Pelajaran 9 Persamaan Bernoulli OBJEKTIF Setelah selesai memelajari Pelajaran ini anda seatutnya daat Mentakrifkan konse kadar aliran jisim Mentakrifkan konse kadar aliran Menerangkan konse halaju urata Mentakrif dan menggunakan rinsi keterusan KERJA DAN TENAGA Kita ketahui bahawa jika kita jatuhkan sebiji bola, bola tersebut akan memecut dengan ecutan g 9.8 m/s (dengan rintangan udara diabaikan). Kita daat hitung halaju bola setelah jatuh sejauh h menggunakan rumus u as dengan a g dan s h. Perkara yang sama daat digunakan untuk setitis bendalir yang jatuh. Pendekatan yang lebih umum untuk memeroleh arameter gerakan (eejal dan bendalir) ialah dengan menggunakan rinsi keabadian tenaga. Prinsi ini menjelaskan bahawa jika geseran diabaikan Hasil tambah tenaga kinetik dengan tenaga uaya adalah malar dengan tenaga kinetik m tenaga uaya tarikan graiti mgh Mohd. Zubil Bahak FKM 00
Dalam kes ini m ialah jisim, ialah halaju, dan h ialah ketinggian di atas garis datum. Untuk menggunakan kenyataan ini keada titisan bendalir yang jatuh, kita ada halaju awal yang sifar, dan jatuh dengan ketinggian h. Maka kita daat katakan: Tenaga kinetik awal 0 Tenaga uaya awal mgh Tenaga kinetik akhir m Tenaga uaya akhir 0 Kita ketahui bahawa: Maka Tenaga kinetik tenaga uaya emalar, Tenaga kinetik awal Tenaga uaya awal Tenaga kinetik akhir Tenaga uaya akhir Atau Oleh itu, mgh m gh Walauun rumus ini diguna akai keada setitis bendalir yang jatuh sahaja, namun kaedah yang sama daat digunakan untuk jet berterusan bendalir. Perhatikan Rajah 9.. Dalam rajah ini bendalir mengalir berterusan keluar dariada ai dengan halajau. Satu zarah cecair dengan jisim m akan bergerak bersama-sama dengan jet ini jatuh dari ketinggian z ke z. Halaju juga berubah dari ke. z z Rajah 9. Trajektori jet air Mohd. Zubil Bahak FKM 00
Bendalir yang keluar dariada ai ini bergerak dalam udara atmosfera. Oleh itu, tekanan di setia temat adalah tekanan atmosfera. Lanjutan dariada itu, tidak ada daya disebabkan oleh tekanan yang bertindak terhada bendalir tersebut. Daya yang ada hanyalah disebabkan oleh gaiti. Oleh itu, hasil tambah tenaga kinetik dengan tenaga uaya kekal malar (dengan kita mengabaikan kehilangan tenaga akibat dariada geseran) atau Oleh sebab jisim m ada malar, maka mgz m mgz gz gz Rumus ini mamu memberikan keutusan yang agak teat selagi berat jet bendalir adalah lebih besar dariada daya geseran yang kita abaikan sebelum ini. Konse ini hanya boleh digunakan untuk keseluruhan jet sebelum jet itu ecah menjadi titisan bendalir. Perlu diingatkan bahawa rumus yang kita eroleh itu berasaskan bahawa bendalir bergerak di dalam udara. Tekanan di mana-mana titik adalah sifar. Oleh itu, kita yakin bahawa jika sekiranya tekanan tidak sama di mana-mana di dalam aliran bendalir tersebut tentulah rumus yang berlainan akan dieroleh. Ini terjadi kerana jika ada tekanan, maka akan wujud daya tambahan yang bertindak terhada bendalir tersebut dan erlu kita ambil kira dalam analisis menentukan halaju terakhir bendalir. Kita telah lihat dalam seksyen hidrostatik contoh erbezaan tekanan aabila halaju adalah sifar. Katalah kita ada ai yang enuh dengan bendalir dalam keadaan statik dengan ketumatan dan tekanan dan di aras z dan z seerti yang dilakarkan di dalam Rajah 9.. Aakah erbezaan tekanan dalam ungkaan aras ini? m z z Rajah 9. Bendalir di dalam ai dengan tekanan Mohd. Zubil Bahak FKM 00 3
Jawaan keada ersoalan ini daat dianalisis mengggunakan konse yang dijelaskan di dalam elajaran berkaitan dengan erubahan tekanan di dalam statik bendalir. Masih ingatkah anda tentang konse ini? Yang jelas ialah erbezaan tekanan yang dimaksudkan ialah atau jika kita susun semula ( z ) g z gz gz Rumus ini hanya sesuai untuk keadaan tekanan yang berubah-ubah tetai bendalir dalam keadaan statik. Cuba anda bandingkan rumus ini dengan rumus yang dieroleh sebelum ini aabila bendalir bergerak tetai tekanan malar: gz gz Anda namak ersamaannya? Aa agaknya akan terjadi jika tekanan dan halaju berubah-ubah? PERSAMAAN BERNOULLI Persamaan Bernoulli adalah salah satu dariada rumus aling enting dalam mekanik bendalir. Persamaan ini ditulis sebagai g z g z Kita daat lihat dengan menggunakan tekanan sama atau halaju sifar kita daat dua rumus yang dibincangkan sebelum ini. Kedua-dua rumus tersebut adalah kes khas ersamaan Bernoulli. Syarat sah enggunaan ersamaan Bernoulli adalah: Aliran adalah manta Kelikatan adalah malar (maknya bendalir tak boleh mamat) Kehilangan geseran diabaikan Persamaan menghubungkan keadaan dua titik di seanjang satu garis arus (bukan keadaan ada dua garis arus yang berbeza) Paksi z sentiasa menghala ke atas. Syarat ini mustahil untuk dienuhi ada sebarang masa (kecuali syarat terakhir)! Namun untuk kebanyakan masalah sebenar keadaan adalah diangga Mohd. Zubil Bahak FKM 00 4
hamir memenuhi syarat, ersamaan ini memberikan keutusan yang cuku baik. Sekarang mari kita takrifkab ersamaan Bernoulli ini secara tererinci: Katalah kita ada bendalir yang sedang bergerak di dalam ai. Kita ambil satu elemen dariada keseluruhan bendalir ini seerti yang digambarkan di dalam Rajah 9.3. Keratans rentas a A A B B mg Rajah 9.3 Elemen bendalir dalam ai Elemen bendalir ini memunyai tenaga uaya disebabkan oleh kedudukannya yang berada setinggi z dariada garis datum. Selain itu, elemen ini juga memunyai tenaga kinetik disebabkan oleh halaju. Jika elemen ini memunyai berat mg, maka kita daat katakan: Tenaga uaya mgz Tenaga uaya se unit berat z Tenaga kinetik m Tenaga kinetik se unit berat g Di mana-mana keratan rentas elemen bendalir tersebut, tekanan akan menjana daya sehingga menyebabkan bendalir bergerak, menggerakkan keratan rentas tersebut. Ini tentunya membuktikan bahawa kerja telah dilakukan. Jika tekanan di keratan rentas AB ialah dan luas keratan rentas tersebut ialah a, maka Daya terhada AB a Aabila jisim mg bendalir meleasi AB, keratan rentas AB akan bergerak ke A B. Jumlah isiadu yang meleasi AB ialah Oleh itu, mg m Mohd. Zubil Bahak FKM 00 5
Sementara kerja yang dilakukan jarak AA m a Kerja daya jarak AA m m a. a Kerja se unit berat ula ialah g. Ungkaan kerja se unit berat ini dikenali sebagai tenaga tekanan arus bergerak. Dengan menggabungkan kesemua ungkaan tenaga yang ada memberikan: atau Tenaga tekanan se unit berat Tenaga Tenaga kinetik uaya se unit se unit berat berat Tenaga keseluruhan se unit berat g z H Oleh sebab semua ungkaan dalam rumus ini memunyai unit anjang, maka ungkaan ini sering disebut: Turus tekanan Turus halaju g Turus uaya z Turus keseluruhan H Berasaskan rinsi keabadian tenaga, tenaga keseluruhan di dalam sistem tidak berubah. Oleh itu, turus keseluruhan juga tidak berubah. Oleh itu ersamaan Bernoulli daat ditulis sebagai g z H Pemalar Mohd. Zubil Bahak FKM 00 6
Seerti yang diterangkan sebelum ini, ersamaan Bernoulli ini digunaakai ada keadaan di seanjang garis arus. Kita boleh gunakan ersamaan ini di antara dua titik, dan, ada garis arus dalam Rajah 9.4 Rajah 9.4 Dua titik disambungkan oleh satu garis arus Jumlah tenaga se unit berat di Jumlah tenaga se unit berat di Atau Turus keseluruhan di Turus keseluruhan di Atau V g z V g z Dalam ersamaan ini dianggakan tidak ada kehilangan tenaga (contohnya disebabkan oleh geseran) atau ertambahan tenaga (contohnya dariada am) di seanjang garis arus. Mohd. Zubil Bahak FKM 00 7