Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2 D f. Tedaj je f (i) nara² ajo a, ko velja x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) (ii) padajo a, ko velja x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Podobno za strogo nara² ajo e in strogo padajo a. ƒe obstaja tako ²tevilo P R, da je f(x + P ) = f(x), x R, potem je f periodi na funkcija s periodo P. Naj bosta f : D f R in g : D g R. Tedaj je naravno denicijsko obmo je kompozituma f g denirano takole D f g = {x D g ; g(x) D f }. Elementarne funkcije Polinomi in racionalne funkcije Polinomi so funkcije oblike p(x) = x n + 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, kjer je a i R, i = 1, 2,..., n. ƒe je 0 pravimo, da je polinom p stopnje n. V posebnem primeru, ko je p(x) = ax 2 + bx + c, imamo naslednjo formulo za iskanje ni el x 1,2 = b± b 2 4ac 2a. Racionalna funkcija f je kvocient dveh polinomov p in q: f(x) = p(x) q(x). Ni le ima v to kah, kjer je p(x) = 0. Denirana je povsod, kjer je q(x) 0. V to kah, kjer je q(x) = 0, funkcija f ni denirana. Pravimo, da ima v taki to ki funkcija pol ali vertikalno asimptoto. Trigonometri ne funkcije Funkcije sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tan) in kotangens (cot) deniramo na enotski kroºnici. Velja (i) tan x = sin x cos x cos x, cot x = sin x (ii) cos 2 x + sin 2 x = 1 (iii) 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x (iv) Adicijska izreka: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. (v) Dvojni koti: sin(2x) = 2 sin x cos y, cos(2x) = cos 2 x sin 2 x. (vi) sin( π 2 x) = cos x, cos( π 2 x) = sin x. (vii) tan ( π 2 x) = cot x, cot ( π 2 x) = tan x. Funkciji kosinus in sinus sta denirana celem R, medtem ko funkcija tangens ni deniran v ni lah kosinusa (x = k π 2, k Z), kotangens pi deniran v ni lah sinusa (x = kπ, k Z). Ciklometri ne funkcije (kroºne funkcije) so obratne funkcije od trigonometri nih. Ciklometri ne funkcije so arkus sinus, arkus kosinus, arkus tangens in arkus kotangens. asin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. acos : [ 1, 1] [0, π]. atan : R [ π 2, π 2 ]. Eksponentna funkcija a x : R R + 1 Matevº ƒrepnjak
(i) a x+y = a x a y. (ii) Za a > 1 je f(x) = a x strogo nara² ajo a funkcija, a < 1 pa je f(x) = a x strogo padajo a funkcija. (iii) Poseben primer e x. Logaritemska funkcija log a x : R + R Eksponentna in logaritemska funkcija sta si med seboj obratni. Velja (i) y = log a x a y = x, (ii) 0 = log a x a 0 = 1 = x, (logaritemska funkcija imi lo v to ki 1) (iii) log a (xy) = log a x + log a y, x, y > 0, (iv) log a x y = log a x log a y, x, y > 0, (v) log a x y = y log a x, x > 0, y R, (vi) log e x = ln x Hiperboli ne funkcije Funkcija chx je soda, shc pa liha. Velja (i) sh(x + y) = shx chy + shy chx (ii) ch(x + y) = chx chy shx shy (iii) ch 2 x sh 2 x = 1. chx = ex + e x, shx = ex e x 2 2 Zaporedja Zaporedje ( ) v mnoºici M je preslikava a : N M. Posebna primera (i) = 1 + d = a 1 + (n 1)d, kjer sta a 1, d R... aritmeti no zaporedje (ii) = 1 q = a 1 q n 1, kjer sta a 1, q R... geometrijsko zaporedje Denicije (i) tevilo a M je ita zaporedja ( ), a = n, e a = n ε > 0, n 0 N, n n 0 a < ε. ƒe obstaja ita zaporedja pravimo, da je zaporedje konvergentno, sicer je zaporedje divergentno. (ii) tevilo s je stekali² e zaporedja ( ), e vsebuje vsaka poljubno majhna okolica ²tevila s neskon no lenov zaporedja ( ). (iii) Zaporedje ( ) je nara² ajo e, e velja +1, n N. (iv) Zaporedje ( ) je strogo nara² ajo e, e velja < +1, n N. (v) Zaporedje ( ) je padajo e, e velja +1, n N. (vi) Zaporedje ( ) je strogo padajo e, e velja +1, n N. 2 Matevº ƒrepnjak
(vii) Zaporedje je monotono, ko je (strogo) nara ajo e ali (strogo) padajo e. (viii) Zaporedje ( ) je navzgor omejeno, e M R tak, da velja M, n N in je navzdol omejeno, e m R tak, da velja m, n N. ((ix)) Zaporedje je omejeno, ko je navzdol in navzgor omejeno. ((x)) Supremum M zaporedja ( ) je enak M = sup { ; n N} = sup ( ). ((xi)) Inmum m zaporedja ( ) je enak m = inf { ; n N} = inf ( ). Izrek Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno. Izrek Naj bosta ( ) in (b n ) konvergentni zaporedji z itama n = A, n b n = B in c R. Tedaj velja (i) (ii) (iii) (iv) n ( ± b n ) = A + B, n ( b n ) = A B, n (c ) = c A, = A n b n B, e b n 0 in B 0. Vrste = a 1 + a 2 +... + a k +... k=1 imenujemo ²tevilska vrsta ali na kratko vrsta, realnim ²tevilom a 1, a 2,... pa pravimo leni vrste. Naj bo S n = a 1 + a 2 +... +, kjer n N. ƒe je zaporedje S n konvergentno, imenujemo njegovo ito S vsota vrste. Vsota lenov geometrijskega zaporedja tvori geometrijsko vrsto: Pogoji za konvergenco vrste (i) Cauchyjev pogoj a + aq + aq 2 +... = a, e q < 1. 1 q a k konv. ε > 0, n N, : +1 + +2 + + +p < ε, p N. k=1 (ii) Potreben pogoj za konvergenco vrste ƒe je vrsta a k konvergentna, tedaj je = 0. n pogoj k=1 Vrsta b n je majoranta vrste, e je za vsako naravno ²tevilo n izpolnjen b n. Pravimo tudi, da je minoranta vrste b n. Konvergenca vrst s pozitivnimi leni 3 Matevº ƒrepnjak
(i) Primerjalni kriterij s pozitivnimi leni je konvergentna, e ima kak²no konvergentno majoranto s pozitivnimi leni divergentna, e ima kak²no divergentno minoranto (ii) Kvocientni ali D'Alembertov kriterij Naj bo vrsta s pozitivnimi leni in naj bo - q < 1 - q > 1 konvergira, divergira, - q = 1 kriterij ne da odgovora. (iii) Korenski ali Cauchyjev kriterij Naj bo vrsta s pozitivnimi leni in naj bo - q < 1 - q > 1 konvergira, divergira, - q = 1 kriterij ne da odgovora. (iv) Raabejev kriterij Naj bo Tedaj velja, e je - q > 1 - q < 1 b n. +1 = q. Tedaj velja, e je n n an = q. Tedaj velja, e je n vrsta s pozitivnimi leni in naj bo q ita pridruºenega zaporedja q = n konvergira, divergira. Konvergenca alternirajo ih vrst Alternirajo a vrsta je vrsta s pozitivnimi in negativnimi leni, ki si izmeni no sledijo: Leibnizov kriterij Vrsta je konvergentna, e je ( ) alternirajo e, ( ) padajo e, n = 0. a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 + = ( 1) n+1. b n. ( ( )) an n 1. +1 4 Matevº ƒrepnjak
Konvergenca vrst s poljubnimi leni Vrsta ƒe za konvergentno vrsto Poten ne vrste Poten na vrsta je vrsta je absolutno konvergentna, e konvergira vrsta vrsta divergira, potem je x n, n=0. pogojno konvergentna. kjer je ( ) neko zaporedje. Naj bo q tak²en kot pri kvocientnem ali korenskem kriteriju za lene. Tedaj poten na vrsta vrsta konvergira za x < 1 q. R = 1 q imenujemo konvergen ni polmer poten ne vrste. Zveznost in ita funkcije Funkcija f ima v a desno ito, L +, e velja: L + = f(x) ε > 0, δ > 0, x (a, a + δ) f(x) x a+0 L+ < ε. Funkcija f ima v a levo ito, L, e velja: Velja L = f(x) ε > 0, δ > 0, x (a δ, a) f(x) x a 0 L < ε. L = L + = L L = x a f(x). Naj bo x a f(x) = A in x a g(x) = B. Tedaj velja: (i) x a (f(x) ± g(x)) = A ± B, (ii) x a (f(x) g(x)) = A B, (iii) x a f(x) g(x) = A B, B 0. Funkcija f ima ito L, ko gre x proti neskon no, e L = f(x) ε > 0, M > 0, x > M f(x) L < ε. x Funkcija f ima ito L, ko gre x proti minus neskon no, e L = f(x) ε > 0, m < 0, x < m f(x) L < ε. x Pomembnej²e ite: sin x (i) x 0 x = 1 (ii) x ( 1 + 1 x) x = e (iii) (1 + x) 1 x = e x 0 5 Matevº ƒrepnjak
ln(1 + x) (iv) = 1 x 0 x log (v) a (1 + x) = 1 x 0 x ln a a x 1 (vi) = ln a x 0 x Zveznost funkcije Funkcija f je zvezna v to ki a: ɛ > 0, δ > 0, x a < δ f(x) f(a) < ɛ. Funkcija f : D R je zvezna, e je zvezna v vsaki to ki svoje domene D. Iz denicij ite in zveznosti sledi: f je zvezna v a x a f(x) = f(a). funkcije ƒe sta funkciji f in g zvezni v to ki a in je c 0 neko ²tevilo, potem so v a zvezne tudi (i) f ± g, (ii) c f, (iii) f g, (iv) f g, e je g 0. ƒe sta f in g zvezni funkciji v to ki a, tedaj je f(g(x)) = f( g(x)). x a x a Funkcija f : [a, b] R je zvezna, e je zvezna v vsaki to ki odprtega intervala (a, b) in v to ki a obstaja desna ita, ki je enaka f(a) in v to ki b leva ita, ki je enaka f(b): ε > 0, δ > 0, 0 < h < δ f(a) f(a + h) < ɛ f(b) f(b h) < ε. Naj bo f [a, b] in f(a) f(b) < 0. Tedaj obstaja c (a, b) tak²na, da je f(c) = 0. Funkcija f : [a, b] R je na [a, b] navzgor omejena, e obstaja M R tak, da je f(x) M, x [a, b]. Podobno je f navzdol omejena, e obstaja m R tak, da je f(x) m, x [a, b]. tevili M in m imenujemo zgornja oz. spodnja meja funkcije f na [a, b]. Naj bo f : [a, b] R. Najmanj²a zgornja meja M je natan na zgornja meja ali supremum funkcije f: M = sup x [a,b] f(x). 6 Matevº ƒrepnjak
Najve ja spodnja meja m je natan na spodnja meja ali inmum funkcije f: m = inf f(x). x [a,b] Vsaka zvezna funkcija denirana zaprtem intervalu je omejena. Zvezna funkcija f : [a, b] R doseºe na intervalu [a, b] minimum in maksimum. Naj bo f : [a, b] R zvezna funkcija. Tedaj zavzame vse vrednosti med minimumom in maksimumom. Posledica. Zaloga vrednosti zvezne funkcije denirane na [a, b] je interval [m, M ], kjer je m = min x [a,b] f(x) in M = max x [a,b] f(x). 7 Matevº ƒrepnjak