.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα : Λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και αληθεύει για οποιεσδήποτε τιµές των µεταβλητών της.. Αξιοσηµείωτες ταυτότητες : Είναι ταυτότητες που χρησιµοποιούµε πολύ συχνά και γι αυτό το λόγο πρέπει να τις µάθουµε πολύ καλά. 3. Τετράγωνο αθροίσµατος διαφοράς : (α + = α + αβ + β (α = α αβ + β 4. Κύβος αθροίσµατος διαφοράς : (α + 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 (α 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 5. Γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά : (α + (α = α β 6. Άθροισµα κύβων διαφορά κύβων : ( α + (α αβ + β ) = α 3 + β 3 (α (α + αβ + β ) = α 3 β 3
ΣΧΟΛΙΑ. Ανάποδα οι ταυτότητες : Τις ταυτότητες που αναφέραµε παραπάνω θα πρέπει να µάθουµε να τις χρησιµοποιούµε πηγαίνοντας και από το δεύτερο µέλος προς το πρώτο.. Τετράγωνο τριωνύµου : (α + β + = α + β + γ + αβ + αγ + βγ Παραλλαγές της παραπάνω ταυτότητας (α β + = α + β + γ αβ + αγ βγ (α β = α + β + γ αβ αγ + βγ Παρατηρήστε ότι στα διπλάσια γινόµενο υπολογίζουµε το πρόσηµο των α, β, γ 3. ύο ακόµα ταυτότητες : α + β = (α + αβ α 3 + β 3 = (α + 3 3αβ(α + 4. Μέθοδος : Για την απόδειξη µιας ταυτότητας συνήθως ξεκινάµε από το ένα µέλος το επεξεργαζόµαστε και προσπαθούµε να φτάσουµε στο άλλο µέλος. Κάποιες φορές επεξεργαζόµαστε και τα δύο µέλη έως ότου φτάσουµε σε κάτι που ισχύει ή επεξεργαζόµαστε κάθε µέλος ξεχωριστά προσδοκώντας να βρούµε το ίδιο αποτέλεσµα. 5. Σύσταση : Τις ταυτότητες θα πρέπει να µάθετε να τις διατυπώνετε και µε λόγια πχ το ( α + = µε το τετράγωνο του πρώτου όρου συν το διπλάσιο γινόµενο των δύο όρων συν το τετράγωνου του δεύτερου όρου Για τις υπόλοιπες ταυτότητες γράψτε στο τετράδιό σας εσείς τους δικούσας κανόνες Όταν θέλετε να υπολογίσετε µια παράσταση µε τη χρήση κάποιας ταυτότητας λέτε τον σχετικό κανόνα και γράφετε 6. Ταυτότητες υπό συνθήκη : Είναι ταυτότητες που ισχύουν µε ορισµένες προϋποθέσεις. Για να αποδείξουµε µια τέτοια ταυτότητα προσπαθούµε να αξιοποιήσουµε την υπόθεση του προβλήµατος κατάλληλα έτσι ώστε σε συνδυασµό µε άλλες γνώσεις που έχουµε να φτάσουµε στο ζητούµενο
3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πόσα από τα διπλανά σχήµατα χρειάζονται για να φτιάξουµε τετράγωνο πλευράς + ; Είναι ( + ) = + ( ) + Χρειάζονται ένα τετράγωνο πλευρά, δύο ορθογώνια διαστάσεων και, ένα τετράγωνο πλευράς όπως βλέπουµε και στο διπλανό σχήµα.. Να υπολογίσετε χωρίς µολύβι και χαρτί τις παραστάσεις 5 5 και 8 05 95 και 0 98 005 995 και 00 998 Φανταζόµαστε ότι 5 5 = (5 5)(5 + 5) = 0 0 = 00 8 = ( 8) ( + 8) = 4 0 = 80 05 95 = (05 95)(05 + 95) = 0 00 = 000 0 98 = (0 98) (0 + 98) = 4 00 = 800 005 995 = (005 995)(005 + 995) = 0 000 = 0000 00 998 = (00 998) (00 + 998) = 4 000 = 8000 3. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες ( y) 3 + ( + y) 3 3 + 3( + y)( y) = 4 3 + 3y (4α + 9β 4 ) (4α 9β 4 ) + 5(αβ 5) + 9 αβ = (αβ + ) α(α + (α + (α + 3 + β 4 = (α + 3αβ + β ) δ) (α + β ) + 4αβ(α β ) = (α β + α ε) (α + 4)( + ) (α + ) = (
4 ( y) 3 + ( + y) 3 3 + 3( + y)( y) = = ( 3 3 y + 3y y 3 ) 3 + ( 3 + 3 y + 3y + y 3 ) + 3( y ) = = 3 3 y + 3y y 3 3 + 3 + 3 y + 3y + y 3 + 3 3 3y = = 4 3 3y (4α + 9β 4 ) (4α 9β 4 ) + 5(αβ 5) + 9 αβ = = (6α 4 + 7α β 4 + 8β 8 ) (6α 4 7α β 4 + 8β 8 ) + 60αβ 5 + 9 αβ = =6α 4 + 7α β 4 + 8β 8 6α 4 + 7α β 4 8β 8 + 60αβ 5 + 9 αβ = = 44α β 4 + 48αβ + 4 = ( αβ + ) α(α + (α + (α + 3 + β 4 = (α + α (α + 3αβ + αβ + 6β ) + β 4 = = (α + α (α + 5αβ + 6β ) + β 4 = = α 4 + 5α β + 6α β + α β + 5α β + 6αβ 3 + β 4 = = α 4 + 6α β + α β + 6αβ 3 + β 4 () (α + 3αβ + β ) = α 4 + 9α β + β 4 + 6α β + α β + 6αβ 3 = = α 4 + 6α β + α β + β 4 + 6αβ 3 () Αφού τα δεύτερα µέλη των () και () είναι, ίσα θα είναι και τα πρώτα δ) (α + β ) + 4αβ(α β ) = α 4 + α β + β 4 + 4α 3 β 4αβ 3 () (α β + α = α 4 + β 4 + 4α β α β + 4α 3 β 4αβ 3 = = α 4 + β 4 + α β + 4α 3 β 4αβ 3 () Αφού τα δεύτερα µέλη των () και () είναι ίσα, θα είναι και τα πρώτα ε) (α + 4)( + ) (α + ) = α + α + 4 + (α + 4α + 4) = = α + α + 4 + 4 α 4α 4 = = α 4α + 4 = ( Σχόλιο
5 4. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες (α + (α + (α + (α = 4β (α + 3 = α(α 3 + β(β 3 ( 3 + y 3 ) ( + y ) 3 + 3 y ( + y) = (y) 3 δ) (α 4 + β 4 )(α + β )(α + (α = α 8 β 8 ε) (α ( α ( α β ) = α 4 β 4 στ) (αβ + )(α β + )(αβ ) + α 4 β 4 = 0 (α + (α + (α + (α = (α + αβ + β ) (α β ) + (α αβ + β ) = = α + αβ + β α + β + α αβ + β = = 4β (α + 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 () α(α 3 + β(β 3 = α(α 6αβ + 9β ) + β(β 6αβ + 9α ) = = α 3 6α β + 9αβ + β 3 6αβ + 9βα = = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 () Αφού τα δεύτερα µέλη των () και () είναι ίσα, θα είναι και τα πρώτα ( 3 + y 3 ) ( + y ) 3 + 3 y ( + y) = = 6 + 3 y 3 + y 6 ( 6 + 3 4 y + 3 y 4 + y 6 ) + 3 y ( + y + y ) = = 6 + 3 y 3 + y 6 6 3 4 y 3 y 4 y 6 + 3 4 y + 6 3 y 3 + 3 y 4 = 8 3 y 3 = ( y) 3 δ) (α 4 + β 4 )(α + β )(α + (α = (α 4 + β 4 )(α + β )( α β ) = ε) = (α 4 + β 4 ) (α 4 β 4 ) = α 8 β 8 (α ( α ( α β ) = (α [ (α + ][ (α + β )] = (α (α + (α + β ) = = (α β )(α + β ) = α 4 β 4 στ) (αβ + )(α β + )(αβ ) + α 4 β 4 = (α β )(α β + ) + α 4 β 4 = α 4 β 4 + α 4 β 4 = 0 Θεωρία 5
6 5. Να γίνουν οι πράξεις ( + 3) ( + 4)( 4) 3(4 + ) (3 + ) (4 ) (3 + 7)(3 7) 3( + y) ( 3y) (3 + 4y)(3 4y) δ) ( )( + )( + )( 4 + ) 8 ε) (3 4 5 ) ( 3 + ) + ( + ) ( 4 + 3 )( 4 3 ) ( + 3) ( + 4)( 4) 3(4 + ) = ( + 6 + 9) ( 6) 3 = = + 6 + 9 + 6 3 = = 6 + (3 + ) (4 ) (3 + 7)(3 7) = (9 + + 4) (6 8 + ) (9 49) = = 9 + + 4 6 + 8 9 + 49 = = 6 + 0 + 5 3( + y) ( 3y) (3 + 4y)(3 4y) = = 3( + 4y + 4y ) ( 6y + 9y ) (9 6y ) = = 3 + y + y + y 8y 9 + 6y = = 8 + 4 y + 0y δ) ( )( + )( + )( 4 + ) 8 = ( + ) [( )( + )] ( 4 + ) 8 = = ( + ) ( )( 4 + ) 8 = = ( 4 )( 4 + ) 8 = Θεωρία 5 = 8 8 = ε) (3 4 5 ) ( 3 + ) + ( + ) ( 4 + 3 )( 4 3 ) = = 9 8 30 6 + 5 4 ( 6 + 4 4 + 4 ) + ( + + ) ( 8 9 4 ) = = 9 8 30 6 + 5 4 6 4 4 4 + + + 8 + 9 4 = = 8 8 3 6 + 30 4 3 + +
7 6. Να γίνουν οι πράξεις ( y + ) ( y)( + y) ( 3y) ( + 3y) 3 (3 y) 3 3(4 + ) 3 (3 ) 3 δ) ( + y) 3 + 3( + y) ( y) + 3( + y)( y) + ( y) 3 ε) ( 3 + y ) (y + 3 ) + ( 3 y )( 3 + y ) στ) ( y)( y + y )( + y + y )( + y) 5 6 + y 6 δ) ( y + ) ( y)( + y) ( 3y) = = + 4y + 4y + 4y ( 4y ) + 6y = = + 4y + 4y + 4y + 4y + 6y = = + 8y + y 4y + + ( + 3y) 3 (3 y) 3 = = 8 3 + 3(4 )3y + 3() ( 9y ) + 7y 3 [7 3 3(9 )y + 3(3)y y 3 ] = = 8 3 + 36 y + 54y + 7y 3 7 3 + 7 y 9y + y 3 = = 9 3 + 63 y + 45y + 8y 3 3(4 + ) 3 (3 ) 3 = = 3[64 3 + 3(6 ) + 3(4) +] [7 3 3(9 ) + 3(3) 4 8] = = 3[64 3 + 48 + +] [7 3 54 + 36 8] = = 9 3 + 44 + 36 + 3 54 3 +08 7 + 6 = = 38 3 + 5 36 + 9 ( + y) 3 + 3( + y) ( y) + 3( + y)( y) + ( y) 3 = [( + y) + ( y)] 3 = Σχόλιο = ( + y + y) 3 = = () 3 = 8 3 ε) ( 3 + y ) (y + 3 ) + ( 3 y )( 3 + y ) = = ( 6 + 4 3 y + 4y 4 ) (y 4 + 4y 3 + 4 6 ) + ( 6 4y 4 ) = Σχόλιο = 6 + 4 3 y + 4y 4 y 4 4y 3 4 6 + 6 4y 4 = 6 y 4
8 στ) Θεωρία 6 ( y)( y + y )( + y + y )( + y) 5 6 + y 6 = =[ ( y)( + y + y )] [ ( + y) ( y + y )] 5 6 + y 6 = = ( 3 y 3 )( 3 + y 3 ) 5 6 + y 6 = 6 y 6 5 6 + y 6 = = 4 6 + y 6 7. Στις παρακάτω παραστάσεις να συµπληρωθούν τα κενά ώστε να προκύψουν αναπτύγµατα τελείων τετραγώνων 9 + + ---- + 4 +---- y + ----- δ) 5 + ---- ε) 5 + 7 + --- στ) 4y + ---- ζ) α 5αβ + ---- η) 4 + ----- θ) 9 + 4y + ---- Σχόλιο 9 + + = (3) + (3) + = (3) + (3) + 4 = (3 + ) + +---- = + 4 + = + + = + y + ---- = y + y = y + y = y 4 δ) 5 + ---- = 5 + 5 = 5 + 5 4 = 5 ε) 5 + 7 + --- = (5) + (5) 7 0 + 7 0 = (5) + (5) 7 0 + 49 00 = 7 = 5+ 0 στ) 4y + ---- = (7y) + (7y) = (7y) + 49y = ( 7y) ζ) α 5αβ + ---- = α 5 αβ + 5 β = α 5 αβ + 5 β 5 = α β 4 η) 4 + ----- = () () 3 + 3 = () () 3 + 9 = ( 3) θ) 9 + 4y + ---- = (3) + (y) + (3)(y) = (3) + (y) + y = (3 + y)
9 8. Στις παρακάτω ισότητες να συµπληρωθούν τα κενά (--- + 5) = 6α + --- + --- (. = 9β +.. (.+ 4 ) = + 3y +. δ) 9ω = (5 + )(5.) ε) (5 ) = (.+ y 3 )( y 3 ) στ) 9 + 6y + = ( + ) (4α + 5) = 6α + 40α + 5 (3β = 9β αβ + 4α 6y + = 36y + 3y + 4 δ) 5 9ω = (5 + 3ω)(5 3ω) 6 ε) 5 4y 6 = (5 + y 3 )(5 y 3 ) στ) 9 + 6y + y = (3 + y) Σχόλιο 9. Να αποδείξετε τις ταυτότητες i) α + β = (α + αβ ii) α 3 β 3 = (α 3 + 3αβ(α Αν 4 = 3 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων i) 6 +, ii) 3 64 3 i) (α + αβ = α αβ + β + αβ = α + β ii) (α 3 + 3αβ(α = α 3 3α β + 3αβ β 3 + 3α β 3αβ = = α 3 β 3 i) 6 + ii) 3 64 3 = 4 + = 3 3 4 (α i) = (α ii) = 4 + 4 = 3 + 8 = 9 + 8 = 7 3 4 + 3 4 4 = = 3 3 + 3 = = 7 + 36 = 63
0 0. Αν = α β, y = αβ, ω = α + β, δείξτε ότι + y = ω + y = (α β ) + ( α = α 4 α β + β 4 + 4α β = = α 4 + α β + β 4 = = ( α + β ) = ω Σχόλιο 6. Αν α + β + γ = 0, δείξτε ότι α + β + γ = (γ α α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ α + β + γ = 0 άρα α + β = γ οπότε (α + β ) = ( α + αβ + β = γ α + β = γ αβ (προσθέτουµε και στα δύο µέλη το γ ) α + β + γ = γ αβ άρα α + β + γ = (γ α α + β + γ = 0 άρα α + β = γ () οπότε (α + β ) 3 = ( 3 α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 = γ 3 α 3 + β 3 + γ 3 = 3α β 3αβ α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβ( α + β ) και λόγω της () α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβ( α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Σχόλιο 6. Αν α + γ = β, δείξτε ότι (α + β + (β = α 4β(α Αφού α + γ = β, είναι γ = β α Οπότε (α + β + (β = (α + β + (β β + α ) = = (α + β + (α β ) = = α αβ + β + β + α αβ + β = = α + 4β 4αβ = = α 4β( α
3. Αν = β α + και y= β α α α, δείξτε ότι y = β y = 4. = = β α + α β α α = β 4 β 4 α + α β 4 α + + α 4 = α β 4 + β 4 + β 4 β = 4 4 = β α α = β α + α = α β α 4 + β 4 β 4 Αν α + β =, δείξτε ότι (3α 4α 3 ) + (3β 4β 3 ) = (3α 4α 3 ) + (3β 4β 3 ) = α = = 9α 4α 4 + 6α 6 + 9β 4β 4 + 6β 6 = = 9(α + β ) 4 (α 4 + β 4 ) + 6(α 6 + β 6 ) = = 9(α + β ) 4 [(α ) + ( β ) ] + 6 [(α ) 3 + ( β ) 3 ] = 9(α + β ) 4 [(α + β ) α β ] + 6[(α + β ) 3 3α β (α + β )] α + = β = = 9 4( α β ) + 6 ( 3α β ) = = 9 4 + 48α β + 6 48α β = Σχόλιο 3