ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Τρίτη, 2/6/2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΡΟΣ A : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Να υπολογίσετε το όριο lim 1 3 Επειδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0. 1 0 και 3 0, Εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital, έχουμε: lim 1 3 lim 3 1 4 2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 1 3 1 1
3. Δίνονται οι πίνακες 1 2 5 4 και 1 3 2 9. Να δείξετε ότι 1 2 1 2 1 2 2 6 3 8 1 3 1 3 13 29 4 11 1 31 2 3210, άρα 3 2 1 1 3 8 4 11 3 2 1 1 6 6 και 3 12 1 2 5 4 6 6 1 3 2 9 3 12 Άρα, 4. Δίνονται τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 5, 6, 9. Να βρείτε: (α) Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω ψηφία, αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου. (β) Πόσοι από τους πιο πάνω τριψήφιους αριθμούς: (i) Είναι μεγαλύτεροι του 300 (ii) Διαιρούνται με το 5 (α) Τριψήφιοι με τη χρήση των πιο πάνω ψηφίων, αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου: Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες 6 6 5 Σύνολο: 6 6 5180 αριθμοί (β) (i) Μεγαλύτεροι του 300 Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες 4 6 5 Σύνολο: 4 6 5120 αριθμοί 2
(ii) Διαιρούνται με το 5 Λήγουν σε 0 6 5 130 αριθμοί Λήγουν σε 5 5 5 125 αριθμοί Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες 6 5 1 Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες 5 5 1 Σύνολο: 25 30 55 αριθμοί 5. Αν και είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου με 1 2, 5 6 και 1 12, να υπολογίσετε: (α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων:, και (β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί το, δεδομένου ότι δεν πραγματοποιήθηκε το. (α) 1 (β) / 1 3
6. Να βρείτε τις τιμές των,, αν το σημείο καμπής της συνάρτησης 6 14 είναι σημείο τοπικού ελαχίστου της συνάρτησης. 6 14 3 12 6 12 0 6120 2 Επειδή 0, 2 και 0, 2, τότε η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το 2, 2 2, 2 2 Αφού το 2, 2 είναι τοπικό ελάχιστο της, τότε 2 0 40 Το σημείο 2, 2 είναι σημείο της καμπύλης, άρα 2 2 482 4
7. (α) Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης. (β) Δίνεται η έλλειψη 1, με εστίες και και το σημείο τομής της έλλειψης με το θετικό ημιάξονα. Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. (α) Ορισμός Έλλειψης Σχολικό Βιβλίο «Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού και Αναλυτικής Γεωμετρίας», σελίδα 63. (β) Α τρόπος Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα Αφού 2 και 2 (ορισμός έλλειψης), τότε: και 2. 2 1 2 Β τρόπος Έστω 0,. Τότε. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα 2 4 3 Ισχύει Από και, ισχύει 3 4 2 Άρα,. 5
8. Δίνεται ο κύκλος 610. (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κάθετης του κύκλου στο σημείο του 5, 2. (β) Αν η τέμνει τον άξονα των στο σημείο και η τον άξονα των στο σημείο, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία, και. (α) 610 2 2 6 0 62 3 2 Η εφαπτομένη στο σημείο 5,2 έχει κλίση 1. ή Το κέντρο του κύκλου είναι 3, 0. 2 53 1 1 Εξίσωση εφαπτομένης: : 2 5 25 : Εξίσωση κάθετης: : 2 5 : (β) Το σημείο τομής της : με τον άξονα έχει τεταγμένη 0 και άρα είναι το 7,0. Το σημείο τομής της : με τον άξονα έχει τετμημένη 0 και άρα είναι το 0, 3. Επειδή 90, ο κύκλος που περνά από τα,, έχει διάμετρο την. Άρα έχει κέντρο, στο μέσο της και ακτίνα. H εξίσωση του κύκλου που περνά από τα,, είναι: 7 2 3 2 29 2 730 ή Ο κύκλος έχει κέντρο,, συνεπώς και. Η εξίσωση του κύκλου γράφεται: 730 To 7, 0 βρίσκεται πάνω στον κύκλο, άρα 0. Σημείωση Αν θεωρήσουμε την γενική εξίσωση κύκλου 220 και τα σημεία,, την επαληθεύουν, μπορούμε να βρούμε τις παραμέτρους,, επιλύοντας γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. 6
9. (α) Δίνεται η καμπύλη και σημείο, 0 με 0. Από το σημείο φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των, η οποία τέμνει την καμπύλη στο σημείο. Να δείξετε ότι η καμπύλη χωρίζει το τρίγωνο ( η αρχή των αξόνων) σε δύο ισεμβαδικά χωρία. (β) Έστω το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη, την ευθεία και τον άξονα των. Το χωρίο όταν περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των δημιουργεί στερεό με όγκο, ενώ όταν περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των δημιουργεί στερεό με όγκο.αν να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. 10 7,,, 0, 0 και παράλληλη του άξονα των τεταγμένων. (α) Υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου, έχουμε 1 2 2 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, το ευθύγραμμο τμήμα και τον άξονα των τετμημένων είναι: 4 4 2 Επομένως, η καμπύλη χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά χωρία. (β) Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη, την ευθεία και τον άξονα των τετμημένων, όταν περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των τετμημένων δημιουργεί στερεό που έχει όγκο, ίσο με 7
7 7.. Όταν το χωρίο, περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των τεταγμένων δημιουργεί στερεό που έχει όγκο, ίσο με Έχουμε: ί, 3 5 2.. 5 4 2 0 Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου, είναι 2,8. 10. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν 0 0 και 1 2 (α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης (β) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε 0 για κάθε (α) Για τη μονοτονία της, εξετάζουμε το πρόσημο της. 1 1 2 1 2 0, Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. (β) Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, τότε για 0 ισχύει 0 0 00, 0 (1) Αρκεί να δείξουμε ότι 0, 0. Για την ισχύει 1 2 0, και έτσι η είναι γνησίως αύξουσα στο. Για 0 0 0 Από τις σχέσεις και, έχουμε 0, 0 8
ΜΕΡΟΣ B : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 54 Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά. (α) Πεδίο ορισμού: 1, 4 Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: 0, 0 Μονοτονία Ακρότατα: Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση έχουμε: 54, 542 5 1 4 0 4 1 4 4 1 0 2 4 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 2 1 2 4 T.E. T.M. H είναι Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 2, 1, 1, 2 Γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, 2, 2, 4, 4, Η f έχει τοπικό ελάχιστο το και τοπικό μέγιστο το 2 1 9 2 1 9
Ασύμπτωτες: 54 0 54 0 Άρα έχουμε οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία 0. 14 14 1 4 1 4 Άρα έχουμε κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες 1,4. 10
2. Δίνεται η παραβολή 4 και το σημείο της,2, 0. Φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα ( σημείο του άξονα ). Από το φέρουμε ευθεία κάθετη στην ( η αρχή των αξόνων). (α) Να δείξετε ότι η τέμνει τον άξονα σε σταθερό σημείο. (β) Αν σημείο της παραβολής τέτοιο ώστε η να είναι κάθετη στην, να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 4 16 (γ) Να βρείτε για ποια τιμή του το πιο πάνω εμβαδόν γίνεται ελάχιστο. (α) Α τρόπος: Οι συντεταμένες του σημείου είναι 0, 2 και. Άρα,. Η εξίσωση της ευθείας είναι: 2, από την οποία για 0 παίρνουμε 4. Δηλαδή η τέμνει τον άξονα στο σταθερό σημείο 4, 0. Β τρόπος: Τα τρίγωνα, είναι όμοια, άρα Άρα το σημείο 4, 0 είναι σταθερό. 4 4 (β) Η ευθεία έχει εξίσωση και, επιλύοντας σύστημα με την εξίσωση της παραβολής, βρίσκουμε ότι,. 1 2 1 2 256 64 4 4 16 4 16 (γ) Έχουμε, 4 16, 0. 416 4 4 0 2 0 32 32 40 2 Άρα το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο για 2. 11
3. Στον τελικό του πρωταθλήματος καλαθόσφαιρας ανδρών, προκρίθηκαν οι ομάδες και. Η ομάδα έχει πιθανότητα να κερδίσει την ομάδα σε κάθε αγώνα. Το πρωτάθλημα θα το κερδίσει η ομάδα που θα κερδίσει πρώτη τρεις αγώνες. (α) Να βρείτε την πιθανότητα η ομάδα να κερδίσει το πρωτάθλημα. (β) Αν η ομάδα κέρδισε το πρωτάθλημα, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η ομάδα να κέρδισε μόνο στον πρώτο αγώνα. (α) Για την ανάδειξη της πρωταθλήτριας ομάδας, θα γίνουν τουλάχιστον 3 αγώνες και το πολύ 5 αγώνες. Ορίζουμε το ενδεχόμενο : «Το πρωτάθλημα κερδίζει η ομάδα» Έχουμε τις περιπτώσεις: Με 3 αγώνες η πιθανότητα είναι: 2 3 8 27 Με 4 αγώνες η πιθανότητα είναι: 3 1 1 3 2 3 8 27 Με 5 αγώνες η πιθανότητα είναι: 4 2 1 3 2 3 16 81 Τελικά, 8 27 8 16 64 27 81 81 (β) Ορίζουμε το ενδεχόμενο : «Η ομάδα κερδίζει μόνο στον πρώτο αγώνα» Άρα, ζητούμε την πιθανότητα /. Είναι: / 1 3 2 3 64 81 1 8 12
4. Η κάθετη της υπερβολής στο σημείο της,, 0, 1 τέμνει την υπερβολή στο σημείο,. Να δείξετε ότι: (α) 1 (β) Η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του είναι 4 (α) Α τρόπος Παραγωγίζοντας πεπλεγμένα την εξίσωση της υπερβολής έχουμε: 0 Άρα η κλίση της εφαπτομένης της υπερβολής στο σημείο της,, 0, 1 είναι 1 και η κλίση της κάθετης της υπερβολής στο σημείο της, είναι Επομένως η εξίσωση της κάθετης στο σημείο είναι: 1 0 Λύνοντας το σύστημα 1 0 παίρνουμε 1 0 1 0 Από την τελευταία εξίσωση, αν, οι ρίζες της και θα έχουμε: και επομένως Δηλαδή 1, 13
Β τρόπος. 1 1 (β) Άρα το μέσον του έχει συντεταγμένες 2 2 ή 1 2 1 2 Διαιρώντας κατά μέλη τις τελευταίες εξισώσεις παίρνουμε Υψώνοντας στο τετράγωνο την 1 έχουμε 4 1 4 1 4 4. Άρα η καρτεσιανή εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία βρίσκεται ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του είναι: 4 Παρατήρηση: Η συνθήκη του (α) 1 δεν είναι απαραίτητη για την εύρεση της εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία βρίσκεται ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του. 14
5. (α) Δίνεται συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα,. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση, να αποδείξετε ότι (β) Να δείξετε ότι (γ) Αν, να αποδείξετε ότι: (i) 1, (ii) 3 1 3 4 2 (α) Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο μετασχηματισμό, έχουμε και ο πίνακας αλλαγής ορίων είναι: Επομένως παίρνουμε: (β) Θεωρούμε την συνάρτηση 3 3 4 η οποία ορίζεται στο 0,1 και είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και έχουμε χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα 3 3 4 4 4 3 15
(γ) (i) Επομένως 2 Άρα 3 1 3 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (ii) Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό στο ολοκλήρωμα παίρνουμε και ο πίνακας αλλαγής ορίων είναι: 1 0 1 0 Άρα Επομένως η 1 γράφεται 1. Διαφορετικά το θα μπορούσε να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη συνθήκη του (α). Αφού η συνάρτηση 1 1 είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και ορισμένη στο 1,1 έχουμε 1 11 και από τη συνθήκη 1, και αφού οι συναρτήσεις και στα δύο μέλη είναι συνεχείς στο παίρνουμε ή 1 3 2 8 3 4 3 16