Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu"

Transcript

1 Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

2 2

3 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy Serii de numere reale. Noţiuni generale Serii remarcabile Exerciţii rezolvate Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Şiruri de funcţii Serii de funcţii Serii de puteri Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri Serii Taylor Serii Mac-Laurin Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite Spaţiile R n Spaţiul cu n dimensiuni Structura de spaţiu vectorial al lui R n Produsul scalar în R n Norma în R n Distanţa în R n Vecinătăţile unui punct din R n Mulţimi deschise în R n Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi Puncte de acumulare Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe Şiruri de puncte din spaţiul R n

4 4 3 Funcţii definite pe mulţimi din R n Funcţii reale de variabilă vectorială Limitele funcţiilor reale de variabilă vectorială Continuitatea funcţiilor reale de n variabile reale Derivate parţiale Derivarea funcţiilor compuse Diferenţiala unei funcţii reale de două variabile reale Formula lui Taylor pentru funcţii reale de două variabile reale Extremele funcţiilor reale de două variabile reale Extreme condiţionate (legate) ale funcţiilor reale de două variabile reale Funcţii implicite de o variabilă Funcţii de mai multe variabile definite implicit Schimbări de variabilă în expresii ce conţin derivate Schimbări de variabile în expresii ce conţin derivate parţiale. 84 Bibliografie 89

5 5 PREFAŢĂ Conţinutul acestei cărţi a fost elaborat în concordanţă cu programa disciplinei de Analiză Matematică, semestrul I (28 ore curs, 4 ore seminar), din planul de învăţământ pentru anul I ingineri, Facultatea de Resurse Minerale şi Mediu, specializările CCIA şi MTC din cadrul Universităţii de Nord din Baia Mare. Materialul este structurat în trei capitole. În primul capitol se prezintă: şiruri şi serii numerice, şiruri şi serii de funcţii. Sunt prezentate principalele criterii de convergenţă pentru şiruri numerice: criteriul Weierstrass, criteriul cleştelui, criteriul Cesaro-Stolz, criteriul Cauchy-D Alembert, criteriul raportului, criteriul general de convergenţă al lui Cauchy. Se prezintă apoi rezultate relative la seriile numerice: serie convergentă (divergentă), criteriul lui Cauchy, criteriul lui Leibniz, criteriul Dirichlet-Leibniz, serii cu termeni pozitivi (criteriul comparaţiei, criteriul raportului, criteriul radicalului, criteriul Raabe-Duhamel). În continuare sunt prezentate rezultate principale asupra şirurilor şi seriilor de funcţii, insistându-se asupra seriilor de puteri şi asupra dezvoltării funcţiilor elementare în serii de puteri. Se dau aplicaţii ale acestor dezvoltări la calculul limitelor de funcţii şi la calculul aproximativ al integralelor definite. Capitolul al doilea e dedicat prezentării principalelor proprietăţi algebrice şi topologice ale spaţiului R n. Capitolul al treilea tratează funcţii reale de n variabile reale. Se insistă în special asupra calculului diferenţial al funcţiilor de mai multe variabile: derivate parţiale, diferenţiale, extreme ale funcţiilor de mai multe variabile. O importanţă deosebită se acordă schimbării de variabilă în expresii ce conţin derivate, şi respectiv derivate parţiale, având în vedere rolul pe care acestea îl joacă în studiul unor discipline inginereşti (mecanică şi rezistenţa materialelor). Spre deosebire de alte cursuri de analiză matematică, unde un loc central îl ocupă demonstrarea rezultatelor teoretice, cel de faţă are un caracter aplicativ: prezentăm scurt rezultatele teoretice iar apoi le exemplificăm printr-un număr mare de aplicaţii. Sperăm ca acest curs să contribuie la o bună înţelegere a noţiunilor prezentate prin modul de redactare şi prin numeroasele exemple prezentate. Mulţumim referenţilor, prof. univ. dr. Vasile Berinde şi conf. univ. dr. Nicolae Pop, pentru sugestiile şi observaţiile făcute, care au contribuit la îmbunătaăţirea prezentării acestui material. Baia Mare 20 octombrie 2006 Autorii

6 6

7 Capitolul Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale În acest paragraf se vor reaminti rezultate relative la şirurile de numere reale, cunoscute studenţilor de la studiul analizei matematice din liceu. se numeşte şir de numere reale orice funcţie f : N R, f(n) a n ; notaţie prescurtată: (a n ) n N sau (a n ) sau (a n ) n etc; dacă (a n ) n N este un şir de numere reale, termenul a n se numeşte termen de rang n (termen general) al şirului; şirul (a n ) n N se numeşte: mărginit inferior, dacă ( ) m R a.î. a n m, ( ) n N; mărginit superior, dacă ( ) M R a.î. a n M, ( ) n N; mărginit, dacă este mărginit inferior şi superior; şirul (a n ) se numeşte: crescător, dacă a n a n+, ( ) n N; descrescător, dacă a n a n+, ( ) n N; orice şir crescător este mărginit inferior de primul termen; orice şir descrescător este mărginit superior de primul termen; fie (a n ) n N un şir dat iar (n k ) k N un şir strict crescător de numere naturale; şirul (a nk ) se numeşte subşir al şirului (a n ) n N. Exemplu. n k 2k, k N a nk a 2k ; subşirul (a 2k ) este subşirul termenilor de rang par. orice subşir al unui şir monoton (crescător sau descrescător) e monoton; orice subşir al unui şir mărginit e mărginit; fie a R. Se numeşte vecinătate a lui a orice submulţime V R care conţine un interval de forma ]a ε,a+ε[ (ε > 0 - dat); se notează prin V(a) 7

8 8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii mulţimea tuturor vecinătăţilor lui a R; se demonstrează că dacă a,b R, a b, există V V(a), W V(b) a.î. V W. se numeşte vecinătate a lui + orice interval de forma ]a,+ [ (a > 0); se numeşte vecinătate a lui orice interval de forma ], a[ (a > 0); notăm: R R {,+ }; fie (a n ) n N un şir dat iar a R; lim a n a orice vecinătate a lui a conţine o infinitate de termeni ai şirului. Se demonstrează următoarele: lim a n a R [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n a < ε]; lim a n + [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n > ε]; lim a n [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n < ε]. Un şir se numeşte convergent dacă are limită finită şi divergent în caz contrar. Privitor la şirurile convergente reamintim: limita unui şir convergent este unică; dacă (a n ) n N este convergent şi lim a n a, atunci orice subşir al său este convergent şi are limita a; dacă şirul (a n ) n N are două subşiruri cu limite diferite, atunci este divergent. Exemplu. Şirul (a n ) n N a n ( ) n este divergent căci subşirul termenilor de rang par şi respectiv subşirul termenilor de rang impar au limite diferite. orice şir convergent e mărginit; orice şir mărginit are un subşir convergent. Reamintim următoarele criterii suficiente de convergenţă ale unui şir de numere reale: orice şir monoton şi mărginit e convergent (criteriul lui Weierstrass); dacă şirurile (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N au proprietăţile: (i) a n b n c n, ( ) n n 0 (n 0 N-fixat) (ii) lim a n lim c n l R atunci lim b n l (criteriul cleştelui). dacă (a n ) n N, (b n ) n N sunt şiruri care au limită şi a n b n, ( ) n n 0 (n 0 N fixat), atunci lim a n lim b n; dacă a n b n, ( ) n n 0 şi lim a n +, atunci lim b n +. Limite fundamentale: lim + n n e( 2, ); mai mult, şirul de termen general e n + n n e crescător şi 2 < en < 3, ( ) n N ;

9 .. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale 9 dacă lim a n 0 lim ( + a n) an e; dacă lim a n lim + an a n e; 0, dacă q ],[;, dacă q ; lim qn +, dacă q ], + [; nu există, dacă q ], ]... Teoremă. (Stolz Cesaro) Fie (a n ) n N, (b n ) n N şiruri cu proprietăţile: (i) lim b n + ; a (ii) ( ) lim n+ a n a n Atunci ( ) lim b n+ b n α R. a bn şi lim n bn α. Prezentăm în continuare următoarele aplicaţii. + 2 A. Calculaţi lim + + n. ln n Soluţie. Notăm a n n, b n ln n. Cum lim b n lim ln n +, încercăm aplicarea criteriului Cesaro-Stolz. Observăm că: Dar a n+ a n lim lim b n+ b n Prin urmare, lim Cesaro-Stolz. n+ ln(n + ) lnn lim (n + )ln n+. n n + lim (n + )ln lim n ln + n+ ln e. n a n+ a n b n+ b n A2. Dacă lim a n a R iar calculaţi lim b n, lim c n. b n a + a a n n a şi atunci lim n bn n, c n a + +, a n, în baza criteriului Soluţie. Pentru calculul lui lim b n se aplică criteriul Cesaro-Stolz, obţinându-se: lim b n lim a n+ n + n lim a n+ a.

10 0. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Se observă că c n Deci lim c n a. lim a + + a n n c n lim şi aplicând criteriul Cesaro-Stolz se obţine: a n+ n + n lim a n+ a. A3. (Cauchy-D Alembert) Dacă (a n ) n N este un şir de numere reale a strict pozitive cu proprietatea că ( ) lim n+ a n l, atunci ( ) lim n an şi n an l. lim Soluţie. Fie b n n a n lnb n lim b n e lim Stolz. Avem: ln a n lim n Atunci lim b n e lnl l. ln an n ln an b n e n. Prin urmare ln an n. Calculăm limita exponentului folosind criteriul Cesaro- lim ln a n+ ln a n n + n Propunem spre rezolvare următoarele probleme.. Să se afle limitele şirurilor de termen general: (i) a n n k(k+) ; (ii) a n n k k (iii) a n n k(k+)(k+2) ; (iv) a n +2+ +n k (v) a n n É 2 n ; (vi) a 3 n n k2 lim ln a n+ a n ln l. (3k 2)(3k+) ; n 2 +2 ; k 2. R. (i) l ; (ii) l 3 ; (iii) l 4 ; (iv) l 2 ; (v) l 3 ; (vi) l 2. 3n+2 2. Să se calculeze: 2n+ (i) lim 3n+ ; (ii) lim (iii) lim 2n 2 +n 3 3n+ 2n +4n. 2 R. (i) e 2 3; (ii) e 3 2; (iii) e Calculaţi: (i) lim 2 n 3 ; (ii) lim 7 n 5 ; 5 2 (iii) lim n +4 3 n 3 2 n 3 ; (iv) lim n sinn 4n+3 4n+ 3n+2 ; π 2005.

11 .. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale R. (i) 0; (ii) ; (iii) 4; (iv) Folosind criteriul cleştelui calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n ; (ii) x n 2 +k n n n + 2 n n k (iii) x n n n + 2 n + + n n ; (iv) x n [a]+[2a]+ +[na] n, a R 2 (iv) x n (2n ) n. R. (i) ; (ii) 2006; (iii) + ; (iv) a 2 ; (v) Aplicând criteriul Stolz să se calculeze limita şirului de termen general: (i) a n n 2 ; (ii) b n n 2 + +n 2 ; (iii) x n 3 n lnn n ; (iv) x n (vi) x n ln2+ln 3+ +lnn n ; (v) x n n(n+) n n ; (vii) x n n R. (i) 0; (ii) 3 ; (iii) 0; (iv) e ; (v) ; (vi) 2 ; (vii) 3. n ; n 2 +n Aplicând criteriul Cauchy-D Alembert, calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n n (n 2); (ii) x n n ln n (n 2); (iii) x n n n n! (n 2); (iv) x n n n! (n 2); (v) x n n (n!) 2 (2n)!8 (n 2). n R. (i) ; (ii) ; (iii) e; (iv) ; (v) 32. Un alt criteriu util în calculul limitelor de şiruri este prezentat în următoarea..2 Teoremă. (Criteriul raportului pentru şiruri) Fie (a n ) n N un a şir de numere reale strict pozitive cu proprietatea că există lim n+ a n l. Dacă l < lim a n 0. Dacă l > lim a n +. Dacă l nu se poate decide nimic privitor la valoarea lim a n. Prezentăm următoarea aplicaţie. 2 A4. Calculaţi lim n n! n. n Soluţie. Notând a n 2n n! n n este clar că a n > 0, a n+ l lim 2 lim a n 2 n+ (n + )! lim (n + ) n+ n n (n + )n 2 lim + n n n 2 n n! n 2 e <.

12 2. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Conform criteriului raportului, lim a n 0. Propunem spre rezolvare 7. Aplicând criteriul raportului pentru şiruri, calculaţi limitele şirurilor de termen general: (i) x n nn (n!) ; (ii) x 2 n 2n (n!) 2 (2n)! ; (iii) x n (2n)! n. n R. (i) 0; (ii) 0; (iii)..2 Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy.2. Definiţie. Şirul (a n ) n N se numeşte şir fundamental (sau şir Cauchy) dacă şi numai dacă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, ( ) p N a n+p a n < ε. Privitor la şirurile fundamentale se demonstrează.2.2 Teoremă. (Criteriul general de convergenţă a lui Cauchy) Şirul (a n ) n N este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Prezentăm în continuare câteva aplicaţii. A. Arătaţi că şirul (a n ) n de termen general a n n Deduceţi că lim a n +. k k nu e fundamental. Soluţie. Presupunem că (a n ) n e fundamental ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N avem: a n+p a n n + + n < ε. (*) n + p În ( ) alegem p n 2 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N avem: Să observăm că: n + + n < ε. (**) 2n n + + n n 2n + 2n + + 2n n 2n 2 ceea ce înseamnă că ( ) nu poate fi adevărată pentru ε 2. Contradicţia arată că şirul considerat nu e fundamental, deci nu e convergent.

13 .3. Serii de numere reale. Noţiuni generale 3 Pe de altă parte a n+ a n n+ > 0, deci (a n) n N e strict crescător, ceea ce înseamnă că ( ) lim a n. Cum (a n ) n N nu e convergent lim a n +. A2. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. Soluţie. ( ) p N avem: a n+p a n 2 a n sin 2 + sin sinn 2 n sin(n + ) sin(n + 2) sin(n + p) 2 n+ + 2 n n+p (*) sin(n+) + sin(n+2) + + sin(n+p) n+ 2n+2 2n+p 2 p < 2 n 2 n p 2 n (am folosit inegalitatea sin x, ( ) x R). Cum lim 2 0 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N n 2 < ε. n Având în vedere ( ), rezultă că ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N, a n+p a n < ε, deci (a n ) n N e un şir fundamental. Aplicând criteriul lui Cauchy, deducem că (a n ) n N e convergent. Similar se tratează şi aplicaţia A3. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. a n cos 2 + cos cos n n(n + ).3 Serii de numere reale. Noţiuni generale.3. Definiţie. i) Se numeşte serie de termen general a n o sumă de forma a n a 0 + a + + a n +... ii) Şirul (s n ) n N, de termen general s n n a k se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei a n. iii) Seria a n se numeşte convergentă dacă şirul (s n ) al sumelor ei parţiale este convergent; în caz contrar seria se numeşte divergentă. k0

14 4. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iv) Dacă seria a n e convergentă şi s lim s n, numărul s R se numeşte suma seriei considerate; se utilizează în acest caz notaţia a n s. n0.3. Serii remarcabile (i) Seria geometrică de raţie q este seria q n (q R) şi are şirul sumelor parţiale (s n ), de termen general s n n q k ; q n0 k pentru termenul general s n se obţine n, q s n q n q, q ; rezultă că (s n ) este convergent q ],[ ; în acest caz lim s n Ḋeci seria geometrică q n e convergentă q ],[; în acest caz q n q. (ii) Seria armonică este seria şi are şirul sumelor parţiale de termen general n n s n n ; cum şirul (s n ) n e divergent, seria armonică e divergentă..3.2 Exerciţii rezolvate Să se calculeze suma fiecăreia din seriile de mai jos: (i) n(n+) ; (ii) 3 n +2 n n 6 ; (iii) 2 +n 3 n n n n! n (ştiind că n! e). n0 Soluţie. (i) s n n k Cum lim s n 3 (ii) n +2 n 6 n 3 lim n ( 3) n k(k+) n k k+ n+. k n n(n+) (seria e convergentă şi are suma s ). n 3 6 n n n 2 n + 3 n 2 lim ( 2) n + 2

15 .4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente 5 (iii) Să observăm că: n Mai departe avem: n n n n 2 + n 3 n! n 2 n! n n2 n + (n )! n n 2 n! + n2 (n 2)! + (n )! n n! (n )! e; n n! n! e. n0 n n n! 3 n n!. n (n )! + (n )! n e + e 2e; În concluzie, se obţine n n 2 + n 3 n! 2e + e 3(e ) 3..4 Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente.4. Teoremă. (Criteriul general de convergenţă Cauchy) Seria ä u n e convergentă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N(ε), ( ) p N u n+ + u n u n+p < ε ç..4.2 Consecinţă. (Condiţia necesară de convergenţă) Dacă seria u n este convergentă lim u n 0. n.4.3 Aplicaţii. (Ale condiţiei necesare) Arătaţi că seriile de mai jos sunt divergente (i) n sin n ; (ii) n+ n n+2 ; (iii) n n (iv) n ln n ; (v) n++ n ; (vi) n 2 n n 2 n n n ; n tg n. Soluţie. (i) u n n sin n ; lim u sin n lim n n 0;

16 6. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii n+ n; (ii) u n n+2 lim u n lim n n+2 e e 0; (iii) u n n n ; lim u n lim n n 0; (iv) u n n ln n ; lim u n e 0; (v) u n n++ n ; lim u n 0. Nu putem trage nici o concluzie utilizând condiţia necesară de convergenţă. Dar s n n k k + + k n k Cum lim s n + seria e divergentă. (vi) u n n tg n ; lim u n lim k + k n +. tg n n Teoremă. (Criteriul lui Abel) Dacă şirul de termeni pozitivi (u n ) n N e descrescător şi lim u n 0, seria ( ) n u n este convergentă. n.4.5 Aplicaţii. (La criteriul lui Abel) Arătaţi că seriile de mai jos sunt convergente: (i) ( ) n n ; (ii) ( ) n ; (2n ) n n 3 (iii) ( ) n 5 n ; (iv) ( ) n n3 n n 2 n. Soluţie. (i) u n n ; u n+ u n n n+ < ; lim u n lim Conform criteriului Abel seria e convergentă. (ii) u n (2n ) ; u n+ 2n 3 3 u n 2n+ < ; lim Se aplică criteriul lui Abel. (iii) u n 5 n ; u n+ u n u n lim n 0. (2n ) n n+ < ; lim u n lim 5 n 0. (iv) u n n3 u 2 ; n+ n+ 3 n u n n n <, deci un ) n N este descrescător. Pentru a calcula lim u n se aplică criteriul lui Stolz, obţinându-se: lim u (n + ) 3 n 3 3n 2 + 3n + n lim 2 n+ 2 n lim 2 n 3(2n + ) + 3 lim 2 n 6 lim Conform criteriului Abel, seria e convergentă. n + 2 n 6 lim 2 n 0.

17 .4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente Definiţie. (i) Seria u n e absolut convergentă dacă seria u n e convergentă. (ii) Dacă seria u n e convergentă fără să fie absolut convergentă, ea se numeşte semiconvergentă..4.7 Exemplu. Seria armonică alternată ( ) n n este semiconvergentă n (exerciţiu!)..4.8 Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă. (Reciproca este în general falsă, vezi.4.7)..4.9 Teoremă. (i) Dacă u n s, v n s 2 (u n +v n ) s +s 2. n0 n0 n0 (ii) Dacă u n s şi α R αu n αs. n0.4.0 Exemplu. Vezi.3.3. n0 O generalizare a criteriului lui Abel e exprimată în.4. Teoremă. (Dirichlet-Abel) Dacă: (i) Seria u n are şirul sumelor parţiale mărginit; (ii) (v n ) e un şir descrescător de numere pozitive cu lim v n 0, atunci seria u n v n este convergentă.

18 8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii.5 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă.5. Definiţie. Seria u n e cu termeni pozitivi dacă u n > 0, ( ) n N..5.2 Teoremă. (Criteriul comparaţiei) Fie u n, v n serii cu termeni pozitivi. (i) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n - convergentă; v n e convergentă (ii) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n e divergentă v n - divergentă; u (iii) Dacă lim n vn l ]0,+ [, seriile u n, v n au aceeaşi natură..5.3 Aplicaţii. (La criteriul comparaţiei) (i) Studiaţi natura seriei n, unde α R (seria armonică gene- α ralizată). Soluţie. Distingem situaţiile:. α n α n n n 2. α < n α < n n α > n n α n n divergentă (folosind criteriul comparaţiei, (ii)). n divergentă (seria armonică). ; cum seria n e divergentă 3. α > + 2 α + 3 α α + 3 α + 4 α + 5 α + 6 α nα Cum seria (2 n+ ) α α α + + 2n 2 nα +... n n α 7 α + 2 α n e convergentă, folosind criteriul convergenţei (i), n rezultă că seria n este convergentă. n α În concluzie, seria armonică generalizată α > şi divergentă pentru α. (ii) Decideţi natura seriilor: (a) (c) n n +n +n 2 ; (b) n n sin π n ; (d) n 3 n 4 +5 ; n 5+n 2 n. n n α este convergentă pentru Soluţie. (a) Fie u n +n, v +n 2 n n ; lim u n n vn lim 2 +n ]0,+ [. +n 2 Cum seria n e divergentă, folosind criteriul comparaţiei (iii), seria n n +n +n 2

19 .5. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă 9 e divergentă. (b) Fie u n 3 ; atunci u n 4 +5 n 3 n 4 Cum seria n n 4/3 v n 4/3 n. e convergentă (vezi exemplul (i)), seria este convergentă, conform criteriului comparaţiei. (c) Fie u n n sin π n ; atunci: Seria v n π n n n u n n sin π n n π n π n 2 v n. n 2 n e convergentă, deci seria dată e convergentă. (d) Fie u n u 5 + n 2 n, v n 2 ; cum lim n 2 e convergentă, seria n n u n vn n 5+n 2 4 este convergentă. 3 n 4 +5 ]0,+ [ şi seria.5.4 Teoremă. (Criteriul raportului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) u n+ u n q <, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n convergentă; (ii) u n+ u n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n.5.5 Aplicaţii. (La criteriul raportului) Decideţi natura seriilor de mai jos: (2n ) (i) 3 n n! (n!) ; (ii) 2 (2n)! ; (iii) n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru n Soluţie. (i) u n (2n ) 3 n n! > 0, ( ) n N u n+ lim u n n 3... (2n )(2n + ) lim 3 n+ (n + )! 3 lim deci seria e convergentă. (ii) u n (n!)2 (2n)! > 0, ( ) n N u n+ lim u n deci seria e convergentă. 2n + n <, a n 2 n +5 n (a > 0). 3 n n! (2n ) [(n + )!] 2 lim (2n)! (2n + 2)! (n!) 2 lim (n + ) 2 (2n + )(2n + 2) 4 <,

20 20. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iii) u n u n+ lim u n an 2 n +5 > 0, ( ) n N n a n+ lim 2 n+ 5 n+ 2n + 5 n a n n a lim u n+ u n+ ä 5 n 2 n ç n ä n + 5 ç a 5. Dacă a < 5 seria e convergentă, căci lim u n <. Dacă a > 5 seria e divergentă, căci lim u n >. Dacă a 5 u n 5n 2 n +5 lim n n 0, deci seria e divergentă fiindcă nu îndeplineşte condiţia necesară de convergenţă. a În concluzie, seria 2 n +5 e convergentă a < 5. n.5.6 Teoremă. (Criteriul radicalului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) n u n q < ( ) n N, n 2 u n convergentă; (ii) n u n, ( ) n N, n 2 u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru.5.7 Aplicaţii. (La criteriul radicalului) Stabiliţi natura seriilor: (i) (ii) (iii) n ln n (n+) ; n n n; 2n+ Soluţie. (i) u n ln n (n+) > 0, ( ) n N. lim deci seria e convergentă. n n (ii) u n 2n+ > 0, ( ) n N lim deci seria e convergentă. (iii) u n (+ n) n 2 3 > 0, ( ) n N n lim deci seria e convergentă. n n un lim ln(n + ) 0 <, n n un lim 2n + 2 <, n un lim + n 3 n e 3 <, (+ n) n2 3 n.

21 .6. Şiruri de funcţii Teoremă. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie a n o serie cu termeni pozitivi. (i) Dacă ( ) s >, ( ) p N astfel ca n an a n+ n p a n e convergentă; (ii) Dacă ( ) p N astfel ca n an a n+ a n e divergentă; s oricare ar fi oricare ar fi n p (iii) Presupunem că ( ) l lim n un u n+. Dacă l > seria e convergentă iar dacă l < seria e divergentă. Când l nu se poate decide nimic relativ la convergenţa seriei..5.9 Aplicaţii. (La criteriul Raabe-Duhamel) Decideţi natura seriilor: 3...(2n ) (i) n 2n+ ; (ii) a ln n (a > 0, a ). n n Soluţie. E uşor de constatat că nu se aplică nici criteriul raportului nici criteriul radicalului. (i) lim n un n(6n+5) u n+ lim 2(n+)(2n+3) > seria e convergentă în baza criteriului Raabe-Duhamel. (ii) lim n un ä ç u n+ lim n a ln n n n+ n+ lim naln ln n ln n n+ n+ ln a lim n ln n n+ ln a lim ln n n n+ ln a e. Dacă ln a e < ( a < e e ) seria e divergentă. Dacă ln a e > ( a > e e ) seria e convergentă. Dacă a e e u n (e e ) ln n e e ln n e ln ne n e. Cum lim ne + 0 a ln n e divergentă. n În concluzie, seria a ln n e convergentă a > e e. n.6 Şiruri de funcţii Fie D R iar (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N. Pentru şirul considerat se introduc două tipuri de convergenţă, ce vor fi prezentate în cele ce urmează..6. Definiţie. (Convergenţă punctuală) Şirul (f n ) n N converge simplu (punctual) către funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă ( ) x A avem: lim f n(x) f(x)

22 22. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii adică: ( ) ε > 0, ( ) x A ( ) N N(ε,x) N a.î. ( ) n N să avem f n (x) f(x) < ε. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită, se utilizează notaţia f n f pe A..6.2 Definiţie. (Convergenţă uniformă) Şirul (f n ) n N converge uniform la funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă: ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) x A. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită se utilizează notaţia f n f. Legătura între cele două tipuri de convergenţă e exprimată în.6.3 Teoremă. Dacă f n f pe D, atunci f n f pe D (convergenţa uniformă implică convergenţa simplă). Privitor la convergenţa uniformă, prezentăm (fără demonstraţie) următoarele rezultate..6.4 Teoremă. (Cauchy) Şirul de funcţii (f n ) n N, f n : D R ( ) n N converge uniform către f : D R pe mulţimea D ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n+p (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..6.5 Teoremă. Fie (f n ) n N, f n : D R, ( ) n N iar f : D R. Dacă există un şir de numere pozitive (a n ) n N convergent la zero, astfel ca f n (x) f(x) a n ( ) n n 0 (n 0 N - fixat), ( ) x D, atunci f n f pe D..6.6 Teoremă. Fie (f n ) n N un şir de funcţii continue pe D astfel ca f n f pe D. Atunci f este continuă pe D..6.7 Aplicaţii. (La convergenţa şirurilor de funcţii) Stabiliţi mulţimea de convergenţă, funcţia limită şi tipul convergenţei pentru fiecare din şirurile de funcţii de mai jos: (i) f n : R R, f n (x) x 2 + n; (ii) f n : R R, f n (x) x n ; (iii) f n : [3,4] R, f n (x) x x+n ; (iv) f n : [0,+ [ R, f n (x) ne nx ; (v) f n : [,+ [ R, f n (x) x2 n 2 +x. 2

23 .6. Şiruri de funcţii 23 Soluţie. Notăm cu A mulţimea de convergenţă. (i) ( ) x R lim f n(x) lim (x2 + n) + A. (ii) ( ) x R lim f x n(x) lim n 0 A R. Arătăm că f n 0 dar f n 0 pe R. Dacă f n 0 pe R trebuie ca ( ) ε > 0 ( ) N n(ε) a. î. Alegând x n şi ε <, avem: x n < ε, ( ) n N,( ) x R. (*) f n (n) n n > ε, ( ) ε <. (**) Relaţiile (*) şi (**) fiind contradictorii f n 0, dar f n 0 pe R. (iii) ( ) x [3,4] lim f x n(x) lim x+n 0; deci A [3,4]. Arătăm că f n 0 pe [3,4]. Observăm că f n (x) 0 x x + n x x + n 4, ( ) x [3,4]. 3 + n Şirul (a n ) n N de termen general a n 4 3+n este un şir de numere reale pozitive cu proprietatea lim a n 0. Aplicând Teorema.6.5 rezultă că f n 0 pe [3,4]. (iv) ( ) x [0,+ [ lim f n(x) lim ne 0 A [0,+ [. nx ( ) x [0,+ [ f n (x) 0 ne nx n a n. Cum a n > 0, ( ) n N şi lim a n 0, se aplică Teorema.6.5 şi rezultă f n 0 pe [3,4]. x (v) ( ) x [,+ [ lim f)n(x) lim 2 x 2 +n 0 A [,+ [. 2 Vom arăta că f n 0 pe [,+ [. Se observă că f n (x) 0 x2 x 2 + n 2 x2 2nx x 2n, Este deci suficient să arătăm că ( )ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. Inegalitatea (*) se scrie succesiv: ( ) x [,+ [. x < ε, ( )n N, ( )x [,+ [. (*) 2n n > x 2ε 2ε (căci x [,+ [). ä Alegând atunci N N(ε) 2εç +, deducem că å x ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) + a. î. < ε, ( ) n N, ( ) x [,+ [. 2εè 2n

24 24. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezumând cele de mai sus, ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) ä 2εç + N a. î. ( ) n N, f n (x) 0 < ε, ceea ce arată că f n 0 pe [,+ [. Fără a exemplifica, menţionăm alte două rezultate importante relative la şirurile de funcţii..6.8 Teoremă. (De integrare) Fie şirul de funcţii continue (f n ) n N, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă f n f pe [a,b], atunci: lim b a f n (x)dx b a f(x)dx..6.9 Teoremă. (De derivare) Fie şirul de funcţii derivabile, cu derivate de ordinul întâi continue pe [a,b] (f n ) n N, f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n f pe [a,b]; (ii) f n g pe [a,b], atunci f e derivabilă pe [a,b] şi are loc egalitatea f g, adică lim f n.7 Serii de funcţii lim f n pe [a,b]. Fie (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N (D R). Mai notăm prin (S n ) n N şirul de funcţii de termen general S n (x) n f k (x), ( ) n N..7. Definiţie. (i) Se numeşte serie de funcţii o sumă de forma: k 0 f k f 0 + f + + f n +... ; (ii) Şirul de funcţii (S n ) n N de termen general S n (x) n k0 f k (x), se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei l0 ( ) x D, ( ) n N (iii) Dacă A D e mulţimea de convergenţă a şirului (S n ) n N, atunci A e mulţimea de convergenţă a seriei de funcţii f k ; dacă S n (x) S(x) k 0 f k ; ( ) x A, atunci funcţia S : A R e suma seriei de funcţii considerate; se utilizează în acest caz notaţia: n0 f n (x) S(x), ( ) x A;

25 .7. Serii de funcţii 25 (iv) Dacă S n S pe A, seria f n e punctual convergentă către S pe A; dacă S n S pe A, seria f n e uniform convergentă către S pe A. Relativ la seriile de funcţii, prezentăm fără demonstraţie următoarele rezultate..7.2 Teoremă. (Cauchy) Seria de funcţii f n este uniform convergentă pe D R ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. f n+p (x) f n (x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..7.3 Teoremă. (Weierstrass) Considerăm seria de funcţii f n, f n : D R ( ) n N. Dacă ( ) un şir de numere reale pozitive (a n ) n N cu proprietăţile: (i) f n (x) a n, ( ) n n 0 N, ( ) x D; (ii) lim a n 0, atunci seria f n e uniform convergentă pe D către o funcţie S : D R..7.4 Teoremă. Fie f n o serie de funcţii, f n : D R ( ) n 0, n0 continue pe D. Dacă f n S uniform pe D, atunci funcţia S : D R e continuă pe D. n0.7.5 Teoremă. (De integrare termen cu termen) Fie f n o serie de fracţii continue, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă n0 f n (x) S(x) uniform pe [a,b], atunci: b a f n (x) n0 dx b n0 a f n (x)dx b a S(x)dx..7.6 Teoremă. (De derivare termen cu termen) Fie f n o serie de funcţii f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n (x) S(n), punctual pe [a,b]; n0 (ii) f n (x) G(x), uniform pe [a,b], n0 atunci funcţia S e derivabilă pe [a,b] şi S G, adică f n (x) n0 n0 f n(x), ( ) x [a,b].

26 26. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezultatele prezentate vor fi exemplificate în cazul seriilor de puteri..8 Serii de puteri Se numeşte serie de puteri centrată în x 0 R o serie de funcţii de forma a n (x x 0 ) n (a n R). În continuare se vor considera serii de puteri centrate în x 0 0, deci de forma a n x n. Privitor la convergenţa seriilor de puteri precizăm rezultatele:.8. Teoremă. Orice serie de puteri e convergentă în x 0 0 (deci mulţimea de convergenţă e nevidă)..8.2 Teoremă. (Abel) Dacă seria de puteri a n x n e convergentă în x 0 0, atunci seria e absolut şi uniform convergentă pe orice interval [ r,r], unde 0 < r < x 0. O problemă importantă este aceea a determinării mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri..8.3 Definiţie. Fie seria de puteri a n x n. Se numeşte rază de convergenţă a seriei date numărul real R 0 definit prin: R sup x 0 : x punct de convergenţă a sumei a n x n. Privitor la calculul razei de convergenţă a unei serii de puteri are loc.8.4 Teoremă. Fie seria de puteri R. Atunci: R lim n a n lim a n x n, având raza de convergenţă a n+ a n. Dacă R 0 R + ; dacă R R 0. Dacă 0 < R < +, seria a n x n e uniform convergentă pe ] R,R[..8.5 Definiţie. Fie seria de puteri Intervalul I C ] R,R[ a n x n cu raza de convergenţă R. (pe care seria e uniform convergentă) se numeşte interval de convergenţă al seriei.

27 .8. Serii de puteri Observaţie. Mulţimea de convergenţă a seriei de puteri a n x n cu raza de convergenţă R e unul din intervalele ] R,R[, [ R,R[, ] R,R] sau [ R,R]. Pentru mulţimea (domeniul) de convergenţă al unei serii de puteri se va folosi notaţia D C..8.7 Aplicaţii. (Domeniul de convergenţă al unei serii de puteri) Determinaţi domeniile de convergenţă ale următoarelor serii de puteri: (i) x n x ; (ii) n n+ ; (iii) x 2n+ 2n+ ; x (iv) n x n 2 ; (v) n (x 3) n n ; (vi) 2n+ n 2n+. n n Soluţie. (i) a n, ( ) n N; R lim convergenţă este I C ],[. Pentru x obţinem seria a n+ a n Pentru x obţinem seria divergentă R. Intervalul de ( ) n care e divergentă / D C. / D C. Rezultă că D C I C ],[. (ii) a n n+ ; R lim n+ n+2 R I C ],[. ( ) x n (n+) convergentă (e seria armonică alternată) D C. x n divergentă (e seria armonică) / D C. Domeniul de convergenţă este deci D C [,[. (iii) Procedând ca la punctele precedente se obţine D C ],[. n 2 n (iv) R lim (n+)2 n+ 2 R 2 I C ] 2,2[. ( 2) x 2 n ( ) n 2 n n n n convergentă 2 D C. n 2 x 2 n n 2 n n divergentă 2 / D C. Deci D C [ 2,2[. n n n (v) R lim n lim n (vi) Notând x 3 y, obţinem seria n 0 R + I C R D C. y 2n+ 2n+ care e convergentă numai pe domeniul y ],[. Seria dată e deci convergentă dacă şi numai dacă x 3 ],[. Prin urmare D C ]2,4[..8.8 Probleme propuse. (Domenii de convergenţă) Aflaţi domeniul de convergenţă al fiecăreia din seriile:

28 28. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (i) ( ) n (2n + ) 2 x n ; (ii) n!x n ; n (iii) 3 n2 x n2 ; (iv) n n (n + 3) n ; n n (v) ( ) n (x ) 2n 2n ; (vi) ( ) n (x 3) n (2n+) 2n+. n R. (i) D C I C ],[; (ii) I C {0} D C ; (iii) D C I C ] 3, 3 [ ; (iv) D C I C { 3}; (vi) I C ],3[; D C [,3]; (vi) I C ]2,4[; D C [2,4]..9 Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri Prezentăm un rezultat teoretic iar apoi dăm mai multe aplicaţii ale lui..9. Teoremă. Considerăm seria de puteri a n x n cu raza de convergenţă R şi notăm S(x) n0 a n x n, Sunt adevărate afirmaţiile de mai jos: (i) S este derivabilă pe ] R, R[; (ii) Seria na n x n are raza R şi n ( ) x ] R,R[. S (x) n na n x n, ( ) x ] R,R[; (iii) Dacă [a,b] ] R,R[ are loc: b a S(x)dx n0 b a n x n dx a n0 a n b n+ a n+ n Exerciţii rezolvate. (Derivare şi integrare termen cu termen) Folosind derivarea sau integrarea termen cu termen, să se calculeze sumele următoarelor serii de puteri:

29 .9. Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri 29 (i) (iii) (v) (vii) (ix) n n n n n nx n ; (ii) ( ) n (2n )x 2n 2 ; (iv) n n ( ) n xn n ; (vi) ( ) n x2n (x 3) n n 2 n. 2n ; n (viii) n nx n 2 n ; x n n ; n(n+) 2 x n ( ) n+ xn+ n(n+) ; Soluţie. (i) x n x, ( ) x ],[ n n nx n x n x x ( x), ( ) x ],[. n n 2 (ii) n 2 2 x, ( ) x ] 2,2[ n x 2 n x 2 Folosind derivarea termen cu termen se obţine: n n x 2 n 2 (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[ (iii) Fie S (x) n E uşor de observat că ( ) n x 2n n x n x x, ( ) x ],[ n x 2 x, ( ) x ] 2,2[. nx n 2 n x (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[. ( ) n (2n )x 2n 2 Ê S(x)dx n Folosind derivarea termen cu termen se obţine: S(x) n x +x 2, ( ) x ],[. x x 2 + x 2 ( + x 2, ( ) x ],[. ) 2 (iv) Ê x n x, ( ) x ],[ x n 0 ( ) x ],[ x n n n (v) ( ) n x n xê 0 n n t n dt x Ê 0 ( ) n x 2n. dt t ln x, ln( x), ( ) x ],[. Ê +x, ( ) x ],[ x ( ) n t dt n n 0 n dt +t ln(+x), ( ) x ],[ ( ) n xn n ln(+x), ( ) x ],[. n (vi) Pornind de la x n x, ( ) x ],[ şi aplicând de două ori derivarea termen cu termen, se obţine: n n(n + )x n 2x( x)2 + 2( x)x 2 ( x) 4

30 30. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii iar de aici: n n(n + ) 2 (vii) Este evidentă identitatea: n x n ( x) 3. ( ) n t 2n 2, ( ) t ],[. + t2 Folosind integrarea termen cu termen, rezultă: x 0 ( ) n t dt 2n 2 n x 0 dt arctg x, ( ) x ],[. + t2 Prin urmare: n x2n ( ) 2n n arctg x, ( ) x ],[. (viii) Se porneşte de la identitatea n ( ) n x n, ( ) x ],[ + x şi aplicând de două ori integrarea termen cu termen se găseşte: n ( ) n x n+ (x + )ln(x + ) x, ( ) x ],[. n(n + ) (ix) Se notează x 3 2 y; aplicând apoi integrarea termen cu termen se găseşte: n (x 3) n n 2 n.0 Serii Taylor ln 5 x 2, ( ) x ],5[..0. Definiţie. Fie I R un interval deschis, f : I R o funcţie e admite derivate de orice ordin în x 0 I. Se numeşte serie Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 următoarea serie: f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n.

31 .. Serii Mac-Laurin 3 Are loc următorul rezultat:.0.2 Teoremă. Fie I R interval deschis, x 0 I iar f : I R. Dacă: (i) f are derivate de orice ordin în x 0 ; (ii) ( ) M > 0 a. î. f (n+) (x) < M, ( ) x V I (V V(x 0 )), atunci ( ) x V I are loc egalitatea: f(x) n0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n..0.3 Aplicaţii. (La serii Taylor) Să se dezvolte în serie Taylor într-o vecinătate a punctului x 0 4 funcţiile date prin: (i) f(x) x ; (ii) f(x) 2 x 2 +3x+2. Soluţie. (i) Se demonstrează (inducţie după n) că: de unde rezultă: f (n) (x) ( ) n(n + )! x n+2, ( ) x R, ( ) n N f (n) ( 4) (n + )! 4 n+2, ( ) n 0, n N. E uşor de văzut că ( ) V V( 4) pe care f (n+) e mărginită. Are deci loc egalitatea n + 4 n+2 (x + 4)n, ( ) x V R x2 n0 (rămâne în seama cititorului determinarea lui V ). (ii) x 2 + 3x n+ 2 n+ (n + 4) n, ( ) x V (R\{ 2, }) 6 n0 n+ (determinarea lui V rămâne în seama cititorului).. Serii Mac-Laurin.. Definiţie. Fie I R un interval deschis cu proprietatea că x 0 0 I iar f : I R o funcţie ce admite derivate de orice ordin în x 0 0. Seria Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 0, adică seria n0 f (n) (0) n! se numeşte serie Mac-Laurin a funcţiei f. x n

32 32. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..2 Teoremă. În ipotezele definiţiei.. are loc egalitatea: n0 f (n) (0) n! x n f(x), ( ) x A, unde A I e mulţimea de convergenţă a seriei Mac Laurin...3 Aplicaţii. (Dezvoltarea în serie de puteri a unor funcţii elementare). f : R R, f(x) e x, ( ) x R e uşor de văzut că f (n) (x) e x, ( ) x R, ( ) n N f (n) (0), ( ) n N; seria Mac-Laurin este n! xn, deci o serie de puteri cu coeficienţii n0 a n n!, ( ) n N şi raza de convergenţă R + ; domeniul de convergenţă este D C R; prin urmare, ( ) x R are loc egalitatea: e x n0 substituind x : x, se obţine: e x n0 x n n! + x! + x2 2! + + xn n! +... ( ) n xn n! x! + x2 2! + ( )n x4 n! f : R R, f(x) sinx, ( ) x R se demonstrează (inducţie după n) că: prin urmare f (n) (x) sin f (n) (0) x + n π 2, ( ) x R, ( ) n N; 0, n 2k ( ) k, n 2k + (k N); seria Mac-Laurin căutată este ( ) n (2n+)! x2n+ şi are raza de n0 convergenţă R + ; prin urmare D C R sinx ( ) k ( ) x R. 3. f : R R, f(x) cos x, ( ) x R n0 (2n+)! x2n+,

33 .. Serii Mac-Laurin 33 se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) cos x + n π, ( ) x R, ( ) n N; 2 prin urmare f (n) (0) ( ) k, n 2k; 0, n 2k + seria Mac-Laurin căutată este n0 R + ; prin urmare D C R cos x (k N); ( ) n (2n)! x 2n şi are raza de convergenţă n0 ( ) n (2n)! x 2n, ( ) x R. 4. f :],+ [ R, f(x) ( + x) α, ( ) x R (α R) se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) α(α )... (α n + )( + x) α n, ( ) x R, ( ) n N şi deci f (n) (0) α(α )... (α n + ), ( ) n N seria Mac-Laurin căutată este n0 f (n) (0) n! x n + n α(α )... (α n + ) n! raza ei de convergenţă este R iar domeniul de convergenţă D C ],[; prin urmare are loc egalitatea: ( + x) α + n α(α )... (α n + ) n! pentru α se obţine identitatea: + x ( ) n x n, ( ) x ],[ n0 x n x n, ( ) x ],[ folosind integrarea termen cu termen, din egalitatea precedentă rezultă: ln( + x) ( ) n xn+ n + n0, ( ) x ],[.

34 34. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..4 Exerciţii propuse. (Devoltare în serie de puteri) Să se devolte în serie de puteri funcţiile date prin legile de mai jos: (i) f(x) shx ex e x 2 ; (ii) f(x) chx e x +e x 2 ; (iii) f(x) sin 2 x; (iv) f(x) cos 2 3 x; (v) f(x) ( x)(+2x). R. (i) shx n0 (ii) chx n0 x 2n+ (2n+)!, ( ) x R; x 2n (2n)!, ( ) x R; (iii) sin 2 cos 2x x 2 ; folosind apoi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos se obţine: (iv) cos 2 x sin 2 x ( ) n 22n n (2n)! x2n, ( ) x R. +cos 2x 2 ; se procedează apoi ca la (iii), obţinându-se cos 2 x + (v) 3 ( x)(+2x) ( ) n22n (2n)! n, ( ) x R. n0 + ( ) n+ 2 n x n, ( ) x ],[\ 2.2 Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite n0 (2n+)! Prezentăm unele aplicaţii ale dezvoltării în serie de puteri. sinx arctg x A. Să se calculeze l lim. x 0 x 3 Soluţie. Se ştie că sin x ( ) n x2n+. Vom deduce mai întâi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x. Pornim de la identitatea cunoscută din care deducem + t t + t2 + ( ) n t n +... ( ) t ],[ + t 2 t2 + t 4 t ( ) n t 2n +..., ( ) t ],[..

35 .2. Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite 35 Folosind teorema de integrare termen cu termen, putem integra identitatea precedentă pe intervalul [0, x] ], [ şi obţinem: arctg x x x3 3 + x5 5 x7 x2n+ + + ( )n +..., ( ) x ],[. 7 2n + Din cele de mai sus obţinem: sinx arctg x Limita căutată devine: l lim x 0 3 3! 3 3! x ! x ! x x ! x x 3 3 3! 6. 2e A2. Să se calculeze l lim x 2 2x x 2 x 0 x sin x. Soluţie. Folosind dezvoltările cunoscute avem: 2e x 2 2x x x 3 2 x sin x x Limita căutată devine n0 x! + x2 2! + x3 3! x x 2 3! + x5 5! +... ( ) n x2n+ (2n + )! x3 3! x5 5! + x7 7!... 2 x3 3! + x5 5! +... x 3 l lim 2 lim x 0 x 3 3! x5 5!... x 0 x 3 A3. Să se calculeze l lim x 0 x arctg x x 3. 3! + x2 3! x2 5! ! Soluţie. Se foloseşte dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x, obţinându-se l 3. A4. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 sinx x dx. Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei sin x deducem: sin x x x2 3! + x4 5! x6 7! +...

36 36. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Luând primii trei termeni ai dezvoltării precedente obţinem: 2 I x2 2 + x4 dx A5. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 cos x x 2 Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos x, se obţine: dx. cos x x 2 2! x2 4! + x4 6! cos x x 2 dx ! ! ! x2 4! + x4 dx 6!

37 Capitolul 2 Spaţiile R n 2. Spaţiul cu n dimensiuni Notăm R n R R R x (x,x 2,...,x n ) : x i R, ( ) i,n. În cazul n, mulţimea R este dreapta reală R. În cazul n 2, mulţimea R 2 este mulţimea perechilor de numere reale (x,x 2 ) (sau mulţimea punctelor din plan de abscisă x şi ordonată x 2 ). Punctele lui R 2 vor fi notate adesea (x,y) în loc de (x,x 2 ). În cazul n 3, mulţimea R 3 este mulţimea tripletelor de numere reale (x,x 2,x 3 ) sau mulţimea punctelor din spaţiu. Punctele din spaţiu vor fi notate adesea (x,y,z) în loc de (x,x 2,x 3 ). Prin analogie, R n se numeşte spaţiul cu n dimensiuni iar elementele sale se numesc puncte. Dacă x (x,...,x n ) R n, x,x 2,...,x n se numesc coordonatele (proiecţiile) punctului x. 2.2 Structura de spaţiu vectorial al lui R n Operaţia de adunare + : R n R n R n se defineşte prin: x+y(x +y,...,x n +y n ), ( )x(x,...,x n ) R n, ( )y(y,...,y n ) R n. Se verifică uşor: 2.2. Teoremă. (R n,+) este un grup abelian cu elementul neutru 0 (0,0,...,0) şi opusul fiecărui element x (x,...,x n ) R n elementul x ( x,..., x n ) R n. Operaţia de înmulţire a elementelor din R n cu numere reale : R R n R n se defineşte prin: α x (αx,...,αx n ), ( ) α R, ( ) x (x,...,x n ) R n. 37

38 38 2. Spaţiile R n Teoremă. Au loc egalităţile: (i) α(x + y) αx + αy, ( ) α R, ( ) x,y R n ; (ii) (α + β)x αx + βx, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iii) α(βx) (αβ)x, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iv) x x, ( ) x R n. Teoremele 2.2. şi asigură faptul că (R n,+, ) este un spaţiu vectorial real. De aceea elementele x R n se mai numesc şi vectori, iar coordonatele x,...,x n se numesc componentele vectorului x (x,x 2,...,x n ). 2.3 Produsul scalar în R n 2.3. Definiţie. Funcţia <, >: R n R n R x,y n i x i y i, ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n se numeşte produs scalar în R n. Din Definiţia 2.3. se obţin proprietăţile produsului scalar, exprimate în Teoremă. Produsul scalar în R n are proprietăţile: (i) x,x 0, ( ) x R n ; x,x 0 x 0; (ii) x,y y,x, ( ) x,y R n ; (iii) x + y,z x,z + y,z, ( ) x,y,z R n ; (iv) αx,y x,αy α x,y, ( ) α R, ( ) x,y R n. Din proprietatea (iii) rezultă egalitatea 0, x x, 0 0. Un rezultat important este Teoremă. (Inegalitatea lui Schwarz) x,y 2 x,x y,y, ( ) x,y R n. Demonstraţie. ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n inegalitatea enunţului revine la n 2 x i y i i n x 2 i i n yi 2 i. (*) n n Definim f : R R, f(t) x 2 i t 2 2 x i y i t + n yi 2. i i i Cum f(t) n n (tx i y i ) 2 0, ( ) t R şi x 2 i > 0 f 0 n i x i y i 2 n i x 2 i i y n. x y x 2 y 2 xn n yi 2 i i. Egalitatea are loc x i y i t, ( ) i,n

39 2.4. Norma în R n Norma în R n Pe dreapta reală R s-a definit distanţa între punctele x,y cu ajutorul modulului x y. În R n se va defini norma unui vector x, notată x iar cu ajutorul ei se va exprima distanţa între 2 puncte x,y R n Definiţie. Norma vectorului x (x,...,x n ) R este numărul real nenegativ x definit prin: x x,x n x 2 i i în Proprietăţile normei, asemănătoare cu cele ale modulului sunt exprimate Teoremă. (i) x 0, ( ) x R n ; x 0 x 0; (ii) αx α x, ( ) α R, ( ) x R n ; (iii) x + y x + y, ( ) x,y R n (inegalitatea triunghiului); (iv) xy x y, ( ) x,y R n (inegalitatea lui Schwarz transcrisă în limbajul normei) Observaţii. (i) În R, x x x x 2 x şi geometric reprezintă distanţa de la originea O la punctul de abscisă x. (ii) În R2, dacă x (x,x 2 ) x x 2 + x2 2, cu aceeaşi semnificaţie geometrică de la (i). (iii) În R3, dacă x (x,x 2,x 3 ) x x 2 + x2 2 + x Distanţa în R n Cu ajutorul normei se poate introduce distanţa între două puncte din R n aşa cum în R s-a introdus distanţa între 2 puncte cu ajutorul modulului Definiţie. Fie x,y R n. Atunci distanţa între x,y se exprimă prin: Observaţii. (i) În R, d(x,y) x y. d(x,y) x y.

40 40 2. Spaţiile R n (ii) În R2, distanţa între x(x,x 2 ), y(y,y 2 ) se exprimă prin: d(x,y) (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. (iii) În R3, distanţa între x(x,x 2,x 3 ), y(y,y 2,y 3 ) se exprimă prin: d(x,y) (x x 2 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2. Distanţa în R n are proprietăţile din Teoremă. ( ) x,y,z R n au loc: (i) d(x,y) 0; d(x,y) 0 x y; (ii) d(x,y) d(y,x); (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (inegalitatea triunghiului). 2.6 Vecinătăţile unui punct din R n 2.6. Definiţie. Fie n intervale pe o dreaptă I,I 2,...,I n. Produsul lor cartezian I I I 2 I n se numeşte interval n-dimensional: I {(x,x 2,...,x n ) : x I,x 2 I 2,...,x n I n }. Intervalele I,I 2,...,I n se numesc laturile intervalului n-dimensional I Observaţii. (i) Laturile unui interval n-dimensional pot fi închise la un capăt sau la ambele capete, mărginite sau nemărginite. (ii) În planul R2 un interval bidimensional cu laturile mărginite e un dreptunghi. (iii) În spaţiul R3 un interval tridimensional cu laturile mărginite este un paralelipiped. (iv) Dacă toate intervalele I,I 2,...,I n sunt deschise, atunci I se numeşte interval n-dimensional deschis; dacă laturile intervalului n-dimensional sunt închise, intervalul se numeşte închis; dacă toate laturile sunt intervale mărginite, intervalul se numeşte mărginit. (v) În continuare, prin interval n-dimensional se va înţelege interval n-dimensional deschis şi mărginit, afară de cazul când se va specifica în mod expres contrarul Definiţie. Fie a R n şi r > 0; se numeşte sferă (deschisă) de centru a şi rază r, mulţimea: V r (a) {x R n : x a < r}.

41 2.7. Mulţimi deschise în R n Observaţii. (i) În spaţiul R R, V r (a) ]a r,a + r[ {x R : x a < r}. (ii) În spaţiul R2, V r (a) {x (x,x 2 ) R 2 : x a < r} x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r 2, adică interiorul cercului de centru a(a,a 2 ) şi rază r. (iii) Analog, în R 3, V r (a) x(x,x 2,x 3 ) R 3 :(x a ) 2 +(x 2 a 2 ) 2 + (x 3 a 3 ) 2 < r 2, deci interiorul sferei de centru a(a,a 2,a 3 ) şi rază r Definiţie. Mulţimea W r (a) {x R n : x a r} se numeşte sferă închisă de centru a şi rază r. În continuare se vor face referiri la sfere deschise. Se demonstrează: Teoremă. Orice sferă de centru a conţine un interval n-dimensional care conţine a; reciproc, orice astfel de interval conţine o sferă de centru a Definiţie. Se numeşte vecinătate a lui a R n orice mulţime care conţine o sferă V r (a) de centru a. Se demonstrează: Teoremă. O mulţime V este o vecinătate a unui punct a R n dacă şi numai dacă există un interval n-dimensional I, astfel ca a I V. 2.7 Mulţimi deschise în R n 2.7. Definiţie. Fie A R n şi a A. Punctul a este un punct interior al mulţimii A dacă există o vecinătate V a lui a conţinută în A, a V A, adică mulţimea A este ea însăşi o vecinătate a lui a Observaţie. Mulţimea tuturor punctelor interioare lui A se numeşte interiorul mulţimii A şi se notează IntA; este evidentă incluziunea IntA A Definiţie. Mulţimea A R n este deschisă A IntA ( A este o vecinătate al fiecărui punct al său). Se demonstrează: Teoremă. (i) Reuniunea unei familii oarecare de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. (ii) Intersecţia unei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă.

42 42 2. Spaţiile R n 2.8 Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi 2.8. Definiţie. Punctul a R n este aderent mulţimii A R n dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x A, adică: oricare ar fi vecinătatea V a lui a. V A Observaţii. (i) Dacă a A, atunci a este un punct aderent al lui A; pot exista puncte aderente ale lui A care să nu aparţină lui A. (ii) Mulţimea punctelor aderente lui A se numeşte aderenţa (închiderea) lui A şi se notează A; evident A A Definiţie. O mulţime A R n este închisă dacă este egală cu închiderea sa, A A. Se demonstrează: Teoremă. (i) Mulţimea A R n este închisă complementara sa CA este închisă. (ii) Reuniunea unei familii finite de mulţimi închise este o mulţime închisă. (iii) Intersecţia unei familii oarecare de mulţimi închise este o mulţime închisă Definiţie. Fie A R n ; punctul a R n este punct frontieră a lui A dacă a este punct aderent atât pentru A cât şi pentru CA, adică oricare ar fi V o vecinătate a lui a, V A, V CA. Mulţimea punctelor frontieră ale lui A se numeşte frontiera lui A şi se notează Fr A. Avem Fr A Fr CA şi Fr A A\IntA. 2.9 Puncte de acumulare 2.9. Definiţie. Fie A R n şi a R n. Punctul a este un punct de acumulare al lui A dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x a din A ( ( ) V - vecinătate a lui A, (V \{a}) A ).

43 2.0. Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe Observaţii. (i) Orice punct de acumulare al lui A este punct aderent al lui A, deci mulţimea punctelor de acumulare e conţinută în închiderea A a lui A. (ii) Un punct aderent a A care nu aparţine lui A este în mod necesar punct de acumulare al lui A. (iii) Punctele lui A nu sunt în mod necesar puncte de acumulare ale lui A. (iv) Punctul b A e izolat dacă nu e punct de acumulare. Se demonstrează: Teoremă. A R n este închisă A îşi conţine toate punctele de acumulare. 2.0 Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe 2.0. Definiţie. Mulţimea A R n e mărginită dacă există o sferă cu centrul în origine care conţine mulţimea A, adică: ( ) M > 0 a. î. x M, ( ) x A Definiţie. Mulţimea A R n e compactă dacă e mărginită şi închisă Definiţie. Mulţimea A R n este conexă dacă nu există nici o pereche de mulţimi deschise G şi G 2 astfel ca: A G G 2, A G, A G 2 şi (A G ) (A G 2 ). 2. Şiruri de puncte din spaţiul R n 2.. Definiţie. O funcţie f : N R n se numeşte şir de puncte din spaţiul R n. Se va nota prescurtat (x k ) k N Definiţie. Punctul x 0 R n este limita şirului (x k ) k N din R n dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui x 0 se găsesc cel mult un număr finit de termeni ai şirului. Se utilizează notaţia lim k x k x Observaţie. Dacă V ε (x 0 ) e o vecinătate a lui x 0, atunci x k V ε (x 0 ) x k x 0 < ε. Se demonstrează următoarele rezultate:

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74

7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74 MC. 5 AUTOEVALUARE Cuprins MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 5. Exerciţii rezolvate............................................ 5. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri...............................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10 Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα