Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς

Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Σήµα εικόνας Σεισµικά σήµατα Ιατρικά σήµατα... Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων ανεξαρτήτων µεταβλητών. x () Η ανεξάρτητηµεταβλητή είναισυνήθωςοχρόνος, ήοποίαµπορεί να έχει και άλλη φυσική σηµασία. Με x() συµβολίζεται η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή.

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ α) Σήµατα Συνεχούς Χρόνου ή Αναλογικά Σήµατα x ( ) Γραφική αναπαράσταση ενός συνεχούς σήµατος β) Σήµατα ιακριτού Χρόνου x( n) x ( n) 3 γ) ΨηφιακάΣήµατα n n 3 Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος Εισαγωγή στα σήµατα -

Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PCM) Σεραφείµ Καραµπογιάς Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulaion (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x ( ) x ( n ) x ( n ) 4 5 6 7 8 9 3 3 n 4 5 6 7 8 9 3 3 n Εισαγωγή στα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας -3

ειγµατολήπτης Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε ένα αναλογικό σήµα από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα. x( n) x ( nt ) x a () ειγµατολήπτης Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας αναφέρει ότι ένα αναλογικό σήµα µπορεί να αναπαραχθεί από ένα κατάλληλο σύνολο δειγµάτων του και εποµένως χρειάζεται να µεταδίδουµε µόνο τις τιµές των δειγµάτων µόλις εµφανίζονται και όχι το ίδιο το αναλογικό σήµα. Το ζητούµενο είναι πόσο µεγάλη ή µικρή πρέπει να είναι η περίοδος δειγµατο-ληψίας Τ ώστε να µηχαθεί η πληροφορία, δηλαδή, να είναι δυνατή η ανακατα-σκευή του αναλογικούσήµατος x a () απόταδείγµατα x(n). Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας προσδιορίζει ότι συχνότητα δειγµατοληψίας s πρέπει να είναι µεγαλύτερη ή ίση µε το διπλάσιο του εύρους-ζώνης του φάσµατος του αναλογικού σήµατος W, δηλαδή, s W a Εισαγωγή στα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας -4

ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων περιορισµένου εύρους-ζώνης x a ( ) Το σήµα x α () είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο φασµατικό περιεχόµενό του βρίσκεται στις χαµηλές συχνότητες T S TS T S 3T S 4TS 5T S 6T S 7T S 8T S x a ( ) Το σήµα x α () είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές οι οποίες οφείλονται στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες T S TS T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T S 8T S Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Εισαγωγή στα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας -5

Η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου., < u ( ) =, > ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΣΗΜΑΤΑ Σεραφείµ Καραµπογιάς u( ) Η κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση δέλτα. Η δ() δεν είναι συνάρτηση µε τη συνήθη έννοια και ορίζεται µέσα από τις ιδιότητές της, δηλαδή δ δ ( ) =, ( ) d= δ ( ) =, x ) δ( ) d = x ( ) ( ) δ ( ) =δ δ ( a ) = δ a > a ( ), ( δ ( ) Εισαγωγή στα σήµατα -6

Η συνάρτηση Ορθογώνιου Παλµού Σεραφείµ Καραµπογιάς, < Π ( ) =, =, αλλιώς Π () Παρατηρούµε ότι ( + ) u( ) Π ( ) = u Η συνάρτηση Τριγωνικού Παλµού Λ +, < ( ) = +, <, αλλιώς Λ () Εισαγωγή στα σήµατα -7

Η συνάρτηση Προσήµου Σεραφείµ Καραµπογιάς sgn ( ) =,,, > < = sgn ( ) Παρατηρούµε ότι sgn ( ) = u ( ) Η συνάρτηση Κλίσης r( ) =,, < r() Παρατηρούµε ότι r ( ) = u ( ) Εισαγωγή στα σήµατα -8

Ενεργειακά σήµατα - σήµατα ισχύος Ηενέργεια E x τουσήµατος x()δίνεταιαπότησχέση Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήµα αν E x = lim + T T T x ( ) < E x < P x = T + T T d Ηµέσηισχύς P x τουσήµατος x()δίνεταιαπότησχέση lim T Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως σήµα ισχύος αν x ( ) d Σεραφείµ Καραµπογιάς < P x < Εισαγωγή στα σήµατα -9

Αιτιοκρατικά και τυχαία-στοχαστικά σήµατα Όταν οι τιµές που παίρνει ένα σήµα σε κάθε χρονική στιγµή ορίζονται χωρίς αβεβαιότητα το σήµα χαρακτηρίζεται ως αιτιοκρατικό σήµα ή νοµοτελειακό σήµα. Στην πράξη, όµως, συναντάµε πολλά σήµατα, όπως ο θερµικός θόρυβος, στα οποία η τιµή σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή δεν µπορεί να προκαθοριστεί µε βεβαιότητα πριν εµφανιστούν. Τα σήµατα αυτά ονοµάζονται τυχαία ή στοχαστικά σήµατα. Για να επεξεργαστούµε τέτοιου είδους σήµατα αναγκαστικά καταφεύγουµε στη θεωρίατωνπιθανοτήτωνκαιστατιστικής. x ( π + ) ( ) = cos π 4 x () T Παράδειγµα νοµοτελειακού σήµατος Παράδειγµα τυχαίου σήµατος Εισαγωγή στα σήµατα -

Περιγραφή των σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας Υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής ενός αιτιοκρατικού σήµατος. Ο πρώτος τρόπος περιγραφής πραγµατοποιείται στο πεδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο πεδίο της συχνότητας. Ο πρώτος τρόπος είναι άµεσα αντιληπτός και η χρονική µεταβολή του σήµατος δίδεται είτε µέσω αναλυτικής σχέσης (µαθηµατικός τύπος) είτε µε γραφική παράσταση. x ( π + ) ( ) = συν π 4 x () Σεραφείµ Καραµπογιάς T Εισαγωγή στα σήµατα -

Ηπεριγραφήτωνσηµάτωνστοπεδίοτηςσυχνότηταςπεριλαµβάνει, κατάπερίπτωση, τη χρήση της σειρά ή του µετασχηµατισµού Fourier µέσω των οποίων ένα σήµα περιγράφεται από το φασµατικό του περιεχόµενο. Η συνάρτηση η οποία περιέχει τη φασµατική περιγραφή ενός σήµατος ονοµάζεται φάσµα του σήµατος. Πλάτος ( π +φ) x ( ) = συν Φάση φ Συχνότητα Συχνότητα Το φάσµα του σήµατος x() Εισαγωγή στα σήµατα -

Πλάτος Φάση x Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογή: Περιγραφή σήµατος στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας ( π ) ( ) = aσυν π a a π T Πλάτος a 3 Πλάτος 3 Φάση π Φάση 3 x a 3 T 3 x ( ) = x ( ) + x ( ) ( π 3 ) ( ) = aσυν π a 3 a 3 3 π T Εισαγωγή στα σήµατα -3

Μετασχηµατισµός Fourier Ο µετασχηµατισµός Fourier παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Με το µετασχηµατισµό Fourier αναλύουµε µη περιοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασµατικό τους περιεχόµενο. X + jω ( ω ) = x ( ) e d ή X + ( ) j π = x ( ) e d Η συνάρτηση X(ω) αποτελεί την εξίσωση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier (ΜF)τουσήµατος x(). Σεραφείµ Καραµπογιάς Ακριβέστερα, µετασχηµατισµός Fourier είναι ο κανόνας εύρεσης της X(ω) από την x(). x ( ) + = j ω ω X ( ) e dω π ή x ( ) + j π = X ( ) e d Η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χρόνου Εισαγωγή στα σήµατα -4

Στο µετασχηµατισµό Fourier, η εξίσωση ανάλυσης + jω X ( ω ) = x ( ) e d αναλύει ένα µη περιοδικό σήµα x() στο διάστηµα περιοδικώνεκθετικώνσηµάτων. (, ) σ ένα συνεχές φάσµα X(ω) είναι το φασµατικό περιεχόµενο στο απειροστό διάστηµα συχνοτήτων [ω, ω + dω]. Η συνεισφορά των συχνοτήτων [ω, ω + dω] έχει πλάτος X dω π ( ω ) ή X( ω) d Ο µετασχηµατισµός Fourier X(ω) είναι η φασµατική πυκνότητα πλάτους. Όταν x() είναισήµατάσης, τότεο X(ω) έχειµονάδαµέτρησης Volsανάµονάδα συχνότητας. Εισαγωγή στα σήµατα -5

Παράδειγµα Το αιτιατό εκθετικό σήµα x( ) a = e u ( ), a R x( ) Το αιτιατό εκθετικό σήµα x(). έχει µετασχηµατισµό Fourier X( ) = a + jπ X ( ) a arg X ( ) π π a a π π 4 π 4 a π a π a π Το πλάτος του MF του σήµατος x(). H φάση του MF του σήµατος x(). Εισαγωγή στα σήµατα -6

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σεραφείµ Καραµπογιάς Ωςσύστηµαορίζουµετηνοντότηταεκείνηηοποίαεπενεργώνταςσεένασήµα x() έχει σαν αποτέλεσµα ένα άλλο σήµα y(). Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά Είσοδος Σύστηµα Έξοδος x( ) y( ) S Σχηµατικήπεριγραφήτουσυστήµατος S. x() είναιτοσήµαεισόδουήαπλάηείσοδοςτουσυστήµατοςκαι y() ηέξοδοςτου συστήµατος. Ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός µεταξύ σηµάτων y( ) = S{ x( )} Εισαγωγή στα συστήµατα -7

Παραδείγµατα απλών συστηµάτων είναι Η ηλεκτρική αντίσταση R i () υin () R i ( ) = υin ( ) R Οπυκνωτής C i () υ c () C dυc ( ) i ( ) = C d C= Q c υ c i ( ) = d Q( ) d Τοπηνίο L i () L υ L () υ L di( ) ( ) = L d Εισαγωγή στα συστήµατα -8

Παρατηρούµεότιτοσήµαεισόδουυ in () καιτοσήµαεξόδουυ ο () ενόςκυκλώµατος RC συνδέονται µε την εξίσωση υ in () i () C B υ o () RC d υ ( ) d υ ( ) = υ ( ) + in Γ Γενικά το σήµα εισόδου x() και το σήµα εξόδου y() ενός συστήµατος συνδέονται µε µία διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται από τα επιµέρους στοιχεία του συστήµατος. Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει τη γενική µορφή N k= a k d k y ( ) d k = M k= b k d k x ( ) d k Η τάξη του συστήµατος προσδιορίζεται από τη µεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου, η οποίαεµφανίζεταιστηδιαφορικήεξίσωση. Εισαγωγή στα συστήµατα -9

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ x () ΓΧΑ y () h () Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(), δηλαδή, από την έξοδο του συστήµατος όταν αυτό διεγείρεται από την κρουστική συνάρτηση δ(). δ () Γραµµικό σύστηµα h () Εισαγωγή στα συστήµατα -

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΓΧΑ X ( ) H ( ) Y ( ) Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα περιγράφεται πλήρως από την απόκριση συχνότητας H( ). Η απόκριση συχνότητας H( ) ενός συστήµατος είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της κρουστικής απόκρισης h() του συστήµατος και περιγράφει το σύστηµα στο πεδίο συχνοτήτων. Αν X( ) είναι ο MF του σήµατος εισόδου x() του συστήµατος τότε ο MF Y( ) του σήµατος εξόδου y() δίνεται από την ( π + θ ) συν H( ) Y ( ) = H( ) X( ) Ηφυσικήσηµασίατηςαπόκρισηςσυχνότητας, H ( ), αναδεικνύεταιαπότοσχήµαπου ακολουθεί Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης ( ) συν( π +θ H( )) H + Σεραφείµ Καραµπογιάς γων Συχνά χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ως µονάδα µέτρου το decibel (db). Η κλίµακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db = log H( ω) Εισαγωγή στα συστήµατα -

y ( π + ) ( ) = συν π x ( π + ) ( ) = συν π 4 T H ( ) arg H ( ) Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν = 5 Hz. y ( π + ) ( ) = συν π 4 Το σήµα εισόδου x(). π π Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν = Hz. y ( ) = συν π ( ) Ηέξοδοςτουσυστήµατοςόταν = 5 Hz. Εισαγωγή στα συστήµατα -

Ι ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ H ( ω ) = όπουω c είναιησυχνότητααποκοπής. e jω,, ω < ω c ω > ω c H ( ω ) arg H ( ω ) αποκοπής ω c διέλευσης ω c αποκοπής ω ω Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένοστηζώνηδιέλευσης, είναιµιαχρονικήκαθυστέρηση. x () H ( ω ) y ( ) = x ( ) ω c ω c Εισαγωγή στα συστήµατα -3

Ι ΑΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Ανάλογα µε τη ζώνη διέλευσής τους, τα φίλτρα διακρίνονται σε: Σεραφείµ Καραµπογιάς H ( ) H ( ) διέλευσης c αποκοπής Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής c διέλευσης Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H ( ) H ( ) αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή στα συστήµατα -4

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Σεραφείµ Καραµπογιάς H ( ) LPF H ( ) HPF διέλευσης c αποκοπής Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής c διέλευσης Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο Στησυχνότητα c ηοποίαχαρακτηρίζεταιωςσυχνότητα 3dBηαπόκρισηπλάτους τουσυστήµατοςείναιίσηµετο / τηςµεγίστηςτιµήςτης. H ( ) ΒPF H ( ) ΒRF αποκοπής διέλευσης Πραγµατικό ζωνοπερατό φίλτρο αποκοπής διέλευσης αποκοπής Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή στα συστήµατα -5 διέλευσης

H (ω) W = ω c H (ω) αποκοπής ω c διέλευσης ω c Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µεεύρος-ζώνης W = ω c αποκοπής ω ω s ω p ω p ω c Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. ω H (ω) log H ( ω) ω s αποκοπής ω c Μεταβατική ζώνη ω p διέλευσης ω p ω c ω s Μεταβατική ζώνη Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής ω ω s ω p db db ω p ω c Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. ω Εισαγωγή στα συστήµατα -6

Πλάτος Σήµα εισόδου 4 3 - - -3-4 3 4 5 6 7-3 Χρόνος x Πάτος 3.5.5.5 Φάσµα του σήµατος εισόδου 4 6 8 Εφαρµογές του Συχνότητα µετασχηµατισµού Εισαγωγή στα συστήµατα Fourier -7

Σήµα και θόρυβος 3 Φάσµα του Σήµατος + Θορύβου.5 Πλάτος 5 Πλάτος.5-5.5-3 4 5 6 7 x -3 Χρόνος 4 6 8 Εφαρµογές του Συχνότητα µετασχηµατισµού Fourier Εισαγωγή στα συστήµατα -8

Πλάτος Το Σήµα εξόδου του φίλτρου - - 3 4 5 Χρόνος 6 7-3 x Πλάτος.8.6.4..8.6.4. Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου 4 6 8 Εφαρµογές του Συχνότητα µετασχηµατισµού Εισαγωγή στα Fourier συστήµατα -9

6 4 4 Το Σήµα εξόδου του φίλτρου Το φάσµα του Σήµατος εξόδου του φίλτρου 3 Πλάτος Πλάτος.5 - - -3-4 3 4 5 6 7 Χρόνος x -3.5 4 6 8 Εφαρµογές του Συχνότητα µετασχηµατισµού Εισαγωγή στα Fourier συστήµατα -3

s in () () s ou H 4 6 S in S ou 4 4 log H ( ) 5 4 6 5 4 6 4 6 Εισαγωγή στα συστήµατα -3

m in () () m ou H 4 8 M in M ou log H ( ) 5 5 4 8 4 6 8 (KHz) 4 6 8 (KHz) Εισαγωγή στα συστήµατα -33

Εισαγωγή στα συστήµατα -36