Αρμονική Ανάλυση 4-5. Εστω X, A, µ χώρος μέτρου μ µx <. Δίξτ ότι: αν p < r < τότ L r X L p X και, για κάθ f L r X, f L p µx p r f L r. Υπόδιξη. Για κάθ f L r X μπορούμ να γράψουμ X f p dµ X p f r r p r dµ dµ X f p L rµx p r, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Hölder για τις f p και μ κθέτς r p και f p L p f p L rµx p r < +, απ όπου έπται ότι f L p X και f L p µx p r f L r. r r p αντίστοιχα. Άρα,. α Εστω X, A, µ σ-ππρασμένος χώρος μέτρου. Θωρούμ τον χώρο L X που αποτλίται από όλς τις κλάσις ισοδυναμίας μτρήσιμς συναρτήσις f : X C που ίναι «ουσιαστικά φραγμένς». Δηλαδή, f L X αν και μόνο αν υπάρχι M Mf ώστ µ{x X : fx > M}. Δίξτ ότι: αν f L τότ υπάρχι λάχιστος τέτοιος Mf, τον οποίο συμβολίζουμ μ f. Στην συνέχια, αποδίξτ ότι ο L X, ίναι χώρος Banach. β Υποθέτουμ πιπλέον ότι µx <. f L p X και Υπόδιξη. α Θέτουμ Δίξτ ότι: αν f L X τότ για κάθ p < έχουμ lim f p f. p f inf{m > : µ{x X : fx > M} }. Παρατηρήστ ότι αν β n ίναι μία γνησίως φθίνουσα ακολουθία μ β n f, τότ µ {x X : fx > β n } για κάθ n και {x X : fx > f } n {x X : fx > β n}, άρα µ {x X : fx > f }. Από την fx f σχδόν παντού, έπται ύκολα η τριγωνική ανισότητα για την οι άλλς δύο ιδιότητς της νόρμας ίναι ακόμα πιο απλές. Για την πληρότητα, θωρούμ μια βασική ακολουθία {f n } στον L X και ορίζουμ τα σύνολα A n,m {x X : f n x f m x f n f m }, n, m N για τα οποία ισχύι µx \ A n,m. Ετσι, αν ορίσουμ A n,m A n,m έχουμ µx \ A και sup f n x f m x f n f m x A για κάθ n, m N, άρα η {f n } ίναι ομοιόμορφα Cauchy στο A και συνπώς ομοιόμορφα συγκλίνουσα. Υπάρχι λοιπόν μια μτρήσιμη συνάρτηση f : X K ώστ f n f ομοιόμορφα στο A. Δηλαδή, f n f f n fχ A sup f n x fx. x A
Αυτό δίχνι ότι f L X και f n f στον L X. β Εστω f L X. Παρατηρούμ ότι, για κάθ p <, f p p fx p dµ f p dµ f p µx <, άρα f L p X. Επίσης, X X f p f [µx] /p f καθώς το p, άρα lim sup p f p f. Από την άλλη πλυρά, αν < < f, τότ το σύνολο B {x X : fx f } έχι θτικό μέτρο, και f p p fx p dµ f p µb, B άρα lim inf f p f lim [µb ] /p f. p p Αφού το, f ήταν τυχόν, συμπραίνουμ ότι lim inf p f p f, και έπται ότι lim p f p f. 3. Θωρούμ τον L p, p <. Αποδίξτ ότι: α Η κλάση C c των συνχών συναρτήσων μ συμπαγή φορέα ίναι πυκνή στον L p. β Η κλάση Cc των συναρτήσων μ συμπαγή φορέα που ίναι άπιρς φορές διαφορίσιμς, ίναι πυκνή στον L p. Υπόδιξη. α Γνωρίζουμ ότι η κλάση S των απλών μτρήσιμων συναρτήσων s μ m{x : sx } < ίναι πυκνή στον L p, άρα αρκί να δίξουμ ότι κάθ s S προσγγίζται οσοδήποτ καλά ως προς την p από κάποια g C c. Λόγω γραμμικότητας του ολοκληρώματος, μπορούμ ύκολα να αναχθούμ στην πρίπτωση που s χ A για κάποιο A μ ma <. Από την κανονικότητα του μέτρου Lebesgue, για το τυχόν > μπορούμ να βρούμ συμπαγές K και ανοικτό U ώστ K A U και mu \ K < p. Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Urysohn μπορούμ να ορίσουμ f C c που ικανοποιί τις f, f στο U c και f στο K. Τότ, f χ A και f χ A στο K U c, άρα f χ A p [µu \ K] /p <. β Για δοσμένη f L p θωρούμ την f K δ, όπου {K δ } δ> οικογένια καλών πυρήνων, μ τις K δ να έχουν συμπαγή φορέα και να ίναι άπιρς φορές παραγωγίσιμς θα προστθούν οι λπτομέρις. 4. Εστω f L p, p <. Αποδίξτ ότι /p lim fx + z fx p : lim fx + z fx p dx. z z Υπόδιξη. Θωρούμ πρώτα g συνχή, η οποία μηδνίζται έξω από κάποια μπάλα Br {x : x r}. Η g ίναι ομοιόμορφα συνχής, άρα για το τυχόν > μπορούμ να βρούμ δ, τέτοιο ώστ: αν u, v και u v δ τότ fu fv. Τότ, αν z < δ έχουμ fx + z έξω από τη μπάλα Br + και fx + z fx p dx fx + z fx p dx p mbr +, Br+ δηλαδή fx + z fx p [mbr + ] /p.
Αφού το > ήταν τυχόν, συμπραίνουμ ότι lim z fx + z fx p. Εστω τώρα f L p και έστω >. Μπορούμ να βρούμ g συνχή, η οποία μηδνίζται έξω από κάποια μπάλα Br, μ την ιδιότητα fx gx p. Τότ, για κάθ z έχουμ fx + z gx + z p. Γράφουμ fx + z fx p fx + z gx + z p + gx + z gx p + gx fx p + gx + z gx p για κάθ z, και αφήνοντας το z έχουμ lim sup fx + z fx p z διότι lim z gx + z gx p. Αφού το > ήταν τυχόν, έπται ότι lim z fx + z fx p. 5. Εστω X, µ και X, µ δύο σ-ππρασμένοι χώροι μέτρου και έστω p. Αν f : X X [, ίναι μτρήσιμη συνάρτηση, αποδίξτ ότι fx, x dµ x fx, x Lp X dµ x. X X L p X Υπόδιξη. Υποθέτουμ ότι < p < και γράφουμ q για τον συζυγή κθέτη του p. Υπάρχι g L q X μ g L q X και fx, x dµ x fx, x dµ x gx dµ x X L p X X X fx, x gx dµ x dµ x X X fx, x L p X g L q X dµ x X fx, x L p X dµ x. X Χρησιμοποιήσαμ το θώρημα Tonelli και την ανισότητα Hölder για τις x fx, x και g. Οι πριπτώσις p και p ίναι απλούστρς. 6. Εστω p j μ N j /p j. Αν f j L pj X, j N, αποδίξτ ότι N N f j f j L p j X. j L X j Υπόδιξη. Μπορούμ να υποθέσουμ ότι f j L p j X για κάθ j,..., N. Χρησιμοποιώντας το γγονός ότι η x ln x ίναι κοίλη στο, + και την N j /p j βλέπουμ ότι f x f x f N x p f x p + p f x p + + p N f N x p N η ανισότητα ισχύι προφανώς αν f j x για κάποιο j. Ολοκληρώνοντας, παίρνουμ N N f j N N f j pj dµ f j p j X p L p j X. j j L X j j j 3
7. Η συνέλιξη δύο μτρήσιμων συναρτήσων f και g στον ορίζται μέσω της f gx fx ygydy. α Αν f L p, p, και g L, αποδίξτ ότι σχδόν για κάθ x η συνάρτηση y fx ygy ίναι ολοκληρώσιμη ως προς y, άρα η f g ίναι καλά ορισμένη. Επιπλέον, αποδίξτ ότι f L p και f g L p f L p g L. β Εστω p, q > μ p + q. Αν f Lp και g L q, αποδίξτ ότι f g L και f g L f L p g L q. Αποδίξτ, πιπλέον, ότι η f g ίναι ομοιόμορφα συνχής και ότι lim f gx. x Υπόδιξη. α Εξτάζουμ μόνο την πρίπτωση < p <. Εστω q ο συζυγής κθέτης του p και έστω h L q μ h q. Εχουμ f gx hx dx fx y gy dy hx dx n gy fx y hx dx dy n gy f p h q dy f p h q g f p g. Ειδικότρα, η f g ανήκι στον L p και f g p f p g. Από την απόδιξη φαίνται ότι άρα σχδόν για κάθ x έχουμ p fx y gy dy dx <, fx y gy dy <, δηλαδή η συνάρτηση y fx ygy ίναι ολοκληρώσιμη ως προς y. β Άμσο: από την ανισότητα Hölder, για κάθ x έχουμ f gx fx y gy dy f p g q, άρα f g sup{ f gx : x } f p g q. Για τον τλυταίο ισχυρισμό, θωρούμ τυχόν, και βρίσκουμ u, v C c μ f u p και g v q. Τότ, u v f g u v g + u f g u p v g q + u f p g q f p + + g q. Επιπλέον, η u v έχι συμπαγή φορέα, δηλαδή υπάρχι M > ώστ: αν x > M τότ u vx. Άρα, αν x > M έχουμ f gx f gx u vx f g u v C, 4
όπου C f p + g q +. Αυτό αποδικνύι ότι lim x f gx. 8. Εστω p, q, r που ικανοποιούν την q p + r. Αν f Lp και g L q, αποδίξτ την ανισότητα του Young: f g L q f L p g L r. Υπόδιξη. Θέτουμ a p q και b r q. Παρατηρούμ ότι q p και q r λόγω των υποθέσων ότι p, q, r και q p + r. Ορίζουμ p pq q p και p qr q r. Τότ, p, p και p + p + q. Γράφουμ f gx fx ygy dy fx y a gy b fx y a gy b dy. Χρησιμοποιώντας την Άσκηση 6 έχουμ f gx /q fx y aq gy bq dy /q fx y aq gy bq dy f a ap g b bp. /p fx y ap dy /p gy bp dy Παρατηρούμ ότι aq p και bq r. Υψώνοντας στην q και χρησιμοποιώντας το θώρημα Fubini παίρνουμ [ ] f g q q f aq ap g bq bp fx y p dx gy r dy f aq ap g bq bp f p p g r r. Ομως, ap p και bp r. Άρα, f g q q f p p+aq g r+bq r f q p g q r, δηλαδή, f g q f p g r. 9. Εστω ϕ : ολοκληρώσιμη συνάρτηση μ ϕx dx. Για κάθ δ > ορίζουμ K δ x δ n ϕx/δ. α Δίξτ ότι η οικογένια {K δ } δ> ίναι οικογένια καλών πυρήνων. β Αν πιπλέον υποθέσουμ ότι η ϕ ίναι φραγμένη και μηδνίζται έξω από ένα φραγμένο σύνολο, δίξτ ότι η οικογένια {K δ } δ> ίναι οικογένια προσγγίσων της μονάδας. Υπόδιξη. α Για κάθ δ > έχουμ K δ xdx δ n ϕx/δdx δ n δ n ϕydy ϕydy, κάνοντας την αλλαγή μταβλητής y δx. Τλίως ανάλογα, K δ x dx ϕy dy ϕ για κάθ δ >, δηλαδή ικανοποιίται η δύτρη ιδιότητα του καλού πυρήνα. Τέλος, για κάθ η > και δ >, K δ x dx ϕy dy. x η y η/δ 5
Αφού, η/δ όταν το δ, από το θώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμ ϕy dy ϕ, y η/δ άρα y η/δ ϕy dy ϕ ϕy dy. y η/δ β Εχουμ δί ότι K δ xdx για κάθ δ >. Παρατηρούμ ότι K δ x ϕx/δ δ n ϕ δ n για κάθ x και δ, χρησιμοποιώντας την υπόθση ότι η ϕ ίναι φραγμένη. Εχουμ πίσης υποθέσι ότι υπάρχι M > ώστ ϕx αν x > M. Αν λοιπόν x/δ > M έχουμ K δ x, νώ αν x Mδ γράφουμ K δ x ϕ δ n ϕ M n+ δ x n+. Από τα παραπάνω, η οικογένια {K δ } δ> ίναι οικογένια προσγγίσων της μονάδας.. Για κάθ t > ορίζουμ H t : μ H t x e x /4t. 4πt n/ Δίξτ ότι η οικογένια H δ δ> ίναι οικογένια προσγγίσων της μονάδας. Υπόδιξη. Μ την αλλαγή μταβλητής y x/ 4πδ έχουμ για κάθ δ >. Επίσης, e x /4δ dx 4πδ n/ e π y dy 4πδ n/ 4πδ n n/ H δ x /4δ 4πδ e x n/ 4πδ c n n/ δ n όπου c n 4π n/. Χρησιμοποιώντας την e y n +!/y n+ βλέπουμ ότι αν x δ τότ νώ αν x δ γράφουμ H δ x /4δ n +!4δ n+ 4πδ e x n/ 4πδ n/ x n+ n +!4 n + δ n+ π n/ x n+ n +!4 n + π n/ H δ x c n δ n c nδ x n+. Μ βάση τον ορισμό, η H δ δ> ίναι οικογένια προσγγίσων της μονάδας. δ x n+,. Εστω f : μη μηδνική ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Δίξτ ότι υπάρχι c > ώστ f x c x n για κάθ x, 6
και συμπράνατ ότι η f δν ίναι ολοκληρώσιμη. Υπόδιξη. Αφού f έχουμ f > και, χρησιμοποιώντας το θώρημα μονότονης σύγκλισης, μπορούμ να βρούμ M > τέτοιο ώστ fx dx >, B όπου Bs {y : y s}, s >. Τότ, για κάθ x μ x έχουμ B Bx, + x {y : y x + x }, άρα f x fy dy mbx, + x Bx,+ x + x n fy dy mb Bx,+ x + x n mb B fy dy c x n, όπου c n + n mb fy dy >. B Τώρα, ολοκληρώνοντας σ πολικές συντταγμένς, βλέπουμ ότι f dx x dx c x n c Sn x Άρα, η f δν ίναι ολοκληρώσιμη.. Θωρούμ την συνάρτηση f : μ fx x x log / x αν x / dr r. και fx αλλιώς. Δίξτ ότι η f ίναι ολοκληρώσιμη. Δίξτ πίσης ότι υπάρχι c > ώστ f x c x log / x και συμπράνατ ότι η f δν ίναι τοπικά ολοκληρώσιμη. Υπόδιξη. Για κάθ x / έχουμ Ειδικότρα, x x ft dt x ft dt για κάθ x /, t log t dt log x log. x / / ft dt log, δηλαδή η f ίναι ολοκληρώσιμη. Επίσης, για κάθ x / έχουμ f x x ft dt x x x log, x απ όπου βλέπουμ ότι, για κάθ < < /, f x dx x log x x log x log log x log log + lim log log x + x + +. 7
Άρα, η f δν ίναι τοπικά ολοκληρώσιμη. 3. Εστω {K δ } δ> μια προσέγγιση της μονάδας. Δίξτ ότι υπάρχι σταθρά c > ώστ για κάθ ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. y δ sup f K δ x cf x δ> Υπόδιξη. Για κάθ δ > γράφουμ f K δ x fx y K δ y dy n fx y K δ y dy + M δ n y δ fx y dy + k Mδ k k δ< y k+ δ k δ< y k+ δ fx y K δ y dy fx y dy. y n+ Παρατηρούμ ότι M Mc n δ n fx y dy fz dz Mc n f x, y δ mbx, δ Bx,δ όπου c n mb n. Επίσης, Mδ fx y k δ< y k+ δ y n+ dy Mδ k δ n+ Mδ k δ n+ για κάθ k. Επται ότι f K δ x y k+ δ Bx, k+ δ fx y dy fz dz Mc nδ k+ δ n k δ n+ mbx, k+ δ Mc n + Mc n n Mc n n k k f x Bx, k+ δ k f x Mc n n+ + f x fz dz για κάθ δ >. Άρα, όπου c Mc n n+ +. sup f K δ x cf x, δ> 4. Εστω E μτρήσιμο υποσύνολο του [, ] μ την ξής ιδιότητα: υπάρχι α > ώστ, για κάθ διάστημα I [, ] ισχύι me I αmi. Δίξτ ότι me. me I Υπόδιξη. Γνωρίζουμ ότι lim I x mi χ E x σχδόν παντού στο. Ομως, από την υπόθση έχουμ ότι αν x, τότ για αρκτά μικρά I μ x I έχουμ I [, ], άρα me I mi α. 8
Συνπώς, για κάθ x στο, έχουμ lim inf I x me I mi Άρα, σχδόν για κάθ x στο, έχουμ χ E x α >, δηλαδή χ E x, ή ισοδύναμα, x E. Επται ότι me. 5. Σωστό ή λάθος; Αν A ίναι μτρήσιμο υποσύνολο του μ ma > τότ υπάρχι ακολουθία t n πραγματικών αριθμών ώστ m \ A + t n. n α. Υπόδιξη. Θα δίξουμ ότι: για κάθ n υπάρχι ππρασμένο J n ώστ m [, ] \ A + t < n. t J n Αν θέσουμ J n J n τότ προκύπτι άμσα ότι m [, ] \ t JA + t. Τέλος, αν ορίσουμ I r Z J + r και γράψουμ το I στη μορφή {t s : s N} παρατηρήστ ότι το I ίναι αριθμήσιμο μπορούμ ύκολα να λέγξουμ ότι m \ A + t s m [r, r + ] \ A + t. r Z s Για την απόδιξη της θωρούμ ένα σημίο πυκνότητας x του A και παρατηρούμ ότι αν πιλέξουμ k N αρκτά μγάλο και I [ y k, y + ] k για κατάλληλο y, έχουμ m A I n k, άρα Τώρα, [, ] k [ j j k k, j k + ] k. Άρα, k [, ] \ j mi \ A n k. A + j k k y Θέτοντας J n { j k y : j,..., k } παίρνουμ m [, ] \ k A + t t J n j j t J+r I \ A + j. k m I \ A + j k mi \ A < k k k n < n. 6. α Θωρήστ την αναλυτική συνάρτηση fz e πz. Χρησιμοποιώντας το θώρημα του Cauchy για το ορθογώνιο μ κορυφές,, + ix, + ix δίξτ ότι e πt e πitx dt e πx e πt dt e πx 9
για κάθ x >. β Εστω Gx e πx, x. Δίξτ ότι Ĝξ Gξ για κάθ ξ. Υπόδιξη. α Η fz e πz ίναι ακέραια, άρα, για κάθ > και για κάθ x >, fzdz + fzdz + fzdz + fzdz. Εχουμ και [ +ix,+ix] [ +ix,+ix] [, ] fzdz [+ix,] fzdz καθώς το. Παρατηρούμ ότι fzdz καθώς το. Ομοια, Από τα παραπάνω έπται ότι δηλαδή Θέτοντας s t παίρνουμ [, +ix] [, ] [, +ix] e πt+ix dt e πx e πt e πitx dt e πt dt e πt dt e πt dt x x e π +it dt e π e πt dt lim fzdz. [+ix,] lim eπx e πt e πitx dt, e πt e πitx dt e πx. e πs e πisx ds e πx. Θέτοντας y x βλέπουμ ότι οι δύο τλυταίς ισότητς ισχύουν και για x <. β Για ξ γράφουμ Ĝξ χρησιμοποιώντας το α αν ξ έχουμ Ĝ Gte πitξ dt Gtdt e πt e πitξ dt Gξ e πt dt G. 7. α Εστω f : C και k. Υποθέτουμ ότι η f ίναι k-φορές συνχώς παραγωγίσιμη, και για κάθ j k ισχύι f j L C. Δίξτ ότι f k ξ πiξ k fξ, ξ και fξ ck, f ξ k, ξ
όπου η σταθρά ck, f ξαρτάται από το k και την f αλλά όχι από το ξ. β Εστω f : C. Υποθέτουμ ότι η f ίναι συνχής και ότι f, f, f L C. Δίξτ ότι f L. Υπόδιξη. α Υποθέτουμ αρχικά ότι k. Θωρούμ τυχόν > και, αφού f C, βρίσκουμ M > τέτοιο ώστ fx < για κάθ x / [ M, M]. Εστω ξ. Για κάθ s > M έχουμ Άρα, Επται ότι s s f xe πixξ dx fxe πixξ s s s f xe πixξ dx πiξ s s lim sup s και αφού το > ήταν τυχόν, lim Άρα, f ξ s s s s s s + πiξ s f xe πixξ dx πiξ s s f xe πixξ dx πiξ s s s fxe πixξ dx. fxe πixξ dx fs + f s <. fxe πixξ dx, fxe πixξ dx. f xe πixξ dx πiξ fxe πixξ dx πiξ fξ. Αν υποθέσουμ ότι k >, μπορούμ να φαρμόσουμ k φορές το ίδιο πιχίρημα για τις f j και f j+, j,,..., k. Επται ότι Τώρα, για κάθ ξ έχουμ f k ξ πiξ f k ξ πiξ k fξ. fξ f k ξ πiξ k f k ck, f π k ξ k ξ k, όπου ck, f f k π k. β Από το α μ k έχουμ fξ C/ ξ fξ f για ξ. Άρα, για ξ όπου C f /4π και, όπως πάντα, fξ dξ f + C dξ ξ f + C <. Δηλαδή, f L. 8. Εστω f L και έστω gx xfx. Αν g L, δίξτ ότι η f ίναι παραγωγίσιμη και f ξ πiĝξ. Υπόδιξη. Για κάθ ξ γράφουμ fξ + t fξ t fxe πixξ e πixt t dx.
Παρατηρούμ ότι για κάθ x, άρα Αφού η g ίναι ολοκληρώσιμη και e πixt t το θώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης μας δίνι ότι δηλαδή sinπxt t π x fxe πixξ e πixt t π xfx gx. lim t fxe πixξ e πixt πixfxe πixξ, t lim t fξ + t fξ f ξ πi t πi xfxe πixξ dx, gxe πixξ dx πiĝξ. 9. Εστω f L και έστω t. Αν gx fx + t fx δίξτ ότι ο μτασχηματισμός Fourier ĝ της g έχι άπιρς ρίζς. Υπόδιξη. Αν t τότ g, άρα ĝ και το ζητούμνο ισχύι προφανώς. Για t έχουμ ĝξ e πitξ fξ fξ fξ e πitξ. Τότ, ĝξ για κάθ ξ { k t : k Z}, δηλαδή ο μτασχηματισμός Fourier ĝ της g έχι άπιρς ρίζς.. Εστω f, g L. Αποδίξτ ότι fxgx dx fξĝ ξ dξ. Υπόδιξη. Χρησιμοποιώντας το γγονός ότι ο F : L L ίναι ορθομοναδιαίος, έχουμ f, g f, ĝ για κάθ f, g L. Παρατηρούμ ότι ĝξ gxe πi x,ξ dx gxe πi x, ξ dx, άρα ĝξ gxe πi x, ξ dx ĝ ξ. Συνπώς, fxgx dx fxgx dx fξĝξ dξ fξĝ ξ dξ.. α Υπολογίστ τον μτασχηματισμό Fourier της συνάρτησης fx x χ [,] x, x.
β Υπολογίστ το 4 sin x dx. x Υπόδιξη. α Μ απυθίας υπολογισμό βλέπουμ ότι sin πξ fξ πξ για κάθ ξ για ξ έχουμ f. β Από την ταυτότητα του Plancherel έχουμ 4 sin πξ dξ πξ f f. Απλός υπολογισμός δίχνι ότι f x dx 3. Κάνοντας την αλλαγή μταβλητής x πξ και χρησιμοποιώντας το γγονός ότι η x sin x x 4 sin x sin πξ dx άρα π x sin x x πξ 4 dx π 3. 4 dξ 3, ίναι άρτια, παίρνουμ. α Εστω f L. Δίξτ ότι fx dx f x dx. x β Χρησιμοποιώντας το α για την συνάρτηση fx e tx, δίξτ ότι, για κάθ t >, e t π e y t /y y γ Θέτοντας t π x και ολοκληρώνοντας ως προς e πi ξ,x dx, υπολογίστ τον μτασχηματισμό Fourier της fx e π x, x : e π x ξ Γ n+. π n+ + ξ n+ Υπόδιξη. Εκκρμί. 3. α Δίξτ ότι: αν < < t < τότ t sinξ ξ dξ 4. β Εστω f L πριττή συνάρτηση. Δίξτ ότι: αν < < t < τότ t fξ dξ ξ 4 f. dy. 3
γ Εστω g : μια πριττή συνχής συνάρτηση μ την ιδιότητα gξ log ξ g C αλλά δν υπάρχι f L ώστ f g. Υπόδιξη. α Παρατηρούμ ότι, για κάθ < < t < ισχύι t sin ξ t ξ dξ Ειδικότρα, αν t > π έχουμ t sin ξ ξ dξ cos t t Θα δίξουμ ότι αν < < t π τότ ξ cos ξ dξ cos t cos t + t t + π cos ξ ξ dξ cos t t + t π t sinξ ξ dξ π. για κάθ ξ. Δίξτ ότι cos ξ ξ dξ. ξ dξ t + π π. Από τις και έπται το ζητούμνο: αν < < t π ίναι άμσο από την, αν π < t ίναι άμσο από την, και αν < < π < t τότ συνδυάζοντας τις και γράφουμ t sinξ ξ π dξ sinξ ξ t dξ + Μένι λοιπόν να δίξουμ την. Διακρίνουμ τρίς πριπτώσις: i Αν < < t π τότ, λόγω της sin ξ ξ, έχουμ t sinξ t dξ ξ sinξ dξ ξ ii Αν π < t π γράφουμ t sinξ t π dξ ξ π siny + π y + π π t t π dy π sinξ ξ dξ π + π 4. ξ dξ t π. ξ χρησιμοποιώντας την προηγούμνη πρίπτωση και την siny + π sin y. sin y t π y + π dy sin y dy π, π y iii Αν < < π < t π παρατηρούμ από τις δύο προηγούμνς πριπτώσις ότι και οπότ A : π B t : t sinξ ξ π t π sin ξ ξ sin ξ ξ dξ π dξ, dξ A + B t π. β Εστω f L πριττή συνάρτηση. Τότ, fξ fxe πixξ dx fx sinπxξdx. 4
Άρα, αν < < t < έχουμ t fξ ξ dξ t fx sinπxξ dxdξ ξ t sinπxξ fx dξ dx ξ t fx sinπxξ dξ ξ dx πtx fx sinu u du dx πx 4 fx dx 4 f. γ Εκκρμί. 4. Δίξτ ότι: για κάθ ɛ > η συνάρτηση F ξ + ξ ίναι ο μτασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης ɛ f L. Υπόδιξη. Θωρούμ τη συνάρτηση fx K δ xe πδ δ ɛ dδ, όπου K δ x δ n/ e π x /δ. Χρησιμοποιώντας το θώρημα Fubini γράφουμ fxdx δ n/ e π x /δ e πδ δ ɛ dδ dx δ n/ e πδ δ ɛ /δ dx dδ e π x δ n/ e πδ δ ɛ δ n/ dδ e πδ δ ɛ dδ. Το τλυταίο ολοκλήρωμα ίναι ππρασμένο, διότι e πδ δ k /k! για κάθ δ >, άρα αν πιλέξουμ k /. Αυτό δίχνι ότι άρα e πδ δ ɛ k!δ k+ C/δ e πδ δ ɛ dδ fxdx C dδ C <, δ e πδ δ ɛ dδ <. Τώρα, υπολογίζουμ τον μτασχηματισμό Fourier της f: έχουμ fξ fxe πi x,ξ dx 5
Θέτοντας t πδ + ξ παίρνουμ Άρα, αν θέσουμ gx π Γ fx. fξ δ n/ e πδ δ ɛ e πδ δ ɛ e π y e πδ δ ɛ e πδ ξ e πδ ξ e πδ δ ɛ dδ. + ξ π ĝξ 5. α Εξτάστ αν υπάρχι f L μ την ιδιότητα β Εξτάστ αν υπάρχι g L μ την ιδιότητα e π x /δ e πi x/ δ, δξ dx e πi y, δξ dy dδ dy dδ e π y+ δξ t e t dt + ξ f f f. f g f για κάθ f L. Γ π + ξ. Υπόδιξη. α f L μ f f f. Τότ, f f f f. Αφού η f ίναι συνχής συνάρτηση, έπται ότι f ή f. Το δύτρο νδχόμνο αποκλίται διότι lim ξ fξ. Άρα, f και γνωρίζουμ ότι αυτό συνπάγται την f. β Αν η g L ικανοποιί την f g f για κάθ f L τότ g g g και από το α συμπραίνουμ ότι g. Ομως τότ, θα ίχαμ f f για κάθ f L, το οποίο ίναι άτοπο. 6. α Εστω f L και έστω T : αντιστρέψιμος γραμμικός μτασχηματισμός. Δίξτ ότι: f T ξ det T f T t ξ. β Μια συνάρτηση g : C λέγται ακτινικά συμμτρική αν υπάρχι G : [, C μ την ιδιότητα gx G x. Ισοδύναμα, αν gux gx για κάθ ορθογώνιο γραμμικό μτασηματισμό U του. Δίξτ ότι αν η f L ίναι ακτινικά συμμτρική τότ ο μτασχηματισμός Fourier f της f ίναι πίσης ακτινικά συμμτρική συνάρτηση. Υπόδιξη. α Γράφουμ det T f T t ξ det T fxe πi x,t t ξ dx det T fxe πi T x,ξ dx det T det T ft ye πi y,ξ dy n det T det T f T ye πi y,ξ dy f T ξ. dδ 6
β Εστω f ακτινικά συμμτρική συνάρτηση και έστω U On. Αφού U t U, det U και f U f, από το α παίρνουμ fξ f Uξ det U f U t ξ f Uξ για κάθ ξ. Δηλαδή, η f ίναι ακτινικά συμμτρική. 7. Εστω A L. Συμβολίζουμ μ A την κλιστή του θήκη: g A αν για κάθ > υπάρχι f A ώστ f g <. Για κάθ f L συμβολίζουμ μ T f το σύνολο όλων των συναρτήσων της μορφής gx a k fx + b k. k Δηλαδή, το T f αποτλίται από όλους τους ππρασμένους γραμμικούς συνδυασμούς μταφορών της f. α Δίξτ ότι: αν f L και fξ για κάποιο ξ, τότ ĝξ για κάθ g Tf. β Δίξτ ότι: αν f L και T f L τότ fξ για κάθ ξ. Υπόδιξη. α Εστω f L n και έστω ότι fu για κάποιο u. Για κάθ g k a kf + b k T f έχουμ n ĝξ f + bk ξ a k e πib kξ fξ. k a k Άρα ĝu για κάθ g T f. Τώρα, αν g T f μπορούμ να βρούμ g n T f ώστ g g n. Επται ότι ĝu ĝu ĝ n u ĝ g n u g g n. Άρα, ĝu για κάθ g T f. β Εστω f L μ T f L και έστω ότι fu για κάποιο u. Από το α συμπραίνουμ ότι ĝu για κάθ g T f L. Ομως, υπάρχι g L μ την ιδιότητα ĝ ξ για κάθ ξ για παράδιγμα, η g f της Άσκησης 4. Αυτό ίναι άτοπο. 8. Δίξτ ότι υπάρχι g L ώστ: ĝξ > αν ξ > και ĝξ αν ξ. Υπόδιξη. Θωρούμ την G : μ Gx xe πx αν x > και Gx αν x. Εχουμ G L και Ĝξ Παρατηρούμ ότι η g Ĝ L : έχουμ Από τον τύπο αντιστροφής, Gte πiξt dx te πt+iξ dt 4π + iξ. 9. α Για κάθ n N ορίζουμ g n x π Ĝξ dξ 4π ĝξ k e πiξt te πt dt 4π + iξ + ξ dξ 4π. Gte πiξt dt cosnx nx, x. Δίξτ ότι lim g n f f n se s ds 7
για κάθ f L. β Δίξτ ότι για κάθ f L ο μτασχηματισμός Fourier της g n f έχι συμπαγή φορέα, άρα οι h L που έχουν μτασχηματισμό Fourier μ συμπαγή φορέα σχηματίζουν πυκνό υποσύνολο του L. Υπόδιξη. α Αρκί να δίξουμ ότι η g n /n ίναι οικογένια καλών πυρήνων. Στην Άσκηση α ίδαμ ότι για την ux x χ [,] x ισχύι Από τον τύπο αντιστροφής, Κάνοντας την αλλαγή μταβλητής ξ nx π g n xdx sin πξ ûξ. πξ sin πξ dξ ûξ dξ u. πξ βλέπουμ ότι n π sin nx nx dx sin πξ dξ. Αφού g n, μένι να λέγξουμ την τρίτη ιδιότητα. Θωρούμ η > και γράφουμ g n x dx cos nx x η π η nx dx πn η x dx 4 ηπn καθώς το n. Επται ότι η g n /n ίναι οικογένια καλών πυρήνων, και έχουμ δί ότι τότ g n f f για κάθ f L. β Παρατηρούμ ότι η ĝ n έχι συμπαγή φορέα: έχουμ g n x n nx π û, π άρα δηλαδή ĝ n ξ αν ξ / [ n π, n π ]. ĝ n ξ u πξ π ξ πξ χ [,], n n n Εστω f L. Για την f n f g n έχουμ f n f από το α, και f n f g n f ĝ n, άρα η f n έχι συμπαγή φορέα μηδνίζται έξω από το [ n π, n π ]. 3. Εστω a k φθίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών μ a k. Δίξτ ότι η τριγωνομτρική σιρά a + a k cos kt k πξ συγκλίνι στο, π και ότι, για κάθ δ, π η σύγκλιση ίναι ομοιόμορφη στο δ, π. Υπόδιξη. Για κάθ t, π θέτουμ s t και s n t n k παρατηρούμ ότι s n t. Για κάθ n > m στο N έχουμ sin t cos kt cos n+t sin nt sin t αν n, και a k cos kt km n km s k ta k a k+ + s n ta n s m ta m. 8
Παίρνοντας υπ όψιν το γγονός ότι η a k ίναι φθίνουσα και έχι μη αρνητικούς όρους, γράφουμ n a k cos kt s k t a k a k+ + s n t a n + s m t a m km km sin t a m a n + a n + a m a m sin t. Αφού a n, για κάθ > μπορούμ να βρούμ n, t τέτοιο ώστ αν n > m n t να έχουμ a k cos kt <. km Αφού η ακολουθία των μρικών αθροισμάτων της a k a k cos kt ίναι βασική, έπται το ζητούμνο. Τέλος, αν t δ, π τότ ο προηγούμνος υπολογισμός δίχνι ότι a k cos kt a m sin t a m sin δ, km + άρα για κάθ > μπορούμ να πιλέξουμ n ώστ αν n > m n t να έχουμ n km a k cos kt < για όλα τα t δ, π. Επται ότι η σύγκλιση ίναι ομοιόμορφη στο δ, π. 3. Εστω f L T και g L T. Δίξτ ότι lim fxgnx dx c fc g. n π T Υπόδιξη. Αρκί να δίξουμ το ζητούμνο στην πρίπτωση που η f ίναι τριγωνομτρικό πολυώνυμο. Τότ, ολοκληρώνουμ την απόδιξη ως ξής: αν f L T και varepsilon >, βρίσκουμ τριγωνομτρικό πολυώνυομο p τέτοιο ώστ f p και γράφουμ fxgnxdx c fc g π fx p x gx dx T π T + p xgnxdx c p c g π T + c p c f c g f p g + p xgnxdx c p c g π T + p f c g g + c g + p xgnxdx c p c g π, και αφήνοντας το n παίρνουμ lim sup n π Αφού το > ήταν τυχόν, έπται ότι lim n π T fxgnxdx c fc g g + c g. T fxgnxdx c fc g. T 9
Υποθέτουμ λοιπόν ότι η f ίναι τριγωνομτρικό πολυώνυμο, και λόγω γραμμικότητας του ζητούμνου ως προς f μπορούμ να υποθέσουμ ότι fx e ikx για κάποιον k Z. Αν k ίναι φανρό ότι gnxdx nπ gydy π T n π nπ n n gydy gydy c g π T π T για κάθ n N, λόγω της πριοδικότητας της g. Μένι να δίξουμ ότι, για κάθ k, lim e ikx gnxdx. n π T Παρόμοιο πιχίρημα μ το αρχικό δίχνι ότι μπορούμ να υποθέσουμ ότι η g ίναι τριγωνομτρικό πολυώνυμο. Σ αυτήν την πρίπτωση λέγχουμ την μ απλές πράξις. 33. Εστω f L T. Δίξτ ότι ο τλστής T : L T L T που ορίζται μέσω της T g f g έχι νόρμα T f. Υπόδιξη. Για κάθ g L T έχουμ T g f g f g, άρα ο T ίναι φραγμένος τλστής και T f. Παρατηρούμ ότι για κάθ n N ισχύι K n, άρα T T K n K n g σ n g. Αφού σ n g g, έχουμ σ n g g. Συνπώς, T lim n σ ng g. 34. Εστω p ένα τριγωνομτρικό πολυώνυμο βαθμού n. Δίξτ ότι και χρησιμοποιώντας αυτήν την ισότητα δίξτ ότι p np K n t sin nt p n p. Υπόδιξη. Θέτουμ G n t K n t sin nt. Τα δύο μέλη της ισότητας p x np G n x ίναι γραμμικά ως προς p, αρκί λοιπόν να την παληθύσουμ για όλς τις συναρτήσις p k x e ikx, k n. Εχουμ p kx ike ikx και p k G n x π π n π s n+ n e ikx π p k x yg n y dy π π s π e ikx y e isy sinny dy n π π s n+ n i eikx s n+ e ikx y K n y sinny dy s π e is ky einy e iny dy n π π i s π [e is k+ny e is k ny ] dy. n π π
Εχουμ κτός αν s k n και π e is k+ny dy π π π e is k ny dy π π κτός αν s n + k. Το πρώτο μπορί να συμβί μόνο αν k > και το δύτρο μόνο αν k <. Συνπώς, αν < k < n έχουμ p k G n x i eikx n k k n ni eikx ik n eikx. Αν n < k <, έχουμ T k G n x i eikx n + k n Σ κάθ πρίπτωση, αν k παίρνουμ k ni eikx ik n eikx. p kx np k G n x. Αν πάλι k, τα δύο μέλη της ίναι ίσα μ μηδέν. Ετσι, έχουμ αποδίξι την p x np G n x για κάθ τριγωνομτρικό πολυώνυμο βαθμού μικρότρου ή ίσου από n. Τότ, για κάθ x T έχουμ p x n p G n x n px y K n y sin ny dy π π π n p K n y dy n p. π π π 35. Εστω < α και έστω f L T. Υποθέτουμ ότι για κάποιο t T η f ικανοποιί την συνθήκη Lipschitz ft + x ft A x α, x π. Δίξτ ότι: αν α < τότ νώ αν α τότ Υπόδιξη. Γράφουμ σ n f, t ft σ n f, t ft π + α A n α, σ n f, t ft πa ln n n. fx t ftk n x dx π fx t ft K n x dx T π T A x α K n x dx A π x α K n x dx, π π T χρησιμοποιώντας το γγονός ότι η K n ίναι άρτια συνάρτηση. Τώρα, λόγω της { n + π } K n x max, n + x,
γράφουμ π x α K n x dx n + π/n+ x α dx + π π x α dx n + π/n+ και υπολογίζουμ ακριβώς το άθροισμα στο δξιό μέλος θα προστθούν οι πράξις. 36. Εστω f L T μ την ιδιότητα kc k f A για κάθ k Z. Δίξτ ότι, για κάθ n και για κάθ x T ισχύι s n f, x f + A. Υπόδιξη. Εχουμ Άρα, σ n f, x k n Αφού kc k A για κάθ k, έπται ότι k c k e ikx και s n f, x n + s n f, x σ n f, x + s n f, x σ n f, x + k n σ n f + A. k n k n + c kfe ikx. k n c k e ikx. kc k n + A n + eikx σ n f + n + Αφού σ n f f K n f K n f, παίρνουμ το ζητούμνο. 37. Εστω {a n } n ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αριθμών μ τις ξής ιδιότητς: α a n a n για κάθ n, β lim n a n, και γ για κάθ n >, a n a n + a n+. Δίξτ ότι υπάρχι μη αρνητική f L T μ c k f a k για κάθ k Z. Υπόδιξη. Από την υπόθση έχουμ ότι η b n a n a n ίναι φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αριθμών και b n a n a n a <. Άρα, Θωρούμ την συνάρτηση n n lim na n a n+ lim nb n+. n n fx na n + a n+ a n K n x. n Αφού K n και T K n xdx π για κάθ n, από το θώρημα Beppo-Levi έχουμ Ομως, π T fxdx π na n + a n+ a n π nb n b n+. n N nb n b n+ n n n N b n Nb N+ b n. n
Άρα, η f ίναι ολοκληρώσιμη. Τέλος, υπολογίζουμ το c k f lim N c kf N lim n k n k + N N n k nb n b n+ k b n a k. na n + a n+ a n k n b n b n+ k b k + n k n k + b n k b k 38. α Εστω f L T. Υποθέτουμ ότι: για κάθ k ισχύι c k f c k f. Δίξτ ότι k c k f k < +. β Δίξτ ότι: αν a k > και a k k k +, τότ η τριγωνομτρική σιρά k a k sin kx δν ίναι σιρά Fourier κάποιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Υπόδιξη. α Θωρούμ την απολύτως συνχή συνάρτηση F t i t fsds. Η F ίναι π-πριοδική, διότι c f από την υπόθση, άρα F π F. Εχουμ για κάθ k. Παρατηρούμ ότι c k F F xe ikx dx π T π T σ n F, c F + k n fx e ikx k dx c kf k k ck f F. n + k Άρα, υπάρχι το lim n k n k ck f lim n + k n k c k f k n + c k f, k όπου χρησιμοποιήσαμ τις c k f c k f και c f. Ομως, c k f άρα Επται ότι n + c k f n n + n k k c k f k c k f. k < +. β Εστω f L T μ σιρά Fourier την k a k sin kx. Τότ, c k if a k. Οι συντλστές Fourier της g if ικανοποιούν τις υποθέσις του α, άρα k a k k < +. 3
39. Εστω p και έστω f L p T μ την ιδιότητα Δίξτ ότι η f ίναι σταθρή. lim n σ nf f p. n Υπόδιξη. Για κάθ k και n k έχουμ c k σ n f f k c k f c k f k n + n + c kf. Άρα, c k f n + k Από την n σ n f f p έπται ότι c k σ n f f n + k c k f n + n k σ n f f n + σ n f f p. k n σ n f f p k, δηλαδή c k f. Επται ότι f c f όλοι οι συντλστές Fourier της f c f ίναι ίσοι μ μηδέν, και f c f L p T. 4. Εστω f n ακολουθία στον L T μ την ιδιότητα: για κάθ g L T, Δίξτ ότι lim n c k f n για κάθ k Z. Υπόδιξη. Εστω k Z. Για κάθ g L T έχουμ Άρα, lim g g f n. n c k g g f n c k g c k g f n c k g c k gc k f n c k g c k f n. c k g c k f n c k g g f n g g f n. Θωρώντας την gx e ikx για την οποία c k g παίρνουμ c k f n, δηλαδή lim n c k f n. 4. Εστω f L T. Δίξτ ότι: για κάθ μτρήσιμο A T, η σιρά c k f e ikt dt ίναι Cesàro αθροίσιμη στο ft dt. A Υπόδιξη. Παρατηρούμ ότι Συνπώς, S n k n σ n n+ S m n + n + m k A n c k f e ikt dt c k fe ikt dt s n f, t dt. A A k n A n+ m A s m f, t dt A n + n+ m s m f, t dt A σ n f, tdt. 4
Αφού σ n f f, παίρνουμ σ n f, tdt ftdt A A A σ n f, t ft dt σ n f f. Άρα, σ n A ft dt, δηλαδή η σιρά k c kf A eikt dt ίναι Cesàro αθροίσιμη στο ft dt. A 4. Εστω f L T. Υποθέτουμ ότι όπου Δίξτ ότι f L T. [w f, π/n] <, n w f, x fx + t ft dt. π T Υπόδιξη. Από το θώρημα iesz-fisher αρκί να δίξουμ ότι η σιρά k c kf συγκλίνι. k Z. Παρατηρούμ ότι c k f + π/k ft + π/ke ikt dt fse iks ds c k f. π T π T Άρα, c k f c k f + π/k c k f ft + π/k ft dt w f, π/k. π T Εστω Χρησιμοποιώντας και την w f, x w f, x η οποία προκύπτι από την αλλαγή μταβλητής s x + t στο fx + t ft dt έχουμ T c k f w f, π/ k για κάθ k. Επίσης, c f f. Συνπώς, c k f c f [w f, π/k] + 4 k k f + [w f, π/k] < k από την υπόθση. 43. Εστω f L T συνάρτηση μ σιρά Fourier της μορφής k b k sin kx. Δίξτ ότι k b k k π xfx dx. π [,π] Υπόδιξη. Για την g : [, π] μ gx π x έχουμ c g και c k g i k για κάθ k. Άρα, s n f, s n g k n c k fc k g k i k c kf c k f k i k ib k b k k. k Αφού f, g s n f, s n g f s n f g + s n f g s n g f s n f g + f g s n g, 5
έπται ότι fxπ x dx f, g lim π s nf, s n g lim [,π] n n b k k b k k. k k 44. Εστω f L T. Ορίζουμ / s n f, x σ n f, x F x. n Δίξτ ότι F L T και F f. Ειδικότρα, F x < σχδόν παντού στο T. Υπόδιξη. Για κάθ N N ορίζουμ Παρατηρούμ ότι Άρα, Γράφουμ Συνπώς, N n k g N x dx π T nn + g N x n N s n f, x σ n f, x. n n s n f, x σ n f, x N n k n N n k k n k nn + c kf nn + n + k n + c kfe ikx. N k N N n k k c k f n n + N n k k N + k + + N + k k + k. g N x dx π T N k N k c k f k N k N c k f f. Από το θώρημα μονότονης σύγκλισης παίρνουμ F s n f, x σ n f, x dx π T n n lim g N x dx f n π. T nn +. N+ n k + nn + 45. Εστω x n, y m C, n, m. Δίξτ ότι Υπόδιξη. x n y / m n + m + π / x n y m. n,m n m 6