ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c. β = c Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον ' στο = c είναι ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) c ) (Η σχέση γ Αν β = 0 και α 0έχουµε = δηλαδή µορφή = c α Ευθεία / / στον ' (κάθετη στον = c ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) ' στο c ) (Η σχέση = c β γ Αν α 0 και β 0έχουµε = + δηλ. µορφή α α = λ+ β. = λ + β Ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης λ = εϕω Η εξίσωση α + β = γ έχει άπειρες λύσεις (ζεύγη) που αντιστοιχούν στα άπειρα σηµεία της ευθείας. Οι λύσεις έχουν την β γ µορφή : (, + ), R α α Η εξίσωση 0+ 0= 0είναι αόριστη γιατί αληθεύει για κάθε ζεύγος (, ),, R. Η γραφική της παράσταση είναι όλο το επίπεδο. 1

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γραµµικό σύστηµα ( εξισώσεων µε αγνώστους) λέγεται κάθε σύστηµα της µορφής: α + β = γ α+ β = γ ( ε ) 1 1 1 1 ( ε ) Επίλυση του είναι η αναζήτηση ζεύγους ή ζευγών ( 0, 0) που επαληθεύουν και τις δυο εξισώσεις. Αυτό το ζεύγος λέγεται ΛΥΣΗ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ: λέγεται όταν επιδέχεται λύση. Αλλιώς είναι Α ΥΝΑΤΟ. Οι εξισώσεις του συστήµατος, παριστάνουν ευθείες στο καρτεσιανό επίπεδο. 1. Αν οι ευθείες τέµνονται σε ένα σηµείο θα έχουµε 1 µοναδική λύση ( 0, 0).. Αν οι ευθείες ταυτίζονται θα έχουµε άπειρες λύσεις (της λύσεις της µιας εξίσωσης) ( ε1) ( ε ) 3. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες το σύστηµα είναι αδύνατο (Κανένα κοινό σηµείο, καµία κοινή λύση) ( ε 1 ) 4. Το σύστηµα 0 + 0 = 0 0+ 0= 0 είναι αόριστο (Γραφικά, λύση του είναι όλο το επίπεδο. ( ε )

ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Να λυθεί το σύστηµα 3 + 5 = 1 7 = 11 Ι. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Επιλύουµε την µια από τις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο και αντικαθιστούµε στην άλλη. 7 11 3 + 5= 1 3+ 5= 1 7 = 11 7 11 = (, ) = (,1) = 1... 7 1 11 = = ΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Επιλύουµε και τις δυο εξισώσεις ως προς τον ίδιο άγνωστο και εξισώνουµε τις δυο εκφράσεις του ( συναρτήσει του άλλου αγνώστου). 1 3 1 3 = 3+ 5= 1 5 = 5 7 = 11 11 1 3 11 = = 7 5 7 1 3 1 3 1 3 ( ) = = = 5 7+ 1= 10 55 31= 6 = = 1 (, ) = (,1) = ΙΙΙ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Επιλέγουµε τον άγνωστο που πρόκειται να «απαλείψουµε». Κατόπιν πολλαπλασιάζουµε «χιαστί» κάθε εξίσωση µε τον συντελεστή του αγνώστου στην άλλη, την µια µε τον ίδιο και την άλλη µε τον αντίθετο. Προσθέτοντας κατά µέλη τις δυο νέες εξισώσεις, ο άγνωστος απαλείφεται. Παρατήρηση: Αν οι δυο συντελεστές έχουν κοινό διαιρέτη, τους απλοποιούµε 3

3+ 5= 1 7= 11 ( 3) (, ) = (,1) 6+ 10= 3+ 5= 1 ( + ) 6+ 1= 33 = 1 31= 31 = 1 = = 1 Παραδείγµατα 1. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των συναρτήσεων 5 3 4+ 4 + 1= 4 3 4( + 1) = 6( + 1) Κατόπιν να δειχθούν αυτά τα σηµεία τοµής γραφικά. ΛΥΣΗ Πρέπει πρώτα να κάνουµε πράξεις για να απλοποιηθεί η µορφή των εξισώσεων. 5 3 4+ 4 1 + 1 1= 1 1 4 3 4 4) = 6+ 6 3( 5) + 1= 6(3 4+ ) 4(4 ) 4 4= 6+ 6 4+ 16= 15 6 15+ 1= 18 4+ 1 16+ 8 ( + ) 4 6= 10 4 6= 10 5 10= 5 = Για 5 5 5 = 4+ 16 = 15 4= 40+ 15 4= 5 =. 4 Άρα, το σηµείο τοµής είναι 5 5 (, ) = (, ) 4 Οι δυο γραφικές παραστάσεις παριστάνουν ευθείες: ε : 4 + 16 = 15 1 0 15 14 15 16 0 ε : 4 6= 10 + 3= 5 4

0 5 5 0 3 5 (, 4 5 ) 4 + 16 = 15 = 3 = 5. Ποιο σύστηµα παριστάνει το παρακάτω σχήµα; Α(-1, 3) Γ(5, 0) Β(-4, 0) ΛΥΣΗ Οι εξισώσεις των ευθειών είναι της µορφής ε1 : = α1+ β1 και ε : = α+ β. Όµως η ε1διέρχεται από το σηµείο Α(-1,3) και το σηµείο Β(-4,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλ. α1 β1 = 3 3 = α1( 1) + β1 α1+ β1 = 3 ( 1) ( + ) 4α1+ β1 = 0 0 = α1( 4) + β1 4α1 + β1 = 0 (1) 3α = 3 α = 1 Για α1 α1 β1 β1 β1 1 1 = 1 = 3 1 = 3 = 3 1 β1= 4. Άρα, ε : = + 4 1 5

Οµοίως η ε διέρχεται από τα σηµεία Α(-1,3) και Γ(5,0). Οπότε αυτά τα σηµεία θα την επαληθεύουν µε τις συντεταγµένες τους. ηλαδή : α β = 3 3 = α ( 1) + β α+ β = 3 ( 1) ( + ) 5α + β = 0 0= α 5+ β 5α + β = 0 (1) 6α 1 = 3 α = = 1 = 1 = = + 1 = 5 Για α α β 3 β 3 β 3 β 1 5 Άρα, ε : = + Άρα, το σύστηµα είναι : = + 4 + = 4 = 4 1 5 = + = + 5 + = 5 3. Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 7. Ο διπλάσιος του είναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον αριθµό που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αρχικού. Να βρεθεί ο αριθµός. ΛΥΣΗ Έστω α ο ζητούµενος αριθµός, µε το το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των µονάδων του. Τότε α = 10+. Αρκεί να βρούµε τα,. Γνωρίζουµε ότι + = 7 (1) Ο διψήφιος β που προκύπτει µε εναλλαγή των ψηφίων του αείναι ο β = 10+. Από το δεδοµένο ότι ο διπλάσιος του αείναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον β έχουµε την εξίσωση : α= β+ 5 (10 + ) = 10+ + 5 () Από τις (1) και () έχουµε το σύστηµα + = 7 + = 7 + = 7 (10 + ) = 10+ + 5 0+ = 10+ + 5 19 8= 5 = 7 = 7 19 8(7 ) = 5 19 56+ 8= 5 αριθµός είναι ο 34. = 7 7= 81 = 4 άρα ο ζητούµενος = 3 6

ΟΡΙΖΟΥΣΑ ης τάξης Ορίζουσα ης τάξης λέγεται ο αριθµός: α β α β α β 1 1 1 1 α β = Παράδειγµα Αν α+ β + γ 0 και α = β = γ. α β γ α γ β α + γ = β τότε να αποδειχθεί ότι: γ α β γ β α ΛΥΣΗ Αν αναπτύξουµε τις ορίζουσες έχουµε: α( α βγ ) + γ ( γ αβ ) = β ( γα β ) α 3 αβγ + γ 3 αβγ = αβγ β 3 3 3 3 α β γ αβγ αβγ αβγ + + = 0 α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = 0 (1) όµως από ταυτότητα Euler έχουµε : (1) 3 3 3 1 α + β + γ 3 αβγ = [( α β ) + ( β γ ) + ( γ α ) ] 1 [( ) ( ) ( ) ] 0 α β + β γ + γ α = ( α β ) + ( β γ ) + ( γ α) = 0 α β = 0 και β γ = 0 και γ α = 0 α = β και β = γ και γ = α α = β = γ 7

ΙV. ΜΕΘΟ ΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Σε κάθε σύστηµα ορίζουµε τις ορίζουσες α1+ β1= γ1 α+ β = γ D α β 1 1 =, α β D γ β 1 1 =, γ β D α1 γ1 = α γ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 1. Αν D 0το σύστηµα έχει 1 µοναδική λύση : = D, = D D D. Αν D= 0και µια εκ των D, D είναι 0το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Αν D= 0 και D = 0 και D = 0το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Ειδικά: Α) Το σύστηµα 0 + 0 = 0 έχει 0+ 0= 0 D= D = D = 0και είναι αόριστο. Β)Το σύστηµα 0+ 0= 0 έχει 0 0 γ ( 0) + = D= D = D = 0αλλά είναι αδύνατο (εξαίρεση) Για τη λύση και διερεύνηση ενός συστήµατος 1. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D, D. Προσπαθούµε να τους δώσουµε παραγοντοποιηµένη µορφή.. Βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης D= 0και µελετούµε το σύστηµα γι αυτές τις τιµές του λ (λ παράµετρος). Ερευνούµε τόσες περιπτώσεις όσες και οι ρίζες της D. Θα έχουµε: άπειρες λύσεις, αδύνατο ή αόριστο σύστηµα. 3. Για τις τιµές του λ για τις οποίες D 0έχουµε µια µοναδική λύση που της βρίσκουµε: = D, = D D D Παρατήρηση: Με την παραγοντοποιηµένη µορφή των D, D, D µπορούµε να καταλάβουµε πότε το σύστηµα είναι άπειρων λύσεων ή αδύνατο. Αν οι D, D, D έχουν κοινό παράγοντα ρ, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις για = ρ. Ενώ αν κάποιο παράγοντα ρ της D δεν τον έχει ή η = ρ. D ή η Dτο σύστηµα είναι αδύνατο για 8

Παραδείγµατα 1. Να διερευνηθεί και να λυθεί το σύστηµα λ + λ = λ λ = ( ) 5( ) 1 ( ) + (4 ) 1 ΛΥΣΗ Είναι: D= λ λ ( ) 5( ) ( λ ) 4 λ λ λ λ λ = ( ) (4 ) 5( )( ) = λ λ λ = ( ) (4 ) + 5( ) = λ λ + = ( λ ) (9 λ ) = ( ) (4 5) = λ λ + λ = λ λ λ+ ( ) (3 )(3 ) D ( ) ( 3)( 3) D 1 5( λ) = = λ λ = λ + λ λ = λ + λ 1 4 λ 4 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( 5) = ( λ)( λ 3) = ( λ )( λ 3) D D ( λ ) 1 = = λ λ = λ λ = λ λ λ 1 ( ) ( ) ( )( 1) D ( )( 3) ιακρίνουµε τις περιπτώσεις Ι. Αν D= 0 λ λ λ ( ) ( 3)( + 3) = 0 λ = ή λ = 3 ή λ = 3 Α. Αν λ= τότε D= 0, D = 0, D = 0 Όµως το σύστηµα είναι αδύνατο καθώς παίρνει τη µορφή : 0 + 0 = 1 (η περίπτωση της εξαίρεσης) 0+ 0= 1 Β. Αν λ= 3τότε D= 0, D = 0, D = 0. Άρα, το σύστηµα δέχεται άπειρες λύσεις, αντικαθιστώντας λ= 3στο σύστηµα: 5 = 1 5 = 1 = 5 + 1Ώστε, οι άπειρες λύσεις είναι 5= 1 (, ) = (5+ 1, ), R (το : ελεύθερος άγνωστος) Γ. Αν λ= 3τότε: D= 0ενώ D = ( 3 )( 3 3) = 30 0Αυτό αρκεί για να συµπεράνουµε ότι για λ= 3το σύστηµα είναι αδύνατο. ΙΙ. Αν D 0 λ και λ 3 και λ 3το σύστηµα δέχεται 1 µοναδική λύση D ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ D ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) ( λ )( λ 3) 1 = = = D λ λ λ+ λ λ+ ( ) ( 3)( 3) ( )( 3) 9

. Για ποιες τιµές του µ οι ευθείες ( ε 1) : µ µ 1 + = και ( ε ) : + µ = µ έχουν 1. 1 κοι9νό σηµείο. 1 κοινό σηµείο µε συντεταγµένες (, ) για το οποίο ισχύει + 3 = 3 3. Κανένα κοινό σηµείο. (δεν τέµνονται δηλ. παράλληλες) o o o o ΛΥΣΗ Υπολογίζουµε τις D, D, D για το σύστηµα των ευθειών: µ + µ = 1 + µ = µ µ µ 3 D = = µ µ = µ ( µ 1) = µ ( µ 1)( µ + 1) 1 µ D D 1 µ = = µ µ = µ (1 µ ) = µ ( µ 1) µ µ µ 1 3 = = µ 1 = ( µ 1)( µ + µ + 1) 1 µ Για να έχουν οι ευθείες ε1, ε 1 κοινό σηµείο θα πρέπει το (Σ) να έχει µοναδική λύση. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν: D 0 µ ( µ + 1)( µ 1) 0 µ 0 και µ 1 και µ 1 Στην περίπτωση που το (Σ) έχει µοναδική λύση (δηλ. για µ 0, µ 1, µ 1) αυτή η µοναδική λύση είναι η o D µ ( µ 1) 1 = = = (1) D µ ( µ + 1)( µ 1) µ + 1 o D µ µ µ µ µ = = = D µ ( µ + 1)( µ 1) µ ( µ + 1) ( 1)( + + 1) + + 1 () Οπότε, (1),() µ + µ + 1 o+ 3o = 3 + 3 = 3 µ + 3( µ + µ + 1) = 3 µ ( µ + 1) µ + 1 µ ( µ + 1) µ + 3µ + 3µ + 3= 3µ + 3µ µ = 3 Σχόλιο: Αν προέκυπτε π. χ. µ = 1τότε η τιµή αυτή του µ θα απορριπτόταν αφού για µ = 1το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση. Για να µην έχουν οι ευθείες ε1, ε κανένα κοινό σηµείο, θα πρέπει το (Σ) να είναι αδύνατο. 10

Για να είναι το (Σ) αδύνατο, αρχικά πρέπει D= 0 µ ( µ + 1)( µ 1) = 0 µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1 Προσοχή!!!: Όταν D= 0το (Σ) δεν είναι απαραίτητα αδύνατο. Μπορεί να έχει και άπειρες λύσεις. Έτσι, πρέπει να εξετάσουµε για ποιες από τις παραπάνω τιµές του µ (δηλ. µ = 0 ή µ = 1 ή µ = 1) το (Σ) είναι πράγµατι αδύνατο. Για µ = 0το (Σ) γίνεται : 0 + 0 = 1 και είναι αδύνατο + 0= 0 Για µ = 1το (Σ) γίνεται : = 1 = 1 και είναι αδύνατο + = 1 Για µ= 1το (Σ) γίνεται : + = 1 = 1 και έχει άπειρες + = 1 λύσεις της µορφής: (, ) = (,1 ) R. Άρα, µόνο όταν µ = 0 ή µ = 1το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. κ + ( λ+ 1) = 3 A. Για ποιες τιµές των κ, λ τα συστήµατα: ( Σ 1 ) 3+ = 3 και κ + 9= 3 ( Σ ) λ+ 3= 1 έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις; B. Για τις τιµές των κ, λ που βρήκατε στο (1) βρείτε τις κοινές λύσεις των ( Σ1) και ( Σ ) ΛΥΣΗ Για να έχουν τα ( Σ 1), ( Σ) άπειρες λύσεις αρχικά πρέπει να έχουν ορίζουσες 0. κ λ+ 1 ηλαδή πρέπει : D1 = 0 = 0 κ 3( λ+ 1) = 0 κ 3λ = 3 (1) 3 κ 9 Και D = 0 = 0 3κ 9λ= 0 κ 3λ = 0 () λ 3 κ 3λ = 3 κ 3λ = 3 ( ) Λύνουµε το σύστηµα των (1), () + κ 3λ = 0 ( 1) κ+ 3λ = 0 κ = 3 Για κ = 3 κ 3λ = 0 3 3λ = 0 3λ = 3 λ= 1 11

Προσοχή: Για τις τιµές αυτές των κ, λκαθένα από τα ( Σ 1), ( Σ) έχει ορίζουσα µηδέν. Αυτό, δεν σηµαίνει ότι απαραίτητα τα ( Σ 1), ( Σ) θα έχουν άπειρες λύσεις. Μπορεί κάποιο από αυτά να είναι αδύνατο. Γι αυτό αντικαθιστούµε όπου κ = 3, λ = 1και ελέγχουµε αν πράγµατι τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ1) γίνεται: 3 + = 3 3 + = 3και συνεπώς έχει 3+ = 3 άπειρες λύσεις. Για κ = 3 και λ= 1το ( Σ) γίνεται: 3 + 9 = 3 + 3 = 1και συνεπώς έχει + 3= 1 άπειρες λύσεις. Άρα, για κ = 3 και λ= 1τα ( Σ 1), ( Σ) έχουν συγχρόνως άπειρες λύσεις. Για τις τιµές των κ, λκοινή λύση των ( Σ 1), ( Σ) σηµαίνει κοινή λύση των 3+ = 3και + 3= 1δηλ. λύση του συστήµατος 3+ = 3 3+ = 3 + + 3= 1 ( 3) 3 9= 3 7 = 0 = 0 κοινή λύση είναι η (, ) = (1,0). για = 0 + 3= 1 = 1. Άρα, η 1

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 3 3 α1+ β1+ γ1z= δ1 α+ β + γ z= δ Το λύνουµε ως εξής: α3+ β3+ γ 3z= δ 3 Απαλείφουµε έναν άγνωστο µεταξύ δυο εξισώσεων (µε αντίθετους συντελεστές) και έτσι, δηµιουργούµε σύστηµα που λύνεται κατά τα γνωστά. Κατόπιν αντικαθιστώντας τις τιµές των αγνώστων, στην Τρίτη εξίσωση βρίσκουµε και τον τρίτο άγνωστο. Ουσιαστικά, µ αυτή την διαδικασία παίρνουµε την µορφή: α1 ' + β1 ' + γ1 ' z= δ1 ' β ' + γ ' z= δ ' που λέγεται κλιµακωτή µορφή. z= δ3 ' Ένα σύστηµα 3 3 µπορεί να έχει : 1 µοναδική λύση άπειρες λύσεις ή να είναι αδύνατο. α1+ β1+ γ1z= 0 Το σύστηµα : α+ β + γ z= 0 λέγεται οµογενές και δέχεται πάντοτε τη α + β + γ z= 0 3 3 3 µηδενική λύση (0,0,0). Όµως, µπορεί να έχει και άπειρες λύσεις µέσα στις οποίες σίγουρα υπάρχει και η µηδενική. Στα γραµµικά συστήµατα 3 3και γενικά σε συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους από αγνώστους προσέχουµε τα εξής : 1. Αν κατά τη διάρκεια της επίλυσης του συστήµατος εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : 0+ 0 +... + 0 ω= α, α 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο και σταµατάµε την επίλυση.. Αν εµφανιστεί εξίσωση της µορφής : 0+ 0 +... + 0ω = 0 (ταυτότητα) παραλείπουµε την εξίσωση αυτή και συνεχίζουµε κανονικά µε τις υπόλοιπες. 3. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι όσες και οι άγνωστοι το σύστηµα έχει µοναδική λύση. 4. Αν οι εξισώσεις που αποµένουν στο τέλος είναι λιγότερες από τους αγνώστους, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Τότε όσους αγνώστους περισσεύουν τους µετακινούµε δεξιά από το ίσον και υπολογίζουµε τους υπόλοιπους συναρτήσει αυτών. 13

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 4 + 3ω = 11 1. Να λύσετε το σύστηµα: 3+ 3 ω= 7 + + ω= 3 ΛΥΣΗ Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης και πρώτης τρίτης εξίσωσης: 4 + 3ω = 11 4 + 3ω = 11 ( + ) 3+ 3 ω= 7 ( ) 4+ 6 6ω = 14 7 9ω = 3 4+ 3ω = 11 4 + 3ω = 11 ( + ) + + ω= -3 ( 4) 4 4 4ω = 1 3 7ω = 3 Οπότε το σύστηµα γίνεται: 4 + 3ω = 11 7 9 ω= -3-3 7ω = 3 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης 7 9ω = 3 3 1 7ω = 9 ( + ) 3 7ω = 3 7 1 49ω = 161 Οπότε το σύστηµα γίνεται 76ω = 15 ω= 4 + 3ω = 11 4+ 3ω = 11 4+ 3 ω= 11 7 9 ω= -3 7 9( ) ω= 3 7 = 1 ω= ω= ω= 4+ 3 ω= 11 4+ 3 = 11 = = 3 = 3 = 3 (,, ω) = (, 3, ) ω= ω= ω= λύση Μοναδική 14

. Να λύσετε το σύστηµα : + 6 + ω= 18 + + 3ω = 14 3+ 8+ 4ω = 0 ΛΥΣΗ + 6 + ω= 18 + 6 + ω= 18 ( + ) + + 3ω = 14 ( ) 4 6ω = 8 5ω = 10 (1) + 6 + ω= 18 3 6+ 18 + 3ω= 54 ( + ) 3+ 8+ 4ω = 0 ( ) 6 16 8ω = 40 5ω = 14 () 5ω = 10 ( 1) 5ω = 10 ( + ) 5ω = 14 5ω = 14 0+ 0ω = 4 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. 3. Να λύσετε το σύστηµα : + ω = 1 + 4 ω = 3 + ω = 5 ΛΥΣΗ + ω = 1 + 4 ω = 3Απαλείφουµε τον µεταξύ πρώτης δεύτερης + ω = 5 + ω= 1 + 4ω = 3 + ω = ( + ) + 4ω = 3 + ω = 5 Οπότε το σύστηµα έγινε + ω= 1 + ω = 5 Απαλείφουµε τον µεταξύ δεύτερης και τρίτης εξίσωσης + ω = 5 + ω = 5 ( 1) ω = 5 ( + ) + ω = 5 + ω = 5 0+ 0ω = 0 ταυτότητα Οπότε το σύστηµα έγινε: 15

5 ω + = 1+ ω + ω= 1 + = 1+ ω + ω = 5 = 5 ω 5 ω = 3 4ω 5 ω (,, ω) = (,, ω) ω R 3 4ω = 5 ω = Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (το ω λέγεται ελεύθερη µεταβλητή). ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Τα οµογενή συστήµατα δεν είναι ποτέ αδύνατα. έχονται πάντοτε τη µηδενική λύση (0,0,0) ή έχουν άπειρες λύσεις. 4. Να λυθεί το σύστηµα : + + ω= 0 + ω = 0 3 + ω= 0 Λύση + + ω= 0 + + ω= 0 + + ω= 0 + + ω= 0 + ω = 0 3 ω= 0 3 ω= 0 3 ω= 0 3 + ω= 0 4 ωv= 0 10ω = 0 ω= 0 + + ω= 0 = 0 = 0 = 0 (,, ω) = (0,0,0) ω= 0 ω= 0 Άρα, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη µηδενική (0,0,0). 5. Να λυθεί το σύστηµα: 3+ + 4ω = 0 + 3ω = 0 + + ω= 0 ΛΥΣΗ 3+ + 4ω = 0 + + ω= 0 + + ω= 0 + + ω= 0 + 3ω = 0 + 3ω = 0 5+ ω= 0 + + ω= 0 3+ + 4ω = 0-5+ ω= 0 5+ ω= 0 16

ω 7ω + = ω + = ω + = ω 5 = 5 ω 5= ω = 5 ω ω = = 5 5 7ω ω (,, ω) = (,, ω), ω Rάπειρες λύσεις. 5 5 17

ΕΙ ΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ίνονται τρεις ειδικές µορφές στα παρακάτω παραδείγµατα I. 3 = 7 5 1 + = θέτω 1 = κ, 1 = λ και το σύστηµα γίνεται: κ 3λ = 7 κ 3λ = 7 ( + ) 15κ + 3λ = 6 5κ + λ = 3 13κ = 13 κ = 1 Για κ = 1 Για 1 = 1 = 1 1 1 λ= 3 = 3 = 3 Για κ = 1 έχουµε 5 1+ λ= λ= 3 II. z = = z 3 4 Θέτω = = = λ οπότε = λ, = 3 λ, z= 4λ 3 4 3 5+ 7z= 8 Αντικαθιστώντας στη η εξίσωση έχουµε: 8 3 λ 5 3λ+ 7 4λ= 8 6λ 15λ+ 8λ = 8 19λ = 8 λ= (λ: 19 βοηθητικός άγνωστος) Τότε : 8 16 = = 19 19 8 4 = 3 = 19 19 8 3 z = 4 z= 19 19 III. + = α (1) + z= β() Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: z+ = γ (3) α + β + γ + + z = α + β + γ + + z= (4) Αφαιρώντας κάθε εξίσωση από την (4) έχουµε: α+ β+ γ β+ γ α (4) (1) z= α z= 18

α+ β + γ α+ γ β (4) () = β = α + β + γ α + β γ ( 4) (3) = γ = IV. + = 7 3 5 = 4 ή + = 7 3 5 = 4 ή + = 7 3 5 = 4 Στις παραπάνω περιπτώσεις θέτουµε: = κ ή = λ = κ ή = λ = κ = λ (όµως, κ, λ 0 ) Και τα συστήµατα παίρνουν τη µορφή : κ+ λ = 7 5 10 κ+ 5 λ= 35 ( + ) 3κ 5λ = 4 3κ 5λ = 4 13κ = 39 κ = 3 Για κ = 3 3 3 5λ = 4 λ= 1 Οπότε: = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 =± 3 = 1 =± 1 ή = 3 = 9 = 1 = 1 Αν έβγαινε κ < 0 ή λ< 0τότε τα παραπάνω συστήµατα θα ήταν αδύνατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να λυθεί η εξίσωση: + 11 + 65 + 65 = 0 + 11 ΛΥΣΗ + 11 + 65 + 65 = 0 + 11 ( + 11) + ( + 65) = 0 + 11= 0 και + 65= 0 + = 11 + = 65 θέτω : = α = α ( α 0) = β = β ( β 0) Το σύστηµα γίνεται : 19

α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = 11 α + β = 65 ( α+ β ) αβ = 65 11 αβ = 65 α+ β = 11 α+ β = 11 α+ β = 11 11 αβ = 65 αβ = 56 αβ = 8 Ψάχνουµε αριθµούς α, β που έχουν άθροισµα 11 και γινόµενο 8. Οι αριθµοί είναι ( α = 4, β = 7) ή ( α = 7, β = 4) Για α = 4 = 4 = 16 Για β = 7 = 7 = 49 ή Για α = 7 = 7 = 49 Για β = 4 = 4 = 16 Άρα, οι λύσεις είναι : (, ) = (16, 49) ή (, ) = (49,16). Να λυθεί το σύστηµα: = 14 = 10 ΛΥΣΗ ( ) = 14 διαιρούµε κατά µέλη ( ) = 10 ( ) 14 7 7 = = = () ( ) 10 5 5 Οπότε η (1) γίνεται: 7 ( ) = 10 = 10 = 50 = 5 =± 5. 5 5 Για () = 5 = 7 () = 5 = 7 άρα οι λύσεις είναι: (, ) = (7,5) ή (, ) = ( 7, 5) 3. Να λυθεί το σύστηµα: z 18 = + z 5 z 36 = z+ 13 1 = + 5 ΛΥΣΗ Αν = = z= 0τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Αν 0 και 0 και z 0τότε έχουµε: 0

+ z 5 = z 18 z+ 13 = z 36 + 5 = 1 z 5 + = z z 18 z 13 + = z z 36 5 + = 1 1 1 5 + = z 18 1 1 13 + = z 36 1 1 5 + = 1 θέτω : 1 = α, 1 = β, 1 = γ και z έχουµε 5 γ + β = 18 13 α+ γ = 36 5 β + α = 1 Προσθέτω κατά µέλη : 5 13 5 α + β+ γ = + + 18 36 1 10+ 13+ 15 ( α+ β + γ ) = 36 38 19 19 ( α+ β+ γ ) = ( α+ β+ γ ) = α+ β + γ = (4) 36 18 36 Αφαιρούµε κατά µέλη από την (4) διαδοχικά τις (1), (), (3) 19 5 1 1 1 (4) (1) α = α = = = 4 36 18 4 4 19 13 1 1 1 (4) () β = β = = = 6 36 36 6 6 19 5 4 1 1 1 (4) (3) γ = γ = γ = = z= 9 36 1 36 9 z 9 4. Να λυθεί το σύστηµα : z= 4 (1) z= 10 () = 15 (3) ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη : z z z = 4 10 15 ( ) = 3600 =± 60 (4) ιαιρώντας διαδοχικά την (4) µε τις (1), (), (3) έχουµε (4) 60 5 =± =±, (4) =± 60 =± 6, (4) z=± 60 z=± 4 (1) 4 () 10 (3) 15 Άρα, οι λύσεις είναι : 5 5 (,, z) = (,6, 4) ή (,, z) = (, 6, 4) 1

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λυθεί το σύστηµα : του. + = 65 + = 35 και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις Λύση + = 65 ( + ) = 65 35 = 65 15 = 65 + = 35 + = 35 + = 35 + = 35 600= = 300 + = 35 + = 35 = ( 35) 4 1 300= 15 100= 5> 0 τα, θα είναι ρίζες της εξίσωσης: ω 35ω+ 300= 0 ω 1, 35± 5 35± 5 = = 35+ 5 40 ω1 = = = 0 35 5 30 ω = = = 15 άρα = 0 ή = 15 = 15 = 0 Σχόλιο: Η εξίσωση + = ρ παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Άρα, γραφικά η + = 65 + = 5 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=5, ενώ η + = 35παριστάνει ευθεία. Τα σηµεία τοµής τους είναι τα Μ (0,15) και Μ '(15, 0).

Άλγεβρα Β Λυκείου. Να λυθεί το σύστηµα + = 10 = 3 Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. και να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις του. ΛΥΣΗ 3 + = 10 + ( ) = 10 + = 10 0 3 = 3 = 3 = 9 4 + = 10 + 9= 10 3 3 = = 4 10 + 9= 0 3 Όµως η = 10 + 9= 0είναι διτετράγωνη Θέτουµε 4 = ω ω1 = 1 = 1 =± 1 και γίνεται ω 10ω+ 9= 0 ω = 9 = 9 =± 3 3 Τέλος µε τη βοήθεια της = παίρνουµε τις λύσεις : = 1 ή = 3 = 1 = 3 ή = 3 = 1 ή = 3 = 1 Γραφικά η + = 10 παριστάνει κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίναα ρ = 10 (γιατί + = ( 10) ) και η είναι τα Μ (1,3), Μ ( 1, 1 3), Μ (3,1), Μ 3 4 ( 3, 1) 3 = παριστάνει υπερβολή. Τα σηµεία τοµής τους 3. Να λύσετε το σύστηµα + + = 3 ( + ) = 10 3

ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι το σύστηµα περιέχει το + και το. Γι αυτό θέτουµε : + = α και = β και το σύστηµα γίνεται α+ β = 3 άρα οι αριθµοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης ω 3ω + 10= 0 που α β = 10 δίνει ω1 = 15, ω = 8. α = 15 Άρα, έχουµε : β = 8 α = 8 + = 15 ή (1) β = 15 = 8 ή + = 8 () = 15 Για το σύστηµα (1) οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω 15ω+ 8= 0 = = ( 15) 4 1 8 193 15+ 193 ω1 = ω = 15 193 οπότε το σύστηµα (1) έχει λύσεις 15+ 193 = 15 193 = ή 15 193 = = 15+ 193 Για το σύστηµα () οι αριθµοί, είναι ρίζες της εξίσωσης ω ω 8 + 15= 0 = = = ( 8) 4 1 15 64 60 4 8+ ω1 = = 5 8 ω = = 3 οπότε το σύστηµα () έχει λύσεις = 5 ή = 3 = 3 Άρα, το σύστηµα έχει 4 λύσεις : = 5 = 5 = 3 ή. = 3 = 5 15+ 193 = ή 15 193 = 15 193 = 15+ 193 = 4

Άλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Σχετικές θέσεις παραβολής και ευθείας Θεωρούµε την ευθεία α + β = γ και την παραβολή = κ και το σ σύστηµα = κ ( Σ) α + β = γ Αν το (Σ) έχει δυο λύσεις (, ), (, ) τότε ευθεία και 1 1 παραβολή έχουν δυο κοινά σηµεία: Α( 1, 1 ), B(, ) Αν το (Σ) έχει µια λύση (, ) τότε ευθεία και παραβολή έχουν ένα κοινό σηµείο M (, ) o o o o Αν το (Σ) είναι αδύνατο τότε ευθεία και παραβολή δεν έχουν κοινά σηµεία. 5

4. Να βρείτε τις τιµές του λ, λ R ώστε η ευθεία : = 3+ λ και η παραβολή = 1. να τέµνονται σε δυο σηµεία. Να εφάπτονται σε 1 σηµείο 3. Να µην έχουν κοινά σηµεία ΛΥΣΗ Έχουµε το σύστηµα = 3+ λ 3 + λ = = + + λ= 3 0 (1) Βρίσκουµε τη διακρίνουσα της (1): = = 3 4 1 λ 9 4 9 Για να τέµνονται σε δυο σηµεία πρέπει: > 0 9 4λ> 0 4λ< 9 λ< 4 9 Για να εφάπτονται σε ένα σηµείο πρέπει: = 0 9 4λ= 0 4λ = 9 λ = 4 9 Για να µην έχουν κοινά σηµεία πρέπει: < 0 9 4λ< 0 λ > 4 λ 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Έστω ότι οι εξισώσεις του συστήµατος α + β = γ α ' + β ' = γ ' (Σ) παριστάνουν τις ευθείες ε, ε '. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) α) Αν D 0τότε οι ευθείες ε, ε ' τέµνονται Σ Λ β) Αν οι ευθείες ε, ε ' είναι παράλληλες τότε D= 0. Σ Λ γ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' δεν τέµνονται Σ Λ δ) Αν D= 0 τότε οι ε, ε ' είναι παράλληλες. Σ Λ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ) Έστω το σύστηµα α + β = γ α ' + β ' = γ ' Α. Αν το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση τότε D= 0 Σ Λ (Σ) Β. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο. Σ Λ Γ. Αν το σύστηµα δεν έχει µοναδική λύση τότε είναι αδύνατο. Σ Λ. Αν το (Σ) δεν έχει άπειρες λύσεις τότε είναι αδύνατο. Σ Λ Ε. Αν το (Σ) είναι αόριστο τότε D= 0 Σ Λ Στ. Αν D= 0τότε το (Σ) είναι αδύνατο ή αόριστο. Σ Λ Ζ. Αν D D = D = 0τότε το σύστηµα είναι αόριστο. Σ Λ = Η. Αν ( D 1) + (D ) = 0το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Σ Λ Θ. Αν D + ( D 1) = 0το σύστηµα είναι αόριστο Σ Λ Ι. Αν D 5 D = 0το σύστηµα είναι αδύνατο. Σ Λ + ΙΑ. Το σύστηµα 0+ 0= 0 0+ 0= 5 είναι αόριστο Σ Λ ΙΒ. Το σύστηµα α + β= 0 κ+ λ= 0 έχει πάντα λύση την (0,0) Σ Λ 7

3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η γραµµική εξίσωση α + β= γ παριστάνει ευθεία όταν. 3. 4. Α. α 0 ή β 0 Β. πάντα Γ. α =β = 0. α = β = γ = 0 Αν οι αριθµοί = 1, = 1είναι λύση του συστήµατος αριθµοί α και β είναι : α + β = 0 τότε οι γ + δ = λ Α. Ίσοι Β. Αντίστροφοι Γ. Αρνητικοί. Αντίθετοι Το σύστηµα 3+ α= 0 είναι αδύνατο όταν: 6 8= 0 Α. α = 0 Β. α = 4 Γ. ποτέ. α = 8 Αν το σύστηµα 3+ = α όπου 6 4= κα κ, α R έχει άπειρες λύσεις τότε το κ είναι Α. 0 Β. 1 Γ.. - 5. Αν D + D D, D 0 και = τότε η λύση του συστήµατος είναι: = Α. (1, 1) Β. (½, ½) Γ. (-1, -1). (0, 0) 6. Αν οι ευθείες = 3και = + κτέµνονται στο σηµείο M ( 1,3) τότε το κ ισούται µε : Α. 1 Β. 5 Γ. -5. 3 7. Για ποια τιµή του λ η εξίσωση + + 3 λ 6= 0 έχει λύση σηµείο τη ευθείας 8. = ; Α. Β. - Γ. 0. -1 Αν το σύστηµα + κ = 0 είναι αδύνατο τότε το κ είναι 6+ 9= 3 Α. 3 Β. -3 Γ. 0. 9. Αν D 0και D= D, D= D τότε η λύση του συστήµατος είναι: 10. Α. (1, 1) Β. (1, ½) Γ. (-1, ½). (1, - ½) Αν το σύστηµα είναι + κ = 1, κ Rείναι αδύνατο τότε το σύστηµα + = Α. αδύνατο Β. άπειρες λύσεις + = 1 + κ = Γ. µον. λύση (1, 1). µον. λύση (0, 1) 8

4. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε : = λ και ε : 4 λ λ 0 1 + = τέµνονται για κάθε λ R. 5. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε : ( λ 1)+ λ = λ και ε : λ 1 + = να είναι παράλληλες. λ = λ 6. Αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ = λ έχει µοναδική λύση. + λ = 1 λ + = 7. Αν το (Σ) + = 1 είναι αδύνατο. είναι αόριστο να δείξετε ότι το σύστηµα λ = λ λ 4= 3 λ 3= 8. Αν το σύστηµα είναι αδύνατο να δείξετε ότι το σύστηµα 3= 1 ( λ 1) = 1 είναι αόριστο. λ = λ 9. Να βρείτε τα λ, µ ώστε τα συστήµατα λ = + 3 = 1 και λ+ = 0 ( λ 1) µ = να είναι συγχρόνως αδύνατα. 10. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D ) D= 3 3 = 1 να λύσετε το σύστηµα. 11. Αν D η ορίζουσα του συστήµατος ( D 1) + = 1 D+ 3= να λύσετε το σύστηµα 1. Να βρείτε τις τιµές του α ώστε οι ευθείες ε : + a= και ε : a+ 9= να 1 τέµνονται. 9

13. ίνεται το σύστηµα i). κ + 3= 7 κ = 5 Για ποια τιµή του κ R το σύστηµα έχει µοναδική λύση; ii). Αν ( 0, 0) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος να υπολογίσετε το κ αν 1 ισχύει ότι : 0 0 = 5 14. Να λυθούν τα συστήµατα i). ii). + = 5 3 + = + 1 3 + 1 + 1= 3 3( ) = iii). ( + 3) + ( + 8) = + + 39 13 3(4+ 1) = (3 + ) Κατόπιν να ερευνηθούν γραφικά οι λύσεις τους. 15. i). Να προσδιορισθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(3,) και Β (4,5) ii). Αν το σηµείο Μ (3, λ+ 1) ανήκει στην ευθεία που προσδιορίσατε στο 1) να βρεθεί ο λ. 16. i). Να λυθεί η εξίσωση : (4+ 5 ) + (3 13) = 0 ii). Να λυθεί η ανίσωση : 3 1+ 1 4 4 0 17. Ποια συστήµατα παριστάνουν τα παρακάτω σχήµατα 30

18. Να λυθούν οι εξισώσεις i). + 3 1 = 0 1 λ λ, ii). = 0 1 λ µε λ R 3 19. Να προσδιοριστεί ο λ R,ώστε οι ευθείες ( ε1) : = + 3λκαι 1 λ λ 4 ( ε ) : = = 4να είναι παράλληλες. λ λ 0. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές του λ R τα συστήµατα: i). ii). iii). λ( 1) + 4= λ( + ) = + ( λ ) + ( λ 4) = 5( λ+ ) ( λ 4) ( λ ) = ( λ 4) 3 λ = λ(1 ) + λ = 1 1. Να λυθούν για τις διάφορες τιµές των µ, λ Rτα συστήµατα 31

i). ii). ( λ + ) µ = 1 λ + µ = 3 λ+ = λ+ µ + = µ + 1. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( λ+ 3) + ( λ 1) = λ+ 1και ( ε ) : ( λ ) ( λ 1) = 3λ+ 7. Να βρεθούν οι τιµές του λ Rώστε οι ευθείες να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο (δηλ. να είναι παράλληλες). 3 1 3. ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε1) : ( ) ( λ + µ ) = λ + µ 1και λ µ ( ε ) : ( λ ) + ( λ 1) = +. Να βρεθούν οι τιµές των µ, λ Rώστε να µ λ τέµνονται στο σηµείο Μ(1, -1). κ ( λ κ ) = κ+ λ 4. Να αποδείξετε ότι αν το σύστηµα : κ + λ : έχει λύση την ( λ κ ) = 3λ 1 (, ) = (6,1) τότε θα έχει άπειρες λύσεις. 5. Για ποιες τιµές των α, β R το σύστηµα : β + ( β 1) = 8 α α = α έχει µοναδική λύση την (, ) = (1,1) ; 6. Βρείτε τους αριθµούς α R για τους οποίους το σύστηµα (1 α) α = α + ( α 1) = α 4 έχει µια µοναδική λύση (, ) τέτοια ώστε + >. o o o o 7. Να βρεθούν οι τιµές των λ, µ Rγια τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα. (λ 1) + 10µ = 3 ( Σ 1 ) + 4= 5 ( λ ) ( µ + 1) = 7 και ( Σ ) 3 6= 5 8. Θεωρούµε τα συστήµατα: 3

(λ 1) + µ = µ ( Σ 1) + 4= λ + (1 3 µ ) = 1 και ( Σ ) 10= 3 Να προσδιορισθούν τα λ, µ Rώστε το ( Σ 1) να είναι αόριστο και το ( Σ) αδύνατο. 9. ίνεται η συνάρτηση f ( ) α = + β + γ (παραβολή). Αν ξέρουµε ότι f (1) = 6, f () = 11και f ( ) = 3να βρείτε τα α, β, γ. 30. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = κ 3 + λ µε πεδίο ορισµού το Ζ. Να βρεθούν τα κ, λ όταν f ( 0) = 0 και 11 f ( 1) =. 31. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε τα συστήµατα ( Σ 1 ) και ( Σ ) να είναι συγχρόνως αδύνατα. ( Σ 1 ) : ( α 1) β= α+ β= 0 ( Σ ) : + 3= 1 + α= 3. ίνονται τα συστήµατα ( Σ 1 ) : ( α + 1) β= 1 + = 1 ( Σ ) : + ( β + ) = α 3 ( α 1) = β + 1 είξτε ότι αν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις, τότε το δεύτερο είναι αδύνατο. 3= 11 λ 33. ίνεται το σύστηµα: λ R + 5 λ = 7 i). ii). Αποδείξτε ότι το σύστηµα έχει λύση για οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό λ. Υπολογίστε τα και iii). Για ποια τιµή του λ η λύση (, ) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 11 + = 13 34. ίνονται οι ευθείες ( ε 1 ) και ( ε ) µε εξισώσεις = 1και λ = 1 αντίστοιχα λ R 33

i). Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιµές του λ R ii). iii). Να βρείτε το λ για το οποίο τέµνονται κάθετα. Για το λ που βρήκατε στο (ii), να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ευθείες και τον άξονα ' 35. Η λύση ενός συστήµατος µε αγνώστους και είναι : = t, = 3t 1, t R. i). Για ποιες τιµές του t Rοι λύσεις του συστήµατος είναι θετικοί αριθµοί; ii). Υπάρχει γραµµή και ποια πάνω στη οποία βρίσκονται οι λύσεις του συστήµατος; (µ 3) + = µ + 4 36. ίνεται το σύστηµα µ R. Αν το σύστηµα έχει µοναδική 5µ 3= 3µ + λύση την ( 10, t) να βρεθεί ο * t R. 37. Να βρείτε τις λύσεις του συστήµατος: = z αν ξέρουµε ότι + = 3z+,, z είναι ακέραιοι και επιπλέον ότι ο zείναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ακέραιου δια του 3. 38. Τα συστήµατα = 7 λ ( Σ 1 ) : λ Rκαι = 3+ λ = 5+ 4µ ( Σ ) : = 7+ 3µ µ R έχουν κοινή λύση το ζεύγος, ). Να υπολογίσετε τα λ και µ και στη συνέχεια να ( o o βρείτε τη λύση του συστήµατος. 39. Για ποιες τιµές των και η εξίσωση + 1+ λ( ) = 0αληθεύει για οποιανδήποτε πραγµατικό αριθµό λ; 40. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D D + D D = D Αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή. = 3D 41. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D = D D και D 0. Αν + = 6να βρεθούν τα,. 4. Σε ένα σύστηµα δυο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, ισχύει: D + D + D = 4D+ D 5 34

i). είξτε ότι: ( D ) + ( D 1) + D = 0 ii). Να βρεθούν τα,. Να λυθούν τα συστήµατα + = 9 43. + ω= 15 ω+ = 1 1 = µ + 1 44. = ρ + ω 1 = ν ω+ + z 3= α 45. z+ 3= β + 3z= γ z = = 46. 4 4 + 3+ 4z= 78 3 z 1 = = 47. 3 4 5 5+ 3 z= 51 48. 49. 50. 51. 5. 1 1 + = 10 + = 5 53. + = 15 1 1 + = 3 z 1 1 = 1 + = 7 54. 3 3 z 8 = 17 3 7 = + + 1 3+ 5 0 + 5 = 0 4 1 3755. + = + + 1 3+ 5 40 3 + = 4 = + z= + z z= z+ + = 157 = 66 = 1 + = 56. + 3 = 6 + 3 = 0 + 1 = + 57. 3+ 5= 9 58. 8 = 1 + = 3 3 3 3 3 9 59. Να λυθούν τα συστήµατα 35

i). ii). iii). + = = + = 34 = 15 + = = 0 Να ερµηνευτούν γραφικά οι λύσεις τους. 60. Να λυθούν τα συστήµατα i). + + = 3 + = ( + ) = 3 v). + = 3 ii). iii). iv). + = = 64 4 63 4 + + + = 9 + = 7 + = 180 + = 0 vi). vii). 97 + = 36 + = 13 3 = 4 1 z = 0 3 z = 5 36