f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)"

Ανάργυρος Λύκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0<a< (funkcija strogo pada) f() a, a> (funkcija strogo raste) funkcija f() e, gdje je e lim n + + n n zove se eksponencijalna funkcija; eksponencijalne funkcije imaju ova svojstva: a + a a, a - /a, (a ) a, za sve, R.

2 Logaritamska funkcija f() log a, a > 0, a, je definirana kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije g() a. Prema tome vrijedi: domena D(f) (0,+ ); slika funkcije f(d) R; nultočaka ; log a a a log a,, za sve za sve R, ( 0, + ); graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na doljnjoj slici; ako je a e, tada se funkcija log e piše ln i funkcija se zove prirodni logaritam; log log a a logaritamske funkcije imaju ova svojstva: () loga + loga, loga loga - loga, za sve, > ( ) log a, za sve > 0. 0,

3 log log log b log, log a a a b b, specijalno loga log b a f() log a, a> (funkcija strogo raste) ln. lnb f() log a, 0<a< (funkcija strogo pada)

4 Trigonometrijske funkcije. Pomoću trigonometrijske funkcije f() a sin(b+c), matematički možemo opisati valove titranja zvuka. Zvuk koji nastaje titranjem čestica neke elastične materije ili tijela (drva, stakla, pri glasanju čovjeka ili ptice, treperenju žica na glazbenom instrumentu, pri žuboru vode ili morskih valova) putuju do našeg uha pomoću zvučnih valova koji nastaju zguščivanjem i razrjeñivanjem zraka. Ako titraji elastične materije slijede jedan za drugim u istom vremenskom razdoblju, tada kažemo da su ti titraji pravilni, te ih nazivamo tonovima (ljudski glas, zvukovi glazbenih instrumenata). Ton f() a sin(b + c) je karakteriziran svojom jačinom koja ovisi o veličini amplitude titranja odnosnoo broju a, te svojom visinom koja ovisi o frekvenciji titranja (broj titraja čestica u sekundi) odnosno o broju b, dok broj c zovemo početnom fazom titranja i on je u direktnoj vezi s početnim mjestom čestice prije početka titranja (mjesto izvora zvuka). Duljinu titranja odreñuje period T / b.

5 Trigonometrijska kružnica Na jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu postavljamo brojevni pravac kao tangentu u točki (,0) i usmjerenu kao os. Zatim ga namotamo na kružnicu. Na taj način smo točkama kružnice pridružili realne brojeve. Tako dobivena kružnica se zove trigonometrijska ili brojevna kružnica. Ako je točki T na kružnici pridružen broj t, onda su istoj točki pridruženi brojevi t +, t -, t + 4, t - 4, zato jer je duljina jedinične kružnice.

6 Pomoću brojevne kružnice definiramo trigonometrijske funkcije na sljedeći način. Neka broju t pripada točka T na brojevnoj kružnici. Apscisu točke T označavamo s cos t, a ordinatu sa sin t. Na taj način smo definirali funkcije t a sint, t a cost na R, koje zovemo sinus i kosinus. Zatim definiramo sint tg t, ctg t cost cost sint, koje zovemo tangens i kotangens. Zbog toga što je radius brojevne kružnice, vrijednosti funkcije tangens očitavamo na tangenti u točki (,0) a vrijednosti funkcije kotangens na tangenti u točki (0,). Iz ove definicije slijedi osnovni identitet za trigonometrijske funkcije, koji je posljedica Pitagorinog poučka: cos + sin.

7 Funkcija sinus f() sin ; domena D(f) R; slika funkcije f(d) [-,]; nultočake su k, za sve k Z; sinus funkcija je periodička s temeljnim periodom T, odnosno sin ( + ) sin, za sve realne brojeve ; graf G(f) je sinusoida prikazana na doljnjoj slici; f() sin 3 3 -

8 Funkcija kosinus f() cos ; domena D(f) R; slika funkcije f(d) [-,]; nultočake su + k, za sve k Z; kosinus funkcija je periodička s temeljnim periodom T, odnosno cos ( + ) cos, za sve realne brojeve ; graf G(f) je kosinusoida prikazana na doljnjoj slici; f() cos 3 3 -

9 Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus zadovoljavaju adicione formule: sin( cos( ± ) sin cos ± cos sin, ± ) cos cos m sin sin. Iz njih slijede formule za funkcije polovičnog i dvostrukog argumenta: sin ( sin sin cos), cos ( + cos, cos cos cos), sin. Formule zbroja i razlike funkcija su: ± m sin ± sin sin cos, + cos + cos cos cos + cos cos sin sin,.

10 Formule produkta funkcija su: sin cos sin sin cos cos [ cos( ) cos( + )] [ sin( ) + sin( + )]. [ cos( ) + cos( + )],, Funkcija tangens f() tg je definirana formulom: sin tg, za sve + k, k Z; cos domena D(f) U k Z + k, + k ; slika funkcije f(d) R; nultočake su k, za sve k Z;

11 tangens funkcija je periodička s temeljnim periodom T, odnosno tg ( + ) tg, za sve realne brojeve D(f); graf G(f) je tangesoida prikazana na doljnjoj slici; f() tg

12 Funkcija kotangens f() ctg je definirana formulom: cos ctg, za sve k, k Z; sin domena D(f) U( k + k ) k Z, ; slika funkcije f(d) R; nultočake su + k, za sve k Z; kotangens funkcija je periodička s temeljnim periodom T, odnosno ctg ( + ) ctg, za sve realne brojeve D(f); graf G(f) je kotangesoida prikazana na doljnjoj slici;

13 f() ctg

14 Trigonometrijske funkcije tangens i kotangens zadovoljavaju adicione formule: tg( tg ± tg ± ) m tg tg ctg ctg m, ctg( ± ). ctg ± ctg Iz njih slijede formule za funkcije polovičnog i dvostrukog argumenta: tg + tg cos, cos ctg + tg, ctg tg cos, cos ctg. ctg Formule zbroja i razlike funkcija su: tg ± tg tg + ctg sin( ± ), cos cos cos( ), sin cos ctg ± ctg ctg tg sin( ± ), sin sin cos( + ). sin cos

15 Ciklometrijske funkcije. Ciklometrijske funkcije ili takozvane arcusfunkcije su po definiciji inverzne funkcije bijektivnih restrikcija trigonomertijskih funkcija. Arcus-sinus sinus funk unkcija f() arc sin je inverzna funkcija funkcije g() sin,, (t.j. g() je restrikcija funkcije sin na interval, ) domena D(f) [-,]; slika funkcije f(d) nultočaka je 0;, ; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; / / arc sin 0 0, arc sin (/) /6, arc sin ( /) /4, arc sin ( 3/) /3, arc sin /;

16 Arcus-kosinus funkcija f() arc cos je inverzna funkcija funkcije g() 0, 0, ) cos, [ ] (t.j. g() je restrikcija funkcije cos na interval [ ] domena D(f) [-,]; slika funkcije f(d) [ 0, ]; nultočaka je ; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; arc cos 0 /, arc cos (/) /3, arc cos ( /) /6, arc sin ( 3/) /6, arc sin 0;

17 Funkcije akrus-sinus i arkus-kosinus zadovoljavaju sljedeću temeljne jednakost: arcsin + arccos, za sve [, ]. Dokaz: Koristeći adicione formule i jednakosti sin cos i cos sin dobivamo sin(arcsin + + arccos ) sin(arcsin ) cos(arccos ) + cos(arcsin ) sin(arccos ) sin (arcsin ) cos (arccos ) +.

18 Arcus-tangens funkcija f() arc tg je inverzna funkcija funkcije g() tg, (, ) (t.j. g() je restrikcija funkcije tg na interval (, )); domena D(f) R; slika funkcije f(d) (, ); nultočaka je 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; / /

19 Arcus-kotangens funkcija f() arc ctg je inverzna funkcija funkcije g() ctg, 0, ) (t.j. g() je restrikcija funkcije tg na interval ( 0, )); ( domena D(f) R; slika funkcije f(d) ( 0, ); nema nultočaka jer je arc ctg > 0 za sve R ; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno;

20 Funkcije akrus-tangens i arkus-kotanges zadovoljavaju sljedeću temeljne jednakost: arc tg + arc ctg, za sve R.

21 Hiperboličke funkcije. Sinus hiperbolički f() sh je definiran formulom domena D(f) R; sh e e, za sve R; 0 sh slika funkcije f(d) R; nultočaka je 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno;

22 Kosinus hiperbolički f() ch je definiran formulom domena D(f) R; ch slika funkcije f(d) [,+ ); nema nultočaka jer je ch > 0 za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; e + e, za sve R; ch Funkcije sinus i kosinus hiperbolički su povezane osnovnim identitetom: ch sh. (Dokazati!)

23 Kao i za trigonometrijske funkcije sin i cos, tako i za hiperboličke funkcije sh i ch vrijede adicione formule: sh( ch( ± ) sh ch ± ) ch ch ± m ch sh sh, sh. Iz njih slijede formule za funkcije polovičnog i dvostrukog argumenta: sh sh ( ch sh ), ch, ch ch ch ( ch + sh + ),. Formule zbroja i razlike funkcija su: sh ± sh sh ch + ch ch ch ch sh ± + + m ch, ch, sh.

24 Tangens hiperbolički f() th je definiran formulom th sh e e, za sve R; ch e + e th domena D(f) R; slika funkcije f(d) (-,); nultočaka je 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno;

25 Kotangens hiperbolički f() cth je definiran formulom cth domena D(f) R\{0}; ch e + e, za sve 0; sh e e cth slika funkcije f(d) (-,-) (,+ ); nema nultočaka jer je cth < 0 za sve < 0 i cth > 0 za sve > 0 i; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; Funkcije tangens i kotangens hiperbolički su povezane osnovnim identitetom: th cth, odnosno th, 0. cth -0

26 Kao i za trigonometrijske funkcije tg i cth, tako i za hiperboličke funkcije th i cth vrijede adicione formule: th( th ± th ± ), m th th cth( m cth cth ± ). cth ± cth Iz njih slijede formule za funkcije polovičnog i dvostrukog argumenta: th th sh, + ch + th th, cth + ch, sh cth cth + cth. Formule zbroja i razlike funkcija su: th ± th sh ( ± ) ch ch.

27 Area-funkcije. Area-funkcije su, po definiciji, inverzne funkcije hiperboličkih funkcija ili njihovih bijektivnih restrikcija. Funkcija Area ea-sinus f() arsh je inverzna funkcija funkcije sh ; domena D(f) R; slika funkcije f(d) R; nultočaka je 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() arsh Vrijedi arsh ln( + ). Dokazati!

28 Funkcija Area ea-ko kosinus f() arch je inverzna funkcija funkcije ch, [0,+ ) (g() je restrikcija funkcije ch na interval [0,+ ) ); f() arch domena D(f) [,+ ); slika funkcije f(d) [0,+ ); nultočaka je ; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; Vrijedi arch ln( + ). Dokazati!

29 Funkcija Area ea-tangens f() arth je inverzna funkcija funkcije th ; domena D(f) (-,); slika funkcije f(d) R; f() arth nultočaka je 0; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; Vrijedi arth + ln, za sve (-,). Dokazati!

30 Funkcija Area ea-co cotangens f() arcth je inverzna funkcija funkcije cth ; domena D(f) (-,-) (, ); slika funkcije f(d) (-,0) (0, ); nema nultočaka jer je arcth < 0 za sve < - i arcth > 0 za sve > ; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() arcth Vrijedi arcth + ln, za sve (-,-) (, ). Dokazati!

Σχετικά έγγραφα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom