos (nθ a sin θ) dθ, ϐ) J n (a) = k= ( ) k a ) k+n k!(k + n)!( Η συνάρτηση J n (α) λέγεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους ακέραιας τάξεως n και η g(z, a) γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel. Υπόδειξη. α) Χρησιµοποιήστε του τύπο (4) και διαλέξτε τον κλειστό δρόµο : z = e iθ, θ [ π, π]. ϐ) e a(z /z) = e az/ e a/(z). Η συνάρτηση e az/ έχει ανώµαλο σηµείο το z =. Η συνάρτηση e a/(z) έχει ανώµαλο σηµείο το z =. Εποµένως µπορούν να παρασταθούν µε τις δυναµοσειρές: e az/ = m= m! ( az ) m, z < και e a/(z) = ( ) k ( a ) k, z > k! z Πολλαπλασιάστε κατά µέλη τις προηγούµενες σχέσεις και διατάξτε κατάλληλα τις δυνάµεις του z. Οταν πολλαπλασιά- Ϲουµε δύο σειρές είναι καλύτερα να συµβολίζουµε τους δείκτες των σειρών µε διαφορετικά γράµµατα. k=

.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 5 (. Να δειχτεί ότι : cosh z + ) = z A n z z, όπου A n = π n= π. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση της f(z) = z z e z σε δυνάµεις του z είναι: όπου οι αριθµοί B n, που λέγονται αριθµοί Bernoulli, ικανοποιούν τις σχέσεις: n B n k B = και (k + )!(n k)! =, n k= Να ϐρεθούν οι δέκα πρώτοι αριθµοί B n και να δειχτεί R = π. cos nθ cosh ( cos θ) dθ e z = B n n! zn, z < R Υπόδειξη. Τα ανώµαλα σηµεία της f(z) είναι: e z = z = inπ, n =, ±, ±,.... Η f(z) µπορεί να z παρασταθεί µε σειρά Laurent που έχει µόνο ϑετικές δυνάµεις. ηλαδή: e z = A n z n (, An = B n ). n! Πολλαπλασιάστε και τα δύο µέλη της παραπάνω σχέσεως µε e z και στο δεξιό µέλος κάντε την αντικατάσταση e z z n = και πολλαπλασιάστε τις σειρές. Εξισώστε τους συντελεστές των ιδίων δυνάµεων του z των δύο µελών n! της εξισώσεως για να οδηγηθείτε στην αναδροµική σχέση των αριθµών B n. 3. Να δειχτεί ότι για τους αριθµούς Bernoulli µε περιττό δείκτη ισχύει: B = / και B k+ =, k =,, 3,... z Υπόδειξη. Από την προηγούµενη άσκηση έχουµε: e z = B n n! zn και Με αφαίρεση των δύο σχέσεων παίρνουµε: είξτε ότι z e z + z e z z e z + z e z = k= B k+ (k + )! zk+. z e z = ( ) n B n n! = z για να οδηγηθείτε στις τιµές των αριθµών Bernoulli µε περιττό δείκτη. 4. Να δειχτεί ότι οι σειρές Maclaurin των συναρτήσεων : f (z) = z cot z και f (z) = tan z είναι: z cot z = + k= ( ) k k B k (k)! z k, tan z = k= ( ) k k ( k )B k (k)! z n z k, z < π Υπόδειξη. α) είξτε ότι: cot z = cos z sin z = = i + i e iz και εποµένως z cot z = iz + iz e iz. Χρησιµοποιήστε τα αποτελέσµατα των δύο προηγουµένων ασκήσεων για να οδηγηθείτε στο ανάπτυγµα της z cot z. ϐ) είξτε ότι: cot z tan z = cot z z tan z = z cot z z cot z και χρησιµοποιήστε το προηγούµενο αποτέλεσµα για να οδηγηθείτε στο ανάπτυγµα της tan z. ( ( 5. Στην Οπτική συναντάται η έκφραση r n cos nθ) + r n sin nθ), η οποία πρέπει να υπολογιστεί για να ϐρεθεί η ένταση του ϕωτός που περνά από ένα ϕιλµ ύστερα από πολλές ανακλάσεις στις επιφάνειες του. Να υπολογίσετε την πιο πάνω έκφραση υποθέτοντας ότι r < (r είναι ο συντελεστής ανακλάσεως)..6 Ασκήσεις Κεφαλαίου 6 Στο κεφάλαιο αυτό στηρίζεται µια σηµαντική εφαρµογή των αναλυτικών συναρτήσεων, που είναι ο υπολογισµός των ολοκληρωµάτων µιας µιγαδικής συναρτήσεως κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου και όπως ϑα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο πολλών ορισµένων ολοκληρωµάτων συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. Για την εφαρµογή αυτή πρέπει να µπορούµε να χαρακτηρίζουµε τα διάφορα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία µιας µιγαδικής συναρτήσεως και να ϐρίσκουµε τα υπόλοιπά της σ αυτά. Για τη λύση των ασκήσεων αυτού του κεφαλαίου πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τους ορισµούς και τα ϑεωρήµατα που αναφέρονται παρακάτω. Ενα σηµείο z = z λέγεται αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της συναρτήσεως f(z) αν αυτή είναι αναλυτική στο δακτύλιο < z z < r και εποµένως µπορεί να παρασταθεί µε τη σειρά Laurent:

6 f(z) = a n (z z ) n + b n (z z ) n, < z z < r n= όπου r είναι η απόσταση του σηµείου z από το πιο κοντινό ανώµαλο σηµείο της f(z). Ανάλογα µε το ποιοί συντελεστές b n εµφανίζονται στο κατά Laurent ανάπτυγµα της f(z) στο δακτύλιο < z z < r το σηµείο z χαρακτηρίζεται ως απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο ή πόλος m τάξεως ή ουσιώδες ανώµαλο σηµείο, όπως ϕαίνεται στον Πίνακα 6.. Στον ίδιο πίνακα ϕαίνονται και τα χαρακτηριστικά αυτών των σηµείων. Πίνακας : Είδος αποµονωµένου ανώµαλου σηµείου z = z της f(z) (µε κριτήριο τους συντελεστές b n ) και τα ϐασικά χαρακτηριστικά τους. Απαλείψιµο Πόλος m τάξεως Ουσιώδες ανώµαλο σηµείο ανώµαλο σηµείο b n =, n b n =, n > m Υπάρχουν άπειρα και b m b n lim z z f(z) = a lim z z ( (z z ) m f(z) ) = b m Οταν z z η f(z) ούτε τείνει σε µια σταθερή ποσότητα ούτε γίνεται άπειρη Σηµείωση. Ο χαρακτηρισµός ενός αποµονωµένου ανώµαλου σηµείου z µιας συναρτήσεως f(z) γίνεται µε τη ϐοήθεια του αναπτύγµατος Laurent της f(z) στον κατάλληλο δακτύλιο µε κέντρο το σηµείο z. Πριν από την εύρεση του αναπτύγµατος Laurent είναι χρήσιµο να εξετάζονται οι εξής περιπτώσεις, που ϐοηθούν στο χαρακτηρισµό του σηµείου: α) Αν υπάρχει το όριο της f(z) όταν z z το σηµείο είναι απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο της f(z). ϐ) Αν οι αναλυτικές συναρτήσεις h(z) και g(z) έχουν το σηµείο z ϱίζα πολλαπλότητας n και m, αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση f(z) = g(z)/h(z) έχει το σηµείο αυτό: πόλο (n m) τάξεως όταν n > m, απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο όταν n = m, ϱίζα πολλαπλότητας (m n) όταν n < m. Σηµείωση. Οταν ϑέλουµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της συναρτήσεως στο σηµείο z =, τότε κάνουµε το µετασχηµατισµό z = /ζ και εξετάζουµε τη συνάρτηση f(/ζ) = g(ζ) στο σηµείο ζ =. Το είδος ανωµαλίας της f(z) στο z = είναι εξ ορισµού το είδος της ανωµαλίας της g(ζ) στο µηδέν, δηλαδή, lim f(z) = lim g(ζ) (5) z ζ Ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συναρτήσεως f(z) στο αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z ( ) (ή και σε οµαλό σηµείο ) λέγεται ο συντελεστής b (δηλαδή ο συντελεστής του (z z ) ) του κατά Laurent αναπτύγµατος της f(z) στο δακτύλιο < z z < r, όπου η συνάρτηση είναι αναλυτική. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο δίνεται από τον τύπο: Res f(z ) b = f(z)dz (6) πi Οταν το σηµείο z = z ( ) είναι οµαλό σηµείο ή απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο το υπόλοιπο της f(z) σ αυτό είναι µηδέν. Σηµείωση 3. Υπόλοιπο µιας συναρτήσεως f(z), που είναι αναλυτική για R < z <, στο σηµείο z = λέγεται ο συντελεστής b, δηλαδή ο αντίθετος του συντελεστή του /z στο κατά Laurent ανάπτυγµα της f(z) στην περιοχή του άπειρου. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο δίνεται από τον τύπο: Res f( ) = b = πi f(z) dz = πi + f(z) dz (7) όπου ένας κλειστός δρόµος που περικλείει όλα τα πεπερασµένα ανώµαλα σηµεία της f(z).

.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 7 Παρατήρηση. Από τον ορισµό του υπολοίπου διαπιστώνουµε ότι αν για κάποιον λόγο είναι γνωστή η τιµή του b τότε είναι γνωστή και η τιµή του ολοκληρώµατος. ηλαδή αν µπορούσαµε να ϐρούµε την τιµή του ολοκληρωτικού υπολοίπου µιας συναρτήσεως µε οποιονδήποτε τρόπο εκτός από τη χρήση του τύπου (6), τότε έχουµε µια µέθοδο µε την οποία µπορούµε να υπολογίζουµε ολοκληρώµατα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισµού ολοκληρωτικών υπολοίπων µερικοί από τους οποίους ανα- ϕέρονται παρακάτω. ος τρόπος. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f(z) στο αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z µπορεί να ϐρεθεί από το ανάπτυγµα Laurent της f(z) στο δακτύλιο < z z < r. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο είναι ο συντελεστής του (z z ). ος τρόπος. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα: Αν το σηµείο z = z είναι πόλος m τάξεως της f(z) τότε το υπόλοιπο της f(z) στο z = z είναι: lim [(z z )f(z)], αν m = z z Resf(z ) = [ d (m )! lim m z z dz (z m z ) m f(z) ] (8), αν m > 3ος τρόπος. Σε πολλές περιπτώσεις ο υπολογισµός του ολοκληρωτικού υπολοίπου γίνεται ευκολότερα αν εφαρµόσουµε το Θεώρηµα: Αν η συνάρτηση f(z) είναι της µορφής f(z) = g(z) h(z) και οι συναρτήσεις g(z) και h(z) είναι αναλυτικές στο σηµείο z = z και g(z ), h(z ) =, h (z ) το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f(z) στο σηµείο z = z δίνεται από τον τύπο: Resf(z ) = g(z ) h (z ) Αν g(z ) και το z είναι διπλή ϱίζα της h(z), ισχύει: Resf(z ) = g (z ) h (z ) g(z )h (z ) 3 [h (z )] Θεώρηµα των υπολοίπων. Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στον κλειστό δρόµο και στο εσωτερικό του εκτός από έναν πεπερασµένο αριθµό αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων z, z,..., z n, εσωτερικών του, τότε: n f(z) dz = πi Resf(z k ) (9) Πόρισµα. Αν µια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο εκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο εκτός από έναν πεπερασµένο αριθµό αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων z k (k =,,..., N) που περιλαµβάνουν επίσης και το z = z N =, τότε το άθροισµα όλων των υπολοίπων της f(z) ισούται µε το µηδέν: N Res f(z k ) = () k= Με ϐάση τους παραπάνω ορισµούς και το ϑεώρηµα των υπολοίπων, για τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατος της συναρτήσεως f(z) κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου ακολουθούµε την εξής πορεία: α) Βρίσκουµε τα ανώµαλα σηµεία της f(z), τα τοποθετούµε στο z επίπεδο και σχεδιάζουµε το δρόµο. ϐ) Χαρακτηρίζουµε τα ανώµαλα σηµεία που ϐρίσκονται στο εσωτερικό του δρόµου και υπολογίζουµε τα υπόλοιπα της σ αυτά. γ) Χρησιµοποιούµε τον τύπο (9)..6. Αλυτες ασκήσεις. Οι αναλυτικές συναρτήσεις h(z) και g(z) έχουν το σηµείο z = z ϱίζα πολλαπλότητας n και m, αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) = g(z) h(z) έχει το σηµείο z = z : α) πόλο (n m) τάξεως όταν n > m, ϐ) απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο όταν n = m και γ) ϱίζα πολλαπλότητας (m n) όταν n < m. k=

8. Αν ισχύει: (z )(z ) = z n n+ n= είναι αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο µε υπόλοιπο b = ; z n, < z <, µπορούµε να πούµε ότι το σηµείο z = 3. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία και να ϐρεθούν τα υπόλοιπα σ αυτά: f (z) = z, f (z) = z z z, f 3(z) = [ ] z + f 5 (z)=, f 6 (z)= z z i ( z ), f 4(z) = z + z z, (z + 4)(z ) (z 3 + z + z)(z + i), f 7(z)= e z + z, f 8 (z)= e z z +, f 9(z)= ez z, f (z)= ez z 4, f (z)= z e /z, f (z)= e/z z 4. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία (για z ), και να ϐρεθούν τα υπόλοιπα σ αυτά: f (z) = sin z, f (z) = f 5 (z) = cos z z, f 6(z) = z sin z, f 3(z) = sin z z cos z z, f 7(z) = f 9 (z) = sinh z z, f (z) = sinh z z, f (z) =, f 4 (z) = sin z z, z cos z, f 8(z) = Υπόδειξη. Για τις συναρτήσεις f 7 (z) και f (z) παρατηρήστε ότι: cos z = = e iz ( e iz ) και cosh z = = e z ( e z ). ez z sin z, z cosh z, f (z) = ez z sinh z 5. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία (για z ), και να ϐρεθούν τα υπόλοιπα σ αυτά: f (z) = π cot πz, f (z) = π tan πz, f 3 (z) = π coth πz, f 4 (z) = π tanh πz 6. Να εξεταστεί το είδος του σηµείου z = των συναρτήσεων: f (z) = z 3 /[(z )(z )] και f (z) = e /z /z 3. 7. Να υπολογιστεί το υπόλοιπο στο σηµείο z = των συναρτήσεων : f (z) = sin z z, f (z) = sinh z z, f z + 4 3(z) = ( z ) sin 3 z Υπόδειξη. Οι τρεις συναρτήσεις έχουν το z = πόλο 3ης τάξεως. Το υπόλοιπό τους σ αυτό µπορεί να ϐρεθεί µε τον τύπο (8). Η διαδικασία αυτή απαιτεί πολλές πράξεις επειδή η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων Φ i (z) = z 3 f i (z), i =,, 3, που δεν ϐρίσκεται πολύ εύκολα, για z =, οδηγεί στην απροσδιόριστη µορφή / και πρέπει να χρησιµοποιηθεί ο κανόνας του L Hospital. Ενας πιο κοµψός τρόπος είναι ο εξής: Το ανάπτυγµα Laurent της f (z), για παράδειγµα, είναι της µορφής: sin z z = b 3z 3 + b z + b z + a +, < z < R. Από τη σχέση αυτή έχουµε: = (b 3 z 3 + b z + b z + a + )(sin z z) ή = (b 3 z 3 + b z + b z + a + )( 3! z3 + 5! z5 ) Ο πολλαπλασιασµός των δύο παρενθέσεων (σειρών) δίνει: = b 3 3! b ( 3! z + b3 5! Τα δύο µέλη της τελευταίας εξισώσεως παριστάνουν την ίδια αναλυτική συνάρτηση. b ) z +, < z < R. 3! Εξισώστε τους συντελεστές των ιδίων δυνάµεων του z για να ϐρείτε ότι Res f () = b = 3. Η ακτίνα συγκλίσεως είναι R = π (ϐλέπε άσκηση 5 παρακάτω). 8. Να υπολογιστεί το υπόλοιπο των συναρτήσεων : f (z) = z n /( + z) n, για z = και z = και f (z) = z n e /z, για z =, (n N).

.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 9 9. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα: e z dz S = z =5 z sinh z, S (z + 4)dz = z+ = z 3 + z + z, S dz 3 = z = z 5, z 6 + z 4 + S 4 = z = z 7 + z 3 dz, S e z dz 5 = z = z(z + ), S 6 = sinh(/z)dz, z = S 7 = z n e /z dz, S 8 = ( + z + z 3 ) [ e /z + e /(z ) + e /(z )] dz z = z =3 Υπόδειξη. Για τα ολοκληρώµατα S 3, S 4 και S 8 χρησιµοποιήστε την ιδιότητα: το άθροισµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων στα πεπερασµένα ανώµαλα σηµεία ισούται µε Res f( ).. ίνεται η συνάρτηση f(z), που είναι αναλυτική επάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο, εκτός από το σηµείο z = a, που είναι πόλος p τάξεως. Επίσης η f(z) έχει µέσα στο δρόµο το σηµείο z = b ϱίζα πολλαπλότητας r. ίνεται επίσης ότι f(z) για z. Να δειχθεί ότι: f (z) πi f(z) dz = r p Υπόδειξη. Στις περιοχές των σηµείων z = a και z = b η f(z) και η ολοκληρωτέα συνάρτηση (f (z)/f(z)) γράφονται, αντίστοιχα: f(z) = (z a) p Φ(z) και f(z) = (z b) r F (z) f (z) f(z) = = p(z a) + Φ (z) Φ(z) και f (z) f(z) = = r(z b) + F (z) F (z) όπου Φ(z) = αναλυτική στο z = a και Φ(a), F (z) = αναλυτική στο z = b και F (b). Χαρακτηρίστε τα σηµεία z = a και z = b ως απλούς πόλους και εφαρµόστε το ϑεώρηµα των υπολοίπων.. ίνεται η συνάρτηση f(z), που είναι αναλυτική επάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο, εκτός από έναν πεπερασµένο αριθµό πόλων εσωτερικών του. ίνεται επίσης ότι f(z) για z. Να δειχθεί ότι: πi f (z) f(z) dz = n r i όπου n το πλήθος των ϱιζών και k το πλήθος των πόλων που ϐρίσκονται στο εσωτερικό του και r i, p j η πολλαπλότητα (τάξη) των ϱιζών και των πόλων αντίστοιχα. Υπόδειξη. Η άσκηση αυτή είναι γενίκευση της προηγούµενης.. Θεώρηµα του Rouché. ίνεται ότι οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι αναλυτικές επάνω και στο εσωτερικό του δρόµου. Να δειχτεί ότι, αν g(z) < f(z) z, τότε οι συναρτήσεις f(z) και f(z) + g(z) έχουν τον ίδιο αριθµό ϱιζών µέσα στο. Υπόδειξη. Οι συναρτήσεις f(z) και f(z) + g(z) δεν έχουν πόλους επάνω και µέσα στο δρόµο. Ο αριθµός των ϱιζών τους (ϐλέπε άσκηση ) είναι: R = f (z) πi f(z) dz και R = f (z) + g (z) πi f(z) + g(z) dz. Χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση F (z) = g(z)/f(z) ( F (z) < ), δηλαδή g(z) = f(z)f (z) και δείξτε ότι: R R = F (z) πi +F (z) dz =, επειδή +F (z) = (F (z)) n, F (z) <. 3. Με τη ϐοήθεια της προηγούµενης ασκήσεως να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυµο ϐαθµού n έχει ακριβώς n ϱίζες, από τις οποίες µερικές µπορεί να είναι ίσες µεταξύ τους. (Η πρόταση αυτή είναι συνέπεια του ϑεµελιώδους ϑεωρήµατος της Άλγεβρας). Υπόδειξη. ιαλέξτε f(z) = a n z n και g(z) = a n z n + + a, ώστε f(z) + g(z) = a n z n + a n z n + + a. Αν z = r > δείξτε ότι: g(z) a n+ r n + + a f(z) a n r n < για r >> i= k j= p j

4. Να δειχτεί ότι και οι 9 ϱίζες της εξισώσεως: z 9 6z + = ϐρίσκονται στο δακτύλιο D : z. 5. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση sin z ± z έχει µια µόνο ϱίζα στο δίσκο z < π. Πόσες ϱίζες έχει η συνάρτηση στο δακτύλιο π < z < π; Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα του Rouché µε f(z) = sin z και g(z) = ±z. Οι ϱίζες του sin z είναι, ±π, ±π,.... 6. Θεώρηµα αναπτύγµατος των Mittag-Leffler. Οι πόλοι της µερόµορφης συναρτήσεως f(z) είναι οι απλοί πόλοι z, z, z 3,..., µε < z < z < z 3. Τα υπόλοιπα της f(z) σε αυτά είναι αντίστοιχα b, b,.... Αν ο κύκλος N : z = R N δεν διέρχεται από κανένα πόλο και για z N ισχύει f(z) < M, όπου M ανεξάρτητο του N και R N για N. Να δεχτεί ότι: f(z) = f() + n [ bn + b ] n z z n z n Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση F (z) = f(z)/(z z ), µε z z n (n =,, 3,...). είξτε ότι η F (z) έχει τα σηµεία z και z n (n =,, 3,...) απλούς πόλους µε υπόλοιπα σ αυτά που δίνονται από τις σχέσεις: Res F (z ) = f(z ) και Res F (z n ) = b n /(z n z ) (n =,, 3,...) Το ϑεώρηµα των υπολοίπων για z και z = και N να περικλείει τους πόλους της F (z), δίνει, αντίστοιχα: π N f(z) z z dz = f(z ) + n Αφαιρέστε τις δύο σχέσεις κατά µέλη για να πάρετε: είξτε ότι lim N N b n z n z z π N και f(z) dz = για να οδηγηθείτε στη σχέση (). z(z z ) 7. Να δειχτεί ότι: cot z = z + n= (n ) [ z nπ + ]. nπ f(z) dz = f() + π N z n f(z) z(z z ) dz = f(z ) f() + n b n z n [ b n b ] n z n z z n 8. ίνονται οι δρόµοι: r : z = z + re iθ, θ [, π] και r : z = z + re iθ, θ [π, π]. Να δειχτεί ότι αν το σηµείο z = z είναι απλός πόλος της f(z), τότε: lim r.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 7 r f(z) dz = πires f(z ), όταν r = r ή r = r Η ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων και κυρίως το ϑεώρηµα των υπολοίπων, µας ϐοηθάει στον υπολογισµό πολλών ορισµένων ολοκληρωµάτων. Η διαδικασία που ακολουθούµε για τον υπολογισµό των ορισµένων ολοκληρωµάτων συνοψίζεται ως εξής: π Τα ολοκληρώµατα της µορφής R(cos θ, sin θ)dθ, όπου R µια ϱητή συνάρτηση των cos θ και sin θ, επειδή: cos θ = (eiθ +e iθ ) και sin θ = i (eiθ e iθ ), µε το µετασχηµατισµό z = e iθ µετατρέπονται σε ολοκληρώµατα µιας αναλυτικής συναρτήσεως κατά µήκος του δρόµου : z =. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµα των υπολοίπων, λαµβάνοντας υπόψη µόνο τα ανώµαλα σηµεία που ϐρίσκονται µέσα στο δρόµο. Στην περίπτωση αυτή το διάστηµα ολοκληρώσεως πρέπει να είναι εύρους π. Για τον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων της µορφής f(x) dx, και f(x) eimx dx, ή και πολλών άλλων µορφών ακολουθούµε την εξής πορεία : Γράφουµε τη συνάρτηση f(z) = f(x z), ϐρίσκουµε τα ανώµαλα σηµεία της και τα τοποθετούµε στο z επίπεδο. Η f(z), ανάλογα µε το ολοκλήρωµα, πρέπει να ικανοποιεί κατάλληλες προϋποθέσεις. ()

.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ιαλέγουµε έναν κατάλληλο κλειστό δρόµο που να περικλείει µερικά ή όλα τα ανώµαλα σηµεία της f(z) που ϐρίσκονται στο επάνω (ή στο κάτω) z ηµιεπίπεδο, ανάλογα µε την ολοκληρωτέα συνάρτηση και εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα των υπολοίπων. Ενα τµήµα του δρόµου πρέπει να ϐρίσκεται επάνω στον πραγµατικό άξονα έτσι ώστε στο όριο, που το τµήµα αυτό γίνεται άπειρο, να συµπίπτει µε την κύρια τιµή του ολοκληρώµατος που ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Τα ολοκληρώµατα κατά µήκος των άλλων δρόµων είναι µηδέν ή παίρνουν γνωστές τιµές. Για να δείξουµε ότι το ολοκλήρωµα κατά µήκος ενός ή περισσοτέρων δρόµων είναι µηδέν χρησιµοποιούµε το λήµµα του Jordan ή παραλλαγές του..7. Αλυτες ασκήσεις. Με τη ϐοήθεια των µιγαδικών συναρτήσεων, δηλαδή διαλέγοντας έναν κατάλληλο κλειστό δρόµο, να δειχτεί ότι: L ( nπx ) ( ) kπx L ( nπx ) ( ) kπx α) sin sin dx = cos cos dx = Lδ nk L L L L L L π sin(x + i) π cos(x + i) ϐ) dx = πi, γ) dx = πi, cos(x + i) sin(x + i) π dx π π δ) dx = (5 + 4 cos x) 7, ε) cos 3θ dθ 5 4 cos θ = π, π cos 3θ dθ στ) p cos θ + p = π( p + p ) ( < p < ), p π π Ϲ) cos n θdθ = sin n θ dθ = π (n)! n (n =,,,...) (n!) Υπόδειξη. Στο ολοκλήρωµα ε) παρατηρήστε ότι cos 3θ = Re e i3θ. π dθ. Να δειχτεί ότι : α) 5 + cos θ = π π/ dθ, ϐ) 5 + cos θ = π 35, π/ + sin θ γ) + cos θ dθ = π 6 (4 3 3) π 3. Να δειχτεί ότι : e cos θ cos (ηθ sin θ) dθ = π n!, n N. Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι: e cos θ cos(nθ sin θ) = Re [ e cos θ e i(nθ sin θ)]. Ακολουθήστε τη γνωστή διαδικασία ϑέτοντας z = e iθ, cos θ = z + z και sin θ = z π iz για να οδηγηθείτε στη σχέση e cos θ cos (nθ sin θ) dθ = Re zn e /z dz, : z =. 4. Να δεχτεί ότι οι τύποι (7-) και (7-) του ϐιβλίου, που δίνουν την κύρια τιµή των αντίστοιχων ολοκληρω- µάτων, δεν µεταβάλλονται αν τα µικρά ηµικύκλια ϐρίσκονται στο κάτω ηµιεπίπεδο. 5. Η συνάρτηση f(z) ικανοποιεί τις συνθήκες: i) Είναι αναλυτική στο κάτω κλειστό ηµιεπίπεδο, εκτός από το αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z (Im z < ) και εκτός από τον απλό πόλο z = α του πραγµατικού άξονα. ii) f(z) για z και π Arg z π. Να δειχτεί ότι: P f(x) e i m x dx = πi Res [ f(z ) e i m z ] πi Res [ f(a ) e i m α ] 6. Να δειχτεί ότι : dx α) x + = π, ϐ) dx x 4 + α 4 = π, (a > ), γ) α3 x dx δ) (x + )(x + 4) = π 6, ε) x dx (x + 4) = π 8, στ) P x + x 4 + 4 dx = 3π 4, dx (x + )(x + 4)(x )(x ) = π 4