ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται: E = 2 0 8 2 4 I = 00000cm k = 6000 m m ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α E = 2 0 m 8 2, I 4 3 4 = 00000cm = 0 m, k = 6000 m, f = k = ( 6000) m EI = 2 0 m 0 m = 2 0 m 8 2 3 4 5 2 Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται Απαίτηση ικανοποίησης και της εξισώσεως συμβιβαστού ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Α ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση του γραμμικού ελατηρίου. (Στατική Αοριστία = ) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 2
Στατική Επίλυση Φορέα Α M N = 0 30 8 4+ 20 3 V3 8= 0 V3 = 27.50k = 0 V + V 3 20 30 8 = 0 V = 260 V 3 V = 32.50 Στατική Επίλυση Φορέα Β M = 0 3+ V3 8= 0 V3 38 = = 0 V + V 3 + = 0 V = ( 3 8) V = 58 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ ] [M ] Εξίσωση Συμβιβαστού: ( s) 0 =Δ =Δ + F X, όπου 3 M M Δ + = dx S f S 00 8 + 23 EI ομόρροπα ( ) Για ml = 3 m = 3 8 και nl = 3 n =5 8 από το αντίστοιχο διάγραμμα λαμβάνουμε: M M 5 3 5 dx ( ) EI EI 6 8 8 8 5 5 3 = 540 540 6.75 0 6EI + = 64 = 0 + 2 270 + 0 0 2 270 + 0 8 = =0 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Επομένως, 3 3 Δ + = 3.75 0 6.75 0 Δ = 0.50 0 3 M M Επίσης, F = dx+ S ( f EI S ) 2, όπου M M 5 dx 5 = 8 = 4.6875 0 EI EI 3 8 4 S ( f S ) = ( ) ( ) =.6667 0 6000 5 4 Επομένως, F = 4.6875 0 +.6667 0 F = 2.354 0 4 Τελικά, ( s) 3 4 0 =Δ =Δ + F X 0 = 0.50 0 + 2.354 0 X X = 49.7 M = 0 49.7 3 20 3 30 8 4 + V3 8 = 0 V3 = 09.06 F = 0 49.7 + V 20 30 8 + V = 0 V = 20.83 V V = 0.77 y 3 3 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4
Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [M] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με 49.7 20 = 29.7 Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] είναι μηδενικό. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 5
Β ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση στη στήριξη #3. (Στατική Αοριστία =) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 6
Στατική Επίλυση Φορέα Α M N = 0 V2 3 20 3 30 8 4= 0 V2 = 340k = 0 V + V 3 20 30 8 = 0 V = 260 V 3 V = 80 Στατική Επίλυση Φορέα Β M = 0 8+ V2 3= 0 V3 83 = = 0 V + V 2 + = 0 V = ( 8 3) V = 53 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ ] Εξίσωση Συμβιβαστού [M ] M M dx S f S EI M M dx = 3 5 ( 2 ( 53.75) 375) 5 5 ( 2 ( 93.75) 375) EI EI + 6 6 = = [ 706.25 2343.75] = 0.02025 EI ( s) 0.0 =Δ =Δ + F X, όπου Δ = + ( ) 8 S ( f S ) = ( 340) = 0.5 3 6000 Επομένως, Δ = 0.02025 0.5 Δ = 0.736 M M Επίσης, F = dx+ S ( f S ), όπου EI M M dx 2 4 8 8 = 8 5 = 3.333 0 S f S = =.85 0 EI EI 3 3 6000 3 4 3 3 Επομένως, F = 3.333 0 +.85 0 F =.585 0 3 και ( ) ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
Τελικά, ( s) 3 0.0 =Δ =Δ + F X 0.0 = 0.736 +.585 0 X X = 06.26 M = 0 06.26 8 20 3 30 8 4 V2 3 = 0 V2 = 56.64 = 0 V + V 2 + 06.26 20 30 8 = 0 V = 53.74 V 2 V = 97.0 Παρατήρηση: Τα αποτελέσματα της μεθόδου β παρουσιάζουν μικρές διαφορές με εκείνα της μεθόδου α λόγω δεκαδικών ψηφίων. Δεν υπάρχουν σημαντικά αξιόλογες διαφορές. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8
Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [Μ] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με 56.64 20 = 36.64 Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων είναι μηδενικό. Ερώτημα β Προκειμένου να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23), τοποθετούμε μία συγκεντρωμένη μοναδιαία φόρτιση στο σημείο αυτό, αναφερόμενοι σε οποιοδήποτε θεμελιώδη ισοστατικό φορέα.. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ο θεμελιώδης φορέας του πρώτου τρόπου επίλυσης, που είδαμε παραπάνω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 9
Εξισώσεις ισορροπίας M = 0 V3 8 5.50= 0 V3 = 0.6875 = 0 V + V 3 = 0 V = V 3 V = 0.325 Διάγραμμα Ροπών Κάμψεως [ M ] Θεώρημα Μοναδιαίου Φορτίου (Εξίσωση Ελαστικότητας): M M δ + 0.6875 = dx 00 EI M M 5.5 2.5 dx = 8.7875 0 2 96.24 0 ( 0 2 96.24 0) EI EI 6 + + + 8 8 = 3.75 3 [ 392.48 84.32875 ] 5.463 0 = + = 6EI 3 3 Άρα, δ 6.875 0 = 5.463 0 δ =.23cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 0