5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το τµήµα x είναι διάµεσος άρα x= = 6 και ψ = 4 Στο σχήµα (β) η είναι διάµεσος, άρα = AB = x = και AB 7 ψ = = =,5 Στο σχήµα (γ) το τµήµα x + είναι διάµεσος, άρα x + = x + 3x x + = x + 3x x = x = Στο σχήµα (δ) είναι ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο πειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές, θα είναι ˆω= ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο. Και αφού ˆθ = ˆ, θα είναι ˆθ = 60 ο. Με ποιους τρόπους µπορούµε να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο; πάντηση ποδεικνύουµε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και στην συνέχει ότι : Οι µη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες ή οι διαγώνιες είναι ίσες ή οι προσκείµενες σε µία βάση γωνίες είναι ίσες
3. Τι ονοµάζεται διάµεσος τραπεζίου ; Ποιες ιδιότητες έχει; πάντηση ιάµεσος τραπεζίου είναι το ευθύγραµµο τµήµα που έχει άκρα τα µέσα των µη παραλλήλων πλευρών Ιδιότητες της διαµέσου είναι : ίναι παράλληλη στις βάσεις ίναι ίση µε το ηµιάθροισµα των βάσεων ιέρχεται από τα µέσα των διαγωνίων 4. Στο παρακάτω ισοσκελές τραπέζιο είναι = 5x, = 3x και ˆ= 60 ο. περίµετρος του τραπεζίου είναι i) 0x, ii) x, iii) x, iν) 3x, ν) 4x πάντηση ικαιολογήστε την απάντηση σας 3x 60 o Κ 5x Λ Φέρνοντας τα ύψη Κ και Λ προφανώς έχουµε ΚΛ = = 3x οπότε Κ = Λ= x και επειδή ˆΚ = Λ ˆ = 30 ο θα είναι = = x η περίµετρος λοιπόν είναι : 5x + 3x + x + x = x σκήσεις µπέδωσης. ίνεται τραπέζιο () και διάµεσός του. ν οι µη παράλληλες πλευρές του, τέµνονται στο Κ και, Θ είναι τα µέσα των ΚΛ και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα,,, Θ είναι κορυφές τραπεζίου. K Θ Θ (ενώνει τα µέσα δύο πλευρών του τριγώνου Κ) ( διάµεσος του τραπεζίου) Άρα Θ, οπότε Θ τραπέζιο.
3. ν και είναι τα µέσα των πλευρών και αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώνου ( = ), να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. (ενώνει τα µέσα δύο πλευρών του τριγώνου ), οπότε τραπέζιο. τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ. Άρα ισοσκελές τραπέζιο. 3. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου () τέµνονται στο Ο. ν,,, Θ είναι τα µέσα των Ο, Ο, Ο, Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Θ είναι ισοσκελές τραπέζιο. A Θ Ο B Στο τρίγωνο Ο είναι Θ Στο τρίγωνο Ο είναι Άρα Θ, οπότε Θ τραπέζιο ισοσκελές τραπέζιο = = = Θ άρα Θ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και το ύψος του. ν Κ, Λ είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΚΛ µεσοπαράλληλος των, ΚΛ τραπέζιο. Κ Λ Κ διάµεσος του ορθ. τριγώνου Κ = = Κ = Λ Άρα ΚΛ ισοσκελές τραπέζιο.
4 5. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο () µε < και τα ύψη του και. Να αποδείξετε ότι = =. Προφανώς τρ. = τρ. = A B ορθογώνιο = ίναι + + = + = = =. 6. πό την κορυφή τριγώνου φέρουµε ευθεία ε που δεν τέµνει το τρίγωνο και ας είναι και οι αποστάσεις των και από την ευθεία ε. ν Μ είναι το µέσο της και Κ το µέσο της διαµέσου, να αποδείξετε ότι ΜΚ = ε. Μ Κ και ε Άρα τραπέζιο µε διάµεσο Μ παράλληλη των βάσεων και, άρα ε. Έτσι το τρίγωνο Μ είναι ορθογώνιο µε διάµεσο ΜΚ, άρα ΜΚ =.
5 ποδεικτικές σκήσεις. Σε τραπέζιο () η διχοτόµος της γωνίας ˆB τέµνει τη διάµεσο στο. Να αποδείξετε ότι BH ˆ = 90 ο. Θ προέκταση της τέµνει την σε σηµείο Θ. Τότε η τέµνει και το τµήµα Θ στο µέσο του. Έτσι, το είναι διχοτόµος και διάµεσος του τριγώνου Θ, άρα και ύψος.. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) Μ είναι το µέσο της. ν η µεσοκάθετος της τέµνει την στο και η παράλληλη από το προς τη τέµνει την στο, να αποδείξετε ότι =. M Φέρουµε τη. Λόγω της µεσοκαθέτου Μ έχουµε = () τραπέζιο και µάλιστα ισοσκελές, αφού = ˆ ˆ από το ισοσκελές τρίγωνο. Άρα έχει ίσες διαγωνίους = (). πό τις () και () έχουµε =.
6 3. ίνεται τραπέζιο µε = ˆ ˆ = 90 ο και ˆ = 0 ο. ν = α και = α, να υπολογίσετε τη διάµεσο, ως συνάρτηση του α. + πειδή = αρκεί να υπολογίσουµε τη. Φέρουµε Κ. Κ Τότε Κ = = α και ˆ = 30 ο. α Στο Κ ορθ. τρίγωνο θα έχουµε Κ = =. α 5α Έτσι = Κ + Κ = α + =. 5α 9α α+ + 9 Άρα = = α = =. 4 4. Σε τραπέζιο, η µία από τις µη παράλληλες πλευρές του είναι ίση µε το άθροισµα των βάσεων. ν Μ είναι το µέσο της, να αποδείξετε ότι ˆ Μ = 90 ο. Λ Μ Φέρουµε τη διάµεσο ΜΛ του τραπεζίου. + Τότε ΜΛ = = Έτσι η διάµεσος ΜΛ του τριγώνου Μ είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ. 5. πό το µέσο της πλευράς ισοσκελούς τραπεζίου ( ) φέρουµε παράλληλη προς την, που τέµνει τη στο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ. Μ ˆM = ˆ = ˆ τρ.μ ισοσκελές µε Μ = = Μ Έτσι η διάµεσος Μ του τριγώνου Μ είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ.
7 6. ίνεται τρίγωνο και το ύψος του. ν,, είναι τα µέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. και παρ/µµο και τραπέζιο. () πό το παρ/µµο έχουµε = λλά = = Άρα = () (), () είναι ισοσκελές τραπέζιο. 7. ν σε τραπέζιο η µία βάση είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι χωρίζουν τη διάµεσο σε τρία ίσα τµήµατα. α α Θ α α α Στο τραπέζιο έχουµε Θ = πό τις (), (), (3) = Θ = Θ. Έστω το τραπέζιο µε βάσεις = α, = α και διάµεσο η οποία τέµνει τις διαγώνιες στα, Θ. Στο τρίγωνο έχουµε = Στο τρίγωνο έχουµε Θ = = = (3) α = () α = ()
8 8. ίνεται τραπέζιο () µε = 3 και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων του και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. Πότε αυτό είναι ορθογώνιο; Κ Λ 3 ΚΛ = = = = λλά και ΚΛ Άρα το ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. ια να είναι ορθογώνιο, θα πρέπει να έχει ίσες διαγωνίους, δηλαδή Λ = Κ, άρα =, δηλαδή το τραπέζιο να είναι ισοσκελές. 9. ίνεται τραπέζιο () µε = 3. ν,, είναι τα µέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραµµο. ν η προέκταση της τέµνει τη στο Θ, τότε Θ =. Θ Έστω = α, οπότε = 3 α Στο τραπέζιο έχουµε = α 3 α 4α + + = = =α= λλά είναι και, οπότε το είναι παραλληλόγραµµο παρ/µµο Θ, αλλά και Θ, οπότε Θ παρ/µµο, άρα Θ = Έχουµε Θ = Θ =.
9 0. ν,,,, Κ είναι οι προβολές των κορυφών και του κέντρου Κ παραλληλογράµµου αντίστοιχα σε ευθεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές του προς το ίδιο µέρος της, να αποδείξετε ότι + + + = 4ΚΚ. ε K Κ A τραπέζιο µε διάµεσο ΚΚ + = ΚΚ τραπέζιο µε διάµεσο ΚΚ + = ΚΚ Άρα + + + = 4ΚΚ. Σύνθετα Θέµατα. Σε τραπέζιο ( ) έχουµε = +. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόµοι των γωνιών ˆ και ˆ τέµνονται στη. πειδή γίνεται λόγος για το άθροισµα των βάσεων, θεωρούµε τη διάµεσο. + Τότε = = == Τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ δηλαδή διχοτόµος της ˆ. Οµοίως διχοτόµος της ˆ.
0. ίνεται τραπέζιο µε ˆ = ˆ = 90 ο, να αποδείξετε ότι Λ 3 Μ Μ ˆ = 3Μ ˆ. και =. ν Μ είναι το µέσο της Φέρουµε τη διάµεσο ΜΛ του τραπεζίου, η οποία σαν παράλληλη στις βάσεις θα είναι. Έτσι, η ΜΛ είναι ύψος και διάµεσος του τριγώνου Μ άρα και διχοτόµος, δηλαδή ˆM = ˆM. () = Μ = ˆM = ˆ 3 και ΜΛ ˆM = ˆ Έτσι, ˆM = ˆM () 3 ΜΛ ˆM = ˆ (3) (), (), (3) Μ ˆ = 3Μ ˆ. 3. Μια ευθεία ε διέρχεται από την κορυφή ενός παραλληλογράµµου και έχει εκατέρωθεν αυτής τις κορυφές και. ν, και οι προβολές των, και αντίστοιχα στην ευθεία ε, να αποδείξετε ότι = (µε > ). ε A K Κ Οι διαγώνιοι του παρ/µµου διχοτοµούνται σε σηµείο Κ. Φέρουµε ΚΚ ε τραπέζιο ΚΚ = τρ. ΚΚ = Άρα =
4. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ) και, τα µέσα των και αντίστοιχα. πό το µέσο του φέρουµε παράλληλη προς την που τέµνει τη στο. ν = 3 8, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. β Έστω = β β ίναι = = τραπέζιο µε διάµεσο + β = = β+. 3 8 = 3 β = β. Έτσι, η υποτείνουσα είναι διπλάσια της, άρα ˆ = 30 ο. 5. Σε τραπέζιο ( ) µε <, έστω Μ το µέσο της. Να αποδείξετε ότι i) αν Μ = και η παράλληλη από το προς τη τέµνει τη Μ στο, τότε Μ = ii) αν είναι το µέσο της Μ, τότε = 3 4. i) ρκεί να αποδείξουµε ότι το τραπέζιο Μ είναι ισοσκελές. Μ τρ.μ ισοσκελές ˆΜ = ˆ λλά ˆΜ παραπληρωµατική της ˆΜ και ˆ παραπληρωµατική της ˆ από το τραπέζιο Θ Άρα ˆΜ = ˆ Έτσι Μ ισοσκελές τραπέζιο ii) τέµνει τη σε σηµείο Θ και επειδή Θ Μ από το µέσο, Μ θα είναι Θ = = 4 Θ παρ/µµο Θ = Έτσι = Θ Θ = 3 = 4 4.