Πρόβληµα 1 Ο ποµπός στέλνει στο δέκτη µέσω του καναλιού του σχήµατος την ακολουθία συµβόλων {s t } t=1,2,,10 που ανήκουν στο αλφάβητο {-3,-1,1,3} Στον δέκτη λαµβάνεται η ακολουθία {r i } i=1,2,,10 του πιο κάτω πίνακα. {r t } t=1,2,,10 {s t } t=1,2,,10 {v t } t=1,2,,10-3.6 1.2 2.8 1.3 3.7 0.9-0.5 2.4-1.1 3.2 Α. Με βάση την αρχή της ελάχιστης απόστασης να υπολογίσετε τα πιο πιθανές τιµές της ακολουθίας {s t } t=1,2,,10. Β. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιµές της τυχαίας ακολουθία {ν t } t=1,2,,10 και τη διακύµανση σ 2 της ακολουθίας αυτής. Γ. Τέλος να υπολογίσετε την τιµή της πιθανότητας σφάλµατος να συµβεί λάθος κατά την απόφαση των στοιχείων της ακολουθίας {s t } ΛΥΣΗ A&B s ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Με βάση το κριτήριο ελάχιστης απόστασης υπολογίζεται η τιµή του s και στη συνέχεια η τιµή του v για τις χρονικές στιγµές t=1,2,,10 v + r r=s+v {r t } t=1,2,,10 {s t } t=1,2,,10 {v t } t=1,2,,10-3.6 1.2 2.8 1.3 3.7 0.9-0.5 2.4-1.1 3.2-3 1 3 1 3 1-1 3-1 3-0.6 0.2-0.2 0.3 0.7-0.1 0.5-0.6-0.1 0.2 1 1 σ = = ( 0.36 + 0.04 + 0.04 +... ) = 0.169 σ=0.41 10 N 2 2 vi N i= 1
Γ ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 30/11/2010-10:27 µµ Η πιθανότητα σφάλµατος P e P e M 1 A = 2 Q M σ 3 1 Pe = 2 Q = 0.011 P e =0.011 4 0.41
Πρόβληµα 2 Σε ένα οκταδικό κανάλι ο δέκτης περιµένει τα σύµβολα {-7,-5,-3,-1,1,3,5,7} Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ i } i=1,2,,7 που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση και σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. ΛΥΣΗ Η χαρακτηριστική µεταφοράς του ΑDC θα είναι: 7 3 1-1 -3-7 V in -6-4 -2 0 2 4 6
Πρόβληµα 3 Σε ένα τετραδικό σύστηµα µιας διάστασης ο αστερισµός συµβόλων είναι αυτός του σχήµατος. Να υπολογίσετε τον Πίνακα των Υποσυνθήκη Πιθανοτήτων Pij=Pr[Y=j X=i], i,j=1,2,3,4. ίνεται Α=2 και σ=1. Απάντηση Pij P{j i} j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 1-Q(A/σ) Q(A/σ)-Q(3A/σ) Q(3A/σ)-Q(5A/σ) Q(5A/σ) i=2 Q(A/σ) 1-2Q(A/σ) Q(A/σ)-Q(3A/σ) Q(3A/σ) i=3 Q(3A/σ) Q(A/σ)-Q(3A/σ) 1-2Q(A/σ) Q(A/σ) i=4 Q(5A/σ) Q(3A/σ)-Q(5A/σ) Q(A/σ)-Q(3A/σ) 1-Q(A/σ) Pij P{j i} j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 9.8e-001 2.3e-002 9.9e-010 7.6e-024 i=2 2.3e-002 9.5e-001 2.3e-002 9.9e-010 i=3 9.9e-010 2.3e-002 9.5e-001 2.3e-002 i=4 7.6e-024 9.9e-010 2.3e-002 9.8e-001
Πρόβληµα 4 Να αποδείξετε ότι σε ένα σύστηµα PSK το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης απλοποιείται στο κριτήριο της ελάχιστης γωνίας, δηλαδή για λήψη ίση µε το µιγαδικό r και τα µιγαδικά σύµβολα s 1, s 2,,s M ισχύει: s=s i angle(r-s i )< angle(r-s j ) για κάθε j=1.2,..,m, j διάφορο του i. Πρόβληµα 5 Σε 8-αδικο µονοδιάστατο σύστηµα η διακύµανση της τυχαίας ακολουθίας {v n } είναι σ 2 =0.5 Watt. Πόση πρέπει να είναι η απόσταση 2A µεταξύ των γειτονικών συµβόλων ώστε η πιθανότητα σφάλµατος να περιοριστεί σε 10-7 ; Ποια θα είναι τότε τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται; Απάντηση: Α=3.75 Πρόβληµα 6 ja r A A) Σε ένα σύστηµα δύο διαστάσεων µε δύο σύµβολα, τo Α και το ja να αποδείξετε ότι το κριτήριο ελάχιστης απόστασης απλοποιείται σε s=a Re(r)>Im(r) B) Να αποδείξετε ότι στο σύστηµα αυτό η πιθανότητα σφάλµατος είναι: A Pe = Q σ 2
Πρόβληµα 7 ίνεται η δυαδική ακολουθία 1010011010011101010110 Ποια σύµβολα θα διαβιβαστούν για κάθε έναν από τους πιο κάτω αστερισµούς αν δεν χρησιµοποιηθεί κώδικας Grey; j 1
Πρόβληµα 8 Σε κάποιο Τηλεπ. Σύστηµα µε σ σταθερό και δύο σύµβολα έχει επιβληθεί να ισχύει: s 2 1 +s 2 2 =2E=σταθερά Να βρείτε για ποιες τιµές των s και s 1 η αντίστοιχη τιµή της πιθανότητας γίνεται ελάχιστη. 2 Απάντηση Πρέπει s 1 = s 2, s 1 = E
Πρόβληµα 9 9.1 Θεωρείστε γνωστό τον τύπο της πιθανότητας για δύο σύµβολα στη µια διάσταση και υπολογίστε την πιθανότητα σφάλµατος για ένα σύστηµα ΟΝ OFF, δηλαδή ένα σύστηµα µε σύµβολα s 1 =0 και s 2 =A. εχθείτε AWGN µ=0 και τυπική απόκλιση σ. 9.2 Είναι γνωστό ότι για ένα σύµβολο s ισχύει, s 2=E, όπου Ε η ενέργεια του συµβόλου. Να υπολογίσετε τη µέση ενέργεια ανά σύµβολο, E = E σύµβολα, και δυαδικό ορθογώνιο (s1=a & s2=ja). b στα δυαδικά συστήµατα ΟΝ OFF, µε αντίποδα 9.3 Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος P2 των δυαδικών συστηµάτων του Ερωτήµατος 9.2 συνατήσει της Ενέργιας ανά bit, Εb Απάντηση = E P b 2 antipode Q σ, P2 orthog E Q b = 2σ, P2 ON-OFF E Q b = 2σ
Πρόβληµα 10 Θεωρήστε ότι h(t), Η(f) είναι η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του βέλτιστου φίλτρου και ψ(t), Ψ(f) η βασική κυµατοµορφή επικοινωνίας και ο αντίστοιχος µετασχηµατισµός Fourier. 10.1 Θεωρείστε γνωστό ότι h(t)=ψ(τ-t) και αποδείξτε µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων του Μετασχηµατισµού Fourier, ότι ισχύει: Η(f)=Ψ * (f)exp(-j2πft) 10.2 Χρησιµοποιείστε τον µαθηµατικό τύπο των Cauchy-Schwartz σε µιγαδική µορφή και αποδείξτε εξαρχής ότι το βέλτιστο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας Η(f)=Ψ * (f)exp(-j2πft) Στη συνέχεια χρησιµοποιείστε τις ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier και αποδείξτε ότι ισχύει h(t)=ψ(τ-t)
Πρόβληµα 11 Για ένα ενεργειακό σήµα x(t) µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R X (z) ως: X ( ) = ψ( ) ψ( ) R z t t z dt Να αποδείξετε, ότι όταν στην είσοδο του βέλτιστου φίλτρου τεθεί η βασική κυµατοµορφή ψ(t) το σήµα της εξόδου, s(t) = R Ψ (T-t). Λύση ψ(t) h(t)=ψ(t-t) s(t) Ισχύει όµως h(t)=ψ(t-t) h(t-τ)=ψ(t-t+τ) οπότε ( ) = ψ( τ) ( ) s t h t τ dτ ( ) = ψ( τ) ψ( τ + ) τ = ( ) s t T t d R T t Ψ
Πρόβληµα 12 Κάντε τις πιο κάτω µετατροπές µεταξύ της τιµής λόγου ισχύος και των db του λόγου, αν µπορείτε χωρίς να χρησιµοποιήσετε υπολογιστή. SNR 10 3 500 250 100 10 200 (SNR) db 20 17 23 10 13 7 4 SNR 10-3 1 0.5.02 0.01 0.25 (SNR) db -10 0-7 -4-13 -27-24 Πρόβληµα 13 Αν χρησιµοποιήσουµε ως βασική κυµατοµορφή επικοινωνίας την ψ(t)=ψ 0 sin(2πf c t) 0<=t<T Να αποδείξετε ότι για να έχει αυτή µοναδιαία ενέργεια πρέπει να ισχύει: 2 ψ 0 = Τ όταν 4Τf c >>1 ή όταν 4Τf c = ακέραιος. Πρόβληµα 14 Να αποδείξετε ότι, όταν 2Τf c >>1 ή όταν 4Τf c = ακέραιος, οι δύο κυµατοµορφές ψ 1 (t) και ψ 2 (t) 2 2 ψ1( t) = cos( 2 π fct), ψ 2( t) = sin( 2 π fct), 0 t< T Τ Τ είναι ορθοκανονικές. Πρόβληµα 15 Να αποδείξετε ότι, όταν 2Τf c >>1 ή όταν 4Τf c = ακέραιος, οι δύο κυµατοµορφές ψ 1 (t) και ψ 2 (t) ( ) 2 1 ( ) 2( ) 2 cos 2, sin 2 1 ψ t = π fct ψ t = π fc+ t, 0 t< T Τ Τ 2T είναι ορθοκανονικές.
Πρόβληµα 15A Με βάση το παραπλεύρως διάγραµµα: α) Να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή του λόγου E b /N 0 για σύστηµα µε αντίποδα σήµατα και για πιθανότητα σφάλµατος P b =10-5. β) Να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή του λόγου E bant /E bort για πιθανότητα σφάλµατος P b =2 10-4. E bant : Ενέργεια ανά bit για σύστηµα µε δύο αντίποδα σύµβολα. E bort : Ενέργεια ανά bit για σύστηµα µε δύο ορθογώνια σύµβολα. Λύση Θυµηθείτε ότι SNR/bit σηµαίνει E b /N 0. α) Για P b =10-5 και την καµπύλη που αντιστοιχεί στο σύστηµα µε τα αντίποδα σύµβολα (βλέπε κόκκινο ίχνος) διαβάζουµε: (E b /N 0 ) db =9.5 db. Εποµένως η αριθµητική τιµή του λόγου είναι: (E b /N 0 )=10 0.95 =8.9 β) Ακολουθώντας το πράσινο ίχνος διαβάζουµε: (E bant /Ν 0 ) db =8 db και (E bort /Ν 0 ) db =11 db. Παρατηρείστε ότι ισχύει E bant /E bort =(E bant /Ν 0 )/(E bort /Ν 0 ) (E bant /E bort ) db =[(E bant /Ν 0 )/(E bort /Ν 0 )] db Θυµηθείτε τον ορισµό του decibel και την ιδιότητα ότι decibel του λόγου ισούνται µε τα decibel του αριθµητή µείον τα decibel του παρανοµαστή. (E bant /E bort ) db =(E bant /Ν 0 ) db -(E bort /Ν 0 ) db =8 db-11 db=-3db Θυµηθείτε ότι -3 db ισοδυναµούν µε αριθµητική τιµή του λόγου ίση µε 0.5 οπότε (E bant /E bort )=0.5
Πρόβληµα 16 Ένα AWGN κανάλι παρουσιάζει απόσβεση L=30 db και φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /2=10-7 Watt/Hz. Η ισχύς που µπορεί να εκπέµψει ο ποµπός είναι P T =10 Watt και σχεδιάζουµε να χρησιµοποιήσουµε το κανάλι αυτό για να διαβιβάσουµε δυαδικά δεδοµένα µε ρυθµό R 2 =10 4 bits/sec. α) Να υπολογίσετε τη µικρότερη τιµή της πιθανότητας σφάλµατος P 2 που µπορεί να επιτευχθεί αν η διαβίβαση των δεδοµένων γίνει µε Β-PSK. β) Αν επιθυµούµε P 2 =10-6, αλλά δεν είναι δυνατό να αυξήσουµε την P T, πόσο πρέπει να γίνει o ρυθµός διαβίβασης R 2 ; Λύση α) Ισχύει: P av =P R =P T /L 2ε = 2 b R ( ) Ισχύει: P 2 = Q ( N ) Q P ( R N ) 0 2 0 και P R /(N 0 R 2 )==P T /(LN 0 R 2 )=10Watt/{10 3 2 10-7 W/Hz 10 4 sec -1 }=5, Εποµένως P 2 = Q( 10) Q( 3.14) β) P 2 = ( ) = = 8 10-4 ( 2 R 0 2 ) ( 2 T ( 0 2) ) Q P N R = Q P LN R, ή R 2 =(P T /L)/(N 0 /2)/ [qfuncinv(p 2 )] 2 = =10/1000/10^-7/(qfuncinv(10^-6))^2= 2 4430 bits/sec Πρόβληµα 17 Να επαναλάβετε τη λύση του προβλήµατος 16 χρησιµοποιώντας τις καµπύλες λειτουργίας των συστηµάτων µε αντίποδα σήµατα. Πρόβληµα 18 Να επαναλάβετε τη λύση των προβληµάτων 15 και 17 για τηλεπ. Σύστηµα µε ΟΝ ΟFF σύµβολα. Απ.α)P 2 = 0.013, b)r 2 = 2215 bits/sec Πρόβληµα 19 Ένα AWGN κανάλι παρουσιάζει απόσβεση L=30 db και φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /2=10-7 Watt/Hz. Η ισχύς που µπορεί να εκπέµψει ο ποµπός είναι P T =10 Watt και σχεδιάζουµε να χρησιµοποιήσουµε το κανάλι αυτό για να διαβιβάσουµε δυαδικά δεδοµένα µε ρυθµό R 2 =10 4 bits/sec. α) Να υπολογίσετε τη µικρότερη τιµή της πιθανότητας σφάλµατος P 2 που µπορεί να επιτευχθεί αν η διαβίβαση των δεδοµένων γίνει µε 8-PΑΜ. β) Αν επιθυµούµε P 2 =10-6, αλλά δεν είναι δυνατό να αυξήσουµε την P T, πόσο πρέπει να γίνει o ρυθµός διαβίβασης R 2 ; Απ.α)P 2 = 1.7 10-4, b)r 2 max= 5700 bits/sec
Πρόβληµα 20 Σχεδιάζουµε διακριτό κανάλι Μ-PSK µέσα από το οποίο διαβιβάζονται σύµβολα µε σταθερό ρυθµό R M 2 4 8 16 (E bm /E b2 ) db 0 (E bm /E b2 ) 1 (R bm /R b2 ) 1 P RM /P R2 1 ( ηλαδή διαθέτουµε κανάλι καθορισµένου εύρουςζώνης Β C ). Επιθυµούµε να διερευνήσουµε το κόστος σε ισχύ σε σχέση µε το µέγεθος του ρυθµού διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων R b. Για το σκοπό αυτό σας ζητάµε να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τους πιο κάτω λόγους. Για την επίλυση του προβλήµατος αυτού να χρησιµοποιήσετε τις καµπύλες επίδοσης του συστήµατος M-PSK. Με τα E b2 και E bμ, συµβολίζουµε την ενέργεια ανά bit για το 2-PSK και το M-PSK αντίστοιχα. Με R b2, και R bμ, συµβολίζουµε τον ρυθµό δυαδικών δεδοµένων που επιτυγχάνεται στο 2-PSK και M-PSK όταν ο ρυθµός διαβίβασης συµβόλων ισούται µε R. Τέλος µε P R2, και P RΜ, παριστάνουµε την ισχύ λήψης που απαιτείται για ένα σύστηµα 2- PSK και M-PSK αντίστοιχα, τα οποία λειτουργούν µε ρυθµό διαβίβασης συµβόλων ίσον µε R και διαβιβάζουν τα δυαδικά δεδοµένα µε πιθανότητα σφάλµατος ίση µε την τιµή της P b. ΛΥΣΗ A Συµπλήρωση (E bm /E b2 ) db Για Μ 2 παρατηρείστε ότι (Ε bm /Ε b2 ) db ισούται: ( ) ( E E ) = ( E N ) ( E N ) =( E N ) ( E N ) bm b2 db bm 0 b2 0 db bm 0 db b2 0 db Από το διάγραµµα επιδόσεων του Μ-PSK βρίσκουµε εύκολα για P e =log 2 (M)P b Μ 2 4 8 16 ( E N ) bm db 0 db 9.5 9.0 13 17 Οπότε συµπληρώνεται η πρώτη γραµµή στον Πίνακα αποτελεσµάτων. M 2 4 8 16 (E bm /E b2 ) db 0-0.5 3.5 7.5 (E bm /E b2 ) 1 0.89 2.24 5.62 (R bm /R b2 ) 1 2 3 4 P RM /P R2 1 1.78 6.72 22.48 Β Συµπλήρωση (E bm /E b2 ) Ισχύει (E bm /E b2 )=10^[(E bm /E b2 ) db /10] (Συµπληρώνεται η δεύτερη γραµµή του πίνακα) Γ Συµπλήρωση (R bm /R b2 ) (R bm /R b2 )=log 2 (M) Συµπλήρωση (P RM /P R2 ) P RM /P R2 =(E bm R bm )/( E b2 R b2 ) =(E bm /E b2 ) ( R bm /R b2 )= (E bm /E b2 ) log 2 (M)
Πρόβληµα 21 System 8-PAM 8-PSK (E b8s /E b2ant ) db (E b8s /E b2ant ) (P 8S /P b2ant ) Coherent 8-FSK αποτελεσµατικότητα των διαφόρων συστηµάτων σκεφθήκαµε Επιθυµούµε να σχεδιάσουµε διακριτό κανάλι για να διαβιβάσουµε δυαδικά δεδοµένα µε καθορισµένο ρυθµό δυαδικών δεδοµένων R b και πιθανότητα σφάλµατος P b =10-5. Για να διερευνήσουµε την να υπολογίσουµε τους λόγους που αναγράφονται στον πίνακα. Με το δείκτη 2ant συµβολίζουµε τα δυαδικά αντίποδα σήµατα. Ε b8s : Ενέργεια ανά bit για το 8-δικό Σύστηµα µε ρυθµό διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων τον R b και πιθανότητα σφάλµατος την P b. P 8S : Ισχύς λήψης για το 8-δικό Σύστηµα µε ρυθµό διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων R b και πιθανότητα σφάλµατος την P b. Τέλος ο δείκτης 2ant υποδεικνύει τα πιο πάνω µεγέθη για ένα δυαδικό σύστηµα µε αντίποδα σύµβολα Non-Coherent 8-FSK
Πρόβληµα 22 του καναλιού είναι AWG µε µέση τιµή µηδέν. Στο έκτη ενός Συστήµατος ιαβίβασης ιακριτών εδοµένων µε τον αστερισµό του Σχήµατος ελήφθη η ακολουθία διανυσµάτων{r i } του πίνακα. Για κάθε στοιχείο r i της ακολουθίας αυτής να προσδιορίσετε το πιο πιθανό σύµβολο, s i, που έχει αποσταλεί, και το αντίστοιχο διάνυσµα-σφάλµα n i =[n i1,n i2 ]. Επιπλέον να υπολογίσετε τη διακύµανση της ακολουθίας των σφαλµάτων {n i1 } και {n i2 } καθώς και το PSD του θορύβου του καναλιού, Ν 0 /2. εχθείτε ότι τα σύµβολα του αστερισµού είναι ισοπίθανα, και ότι ο θόρυβος ΛΥΣΗ Θυµηθείτε ότι ο θόρυβος του καναλιού έχει µέση τιµή µηδέν εποµένως και οι ακολουθίες {n i1 } και {n i2 } έχουν µέση τιµή µηδέν. Εποµένως N 0 14 1 = σ = ( n 1 n 2) 0.22 Watt/Hz 2 + = 28 2 2 2 ni i i i= 1 r i =(r i1, r i2 ) s i (n i1, n i2 )
Πρόβληµα 23 Θεωρείστε ένα Τηλεπικοινωνιακό Σύστηµα, το οποίο µεταδίδει πληροφορία χρησιµοποιώντας QAM µέσα από ένα τηλεφωνικό AWGN κανάλι (voice band) σε ρυθµό 2400 σύµβολα/sec. Το κανάλι παρουσιάζει απόσβεση L db =30 db και η πυκνότητα θορύβου είναι N 0 /2=10-7 W/Hz. Επιθυµούµε να διαβιβάσουµε δυαδικά δεδοµένα µε πιθανότητα σφάλµατος P b =10-5. Υπολογίστε τη µικρότερη τιµή του πλήθους Μ συµβόλων του QAM και την απαιτούµενη αντίστοιχη ισχύ εκποµπής P T για κάθε µια από τις τιµές δυαδικού ρυθµού R b =4800 και 9600 bits/sec. Για την επίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιείστε το διάγραµµα της σχέσης P M =f(ε b /N 0 ) για το QAM. (Σχήµα 7.62) ΛΥΣΗ Ο ρυθµός διαβίβασης συµβόλων, R M, και δυαδικών δεδοµένων, R b συνδέονται µε τη σχέση R b =R Mlog 2 (M) M=2 Rb/RM για R b =4800 M= 4, και για R b =9600 Μ=16 M=4 P 4 =P blog 2 (M)=2X10-5 (Σχήµα 7.62) (E b /N 0 ) db 9.7dB (E b /N 0 )= 10 0.97 = 9.33 Ισχύει όµως P R =E b R b =(E b /N 0 )N 0 R b =9.33X2 X10-7 Watt/Hz X4800 bits/sec=9 mwatt Εποµένως P T = LP R =10 3 X 9mWatt P T =9 Watt Παρόµοια εργαζόµαστε για R b =9600 και Μ=16. P 16 =4 X 10-5 (E b /N 0 ) db =14 db (E b /N 0 )=10 1.4 =25 P R =48.4 mwatt P T =48.4 Watt