ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Πως ορίζονται οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη ; Η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη θετικό ακέραιο,ορίζεται ως εξής: Στη συνέχεια με τη βοήθεια των ισοτήτων: α 0 και α -ν, α 0 και ν N επεκτείνουμε την έννοια της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : π.χ. Επιπλέον, αν μ, ν, θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε : 0.. Πως ορίζονται οι δυνάμεις με άρρητο εκθέτη και ποιες ιδιότητες ισχύουν ; Αν α > 0, άρρητος και ρ ν η δεκαδική προσέγγιση του με ν δεκαδικά ψηφία, τότε καθώς το ν αυξάνει τείνοντας στο +, οι όροι της ακολουθίας (α ρ ν) «προσεγγίζουν» έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, τον οποίο στο εξής θα ονομάζουμε όριο της ακολουθίας (α ρ ν). Το όριο αυτό συμβολίζεται με α και λέγεται δύναμη του α με εκθέτη. Συμβολικά γράφουμε: Επιπλέον, για κάθε > 0, ορίζουμε 0 0. Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, αποδεικνύεται ότι ισχύουν και για δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό αριθμό.

Συγκεκριμένα: Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,, R, τότε: α : α α α α α + (α ) α (αβ) α β (α β) α β. Τι γνωρίζετε για την εκθετική συνάρτηση ; Έστω α ένας θετικός αριθμός. Όπως είδαμε προηγουμένως για κάθε R ορίζεται η δύναμη α. Επομένως αντιστοιχίζοντας κάθε R στη δύναμη α, ορίζουμε τη συνάρτηση: f : R R με f() α, η οποία, στην περίπτωση που είναι α, λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν είναι α, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f(). Κάθε συνάρτηση της μορφής : f() α με α >, αποδεικνύεται ότι: Έχει πεδίο ορισμού το R. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα στο R. Δηλαδή για κάθε, R ισχύει: αν <, τότε α < α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των. Κάθε συνάρτηση της μορφής : f() α με 0 < α <, αποδεικνύεται ότι: Έχει πεδίο ορισμού το R. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Δηλαδή για κάθε, R ισχύει: αν <, τότε α > α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των.

. Τι ισχύει για τις συναρτήσεις f() και g() ( ) και για τις γραφικές παραστάσεις τους ; Για τις συναρτήσεις f() και g() ( ) παρατηρούμε ότι για κάθε R ισχύει: g() ( ) f(-) Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y y. 5. Να αποδείξετε ότι α α. Που χρησιμεύει η ιδιότητα αυτή ; Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης f() α, με 0 < α, προκύπτει ότι: αν, τότε α α οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: αν α α, τότε. Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: α α Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις.

6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 9-8 - 9 0 i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: 6 [Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι -] -6 - ii) Η εξίσωση γράφεται 9-8 - 9 0-8 - 9 0 ( ) - 8-9 0 Αν θέσουμε y, αυτή γίνεται y - 8y - 9 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς - και 9. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων: - και 9 Απ' αυτές η πρώτη είναι αδύνατη, αφού > 0, ενώ η δεύτερη γράφεται και έχει ρίζα το, που είναι και μοναδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης. 7. Να λυθεί το σύστημα: (εκθετικό σύστημα) Αν θέσουμε ω και y φ το σύστημα γίνεται: Το γραμμικό αυτό σύστημα έχει λύση ω και φ 8, οπότε το αρχικό σύστημα γράφεται: ή ισοδύναμα από το οποίο παίρνουμε 0 και y. 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) > ii) < i) Έχουμε > > - [αφού > ] - > - - + > 0 < ή > 5

ii) Έχουμε < < [αφού < ] + > + - > 0 < - ή > 9. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i) f() + ii) g() iii) h() + i) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της φ() κατά μονάδες προς τα πάνω. ii) Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της φ() κατά μονάδες προς τα δεξιά. iii) Τέλος η γραφική παράσταση της h προκύπτει από δυο μετατοπίσεις της φ() - μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα δεξιά και - μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω. 0. Πως ορίζεται ο αριθμός e ; Από το γνωστό τύπο του ανατοκισμού α ν α 0 ( + τ) ν, όπου τ. Αν α 0, ν ν, είναι τ και α ν ( + ) ν ( + ) ν Αν χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης κατασκευάζουμε τον πίνακα: ν 5 ( + ν) ν,5,06,605,708 000 0000 00000 000000,769,785,7868,7880 6

Παρατηρούμε ότι, καθώς το ν αυξάνει, αυξάνει και το ( + ) ν και προσεγγίζει έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. Ο συμβολισμός αυτός οφείλεται στο μεγάλο Ελβετό, μαθηματικό Leohard Euler (707-78). Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e,788. Συμβολικά γράφουμε Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι οι τιμές του ν έχουν μεγάλη σημασία όσο αυτές παραμένουν «μικρές». Από μια τιμή όμως και μετά, όσο και αν αυξάνει το ν, το τελικό ποσό δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά.. Τι ονομάζουμε εκθετική συνάρτηση και ποια η γραφική της παράσταση ; Η απλούστερη τέτοια συνάρτηση είναι η f() e. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται απλώς εκθετική και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.. Ποιος είναι ο νόμος της εκθετικής μεταβολής ; Τι γνωρίζετε για αυτόν και τι καλείται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού ; Μία ακόμη εκθετική συνάρτηση με βάση το e είναι η () Q(t) Q 0 e ct Αυτή εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος, που μεταβάλλεται με το χρόνο t. To Q 0 είναι η αρχική τιμή του Q (για t 0) και είναι Q 0 > 0, ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής. Αν c > 0 η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c < 0 η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πάρα πολλές εφαρμογές της Φυσικής, της Βιολογίας, της Στατιστικής και άλλων επιστημών. Για παράδειγμα ο αριθμός των γραμμαρίων μιας ραδιενεργού ουσίας κατά τη χρονική στιγμή t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον τύπο Q(t) 00 e 0,t. Αυτό σημαίνει ότι η ουσία που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι: Q(7) 00e 0, 7 00(,78),,5 γραμμάρια. Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας. 7

. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 5 χρόνια, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού είναι Q(t) Q 0 t/5. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού η ημιζωή είναι 5 χρόνια, από το νόμο της εκθετικής απόσβεσης Q(t) Q 0 e ct έχουμε: Q 0 / Q 0 e ct ½ e 5c Άρα Q(t) Q 0 t/5 8

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδας.i) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() και y f () y y Α(0,) O.ii) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () και f () y Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της C f κατά μονάδες προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της C f κατά μονάδες προς τα κάτω. y + y O Β(0,) Α(0,) y - Γ(0,-) 9

.iii) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () και f () 5 Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της C f κατά μονάδες προς τα δεξιά. y + y - y Η γραφική παράσταση της f 5 προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της C f κατά μονάδες προς τα αριστερά. O y.iv) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(), f () 6 Η γραφική παράσταση της f 6 προκύπτει από τη μετατόπιση της C f, οριζόντια κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά μονάδα άνω. O y y - + y.v) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις g() e, g () e +, g () e, g () e + Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη μετατόπιση της C g, οριζόντια κατά μονάδες προς τα αριστερά. ( ) Επειδή g ( ) e e g(), η γραφική παράσταση της g είναι συμμετρική της C f ως προς τον άξονα yy y e + O y y e y e - y e - + Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της g κατά μονάδες προς τα πάνω. 0

.i) Να λύσετε την εξίσωση 6 6 6 6.ii) Να λύσετε την εξίσωση 8 8.iii) Να λύσετε την εξίσωση.iv) Να λύσετε την εξίσωση 8 8.v) Να λύσετε την εξίσωση 6 7.vi) Να λύσετε την εξίσωση 6 7 7 9

7 9 ( ) ( + ) +.vii) Να λύσετε την εξίσωση 6 0 0 5 5 5 ( ) 5 ( ) 6 5 9 9.viii) Να λύσετε την εξίσωση 0 0 Δ + 8 9, 9 ή.i) Να λύσετε την εξίσωση 0. 0.. 0 ( ). 0 Θέτουμε y Η εξίσωση γίνεται y y 0 y(y ) 0 y 0 ή y 0 y 0 ή y α) για y 0, θα έχουμε β) για y θα έχουμε 0 αδύνατη.ii) Να λύσετε την εξίσωση. 5. + 0 + 0. 5.. 5. + 0. 5. + 0 Θέτουμε y

Η εξίσωση γίνεται y 5y + 0 Δ 5 6 9, y 5 9 α) για y, θα έχουμε β) για y θα έχουμε 5 ή.iii) Να λύσετε την εξίσωση 6. 9 0 6. 9 0. 6. 9 0. 6. 9 0 Θέτουμε y Η εξίσωση γίνεται y 6 y 9 0 Δ 6 + 08 676 + 08 78, y α) για y 9, θα έχουμε 9 β) για y θα έχουμε 6 78 6 αδύνατη 6 8 6 9 ή.i) Να λύσετε την ανίσωση 5 6 5 < 5 6 5 < 5 6 5 < 0 5 5 6 < 0 Δ 5, ρίζες του τριωνύμου ή Θέλουμε το τριώνυμο αρνητικό, δηλαδή ετερόσημο του α, άρα ο θα είναι εντός των ριζών, δηλαδή < <.ii) Να λύσετε την ανίσωση 7 7 7 7 > + > 5.iii) Να λύσετε την ανίσωση + > 5 > < 5

5.i) Να λύσετε το σύστημα 8. 5.5 5 y 8.. y y y y 5.5 5 5 5 y y y ( ) 5 (y ) 5 5 () (y) 5 y y () (y) 5 y y 6 8y5 y 68y 0 y 6.y8y 0 y 0y 0 y y 0 0 5.ii) Να λύσετε το σύστημα y Θέτουμε ω, φ Το σύστημα γίνεται 7 y y 7 8 9 9 y y y 6.i) Να λύσετε το σύστημα y e :e y e.e e y e :e y e.e e e e e e y 0 y y0 y y y

6.ii) Να λύσετε το σύστημα Θέτουμε ω > 0, y φ > 0 Το σύστημα γίνεται 8 6 y. 8 y 6 8 6 ω (6 ω) 8 6 ω (6 ω) 8 6 ω 6 ω ω 8 6 ω ω 6 ω + 8 0 6 ω Δ 6, ω 6 6 ή α) για ω, η εξίσωση φ 6 ω φ 6 φ y y φ y ω β) για ω, η εξίσωση φ 6 ω φ 6 φ y y φ y ω 7. Να λύσετε την ανίσωση ανίσωση 0 0. 0 + 00 < 0 Ρίζες του τριωνύμου:, 00 w 0w 00 < 0 < w < 00 < 0 0 0. 0 + 00 Θέτουμε 0 w, οπότε η () w 0w 00 < 0 και στη συνέχεια την < 0 () 0 0. 0 + 00 0 0. 0 + 00 < 0 < w < 00 < 0 < 00 0 0 < 0 < 0 0 < < 5

Β Ομάδας.Να βρείτε τις τιμές του αϵr, για τις οποίες ορίζεται σε όλο το R η συνάρτηση f(). Για ποιες από αυτές τις τιμές η συνάρτηση είναι i) γνησίως φθίνουσα ii) γνησίως αύξουσα Πρέπει > 0 ( α)(α ) > 0 α + α > 0 Ρίζες του τριωνύμου :, 5α + < 0. Άρα < α < () i) Πρέπει να είναι και < < 0 < 0 < 0 ( ) < 0 ( α)(α ) < 0 α + α < 0 α + > 0 α < ή α > () Συναλήθευση των (), () < α < ii) Πρέπει να είναι και > Συναλήθευση των (), () : < α < () < α < 6

.i) Να λύσετε την εξίσωση 5 0 5 0 5 0 5. 0 5 0 Θέτουμε Η εξίσωση γίνεται y, οπότε y y 5y + 0 y ή y α) για y έχουμε β) για y έχουμε 0 0.ii) Να λύσετε την εξίσωση + 5 7 + + + 5 7. ( ) 9.iii) Να λύσετε την εξίσωση.. + 5 + 5 7 5 7 + 5 5. + 5.5 +. + 5.5 00.5 60. 5 60 6 00 0 5 5 5 5. + 8. + 5.5 5.5 7

.iv) Να λύσετε την εξίσωση + 9. + + 9. + 9. 9 + 9. 8. 9. 8. 9 7 9 7 8 + +. +. + 6..v) Να λύσετε την εξίσωση..... 8. 8.. 8

y y.i) Να λύσετε το σύστημα 6. y y y Θέτουμε 6. y 6 Το σύστημα γίνεται 6 6 ( ) 6 και y φ 6 0 6 0 ή ω8 ή ή 8 9 8 y y ή ή y y.i) Να λύσετε το σύστημα y.5 50 y.5 0 y.5 50 y.5 0 y y.5..5 50.0 y.5 0 9

y y.5 0000 y.5 0 (.5) 0 y.5 0 y (0) 0 y.5 0 y y y.5 0 y y.5 0 y.5 0 ().5 0 6.. 5 0 5 0. 5 0 6 5 5 y y y.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(), όταν 0 f() y - -, όταν < 0 y y Η γραφική παράσταση του κλάδου f() με 0 προκύπτει από την καμπύλη y διαγράφοντας τα σημεία της που έχουν τετμημένη < 0, (διακεκομμένο τμήμα της) O Η γραφική παράσταση του κλάδου f() με < 0 προκύπτει από την καμπύλη y διαγράφοντας τα σημεία της που έχουν τετμημένη 0, (διακεκομμένο τμήμα της).ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(), όταν 0 f(), όταν < 0 Η γραφική παράσταση του κλάδου y - y y 0 O

f() με 0 προκύπτει από την καμπύλη y διαγράφοντας τα σημεία της που έχουν τετμημένη < 0, (διακεκομμένο τμήμα της) Η γραφική παράσταση του κλάδου f() με < 0 προκύπτει από την καμπύλη y διαγράφοντας τα σημεία της που έχουν τετμημένη 0, (διακεκομμένο τμήμα της) 5. Αν f() και g() f g f g, να αποδείξετε ότι ( + ) 6. Αν αφήσουμε το καπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου με βενζίνη ανοικτό, η βενζίνη εξατμίζεται με ρυθμό 0% ανά εβδομάδα. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο μετά από t εβδομάδες. ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης να διαπιστώσετε ότι μετά 0 εβδομάδες μόνο η μυρωδιά της βενζίνης θα υπάρχει στο δοχείο. i) Έστω f(t) η συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο μετά από t εβδομάδες, σε λίτρα f(0) 5 f() f(0) f(0) 0 00 f(0) 0 00 f() f() f() 0 00 f() 0 00 80 f(0) 00 5. 5 5 5 80 f() 00 5 5 5 5 5 f(). 5 5 * * * f(t) 5 5 t

ii) f 5 O t iii) f(0) 5. 5 0 0,0000 7. Το ραδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασμού 600 χρόνια. Αν η αρχική ποσότητα είναι 5 γραμμάρια, i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, η οποία δίνει την ποσότητα του Ραδίου μετά από t χρόνια είναι Q(t) 5. 0,5 t /60 ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά από 600 χρόνια με προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων iii) να αποδείξετε ότι μετά από 0000 χρόνια μόλις 0,00 γραμμάρια θα έχουν απομείνει. i) Είναι δεδομένο ότι Q(t) Q0 Q0 Αλλά Q0 c.600 e Η () Q(t) 5 ii) Q(600) 5 600 600 5 600 t e ct c Q(t) 5 t 6 6 600 c Q(t) 5 e 8 5,86 t 600 e () c e 600 iii) Q(0000) 5 0000 600 5 00 6 5 5 0,00 8. Ένας πωλητής αυτοκινήτων βεβαιώνει τους πελάτες του ότι η αξία ενός αυτοκινήτου 0.000 ευρώ ελαττώνεται κατά 5% το χρόνο στα πρώτα 6 χρόνια από την πώλησή του.

i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιμή του αυτοκινήτου μέσα στα 6 χρόνια. ii) Να υπολογίσετε την τιμή του αυτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου. i) Έστω f(t) η συνάρτηση που δίνει την τιμή του αυτοκινήτου σε t χρόνια, όπου 0 t 6 f(0) 0 σε χιλιάδες ευρώ f() f(0) f(0) 5 00 f(0) 5 00 f() f() f() 5 00 f() 5 00 85 7 f(0) 0. 00 0 0 7 0 85 f() 00 0 7 7 0 0 0 7 0 7 f(). 0 0 * * * 7 f(t) 0 0 6 7 ii) f(6) 0. σε χιλιάδες ευρώ 5.000 ευρώ 0 t

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. Τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α ; Η λύση της εξίσωσης: α θ, όπου α > 0 με α και θ > 0 είναι μοναδική, αφού η εκθετική συνάρτηση f() α είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με log α θ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α. Ώστε, αν α > 0 με α και θ > 0, τότε: α θ log α θ Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής: Ο log α θ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ.. Ποιες οι άμεσες ιδιότητες που προκύπτουν από τον ορισμό του λογαρίθμου ; Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > 0 με α, τότε για κάθε R και για κάθε θ > 0 ισχύει: log α α και θ Εξάλλου, επειδή α 0 και α α, ισχύει: log α 0 και log α α. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες των λογαρίθμων ; Αν α > 0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ, θ > 0 και k R ισχύουν:. log α(θ θ ) log αθ + log αθ. log α log αθ - log αθ. log αθ k klog αθ Απόδειξη. Έστω ότι είναι: () log α θ και log α θ Τότε έχουμε α θ και α θ οπότε: α α θ θ, δηλαδή α + θ θ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με log α (θ θ ) + από την οποία, λόγω των (), έχουμε τελικά: log α (θ θ ) log α θ + log α θ. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο. Έστω ότι είναι: () log α θ και log α θ

Τότε έχουμε : α θ και α θ οπότε: α :α θ : θ, δηλαδή α - θ : θ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με log α ( ) - από την οποία, λόγω των (), έχουμε τελικά: log α ( ) log α θ - log α θ. Έστω ότι είναι: () log α θ Τότε έχουμε α θ οπότε: α k θ k Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την log α θ k k από την οποία, λόγω της (), προκύπτει ότι: log α θ k k log α θ. Να αποδείξετε ότι : log α log α θ Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει, έχουμε 5. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : A log 56 + log - log 8 Έχουμε διαδοχικά: A log 56 + log - log 8 log + log - log 8 log 6 + log 9 - log 8 log ( ) log 8 log 6. Ποιοι λογάριθμοι χρησιμοποιήθηκαν και γιατί πριν από την χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών ; Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 0. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι. 5

Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με log l0 θ. Επομένως: logθ 0 θ 7. Πως ορίζονται οι Φυσικοί λογάριθμοι ; Οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e, λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται με lnθ, και όχι με log e θ. Επομένως: lnθ e θ 8. Να γραφεί και να αποδειχθεί ο τύπος αλλαγής βάσης. Σε ποιους λογαρίθμους χρησιμοποιείται ο τύπος αυτός ; Αν α, β > 0, με α, β τότε για κάθε θ > 0 ισχύει: log β θ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι είναι log β θ. Τότε θ β, οπότε: (επειδή log β θ) log α θ log α β log α β log β θ log α β Άρα έχουμε: log β θ log α β log α θ, οπότε log β θ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε: log β θ και log β θ Επομένως ο υπολογισμός του log β θ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ. Επειδή το σύμβολο log α θ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα. 9. Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο R log όπου Ι 0 μια ορισμένη ελάχιστη ένταση. i) Να βρεθεί το μέγεθος R ενός σεισμού που έχει ένταση I 000Ι 0. ii) Να εκφρασθεί το I ως συνάρτηση του R και του Ι 0. iii) Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά μονάδα Richter. 6

i) Επειδή I 000Ι 0 από τον τύπο R log βρίσκουμε ότι: R log log000 ii) Από τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου προκύπτει ότι () R log 0 R I I 0 0 R iii) Έστω δυο σεισμοί με εντάσεις I, I και μεγέθη R, R αντίστοιχα. Αν R R +, τότε λόγω του τύπου () έχουμε: 0, οπότε Ι 0 I Επομένως η ένταση I ενός σεισμού είναι 0πλάσια της έντασης I ενός άλλου σεισμού μικρότερου κατά μονάδα Richter. 0. Οι χημικοί χρησιμοποιούν έναν αριθμό που συμβολίζεται με pη για να περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύματος. Εξ' ορισμού είναι ph - log[h + ], όπου [H + ] είναι η συγκέντρωση των Η + σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο. i) Να υπολογίσετε το pη των εξής ουσιών: - του ξιδιού: [H + ] 6, 0 - - του νερού της θάλασσας:: [H + ] 5,0 0-9 ii) Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση γραμμοϊόντων υδρογόνου [Η + ] στις εξής ουσίες: - Μπύρα: ph, - Γάλα: ph 6,6 i) - Το pη του ξιδιού είναι ίσο με -log(6, 0-), - Το pη του νερού της θάλασσας είναι ίσο με -log(5,0 0-9) 8, ii) - Επειδή για τη μπύρα είναι pη,, έχουμε, -log[h+] log[h+] -, [H+] 0-, [H+] 6, 0-5 - Επειδή για το γάλα είναι pη 6,6, έχουμε 6,6 -log[h+] log[h+] -6,6 [H+] 0-6,6 [H+],5 0-7. Αν η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση του φωσφόρου Ρ είναι N(t) N 0 e -0,095t, όπου t ο χρόνος σε ημέρες, να βρεθεί η ημιζωή του φωσφόρου Ρ. Αν t είναι η ζητούμενη ημιζωή, τότε θα είναι N(t) Επομένως έχουμε: N 0 e -0,095t e -0,095t -0,095t ln -0,095t -0,6978 t μέρες 7

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδας.i) Να υπολογισθεί ο log0 0,00 Έστω log0 0,00 0 0,00 0 0.ii) Να υπολογισθεί ο log 0 0 Έστω log 0 0 0 0 0 0.iii) Να υπολογισθεί ο log Έστω log 5 5 5.iv) Να υπολογισθεί ο log9 Έστω log9 7 7 9 7 8

.v) Να υπολογισθεί ο Έστω log 6 log 6 6 8.vi) Να υπολογισθεί ο log Έστω log 8 7 8 7 8 7 8 7..i) Για ποια τιμή του ισχύει log0 log0 0 000.ii) Για ποια τιμή του ισχύει log log 9

.iii) Για ποια τιμή του ισχύει log log.i) Για ποια τιμή του α ισχύει log 6 Περιορισμός: 0 < α log 6 6.ii) Για ποια τιμή του α ισχύει Περιορισμός: 0 < α log 8 8 log 8 6 6.iii) Για ποια τιμή του α ισχύει log 0, Περιορισμός: 0 < α log 0, 0, 0 0 0.i) Να αποδείξετε ότι log log log log log log log log log (. ) log log log log log log..ii) Να αποδείξετε ότι log0 log0 5 log0 log0 log0 5 log0 0 0 0 log0 8log0 5 log0 log log 5 log 8. 5 log 0 log0 0 0

.iii) Να αποδείξετε ότι log0 5 log0 8 log0 log0 5 log0 5 log0 8 log0 5 log0 5 log 0 log0 5 5.log0 5.log 0 5. log0 5 log 5log log 0 0 0 log0 5 0 log0 log0 0 log0 log0.iii) Να αποδείξετε ότι log6log Αρκεί να αποδείξουμε ότι log 6 log log 6 log log 6. log log 6 log 6 log log.iii) Να αποδείξετε ότι log ( ) log (6 ) log ( ) log (6 ) log ( ) log (6 ) log ( ) log (6 ) log (6 ) log (6 ) log 6 6 log 6 log (6 ) log log log. 5. Ο αριθμός των βακτηριδίων που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t ώρες δίνεται από τον τύπο Q(t) Q 0,t 0 e, όπου Q 0 είναι ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων. Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να δεκαπλασιασθεί;

Έστω t ο χρόνος δεκαπλασιασμού. Q(t) 0 Q 0 Q 0,t 0 e 0 Q 0 0,t e 0 lne 0,t ln0 0, t ln0 t ln0 0, 6. Κάτω από σταθερή θερμοκρασία, η ατμοσφαιρική πίεση ρ (σε Pascals), σε kh ύψος h (σε μέτρα) δίνεται από τον τύπο ρ 000. e i) Να βρείτε την τιμή του k, αν σε ύψος 050 m h ατμοσφαιρική πίεση είναι 68900 Pascals. ii) Ποια είναι ατμοσφαιρική πίεση σε ύψος 000 m; i) Η ατμοσφαιρική πίεση ρ εξαρτάται από το ύψος h. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση ρ(h) 000. e kh ρ(050) 6890 k050 000. e 68900 k050 e 689 0 lne k050 ln 689 0 050 k ln 689 0 k 050 ln 689 0 kh ii) Η ισότητα ρ(h) 000. e, για h 000 δίνει k000 Ρ(000) 000. e, με k γνωστό από το i) 7. Οι αστέρες ταξινομούνται ανάλογα με τη (φαινόμενη) λαμπρότητά τους που καλούνται μεγέθη. Οι ασθενέστεροι αστέρες με λαμπρότητα L 0 λέμε ότι έχουν μέγεθος 6. Κάθε άλλος αστέρας λαμπρότητας L έχει μέγεθος m, που L καθορίζεται από τον τύπο: m 6,5. log L i) Να βρείτε το μέγεθος m του αστέρα, που έχει λαμπρότητα L 5 00. L 0 0 ii) Πόσες φορές λαμπρότερος είναι ένας αστέρας ου 6 ου μεγέθους; μεγέθους από έναν αστέρα

i) Το μέγεθος m εξαρτάται από τη λαμπρότητα L. L Έτσι ορίζεται η συνάρτηση m(l) 6,5. log L m( 5 00. L 0 ) 6,5. log 5 00L L ii) Η ισότητα m(l) 6,5. log L L 6,5. log L 0 L 0 0 0 L,5. log L 6 L,5. log L 5 0 0 L log L 0 0 m( 5 00. L 0 ) 6,5. log 5 00 m( 5 00. L 0 ) 6,5. 5. log00 m( 5 00. L 0 ) 6,5. 5. m( 5 00. L 0 ) 6 5 για m(l) δίνει L L 00 L 00 L 0 0 Άρα ένας αστέρας ου μεγέθους είναι 00 φορές λαμπρότερος από έναν αστέρα 6 ου μεγέθους. 8. Οι πωλήσεις S(t) (σε χιλιάδες μονάδες) ενός προϊόντος σε διάστημα t χρόνων μετά την εισαγωγή του στην αγορά δίνονται από τον τύπο kt S(t) 00 ( e ). i) Να υπολογίσετε το k, αν οι πωλήσεις κατά το πρώτο έτος ανήλθαν σε 5000 μονάδες ii) Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στα 5 πρώτα χρόνια; i) S() 00 ( k e ) 5 00 ( k e 5 00 k e ) k e 5 00 85 00 k ln 5 00 ii) S(5) 00 ( 00 k5 k e ) 00 e 5 5 85 00

Β Oμάδας.i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Έστω Τότε log log log log log log log log. log log log log log. log log log + log log ().ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Έστω log 8 9 log 8 log 8 log 8 9 Τότε log log log8 log ( log 8 ) log log ( log 8 ). log log 8 log log 8 log 8 8 9 8 9 8.Αν οι θετικοί αριθμοί,,,... είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι log, log, log,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και αντιστρόφως.,,,... διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου λ (λ ο λόγος της προόδου) log log ( λ ) log log λ + log οι log, log, log,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά log λ

.Μιας αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι ίσος με log και ο δεύτερος όρος με log 8. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο ω log 8 log log 8 ( ) [ log + (ν ) log ] log. log log log log [ + ν ] ν log. ν log.. Να αποδείξετε ότι 0 0 0 0 log log... 0 0 0 0 0 log log... 0 0 log log 0 log log0 0 log. 0 log log0 0 ν log0 0 ν. ν ν. (ν στο πλήθος ριζικά) 5. Να αποδείξετε ότι log + log +.... + log log ν log + log +.... + log log + log +... + log log...... ν- ν log log log ν log ν 5

ΛΟΓΑΡΙΘΜIΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Πως ορίζεται η λογαριθμική συνάρτηση ; Τι γνωρίζετε για αυτήν ; Ποια η γραφική της παράσταση ; Ποια άμεσα συμπεράσματα εξάγονται και τι ονομάζουμε λογαριθμικές εξισώσεις ; Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας, για κάθε > 0 ορίζεται ο log α. Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε (0, + ) στο log α, ορίζουμε τη συνάρτηση f : (0, + ) R με f() log α Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α. Ας θεωρήσουμε, τώρα, την λογαριθμική συνάρτηση f() log α. Επειδή log α y α y, αν το Μ(ξ,η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y log α, τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y α και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και. Επομένως : Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y log α και y α είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και. Αν λάβουμε τώρα υπόψη μας την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση f() α καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Αν α >, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g() log α : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι αν <, τότε log α < log α απ' όπου προκύπτει ότι: (log α < 0, αν 0 < < ) και (log α > 0, αν >) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy. 6

Αν 0<α< τότε η λογαριθμική συνάρτηση g() logα: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι αν <, τότε log α > log α απ' όπου προκύπτει ότι: (log α > 0, αν 0 < < ) και (log α < 0, αν > ) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy. Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι: αν, τότε log α log α οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: αν log α log α, τότε Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: log α log α Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για επίλυση εξισώσεων όπως π.χ. η log ( - ), που λύνεται ως εξής: log ( - ) log ( - ) log log ( - ) log 8-8 9 ή - Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις.. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις i) φ() ln ii) f() ln + iii) g() ln( - ) Για τη γραφική παράσταση της φ() ln κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών: 0, 0, 0,5 0,7 5 y ln -,6 -, -0,7-0, 0 0,7,,,6 Τοποθετώντας τα σημεία (, y) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ() ln. 7

Η γραφική παράσταση της f() ln + προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ() ln κατά μονάδα προς τα πάνω, ενώ της g() ln( - ) από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ() ln κατά μονάδες προς τα δεξιά.. Να βρεθεί το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς: Από την ανισότητα > παίρνουμε διαδοχικά: log0,5 > log0,5 log0,5 > log0,5 log0,5 > log0,5 0,5 > 0,5, που είναι άτοπο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέλη της ανισότητας > με log0,5 < 0 και δεν αλλάξαμε φορά.. Να λυθεί η εξίσωση: log ( - ) + log ( ) ΛΥΣΗ Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον - > 0 και - > 0. Με αυτούς τους περιορισμούς η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: log ( - ) log + log ( - ) log ( - ) log [( - )] - ( - ) ή Από τις τιμές αυτές του μόνο η ικανοποιεί τους περιορισμούς. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, τη. 8

ΛΟΓΑΡΙΘΜIΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Oμάδας. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() log και g() log Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντηση. Πίνακας τιμών για τη συνάρτηση f() log / / y log y 0 Μπορούμε να συνεχίσουμε με περισσότερα σημεία. Έτσι θα έχουμε τη μορφή της C f Πίνακας τιμών για τη συνάρτηση g() log / / O - A(,0) y log y 0 Μπορούμε να συνεχίσουμε με περισσότερα σημεία. Έτσι θα έχουμε τη μορφή της C g Παρατηρούμε ότι οι C f και Αυτό συμβαίνει διότι g() C g είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα log log log log log f(). Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() log, g() log και h() log ( ) Μετακινούμε τη C f κατακόρυφα y κατά μία μονάδα προς τα κάτω, οπότε έχουμε τη C g. O y log(-) Μετακινούμε τη C f οριζόντια κατά μία μονάδα προς τα δεξιά, οπότε έχουμε τη C. h y log y log - 9

.i) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() και τη λογαριθμική συνάρτηση g() log, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο Α(, ). C f Άρα f() C g log Άρα g() log.ii) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() και τη λογαριθμική συνάρτηση g() log, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο Β(, ). C f Άρα f() log ( ) αδύνατη C g.iii) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() και τη λογαριθμική συνάρτηση g() log, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο Γ(, ). C f αδύνατη C g log Άρα g() log 0

.iv) Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f() και τη λογαριθμική συνάρτηση g() log, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο Δ(, ). C f αδύνατη C g log ( ) αδύνατη.η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φιλμ μετριέται σε μονάδες ΑSA ή σε μονάδες DIN. Αν μονάδες ΑSA συνδέονται με y μονάδες DIN με τον τύπο y + 0 log, να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης για 50, 00, 00, 00, 800, 600 ΑSA. Τι παρατηρείτε; (Δίνεται ότι log 0,) Για 50, είναι log log50 log 00 Άρα y + 0.,7 + 7 8 log00 log log0 0, log0 0, 0,,7 Για 00, είναι log log00 log0 log0 Άρα y + 0. Για 00, είναι log log00 log(. 0 ) log + log0 0, + log0 0, +, Άρα y + 0., + Για 00, είναι log log00 log(. 0 ) log + log0 Άρα y + 0.,6 + 6 7 log + log0. 0, + 0,6 +,6 Για 800, είναι log log800 log(8. 0 ) log + log0 log + log0. 0, + 0,9 +,9 Άρα y + 0.,9 + 9 0 Για 600, είναι log log600 log(6. 0 ) log + log0 Άρα y + 0., + log + log0. 0, +, +, 50 00 00 00 800 600 y 8 7 0 Παρατηρούμε ότι, ενώ οι τιμές του είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο, οι τιμές του y είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά.

5.i) Να λυθεί η εξίσωση log( + ) + log( ) log Περιορισμοί: Πρέπει + > 0 και > 0 > και > > log( + ) + log( ) log log[( + ) ( )] log ( + ) ( ) 5.ii) Να λυθεί η εξίσωση log( ) + log log5 Περιορισμοί: Πρέπει > 0 και > 0 > και > 0 > log( ) + log log5 log[( )] log0 log5 Δ + 8 9, 9 log[( )] log 0 5 ( ) 0 5.iii) Να λυθεί η εξίσωση log log Περιορισμός: Πρέπει > 0 log log log log Θέτουμε log y H εξίσωση γίνεται y y Για y 0, έχουμε log 0 Για y, έχουμε log y y 0 y (y ) 0 y ή y 0 0 00 5.iv) Να λυθεί η εξίσωση log( + ) log log Περιορισμός: Πρέπει > 0 log( + ) log log log log + + 0 0 ή που απορρίπτεται.

6.i) Να λυθεί η εξίσωση 5 5 5 5 5 0 log 6.ii) Να λυθεί η εξίσωση 6 6 log log6 log (,5) log6 log 6 log(,5) 7. Να συγκριθούν οι αριθμοί: i) log και log 5 ii) log0, 5 και log0, 7 iii) log( + ) και log i) Θεωρούμε τη λογαριθμική συνάρτηση f() log Επειδή η βάση είναι α >, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως: < 5 f() < f(5) log < log 5 ii) Θεωρούμε τη λογαριθμική συνάρτηση f() log 0, Επειδή η βάση είναι α 0, <, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως: 5 < 7 f(5) > f(7) log0, 5 > log 0, 7 iii) Περιορισμός: > 0 Αποδεικνύουμε πρώτα ότι Αρκεί + + 0 0 που ισχύει Θεωρούμε τη λογαριθμική συνάρτηση f() log Επειδή η βάση είναι α 0 >, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. α) Όταν, τότε β) Όταν, τότε +, οπότε log( + ) log + >, οπότε f( + ) > f() δηλαδή log( + ) > log

8. Ένα διάλυμα θεωρείτε όξινο αν [H ] > 0 και βασικό αν [H ] Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για το ρη. 7 [H ] > 0 log[h ] > log0 7 log[h ] > 7 log[h ] < 7 ρη < 7 Επομένως το όξινο διάλυμα έχει ρη < 7 και το βασικό έχει ρη > 7 7 < 7 0.

Β Oμάδας.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() ln Πρέπει > 0 0 Άρα πεδίο ορισμού είναι (,0) (0, ) f( ) ln ln f() άρα η συνάρτηση είναι άρτια, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy. y ln(-) (-,0) O y (,0) y ln ln, όταν > 0 Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται f() ln( ), όταν < 0 Επομένως, η C f προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση y ln και τη συμμετρική της ως προς τον άξονα y y..ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() ln Πρέπει > 0 0 Άρα πεδίο ορισμού είναι (,0) (0, ) f() ln ln f( ) ln ln ln f() άρα η συνάρτηση είναι άρτια, οπότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy. y ln(-) (-,0) O y (,0) y ln ln, όταν > 0 Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται f() ln(-), όταν < 0 Επομένως, η C f προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση y ln και τη συμμετρική της ως προς τον άξονα y y..iii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() ln Πρέπει > 0 Άρα πεδίο ορισμού είναι (,0) (0, ) Όταν ln > 0, δηλαδή όταν >, τότε ln ln, οπότε f() ln 5

Όταν ln < 0, δηλαδή όταν <, τότε ln ln, οπότε f() ln Άρα, ο τύπος της συνάρτησης γράφεται ln, όταν f() ln, όταν < Επομένως, η C f προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση y ln για και y O y - ln (,0) y ln τη συμμετρική της ως προς τον άξονα για 0 < <.iv) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() log(0 0) Πρέπει 0 0 > 0 0 > 0 y > Άρα πεδίο ορισμού είναι το διάστημα (, ) yf() (,) f() log(0 0) f() log[0( )] y log O f() log0 + log ( ) f() + log ( ) Άρα η C f προκύπτει από την καμπύλη με εξίσωση y log μεταφέροντάς τη κατά μονάδα επάνω και δεξιά..i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() ln Εύρεση του πεδίου ορισμού Για κάθε ισχύει > αφού Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το. Επομένως, για κάθε και f(-) ln ( ) είναι περιττή. 0 ln ln ln Άρα η συνάρτηση είναι περιττή., δηλαδή 0 ln ln ln 0 f() f() 6

.ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() ln Εύρεση του πεδίου ορισμού Πρέπει > 0 ( )( + ) > 0 > 0 Άρα D,, + f > > < ή > είναι περιττή., το οποίο είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, άρα για κάθε D και f D f f( ) ln ( ) ln ( ) ln ln ln Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. 0 f() f(). Για ποιες τιμές του οι αριθμοί log78, log 8. με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; Πρέπει και αρκεί log 8. log 8. log 8. log78 + log log78 + log log(78. ) 8( +. ) 78., log 8. + 6. 78. 8. 6. 6 8 5.i) Να λύσετε την εξίσωση log log. Περιορισμοί: Πρέπει > 0 και log 0 > 0 και > 7

log log log log log log log log log log 0 log(log ) 0 log 0 ή log 0 ή log ή 0 5.ii) Να λύσετε την εξίσωση Θέτουμε ln y. Η εξίσωση γίνεται Ρίζες: y ή y α) για y έχουμε β) για y έχουμε 6.Να αποδείξετε ότι log5 y 5y + 0 ln 5ln 0 ln ln ή ln e e ή ln ln ή ln e ή e log5 log 5 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log 5 5 + log5 log log5 5 log( ) log( 5 log ) log5. log log. log5 που ισχύει log Η εξίσωση γράφεται 5 5 + log5 log log5 Θέτουμε 5 y Η εξίσωση γίνεται y 5 + y y y 5 0 y 5 ή y α) για y 5 έχουμε β) για y έχουμε log 5 5 log 0 log 5 που είναι αδύνατη log(y) log 7.i) Να λύσετε το σύστημα log.log y log Περιορισμοί: > 0 και y > 0 log(y) log log.log y log log log ylog log.log y log 8

Αναζητάμε δύο αριθμούς, τους log και logy, με άθροισμα log και γινόμενο (log ). Αυτοί οι αριθμοί είναι οι log και log. Επομένως log log log y log ή log log log ylog log ylog ή log log y y 8 ή 8 y 7.ii) Να λύσετε το σύστημα Περιορισμοί: > 0 και y > 0 y8 log ylog y8 log y log y8 log ylog y8 y 8 y 8 y y y y 7.iii) Να λύσετε το σύστημα log ylog log Περιορισμοί: > 0 και y > 0 y y log ylog log log y log() y y 9

yy y y y y y 8.i) Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός: > 0 log > (log ) log > (log ) log > Θέτουμε log y (log ) Η ανίσωση γίνεται y > y y y < 0 Τριώνυμο αρνητικό, ετερόσημο του α, άρα ο y εντός των ριζών 0 και. 0 < y < 0 < log < log < log < log00 < < 00 8.ii) Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός: log( ) < log > 0 και > 0 > 0 και > > 0 και > > 0 και < - ή > > () log( ) < log < < 0 < < () Συναλήθευση των (), () < < 8.iii) Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός: > 0 () log > 0 log log > 0 log( ) > log0 log. log > log > log > log < ή log > 50

< 0 ή > 0 < 0 ή > 0 () Συναλήθευση των (), () : 0 < < 0 ή > 0 0. Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε α, β > 0 με α β, ισχύει : β β α. β > α β β β α Αρκεί να αποδείξουμε ότι log(. β ) > log(α β ) log + log > log + log log + log > log + log log + log log log > 0 (log log ) (log log ) > 0 (log log ) ( ) > 0 Όταν > τότε > 0 και log log > 0 και log log > 0 (log log ) ( ) > 0 Όταν < τότε < 0 και log log < 0 και log log < 0 (log log ) ( ) > 0 5

Γενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου Γ Oμάδας.i) Να λύσετε την εξίσωση 5 5 α) β) ( και 5 άρτιος) ή ( 0 και 5 0) ή ( ) και 5 άρτιος 0 και 5 άρτιος ή και 5 άρτιος 0 και 5 0 0 και 5 0 και 5 γ) 5. 5 + 0 και 5 5 5 9 0 και 5 9 9 9 0 και 5 5 9 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή.ii) Να λύσετε την εξίσωση 0 0 ( ) ( και α) και 0 ή 0 ( 0 και άρτιος και άρτιος άρτιος) ή 0) ή 5

και άρτιος και άρτιος 0 0 και ( ) 0 0 β) 0 και.να αποδείξετε ότι log5 log και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log() 5 log5 log 0 log0 log log Περιορισμός > 0 > 0 log() 5 log log() log5 Δ log ( log ) log log + log log log (log ) log().log log5 (log + log) log log5 log + log. log log log + log. log + log 0 log log log log ή ή log ή log ή log5 log 0 log log5 5.Να λύσετε, στο 0,, την εξίσωση ( ) 5

και επειδή ημ + συν 0, αφού, ημ + συν > 0, η εξίσωση εφ ή εφ και επειδή εφ > 0, η εξίσωση εφ.να λύσετε την ανίσωση 7.8 7.8 > 0 > 0 (.). > 0.. > 0. [παράσταση [παράσταση + > 0 > 0 > 0 > 0] + ] > 0 > > 0 > 0 5

Ασκήσεις επανάληψης Δ ομάδας.να λύσετε την η εξίσωση ημ ημσυν συν ημ ημσυν συν ημ ημσυν συν (ημ + συν ) ημ ημσυν συν + ημ + συν 0 ( + )ημ ημσυν + ( )συν 0 Αν συν 0 τότε η εξίσωση γίνεται ( + Αν συν 0 τότε η εξίσωση γίνεται )ημ 0 ημ 0 που είναι αδύνατη ( ) + ( ) ( + )εφ εφ + ( ) 0 Δ ( + )( ), οπότε εφ ( ) εφ εφ εφ κπ +, εφ εφ εφ ( ) ( )( ) εφ κπ +, (από υπολογιστή έχουμε εφ ).i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ημ + βσυν γ έχει λύση αν και μόνο αν α + β γ ii) Να λύσετε την εξίσωση ( + συνt) ημ + ημt συν για τις διάφορες τιμές του t( π, π) 55

i) Όταν α 0 H εξίσωση α ημ + βσυν γ ημ + συν θέτουμε εφω οπότε έχω ημ + εφω συν ημ + συν ημ συνω + ημω συν συνω ημ( + ω) συνω Η εξίσωση αυτή, άρα και η αρχική, έχει λύση αν και μόνο αν συν ω γ α + β Όταν α 0 Η εξίσωση γίνεται β συν γ Αν β 0 και γ 0, η εξίσωση είναι αδύνατη Αν β 0 και γ 0, η εξίσωση είναι ταυτότητα και ισχύει 0 0 + 0 γ α + β Αν β 0, η εξίσωση γίνεται συν, η οποία έχει λύση αν και μόνο αν γ 0 + β γ α + β ii) Σύμφωνα με το (i), η εξίσωση ( + συνt) ημ + ημt συν έχει λύση αν και μόνο αν ( + συνt) + ημ t + συνt + συν t + ημ t + συνt + + συνt + συνt συνt συνt t 0 Τότε η εξίσωση γίνεται ημ ημ κπ +, κ 56

.(Αριθμός διαιρετός με το 9) Ο αριθμός 98 9 διαιρείται με το 9. Το άθροισμα + 9 + 8 8 επίσης διαιρείται με το 9 Ομοίως ο αριθμός 77 9 9 διαιρείται με το 9. Το άθροισμα + 7 + + 7 8 επίσης διαιρείται με το 9 Γενικά να αποδείξετε τον κανόνα Ο αριθμός «αβγδ» διαιρείται με το 9, μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9 Υπόδειξη : Είναι αβγδ α0 + β 0 + γ0 + δ. Να θεωρήσετε το πολυώνυμο f() α + β + γ + δ και την ταυτότητα f () ( )π() + f() θέσετε και 0 Αφού f() α + β + γ + δ τότε f(0) α0 + β 0 + γ0 + δ αβγδ και f() α + β + γ + δ Η ταυτότητα f() ( )π() + f(), για 0, γίνεται f(0) (0 )π(0) + α + β + γ + δ α β γ δ 9 π(0) + α + β + γ + δ Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι, αν α + β + γ + δ 9 κ τότε α β γ δ 9 π(0) + 9 κ 9( π(0) + κ) δηλαδή ο αβγδ είναι πολλαπλάσιο του 9, άρα διαιρείται με το 9 Και αν αβγδ 9 λ τότε 9λ 9 π(0) + α + β + γ + δ α + β + γ + δ 9λ 9π(0) 9(λ π(0)) δηλαδή α + β + γ + δ είναι πολλαπλάσιο του 9, άρα διαιρείται με το 9 και να.(ρητές ρίζες πολυωνυμικής εξίσωσης) Το θεώρημα που ακολουθεί παρέχει μια ακόμη μέθοδο προσδιορισμού ριζών ορισμένων πολυωνυμικών εξισώσεων. Θεώρημα : Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α ν ν +α ν- ν- + + α + α 0 0 με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ρητός 0 ανάγωγο κλάσμα είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο κ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 και ο λ είναι διαιρέτης του συντελεστή α ν. Με την βοήθεια του θεωρήματος αυτού : i) Nα λύσετε τις εξισώσεις α) + + 0 β) 6 + 9 +7 + 9 + 0 ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και δεν είναι ρητοί. 57

i) α) Πιθανές ρητές ρίζες της εξίσωσης + + 0 είναι οι : ±, ± Εφαρμόζουμε Horner για / 0 Άρα + + 0 ( + + ) 0 0 ή + + 0 ή αδύνατη β) Πιθανές ρητές ρίζες της εξίσωσης 6 + 9 + 7 + 9 + 0 είναι οι ±, ±, ±, ± 6 Εφαρμόζουμε Horner για 6 9 7 9 / 7 6 6 0 Επομένως η εξίσωση γίνεται ( 6 + 6 + + ) 0 ή 6 + 6 + + 0 Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο για την εξίσωση 6 + 6 + + 0 βρίσκουμε ότι + + 7 + 0 ( + + ) 0 ή + + 0 ή ή + ii) Μία ρίζα της εξίσωσης 0 είναι ο Οι πιθανές ρητές ρίζες της εξίσωσης είναι οι ± και ± 58

Καμία όμως από αυτές δεν επαληθεύει την εξίσωση, άρα ο δεν μπορεί να είναι ρητός.ομοίως για τον 5.Τους θετικούς ακέραιους τους χωρίζουμε σε ομάδες ως εξής η η η η. () (, ) (, 5, 6) (7, 8, 9, 0). Δηλαδή στη μ η ομάδα υπάρχουν μ ακέραιοι i) Να εκφράσετε τον ο και τον τελευταίο αριθμό της μ ης ομάδας συναρτήσει του μ ii) Να βρείτε το άθροισμα όλων των ακεραίων μέχρι και την 0 η ομάδα iii) Να δείξετε ότι το άθροισμα των ακεραίων της μ ης ομάδας είναι ( ) i) Ο πρώτος αριθμός κάθε ομάδας είναι κατά μεγαλύτερος από το πλήθος των αριθμών όλων των προηγούμενων ομάδων. Δηλαδή, ο πρώτος αριθμός της μ ης [ + +... +(μ )] + ομάδας είναι [ + (μ )] + μ + Οι αριθμοί της μ ης ομάδας αποτελούν αριθμητική πρόοδο με α, διαφορά ω και πλήθος όρων μ Άρα ο τελευταίος αριθμός της μ ης ομάδας δίνεται από τον τύπο α ν α + (ν )ω και είναι ίσος με + (μ ) 0 0 ii) Σύμφωνα με το (i), ο τελευταίος αριθμός της 0 ης ομάδας είναι ο 0 Οπότε το άθροισμα όλων των αριθμών μέχρι και την 0 η ομάδα είναι το άθροισμα + + + + 0, το οποίο είναι άθροισμα των 0 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με πρώτον όρο α και διαφορά ω Αυτό δίνεται από τον τύπο : ( ) ( 0) 0 55 59

iii) Σύμφωνα με το (i), η μ η ομάδα έχει πρώτον όρο α Άρα το άθροισμά τους είναι ν-οστό όρο α ν ( ) και πλήθος όρων μ ( ) 6.Να δείξετε ότι :( + + + + ν ) ν (+ + + + ν- ) (+ + + + ν+ ) To άθροισμα + + + + ν είναι το άθροισμα των ν + πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτον όρο α και λόγο λ. Άρα δίνεται από τον τύπο ( ) ( + + + + ν ) ν ν ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ομοίως (+ + + + ν- ) (+ + + + ν+ ) ( ) 7.Να βρείτε το άθροισμα + + + + 5 + + 00 99. Έστω S + + + + 5 + + 00 99 Τότε S + + + + 5 5 + + 00 00 Οπότε S S 00 00 99 S 00 00 ( + + + + 99 ) 60

00 00 99 ( ) 00 00 00 + 99 00 + 8.Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση + 5 έχει ακριβώς μία λύση Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική. Έστω ότι έχει και ρίζα ρ <. Τότε ρ + ρ 5 ρ 5 + 5 () Θεωρούμε τη συνάρτηση f() 5, που είναι γν.φθίνουσα, αφού 0 < 5 < Οπότε, η ρ < f(ρ) > f() 5 > 5 9 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση g() 5, που είναι γν.φθίνουσα, αφού 0 < 5 < Οπότε, η ρ < () + () g(ρ) > g() 5 > 5 6 5 () () 5 + 5 > 9 5 + 6, που είναι άτοπο από την () 5 Επομένως δεν υπάρχει λύση μικρότερη του Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε ότι δεν υπάρχει και λύση > 9. Να λύσετε την εξίσωση + Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f() και g() Προφανώς η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα. Έστω ότι υπάρχει λύση <. Τότε f() > f() και g() < g() > και < 6

> και < > και < > > > άτοπο αφού πρέπει να είναι + 0.Για ποιες τιμές του α η εξίσωση log( + ) log(α) έχει μοναδική λύση; Περιορισμοί : + > 0 και α > 0 () log( + ) log(α) log( + ) log(α) ( + ) α + 6 + 9 α 0 + (6 α) + 9 0 H διακρίνουσα Δ του τριώνυμου f() + (6 α) + 9 είναι Δ α α α(α ) το πρόσημο της διακρίνουσας φαίνεται στον πίνακα α 0 + Δ + 0 0 + Όταν α < 0 Είναι Δ > 0, οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες, άνισες. Αλλά 9 > 0 και + Θα είναι, αρνητικές. () + > 0 και + > 0 > και > () α 6 < 0, < 0 () f( ) α < 0 ο βρίσκεται μεταξύ των ριζών, < < () Από τις (), (), () δεκτή είναι μόνο η μία ρίζα. Όταν 0 < α < 6

Είναι Δ < 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Όταν α > Είναι Δ > 0, οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες, άνισες Αλλά 9 > 0 και + α 6 > 0, > 0 (5) Οι, ικανοποιούν τους περιορισμούς (), άρα είναι δεκτές Όταν α 0, δεν ορίζεται ο log(α) Όταν α, τότε Δ 0 και η εξίσωση έχει ρίζα το, η οποία είναι δεκτή διότι ικανοποιεί τους περιορισμούς () Με βάση τα παραπάνω η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα, όταν α < 0 ή α.να αποδείξετε ότι η εξίσωση σφ + log έχει στο διάστημα (0, π) ακριβώς μία λύση Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η σφ + log σφ Θεωρούμε τις συναρτήσεις log f() σφ και g() log Η f() σφ είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, π). Η log είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η log γνησίως αύξουσα, οπότε η g() log είναι γνησίως αύξουσα. Αν η εξίσωση είχε και άλλη ρίζα στο (0, π) μεγαλύτερη της, τότε λόγω της μονοτονίας των συναρτήσεων f και g, θα είχαμε f( ) > f() και g( ) < g() > σφ και < log σφ < < log σφ + log < άτοπο, οπότε δεν υπάρχει ρίζα > Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε ότι δεν υπάρχει ρίζα με 0 < < 6

.Να λύσετε την ανίσωση log (6 ) Περιορισμός : 6 6 > 0 > > log (6 ) log (6 ) log Θέτουμε y () 6 + () y + y 0 y ή y 0 () Για y Η () γίνεται που είναι αδύνατη Για y Η () γίνεται Και λόγω του περιορισμού, θα είναι < log log log log log.i) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() ln και g() και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση ii) Ομοίως για τις συναρτήσεις και την ανίσωση ln + f() ln και g() + ln 6

i) Οι λύσεις της ανίσωσης ln y όπως φαίνεται από το σχήμα f() ln είναι οι 0 < Ο g()- ii) y y f() ln Ο g()- Οι λύσεις της ανίσωσης ln + όπως φαίνεται από το σχήμα είναι οι y 65