Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων «δυαδικό» Παυλίδου Π. Μουρατίδης. Θ Ε Μ A1. ν και ' είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητες τους ισχύει P(A')=1-P(A) A2. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 7 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμo;y το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 A 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν A και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με τότε για τις πιθανότητες ισχύει P(A) P(B). β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: (f(x) g(x))' f '(x)g(x) f(x)g'(x) δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ε) ν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μονάδες 10 π ά ν τ η σ η 1. πόδειξη σχολ. βιβλίο σελ. 150 2. Ορισμός σχολ. βιβλίο σελ. 87 3. Θεωρία σχολ. βιβλίο σελ. 14 4. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος

2 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό Θ Ε Μ Β 3 x 5 2 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) x 6x 1, x. 3 2 B1. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 9 B2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της (0,f(0)). Μονάδες 8 f '(x) 12 Β3. Να υπολογίσετε το όριο lim x 1 x 1 π ά ν τ η σ η B1. 3 x 5 2 f (x) x 6x 1, x 3 2 ' 2 f (x) x 5x 6 x ' 2 f (x) 0 x 5x 6 0 x 2 ή x 3 Μονάδες 8 x - 2 3 + f'(x) + - + f(x) H f είναι γνησίως αύξουσα στο (-,2) και στο [3,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο [2,3]. Έχει τοπικό μέγιστο το f(2)=11/3 και τοπικό ελάχιστο f(3)=7/2 B2. ε: y=αx+β α=f'(0)=6 Άρα ε: y=6x+β f(0)=-1 To A ανήκει στην ε άρα -1=6 0+β β=-1 οπότε ε: y=6x-1 B3. ' 2 2 f (x) 12 x 5x 6 12 x 5x 6 lim lim lim x1 x 1 x1 x 1 x1 x 1 (x 1)(x 6) lim lim(x 6) 7 x1 x1 x1

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 3 Θ Ε Μ Γ Μεταξύ οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησης τους. Γ1. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδρόγραμμα. Γ2. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: : «το πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά του ίδιου φύλλου». Γ3. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:,, β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: π ά ν τ η σ η Η: «δεν πραγματοποιείται κανέναν από τα,β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β» Μονάδες 9 Γ1. Έστω τα ενδεχόμενα : "το παιδί να είναι αγόρι" : "το παιδί να είναι κορίτσι" Άρα Ω={,,,,,,, }

4 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό Γ2. ={,,, } Β={,,, } Γ={,,, } Γ3. α) Δ= ={,, } Ε= = {,,,, } Ζ=Γ-Ε={, } N(E) 5 N( ) 2 1 P(E) P( ) Άρα N( ) 8 και N( ) 8 4 β) 5 3 P(4) P((A B)') 1 P(A B) 1 8 8 P( ) P((A B) (B A)) P(A B) P(B A) P(A) P(A B) P(B) P(A B) 5 3 1 P(A B) P(A B) 8 8 4 Θ Ε Μ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή xi Συχνότητα vi [8, ) 20 [, ) 14 15 [, ) 10 [, ) v4 ΣΥΝΟΛΟ v=. Δ1. Να αποδείξετε ότι c=4. Δ2. ν η μέση τιμή των χρόνων είναι x 14 να αποδείξετε ότι ν4=5 και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο. Δ3. ν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα. Μονάδες 5

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 5 Δ4. Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s=4 και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομογενές. Δ4. Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s=4 και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομογενές. Δ5. ντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 80% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων. π ά ν τ η σ η Δ1. Η δεύτερη κλάση είναι η [8+c, 8+2c] οπότε έχουμε: (8 c) (8 2c) 14 16 3c 28 3c 12 c 4 2 Δ2. 1 η κλάση [8,12) άρα x 1 =10 2 η κλάση [12,16) άρα x 2 =14 3 η κλάση [16,20) άρα x 3 =18 4 η κλάση [20,24) άρα x 4 =22 xv 1020 1415 1810 22v x 14 v 20 15 10 v i i 4 14(45 v ) 20 210 180 22v 4 4 4 4 630 14v 590 22v 4 4 8v 40 v 5 4 Δ3. Στην κλάση [8,12) έχουμε v 1 =20 οπότε από το 9 έως το 12 θα έχουμε (3/4) 20=15 παρατηρήσεις. Δ4. x i v i x i - x (x i - x ) 2 (x i - x ) 2 v i 10 20-4 16 320 14 15 0 0 0 18 10 4 16 160 22 5 8 64 320 50 800

6 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 2 1 2 1 s (xi x) vi 800 16 v 50 2 Ά s s 16 4 5 4 CV 0, 286 28,6% 14 άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. x Δ5. ν y i οι καινούριες κεντρικές τιμές θα είναι : πό γνωστή εφαρμογή του σχολικού έχουμε ότι y 0,8x 0,8 14 και s 0,8 s 0,8 4 y Οπότε: y y x s 0,84 4 CV 28,6% 0,814 14 δηλαδή δεν άλλαξε. 80 y x 0,8x 100 i i i