Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Pivo prúdi potrubím s kruhovým prierezom o priemere 0 cm. Jeho hmotnostný prietok je 300 kg min -, Aká bude priemerná rýchlosť prúdenia piva v potrubí s kruhovým prierezom, ktorého priemer je 6.5 cm, ak sa prietok piva nezmení. Hustota piva je 030 kg m -3. Riešenie: Na obrázku je znázornená situácia v širšom (miesto ) a zúženom (miesto ) priereze potrubia. S w m S w V V Pri riešení aplikujeme zákon zachovania hmotnosti, t.j. skutočnosť, že pri ustálenom prúdení nestlačiteľnej kvapaliny v potrubí je jej objemový prietok v ľubovoľnom priereze potrubia konštantný (rovnica kontinuity) m& = m& = m& = = Sw = Sw [ = konštanta] Objemový prietok a rýchlosť prúdenia piva v potrubí s priemerom 0 cm vypočítame zo známych vzťahov 3 3 3 = m& = 300 030 = 0.9m min = 4.854 0 m s w = S = 4 πd = 4 4.854 0 π 0. = 0.68ms Keďže rovnaký objemový prietok piva je aj v zúženom priereze potrubia, pre známe rozmery dokážeme vypočítať rýchlosť prúdenia piva v tomto mieste w = S = 4 πd = 4 4.854 0 π 0.065 =.463m s
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného oleja, ktorý tečie cez rúrky kruhového prierezu s priemerom 5 mm. Prietok oleja je 4000 kg h -. Pri teplote 40 C je hustota oleja 906 kg m -3 a kinematická viskozita ν = 30.5 0-6 m s -. Riešenie: Charakter prúdenia posudzujeme na základe hodnoty bezrozmerového Reynoldsovho kritéria. Vieme, že ak je jeho hodnota Re 300, prúdenie tekutiny je laminárne. Naopak, ak je jeho hodnota väčšia ako 0000, hovoríme o turbulentnom prúdení. Medzi týmito dvoma hodnotami je charakter prúdenia prechodný, t.j. na určitý čas sa môže vyvinúť v potrubí laminárne alebo turbulentné prúdenie. Na výpočet Reynoldsovho kritéria bola odvodená rovnica Re = dw e μ v ktorej symbol d e predstavuje ekvivalentný prierez potrubia, w je rýchlosť prúdiacej tekutiny, jej hustota a μ jej dynamická viskozita. V prípade potrubia s kruhovým prierezom je ekvivalentný priemer rovný priemeru potrubia. Rýchlosť prúdiacej tekutiny a jej dynamickú viskozitu vypočítame zo známych vzťahov w= m& S = 4m& πd μ = ν kde ν predstavuje kinematickú viskozitu prúdiacej tekutiny. Po dosadení do jednotlivých rovníc (nesmieme zabudnúť dosadiť hodnoty veličín v konzistentných jednotkách) dostaneme 6 - - μ = ν = 30.5 0 906 = 0.0763kg m s = 0.0763Pa s w= m& S = 4m& πd = 4 4000 (3600 π 906 0.05 ) =.498ms Re = dw μ = 0.05.498 906 0.0763 = 048 < 300 e Z uvedeného vyplýva, že prúdenie kukuričného oleja v rúrke s priemerom 5 mm je laminárne.
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Vypočítajte maximálny objemový prietok tekutiny prúdiacej v potrubí s kruhovým prierezom d = 0 cm, aby bol charakter prúdenia laminárny. Pre vypočítaný objemový prietok zistite maximálnu dĺžku strany štvorcového potrubia, v ktorom by daná tekutina mala vyvinutý turbulentný tok. Riešte pre prípad prúdenia dusíka a vody, ktorých teplota je v oboch prípadoch 30 C a tlak je atmosférický. Riešenie: Ak má byť prúdenie tekutiny laminárne, musí platiť nerovnica Re = dw μ 300 e Súčasne, rýchlosť prúdiacej tekutiny dokážeme vyjadriť pomocou jej objemového prietoku (pre kruhový prierez rúrky) w= S = 4 π d Kombináciou uvedených rovníc a úpravou potom dostaneme podmienku pre maximálny objemový prietok tekutiny, pre ktorý je prúdenie laminárne 300π dμ 4 V druhej časti príkladu máme zistiť maximálnu veľkosť strany potrubia so štvorcovým prierezom (a), v ktorej by, pri objemovom prietoku vypočítanom v prvej časti príkladu, prúdenie tekutiny ešte bolo turbulentné, t.j. Re = dw e μ 0000 V prípade potrubia so štvorcovým prierezom ekvivalentný priemer potrubia vypočítame podľa vzťahu de = 4 S O pričom S je plocha prierezu a O dĺžka obvodu prierezu potrubia, ktoré je zmáčané prúdiacou tekutinou. Pre potrubie so štvorcovým prierezom potom platí S = a O= 4a de = 4a 4a = a Po dosadení za rýchlosť prúdenia a ekvivalentný priemer štvorcového potrubia dostaneme Re = a Sμ = aμ 0000 a 0000μ Aby sme vypočítali maximálny objemový prietok a maximálny priemer potrubia pre dusík a pre vodu, musíme poznať vlastnosti týchto tekutín (hustotu a viskozitu) za podmienok, ktoré sú uvedené v zadaní. Ostatné veličiny vystupujúce v nerovniciach súvisia s tvarom potrubia, v ktorom dusík alebo voda prúdia. Hustotu dusíka vypočítame zo stavovej rovnice. Za predpokladu ideálneho správania dusíka, môžeme na tento účel použiť stavovú rovnicu ideálneho plynu pv = nrt = m V m= nm = pm RT Molová hmotnosť dusíka (M = 8.0 kg kmol - ) je uvedená v tabuľkách na strane 9. Jeho hustota pri teplote 30 C a tlaku 0.35 kpa je = pm RT = 035 8.0 0 (8.34 303.5) =.6 kg m Viskozitu dusíka za uvedených podmienok nájdeme v tabuľkách. Buď ju vypočítame podľa Sutherlandovho vzťahu (tabuľky strana 30) alebo ju odčítame v nomograme v tabuľkách na stranách 88-89. Sutherlandov vzťah vyjadruje závislosť viskozity plynov od teploty, berúc do úvahy viskozitu daného plynu pri teplote 0 C..5 μ 73 C T = μ + 0C T + C 73
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Hodnota parametra C v tejto rovnici súvisí s vlastnosťami plynu. Pre dusík sú v tabuľkách uvedené hodnoty: 6 μ 0C = 6.5 0 Pa s a C = 04 K. Tieto údaje pre dusík sú platné v rozsahu teplôt 0 C až 80 C. Viskozita dusíka za podmienok uvedených v zadaní potom je.5 6 73+ 04 303 6 μ = 6.5 0 = 7.9 0 Pa s 303+ 04 73 Pri odčítaní viskozity plynov z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre sledovaný plyn, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 89. Pre dusík nájdené súradnice sú X = 0.6 a Y = 0.0. Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 88. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote plynu (30 C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré 6 zodpovedá viskozite plynu. V tomto prípade je to približne 0.08 mpa s = 8 0 Pa s. Za uvedených podmienok je maximálny objemový prietok laminárne prúdiaceho dusíka 6 300 π 0. 8 0 (4.6) 3 -.888 0 m s Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo dusíka prúdiť turbulentne, je 6 a.888 0.6 (0000 8 0 ) a 8. 0 m Hustotu a viskozitu vody pri teplote 30 C môžeme odčítať v tabuľkách na strane 4, pričom tieto hodnoty sú μ = 0.7977 mpa s = 0.7977 0 Pa s a = 995.7 kg m. V tom prípade, je maximálny objemový prietok laminárne prúdiacej vody 3 300 π 0. 0.7977 0 (4 995.7) 3-0.47 0 m s Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo vody prúdiť turbulentne, je a 0.47 0 995.7 (0000 0.7977 0 ) a 8. 0 m
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4 Zadanie: Porovnajte rýchlosť a charakter prúdenia vo valcovom potrubí s priemerom.5 cm a v potrubí so štvorcovým prierezom, ktoré má rovnakú plochu prierezu, ako spomínané valcové potrubie. Predpokladajte, že potrubím prúdi 9 L min - benzénu, ktorého teplota je 30 C. Riešenie: Rýchlosť prúdenia vo valcovom potrubí vypočítame z objemového prietoku a charakter prúdenia benzénu posúdime na základe hodnoty Reynoldsovho kritéria w= S = 4 π d Re = dw μ V prípade potrubia so štvorcovým prierezom je rýchlosť prúdenia rovnaká. Podľa zadania je totiž plocha prierezu potrubia rovnaká. Charakter prúdenia však je iný, nakoľko v rovnici na výpočet Reynoldsovho kritéria vystupuje ekvivalentný priemer potrubia. w= S Re = dw e μ d = 4S O= 4a 4a= a e a = S = π d 4 Aby sme dokázali posúdiť charakter prúdenia benzénu, musíme poznať jeho vlastnosti, hustotu a dynamickú viskozitu. Viskozitu benzénu pri teplote 30 C môžeme zistiť v tabuľkách buď výpočtom (strana 8), alebo odčítaním v nomograme (strany 90-9) V tabuľke 5a je na výpočet viskozity benzénu odporúčaná rovnica ln( μ /(mpas)) = A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) pričom parametre A, B, C, a D sú tabelované. Rovnica je platná v rozsahu teplôt od 6 C do 88 C. Pri teplote 30 C je viskozita kvapalného benzénu 5 A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) 4.6+.489 0 /303.5.544 0 303.5+. 0 303.5 μ = e = e =0.5673mPa s = 0.5673 0 Pa s Pri odčítaní viskozity kvapalín z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre benzén, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 9 (X =.5 a Y = 0.9). Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 90. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote benzénu (30 C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite benzénu. V tomto prípade je to približne 0.57 mpa s = 0.57 0 Pa s. Hustotu benzénu nájdeme v tabuľke 4 na strane 7, = 868kg m. Rýchlosť a charakter prúdenia benzénu v potrubí kruhového priemeru je - w= 4 πd = 4 9 0 (60 π 0.05 ) = 0.3056 ms Re = dw μ = 0.05 0.3056 868 0.57 0 = 633 V prípade prúdenia benzénu v potrubí so štvorcovým prierezom a s rovnakou plochou prierezu ako je plocha prierezu kruhového potrubia v predošlom výpočte, je hodnota Reynoldsovho kritéria de = a= πd 4 = π 0.05 4 = 0.06 m Re = dw μ = 0.06 0.3056 868 0.57 0 = 03 e
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Zadanie: Vypočítajte straty tlaku v potrubí s celkovou dĺžkou 5 m, priemerom.5 cm a relatívnou drsnosťou 0.000, v ktorom prúdi voda so strednou teplotou 5 C. Jej objemový prietok je 60 L h - (.8 m 3 h - ). Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornené potrubie a jeho jednotlivé rozmery a parametre z, p, w L = 5 m d =.5 cm z, p, w vzťažná rovina výška výstupkov, ε d =.5 cm Relatívna drsnosť potrubia je definovaná jako podiel výšky výstupkov na vnútornom povrchu rúrky a jej priemeru n= ε d = 0.000 Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom potrubí z miesta do miesta. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica, ktorá bilancuje špecifickú (vztiahnutú na jednotku hmotnosti) mechanickú energiu prúdiacej tekutiny w p w p zg + + = zg + + + hst rg+ hw g α α kde z, z predstavujú geodetickú výšku miest a vzhľadom na vzťažnú rovinu, w a w rýchlosť prúdiacej tekutiny v miestach a, α a α bezrozmerová korekcia špecifickej kinetickej energie prúdiacej tekutiny (korekcia nehomogénnosti rýchlostného poľa, pre laminárne prúdenie má hodnotu α = 0.5, pre turbulentnú oblasť platí α = ) v miestach a, p a p priemerná hodnota tlaku v priereze potrubia a, je hustota prúdiacej tekutiny, h str výškový ekvivalent disipovanej mechanickej energie, h w výškový ekvivalent množstva špecifickej energie dodanej do (napr. čerpadlom) alebo získanej (napr. prostredníctvom turbíny) z prúdiacej tekutiny a g je tiažové zrýchlenie. Ak predpokladáme, že tekutina prúdi vo vodorovnom potrubí kruhového prierezu s konštantným polomerom a do systému nie je zapojené žiadne zariadenie na dodávanie (získavanie) mechanickej energie, môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p hstrg = + pretože platí z = z Sw = Sw = Sw h g = 0 w Množstvo disipovanej energie (straty tlaku) môžeme vypočítať podľa Darcyho rovnice Lw hstr = λ d g Keď ju skombinujeme s upravenou Bernoulliho rovnicou, platí Lw Δ p= ( p p) = λ d kde λ je súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia, d priemer kruhového potrubia a L dĺžka potrubia. Vo všeobecnosti hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi λ = f (Re, n) Preto budeme musieť najskôr zistiť charakter prúdenia vody a aj jej vlastnosti.
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Hustotu a dynamickú viskozitu vody pri teplote 5 C odčítame v tabuľkách na strane 4 μ = = 0.89 mpa s 0.89 0 Pa s = 997.kg m a Ak je objemový prietok vody v rúrke 60 L h -, potom je rýchlosť prúdiacej vody a príslušná hodnota Reynoldsovho kritéria w= S = 4 πd = 4 60 0 (3600 π 0.05 ) = 0.034 ms Re = dw μ = 0.05 0.034 997. 0.89 0 = 95 < 300 Znamená to, že za týchto podmienok je prúdenie vody laminárne. V tom prípade na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť rovnicu λ = k Re Pre potrubie kruhového prierezu má parameter k hodnotu 64. Potom λ = k Re = 64 95 = 0.06730 Disipácia mechanickej energie spôsobená trením po dĺžke zodpovedá strate tlaku Lw 5 0.034 Δ p= ( p p) = λ = 0.06730 997. = 3.7 Pa d 0.05 Keď je objemový prietok vody.8 m 3 h -, charakter prúdenia je turbulentný w= S = 4 πd = 4.8 (3600 π 0.05 ) =.09 ms Re = dw μ = 0.05.09 997. 0.89 0 = 850 > 0000 V tom prípade potrebujeme zistiť, aký je vplyv relatívnej drsnosti na hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie. Najskôr si overíme, či drsnosť na jeho hodnotu vplýva. Vieme, že ak je splnená nasledujúca nerovnosť, potrubie môžeme považovať za hydraulicky hladké ε 5 5 n = < = d Re 850 0.000< 0.000633 0.875 0.875 Pretože je táto podmienka splnená, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu, ktorej platnosť je obmedzená na prúdenie tekutín v hydraulicky hladkom potrubí, pričom hodnota Reynoldsovho kritéria je v rozsahu 300 až 00000. 0.364 0.364 λ = = = 0.0435 0.5 0.5 Re 850 Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) pri prietoku.8 m 3 h - je Lw 5.09 Δ p= ( p p) = λ = 0.0435 997. = 7564Pa d 0.05
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 6 Zadanie: Jablčná šťava má hustotu 046 kg m -3. Šťava odteká samospádom z otvorenej zásobnej nádrže do filtračného zariadenia, v ktorom je tlak 37.3 kpa. Ako vysoko, vzhľadom na ústie potrubia do filtračného zariadenia, musí byť hladina šťavy v zásobnej nádrži? Rýchlosť prúdenia šťavy v potrubí je m s -, disipácia mechanickej energie v potrubí zodpovedá h str =.5 m a prúdenie je turbulentné. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je schematické znázornenie zariadenia so znázornením polohy bilancovaných miest. p zásobná nádrž z z z p filtračné zariadenie Cieľom je zistiť hodnotu rozdielu geodetických výšok, ktoré zodpovedajú hladine jablčnej šťavy v zásobnej nádrži () a ústiu potrubia do filtračného zariadenia (), ako je znázornené na obrázku ( z). Pre bilancované miesta dokážeme napísať Bernoulliho rovnicu (bez člena, ktorý zodpovedá dodávaniu alebo odoberaniu energie zo systému prostredníctvom mechanických zariadení) w p w p zg + + = zg + + + hstrg α α Predtým, ako tento problém vyriešime, si musíme uvedomiť niekoľko faktov. V porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája zásobnú nádrž a filtračné zariadenie, je priemer zásobnej nádrže nepomerne väčší. V tom prípade, berúc do úvahy rovnicu kontinuity, môžeme rýchlosť prúdenia v mieste hladiny jablčnej šťavy (), považovať za zanedbateľne malú v porovnaní s rýchlosťou prúdenia šťavy v ústí potrubia do filtračného zariadenia w Sw = Sw S >>> S w <<< w 0 α Na základe tohto predpokladu môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar w p p Δ z = z z = + + hstr α g g Jedinou neznámou na pravej strane tejto rovnice je tlak v mieste. V zadaní však bolo uvedené, že šťava odteká z otvorenej zásobnej nádrže, tlak v mieste jedna sa bude rovnať okolitému (atmosférickému) tlaku. Potom rozdiel medzi výškou hladiny v zásobnej nádrži a ústím potrubia do filtračného zariadenia má byť 37300 035 Δ z = + +.5 = 6.m 9.8 046 9.8
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 7 Zadanie: Pri teplote 0 C prúdi pivo novým hydraulicky hladkým potrubím s kruhovým prierezom s vnútorným priemerom 3 cm. Hustota piva pri uvedenej teplote je 030 kg m -3 a jeho kinematická viskozita je.4 0-6 m s -. Vypočítajte straty tlakovej energie v dôsledku trenia na dĺžke potrubia m, ak je objemový prietok piva 4 m 3 h -. Riešenie: Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom hydraulicky hladkom potrubí z miesta do miesta, ktoré sú od seba vzdialené m. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica v tvare w p w p zg zg h g + + = + + + str α α Pretože platí z = z Sw = Sw= Sw môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p = + hstrg pričom na výpočet disipácie mechanickej energie trením použijeme Darcyho rovnicu Lw hstr = λ d g Lw Δ p = ( p p) = λ d V upravenej Bermoulliho rovnici zostávajú dve neznáme, súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia a rýchlosť prúdenia. Vieme, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi, a rýchlosť vypočítame zo známeho objemového prietoku piva a plochy prierezu potrubia. w= S = 4 πd = 4 4 (3600 π 0.03 ) =.57 ms 6 Re = dw μ = dw ν = 0.03.57.4 0 = 9649 > 0000 Pretože nové potrubie je hydraulicky hladké, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu 0.364 0.364 λ = = = 0.067 0.5 0.5 Re 9649 Okrem toho, môžeme hodnotu λ odčítať v tabuľkách z obrázka 5 na strane 93 pre minimálnu hodnotu relatívnej drsnosti potrubia ( 0-6 ). Z grafu odčítaná hodnota je približne 0.06. Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) na jednom metre dĺžky potrubia je Lw.57 Δ p= ( p p) = λ = 0.067 030 = 34 Pa d 0.03
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 Zadanie: V potrubí s celkovou dĺžkou 50 m, priemerom rúrky 3 palce a drsnosťou (výškou výstupkov) 0.03 cm prúdi vodný roztok metanolu (40 hmot. %). Teplota roztoku je 0 C. Potrubie ústi do otvorenej nádrže (p atm ) nad hladinou kvapaliny, ktorá je v nádrži. V potrubí sú zaradené otvorené posúvače, dva priame ventily, otvorený uzatvárací ventil, 5 pravouhlých a dve 45 -ové kolená. Ústie potrubia leží vo výške 5 m nad jeho začiatkom. Zistite, aký má byť tlak na začiatku potrubia, aby ním mohlo prúdiť 300 L min - roztoku. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je znázornená schéma sledovaného zariadenia so základnými parametrami p = 0.35 kpa nádrž Δz = 5 m z p z Vzťažný bod sa nachádza v strede plochy prierezu potrubia a vzťažný bod v strede ústia potrubia do nádrže. Ak chceme zistiť, aký tlak je na začiatku sledovaného úseku potrubia, musíme opäť bilancovať mechanickú energiu prúdiacej kvapaliny w p w p zg + + = zg + + + h α α str g Pretože rýchlosť prúdenia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká (rovnica kontinuity), Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar p = p + ( z z ) g+ h g str kde disipáciu mechanickej energie môžeme rozdeliť na časť, ktorá je spôsobená trením po dĺžke potrubia, a druhú časť v dôsledku miestnych strát Lw w hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ d g g Ako vidno, v týchto rovniciach vystupuje niekoľko premenných, ktorých hodnotu nepoznáme. Aby sme mohli vypočítať súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, budeme potrebovať vypočítať Reynoldsovo kritérium a relatívnu drsnosť potrubia. Kvôli Re budeme musieť zistiť hustotu a viskozitu prúdiaceho média. Hustota a viskozita vodných roztokov metanolu je tabelovaná na strane 5. Pri teplote 0 C a obsahu metanolu 40 hmot. % platí = = = 934.5kg m μ.84mpa s.84 0 Pa s Viskozitu by sme mohli odčítať aj v nomograme na stranách 90-9. Rýchlosť a charakter prúdenia roztoku v rúrkach vypočítame na základe známeho objemového prietoku a priemeru potrubia w= S = 4 πd = 4 300 0 (60 π 0.076 ) =.096 ms Re = dw μ = 0.076.096 934.5.84 0 = 443 > 0000 Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 ε 5 n = < 0.875 d Re 4 3 0 n = = 3.937 0 0.076 5 5 4 = = 4.464 0 0.875 0.875 Re 443 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z takýchto rovníc je Roundova rovnica Re =.8log λ 0.35Re n + 6.5 λ = 0.0308 443 =.8log 0.35 443 3.937 0 + 6.5 Podobný výsledok by sme dokázali odčítať aj v obrázku 5 na strane 93 tabuliek. Nakoniec musíme spočítať koeficienty miestnej disipácie mechanickej energie. Údaje sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov Armatúra ξ Počet Spolu Koleno 45 0.5 Pravouhlé koleno.6 5 6.3 Otvorený uzatvárací ventil 3 3 Posúvač 0.5 0.3 Priamy ventil 0.8.6 Spolu. Potom, potrebný tlak na začiatku potrubia je w L p = p + ( z z) g+ λ + ζ d 934.5.096 50 p = 035 + 934.5 5 9.8+ 0.0308 +. = 65360Pa 0.076
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Zadanie: Toluén sa prepravuje samospádom zo zásobnej nádrže do reaktora (obrázok). Jeho teplota je 0 C. V zásobnej nádrži je vtok do potrubia umiestnený 3 m pod hladinou. Pretože nádrž je dostatočne veľká, výška hladiny toluénu v nádrži sa prakticky nemení. V nádrži aj v reaktore je atmosferický tlak. Dĺžka potrubia a počet a druh armatúr zaradených v potrubí je jasný z obrázku. Vypočítajte a) rýchlosť prúdenia a objemový prietok toluénu, ak má potrubie kruhový prierez s priemerom 5 cm a priemernou výškou výstupkov ε = 0.5 mm, b) priemer potrubia s kruhovým prierezom a rýchlosť prúdenia toluénu, ak je výška výstupkov na vnútornej strane potrubia 0.5 mm a objemový prietok toluénu 500 L min -. Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornená nádrž a reaktor spojené potrubím, v ktorom je zaradených niekoľko armatúr, spolu so základnými údajmi pre výpočet. Vzťažné body a sú umiestnené v ústiach potrubia do zásobnej nádrže a do reaktora. zásobná nádrž p = p atm h h = 3 m uzatvárací ventil p, w spätná klapka koleno 90 rotačný prietokomer h = 0 m z koleno 90 priamy ventil l = 30 m p, w z p = p atm reaktor Nakoľko vieme, že potrubím má tiecť toluén o teplote 0 C, môžeme v tabuľkách nájsť jeho viskozitu a hustotu, ktoré potrebujeme pri výpočte. Hustota toluénu je uvedená v tabuľke 4 na strane 7 a jeho dynamickú viskozitu vypočítame na základe údajov v tabuľke 5a na strane 8-9, alebo ju odčítame z nomogramu na strane 90. = 875kg m 5 A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) 5.878+.87 0 / 83.5+ 0.4575 0 83.5 0.4499 0 83.5 μ = e = e = 0.677 mpa s = 0.677 0 Pa s Pri riešení budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice v tvare w p w p zg + + = zg + + + hstrg α α Pretože priemer potrubia je v oboch vzťažných miestach rovnaký, z rovnice kontinuity vyplýva, že aj rýchlosť prúdenia toluénu (jeho špecifická kinetická energia) je v oboch miestach rovnaká. V mieste je tlak kvapaliny určený súčtom atmosférického tlaku a hydrostatického tlaku stĺpca toluénu nad vzťažným bodom p = patm + hh g Rozdiel v geodetických výškach vzťažných bodov je v obrázku označený ako h = 0 m. Špecifickú disipovanú energiu vypočítame ako množstvo mechanickej energie, ktoré disipuje v dôsledku trenia po dĺžke potrubia, a množstvo disipované v dôsledku prítomnosti armatúr zaradených v potrubí. V tom prípade môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 p p ( z z) g+ = hstrg Lw Lekv w λw L Lekv hg + hh g = ( hstr, L + hstr, m ) g = λ + g = + d g d g d d Ekvivalentná dĺžka potrubia, na ktorej by množstvo disipovanej mechanickej energie bolo rovnaké, ako v príslušnej armatúre, je ďalší spôsob vyjadrenia miestnej disipácie energie. Hodnoty ekvivalentnej (bezrozmerovej, vztiahnutej na priemer potrubia s kruhovým prierezom) dĺžky sú spolu s hodnotami súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie uvedené v tabuľke 47a na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých ekvivalentných dĺžok potrubia Armatúra L ekv /d Počet Spolu Vtok do potrubia 0 0 Pravouhlé koleno 40 80 Otvorený uzatvárací ventil 00 00 Priamy ventil 5 5 Spätná klapka 00 00 Rotačný prietokomer 300 300 Spolu 75 a) Z matematického hľadiska máme za úlohu vyriešiť problém, v ktorom v jednej nezávislej rovnici vystupujú dve premenné w a λ. Tento problém nezjednodušíme ani použitím definičného vzťahu na výpočet Reynoldsovho kritéria, pretože tak okrem druhej rovnice pribudne ďalšia premenná, Re. Re = dw / μ Ďalším krokom by bolo použitie niektorej kriteriálnej rovnice na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie λ = f (Re, n) Výber vhodnej kriteriálnej rovnice je však podmienený znalosťou Re. Z uvedeného vyplýva, že priame analytické riešenie problému (výpočet rýchlosti prúdenia a objemového prietoku toluénu) neexistuje. Preto, všeobecný postup riešenia je založený na postupnom iterovaní. Na začiatku si zvolíme rozumnú hodnotu rýchlosti prúdenia. Tento údaj použijeme na výpočet Reynoldsovho kritéria a hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Túto hodnotu dosadíme do upraveného tvaru Bernoulliho rovnice a vypočítame opravenú hodnotu rýchlosti prúdenia tekutiny. Hodnotu porovnáme s nastreleným údajom. Iteračný výpočet opakujeme dovtedy, kým nie je splnená požiadavka na presnosť výsledku (zvyčajne má byť rozdiel hodnôt rýchlosti prúdenia, ktoré sme získali vo dvoch po sebe idúcich iteráciach, menší ako vopred stanovená presnosť). Rozumná rýchlosť v prípade prúdenia kvapalín, napr. toluénu pri teplote 0 C, je m s -.V tom prípade platí I I Re = dw μ = 0.05 875/ 0.677 0 = 6533 > 0000 Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké ε 5 n = < 0.875 d Re 4 5 0 n = = 0 0.05 5 5 4 = = 3.068 0 0.875 0.875 Re 6533 Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z vhodných rovníc je Roundova rovnica
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 I Re =.8log I I λ 0.35Re n + 6.5 I λ = 0.03830 6533 =.8log 0.35 6533 0 + 6.5 V nasledujúcom kroku pomocou Bernoulliho rovnice vypočítame novú hodnotu rýchlosti prúdenia toluénu. Horný index (I, II, III,...) označuje iteráciu. II ( h+ hh ) g (0 + 3) 9.8 w = = =.090 ms I L Lekv (30 + 0) λ + 0.03830 + 75 d d 0.05 Ak porovnáme vypočítanú hodnotu s pôvodným odhadom rýchlosti prúdenia, vidíme výrazný rozdiel. Preto budeme musieť v iterovaní pokračovať. Nasledujúca tabuľka sumarizuje výsledky jednotlivých iterácií Iterácia w/(m s - ) Re 5/Re 0.875 Rovnica λ Presnosť I 6533 3.068 0-4 Roundova 0.03830 nedosiahnutá II.090 368.60 0-4 Roundova 0.03788 nedosiahnutá III.0 36868.60 0-4 Roundova 0.03788 dosiahnutá IV.0 Vidno, že iteračný výpočet pomerne rýchlo konverguje k výsledku. Tento postup je univerzálny a vzhľadom na to, že hodnoty premenných nepotrebujeme odčítať v grafe, aj pomerne presný. Objemový prietok toluénu je 3 3 = ws = πd w 4 = π 0.05.0 4 = 4.5 0 m s Výpočet môžeme uskutočniť aj bez iterovania, ale len v prípade, ak dokážeme separovať neznáme z Bernoulliho rovnice od všetkých ostatných premenných. Aby sme to dokázali potrebujeme dosadiť za rýchlosť prúdenia z definičného vzťahu Reynoldsovho kritéria ( h+ hh ) g μre d = w= L Lekv λ + d d ( h+ hh ) g Re λ = d μ L Lekv + d d V tabuľkách (obrázok 6, strana 94) je k dispozícii graf, z ktorého pre známu hodnotu ľavej strany tejto rovnice, Re λ, a relatívnu drsnosť potrubia,n,dokážeme odčítať hodnotu λ. V našom prípade d ( h+ hh ) g 0.05 875 (0 + 3) 9.8 Re λ = = = 6637 μ L Lekv 0.677 0 (30 + 0) + + 75 d d 0.05 Z čoho pri relatívnej drsnosti potrubia n = 0.0 vyplýva Re λ = 5.5 Re = = 6637 5.5 = 378 λ λ w= μre d = 0.677 0 378 0.05 875 =.06 ms
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 b) V druhej časti príkladu je neznámou priemer potrubia a rýchlosť prúdiacej kvapaliny, pričom je známy jej objemový prietok. Riešenie je opäť iteračné. Zvolíme si rýchlosť prúdenia toluénu. Z tohto údaja pomocou známej hodnoty objemového prietoku vypočítame priemer potrubia a ďalej pokračujeme, ako v predošlom prípade. Naviac však, pri každej iterácii musíme okrem priemeru počítať aj hodnotu relatívnej drsnosti. Dobrým nástrelom prvej iterácie môže byť rýchlosť, ktorú sme vypočítali v časti a). I I d = 4 πw = 4 500 0 60 π. = 0.0708 m I I I Re = dw μ = 0.0708. 875/ 0.677 0 = 94450 > 0000 ε 5 n = < I I 0.875 d (Re ) 4 5 0 n = = 7.034 0 0.0708 5 5 4 = =.78 0 0.875 0.875 Re 94450 I Re = I I λ.8log 0.35Re n + 6.5 I λ = 0.034 94450 =.8log 0.35 94450 7.034 0 + 6.5 ( h+ hh ) g (0 + 3) 9.8 w = = =.409 ms I L Lekv (30 + 0) λ + 0.034 75 I + d d 0.0708 II Aj v tomto prípade je rozdiel medzi hodnotami rýchlosti prúdenia pomerne veľký a preto je potrebné pokračovať v iterovaní. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Iterácia w/(m s - ) d/m Re n 5/Re 0.875 Rovnica λ Presnosť I. 0.0708 94450 7.034 0-3.78 0-4 Roundova 0.034 nedosiahnutá II.409 0.06636 0856 7.535 0-3.0 0-4 Roundova 0.03477 nedosiahnutá III.35 0.0679 0576 7.44 0-3. 0-4 Roundova 0.03465 nedosiahnutá IV.36 0.06703 067 7.459 0-3.9 0-4 Roundova 0.03467 nedosiahnutá V.359 0.06706 0608 7.456 0-3.0 0-4 Roundova 0.03467 dosiahnutá VI.359 Kvôli urýchleniu je aj v tomto prípade možné riešenie za pomoci tabelovaných hodnôt (závislosť 5 5 λ = f (Re λ ) na obrázku 7, strana 95). Opäť však musí byť splnená podmienka, že neznáme v Bernoulliho rovnice dokážeme odseparovať od ostatných premenných. V prípade, keď je miestna disipácia mechanickej energie nezanedbateľne malá (čo je aj náš prípad), táto podmienka nie je splnená a grafické riešenie nie je bez zjednodušujúcich predpokladov možné.
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 Zadanie: Pivo prúdi z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže. Tlak v zásobníku je 5 kpa a výška hladiny v zásobníku je 5 m vzhľadom na podlahu vo výrobnej hale. V otvorenej nádrži je výška hladiny piva 3 m nad úrovňou podlahy. Pivo prúdi v novom potrubí s priemerom 0, m, v ktorom sú zaradené ventily na reguláciu prietoku, 3 pravouhlé kolená a krátka usadzovacia časť potrubia s priemerom 0,3 m (rozšírenie potrubia ξ = 0.79, zúženie potrubia ξ = 0.47). Disipácia mechanickej energie trením v hladkom potrubí je zanedbateľná vzhľadom na straty mechanickej energie spôsobené prítomnosťou miestnych odporov proti prúdeniu. Vypočítajte prietok piva, ak je jeho hustota 035 kg m -3 a dynamická viskozita μ = 8.95 0-4 Pa s. Riešenie: Schéma technologického zariadenia je spolu s dôležitými údajmi znázornená na nasledujúcom obrázku. tlaková zásobník p = 5 kpa p = 0.35 kpa z = 5 m usadzovacia časť potrubia z = 3 m nádrž Našou úlohou je vypočítať objemový prietok piva z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže, pričom poznáme len rozmery potrubia a armatúry, ktoré sú v potrubí zapojené. Opäť budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice w p w p zg + + = zg + + + h α α str g Treba si uvedomiť, že v porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája tlakový zásobník a nádrž, je priemer zásobníka a nádrže nepomerne väčší. V tom prípade môžeme rýchlosť prúdenia v miestach a považovať za zanedbateľne malú w w 0 0 α = α = Podľa zadania platí, že disipácia mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke potrubia je zanedbateľne malá v porovnaní s množstvom energie, ktorá disipuje v dôsledku miestnych strát v armatúrach. Preto na vyjadrenie disipácie mechanickej energie v Bernoulliho rovnici použijeme nasledujúci vzťah Lw w w hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ = ζ d g g g p p w 6 ( z z ) g S π d 4 π d p p = ( z z) g+ 8 ζ + = ζ = ζ = ζ 4 V predchádzajúcich vzťahoch vystupuje rýchlosť prúdenia piva v potrubí, ktoré spája tlakový zásobník s otvorenou nádržou. Disipáciu mechanickej energie v armatúrach spôsobuje zmena charakteru prúdenia v dôsledku zmeny rýchlostného poľa prúdiacej kvapaliny (turbulencia). Informácie o hodnote súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie pre rôzne typy armatúr nájdeme v tabuľkách na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 0 Armatúra ξ Počet Spolu Vtok z nádrže do potrubia 0.5 0.5 Pravouhlé koleno.6 3 3.78 Otvorený uzatvárací ventil 3 6 Rozšírenie potrubia 0.79 0.79 Zúženie potrubia 0.47 0.47 Výtok z potrubia Spolu.54 Objemový prietok piva, jeho rýchlosť a charakter prúdenia v potrubí je 4 0. 5000 035 π = (5 3) 9.8+ = 0.080 m s 8.54 035 w = 4 0.080 /( π 0. ) =.88ms = = 4 Re 0..88 035/ 8.95 0 6468 3
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Z veľkého uzavretého zásobníka, v ktorom je tlak nad hladinou kvapaliny. bar, sa cez hydraulicky hladké potrubie prečerpáva heptán do pripravenej cisterny. Celková dĺžka potrubia je 70 m, v potrubí sú zaradené 4 pravouhlé kolená, jeden priamy ventil a jeden posúvač (plne otvorené). Časť potrubia je ponorená do hĺbky.5 m pod hladinu kvapaliny v nádrži. Táto časť potrubia slúži ako nasávacie potrubie odstredivého čerpadla, ktoré heptán dopravuje do výšky 6 m nad hladinu kvapaliny v nádrži. Cisterna je otvorená voči atmosfére. Teplota prečerpávaného heptánu je 0 C. Za týchto podmienok je dynamická viskozita heptánu 0.4 cp ( cp = mpa s). Vypočítajte a) priemer potrubia, aby sme za uvedených podmienok dokázali prepraviť 0.5 0-3 m 3 s - heptánu, pričom výkon čerpadla je 63 W a jeho účinnosť je η = 70 %, b) ako dlho sa bude cisterna plniť, ak je priemer potrubia 0. m a množstvo energie dodanej čerpadlom jednotkovej hmotnosti kvapaliny ako v prvom prípade. Cisterna má valcový tvar s eliptickým prierezom (hlavná poloos je dlhá.5 m a vedľajšia m) a dĺžkou 6 m. Aké množstvo energie spotrebováva čerpadlo. Riešenie: Náčrt k tejto úlohe je znázornený na obrázku. p = p atm b = m w a = 3 m l = 6 m p =. bar h d = 6 m h h =.5 m p, w z z Oproti predošlým zadaniam nastala jedna zmena. Do potrubia je zaradené čerpadlo, preto pri riešení použijeme Bernoulliho rovnicu v tvare z g w p w p z + + + h g+ hw g + + = α g str α a) Vzťažné body sú umiestnené v ústí nasávacieho potrubia (.5 m pod hladinou kvapaliny v zásobníku, ) a na konci výtlačného potrubia, kde kvapalina vteká do otvorenej cisterny (). Pretože nasávacie aj výtlačné potrubie má rovnaký priemer, špecifická kinetická energia prúdiaceho heptánu je v oboch miestach rovnaká. Tlak prúdiacej kvapaliny v mieste je daný súčtom tlaku na hladinu v zásobníku a hydrostatického tlaku stĺpca kvapaliny nad ústím nasávacieho potrubia. Tlak na konci výtlačného potrubia sa rovná atmosférickému tlaku. Disipácia mechanickej energie v potrubí je spôsobená trením po dĺžke a tiež v dôsledku prítomnosti rôznych armatúr. Na vyjadrenie množstva disipovanej energie použijeme Darcyho rovnicu a rovnicu na výpočet miestnej disipácie mechanickej energie w w 5 = p =. 0 + hh g p = patm α α Lw w w L hstr = hstr, L + hstr, m = λ + ζ = λ + ζ d g g g d
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Množstvo energie, ktoré dodáva kvapaline čerpadlo vypočítame zo zadaného príkonu a účinnosti podľa vzťahu h ε P g V g w v w = = & Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar p p w L Pv = ( z z) g+ hstrg+ hwg = ( hd + hh) g+ λ + ζ I d Ani v tomto prípad nedokážeme separovať neznáme veličiny (w, d) od ostatných premenných a preto budeme pri riešení postupovať iteračne. Najskôr však musíme zistiť hustotu dopravovanej kvapaliny a vyjadriť súčet disipácie mechanickej energie v dôsledku prítomnosti jednotlivých armatúr. Hustota heptánu je uvedená v tabuľkách na strane 7, = 684kg m. Údaje o hodnote koeficienta miestnej disipácie mechanickej energie sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje hodnoty jednotlivých miestnych odporov Armatúra ξ Počet Spolu Vtok do potrubia s ostrým okrajom 0.5 0.5 Pravouhlé koleno.6 4 5.04 Posúvač 0.5 0.5 Priamy ventil 0.8 0.8 Spolu 6.49 Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je m s -. I I d = 4 πw = 4 0.5 0 π = 0.56 m I I I Re = dw μ = 0.56 684 / 0.4 0 = 9895 > 0000 Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu (platnosť Blaziovej rovnice je obmedzená hodnotou Re < 00000) 0. 0. 0.003 0.003 0.055 Re 9895 p p Pv ( hd + hh ) g+ V & = I L λ + ζ I d I λ = + = + = 0.37 0.37 w II + 5. 0.5 684 9.8 035 63 (6 +.5) 9.8+ II 684 0.5 0 684 w = =.636 ms 70 0.055 + 6.49 0.56 Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Iterácia w/(m s - ) d/m Re Rovnica λ Presnosť I 0.560 9895 Nikuradzeho 0.055 nedosiahnutá II.636 0.07 3367 Nikuradzeho 0.04 nedosiahnutá III.33 0.07587 9407 Nikuradzeho 0.0438 nedosiahnutá IV.364 0.075 96604 Nikuradzeho 0.0436 nedosiahnutá V.358 0.07530 9606 Nikuradzeho 0.0436 nedosiahnutá VI.359 0.07530 9606 Nikuradzeho 0.0436 dosiahnutá VII.359 Na čerpanie benzénu zo zásobníka je potrebné potrubie s priemerom približne 3 palce.
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie b) Zmena priemeru potrubia spôsobí zmenu hydrodynamických podmienok pre prúdenie heptánu. Musíme preto zistiť, aká bude rýchlosť prúdenia tejto kvapaliny a jej objemový prietok. Ďalej musíme vypočítať objem cisterny, ktorá sa má plniť heptánom. Na výpočet znovu použijeme iteračný výpočet Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je m s -. = πd w 4 = π 0. 4 = 0.057m s I I 3 I I I Re = dw μ = 0. 684 / 0.4 0 = 333659 Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu 0. 0. 0.003 0.003 0.0405 Re 9895 p p ( hd + hh) g ε w = I L λ + ζ I d I λ = + = + = 0.37 0.37 w II 5. 0 +.5 684 9.8 035 (6 +.5) 9.8+ 86.74 684 w = =.598ms 70 0.0408 + 6.49 0. Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke II Iterácia w/(m s - ) V/(m 3 s - ) Re Rovnica λ Presnosť I 0.057 333659 Nikuradzeho 0.0405 nedosiahnutá II.598 0.0040 433368 Nikuradzeho 0.0340 nedosiahnutá III.635 0.0069 439536 Nikuradzeho 0.0336 nedosiahnutá IV.637 0.007 43994 Nikuradzeho 0.0336 dosiahnutá V.637 0.007 Objem valca s eliptickou podstavou vypočítame podľa vzťah V = Sl = πabl = π.5 6 = 8.7 m Cisterna sa naplní za t = V = 8.7 0.007 = 365s =.75 min Spotreba elektrickej energie je P = P η = ε η = 86.74 0.007 684 0.7 = 755 W p v w 6 = tpp = 365 755 =.396 0 J =.396 MJ E 3
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Zadanie: Na zavlažovanie sa používa studničná voda. Pretože jej teplota je 0 C, najskôr sa prečerpáva do otvorenej zásobnej nádrže. Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre. Na dopravu vody sa používa odstredivé čerpadlo s nasledujúcou charakteristikou (pri frekvencii otáčania 000 min - ) V/(dm 3 min - ) 0 30 60 90 0 50 80 h wč /m 9 9.8 0 9.5 8.5 6.8 3.5 Okrem čerpadla je v potrubí s kruhovým prierezom (priemer 5 cm, priemerná výška výstupkov 0. mm) zaradený nasávací kôš s priemerom 0 cm, 6 pravouhlých kolien, jeden priamy a jeden uzatvárací ventil. Čerpadlo je ponorené 00 cm pod hladinou vody v studni. Miestne odpory proti prúdeniu spôsobené čerpadlom sú započítané v jeho charakteristike. Celková dĺžka potrubia (t.j. dĺžka od výtlačného hrdla čerpadla po jeho ústie do zásobnej nádrže je 00 metrov. Zistite, aký je objemový prietok vody v potrubí, aký je príkon a výkon čerpadla, ak je jeho účinnosť 55 %. Aký je tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla? Ako by sa zmenil prietok vody v potrubí, keby ste na jej čerpanie použili dve rovnaké čerpadlá (s rovnakou charakteristikou) zapojené v sérii, alebo paralelne? Riešenie: Na nasledujúcom obrázku sú schematický znázornené najdôležitejšie informácie pre riešenie tohto problému. p = p atm w z zásobná nádrž p = p atm z Δz = 4 m h = m nasávací kôš w studňa čerpadlo Polohu vzťažných bodov a môžeme určiť sami. Pri voľbe sa snažíme čo najviac zjednodušiť ďalší výpočet. Napr. pri tejto voľbe sme jednak použili informáciu zo zadania (Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre). Navyše je zrejmé, že rýchlosť prúdenia v miestach a je výrazne nižšia (zanedbateľná) v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v potrubí (v Darcyho rovnici vystupuje práve rýchlosť prúdenia tekutiny v potrubí). Vzťažný bod sme mohli zvoliť aj inakšie, do stredu prierezu studne v mieste ústia nasávacieho koša. V tom prípade by sa rozdiel geodetických výšok zmenil na Δz = 5 m. Súčasne by sa však zmenil aj tlak v mieste na hodnotu p = p atm +hg. Keby sme porovnali nasledujúce dva členy Bernoulliho rovnice pre prvú (horný index ) a druhú (horný index ) voľbu vzťažných bodov, zistíme, že ich číselné hodnoty sa rovnajú. V tomto prípade sa potenciálna energia mení na tlakovú
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie p p p p Δ zg= Δzg patm patm patm + hg patm 4g = 5g g 4g = 5g Na výpočet opäť použijeme Bernoulliho rovnicu, v ktorej vystupuje aj člen označujúci dodávanie energie prostredníctvom čerpadla z g w p w p z + + + h g+ hw g + + = α g str α Berúc do úvahy spomínané umiestnenie vzťažných bodov a vyjadrenie disipácie mechanickej energie, môžeme túto rovnicu upraviť na tvar Lw w Δ zg = λ + ζ + hw g d Ako vidno, získali sme jedinú rovnicu o troch neznámych, ktorými sú súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, rýchlosť prúdenia a množstvo energie, ktoré prúdiacej kvapaline dodáva čerpadlo. Aj keby sme charakteristiku čerpadla vyjadrili ako závislosť h w = f(v), získali by sme nedourčený systém nelineárnych rovníc. V tomto prípade nie je vhodné použiť iteračný postup riešenia. V každom prípade však platí, že pri vyjadrení hodnoty λ budeme musieť poznať hodnotu Re a preto je potrebné zistiť vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež zistiť, aká je hodnota súčtu jednotlivých koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie. Hustotu a viskozitu vody pri teplote 0 C odčítame v tabuľkách na strane 4, μ = 999.7 kg m, =.3077 0 Pa s. Hodnoty koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie (tabuľky strana 66) sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke Armatúra ξ Počet Spolu Nasávací kôš 7 7 Pravouhlé koleno.6 6 7.56 Uzatvárací ventil 3 3 Priamy ventil 0.8 0.8 Výtok z potrubia Spolu 9.36 Ďalší postup riešenia spočíva v úprave Bernoulliho rovnice do tvaru, ktorý sa označuje ako charakteristika potrubia. Charakteristika potrubia je závislosť množstva energie, ktoré potrebujeme do systému dodať (napríklad pomocou čerpadla), aby sme dosiahli určitý objemový prietok kvapaliny (-ε w = f(v)). Lw w hw g =Δ zg+ λ + ζ d L εw =Δ zg + λ + ζ d S L 8 εw =Δ zg + λ + ζ 4 d π d ε w = A+ B A=Δzg L 8 B = λ + ζ 4 d π d
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Charakteristika potrubia sa podobá na kvadratickú závislosť s nulovým koeficientom pri prvej mocnine premennej (V). Treba si však uvedomiť, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, ktorý vystupuje v parametri B závisí od objemového prietoku (rýchlosti prúdenia, resp. hodnoty Reynoldsovho kritéria), a preto sa hodnota parametra B v tejto kvadratickej rovnici pozvoľna mení. Požadovaný údaj, objemový prietok dopravovanej vody, zistíme tak, že vypočítame niekoľko hodnôt množstva energie, ktoré zabezpečia určité objemové prietoky dopravovanej kvapaliny. Z tejto závislosti zostrojíme charakteristiku potrubia a vynesieme ju do spoločného grafu s charakteristikou čerpadla. Priesečník týchto dvoch čiar určuje jednak prepravované množstvo kvapaliny a tiež množstvo energie, ktoré dodá čerpadlo prepravovanej kvapaline. Objemové prietoky pre výpočet charakteristiky potrubia sa obvykle volia podľa toho, aké hodnoty sú uvedené v tabuľke na zostrojenie charakteristiky čerpadla. V/(dm 3 min - ) 0 30 60 90 0 50 80 h wč /m 9 9.8 0 9.5 8.5 6.8 3.5 ε wč /(J kg - ) 88.9 96.4 98.0 93.0 83.38 66.7 34.34 Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobnej nádrží musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu (inak by z potrubia samospádom vytiekla) ε w = A+ B = A+ B0 = A=Δ zg = 4 9.8 = 39.4J kg V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku) w= 4 πd = 4 30 0 60 π 0.05 = 0.546 m s Re = dw μ = 0.05 0.546 999.7 /.3077 0 = 9734 Potrebujeme zistiť, či sa jedná o hydraulicky hladké potrubie ε 5 n = < 0.875 d Re 4 0 n = = 4 0 0.05 5 5 = =.69 0 0.875 0.875 Re 9734 Ako vidno, nerovnosť nie je splnená a, nakoľko hodnota Reynoldovho kritéria sa bude pri väčších objemových prietokoch vody ďalej zväčšovať, ani neskôr nebude splnená. V tom prípade môžeme na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením po dĺžke použiť Roundovu rovnicu Re = λ.8log 0.35Re n + 6.5 λ = 0.0365 9734 =.8log 0.35 9734 4 0 + 6.5 Vtedy platí L 8 00 8 B = λ + ζ = 0.0365 9.36 4 + 4 d π d 0.05 π 0.05 A=Δ zg = 4 9.8 = 39.4 J kg =.9 0 J kg m s ε 6 = A+ B = 39.4 +.9 0 (30 0 / 60) = 4. J kg w 6 6
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke V/(dm 3 min - ) 0 30 60 90 0 50 80 ε wč /(J kg - ) 88.9 96.4 98.0 93.0 83.38 66.7 34.34 w/(m s - ) 0 0.546 0.5093 0.7639.086.73.579 Re 0 9734 9470 900 38930 48670 58400 λ 0.0365 0.0399 0.0375 0.0309 0.03068 0.03040 B/(MJ kg - m -6 s ).9.07 0.75 0.58 0.47 0.40 -ε w /(J kg - ) 39.4 4. 50.3 63.4 8.54 04.7 3.8 Nasledujúci obrázok ilustruje charakteristiky čerpadla a potrubia. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny (.5 dm 3 min - ) a množstvo energie, ktoré čerpadlo kvapaline dodáva (8.5 J kg - ). 0 charakteristika čerpadla ε /(J kg - ) 90 8.5 60 30 charakteristika potrubia 0 0 50 00.5 50 00 V /(dm 3 min - ) Výkon a príkon čerpadla za uvedených podmienok je.5 0 Pv = εwčm& = εwč = 8.5 999.7 = 67.0 W 60 P = P = 67.0 0.55 = 303.7 W p v η p = p atm z w Δz = m studňa p w 0 0 z Tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla opäť vypočítame na základe Bernoulliho rovnice, pričom už poznáme objemový prietok prúdiacej kvapaliny. Musíme si však zvoliť iné vzťažné body, pre ktoré výpočet uskutočníme. Kvôli jednoduchosti je asi najvhodnejšie vzťažný bod ponechať ako v predchádzajúcom výpočte a nový vzťažný bod (nazvime ho 0) umiestniť do osi potrubia na výstupe z čerpadla. Táto voľba je graficky znázornená na obrázku w p w0 p0 zg + + = z0g+ + + hstrg+ hw g α α 0 V tomto prípade môžeme špecifickú kinetickú energiu v mieste zanedbať vzhľadom na prakricky nulovú rýchlosť prúdenia v priereze studne. Okrem toho môžeme zanedbať disipáciu mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke, nakoľko dĺžka
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie potrubia od nasávacieho koša po ústie výtlačného hrdla čerpadla je veľmi malá. Podľa nákresu je zjavné, že jediným miestom, v ktorom dochádza k miestnej disipácii mechanickej energie je vtok kvapaliny do nasávacieho 0 koša ( ζ = 7 ). Hodnota súčiniteľa α 0 je, pretože pri uvedenom objemovom prietoku je charakter prúdenia vody turbulentný. Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar vhodný na výpočet tlaku vo výtlačnom hrdle čerpadla. p0 p w0 = + ( z z0) g hstrg hwg α0 p0 p w0 0 w = +Δzg ζ εw α0 0 8 p0 = p + Δzg + ζ ε 4 w α0 π d 8 (.5 0 ) p0 = 035 + 9.8 + 7 + 8.5 999.7 = 89354 Pa 4 π 0.05 60 Záverečná úloha je porovnať, ako ovplyvní množstvo prepravovanej kvapaliny použitie dvoch čerpadiel s pôvodnou charakteristikou zapojených v sérii a paralelne. V prípade sériového zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa pri konštantnom objemovom prietoku zdvojnásobí množstvo energie dodanej kvapaline, t.j. pri približne rovnakom prietoku dokážeme kvapalinu dopraviť do dvojnásobnej výšky. V prípade paralelného zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa zdvojnásobí prepravná kapacita (objemový prietok) prepravovanej kvapaliny, pričom kvapalinu dokážeme dopraviť do približne rovnakej výšky, ako v prípade jediného čerpadla. Potom charakteristiky takto usporiadaných čerpadiel sú Usporiadanie V/(dm 3 min - ) 0 30 60 90 0 50 80 40 300 360 čerpadlo ε wč /(J kg - ) 88.9 96.4 98.0 93.0 83.38 66.7 34.34 - - - čerpadlá v sérii ε wč /(J kg - ) 76.6 9.3 96. 86.4 66.8 33.4 68.68 - - - čerpadlá paralelne ε wč /(J kg - ) 88.9-96.4-98.0-93.0 83.38 66.7 34.34 00 dve čerpadlá v sérii 50 ε /(J kg - ) 00 4 96.5 jedno čerpadlo dve čerpadlá zapojené paralelne 50 0 charakteristika potrubia 40 60 0 50 00 50 00 V /(dm 3 min - )
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Čerpadlo s charakteristikou zmeranou pri frekvencii otáčania rotora 00 min - (viď tabuľka) sa používa na prepravu benzénu zo zbernej nádoby destilátu do vzdialeného zásobníka. Čerpadlo je umiestnené metre nad hladinou benzénu v zbernej nádobe. Teplota čerpaného benzénu je 45 C. V oboch nádobách je atmosferický tlak. Najvyššie položené miesto, kam je prepravovaný benzén, sa nachádza 8 metrov nad hladinou benzénu v zbernej nádobe destilátu. Predpokladajte, že nasávacie aj výtlačné potrubie je hydraulicky hladké. Priemer nasávacieho potrubia je 3 palce, jeho celková dĺžka je 5 metrov a ekvivalentná dĺžka zodpovedajúca stratám mechanickej energie v dôsledku miestnych odporov je 5 metrov. Priemer výtlačného potrubia je 4 palce a ekvivalentná dĺžka spôsobená miestnymi odpormi je metrov. Celková dĺžka výtlačného potrubia je 35 metrov. Vypočítajte objemový prietok benzénu. Do akej maximálnej výšky možno umiestniť čerpadlo, aby v ňom nenastala kavitácia? Pre podmienky uvedené v zadaní vypočítajte frekvenciu otáčania, ak sa má čerpať o 30 % viac benzénu a špecifická energia dodaná kvapaline zahŕňa aj 5 %-nú rezervu. Pre novú frekvenciu otáčania prepočítajte charakteristiku čerpadla. V/(m 3 s - ) 0 3 0-3 6 0-3 9 0-3 0-3 5 0-3 ε wč /(J kg - ) 98. 07.9 06.6 93. 75 54.0 Riešenie: Schéma zapojenia je znázornená na nasledujúcom obrázku. p = p atm z w Δz = 8 m zásobník p = p atm z w h č = m Vzhľadom na známy rozdiel medzi polohami hladín benzénu v zbernej nádobe a zásobníku je účelné zvoliť vzťažné body na hladine benzénu v týchto nádobách. Pri riešení Bernoulliho rovnice potom môžeme zanedbať špecifickú kinetickú energiu v týchto miestach, nakoľko je nepomerne menšia v porovnaní s kinetickou energiou kvapaliny prúdiacej v nasávacom a výtlačnom potrubí. Naviac máme k dispozícii všetky údaje na výpočet špecifickej disipovanej energie v nasávacom aj výtlačnom potrubí. Okrem toho, tlaková energia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká, takže Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar (index N platí pre nasávaciu a index V pre výtlačnú časť potrubia, pretože obe časti potrubia s kruhovým prierezom majú rozdielny priemer) L L N ekv,n w N L L V ekv,v wv hwg = ( z z) g+ λn + + λv + dn dn dv dv L L N ekv,n 8 L L V ekv,v 8 εw =Δ zg + λn + + λ 4 V + 4 dn dn π dn dv dv π dv ε = A+ B w zberná nádoba destilátu
Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 A=Δzg B= λ L + L 8 + L + L 8 ( ) λ ( ) N N ekv,n 5 V V ekv,v 5 π dn π dv Riešenie opäť spočíva v porovnaní charakteristiky potrubia a charakteristiky použitého čerpadla. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny a množstvo energie, ktoré jej čerpadlo dodáva. Nakoľko budeme potrebovať posúdiť charakter prúdenia, potrebujeme zistiť, aká je hustota a viskozita prepravovanej kvapaliny. Hustotu benzénu pri teplote 45 C zistíme lineárnou interpoláciou medzi známymi tabelovanými hodnotami (tabuľka 4, strana 7) 40 C 50 C 40 C 858 847 = + ( t 40) = 858 + ( 45 40) = 85.5 kg m 40 50 40 50 Viskozitu benzénu pri teplote 45 C vypočítame na základe údajov v tabuľke 5a na stranách 8-9 5 A+ B/( T / K) + C( T / K) + D( T / K) 4.6+.489 0 /38.5.544 0 38.5+. 0 38.5 μ = e = e =0.4655mPa s = 0.4655 0 Pa s Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobníku musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu ε w = A+ B = A+ B0 = A=Δ zg = 8 9.8 = 78.48J kg V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku) wn = 4 πdn = 4 3 0 π 0.076 = 0.6578ms wv = 4 πdv = 4 3 0 π 0.06 = 0.3700 ms ReN = dnwn μ = 0.076 0.6578 85.5/ 0.4655 0 = 9090 Re = d w μ = 0.06 0.3700 85.5/ 0.4655 0 = 6890 V V V Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu 0. 0. λn = 0.003 + = 0.003 + = 0.0796 0.37 0.37 ReN 9090 0. 0. λv = 0.003 + = 0.003 + = 0.090 0.37 0.37 Re 6890 V Vtedy platí A=Δ zg = 8 9.8 = 78.48J kg 8 8 B= λn( LN + Lekv,N) + λ 5 V( LV + Lekv,V) 5 π dn π dv 8 8 B = 0.0796( 5 + 5) + 0.090 5 ( 35 + ) = 808 J kg m s 5 π 0.076 π 0.06 ε = A+ B = 78.48+ 356 (3 0 ) = 80.0 J kg w 6 Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke