PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

2 *

Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada 2002-2012 la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, anul I. Problemele au un grad de dificultate moderat şi considerăm că în actuala formă, testele sunt utile pentru pregătirea examenelor de către studenţi şi pentru alcătuirea subiectelor de examen pentru cadrele didactice. Multe dintre probleme au conţinut aplicativ şi fac apel la inţelegerea intutitivă a noţiunilor. Culegerea este considerată de noi doar un punct de plecare pentru alcătuirea unei baze de date cu subiecte pentru verificarea matematică a studenţilor. Autorii 3

Test 1 1. a) Există o serie convergentă a n şi o serie divergentă b n cu proprietatea a n b n, n? b) Există o serie convergentă a n şi o serie divergentă b n cu proprietatea a n b n, n? c) Există un şir de funcţii indefinit derivabile care converge uniform către 0 şi pentru care şirul derivatelor este divergent? 2. Stabiliţi convergenţa absolută a seriei n 1 ), cu ajutorul dezvoltărilor lim- ( 2 + x 3. Să se calculeze lim n itate. 2x( e x 1) 1 x 2 4. Să se studieze natura seriei de funcţii b) 2 3 n + b( 1) n n, b > 0. n3 + 1 1 x 2 + 2, x R. n 5. Să se determine mulţimea de convergenţă pentru seria de puteri ( 1 + 1 ) n 2 e nx. n n 1 Test 2 1. a) Să se arate că suma dintre o serie convergentă şi una divergentă este o serie divergentă. Există serii divergente a căror sumă este convergentă? Dacă da, daţi un exemplu. b) Se poate ca x n să fie divergentă, în timp ce n 1 n 1x 2 n este convergentă? Dar x 2 n să fie divergentă şi n convergentă? Exemplificaţi. n 1 n 1x 2. Să se studieze natura seriei n 2 e n. 3. Să se studieze convergenţa şi absolut convergenţa seriei n+1 (n + 1)n+1 ( 1). n n+2 n 1 1 1 1 (1 + x) x e 4. Folosind dezvoltări limitate, să se calculeze lim. x 0 x

5 5. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri Test 3 n+1 (2n 1)2n ( 1) (3n 2) (x 2n 1)n. n 1 1. Să se studieze natura seriei ( (n + 1)(n + a) n) n, a 0. 2. Studiaţi convergenţa uniforma a seriei 2 n x n 3 n + x 2n. 3. Calculaţi suma seriei n 0 (n+1) 2 n! 4. Să se arate că funcţia definită pe R 2 prin f(x, y) = xy2 x 2 +y 4 pentru (x, y) (0, 0) şi f(0, 0) = 0 este diferneţiabilă dar nu de clasă C 1. 5. Dezvoltaţi în serie Fourier pe [ π, π] funcţia f(x) = sin x 2. Test 4 1. Studiaţi convergenţa seriei ( ) n a n2 + n + 1, a > 0. n 2 2. Studiaţi convergenţa punctuală şi uniformă a şirului de funcţii f n : R R, f n (x) = x2 n 1+nx 2. 3x 3. Dezvoltaţi în serie de puteri f(x) =, precizând domeniul de x 2 +5x+6 definiţie şi domeniile de convergenţă punctuală, respectiv uniformă. 4. Fie f : R 2 R dată prin f(x, y) = xy3 pentru (x, y) (0, 0) şi x 2 +y 2 f(0, 0) = 0. Arătaţi că f C 1 (R 2 ). Calculaţi derivatele parţiale de ordin 2 în origine. Este f de clasă C 2?

6 5. Demonstraţi că x2 +y 2 4 e x+y 2, x 0, y 0. Test 5 1. Să se studieze natura seriei numerice a n n! n n, a 0. [ ( 2. Să se calculeze limita lim x x 2 ln 1 + 1 )] cu ajutorul dezvoltărilor x x limitate. 3. Dacă seria x n x n 1, unde x n R, este convergentă, atunci n=2 (x n ) n 1 e convergent. Reciproca nu e adevărată. Daţi un contraexemplu. 4. Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : [ 1, 1] R, f n (x) = x. 1+nx 2 5. Să se studieze natura seriei de funcţii : Test 6 1. Să se studieze natura seriei numerice ( ) n 2 n + 1 a n, a > 0. n x 2, x R, n 1. (1 + x 2 ) n cu ajutorul dezvoltărilor limi- 2. Să se calculeze limita lim tate. e x 2 x 0 2 cos x x 4 3. Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : R + R, f n (x) = e nx sin nx. 4. Să se studieze seria de funcţii ( 1) n x 2 1 + n 3 x, x R. 4 5. Să se precizeze numărabilitatea mulţimilor Z, Q, R.

7 Test 7 1. Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma seriei ( ) ( 1) n 1 2n 1 1 x. n(2n 1) 1 2x 2. Fie f(x, y) = { xy x2 y 2 x 2 +y 2, dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) Să se arate că 2 f nu este continuă în origine, 2 f (0, 0) 2 f (0, 0). x y x y y x 3. Să se calculeze dz şi d 2 z în punctul M 0 (2, 0, 1) pentru funcţia z = f(x, y) definită implicit prin 2x 2 + 2y 2 + z 2 8xz z + 8 = 0. 4. Să se determine inff(x, y) şi supf(x, y), pentru funcţia f(x, y) = x 2 + D D +y 2 3x 2y + 1, unde D : x 2 + y 2 1. 5. Să se arate că M([a, b]) = { f : [a, b] R/fmărginită } este spaţiu metric complet. Test 8 1. Să se studieze convergenţa seriei n 2 a n n n!, a > 0. 2. Să se stabilească mulţimea de convergenţă şi să se calculeze suma seriei n(x 1) n 5 n. n 1 3. Se consideră funcţia f(x, y) = { x 3, x 2 +y2 dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) Să se arate că este diferenţiabilă în (0,0). 4. Să se determine extremele funcţiei f(x, y, z) = sin x+sin y+sin z sin(x+y+z), (x, y, z) (0, π) (0, π) (0, π). 5. Fie f : A R, unde A R 2 mulţime deschisă, o funcţie diferenţiabilă într-un punct a A. Arătaţi că f este continuă în punctul a.

8 Test 9 1. Să se stabilească natura seriei n 2 (a 1+ n+1 n n+2 1), a > 0, a 1. n + 1 cu ajutorul dezvoltărilor limi- 2. Să se calculeze limita lim x 0 tate. 1 + x2 1 3. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei x R \ { 1 2}. 4. Fie funcţia f(x, y) = { x 2 xy sin x2 y 2 x 2 +y 2, dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) (a) Să se arate că f este de clasă C 1 pe R 2 ; ( 1 + 1 ) n ( ) n 1 x, n 1 2x (b) Să se arate că f are derivate parţiale mixte de ordinul II în orice punct şi să se calculeze 2 f şi 2 f în origine; este funcţia f de clasă x y y x C 2 pe R 2? 5. Să se arate că funcţia z(x, y) definită de relaţia Φ(x az, y bz) = = 0, a, b R verifică ecuaţia a z + b z = 1. x y Test 10 1. Să se studieze natura seriei ( 1) n+1, α R. n α+ 1 n e 2x + e 2x 2 2. Să se calculeze limita lim cu ajutorul dezvoltărilor limitate. x 0 x 2 3. Există o funcţie f : R R derivabilă de două ori astfel ca f 0 şi f < 0? 4. Să se arate că funcţia f(x, y) = { xy 2 +sin(x 3 +y 5 ) x 2 +y 4, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) este continuă parţial în origine, dar nu este continuă în acest punct.

9 5. Să se arate că R este spaţiu metric complet. Test 11 1. Să se studieze natura seriei n 1 [ ( e 1 + n) 1 n ] p, p R. 2. Să se arate că şirul de funcţii (f n ) n,f n : (1, ) R, f n (x) = (n 2 + 1) sin 2 π + nx nx este uniform convergent. n 3. Să se calculeze sin 32 cu precizia 10 3. 4. Să se studieze continuitatea funcţiei { x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 +1 1 0, (x, y) = (0, 0) 5. Să se găsească extremele funcţiei f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 cu legătura 2x + 3y z = 1. Test 12 1. Să se studieze natura seriei (n 1 n 1) α, α R fixat. n=2 2. Să se arate că şirul de funcţii (f n ) n,f n : R R, f n (x) = 1 arctan xn n converge uniform pe R, dar [ lim f n (x)] x=1 lim f n n n(1). 3. Fie I un interval din R, f : I R derivabilă de trei ori pe I cu f continuă. Să se arate că f f(x 0 + h) + f(x 0 h) 2f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h 2 4. Să se arate că funcţia f(x, y) = { xy+x 2 y ln x+y x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) este continuă parţial în origine, însă nu e continuă în raport cu ansamblul variabilelor în acest punct. 5. Să se arate că f : R 2 R, f(x, y) = (1 + e y ) cos x y e y are o infinitate de maxime locale şi nici un minim local.

10 Test 13 1. Să se studieze natura seriei a ln n, a > 0. 2. Studiaţi convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : [0, π 2 ] R,f n(x) = n sin n x cos x. 3. Stabiliţi convergenţa uniformă a seriei de funcţii R. 2x arctan x 2 + n, x 4 4. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri n=0 ( 1) n 1 3 n 2 1 + n 2 tann x, x ( π 2, π ). 2 5. Să se rezolve următoarea limită cu ajutorul dezvoltărilor limitate Test 14 1. Să se studieze convergenţa seriei n 1 l = lim x 0 (1 + sin x) 1 x. a(a + 1)... (a + n 1) b(b + 1)... (b + n 1) (c 2)n, a, b > 0, c > 2. 2. Să se studieze convergenţa punctuală şi uniformă a şirului de funcţii f n : (, 0) R, f n (x) = enx 1 e nx +1. 3. Să se precizeze convergenţa punctuală şi uniformă a seriei n 2 (x n + x n ), x n! [ ] 1 2, 2. 4. Să se determine suma seriei n=0 ( 1) n, cu ajutorul seriilor de puteri. 2 2n n! 5. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f(x) = 1 2+cos x pe R.

11 Test 15 1. Să se determine in coordonate polare forma operatorului diferenţial xy f f + xy3 x y. 2. Să se determine extremele locale ale funcţiei 3. Să se calculeze : f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2, x, y, z > 0. z I(a) = π 2 0 ln(a 2 sin 2 θ)dθ, a > 1. 4. Să se calculeze integrala de suprafaţă I = zdσ, unde Σ este porţiunea Σ din paraboloidul z = x2 +y 2, decupată de cilindrul x 2 + y 2 = 8. 2 5. Calculaţi fluxul câmpului vectorial v = xi + z 2 j + y 2 k prin suprafaţa laterală a conului z 2 = x 2 + y 2 mărginit de planul z = 1, pentru z 0. Test 16 1. Fie (a n ) n un şir de numere pozitive. an a n+1 a) Arătaţi că dacă seria n este convergentă. b) Este reciproca adevărată? Justificaţi. a n este convergentă, atunci seria n 2. Aflaţi punctul cu coordonata z cea mai mare din intersecţia suprafeţei x 2 = y 2 + z 2 cu planul x + y + z = 1. 3. Aflaţi în coordonate cilindrice forma operatorului diferenţial y f x + xy2 z 5 f y + x3 yz 2 f z. 4. Calculaţi volumul mărginit de suprafeţele x 2 + z 2 = 2z, x 2 + z 2 = = 3y, y = 0.

12 5. Să se determine circulaţia câmpului de vectori v = xi + (x + y)j + (x + y + z)k de-a lungul curbei Γ : x 2 + y 2 = R 2, z = x + y. Test 17 1. Să se arate că dacă seria n a 2 n este convergentă, unde (a n ) n este un şir de numere reale, atunci seria n a n n este convergentă. 2. Studiaţi convergenţa uniformă a şirului de funcţii f n : [ 1, 1] R, f n (x) = nxn +1. nx n +2 3. a) Demonstraţi formula lui Legendre Γ(p)Γ ( ) p + 1 2 = π Γ(2p). 2 2p 1 (Indicaţie: Se porneşte de la definiţia funcţiei B a lui Euler, făcând schimbarea de variabilă 1 x = 1 2 2 t.) b) Folosind punctul a), calculaţi I n = 1 0 x n 1 x 2 dx. 4. Calculaţi π 0 ln(1 2r cos x + r2 )dx, r < 1 folosind o integrală cu parametru. 5. Să se calculeze următoarea integrală, cu ajutorul funcţiilor Γ şi B: I = π 2 sin 5 3 2 0 x cos 2 xdx. Test 18 1. a) Determinaţi seria Fourier asociată funcţiei f(x) = e tx. b) Studiaţi convergenţa acesteia. 1 c) Calculaţi valoarea seriei n 2 + t. 2 2. Dacă f este o funcţie definită pe o vecinătate V a punctului (0, 0) şi îndeplineşte relaţia f(x, y) x 2 + y 2, atunci f este diferenţiabilă în origine. 3. a) Calculaţi I n = 1 0 b) Este seria x 2n+1 1 x 2 dx. I n convergentă? Justificaţi răspunsul.

13 4. Calculaţi 1 0 1 x 2 3 1 x 3 dx. 5. Calculaţi π 2 0 ln(cos2 x + m 2 sin 2 x)dx, m R +, folosind o integrală cu parametru. Test 19 1. Determinaţi seria de puteri a funcţiei f(x) = arctan x în jurul originii şi domeniul de convergenţă. Determinaţi f (2n+1) (0). 2. Determinaţi maximul funcţiei ( presiune termodinamică ) f(x, y, z) = = x ln x y ln y z ln z + x + y + 2z, unde x, y, z R +, x + y + z = 1. 3. Presupunem că R e regiunea plană mărginită de hiperbolele xy = = 1, xy = 3, x 2 y 2 = 1, x 2 y 2 = 4. Găsiţi momentul de inerţie I 0 = D (x2 + y 2 )dxdy al acestei regiuni. 4. Fie a > 0, b > 0 şi fie Γ intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = a 2 cu planul x a + z = 1. Să se calculeze, (aplicând formula lui Stokes), circulaţia b câmpului vectorial V = x i + (y x) j + (z x y) k de-a lungul curbei Γ (orientarea pe Γ nu este precizată ). 5. O placa plană de formă pătrată cu masă omogenă exercită forţa de atracţie newtoniană asupra unui punct material de masă aflat pe diagonala pătratului (sau pe prelungurea acesteia). Aflaţi această forţă în funcţie de latura pătratului şi distanţa punctului la centrul pătratului. Test 20 1. Să se demonstreze că dacă x 2 + y 2 + z 2 1, atunci 1 3 x 3 + y 3 + z 3 1 3. 2. Fie a n = 1 0 xn (1 x) n dx. Este seria 2 n a n convergentă? 3. Calculaţi aria domeniului mărginit a cărui frontieră este determinată de x 2 + y 2 2, x y 2, x y 2. 4. Să se calculeze circulaţia câmpului vectorial V = (y 2 + z 2 )i + (x 2 + z 2 )j + (x 2 + y 2 )k pe curba Γ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2, ax + by + cz = 0.

14 5. Să se calculeze fluxul câmpului v = 3x 2 z i + (y 2 2z) j + z 3 k prin suprafaţa deschisă x 2 4 + y 2 + z 2 9 = 1, z > 0. utilizând teoerma Gauss- Ostrogradski. Test 21 1. Să se demonstreze că x 1 + x 2 +... + x n = 1, x i > 0, i = 1, n, atunci n x i ln x i ln 1 n. i=1 2. Ce devine ecuaţia x 2 2 z x 2 z 2 y2 = 0 prin schimbarea de variabile y 2 (x, y) (u, v), unde u = xy, v = x y. 3. Să se calculeze direct şi aplicând formula Green-Riemann: xydx + x2 2 dy, Γ = {(x, y) x2 + y 2 = 1, x 0 y} Γ {(x, y) x + y = 1, x 0, y 0}. 4. Fie a, b, c trei numere strict pozitive. Să se calculeze fluxul câmpului vectorial: V = x(xy + az)i y(xy az)j + z 3 k prin suprafaţa Σ de ecuaţie: ( x 2 a 2 + y2 b 2 ) 2 + z2 c 2 = 1. 5. Consideraţi f : D R 2 R dată de f(x, y) = 1 unde D este 1 xy pătratul descris de x + y 1. Calculaţi f(x, y)dxdy: D a) dezvoltănd mai întâi funcţia în serie de puteri în xy; b) folosind teorema Fubini. Deduceţi de aici valoarea seriei Test 22 1. n 2 1. Studiaţi convergenţa integralei 1 sin x 3 dx.

2. Determinaţi extremele funcţiei z = z(x, y) definită implicit prin x 2 + y 2 + z 2 + 2x 4y + z + 3 = 0. 3. Consideraţi D = { (x, y)/ x, y 1 } şi f : D R 2 R de clasă C 1 în D. Arătaţi că ( ) f(1, 1) + f( 1, 1) + f( 1, 1) + f(1, 1) f(x, y) 4 sup f D x + f y 4. Calculaţi cu formula Green-Riemann integrala : I = x2 + y 2 dx+y[xy+ln(x+ (x 2 + y 2 )]dy, (C) : x 2 +y 2 4x 6y+12 = 0 C 5. Să se calculeze integrale curbilinie cu ajutorul formulei lui Stokes : I = (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz, unde C este elipsa obţinută C prin intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 1 cu planul x + z = 1, parcursă astfel încât proiecţia curbei C pe planul xoy să fie orientată pozitiv Test 23 1. Fie (a n ) n 1 un şir de numere reale strict pozitive. Să se studieze natura a1 +... + a n seriei a1 +... +. a n 2. Să se determine extremele funcţiei definită implicit de z = z(x, y) prin ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 xy yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0. 3. Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele x = y, x = 2y, xy = 3, xy = 4. 4. Fie V = (x 2 + y 4)i + 3xyj + (2xz + z 2 )k şi fie semisfera Σ = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0}. Să se calculeze fluxul câmpului rot (V ) prin Σ, orientată cu normala exterioară (la sferă ). 5. Fie D discul centrat în origine de rază 1 în plan. Arătaţi că (x 2 + y 2 ) n lim dxdy = 0, n 1 + x 2 + y2 D folosind eventual un disc de rază mai mică pe care funcţia dată converge uniform la 0. 15

16 Test 24 1. Calculaţi fluxul câmpului F = r a r prin suprafaţa cilindrului mărginit de x 2 + z 2 = 4, y = 0, z + y = 4. 2. Calculaţi aria decupată din suprafaţa y = x 2 z 2 de cilindrul x 2 +y 2 = 1. 3. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin z = 10 x 2, y = x 2, z = 0, x 2 + y 2 = z. 4. Calculaţi circulaţia câmpului F = (x 2, y 2, z 2 ) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 9 cu planul x + y + z = 1. 5. Segmentele variabile AB unde A(a, 0, 0) şi B(0, a, 1), a [0, 1] descriu o suprafaţă Σ. Calculaţi fluxul unui câmp vectorial constant constant prin Σ. Test 25 1. Calculaţi (x 2 + y 2 + 1) 1 dxdx D unde D este regiunea din primul cadran mărginită de curbele de ecuaţii y = 1, y = 2, y = x 2, y = 2x 2 (Folosiţi eventual o schimbare de x 2 x 2 variabilă). 2. Calculaţi fluxul câmpului F = r 2 ( r a ) ( a este un vector constant) prin suprafaţa laterală a tetraedrului mărginit de planele axelor de coordonate şi de x + 2y + 3z = 2. 3. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin y = x 2 + 4z 2, y = 5 z 2. 4. Calculaţi circulaţia câmpului F = (3xyz, 5xy, 2y) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului z 2 + x 2 = 9 cu planul y = z + 1. 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Green pentru un suprafaţa mărginită de x = 1, x = 2, y = 1, y = x 2 + 2 Test 26 1. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin y = z 2, z = y 2, x + y + z = 2, x = 0.

2. Calculaţi integrala unde D este regiunea determinată de parabolele x = y 2, x = 3y 2 şi dreapta x + y = 2. 3. Calculaţi fluxul câmpului F = (x 3, y 3, z 3 ) prin suprafaţa cilindrului mărginit de x 2 + y 2 = 9, z = 1, z = 4. 4. Calculaţi circulaţia câmpului F = (3y, 2x, 4x) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 4 cu planul z = x. 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru paralelipipedul definit prin 1 x 2, 2 y 3, 0 z 2. Test 27 1. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin x 2 + y 2 + z 2 = 2, z = x 2 + y 2. 2. Calculaţi fluxul câmpului F = (2x, 2y, 3) prin suprafaţa mărginită de paraboloidul z = 4 x 2 y 2 şi planul x + y + z = 1. 3. Calculaţi circulaţia câmpului F = (3z, 5x, 2y) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 1 cu planul z = y + 3. 4. Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru cilindrul definit prin x 2 + y 2 1, 0 z 2. 5. Folosiţi formula Taylor cu rest de ordin 1 (teorema de medie) pentru a demonstra următoarul rezultat: Fie f : [0, 1] [0, 1] R +, diferenţiabilă cu f, f [0, 1] şi f(0, 0) = 0. Atunci x y f(x, y)dxdx 1. [0,1] 2 Test 28 1. Fie z = z(x, y) funcţie definită implicit de ecuaţia x 2 + y 2 + 2x 4y + z 2 + z + 3 = 0. Să se studieze extremele acesteia. 17 2. Calculaţi folosind eventual o integrala Beta. 0 4 x (1 + x) 2 dx

18 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru unde a < 1. I(a) = π 2 0 ln ( ) 1 + a cos x 1 1 a cos x cos x dx, 4. Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ (x + y)2 dx (x 2 + y 2 )dy, unde Γ este sfertul de cerc x 2 + y 2 = 1, x > 0, y > 0. 5. Să se calculeze fluxul câmpului v = (y z) i + (z x) j + (x y) k prin suprafaţa deschisă x 2 + y 2 = 4 z, z > 0 utilizând teoerma Gauss-Ostrogradski. Test 29 1. Fie f, g : (0, 1] R funcţii de clasă C 1 astfel încât g este descrescătoare cu limita 0 în 0 iar funcţia dată de F (x) = 1 f(t)dt să fie mărginită. x Arătaţi că integrala 1 f(t)g(t)dt este convergentă. 0+ 2. Folosind teorema funcţiilor implicite determinaţi extremele funcţie z = z(x, y) definită de (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 x 2 z 2. Suprafaţa descrisă de ultima ecuaţie este compactă? 3. Să se calculeze fluxul câmpului F = (x + y, y + z, z + x) prin suprafaţa sferei unitate aflată în primul octant (x, y, z 0). 4. Calculaţi volumul corpului aflat în ineriorul sferei x 2 + y 2 + z 2 = 4 şi a cilindrului x 2 + y 2 2x = 0. Se cere desenul. 5. Se consideră o curbă de clasă C 1 ce închide un domeniu convex D din plan şi conţine originea şi fie n un număr natural nenul. Din origine se duc dreptele d k de pante 2kπ n, k = 0, 1,..., n 1 şi fie r i lungimea segmentului determinat de fiecare de origine şi intersecţia cu curba. Ce reprezintă aproximativ expresia s n = π n n k=0 r2 k? Arătaţi că lim n n s n D 2π rdrdθ = π r(θ) r (θ) drdθ unde r = r(θ) este parametrizarea curbei în coordonate polare. 0

19 Test 30 1. Fie (f n ) n, f n : [0, 1] R un şir de funcţii de clasă C 1 cu f n (1) = 1 pentru orice n N astfel încât şirul (f n) n să fie uniform convergent. Demonstraţi că (f n ) n este uniform convergent şi limita este de clasă C 1. Se cer detaliile. 2. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = π 2 0 a 0. arctg (atgx) dx, unde tg x 3. Să se calculeze fluxul rotorului câmpului F = (x + y, y + z, z + x) prin suprafaţa x 2 + 2y 2 + 4z 2 = 1 situată deasupra planului xoy. 4. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele x 2 + y 2 = 4a 2, x 2 + y 2 2ay = 0, x + y + z = 3, x 0, z 0 şi a (0, 1). 5. Se consideră un domeniu convex în plan cu frontiera de clasă C 1 şi din origine fascicolul tuturor dreptelor y = m k x cu m k = 2kπ1000, k = 1,...1000. Unele dintre aceste drepte intersectează figura prin segmente cu lungimea totală L. Puteţi determina aproximativ aria figurii în funcţie de L? Ce rezultat din teoria integralei vă inspiră problema? Test 31 1. Determinaţi extremele funcţiei y = y(x) definită implicit prin x 3 +y 3 = 2xy. 2. Calculaţi fluxul câmpului F = (2x, y, z) prin suprafaţa y 2 + z 2 = ax, 0 x a orientată după normala ce face un unghi ascuţit cu semiaxa negativă Ox. 3. Determinaţi circulaţia câmpului v = yz i +2xz j x 2 k prin conturul format din intersecţia elipsoidului 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 8 cu planul z = 1 parcurs în sens pozitiv faţă de normala exterioară a elipsoidului. 4. Se consideră o sferă cu raza de 100m situată într-un sistem cartezian cu unitatea de măsură 1m. Găsiţi o aproximaţie pentru numărul de puncte de coordonate întregi din sferă. Aproximativ cât de mare este eroarea? Justificaţi. 5. Fie f : [0, 1] R R de clasă C 1. Calculaţi derivata funcţiei F (y) = sin y 0 f(x, y)dx. Demonstraţi rezultatul.

20 Test 32 1. Calculaţi volumul corpului mărgnit de sfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 şi paraboloidul z = x 2 + y 2. 2. Calculaţi circulaţia câmpului F (x, y, z) = (x, y, z) de-a lungul curbei date de r(t) = (sin t, cos t, t), t [0, 2π]. 3. Calculaţi fluxul câmpului F = (xy, yz, zx) prin suprafaţa teraedrului mărginit de planele x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 orientată după normala exterioară. 4. Formulaţi şi demonstraţi formula lui Green pentru curba plană descrisă de r = 2+cos θ în coordonate polare. Reprezentaţi în prealabil această curbă.. 5. Se consideră un domeniu convex în plan cu frontiera de clasă C1 şi din origine fascicolul tuturor dreptelor y = m k x cu m k = 2π. Unele dintre 1000 aceste drepte intersectează figura prin segmente cu lungimea totală L. Puteţi determina aproximativ aria figurii în funcţie de L? Ce rezultat din teoria integralei vă inspiră problema? Test 33. 1. Determinaţi extremele funcţiei f : K R, f(x, y, z) = x + y + z unde K = {(x, y, z) x 2 y 2 + z 2 2x 2 }. 2. Găsiţi forma expresiei în coordonate sferice. x f x + y f y + z f z 3. Calculaţi aria suprafeţei decupate de z = x 2 + y 2 din sfera x 2 + y 2 + z 2 = 2x. 4. Calculaţi fluxul câmpului F = ( r a ) 2 r prin suprafaţa decupată de planul x + y + z = 1 din sfera unitate. 5. Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele xy = 1, xy = 2, x y = 1, x y = 2.

21 Test 34 1. Determinaţi extremele funţiei f : K R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 unde K = {(x, y, z) xyz 2}. 2. Găsiţi forma expresiei 2 f x y + 2 f z 2 în coordonatele (u, r, t), x = ur, y = u + t, z = u r. 3. Să se studieze extremele locale ale funcţiei f(x, y, z) = x 2 y + y 2 z + z 2 x pe porţiunea din planul x + y + z = 1 cu x, y, z > 1. Ce se schimba daca regiunea din planul de mai sus este descrisă de x, y, z 0? 4. Calculaţi folosind eventual o integrala Beta. 0 1 1 + x 6 dx 5. Să se calculeze cu formula Green-Riemann (x + y)dx (x y)dy, Γ unde Γ este cercul x 2 + y 2 = x. Test 35 1. Fie z = z(x, y) funcţie definită implicit de ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0. Să se studieze extremele acesteia. Calculaţi 2 f x 2 (0, 0). 2. Calculaţi folosind eventual o integrala Beta. 0 1 1 + x 4 dx 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = π 2 0 unde a < 1. ln 1+a sin x 1 a sin x 1 sin x dx, 4. Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ e x2 a 2 + y2 b 2 ( ydx+xdy), unde Γ este sfertul de elipsă x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, x > 0, y > 0. 5. Să se calculeze fluxul rot v prin Σ, unde v = (x 2 +y 4) i +(3xy) j + (2xz+z 2 ) k, după normala exterioară, utilizând teorema Stokes, pentru Σ : x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0.

22 Test 36 1. Să se studieze extremele locale ale funcţiei f(x, y, z) = xyz cu condiţiile x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8. Daţi o interpretare geometrică. 2. Studiaţi convergenţa integralei 1 sin x 2 dx. 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = 1 1 unde a 1. 1 (x 2 +a 2 ) dx, 1 x 2 4. Determinaţi circulaţia câmpului F = r f(r) a pe cercul de centru (1, 1, 1) şi rază 2 din planul x + y + 2z = 4, unde f : R R este de clasă C 1. 5. Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ (x + y)2 dx (x y)dy, unde Γ este dată de x = cos t, y = 2 sin t, t [0, π]. Test 37 1. Fie (X, X, µ) un spaţiu cu măsură, A X şi f : X X o funcţie măsurabilă. Demonstaraţi că χ A fdµ = µ(f 1 (A)). 2. Calculaţi D xydxdy unde D = {(x, y) x, y 0, x + y 1}. 3. Calculaţi circulaţia câmpului F = (x 2 y 2, y, z) pe cercul obţinut din intersecţia planului z = 1/2 cu sfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. 4. Calculaţi volumul corpului mărginit de (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 y. 5. Să se calculeze fluxul câmpului v = 3x 2 zi + (y 2 2z)j + z 3 k prin suprafaţa exterioară a semisferei unitate x 2 +y 2 +z 2 = 1, z 0 utilizând teorema Gauss-Ostrogradski.

Test 38 1. Fie f : R 2 R dată de f(x, y) = x3 y 2 pentru (x, y) (0, 0) şi x 4 +y 2 f(0, 0) = 0. Să se studieze continuitatea şi diferenţiabilitatea. 2. Să se determine extremele funcţiei y = y(x) definită implicit de (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2. 3. Calculaţi fluxul câmpului F = (xy, yz, zx) prin suprafaţa decupată din sfera unitate de suprafaţa z = x 2 + y 2. 4. Folosind derivarea integralelor cu parametru, să se calculeze 0 arctg ax x(1 + x 2 ) dx. 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Green-Riemann pentru un disc. Test 39 1. Calculaţi aria suprafeţei decupate de z 2 = x 2 + y 2 din paraboloidul x = 1 y 2 z 2. 2. Determinaţi circulaţia câmpului F = a r pe cercul de centru ( 1, 1, 1) şi rază 1 din planul x + y + 2z = 2. 3. Calculaţi fluxul câmpului F = ( r a )(a r ) prin suprafaţa decupată de paraboloidul z = x 2 + y 2 din sfera unitate. 4. Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele y = x, y = 2x, y = x 3, y = 2x 3 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru un cub cu feţele paralele cu axele de coordonate. Alte probleme 1. Pentru mulţimi de numere reale mărginite A, B, sunt adevărate relaţiile sup(a + B) = sup A + sup B, inf(a + B) = inf A + inf B, sup(a B) = sup A inf B? Fie (a n ) n, (b n ) n şirurile date de a n = 1 + ( 1) n, b n = a n 1. Avem sup(a n + b n ) = 1 şi sup a n = sup b n = 2. Este o contradicţie cu afirmaţiile de mai sus? 23

24 2. Determinaţi inf şi sup pentru mulţimile A = { } { mn 2n 2 + m m, n Z, 2 mm2 + n 2 0 şib = sin πx } x 2 + 3 x R 3. a) Arătaţi că f : N N N, f(n, m) = 2 n (2m + 1) este o bijecţie de la N N la N. b) Explicitaţi o bijecţie între intervalele (0, 1] şi [0, 1]. 4. Arătaţi că următoarele mulţimi sunt dense în R: A = { n 2 m m, n Z, m 0 }, B = {m + nα m, n Z} pentru α / Q C = {sin n + m n, m Z}. 5. a) Arătaţi că există o putere a lui 2005 diferită de 1, care începe cu cifrele 2005. Puteti evalua cu calculatorul prima putere a lui 2 care începe cu 22? b) Arătaţi că dacă α/β este iraţional mulţimea valorilor şirului [αn + βm] când m, n N conţine toate numerele naturale de la un anumit rang. Care este valoarea de la care toate numerele naturale sunt valori ale şirului dacă α = 5, β = 2005? Folosiţi calculatorul. 6. Determinaţi mulţimea punctelor limită ale şirurilor definite de termenii generali: a n = n sin nπ + 1 [ ] 3, a n = n2 + 1 n 2 + 1, n + 1 n n a n = sin ln n, a n = (1) n n 2 + 1 + 3 n 6 + 1, a n = (1 + 1 n )( 1)nn, a n = sin n n, a n = sin n Determinaţi în fiecare caz limsup şi liminf. Folosiţi calculatorul spre a verifica. Ce procent dintre valorile sin n, n = 1, 2,... 2005 se găsesc în intervalul [1/10, 2/10]. Ce rezultat postulaţi? 7. Este mulţimea tuturor şirurilor formate cu 0 şi 1 o mulţime numărabilă? Dar mulţimea tuturor numerelor reale ce sunt rădăcini de polinoame cu coeficienţi întregi?

8. Fie α (0, 1) şi un şir (a n ) n pentru care lim(a n+1 αa n ) = 0. Arătaţi că lim a n = 0. Deduceţi că un şir cu termeni pozitivi (a n ) pentru care există t (0, 1) astfel încât a n+1 ta n + (1 t)a n 1 pentru orice n este convergent. 9. Pentru un şir cu lim(a n+1 a n ) = 0, mulţimea punctelor limită este un interval. 10. Arătaţi că şirul defnit prin a 1 = 1, a n+1 = ln(1 + a n ) satisface lim na n = 2. Folosind calculatorul găsiţi un şir b n pentru care lim b n (na n 2) există, este finită şi nenulă. Demonstraţi apoi rezultatul postulat. Să se studieze convergenţa şirului dat de a 1 = 1.5 şi a n+1 = a2 n + 3 2a n Determinaţi o funcţie exponenţială e(n). n N cu baza subunitară, pentru care a n 3 e(n). 11. Construiţi numeric graficul şirurilor date de Ce observaţi? a n = en n! 2πnn n, b n = 1 + 1 2 + + 1 n, c n = ln n. 12. Arătaţi că şirul (x n ) n definit prin x n = sin 1 1 2 + sin 2 2 2 + + sin n n 2, este şir Cauchy. Sudiaţi numeric graficul (se poate folosi şi un program tabelar). 13. Dacă (a n ) n este un şir mărginit de numere reale, studiaţi natura seriei a n n(n + 3). n 14. Studiaţi convergenţa seriilor 1 (ln ln n) ln n, (2n 1)!! (2n)!! n, sin π n2 + 1 25

26 15. Arătaţi că seria sin nx este convergentă pentru orice x. Folosind calculatorul ghiciţi suma f(x) pentru x (0, n 2π). Acelaşi lucru pentru ( 1) n, x ( π, π). x nπ 16. Studiaţi convergenţa punctuală şi uniformă a şirurilor de funcţii f n : I R date prin: a) I = [0, 1], f n (x) = 2nx 1+n 2 x 2 ; b) I = R, f n (x) = n cos x 2+n cos x, c) I = [0, 1], f n (x) = 1 pentru x = 1 n şi f(x) = 0 în rest. 17. Studiaţi convergenţa (punctuală, uniformă, absolută punctuală) a seriilor: a) x n 1+x n, x 1; b) sin nx n 2 +x 2 ; c) ( 1) n n+x 2. 18. Dezvoltaţi în serie Taylor următoarele funcţii: f(x) = xarcsin x 1 x 2 ; f(x) = (1 + x 2 )arctg x; f(x) = ln(1+x) ; stabilind şi mulţimile de convergenţă. 1+x 19. Se cere raza de convergenţă a seriilor de puteri 4 n C n 2n x n, 2 n 2 x n! x n 2 n + 3 n 20. Calculaţi n=0 x 2n n(2n 1), n 2 1 (2n)!! xn, n=0 n n + 1 xn, x 4n (4n)! n 2 2 n (x 2)n 1.

21. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor: (a) f(x, y) = a(x+y) 1 x 2 +y 2 ; (b) f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + z 4 xy xz; (c) f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2 2 x n n(1 x 1 2x 2 nx n ), x i > 0. 22. Dacă y = ϕ(x) este funcţia implicită definită de ecuaţiile date (se va verifica existenţa lui ϕ), să se calculeze ϕ (x 0 ) în punctele indicate: (a) x 2 + 3xy y 2 = 3, (x 0, y 0 ) = (1, 1); (b) x 3 y cos y = 0, (x 0, y 0 ) = (1, 0); (c) x 3 + xy 2 + x = 0, x 0 = 1; 23. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor definite implicit prin: a) xe xy = 1; b) x 4 + y 4 = x 2 + y 2. 24. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor implicite z = ϕ(x, y) pentru relaţiile: (a) x 4 + y 4 + z 4 = 2(x 2 + y 2 + z 2 ); (b) 2x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz 4x 8y + 3 = 0. 25. Demonstraţi existenţa funcţiilor implicite z = ϕ(x, y) pentru relaţiile următoare în punctele indicate, calculând diferenţiale acestora: (a) z 3 xyz = a 3, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, a); (b) sin xy + sin z + sin zx = 3, x 0 = 1, y 0 = π2. 26. Determinaţi punctele în a căror vecinătate sistemul următor are soluţie unică xy cos z = a xz sin y = b x 2 z 2 = c 27. Sistemul de ecuaţii x + y u v = 2 x 3 + y 3 + u 3 = xyuv + 9 defineşte funcţiile u = u(x, y), v = v(x, y) într-o vecinătate a punctului (1, 2). Determinaţi derivatele parţiale ale lui u, v în aceste puncte. 27

28 28. Scrieţi în coordonate polare formula expresiei: 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 2 f x y dacă f = f(x, y), iar f(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). 29. Aceeaşi problemă pentru f = f(x, y, z), transformarea în coordonate sferice. 30. Studiaţi diferenţiabilitatea şi existenţa derivatelor parţiale pentru funcţiile următoare: (a) f : R 2 R, f(x, y) = x2 y x 2 +y 2 pentru (x, y) (0, 0) şi (f(0, 0) = 0. (b) f : R 2 R 2 ; f(x, y) = ( xy, x + y). 31. Fie f : R 2 R o funcţie de clasă C 1. Dacă f(0, 0) = 0 şi ( ) 2 ( ) 2 f f + 1 x y pe mulţimea A = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 5 }, să se arate că f(1, 2) 5. 32. Fie f : R 2 R de clasă C 2 care verifică relaţiile 2 f x 2 = 2 f y 2, f x (x, 2x) = x2, f(x, 2x) = x. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul 2 ale funcţiei f pe mulţimea A = { (x, y) R 2 2x y = 0 }. 33. Fie A M 2 (R). Considerând identificarea M 2 R 4 ca spaţii vectoriale normate, calculaţi diferenţiala funcţiei f : M 2 (R) M 2 (R) definită prin f(x) = XAX, într-un punct X 0 M 2 (R). 34. Reprezentaţi grafic planul tangent la curba descrisă de z = xy sin x întrun punctul (12, π/6, π). (In Maple plot3d({f(x, y), g(x, y)}, x=a..b,y=c..d); pentru reprezentarea suprafeţelor descrise de f şi g în acelaşi sistem de axe pe [a, b] [c, d]). 35. Folosind notaţiile vectoriale r = (x, y, z), r = r, considerăm f : R 3 R dată de f( r ) = r r a ( produsul scalar), unde a R 3 este dat. Determinaţi gradientul lui f. Poate fi acesta nul?

29 36. Folosind diferenţaila calculaţi aproximativ sin 31 o + tan 44 o. 37. Ordonaţi crescător numerele: 1, 99 1,97 ; 1, 98 1,98 ; 1, 97 1,99 ; 1, 98 1,97. 38. Un avion este urmărit de două radare aflate pe două port-avioane aflate la distanţa de 100 mile unul de celălalt. Locul de analiză al datelor se afla la jumătatea distanţei în linie dreapta între cele două port-avioane. La un anumit moment se determină că avionul se află la distanţa de 500 de mile şi se indepărtează cu 1000 mile/oră faţă de primul radar şi se află la distanţa de 500 mile apropiindu-se cu 100 mile/oră faţă de cel de-al doilea radar. Care este viteza avionului faţă de punctul de observaţie? Se apropie sau se îndepărtează de acesta? Scrieţi un program care având ca date iniţiale distanţele la radar şi vitezele faţă de acesta să producă în fiecare moment viteza faţă de punctul de observaţie. 39. Fie f(x, y) = sin xy definită pe D = [0, 1] [0, 1]. Folosind aproximarea f (x, y) = n ( f(x + 1, y) f(x, y)) şi analoaga pentru f, scrieţi un x n y program pentru calculul aproximativ al derivatelor parţiale şi a diferenţialei lui f pe D, cu 3 zecimale exacte (Indicaţie: alegeţi reţeaua punctelor (k/n, p/n), 0 k, p n, cu n suficient de mare determinat cu teorema lui Lagrange. Folosiţi apoi formula de mai sus ca pe o relaţie de recurenţă). 40. Fie f : R 2 R cu f(0, 0) = 0, derivabilă parţial în orice punct şi astfel că f, f 1. Arătaţi că f(x, y) x + y pentru orice x, y R. x y 41. Este oare adevărat că x y + y x > 1 pentru orice x, y > 0? 42. Dacă numerele pozitive a, b, c satisfac a x 1+x 2 + bx 2 + x 3 + c x 3+x 1 3 pentru orice x 1, x 2, x 3 R, arătaţi că a = b = c = 1. 43. Care dintre numere e mai mare 7 8 sau 8 sqrt7? rezultatul obţinut numeric. Încercaţi să demonstraţi

Bibliografie [1] A. Angot, Complemente de matematici pentru inginerii din electrotehnică şi din telecomunicaţii, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1966. [2] R. Bădescu, C. Maican, Integrale utilizate în mecanică, fizică tehnică şi calculul lor, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1968. [3] D. M. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, Mathematical Association of America, 1994. [4] Gh. Bucur, E. Câmpu, S. Găină, Culegre de probleme de calcul diferential si integral, vol II-III, Editura Tehnică, 1967. [5] J. Cavailles, Studii asupra teoriei mulţimilor, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1969. [6] S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, Ed.Did. şi Ped., Bucureşti, 1989. [7] I. Colojoară, R. Miculescu, C. Mortici, Analiză matematică.teorie.metode.aplicaţii, Ed.Art, Bucureşti, 2002. [8] T.-L. Costache, Analiză matematică. Noţiuni teoretice. Aplicaţii, Ed.Printech, Bucureşti, 2006. [9] T.-L. Costache, M. Olteanu, Subiecte examen. Analiză matematică, Ed.Printech, Bucureşti, 2008. [10] T.-L. Costache, Analiză matematică. Culegere de probleme, Ed.Printech, Bucureşti, 2009. [11] G. M. Fihtenholţ, Curs de calcul diferenţial şi integral (vol II-III), Ed.Tehnică, Bucureşti, 1964. [12] D. Filipescu, E. Grecu, R. Medinţu, Matematici generale pentru subingineri.culegere de probleme, Ed.Did. şi Ped., Bucureşti, 1975. 30

BIBLIOGRAFIE 31 [13] P. Flondor, N. Donciu, Algebră şi analiză matematică. Culegere de probleme, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. [14] S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercises de mathématiques des oraux de l École polytechnique et des Écoles normales supérieures. Analyse 2, Cassini, Paris, 2004. [15] B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Contraexemple în analiză, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1973. [16] A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiză matematică, vol. I-II, Matrix Rom, 1998-2000. [17] A. Niţă, T. Stănăşilă, 1000 de probleme rezolvate şi exerciţii fundamentale pentru studenţi şi elevi, Ed.ALL, Bucureşti, 1997. [18] M. Olteanu, Analiză matematică. Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate, Ed.Printech, Bucureşti, 2004. [19] M. Roşculeţ, C. Bucur, M. Craiu, R. Trandafir, M. Toma, I. Tofan, Culegere de probleme de analiză matematică, Edd. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968. [20] P. N. de Souza, J.-N. Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Springer, 1998. [21] R. D. Stuart, Introducere în analiza Fourier cu aplicaţii în tehnică, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1971. [22] R. Trandafir, Probleme de matematici pentru ingineri, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1977. [23] C. Udrişte, E. Tănăsescu, Minime şi maxime ale funcţiilor reale de variabile reale, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1980.