7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74"

Transcript

1 MC. 5 AUTOEVALUARE

2

3 Cuprins MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 5. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. Şiruri şi serii numerice. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice 9 3. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 4 Limite şi continuitate 7 4. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă reală Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare Diferenţiabilitatea şi derivabilitatea parţială ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare Teoria diferenţiabilităţii şi derivabilităţii funcţiilor vectoriale de argument vectorial Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 6 Aplicaţii: extreme; funcţii definite implicit; extreme condiţionate Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 7 Integrale improprii Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare

4 8 MC. 8 Integrale depinzând de un parametru Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 9 Integrale curbilinii Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. Integrala dublă 89. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. Integrale de suprafaţă 97. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. Integrala triplă 5. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare MC. 3 Elemente de teoria câmpurilor 3. Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare Index de noţiuni 9 Bibliografie

5 Capitolul MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor. Exerciţii rezolvate Exerciţiul... Fie A, B IR şi λ IR. Se consideră mulţimile: λa = {λx x A}; A + B = {x + y x A, y B}; A B = {xy x A, y B}. Să se arate că dacă A şi B sunt mulţimi mărginite atunci λa, A + B şi A B sunt mărginite şi, în plus, λ inf A, λ > a infλa =, λ = λ sup A, λ < λ sup A, λ > a supλa =, λ = λ inf A, λ < b inf A + inf B = infa + B supa + B = sup A + sup B c dacă A, B [, atunci inf Ainf B = infa B supa B = sup Asup B. Soluţie. a. Considerăm λ > şi fie α = inf A. Folosind caracterizarea marginii inferioare cu inegalităţi, avem: x A cu α x = λα λx; ε >, x ε astfel încât x ε < α + ε λ = λx ε < λα + ε, de unde deducem λα = infλa. Dacă λ = atunci λa = {} şi inf{} =. În cazul λ <, folosind iarăşi caracterizarea cu inegalităţi a marginii inferioare α = inf A, avem: x A, α x = λα λx; 5

6 6 Autoevaluare ε >, x ε astfel încât x ε < α ε λ = λx ε > λα ε din care rezultă λα = supλa. Demonstraţia pentru a este similară. b. Fie m A = inf A şi m B = inf B. Deci m A a, a A şi m B b, b B adică m A + m B a + b. Apoi ε >, a ε A astfel încât a ε < m A + ε şi ε >, b ε B astfel încât b ε < m B + ε din care deducem a ε + b ε < m A + m B + ε. Cum ε > a fost ales arbitrar de mic rezultă că inf A + inf B = inf A + B. La fel se demonstrează că sup A + sup B = sup A + B. c. Fie α = sup A şi β = sup B. Dacă α β = atunci A = {} sau B = {} şi atunci sup A B = sup Asup B. Dacă α β > şi x este element arbitrar al mulţimii A B, atunci x = a b, unde a α şi b β implică x α β, x A B, deci prima inegalitate ce caracterizează marginea superioară a mulţimii A B este îndeplinită. Fie acum ε > cu ε < α β. Atunci există a ε A şi b ε B astfel încât a ε > α ε β şi b ε > β ε α. Produsul acestor numere x ε = a ε b ε are proprietatea x ε > α β ε + ε 4α β > α β ε care arată că şi cea de a doua inegalitate care caracterizează marginea superioară a mulţimii A B este îndeplinită. Prin urmare α β = sup A B, adică ceea ce trebuia de demonstrat. Cealaltă parte a demonstraţiei este identică. sup A B = sup A sup B, Exerciţiul... Fie a IR fixat. Să se arate că pentru orice număr q întreg există p Z astfel încât a p <. Folosind acest rezultat să se demonstreze că orice număr real este limita unui şir de numere q q raţionale. [ p Soluţie. Fie q IN, fixat. Intervalele de forma q, p +, cu p Z determină o partiţie a mulţimii q numerelor reale. Alegem atunci p astfel încât p q a < p +, deci a p <. Dacă punem q = n şi notăm q q q p q = r n rezultă a r n < n deci r n a. Exerciţiul..3. Fie f : X Y o aplicaţie. Atunci avem a f injectivă A, A X cu fa fa rezultă A A ; b f surjectivă B, B Y cu f B f B rezultă B B. Soluţie. a.. Fie A, A X fixate şi fa fa. Atunci x A = fx fa fa, deci x A cu fx = fx

7 MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 7 şi cum f este injectivă rezultă x = x, adică A A.. Fie x, x X cu fx = fx. Atunci f{x } f{x } deci {x } {x }, adică x = x. Prin urmare f este funcţie injectivă. b.. Fie B, B Y fixate şi f B f B. Atunci y B, x X cu fx = y deci x f B f B şi atunci y = fx B adică B B.. Fie y Y fixat. Presupunem că f {y} =. Atunci y fx avem f {y} f {y } deci {y} {y } adică y = y. De aici, f {y}, ceea ce este absurd. Exerciţiul..4. Fie aplicaţia f : X Y şi mulţimile arbitrare A X, B Y. Atunci a f f B = B B fx b fa B = f A f B. Soluţie. a. ff B = B = B f f Y = fx.. Fie y B fixat. Deoarece B fx, x X cu fx = y, deci x f B şi atunci y = fx f f B. Aşadar B f f B şi cum incluziunea reciprocă este întotdeauna adevărată, avem că egalitatea de la punctul a este adevărată.. b. y fa B y fa şi y B y B şi x A cu fx = y x A f B cu fx = y y f A f B. Exerciţiul..5. Dacă a, a,..., a n IR au proprietăţile a i a j şi a i, atunci n n + a k + a k.. k= k= Ce devine această inegalitate dacă a = a =... = a n = x, unde x [, şi n număr natural arbitrar? Soluţie. Folosim metoda inducţiei matematice. Pentru n = inegalitatea. este evidentă. Presupunem că. este adevărată pentru n şi o demonstrăm pentru n +. Avem n+ n + a k = + a k + a n+ + k= = + k= n a k + a n+ + k= n k= n a k + a n+ = k= n+ a k a n+ + a k. k=

8 8 Autoevaluare Aşadar, n+ n+ + a k + a k.. k= k= Inegalitatea. demonstrează că. este verificată pentru n +. Conform metodei inducţiei matematice rezultă că. este adevărată oricare ar fi numărul natural n şi oricare ar fi numerele a, a,..., a n care satisfac ipotezele din enunţ. Dacă a = a =... = a n = x, unde x [,, inegalitatea. devine + x n + n x şi este cunoscută sub numele inegalitatea lui Bernoulli.. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul... Dacă a, a,..., a n IR + sunt astfel încât a a... a n =, atunci + a + a... + a n n. Indicaţie. Plecând de la inegalitatea evidentă a i obţinem + a i 4a i de unde, după extragerea rădăcinii pătrate în ambii membri, deducem că inegalitatea + a i a i are loc pentru orice i {,,..., n}. Efectuând produsul tuturor acestor inegalităţi, deducem n + a i n a a...a n din care, dacă se ţine cont că a a...a n =, se obţine inegalitatea din enunţ. i= Exerciţiul... Fie aplicaţia f : X X cu proprietatea f f = i X, unde i X este funcţia identitate pe mulţimea oarecare X. Să se arate că f este funcţie bijectivă. Indicaţie. Arătaţi că f este funcţie surjectivă şi funcţie injectivă. Exerciţiul..3. Să se arate că oricare n numere reale supraunitare a, a,..., a n satisfac inegalitatea + a + a... + a n + a a...a n n. Indicaţie. Utilizând inegalitatea evidentă a n+ a a...a n a n+ se arată prin calcul că + a n+ + a a...a n + a a...a n a n+. Răspuns. Inegalitatea cerută rezultă prin folosirea metodei inducţiei matematice după n.

9 MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 9 Exerciţiul..4. Să se arate că orice n numere reale pozitive a, a,..., a n satisfac inegalităţile: n. a k n a n n k; k= k= k= n n. n a k. a k= k Indicaţie. Utilizaţi inegalitatea Cauchy Buniakowski Schwarz n n n a k b k şi alegeţi apoi valori pentru b k. k= k= a k k= b k Exerciţiul..5. Să se afle marginea superioară şi marginea inferioară pentru fiecare dintre submulţimile din IR: A = { 3 k + } { 3 k ; A = n cos nπ + k Z 3 } n IN ; A 3 = { sin n } ; A 4 = n + 5 n IN { n + n n }. 3n + n IN Indicaţie. Se determină toate subşirurile convergente din fiecare mulţime. inf A =, sup A = ; Răspuns. inf A =, sup A = ; inf A 3 =, sup A 3 = sin ; inf A 4 =, sup A 4 = 3..3 Întrebări de autoevaluare. Care sunt operaţiile obişnuite ce pot fi efectuate cu două sau mai multe mulţimi? Enumeraţi câteva proprietăţi ale acestor operaţii.. Fie A o mulţime arbitrară. Definiţi următoarele noţiuni: relaţie de echivalenţă pe mulţimea A; clase de echivalenţă pe mulţimea A; relaţie de ordine pe mulţimea A. Când o mulţime este total ordonată? 3. Când spunem că o submulţime A din IR este o mulţime mărginită? Cum se caracterizează cu ajutorul inegalităţilor noţiunile inf A şi sup A, unde A IR? 4. Enumeraţi operaţiile algebrice definite pe IR care pot fi extinse pe mulţimea IR = IR {, + }. Care sunt operaţiile ce nu pot fi extinse pe IR cazurile de nedeterminare? 5. Care este axioma lui Arhimede referitoare la mulţimea numerelor reale?

10 Autoevaluare

11 Capitolul MC. Şiruri şi serii numerice. Exerciţii rezolvate Exerciţiul... Numărul e Să se arate că şirurile de numere reale a n n şi b n n, unde a n = + n n, bn = + n n+, n IN, sunt strict monotone. Primul şir este strict crescător şi majorat, iar al doilea este strict descrescător şi minorat, deci ambele sunt convergente. Limitele acestor şiruri sunt egale cu numărul e aparţinând intervalului, 3 şi o valoare aproximativă a acestuia este e, Soluţie. Ţinând cont de inegalitatea lui Bernoulli + x n > + nx, x, + {}, n IN, n, rezultă a n+ n + n n+ n + n+ n + = a n n + = n n + > n + n n + n + =. n Prin urmare a n+ > a n, ceea ce arată că a n n este şir strict crescător. Folosind din nou inegalitatea lui Bernoulli deducem b n > b n+, deci şirul b n este strict descrescător. Pentru orice n IN avem < b n a n = + n n n < b n n < b n. Trecând la limită în aceste inegalităţi deducem că şirurile a n şi b n au limitele egale. Convenim ca limita comună a acestor şiruri să fie notată cu e. Au loc estimările: = a < e < b 5 = = =, < 3; n < e < + n+. n n Dacă în ultima estimare logaritmăm, obţinem inegalităţile Bernoulli, Jean , matematician elveţian n + < lnn + ln n < n, n IN,.

12 Autoevaluare care sunt utilizate în studiul convergenţei şirului a n n, cu termenul general a n = n ln n, n IN, a cărui limită este constanta lui Euler C. O valoare aproximativă cu şase zecimale exacte a constantei lui Euler este C, Exerciţiul... Să se arate că seria deducă suma seriei n= n n. n= n, a > este convergentă, să se calculeze suma ei şi apoi să se an Soluţie. Termenul general al primei serii este a n = n. Criteriul radicalului în formularea cu limită aplicat an n seriei valorilor absolute ne dă a n n= lim n n a n = lim n n n a n = lim n n n a = a <, deci seria este absolut convergentă. Fie acum funcţia fx = x x x n. a Se observă că f = s n, unde s n este suma parţială a a a seriei. Dar fx este suma unei progresii geometrice cu n termeni, cu primul termen x a şi raţia x, a cărei sumă a este x n fx = x a a x = x x n a x a a şi atunci de unde, luând x =, deducem f x = f = a x n x a + x x n a x a n a a a a a n + a n a n = s n a a care este suma primei serii, deci n= n a n = a a. Pentru determinarea sumei celeilalte serii observăm că se poate scrie ca diferenţă de două serii n= n n = n= n n n = 4 = 3, cu menţiunea că prima serie este de două ori seria iniţială în care a =, iar ultima este o serie geometrică cu raţia şi primul termen de asemenea egal cu. n=

13 MC. Şiruri şi serii numerice 3 Exerciţiul..3. Să se studieze convergenţa următoarelor serii numerice cu termeni pozitivi: a n= n sin n ; b d n= an + b n, a, c > ; c a ln n, a > ; cn + d n= n= aa + a +...a + n n + bb + b +...b + n αn, a, b, α >. Soluţie. a Studiind funcţia f : [, IR, fx = sin x x + x3 constatăm că este strict crescătoare şi 6 f f, de unde deducem n n sin n < 6 n 3. Seria este convergentă serie armonică generalizată cu n3 n= α = 3 şi atunci aplicând primul criteriu de comparaţie rezultă că seria n n sin este convergentă. b Se aplică criteriul rădăcinii în formularea cu limită. Pentru a < c seria este convergentă, pentru a > c seria este divergentă, iar pentru a = c termenul general al seriei nu tinde la zero, prin urmare seria este divergentă. c Se aplică criteriul logaritmic, ajungându se la limita ln a ln n lim = ln n ln n a. Pentru a < e seria este convergentă, pentru a > e seria este divergentă, iar dacă a = atunci seria dată e devine care se ştie că este divergentă fiind seria armonică. n n= d Raportul termenilor a n+ şi a n ai seriei are limita α. Seria este convergentă pentru < α <, divergentă pentru α >, iar pentru α = folosind criteriul lui Raabe obţinem lim n an = b a n a n+ din care deducem că seria corespunzătoare este convergentă pentru b > a + şi divergentă pentru b < a +. n + Dacă b = a + seria devine aa + a + n + a + n +, comparabilă cu seria armonică n, care n= este o serie divergentă. În concluzie, pentru α = şi b = a + seria din enunţ este divergentă. n= n= Exerciţiul..4. Să se studieze natura seriilor c. n= a. n= n + n n n+ ; d. n + 3 n ln n; b. n + n= 4 3n n! 3 ; 3n! n, n + n + a n a >. n= Soluţie. a. Aplicăm criteriul radicalului. Se observă că n a n = este convergentă. n + 3 ln n, iar lim n an = <, deci seria n + n

14 4 Autoevaluare b. Termenul general al seriei este a n = 43n n! 3, raportul a doi termeni consecutivi dă 3n! Trecând la limită în ultima egalitate, obţinem a n+ = 64 a n 3 n + 3n + 3n +. a n+ lim = 64 n a n 3 lim n + n 3n + 3n + = Deoarece această limită este supraunitară, conform criteriului raportului sau criteriul lui D Alembert rezultă că seria este divergentă. c. Folosim criteriul de comparaţie de prima speţă. Termenul general al seriei se scrie în forma a n = + n n nn +. Însă, + n < e, iar n nn + < n deci a n < e n. Cum seria este convergentă fiindcă este seria lui Riemann pentru α =, din criteriul de comparaţie n n= de speţa întâi rezultă că seria este convergentă. d. Aplicăm criteriul radicalului. Găsim lim n an = lim n + n + a n n n de unde deducem: < a < = seria este convergentă; a = seria este divergentă. = lim n n + n + a n n + n + a + n = a +, Exerciţiul..5. Discutaţi în raport cu parametrul real λ natura seriei numerice cu termeni pozitivi unde [ λλ +...λ n + ]. a n = n + λ + λ +...λ + n + a n, n= Soluţie. Avem: [ a n+ = n + 3 Din ultima egalitate rezultă atare, determinăm expresia R n = n D n şi apoi limita sa la infinit. Găsim de unde începe discuţia: λλ +...λ n + λ n λ + λ +...λ + n + λ + n + ] ; Dn = a n+ = n + 3 λ n. a n n + λ + n + lim D n =, adică dubiu. În această situaţie aplicăm criteriul lui Raabe. Ca n an = n = 8λ + 6n3 + 8λ + 6n λ λ a n+ n + 3λ n lim R 8λ + 6n 3 + 8λ + 6n λ λ n = lim n n n + 3λ n = 4λ + 3,

15 MC. Şiruri şi serii numerice 5 4λ + 3 > = λ > = seria este convergentă; 4λ + 3 < = λ < = seria este divergentă; λ = = seria devine n=, care este divergentă fiindcă este comparabilă cu seria armonică. n +. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul... Utilizând criteriul general de convergenţă al lui Cauchy să se arate că următoarele şiruri a n n sunt convergente: a. a n = sin a sin a sin na nn + ; b. a n = n. Indicaţie. În diferenţa a n+p a n se descompun în fracţii simple fracţiile Răspuns. Ambele şiruri sunt convergente. kk + şi 4k. Exerciţiul... Să se studieze natura seriei cu termeni oarecare în funcţie de parametrul a IR. n a 5n n 3 n n= Indicaţie. Se studiază seria valorilor absolute. Răspuns. Pentru a, 8 seria este absolut convergentă. Pentru a, ] 8, + seria este divergentă, iar pentru a = 8 seria este simplu convergentă. Exerciţiul..3. Să se studieze convergenţa următoarelor serii cu termeni oarecare: a. n= a n cos nx, a, x IR; b. n! n= sin n sin n n. Indicaţie. a. Se utilizează criteriul de comparaţie de speţa întâi, seria majorantă fiind convergenţă se studiază folosind criteriul raportului. b. Se aplică criteriul lui Dirichlet. Răspuns. a. Seria este absolut convergentă. b. Seria este convergentă. n= a n n! a cărei

16 6 Autoevaluare Exerciţiul..4. Să se studieze convergenţa următoarelor serii cu termeni oarecare: a n n n + ; b n+ n n ; c n+ n sin n x, x n + n= n= n= [ π, π ]. Indicaţie. Pentru studiul naturii primelor două serii se aplică criteriul lui Leibniz de convergenţă a unei serii alternante. Celei de a treia serie, i se studiază absoluta convergenţă. Răspuns. Primele două serii sunt convergente, dar nu şi absolut convergente. A treia serie este: [ absolut convergentă pentru x π 4, π ] ; 4 { semi convergentă pentru x π 4, π } ; 4 divergentă pentru restul valorilor lui x, deoarece termenul general nu tinde la zero. Exerciţiul..5. Să se studieze convergenţa seriilor cu termeni pozitivi: a c n= n=3 n n! n + n +...n + n ; b n= n n ln n; n + n 3 d ln ln n 9 n n. n= n + 3 ; Indicaţie. Se aplică: pentru punctul a, criteriul raportului; pentru punctul b, criteriul lui Raabe; pentru punctul c, criteriul logaritmic; pentru punctul d, criteriul radicalului. Răspuns. Toate seriile sunt convergente..3 Întrebări de autoevaluare. Enumeraţi proprietăţile şirurilor numerice convergente.. Definiţi noţiunea de şir numeric fundamental şi enunţaţi criteriul general de convergenţă Cauchy al unui şir numeric. 3. Justificaţi convergenţa divergenţa atât pentru seria geometrică cât şi pentru seria armonică generalizată seria lui Riemann.

17 MC. Şiruri şi serii numerice 7 4. Absoluta convergenţă a unei serii numerice implică convergenţa sa? Dacă răspunsul la întrebare este da, demonstraţi afirmaţia. 5. Cum se numeşte o serie numerică convergentă care nu este absolut convergentă? Ce se poate spune despre seria numerică alternantă n n.? n=

18 8 Autoevaluare

19 Capitolul 3 MC. 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice 3. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 3... Să se arate că aplicaţiile d : IR IR IR, dx, y = x y, x, y IR 3. d : IR IR IR, d x, y = x y, x, y IR, 3. + x y sunt metrici echivalente pe IR şi că nu există a, b IR, cu < a b, astfel încât să aibă loc inegalităţile a dx, y d x, y b dx, y. 3.3 Soluţie. Prima aplicaţie este metrica Euclidiană din IR. Folosind proprietăţile funcţiei modul se arată simplu că d este o metrică pe IR, diferită de metrica d. Prin urmare, perechile IR, d şi IR, d sunt spaţii metrice diferite. Reamintim definiţia a două metrici echivalente pe o acceaşi mulţime nevidă X. Definiţia 3... Metricele d şi d pe mulţimea nevidă X se numesc echivalente şi se scrie d d dacă, oricare ar fi punctul x X, avem ε > δε > astfel încât B d x, δε B d x, ε; 3.4 λ > µλ > astfel încât B d x, µλ B d x, λ. 3.5 În Definiţia 3.. B d x, λ reprezintă bila deschisă cu centrul în punctul x şi rază λ >, mai precis B d x, λ = {x X dx, x < λ}. Fie x X, punct fixat arbitrar din IR. Evident, d x, x dx, x oricare ar fi x IR, astfel că pentru a avea incluziunea B d x, δε B d x, ε din Definiţia 3.. putem lua δε = ε. 9

20 Autoevaluare Pe de altă parte, din 3. se observă că d x, x < oricare ar fi x şi x din IR, ceea ce conduce la afirmaţia că dacă ρ şi x IR, atunci bila deschisă cu centrul în x de rază ρ din spaţiul metric IR, d este întreg spaţiul, adică B d x, ρ = IR. Dacă însă < ρ <, atunci x B d x, ρ = x x + x x < ρ = x x < ρ ρ = x B d x, ceea ce înseamnă că B d x, ρ B d x, ρ. ρ ρ, ρ Pentru a avea satisfăcută şi cea de a doua incluziune din Definiţia 3.. luăm µλ astfel încât µλ µλ = λ din care rezultă µλ = λ + λ. Prin urmare cele două metrici sunt echivalente. Deşi metricele d şi d sunt echivalente, prima parte a inegalităţii 3.3 nu poate avea loc căci d x, x <, x, x IR conduce la inegalităţile dx, x a d x, x < a, din care rezultă dx, x < a, x, x IR, care evident este falsă. Exerciţiul 3... Fie şirul de numere reale x n n IN al cărui termen general este dat de relaţia de recurenţă x n = π 3 3 cos x n, unde x IR este arbitrar fixat. Să se calculeze lim x n. n Soluţie. Presupunem că există limita u a şirului x n n IN. Trecând la limită în relaţia de recurenţă şi ţinând cont de continuitatea funcţiei cosinus limita cosinusului este egală cu cosinusul limitei observăm că u trebuie să fie o rădăcină a ecuaţiei u = π 3 cos u, adică u este un punct fix al aplicaţiei funcţiei 3 f : IR IR, fx = π 3 3 cos x. 3.6 Observaţia de mai sus ne sugerează să considerăm spaţiul metric Euclidian IR cu metrica dx, y = x y şi funcţia 3.6 pentru care calculăm distanţa între două valori ale sale. Avem dfx, fy = fx fy = π 3 cos x cos y. 3 Transformând diferenţa de cosinusuri în produs, obţinem dfx, fy = fx fy = π 3 sin x + y 3 Dar: Cu ajutorul acestor majorări sin x + y ; sin x y x y. dfx, fy π 3 dx, y, x, y IR, 3 sin x y care arată că f este o contracţie pe spaţiul metric IR, d. Metrica dx, y = x y provine din norma Euclidiană pe IR care este funcţia modul., iar perechea IR,. este spaţiu Banach. Conform principiului contracţiei teorema de punct fix a lui Banach există un punct unic u = π astfel încât fu = u. 6 Şirul de numere reale x n n IN este chiar şirul aproximaţiilor succesive corespunzător funcţiei f şi punctului iniţial x. Aşadar, lim x n = π n 6..

21 MC. 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice Exerciţiul Se consideră şirul de vectori x n n din spaţiul metric IR 3, d, unde dx, y = x y este metrica Euclidiană pe IR n şi x n = + λ n, n n! n n!8 n, na n, Să se determine parametrul real λ astfel încât limita şirului să fie la distanţă minimă în IR 3, d faţă de punctul aλ =, 3 e λ, ln a. Soluţie. Se foloseşte proprietatea limita unui şir de vectori dintr un spaţiu vectorial finit dimensional, care este şi spaţiu metric, este egală cu vectorul care are coordonatele limitele şirurilor coordonate. Pentru limita primului şir de coordonate se foloseşte numărul e şi avem lim + n λ n = e λ. Al doilea şir de coordonate are termenul general de forma Limita acestui şir se determină folosind proprietatea: dacă există lim n x n = n a n. n a n+ = x IR, atunci avem lim n an = x. a n n Pentru limita celui de al treilea şir de coordonate se foloseşte limita fundamentală a x lim = ln a, x x unde a este un număr real pozitiv dat. Aplicând definiţia cu şiruri a limitei unei funcţii într un punct şi luând ca şir convergent la zero şirul cu termenul general x n =, găsim că limita celui de al treilea şir de n coordonate este ln a. Prin urmare lim x n = e λ, n Distanţa Euclidiană între punctele a şi x da, x = eλ 3e λ 3, ln a = x. 3e λ + este minimă dacă λ =. Prin urmare limita şirului de vectori x n este a. Exerciţiul Şirul de funcţii reale de o variabilă reală f n n, f n : [, ] IR, f n x = x + nx + n x + n este uniform convergent la funcţia f : [, ] IR, fx =, x [, ], iar şirul de funcţii f n n, f n : IR IR, f n x = x + nx + n x + n nu este uniform convergent la funcţia limită f : IR IR, fx =, x IR. 3.7

22 Autoevaluare Soluţie. Convergenţa uniformă a unui şir de funcţii este convergenţa în metrica lui Cebâşev ρ ρf n, f = sup x [,] df n x, fx = sup x [,] f n x fx. Însă, f n x fx = x + nx + n x + n = nx x = ϕx, x [, ]. + n Prin urmare trebuie determinată marginea superioară a funcţiei ϕ : [, ] IR, ϕx = nx x + n. Pentru a afla marginea superioară a funcţiei ϕ calculăm ϕ x = n3 nx x + n, x [, ], de unde deducem posibilitatea ca valorile extreme ale funcţiei ϕ să se atingă în x = ±n. Dacă n >, punctele x = ±n nu aparţin compactului [, ] şi deci valoarea maximă se va atinge în extremităţile segmentului [, ]. Cum f = şi f = n + n ρf n, f = n + n. Deoarece lim ρf n, f =, rezultă că primul şir de funcţii din enunţul exerciţiului este uniform convergent, n iar limita sa, după cum se vede, este funcţia din enunţ. În cazul celui de al doilea şir de funcţii, deoarece lim f nx = x IR, limita punctuală este funcţia n reală de variabilă reală 3.7. Mai trebuie arătat că şirul numeric cu termenul general ρf n, f nu este convergent la zero. nx Pentru aceasta observăm că funcţia x f n x fx = x + n are valorile extreme şi, acestea fiind valorile funcţiei în x = n şi respectiv x = n. Trebuie arătat că şirul cu termenul general ρf n, f nu converge la zero. Într adevăr, ρf n, f = sup x IR deci convergenţa punctuală f n nx df n x, fx = max f n x fx = max x IR x IR x + n =, p IR f nu este uniformă. Exerciţiul Să se arate că aplicaţia e : C[, e] IR +, f = f x ln x dx, f C[, e] 3.8 este o normă pe spaţiul vectorial real C[, e] al funcţiilor reale continue pe compactul [, e] şi să se calculeze norma funcţiei fx = x, x [, e]. Soluţie. Pentru ca raţionamentul de mai jos să poată fi urmărit reamintim definiţia unei norme pe un spaţiu vectorial real. Definiţia 3... Aplicaţia : V IR se numeşte normă pe spaţiul liniar real V dacă satisface următoarele proprietăţi: N x = = x = ; N λx = λ x, λ IR şi x V ; N 3 x + y x + y, x, y V.

23 MC. 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice 3 Din f C[, e] şi continuitatea funcţiei logaritmice rezultă că funcţia x f x ln x este continuă pe compactul [, e] şi deci integrabilă. Deoarece funcţia x ln x este nenegativă pe intervalul [, e], considerând funcţia f C[, e] cu proprietatea f = deducem f =, ceea ce arată că axioma N este satisfăcută. Dacă λ IR şi f C[, e] sunt elemente arbitrare, atunci e e λ f = λ f x ln x dx = λ f x ln x dx = λ f, de unde rezultă că axioma N este de asemenea verificată. Pentru a arăta că şi axioma N 3 este satisfăcută calculăm pătratul normei sumei a două funcţii continue arbitrare f şi g definite pe compactul [, e]. Avem e e f + g = fx + gx ln x dx = f x + fxgx + g x ln x dx = e 3.9 = f + fxgx ln x dx + g. Încercăm să găsim o majorare pentru termenul funcţia polinomială ale cărei valori se pot scrie din care se vede că ϕ : IR IR, ϕt = e e e ϕt = f t fxgx ln x dx din 3.9. Presupunând f, considerăm tfx gx ln x dx, f, g C[, e], f, 3. fxgx ln x dx t + g, 3. ϕt, t IR. 3. Din 3., 3. şi 3. rezultă că funcţia polinomială ϕ este un trinom de gradul al doilea nenegativ. Folosind această remarcă deducem că inegalitatea 3. are loc dacă şi numai dacă discriminantul trinomului este nepozitiv, adică e fxgx ln x dx f g. 3.3 Dacă în 3.3 trecem în membrul doi termenul f g şi extragem radicalul, obţinem e fxgx ln x dx f g. 3.4 Adăugând faptul că un număr real este mai mic cel mult egal cu modulul său, din 3.4 deducem e Revenind la 3.9 şi ţinând cont de 3.5 obţinem fxgx ln x dx f g. 3.5 f + g f + g. 3.6 Rezultatul extragerii rădăcinii pătrate din ambii membri ai inegalităţii 3.6 arată că axioma N 3 este şi ea satisfăcută. Prin urmare, aplicaţia 3.8 este o normă pe spaţiul liniar real C[, e]. Să determinăm norma lungimea vectorului f C[, e] specificat în enunţ, adică a funcţiei fx = x. Vom calcula pătratul acestei norme. Integrând prin părţi, avem de unde f = + e. f = e x ln x dx = x ln x e e x + e dx =, 4

24 4 Autoevaluare 3. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul 3... Determinaţi punctele fixe ale aplicaţiilor: a f : IR IR, fx = x 5 ; b f : C C, fx = z 5. Indicaţie. Amintim definiţia punctului fix al unei aplicaţii definită pe un spaţiu metric cu valori în acelaşi spaţiu metric. Definiţia 3... Elementul x al unui spaţiu metric X, d se numeşte punct fix al aplicaţiei f : X X dacă fx = x. Se rezolvă ecuaţiile fx = x, în mulţimea numerelor reale şi fz = z, în mulţimea numerelor complexe C. Răspuns. a x =, x =, x 3 = ; b z =, z =, z 3 =, z 4 = i, z 5 = i, i =. Exerciţiul 3... Dacă C este mulţimea numerelor complexe z = x + iy, unde x, y IR, atunci să se arate că perechea C, d, unde este spaţiu metric complet. d : C C IR +, dz, z = z z, z = x + iy, z = x + iy, 3.7 Indicaţie. Numărul complex x iy, notat cu z, se numeşte conjugatul complex al numărului complex z = x + iy. Modulul numărului complex z, notat prin z, se ştie că este z = z z. Evident, z z = x x + y y. 3.8 Folosind 3.7 şi 3.8 demonstraţi că aplicaţia d din 3.7 este o metrică pe C, deci C, d este spaţiu metric. Amintim definiţia spaţiului metric complet. Definiţia 3... Perechea X, d se numeşte spaţiu metric complet dacă X, d este spaţiu metric şi orice şir de puncte fundamental din X este convergent. A da un şir de puncte în C, d este echivalent cu a da două şiruri numerice şi anume şirul părţilor reale şi şirul părţilor imaginare. Apoi se ţine cont că un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Exerciţiul Să se arate că perechea IR, d, unde dx, y = arctg x arctg y este un spaţiu metric, dar nu este spaţiu metric complet.

25 MC. 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice 5 Indicaţie. Faptul că aplicaţia d este metrică se arată demonstrând că sunt satisfăcute axiomele M, M, M 3 din definiţia unei distanţe. Arătaţi apoi că şirul cu termenul general x n = n este fundamental, dar nu este convergent în metrica d. Exerciţiul În spaţiul metric IR3, d, unde d este metrica Euclidiană pe IR 3, să se calculeze limitele următoarelor şiruri: n x n n, x n = n +, n n +, n sin ; n y n n, y n = n nk + n + n +n+ n+ n, n, n sin, k IN. n Indicaţie. Limita unui şir de puncte vectori din IR 3 este vectorul din IR 3 cu coordonatele limitele şirurilor coordonate ale şirului dat. Răspuns. lim x n = n,,, lim y n = e k,,. n Exerciţiul Să se arate că funcţia g : IR 3 IR 3 IR definită prin gx, y = 3x y + x y + x 3 y 3 + x y + x y x y 3 x 3 y, unde x = x, x, x 3 şi y = y, y, y 3 sunt vectori arbitrari din IR 3, este un tensor metric sau produs scalar pe spaţiul vectorial real IR 3 şi apoi să se calculeze: produsele scalare gx, y, gx, x şi gy, y ; normele vectorilor x =,, şi y =,, 5; distanţa dintre vectorii x şi y ; unghiul ϕ dintre vectorii x şi y. Indicaţie. Pentru rezolvarea primei părţi a exerciţiului reamintim Observaţia 3... Un produs scalar pe spaţiul vectorial real H este o formă biliniară simetrică pe H cu proprietatea că forma pătratică asociată este pozitiv definită. Răspuns. gx, y =, gx, x = 7 x, gy, y = 7 = y, dx, y = 55, cos ϕ = Întrebări de autoevaluare. Enunţaţi şi demonstraţi teorema de punct fix a lui Banach.. Demonstraţi că dacă H, g este un spaţiu Euclidian real atunci pentru orice vectori din H x, y, x, x,..., x m, y, y,..., y n

26 6 Autoevaluare şi orice scalari reali au loc egalităţile: λ, µ, λ, λ,..., λ m, µ, µ,..., µ n gx, y + y = gx, y + gx, y, gx, µy = µgx, y, gx, = ; m n m n g λ i x i, µ j y j = λ i µ j gx i, y j. i= j= i= j= 3. Demonstraţi că într un spaţiu Euclidian real H, are loc numită inegalitatea lui Cauchy Buniakowski Schwarz. Când are loc egalitate în 3.9? x y x x y y, x, y H, 3.9 Răspuns. Egalitatea are loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar dependenţi sau coliniari. 4. Cum se scrie matematic că doi vectori sunt liniar coliniari? Verificaţi că afirmaţia referitoare la egalitatea în 3.9 este adevărată. 5. Dacă A este o mulţime dintr un spaţiu metric X, d, daţi definiţiile noţiunilor: acoperire pentru A; acoperire finită a lui A; acoperire finită deschisă a lui A; ε reţea finită a lui A. De asemeni, precizaţi noţiunile: mulţime compactă prin acoperire; mulţime secvenţial compactă; spaţiu metric compact prin şiruri. 6. Demonstraţi echivalenţa convergenţei unui şir de vectori din spaţiul Euclidian real IR n cu convergenţa şirurilor coordonate.

27 Capitolul 4 MC. 4 Limite şi continuitate 4. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 4... Folosind definiţia limitei unei funcţii într un punct, să se demonstreze că : xy x + y a lim x,y, x + xy = 3; b lim = 3; c lim x,y 3,+ y + x,y, x + y =. Soluţie. a Considerăm metrica pe IR d x, x = max{ x x, y y }, x = x, y, x = x, y. Atunci, inegalitatea d x, x < δ este echivalentă cu x x < δ şi y y < δ. Trebuie să arătăm că pentru orice ε > putem determina δ = δε >, astfel încât de îndată ce x < δ, y < δ, să rezulte unde funcţia f este fx, y 3 < ε, f : IR IR, fx, y = x + xy, x, y IR. Evaluăm diferenţa fx, y 3 astfel încât să punem în evidenţă x şi y. Avem fx, y 3 = x + xy 3 = x + x y + 4x + y, de unde obţinem fx, y 3 < δ + 5 δ. Inegalitatea fx, y 3 < ε va fi verificată dacă δ + 5δ = ε. Ţinând cont că δ >, găsim δε = ε. 4 7

28 8 Autoevaluare Prin urmare, cu proprietatea ε > δ = δε = ε 4 x IR, y IR cu x < δ, y < δ = fx, y 3 < ε, şi deci, în baza primei teoreme de caracterizare a limitei unei funcţii, rezultă lim fx, y = l = 3. x,y, b Fiind dat ε > oarecare, trebuie să determinăm δε > astfel încât de îndată ce să fie satisfăcută inegalitatea din care va rezulta că limita funcţiei x 3 < δε, y > δε xy y + 3 < ε, f : IR \ {x = x, y y = } IR, fx, y = xy y +, în punctul de la infinit de pe dreapta de ecuaţie x = 3, este 3. Pentru aceasta evaluăm diferenţa fx, y 3 astfel încât să punem în evidenţă x 3 şi y. xy x y + 3 x + = 3 x 3 + x y + y + y +. Dacă se consideră y >, rezultă y + < y astfel că fx, y 3 < x 3 + x 3 y + 4 y. Având în vedere că x 3 < δ şi y < δ, obţinem fx, y 3 < δ + δ + 4 δ = δ + 5 δ. Constatăm că fx, y 3 < ε dacă De aici, ţinând cont că δ >, deducem δ + 5 δ = ε. δε = ε. Rezultatele stabilite pot fi expuse şi astfel: pentru orice vecinătate de forma V = 3 ε, 3 + ε a punctului l = 3 există o vecinătate a lui 3, de forma U = 3 δε, 3 + δε δε, + cu proprietatea că şi deci limita funcţiei f în 3, este 3. x, y U = fx, y V, c Cum x + y = x + y x y, presupunând x < δ, y < δ, obţinem: x + y x y = x + y x + y < δ. x + y x + y

29 MC. 4 Limite şi continuitate 9 Dacă se impune ca δ = ε rezultă că pentru orice ε >, există δ = δε = ε, astfel încât ceea ce înseamnă că lim x fx, y =. x < δ, y < δ = fx, y < ε, Exerciţiul 4... Se dă funcţia f : IR IR, 3xy fx, y = x, dacă x, y, + 9y4, dacă x, y =, Să se arate că funcţia f nu are limită în origine.. Soluţie. Pentru calculul limitei x lim fx, y vom considera că x, y pe unul din elementele familei y uniparametrice de parabole {y = mx : m IR}. Avem: lim fx, y = x y =mx lim x y =mx 3mx x + 9m = 3m + 9m. Deoarece limita obţinută depinde de parametrul familiei de parabole, rezultă că ea nu este unică. funcţia f nu are limită în origine. Deci Exerciţiul Funcţia f : IR \ { =, } IR, fx, y = xy x + y, nu are limită în origine. Soluţie. Într-adevăr, şirul z n n, z n IR \ {}, z n = valorilor funcţiei are termenul general fz n = f n, λ = n n, λ, λ IR, este convergent la =,. Şirul n λ n n + λ n = λ + λ, de unde lim fz λ n = n + λ şi deci limita şirului fz n depinde de λ. De exemplu, pentru λ =, z n = n, avem fz n n 5, iar pentru λ =, z n = n,, fz n n. Aşadar, există două şiruri de puncte convergente la pentru care şirurile valorilor funcţiei converg la limite diferite, ceea ce demonstrează că funcţia f nu are limită în origine. Termenii şirului de vectori z n n sunt situaţi pe dreapta y = λx care trece prin origine. Dacă se efectuează limita funcţiei f pentru x, y,, cu x, y aparţinând acestei drepte, limita depinde de λ şi deci funcţia f nu are limită în origine.

30 3 Autoevaluare Exerciţiul Să se calculeze limitele: a lim x y b lim x y c lim x y d lim x y k e lim x y z xy xy + ; f lim x y sin xy x x + y x + y ; g lim x y ; h lim x y + y x x; i lim xyz x + y + z x y ; j lim x y z x + y x xy + y x + y x 4 + y ; k lim x y 4 ; l lim x y x + y x y ; m lim x y x + y x + y + ; cos x + y x y x + y ; + x y x + y ; x + y e x+y sin x 3 + y 3 ; n x lim x + y ; y 3 xyz x +y ; o lim x + y + z x y z e x y+z z + cos xy. Soluţie. a Trecând formal la limită se obţine cazul de nedeterminare /. Întrucât nedeterminarea provine din funcţii iraţionale, amplificăm fracţia cu conjugata + xy + a numitorului. Obţinem: lim x y xy xy + xy + = lim xy + x xy + y = lim xy + + =. x y b Avem aceeaşi nedeterminare. Vom înmulţi numărătorul şi numitorul fracţiei cu y. Obţinem: sin xy lim x x y sin xy = x lim y = lim xy y y lim y x y sin xy xy sin t = lim y lim =. y t t c Pentru x > şi y >, avem: < x + y x + y = x x + y + y x + y x x + y y = x + y. Trecând la limită în aceste inegalităţi şi ţinând cont că lim x y x + y =, deducem că lim x y x + y x + y =. d Prin trecere formală la limită se obţine nedeterminarea pe care o vom înlătura folosind limita fundamentală lim + t t = e. Avem: t lim + y [ x x = lim x x + y x ] y y = e k. x y k y k e Făcând precizarea că xyz, din inegalitatea mediilor obţinem: x + y + z 3 3 xyz. Înmulţind ambii membri ai acestei inegalităţi cu xyz, deducem: xyz 3 xyz fx, y, z = x + y + z. 3 Ţinând cont de proprietăţile trecerii la limită în inegalităţi avem: lim fx, y, z = = x y z x lim fx, y, z =. y z

31 MC. 4 Limite şi continuitate 3 f Să observăm că x y x xy + y xy. De asemenea, x + y x xy + y xy, deci x xy + y = x xy + y xy. Atunci, pentru x şi y, deducem: x + y x + y x + y x xy + y = xy x y x + y de unde rezultă că limita funcţiei în origine este egală cu., când x, y, g Deoarece se cere limita unei funcţii de două variabile pentru x şi y, putem considera x > şi y >. Avem: < x + y x 4 + y 4 = x x 4 + y 4 + y x 4 + y 4 x x 4 + y y 4 = x +, când x, y. y Aşadar, limita funcţiei în origine este. h Pornim de la inegalitatea evidentă din care deducem x + y 4x y x y 4 x + y. Deoarece x şi y rezultă că putem considera o vecinătate V a originii în care să avem < x + y <, x, y V \ {, }. Putem scrie: > x + y x y x +y x + y 4 = t t 4, unde t = x + y. Cum lim t t t 4 =, după trecerea la limită în aceste inegalităţi găsim că limita cerută este. t> i Deoarece se cere să se determine limita funcţiei fx, y = x + y e x+y pentru x şi y, putem considera x > şi y >. Avem: Cum lim t t < fx, y = x + y e x+y = x + y e x+y = x + y e x e y x e x + y e y. =, după trecerea la limită în ultimele inegalităţi obţinem: et lim x y fx, y = lim x + y e x+y =. x y j Şi aici putem considera x >, y > şi z >. Din inegalitatea mediilor, avem: x + y + z 3 3 xyz = 3 xyz x +y x +y. x + y + z 3 Cum lim x y 3 x +y = rezultă că lim x y k Se procedează la fel ca la punctul a. Se găseşte lim x y 3 xyz x +y fx, y = x lim =. x + y + z y fx, y = lim x y x + y x + y + =.

32 3 Autoevaluare l Cum cos x + y = sin x + y, avem lim x y cos x + y fx, y = x lim x y x + y y sin x + y = x lim y x y x + y = lim x y x + y =. m Cazul de nedeterminare îl vom înlătura folosind o limită fundamentală. Obţinem Însă lim x y x y x + y sin t n Folosind lim = deducem: t t lim x y lim x y fx, y = lim x y + x y x + y = [ = x lim + x y x y ] x y x y lim x + y x x y = e + y. y =. Urmează că lim fx, y =. x y sin x 3 + y 3 fx, y = x lim x + y y x 3 + y 3 = x lim y x + y = lim x y x + y xy x + y =. Ultima limită este pentru că x + y când x şi y, iar funcţia gx, y = este mărginită deoarece are valorile în compactul [/, 3/]. o Avem: lim fx, y, z = lim x,y,z,, x,y,z,, xy x, x, y, + y e x y+z z + cos xy = f,, = e. Exerciţiul Se dă funcţia f FIR \ {, }, IR, Să se arate că : a x lim fx, y = ; b lim y fx, y = x + y sin x sin, x, y. y x lim fx, y nu există; c lim y y lim fx, y nu există. x Soluţie. a Pentru că funcţia t sin t este mărginită, avem: sin x sin [, ], x, y. y

33 MC. 4 Limite şi continuitate 33 Ţinând cont că x lim x + y =, deducem: y lim x y fx, y = lim x y x + y sin x sin y din care, utilizând proprietăţi ale limitei unei funcţii, obţinem lim fx, y =. x y x lim y x + y =, b Nu există lim fx, y pentru că se pot găsi cel puţin două şiruri diferite y n n cu y n şi y n pentru y care limitele lim fx, y n sunt diferite. n Aşadar lim lim fx, y nu există. x y c Nu există lim fx, y pentru că se pot găsi cel puţin două şiruri diferite x n n cu x n şi x n pentru x care limitele lim fx n, y sunt diferite. n Aşadar lim lim fx, y nu există. x y Exerciţiul Să se arate că funcţia reală de două variabile reale nu este uniform continuă. f : IR \ {x, y : x + y = } IR, fx, y = sin π x y. Soluţie. Vom arăta că pentru ε = şi δ > se pot preciza punctele M δ x δ, y δ, M δ x δ, y δ, cu dm δ, M δ < δ, care să implice fm δ fm δ ε, unde d, este metrica Euclidiană pe IR. Punctele le determinăm din condiţiile fm δ = şi fm δ =, deci din ecuaţiile π x δ y δ = nπ, π x δ y δ = nπ + π, n IN. Trecem indicele δ în n şi alegem x n, x n, y n şi y n după cum urmează: x n = x n = n ; y n = n n ; y n = 4n + n. Deoarece y n şi y n, rezultă că y n y n şi deci pentru orice δ > există numărul natural Nδ astfel încât pentru orice n > Nδ să avem y n y n < δ. Cum distanţa dintre punctele M n şi M n este dm n, M n = x n x n + y n y n = y n y n = y n y n, avem dm n, M n < δ dacă n > Nδ IN. Acest raţionament demonstrează că funcţia f nu este uniform continuă. 4. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri

34 34 Autoevaluare Exerciţiul 4... Să se discute în raport cu parametrul real α continuitatea următoarelor funcţii: xy x. fx, y =, x, y, + y. α, x, y =, ; cos x + y fx, y = tg x + y, x, y, α, x, y =, ; 3. fx, y, z = x + y + ztg x + y + z x + y + z, x, y, z,, α, x, y, z =,,. Indicaţie. Pentru limita l în origine a fiecăreia dintre funcţii se găseşte:. l nu există;. l = ; 3. l =. sin u În calcule intervin limitele fundamentale: lim u u = ; lim tg u u u = Răspuns. Prima funcţie este discontinuă α IR, a doua este continuă pentru α =, iar a treia este continuă pentru α =. Exerciţiul 4... Să se arate că funcţia fx, y = arcsin y x nu este uniform continuă. Indicaţie. Se procedează la fel ca în Exerciţiul Răspuns. Rezultă că funcţia f nu este uniform continuă. Exerciţiul Fie funcţia vectorială de variabilă vectorială f : IR n IR 3 e x, x sin, fx = x, x x, dacă x,,,, dacă x =, unde x = x, x,..., x n IR n şi mulţimile: Să se arate că : A = {x IR n ; n x k }; B = k= a A şi B sunt mulţimi închise în IR n şi respectiv în IR 3 ; b fa este o mulţime compactă şi conexă în IR 3 ; c f B este o mulţime închisă în IR n. { } y = y, y, y 3 IR 3 : y 9 + y 4 + y 3.

35 MC. 4 Limite şi continuitate 35 Indicaţie. Funcţiile coordonate f, f, f 3 ale funcţiei date sunt funcţiile reale de n variabile reale f x, x,..., x n = f x, x,..., x n = f 3 x, x,..., x n = unde x = n x x = x i este norma Euclidiană pe IR n. i= e x, x,, x =, x sin x, x,, x =, { x x, x,, x =, Este uşor de verificat că f, f, f 3 sunt continue pe IR n, deci f = f, f, f 3 este funcţie continuă. a Mulţimea A este bila închisă cu centrul în origine şi rază din spaţiul metric IR n, d, unde d x, y = n x i y i, x = x, x,..., x n, y = y, y,..., y n IR n, i= deci este o mulţime închisă în IR n. Considerăm funcţia reală ϕ : IR 3 IR, ϕy, y, y 3 = y 9 + y 4 + y 3, care este continuă. Atunci B = ϕ [, ] este o mulţime închisă în IR 3 contraimaginea prin funcţia continuă ϕ a compactului [, ]. b Deoarece o bilă închisă în spaţiul Euclidian IR n este mulţime compactă în IR n mărginită şi închisă în IR n şi conexă în IR n, rezultă că mulţimea A este o mulţime compactă şi conexă în IR n. Întrucât f este funcţie continuă şi A este o mulţime compactă şi conexă în IR n, rezultă că fa este mulţime compactă şi conexă în IR 3. c Mulţimea B fiind închisă şi f fiind funcţie continuă, rezultă că f B este mulţime închisă în IR n. Exerciţiul Fie V, un spaţiu normat. Funcţia f : V IR, fx = x este continuă pe V. Indicaţie. Avem fx fx = x x x x. Răspuns. Fie ε >. Luând δε = ε, atunci x V cu x x = dx, x < δε = fx fx < ε, adică f este continuă în x. Cum x este arbitrar din V, rezultă că f este continuă pe V. Exerciţiul Să se arate că funcţia fx, y = xy x + y, dacă x + y, dacă x + y = este continuă în raport cu fiecare variabilă în parte, dar nu este continuă în raport cu ansamblul variabilelor. Indicaţie. Se arată uşor că funcţia f este continuă în raport cu fiecare variabilă în parte, dar nu este continuă în raport cu ansamblul variabilelor.

36 36 Autoevaluare 4.3 Întrebări de autoevaluare. Care este deosebirea dintre continuitate şi uniforma continuitate a unei funcţii definită pe un spaţiu metric cu valori într un alt spaţiu metric?. Ce se poate afirma despre funcţiile continue pe mulţimi conexe? Dar pe mulţimi convexe? Demonstraţi cel puţin una dintre afirmaţii. 3. Orice spaţiu metric conex prin arce este spaţiu metric conex? Dacă răspunsul este da, demonstraţi afirmaţia. 4. Fie funcţia vectorială de argument vectorial f = f, f,..., f m : A IR n IR m. Dacă A este o mulţime mărginită şi închisă şi f este funcţie continuă, mulţimea Im f = fa IR m este mărginită şi închisă? Dacă răspunsul este da, să se demonstreze afirmaţia. 5. Ce este o funcţie Hölder, sau funcţie hölderiană? Dar o funcţie Lipschitz?

37 Capitolul 5 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 5. Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă reală 5.. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 5... Să se arate că fiecare dintre imaginile următoarelor drumuri parametrizate: r : [, e] IR 3, rt = t i + t j + ln t k; r : [, ] IR 3, rt = t 3 + t i + t tj + t 3 + t k este situată într un plan a cărui ecuaţie se cere a fi determinată. Soluţie. Ecuaţiile parametrice ale primului drum sunt x = t y = t z = ln t, t [, e]. Eliminarea parametrului t între primele două ecuaţii conduce la egalitatea x y + =, care reprezintă ecuaţia unui plan paralel cu axa Oz. Prin urmare imaginea primului drum parametrizat este situată în planul de ecuaţie x y + =. Ecuaţiile parametrice ale drumului sunt x = t 3 + t y = t t z = t 3 + t, t [, ]. Ecuaţia unui plan care ar putea conţine imaginea drumului considerat este Ax + By + Cz + D =, unde coeficienţii A, B, C, D urmează a fi determinaţi. Impunând ca imaginea drumului să aparţină acestui plan, se obţine At 3 + t + Bt t + Ct 3 + t + D =, t [, ], 37

38 38 Autoevaluare de unde, prin identificarea coeficienţilor, deducem sistemul liniar omogen A + C = A + B = B C = D C = care are o infinitate simplă de soluţii, şi anume: B = A; C = A; D = A. Prin urmare, imaginea drumului se găseşte în planul Ax Ay Az A =. Simplificând prin A, obţinem că ecuaţia planului căutat este x y z =. Exerciţiul 5... Fie curba în spaţiu r : [, π] IR 3, rt = e t cos ti + e t sin tj + e t k. Determinaţi parametrizarea naturală a curbei, lungimea ei şi versorii triedrului Frenet într-un punct oarecare al curbei. Soluţie. Cum ṙt = e t cos t sin ti + e t sin t + cos tj + e t k, urmează că ṙt = 3e t. De aici, elementul de arc ds al curbei este dat de relaţia ds = 3e t dt, deci s = 3e t + C. Presupunând că originea de arc pe curbă corespunde lui t =, obţinem C = 3, deci s = 3e t. Prin urmare, parametrizarea naturală a curbei este s s s s s r = 3 + cos ln 3 + i sin ln 3 + j k, s [, 3e π ]. Lungimea curbei este L = π ṙt dt = π 3e t dt = 3e π, iar versorii triedrului Frenet τ s, νs şi βs sunt daţi de relaţiile τ s = dr ds, Efectuând calculele, găsim τ s = s {[cos ln d r νs = ds d, r ds βs = τ s νs = dr ds d r ds d. r ds ] [ ] } s s s sin ln 3 + i + cos ln sin ln 3 + j + k, νs = ] [ ] } s s s s {[ cos ln 3 + sin ln 3 + i + cos ln 3 + sin ln 3 + j, βs = ] [ ] } s s s s {[sin ln 3 + cos ln 3 + i cos ln sin ln 3 + j + k. 6

39 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 39 Exerciţiul Determinaţi ecuaţia tangentei la curba definită de drumul f FIR, IR 3, ft = cos ti + sin tj + 4tk în punctul M corespunzător valorii π 6 a parametrului t. Soluţie. Un vector director al tangentei la curbă într-un punct M corespunzător valorii t a parametrului este f t = sin t i + cos t j + 4k. De aici, un vector director pentru tangenta în M este f π = i + 3j + 4k. 6 3, π Cum M,, urmează că ecuaţiile canonice ale tangentei în M la curbă sunt 3 x 3 = y z π = Exerciţiul Fie curba definită de drumul f FIR, IR 3, ft = e t cos ti + e t sin tj + e t k. Determinaţi punctele curbei în care tangenta este paralelă cu dreapta D : x = y + 3 = z. Soluţie. Un vector director pentru tangenta în punctul curent M de pe curbă corespunzător valorii t a parametrului este f t = e t cos t sin ti + e t cos t + sin tj e t k. Un vector director al dreptei D fiind v = i + j k, impunând condiţia de paralelism f t = cv, c IR, obţinem e t cos t sin t = c, e t cos t + sin t = c, e t = c. Din cea de-a treia ecuaţie obţinem că c = e t. Ridicând la pătrat fiecare dintre primele două ecuaţii şi sumând rezultatele, deducem c = e t. Prin înmulţirea ultimelor două egalităţi găsim c 3 =, de unde aflăm că c =, ceea ce implică e t = şi deci t =. Prin urmare, punctul M de pe curbă în care tangenta este paralelă cu dreapta D este cel corespunzător valorii t = a parametrului. Găsim M,,. Exerciţiul Determinaţi ordinul de contact în origine al curbelor plane C : x = t 3 3t, t IR; C : x = t, t IR. Soluţie. Funcţiile din teorie vezi MC.5 sunt f, g : IR IR, unde ft = t 3 3t şi gt = t. Observăm că originea corespunde valorii t =. Derivatele de ordinul întâi şi doi ale funcţiilor f şi g au expresiile: f t = 3t 6t; g t = t; f t = 6t 6; g t =.

40 4 Autoevaluare Cum: f = g = ; f = g = ; f = g =, urmează că C şi C au în origine un contact de ordinul întâi. 5.. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul Determinaţi parametrizarea naturală a curbei r : [, π] IR 3, rt = t sin ti + cos tj + 4 sin t k. Indicaţie. Determinând ds = ṙt dt găsiţi ds = dt. Răspuns. Parametrizarea naturală a curbei este r = s sin s i + cos s j + 4 sin sk, s [, π]. Exerciţiul Să se găsească vectorul viteză, vectorul acceleraţie, viteza şi acceleraţia la momentul t ale particulei materiale care se mişcă după legea f FIR +, IR 3, ft = 3t 3i + tj 4t k. Indicaţie. Vectorul viteză vt la momentul t este f t, iar viteza vt = vt este f t. Vectorul acceleraţie at la momentul t este f t, iar acceleraţia at = at este f t. Răspuns. vt = 6ti + j 8tk; vt = + t ; at = 6i 8k; at =. Exerciţiul Fie funcţia r = a cos ωt + b sin ωt, unde a şi b sunt vectori constanţi, iar ω este o constantă reală pozitivă numită frecvenţă. Să se arate că r dr dt = ω a b; d r dt + ω r =. Indicaţie. Primele două derivate ale funcţiei r sunt dr dt = ωa sin ωt b cos ωt, d r dt = ω a cos ωt + b sin ωt = ω r. Răspuns. Deoarece a a = b b =, urmează că r dr dt = a cos ωt + b sin ωt ωa sin ωt b cos ωt = a cos ωt b cos ωt + b sin ωt ωa sin ωt = ω a b, cea de-a doua egalitate demonstrându-se asemănător.

41 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 4 Exerciţiul Fie funcţia f FIR, ft = 5 + t. Determinaţi aproximările liniară şi pătratică în vecinătatea punctului t =, precum şi ecuaţia cercului osculator al curbei C : x = ft, t IR, în punctul M,. Indicaţie. Derivatele de ordinul întâi şi al doilea ale lui f sunt date de formulele f t = 5 + t 4 5 ; f t = t 5, f = 5 5, f = 4 5 Aproximarea liniară în vecinătatea lui t = este ft = ft + t t f t = P t; t, f,! iar aproximarea pătratică în vecinătatea lui t = este ft = ft + t t! f t + t t f t = P t; t, f.! Expresiile celor trei numere care definesc cercul osculator sunt α = t + f t f f t t β = ft + + f t f t, R = + f t 3 f t unde α şi β sunt coordonatele centrului de curbură, iar numărul pozitiv R este raza de curbură.. Răspuns. Aproximările liniară şi pătratică ale lui f în vecinătatea lui t = sunt: iar ecuaţia cercului osculator este ft = + 5 t; ft = + 5 t 4 5 t, x 3 + x + = Exerciţiul 5... Să se scrie formula lui Taylor cu restul lui Peano de ordin n a funcţiei f FI, IR, ft = e t, ln + 3t. în vecinătatea punctului t =. Indicaţie. Se calculează derivatele de ordin oarecare n IN ale funcţiilor de coordonate: f FI, f t = e t, f FI, f t = ln + 3t. Răspuns. unde α FD, IR. ft = e, ln 4 + n k k! e, k 3 k k4 k t k + αtt n. k=

42 4 Autoevaluare 5..3 Întrebări de autoevaluare. Care este raportul incrementar al unei funcţii vectoriale de variabilă reală f într-un punct dat t? Precizaţi modul de calcul al raportului incrementar cu ajutorul rapoartelor incrementare ale funcţiilor componente. Ce efect are acest mod de calcul asupra legăturii dintre derivabilitatea funcţiei f şi derivabilitatea funcţiilor componente?. Scrieţi şi demonstraţi formula lui Leibniz de derivare de k ori a produsului funcţiilor f, g C k I, IR m. 3. Precizaţi o funcţie f FIR, IR care este continuă în t = fără a fi derivabilă în t. 4. Drumul parametrizat f : [, π] IR 3, ft = R cos t, R sin t, ht, R >, h IR, are drept traiectorie o buclă dintr-o elice cilindrică de pas constant. Cât este lungimea acestei bucle? 5. Fie curbele plane C : x = ft, t [a, b], C : x = gt, t [a, b]. Interpretaţi cu ajutorul noţiunilor de tangentă şi cerc osculator următoarele situaţii:. C şi C au contact de ordin în M t, x ;. C şi C au contact de ordin cel puţin în M t, x. 5. Diferenţiabilitatea şi derivabilitatea parţială ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale 5.. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 5... Să se calculeze derivata funcţiei reale de trei variabile reale în punctul a =,, după direcţia v =,,. f FIR 3, fx, x, x 3 = 3x + x + 4x 3 3 Soluţie. Determinăm întâi versorul s al vectorului v. Deoarece v =, urmează că s = v v =,,. Derivata funcţiei f în punctul a după direcţia de versor s este dată de unde g este definită prin df fa + ts fa a = lim = g, ds t t gt = fa + ts = 3 + t t.

43 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 43 Prin urmare de unde g t = 3 + t + 6 df ds a = g =. + t, Exerciţiul 5... Să se calculeze diferenţiala funcţiei reale de două variabile reale f FIR, fx, x = e x x sin x x şi să se demonstreze că derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f verifică relaţia f x x, x + f x x, x =, x, x IR. Soluţie. Se obţine: f x x, x = e x x sin x x = e x x sin x x + e x x x x sin x x x = x e x x sin x x + e x x x cos x x ; f x, x = e x x sin x x = e x x sin x x + e x x sin x x x x x x = x e x x sin x x + e x x x cos x x de unde, conform expresiei diferenţialei de ordinul întâi a unei funcţii rezultă dfx, x = f x x, x dx + f x x, x dx dfx, x = e x x [x sin x x + x cos x x dx + x cos x x x sin x x dx ]. Au loc de asemenea egalităţile f x x, x = x f x x, x = x x e x x sin x x + e x x x cos x x = e x x sin x x + 4x e x x sin x x + x e x x x cos x x +x e x x x cos x x e x x 4x sin x x = e x x + 4x 4x sin x x + 8x x cos x x şi f x x, x = x f x x, x = x x e x x sin x x + e x x x cos x x = e x x sin x x + 4x e x x sin x x x e x x x cos x x x e x x x cos x x e x x 4x sin x x = e x x 4x + 4x sin x x 8x x cos x x,

44 44 Autoevaluare de unde f x x, x + f x x, x =, x, x IR. O funcţie reală f care verifică egalitatea de mai sus se numeşte funcţie armonică. Dacă f are trei variabile reale, egalitatea corespunzătoare celei de mai sus se scrie f x x, x, x 3 + f x iar f se numeşte de asemenea funcţie armonică. x, x, x 3 + f x x, x, x 3 =, x, x, x 3 D IR 3, 3 Exerciţiul Fie ϕ FIR o funcţie derivabilă. Demonstraţi că funcţia Φ FIR, IR, Φx, y = ϕx + y verifică relaţia y Φ x, y x Φ x y x, y =, x, y IR. Soluţie. Conform formulei de derivare a funcţiilor compuse, au loc relaţiile Φ x x, y = ϕ x + y x x + y = xϕ x + y Φ y x, y = ϕ x + y y x + y = yϕ x + y, deci y Φ x, y x Φ x y x, y = xyϕ x + y xyϕ x + y =, x, y IR. Exerciţiul Demonstraţi că funcţia x + y sin, x, y, f FIR, fx, y = x + y, x, y =,. este diferenţiabilă în origine. Soluţie. Observăm că f, =, iar f ft, f,, = lim = lim x t t deoarece lim t = iar t sin t. Similar, f f, t f,, = lim = lim y t t t t t sin t t t sin t t = lim t t sin t =, = lim t t sin t =.

45 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 45 Definiţia diferenţiabilităţii unei funcţii conduce la egalitatea de unde Ţinând seama că deoarece lim x + y =, iar x,y, fx, y = αx, y x + y, x, y IR, x + y sin, x, y, αx, y = x + y, x, y =,. lim αx, y = = α,, x,y, sin, rezultă concluzia. x + y Exerciţiul Precizaţi dezvoltarea funcţiei polinomiale f FIR, fx, y = x y 5xy + x 5x + 6y + 6, cu ajutorul formulei lui Taylor într-o vecinătate a punctului x =,. Soluţie. Observăm că f C N IR pentru orice N număr natural, iar fx =. Pentru funcţia dată derivatele parţiale de ordinele întâi şi doi sunt date de relaţiile f x, y = xy 5y + x 5, x de unde Mai departe, f y x, y = x 5x + 6, f x, y = y +, x f x, y =, y f x y x, y = f x, y = x 5, y x f x x = f y x = f x x = f y x =, 3 f x, y =, x3 3 f x x, y =, y f x y x = f y x x =. 3 f x, y =, x y 3 f x, y =, x3 toate derivatele parţiale ale lui f de ordin patru sau mai mare fiind identic nule. Rezultă atunci că fx, y = fx + f x x x x + f y x y y + + f! x x x x + f x y x x x y y + f y x y y f 3! x 3 x x x f x y x x x y y f x y x x x y y + 3 f y 3 x y y 3. din care obţinem fx, y = x y + + x y +, oricare ar fi x, y IR.

46 46 Autoevaluare Exerciţiul Arătaţi că funcţia f FIR +, fx, y = x + y sin y x este omogenă, precizaţi-i gradul de omogenitate şi verificaţi formula lui Euler. Soluţie. Au loc relaţiile ftx, ty = tx + ty sin ty tx = t x + y sin y x = t fx, y, x, y IR +, t >, deci f este omogenă de gradul al doilea. Prin calcul direct, se obţine că f x, y = x + y sin y = x sin y x x x x + x + y cos y y x x f y x, y = x + y sin y = y sin y y x x + x + y cos y. x x Conform acestor relaţii, x f f x, y + y x x y x, y = x sin y x + x + y cos y x y x + y y sin y x + x + y cos y x = x sin y x x + y y x cos y x + y sin y x + x + y y x cos y x x = x + y sin y x = fx, y, ceea ce înseamnă că formula lui Euler este verificată. 5.. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul Precizaţi direcţiile după care funcţia are derivată în origine. f FIR, fx, y = 6 x y 4 Indicaţie. O direcţie oarecare din IR are versorul s = cos θ, sin θ, unde θ [, π. Se arată că df, = lim ds t 6 t6 cos θ sin 4 θ t t 6 = lim cos t t θ sin 4 θ. Răspuns. Limita de mai sus există dacă şi numai dacă cos θ sin 4 θ =, deci θ {, π, π, 3π }. Exerciţiul Pornind de la definiţia derivatelor parţiale, determinaţi f, dacă x f : D IR IR, fx, y = ln + xy.

47 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 47 Indicaţie. Notând a =,, avem f a = lim x t Răspuns. f a =. x fa + te fa, unde e =,. t Exerciţiul Arătaţi că funcţia f FIR, fx, y = y cosx y satisface egalitatea f x x + f y y = fx, y, pentru x, y. y Indicaţie. Au loc relaţiile f x = xy sinx y, f y = cosx y + y sinx y. Răspuns. f x x + f y y = y sinx y + y cosx y + y sinx y = y cosx y = fx, y. y Exerciţiul 5... Demonstraţi că funcţia nu este diferenţiabilă în,. f FIR, fx, y = x y, x + y x, y,, x, y =, Indicaţie. Să presupunem că f este diferenţiabilă în origine. Deoarece conform definiţiei diferenţiabilităţii urmează că f, = f f, =, =, x y fx, y = αx, y x + y, x, y IR, cu lim αx, y = = α,. x,y, Răspuns. Din relaţiile de mai sus se obţine că expresia lui α este dată de x y, x, y, αx, y = x + y, x, y =,.

48 48 Autoevaluare Însă lim αx, y = lim x y x,y, x,y, x + y nu există, lucru care se poate constata, de exemplu, observând că αx, x =, pentru x >, iar αx, x =, pentru x <, sau folosind caracterizarea cu şiruri a limitei unei funcţii într-un punct. Rezultă de aici că f nu este diferenţiabilă în,. Exerciţiul 5... Calculaţi d N fx, y, unde fx, y = e ax+by, a, b IR. Indicaţie. Se arată că d N e ax+by = N k= CN k N e ax+by x N k y k dxn k dy k. Răspuns. d N e ax+by = e ax+by N k= Ck N an k b k dx N k dy k = e ax+by adx + bdy n Întrebări de autoevaluare. Fie funcţia f FIR, fx, y = {, x şi y, x = sau y =. Atunci f este derivabilă parţial în origine, iar f f, =, =, deşi f nu este continuă în origine. x y Cum explicaţi acest rezultat?. Fie funcţia f FIR, fx, y = Atunci f este diferenţiabilă în origine, deşi f x Cum explicaţi? { x + y sin x + y, x, y,, x, y =, şi f y sunt discontinue în origine.. 3. Fie E IR n un con cu vârful în origine şi k IR. Este mulţimea funcţiilor omogene de gradul k pe IR spaţiu liniar real în raport cu operaţiile uzuale de adunare a funcţiilor şi înmulţire a funcţiilor cu scalari? 4. Daţi exemplu de două funcţii f, f FIR n care au aceeaşi matrice hessiană în orice x IR n fără ca diferenţa lor să fie constantă. 5. Precizaţi definiţia laplacianului în trei variabile. 5.3 Teoria diferenţiabilităţii şi derivabilităţii funcţiilor vectoriale de argument vectorial 5.3. Exerciţii rezolvate Exerciţiul Fie funcţia f FIR, IR 3, fx, y = xy, y sin x, x + y. Demonstraţi că f este diferenţiabilă pe IR. Precizaţi diferenţiala sa dfx într-un punct oarecare x şi dfx ; a, unde x =,, a =,. Determinaţi matricea jacobiană a lui f într-un punct oarecare x.

49 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 49 Soluţie. Fie funcţiile de coordonate f, f, f 3 FIR, IR, f x, y = xy, f x, y = y sin x, f 3 x, y = x + y. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale acestor funcţii f x x, y = y, f y = x, f x x, y = y cos x, f y = sin x, f 3 x x, y =, f 3 x, y = y sunt continue pe IR, prin urmare f, f şi f 3 sunt funcţii diferenţiabile pe IR. Deoarece funcţiile de coordonate f, f şi f 3 sunt diferenţiabile pe IR, funcţia vectorială f = f, f, f 3 este diferenţiabilă pe IR. Diferenţiala funcţiei f într-un punct oarecare x = x, y se calculează cu ajutorul diferenţialelor funcţiilor coordonate sub forma de unde dfx, y = df x, y, df x, y, df 3 x, y = ydx + xdy, y cos xdx + sin xdy, dx + dy, dfx ; a = +, cos + sin, + =,,. Deoarece matricea jacobiană a lui f într-un punct oarecare x = x, y este f x x, y f x, y y J f x, y = f x x, y f x, y y, f 3 x x, y f 3 x, y y y x urmează că J f x, y = y cos x sin x. Exerciţiul Fie funcţia f FIR, IR, fx, y = sinx + y, cosxy Demonstraţi că f este de două ori diferenţiabilă pe IR şi calculaţi d fx ; a, unde x =, π, a =,. Soluţie. Fie funcţiile de coordonate f, f FIR, IR, f x, y = sinx + y, f x, y = cosxy. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale acestor funcţii sunt, respectiv, f x x, y = x cosx + y, f y x, y = y cosx + y, în vreme ce derivatele parţiale de ordinul al doilea sunt, respectiv, f x = y sinxy, f = x sinxy, y f x x, y = cosx + y 4x sinx + y, f x y x, y = f y x x, y = 4xy sinx + y, f y x, y = x cosxy, f y x, y = cosx + y 4y sinx + y f x x, y = y cosxy, f x y x, y = f x, y = sinxy + xy cosxy. y x

50 5 Autoevaluare Deoarece aceste derivate parţiale sunt continue pe IR, urmează că funcţiile de coordonate f şi f sunt de două ori diferenţiabile pe IR. În concluzie f este de două ori diferenţiabilă pe IR. Diferenţiala de ordinul al doilea a lui f într-un punct oarecare x = x, y se calculează cu ajutorul diferenţialelor de ordinul al doilea ale funcţiilor coordonate, sub forma d fx, y = d f x, y, d f x, y, unde d f x, y = f x x, ydx + f x y x, ydxdy + f x, ydy y = cosx + y 4x sinx + y dx 8xy sinx + y dxdy+ + cosx + y 4y sinx + y dy d f x, y = f x x, ydx + f x y x, ydxdy + f x, ydy y = y cosxydx sinxy + xy cosxydxdy x cosxydy, iar, pentru x = π, y =, dx =, dy =, de unde obţinem d fx ; a =,, deci un vector din IR. Exerciţiul Să se determine aproximarea liniară a funcţiei f = f, f FIR, IR, fx, y = sin x cos y, sin x cos y, x = x, y IR, într o vecinătate a punctului x =, π. Soluţie. Se observă că fx = f, π =,. Aproximarea liniară a funcţiei f în vecinătatea punctului x este dată de relaţia fx = fx + dfx ; x x. Considerând funcţiile de coordonate f, f FIR, IR, rezultă că f x, y = sin x cos y, f x, y = sin x cos y, dfx, y = df x, y, df x, y = sin x cos x cos ydx sin x sin ydy, cos xdx + sin ydy, de unde dfx ; x x = x y π, x + y π = Aproximarea liniară căutată este fx =, x + y π., x + y π. Exerciţiul Să se calculeze f π, π, unde x y f : IR IR 3, fx, y = sin x + y, cos x + y, xy.

51 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 5 Soluţie. Derivata parţială de ordinul al doilea mixtă a unei funcţii vectoriale de două variabile reale f, într un punct x, y, se calculează după regula f x y x, y = f x, y. x y Dar f x, y = cos x + y, sin x + y, x. Aplicând acestei funcţii operaţia de derivare faţă de x, găsim y Luând x = π şi y = π, obţinem f x, y = sin x + y, cos x + y,. x y f π, π = sin 3π x y, cos 3π, =,,. Derivata astfel determinată este un vector de lungime, paralel cu planul xoz. Exerciţiul Fie suprafaţa S : r = u + v + 3i + u v + j + uvk, u, v IR. Determinaţi ecuaţia planului tangent la suprafaţă şi a normalei în punctul M S corespunzător perechii u, v =,. Precizaţi coeficienţii lui Gauss şi prima formă fundamentală asociată suprafeţei S. Demonstraţi că liniile parametrice u = c, c IR sunt drepte, iar curba C : r = ru, u, u IR, este curbă plană. Soluţie. Observăm că funcţia S FIR, IR 3 care defineşte suprafaţa S este diferenţiabilă, prin urmare S este o suprafaţă netedă în IR 3. Să notăm S u, v = u + v + 3, S u, v = u v +, S 3 u, v = uv funcţiile coordonate ale funcţiei vectoriale S. Atunci parametrii directori A, B, C ai normalei N la planul tangent la suprafaţă sunt A = DS, S 3 = Du, v u v u = u + v B = DS 3, S = v u Du, v u = v u, C = DS, S = Du, v u u = 4u iar matricea jacobiană a aplicaţiei S este u J S u, v = u. v u Pentru u = şi v =, obţinem A =, B =, C = 4. Deoarece M 4,,, ecuaţia planului tangent în M la S este P : x 4+ y +z 4 =, adică P : x + y 4z 4 =. Ecuaţiile canonice ale normalei în M la S sunt atunci D : x 4 = y = z 4.

52 5 Autoevaluare Din expresia matricei jacobiene de mai sus obţinem coeficienţii primei forme fundamentale Eu, v = u + u + v = 8u + v Gu, v = + + u = u + F u, v = u + u + v u = uv, iar prima formă fundamentală asociată suprafeţei S este ds = 8u + v du + uvdudv + u + dv. Linia parametrică u = c are reprezentarea x = c + v + 3, y = c v +, z = cv, v IR, de unde x c + 3 = y c + = z = v. De aici, c x c + 3 = y c + aceasta reprezentând ecuaţiile unei drepte care trece prin Mc +3, c +, şi are ca vector director v = i j+ck. Curba C are reprezentarea parametrică x = u + u + 3, y = u u +, z = u, v IR. Ecuaţia unui plan care conţine drumul C este Ax + By + Cz + D =, unde coeficienţii A, B, C, D urmează a fi determinaţi din condiţia ca planul să conţină curba C. Se obţine = z c, Au + u Bu u + + Cu + D =, u IR, de unde, prin identificarea coeficienţilor, obţinem relaţiile A + B + C =, A B = şi 3A + B + D =. Atunci B = A, C = A, D = 4A, iar curba C se găseşte în planul Ax + Ay Az 4A =. Simplificând prin A obţinem că ecuaţia planului care conţine curba C este x + y z 4 = Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul Fie funcţia f = f, f FIR, IR Demonstraţi că Df, f Dx, y x, y x, y IR. fx, y = e x cos y, e x sin y. Indicaţie. Df, f Dx, y x, y = e x cos y e x sin x e x sin y e x cos y = ex. Exerciţiul Fie funcţia g FIR, IR, gx, x = x + x sinx x, e x+x cosx x. Determinaţi matricea jacobiană a funcţiei g într-un punct oarecare x = x, x şi determinantul său.

53 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale 53 Indicaţie. Observăm că g = f ϕ, unde f FIR, IR, fu, u = f u, u, f u, u = u sin u, e u cos u ; Atunci ϕ FIR, IR, ϕx, x = ϕ x, x, ϕ x, x = x + x, x x. J g x = J f ϕx = J f ϕx Jϕx. Răspuns. Se obţine că de unde J g x = J f ϕx = sinx x x + x cosx x e x+x cosx x e x+x sinx x, Jϕx = sinx x + x + x cosx x sinx x x + x cosx x e x+x cosx x e x+x sinx x e x+x cosx x + e x+x cosx x. Exerciţiul Determinaţi elementul de suprafaţă dσ pentru suprafeţele S : r = u cos vi + u sin vj + u k; S : z = x 3 + y 3. Indicaţie. Să notăm S u, v = u cos v, S u, v = u sin v, S 3 u, v =. Expresia elementului de suprafaţă u dσ este dată de dσ = DS, S 3 Du, v + DS 3, S Du, v + DS, S dudv. Du, v Deoarece suprafaţa S este definită explicit cu z ca funcţie de x, y, prin z = fx, y = x 3 + y 3, expresia elementului de suprafaţă dσ este dată de f f dσ = + + dxdy. x y Răspuns. Se observă că Dy, z Du, v Dz, x Du, v Dx, y Du, v = = = y u z u z u x u x u y u y v z v z v x v x v y v = = = sin v u cos v = cos v; u u u = sin v; u cos v u sin v cos v u sin v sin v u cos v = u.

54 54 Autoevaluare Se obţine că dσ = Se observă că f x = 3x, f y = 3y, de unde u cos v + u sin v + u = u + u dudv. dσ = + 9x 4 + y 4 dxdy. Exerciţiul Să se verifice dacă ecuaţiile r = u, v IR reprezintă aceeaşi suprafaţă. u + v ui+vj+k, u, v IR şi r = u cos vi+u sin vj+u k, Indicaţie. Pentru fiecare dintre cele două suprafeţe se determină ecuaţia carteziană implicită. Răspuns. Ecuaţia carteziană implicită este x + y z =, de unde se trage concluzia. Exerciţiul Determinaţi locul geometric al punctelor de pe suprafaţa r = u + vi + uvj + u + 4v k pentru care planul tangent în acel punct la suprafaţă trece prin A,,. Indicaţie. Ecuaţia planului tangent într-un punct M corespunzător valorilor u, v este Dy, z Dz, x Dx, y x u + v + y uv + Du, v Du, v Du, v z u + 4v =. Răspuns. Punând condiţia ca A să aparţină planului tangent obţinem u + vu vu + v =, de unde rezultă ecuaţiile vectoriale ale curbelor soluţii sub forma r = 3vi + v j + 8v k, r = vi v j + 8v k, r = i + v vj + 5v 4v + 4k. De exemplu, prima curbă este intersecţia dintre planul 4y z = şi cilindrul parabolic cu generatoarele paralele cu axa Oz de ecuaţie y = 9 x. Afirmaţii asemănătoare se pot face şi pentru celelalte două curbe. Precizaţi le Întrebări de autoevaluare. Fie f = f, f,..., f m FD, IR m. Care este formula de calcul a diferenţialei de ordinul N, d N fa, N în punctul a D?. Dacă funcţia ϕ FD, IR m este diferenţiabilă în x D şi f FϕD, IR p este diferenţiabilă în u = ϕx ϕd, precizaţi regula de calcul a diferenţialei funcţiei compuse F = f ϕ FD, IR p în x 3. Ce reprezintă din punct de vedere geometric suprafaţa r = v cos ui + v sin uj + v k, u, v [, π [,?

55 MC. 5 Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor reale Fiind dată aplicaţia S : [, π [, π] IR 3 definită prin Su, v = ru, v = a cos u sin vi + a sin u sin vj + a cos vk, în care a este o constantă pozitivă, Im S este sfera de rază a cu centrul în origine. Ce reprezintă curbele de coordonate u = c şi v = c în acest caz? 5. Elementul de arie dσ al suprafeţei de ecuaţie vectorială r = ru, v se calculează cu formula dσ = Eu, vgu, v F u, v dudv,. De ce expresia de sub radical este totdeauna pozitivă?

56 56 Autoevaluare

57 Capitolul 6 MC. 6 Aplicaţii: extreme; funcţii definite implicit; extreme condiţionate 6. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 6... Să se determine valorile extreme ale funcţiei z : IR IR, zx, y = x 3 + 3xy 5x y. Soluţie. Derivatele parţiale până la ordinul doi inclusiv ale funcţiei sunt: z x x, y = 3x + 3y 5, z x, y = 6x, x z x y x, y = 6y, z y Din anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi, se obţine z x, y = 6xy ; y x, y = 6x. { x + y = 5, xy = = { x + y = 9, xy = = { x + y = ±3, xy = Rezolvarea ultimelor două sisteme conduce la patru puncte staţionare M,, M,, M 3,, M 4,. Matricele hessiene corespunzătoare celor patru puncte staţionare sunt 6 6 H z M =, H z M =, H z M 3 =, H z M 4 = 6 6 Vom folosi metoda valorilor proprii pentru a stabili natura formelor pătratice d zm,, d zm 4 care se pot scrie în forma dx dx d zm = dx dy H z M dy,, d zm 4 =dx dy H z M 4 dy 57

58 58 Autoevaluare Se ştie că valorile proprii ale unei matrice pătratice simetrică A de ordin şi cu elementele a, a = a, a sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice P λ =, unde P λ este polinomul caracteristic al matricei a λ a P λ = det A λ I = = λ a + a λ + det A, a λ a I fiind aici matricea unitate de ordinul al doilea. O rădăcină a ecuaţiei caracteristice a unei matrice pătratice simetrică A se numeşte fie valoare proprie a acesteia, fie valoare proprie a formei pătratice f : IR IR care în baza canonică din IR are matricea A. O formă pătratică f : IR IR, care în baza canonică din IR are matricea A, are expresia analitică a a fx, x = x x x = a x + a x x + a x, a a unde x = x, x este un element oarecare al spaţiului IR. Cele patru polinoame caracteristice P λ,, P 4 λ ale respectiv celor patru hessiene ale funcţiei z în punctele sale staţionare sunt P λ = λ + 6λ 8, P λ = λ 6λ 8, P 3 λ = λ 6λ + 8, P 4 λ = λ + 6λ + 8. Pentru a determina natura unei forme pătratice f : IR IR, a cărei matrice A în baza canonică din IR are rădăcinile caracteristice λ şi λ vom ţine cont de: dacă λ > şi λ >, forma pătratică f este pozitiv definită; dacă λ < şi λ <, forma pătratică f este negativ definită; dacă λ >, iar λ =, forma pătratică f este pozitiv semidefinită; când λ < şi λ =, forma pătratică f este negativ semidefinită; dacă λ >, iar λ <, forma pătratică f este nedefinită. Natura punctului staţionar analizat depinde de natura diferenţialei a doua a funcţiei în acel punct, aceeaşi cu natura formei pătratice cu care se exprimă această diferenţială. Aplicând funcţiei z cele de mai sus, stabilim: M şi M 3 nu sunt puncte de extrem ale funcţiei z; ele sunt puncte de tip şa; M este un punct de minim local strict al funcţiei şi f min = fm = 8; M 4 este un punct de maxim local strict al funcţiei şi f max = fm 4 = 8. x Exerciţiul 6... Să se arate că funcţia z = zx, y definită implicit de ecuaţia F x, y, z =, unde F x, y, z = Φ x + z y, y + z, x iar u, v Φu, v este o funcţie reală de două variabile reale diferenţiabilă pe un domeniu D IR, este soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale x z x + y z y = z xy.

59 MC. 6 Aplicaţii ale calculului diferenţial 59 Soluţie. Dacă introducem variabilele intermediare u şi v, unde u = ux, y, z = x + z y, v = vx, y, z = y + z x, atunci putem spune că funcţia F depinde de variabilele sale x, y şi z prin intermediul variabilelor u şi v. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale variabilelor intermediare, pe care convenim să le notăm prin: u, x, y, z; u, x, y, z; u,3 x, y, z; v, x, y, z; v, x, y, z; v,3 x, y, z, sunt date de u, x, y, z =, u, x, y, z = z y, u,3x, y, z = y, v, x, y, z = z x, v,x, y, z =, v,3 x, y, z = x. Dacă convenim în plus ca derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei Φ să fie notate Φ, şi Φ,, iar cele ale funcţiei F prin F,, F, şi F,3, atunci ultimele derivate se determină din relaţiile: F, x, y, z = Φ, z x Φ,, F, x, y, z = z y Φ, + Φ,, F,3 x, y, z = y Φ, + x Φ,. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei definită implicit sunt atunci z z, = F, = x Φ, Φ, F,3 y Φ, + x Φ, z, = F, F,3 = z y Φ, Φ, y Φ, +. x Φ, Folosind aceste derivate parţiale şi efectuând combinaţia xz, + yz, constatăm că se obţine z xy, ceea ce trebuia să se arate. Exerciţiul Dintr un fier cornier de lungime de unităţi şi o foaie de sticlă cu aria egală cu 6 unităţi, urmează să se construiască un acvariu. Cum trebuiesc croite materialele astfel încât capacitatea acvariului să fie maximă? Soluţie. Acvariul are forma unui paralelipiped dreptunghic de dimensiuni x, y, z. Evident, x y z >. Atunci, capacitatea acvariului este egală cu xyz. Laturile paralelipipedului provenind din fierul cornier, însumarea lungimilor acestora trebuie să dea lungimea materialului. Cum din cele muchii ale paralelipipedului din fiecare dimensiune sunt câte 4, urmează că x + y + z = 5. Oricare dintre cele 6 feţe ale paralelipipedului este un dreptunghi de arie xy, yz, sau zx. Cum sunt câte dreptunghiuri congruente şi pentru că toate provin din aceeaşi foaie de sticlă, suma ariilor acestor feţe trebuie să fie 6. Prin urmare, xy + yz + zx = 8. Astfel, problema se reduce la o problemă de extrem condiţionat în care funcţia scop, definită pe mulţimea deschisă D = {Mx, y, z x y z > }, este fx, y, z = xyz, iar legăturile sunt: F x, y, z = x + y + z 5 =, F x, y, z = xy + yz + zx 8 =.

60 6 Autoevaluare Fie Lx, y, z; λ, µ funcţia lui Lagrange corespunzătoare Lx, y, z; λ, µ = fx, y, z + λf x, y, z + µf x, y, z. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale acestei funcţii sunt: L x, y, z; λ, µ = yz + λ + µy + z, x L x, y, z; λ, µ = zx + λ + µz + x, y L x, y, z; λ, µ = xy + λ + µx + y, z L λ x, y, z; λ, µ = F x, y, z, L µ x, y, z; λ, µ = F x, y, z. Sistemul în necunoscutele x, y, z, λ, µ, format prin anularea acestor derivate este yz + λ + µy + z =, zx + λ + µz + x =, xy + λ + µx + y =, x + y + z 5 =, xy + yz + zx 8 =. 6. Pentru a rezolva mai simplu acest sistem, observăm că primele trei ecuaţii ale sale pot fi privite ca un sistem liniar şi omogen în necunoscutele, λ şi µ. Fiindcă o soluţie a acestui sistem este nebanală prima componentă este, urmează că rangul matricii sistemului trebuie să fie mai mic decât 3 şi deci yz y + z zx z + x = = z y3x x + 8 =. xy x + y Egalarea cu zero a fiecărui factor din ecuaţia rezultată, la care se adaugă ultimele două ecuaţii ale sistemului 6., conduce la două sisteme de trei ecuaţii cu necunoscutele x, y şi z z y =, 3x x + 8 =, x + y + z 5 =, x + y + z 5 =, xy + yz + zx 8 =, xy + yz + zx 8 =. Soluţiile acestor sisteme sunt: 7,, ; 3, 4 3, 4 ;,, ;,, ; 3 4 3, 7 3, 4 3 ; 4 3, 4 3, 7 3, dar numai două se încadrează în datele problemei şi anume: 7 3, 4 3, 4 3 ;,,. Pentru a determina valorile parametrilor lui Lagrange λ şi µ corespunzătoare acestor soluţii, vom înlocui pe rând componentele acestora în primele trei ecuaţii ale sistemului 6. şi astfel găsim pentru perechea λ, µ respectiv valorile: 6 9, 4 3 ; 4,.

61 MC. 6 Aplicaţii ale calculului diferenţial 6 Prin urmare, funcţia lui Lagrange are două puncte staţionare: 7 3, 4 3, 4 3 ; 6 9, 4 3 ;,, ; 4, şi deci funcţia scop are două puncte staţionare condiţionate: 7 M 3, 4 3, 4 ; M,,, 3 corespunzătoare respectiv celor două perechi de valori ale lui λ şi µ. Diferenţierea legăturilor într un punct arbitrar al mulţimii D, conduce la dx + dy + dz =, y + zdx + z + xdy + x + ydz =, care în cele două puncte staţionare condiţionate, devin { dx + dy + dz =, 8dx + dy + dz =, { dx + dy + dz =, 3dx + dy + 4dz =. Din primul sistem obţinem dx = şi dz = dy, iar din al doilea dy = dx şi dz =. Diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei lui Lagrange, într un punct arbitrar al mulţimii D, are expresia d Lx, y, z; λ, µ = [z + µdxdy + x + µdydz + y + µdzdx]+ dx + dy + dzdλ + [y + zdx + z + xdy + x + ydz]dµ. care, în cele două puncte staţionare ale funcţiei L, devine: d L M ; 6 9, 4 = dy ; d LM ; 4, = dx. 3 Prima diferenţială este o formă pătratică negativ definită şi deci M este punct de maxim condiţionat strict, iar cea de a doua este o formă pătratică pozitiv definită, fapt ce atrage că punctul M este punct de minim condiţionat strict. Valorile extreme corespunzătoare ale funcţiei scop sunt: f max = fm = 7 ; f min = fm = 4. În concluzie, problema dată revine la dimensionarea fierului cornier în patru bucăţi a câte 5 unităţi lungime, fiecare din ele urmând a fi divizată în câte trei bucăţi cu lungimile: 7 3 ; 4 3 ; 4 3. Cât priveşte foaia de sticlă, aceasta urmează a fi croită în două părţi cu arii egale, fiecare parte fiind divizată la rându i în trei bucăţi având ariile: 8 9 ; 8 9 ; 6 9. Aşadar, se comandă foaia de sticlă cu lungimea de 6 unităţi şi lăţimea de 8 3 unităţi. Foaia astfel comandată se divizează în două părţi identice cu dimensiunile 6 şi 4 3. Din fiecare parte se extrage un pătrat cu latura 4 3, iar din cele două bucăţi rămase se croiesc câte două dreptunghiuri identice de dimensiuni 7 3 şi 4 3. Exerciţiul Transformaţi ecuaţia introducând noile variabile independente y z x x z = y xz y u = x + y, v = x + y şi noua funcţie necunoscută w = x y + ln z.

62 6 Autoevaluare Soluţie. Diferenţiind legăturile dintre variabile, obţinem du = xdx + ydy, dv = x dx y dy, dw = dx dy + z dz. Pe de altă parte dw = w w du + u v dv. Egalând expresiile diferenţialei funcţiei w, avem de unde rezultă Pe de altă parte, dz = z x dx dy + dz = xdx + ydy w z u x dx + w y dy v, dz = z x w u w x v + dx + z y w u w y v + dy. z dx + dy. Folosind unicitatea expresiei diferenţialei funcţiei z, deducem y Cu acestea, ecuaţia iniţială ia forma mai simplă zx y zy w x v z x = z x w u w x v +, z = z y w y u w y v +. = = w v =, ce se poate integra, soluţia sa generală fiind w = fu, unde f este o funcţie diferenţiabilă arbitrară. Ţinând cont de legătura dintre variabile, găsim că este soluţia generală a ecuaţiei iniţiale. zx, y = e x+y+fx +y Exerciţiul Să se determine valorile extreme ale funcţiei f : K IR, fx, y, z = x + y + 3z, definită pe mulţimea compactă K = {x = x, y, z x + y + z } IR 3. Soluţie. Faptul că funcţia f este definită pe o mulţime compactă bila închisă în IR 3 de rază cu centrul în origine implică despărţirea problemei determinării valorilor sale extreme întâi în interiorul mulţimii K şi apoi pe frontiera acesteia. Deoarece funcţia f este diferenţiabilă în interiorul mulţimi K, pentru a afla valorile sale extreme în punctele interioare ale lui K procedăm analog cu determinarea punctelor de extrem local ale unei funcţii reale de mai multe variabile reale definită pe o mulţime deschisă. Sistemul format prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f are doar soluţia,, şi deci singurul punct staţionar al funcţiei f este originea reperului. Diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei f în origine este d f,, = dx + 4dy + 6dz

63 MC. 6 Aplicaţii ale calculului diferenţial 63 şi este evident că este o formă pătratică pe IR 3, pozitiv definită. Prin urmare, în origine, funcţia f are un punct de minim iar valoarea minimă este zero. Să determinăm valorile extreme ale funcţiei f pe frontiera domeniului acesteia care este sfera de ecuaţie F x, y, z = x + y + z =. Deci trebuie să rezolvăm o problemă de extrem condiţionat. Pentru aceasta, introducem funcţia lui Lagrange Lx, y, z; λ = fx, y, z + λf x, y, z căreia îi determinăm punctele critice ale căror coordonate sunt soluţii ale sistemului xλ + =, yλ + =, zλ + 3 =, x + y + z =, format prin anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei L. Găsim trei puncte staţionare ale funcţiei L,, ;,,, ;,,, ; 3 din care deducem că funcţia f are punctele staţionare condiţionate M,,, M,,, M 3,, corespunzătoare respectiv valorilor,, 3 ale multiplicatorului λ a lui Lagrange. Diferenţiala de ordinul a funcţiei lui Lagrange L într un punct oarecare de pe sferă are expresia d Lx, y, z; λ = λ + dx + λ + dy + λ + 3dz + 4xdx + ydy + zdzdλ, expresie ce se modifică dacă ţinem cont că între diferenţialele variabilelor există legătura xdx + ydy + zdz =. Astfel, d Lx, y, z; λ = λ + dx + λ + dy + λ + 3dz. iar în punctele staţionare avem d LM ; = dy + dz, d LM ; = dz dx, d LM 3 ; 3 = dx + dy. Prima diferenţială este o formă pătratică pozitiv definită, a doua este formă pătratică nedefinită, în timp ce a treia diferenţială este formă pătratică negativ definită. Rezultatele găsite arată că pentru funcţia f M este punct de minim condiţionat strict, M este un punct de tip şa, iar M 3 este punct de maxim condiţionat strict. Prin urmare în punctele sferei de rază cu centrul în origine, funcţia f are o valoare minimă egală cu fm = şi o valoare maximă fm 3 = 3. Luând în calcul şi valorile pe care le ia funcţia f în interiorul domeniului de definiţie, rezultă că cea mai mică valoare a funcţiei este zero, atinsă în origine, iar cea mai mare valoare este 3, luată într un punct de pe frontiera domeniului K. Exerciţiul Să se arate că funcţia fx, y = +e y cos x y e y, definită pe mulţimea IR, are o infinitate de maxime şi nici un minim.

64 64 Autoevaluare Soluţie. Rezolvând sistemul f x = f y = obţinem punctele staţionare: M k kπ, ; M k+ k + π,, k Z, în care trebuie să calculăm diferenţiala a doua. Diferenţiala a doua a funcţiei f într un punct curent al domeniului de definiţie este diferenţiala primei diferenţiale. Se găseşte d fx, y = + e y cos xdx e y sin xdxdy + e y cos x y dy. Diferenţialele de ordinul doi în punctele staţionare M k d fm k = dx dy sunt forme pătratice negativ definite. Prin urmare M k sunt puncte de maxim. Evident, sunt o infinitate de puncte de maxim. Diferenţialele de ordinul doi în punctele staţionare M k+ d fm k+ = + e dx e dy sunt forme pătratice nedefinite. Deci M k+ sunt puncte şa. 6. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul 6... Să se determine punctele de extrem ale funcţiilor: a fx, y = sin x + sin y + sin x + y, x, y, π, π ; b fx, y, z = x + y 4x + z y +, x >, y >, z >. z Indicaţie. Se determină punctele staţionare. Se calculează diferenţiala a doua în punctele staţionare. Se studiază natura formelor pătratice găsite. π Răspuns. a Un singur punct staţionar, M 3, π, care este punct de maxim. b Un singur punct staţionar, 3 M,,, care este punct de minim. Exerciţiul 6... Să se arate că funcţia z = zx, y definită implicit de ecuaţia F x, y, z =, unde F x, y, z = Φx + y + z, x + y + z, iar u, v Φu, v este o funcţie reală de două variabile reale diferenţiabilă pe un domeniu D IR, este soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale y z z z + z x x y = x y.

65 MC. 6 Aplicaţii ale calculului diferenţial 65 Indicaţie. Variabilele intermediare u şi v au expresiile u = ux, y, z = x + y + z, v = vx, y, z = x + y + z. Dacă convenim ca derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei Φ să fie notate Φ, şi Φ,, iar cele ale funcţiei F prin F,, F, şi F,3, atunci ultimele derivate se determină folosind regulile de derivare ale unei funcţii compuse, iar z x şi z y se calculează după formulele z x = F, F,3, z y = F, F,3. Răspuns. Derivatele parţiale z x = Φ, + xφ, Φ, + zφ, din enunţ. şi z y = Φ, + yφ, Φ, + zφ, verifică ecuaţia cu derivate parţiale Exerciţiul Sistemul de ecuaţii algebrice { u + v = x + y xu + yv = defineşte implicit funcţiile u = ux, y şi v = vx, y. Să se determine diferenţialele acestor funcţii şi să se verifice rezultatul. Indicaţie. Se diferenţiază sistemul. Se obţine { du + dv = dx + dy xdu + ydvv = udx vdy din care se pot calcula diferenţialele. Pe de altă parte, sistemul se poate rezolva în privinţa lui u şi v, astfel că verificarea rezultatului se poate face diferenţiind direct expresiile lui u = ux, y şi v = vx, y. Răspuns. du = y + u y x dx + y + v x + u dy, dv = y x x y dx + x + v x y dy. Exerciţiul Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei scop fx, y, z = x + y + z cu legăturile F x, y, z = şi F x, y, z =, unde F x, y, z = x + y + z, F x, y, z = x + y + z. Daţi o interpretare geometrică problemei rezolvate. Indicaţie. Se scrie funcţia lui Lagrange Lx, y, z; λ, λ = fx, y, z + λ F x, y, z + λ F x, y, z căreia i se determină punctele staţionare. Rezultă două asemenea puncte. Se calculează diferenţiala a doua a funcţiei lui Lagrange în aceste puncte ţinându se cont de legături. Se constată că nu este nevoie să mai diferenţiem legăturile pentru că d Lx, y, z; λ, λ = λ dx + dy + dz. Răspuns. M,, pentru λ = 4, λ = 4 şi M 9, 7 9, 4 pentru λ = 9 4, λ = 8. Rezultă M punct de maxim şi M punct de minim. În legătură cu interpretarea geometrică, se observă că funcţia scop este, până la factorul 3, distanţa de la punctul Mx, y, z al curbei de intersecţie dintre sfera X + Y + Z = şi planul X + Y + Z = un cerc trasat pe sferă la planul X + Y + Z = care trece prin origine. Exerciţiul Să se determine marginile funcţiei fx, y = x + xy în compactul K = {x, y IR y x, y x }. Indicaţie. Sunt trei probleme de rezolvat:

66 66 Autoevaluare extremele libere locale ale funcţiei f pe domeniul mărginit de parabolele care definesc compactul K; extremele condiţionate ale funcţiei f cu legătura x y = ; 3 extremele condiţionate ale funcţiei f cu legătura x + y =. Pentru prima problemă se găseşte că originea este punct şa. Problemele şi 3 se rezolvă cu metoda multiplicatorilor a lui Lagrange. Răspuns. M, punct de maxim, iar M 3, 4 punct de minim, ambele aflate pe prima parabolă 9 care face parte din frontiera mulţimii compacte K. Pe cea de a doua parabolă, punctul M 3, este de maxim, iar M 4 3, 4 este punct de minim al funcţiei f. 9 Exerciţiul Să se determine punctele de extrem ale funcţiei reale definită pe semispaţiul x + y + z >. fx, y, z = x + y + 3z 3 lnx + y + z Indicaţie. Se determină punctele critice ale funcţiei f. În fiecare punct critic se calculează diferenţiala a doua a funcţiei f şi se studiază natura sa pentru a vedea dacă punctul staţionar respectiv este sau nu punct de extrem. Răspuns. M 6,, 5, punct de minim. Punctul staţionar M 3 6,, nu este punct de extrem: este 3 punct şa. 6.3 Întrebări de autoevaluare. Care este condiţia necesară de extrem într un punct x D IR n a unei funcţii reale de mai multe variabile reale f diferenţiabilă pe domeniul D?. Cum se numeşte punctul x în care se anulează prima diferenţială a funcţiei f, dar care nu este punct de extrem? Dacă dfx = şi f este funcţie diferenţiabilă de două ori în punctul x, care este condiţia suficientă pentru ca f să aibă punct de maxim în x? Dar punct de minim? 3. Cum se formulează teorema funcţiilor implicite în cazul unei funcţii reale f de n variabile reale definită implicit de ecuaţia F x, x,..., x n ; y =? Daţi o demonstraţie pentru expresia derivatelor parţiale de ordinul întâi ale funcţiei f. 4. Cum se determină extremele locale ale funcţiei y = fx, x,..., x n definită implicit de ecuaţia atunci când acest lucru este posibil? F x, x,..., x n ; y =, 5. Ce este un punct staţionar? Dar un punct staţionar condiţionat? Cum se determină punctele staţionare condiţionate ale funcţiei scop z = fx, y ale cărei variabile sunt supuse la legăturile Fx, y =, unde F = F, F,..., F m, x = x, x,..., x n şi y = y, y,..., y m?

67 Capitolul 7 MC. 7 Integrale improprii 7. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 7... Studiaţi natura integralei improprii de speţa întâi I n = şi în caz de convergenţă stabiliţi valoarea sa. dx x + n, n IN Soluţie. Pentru a se urmări studiul naturii integralei improprii reamintim un set de definiţii. Precizăm că a şi b sunt elemente din IR = IR {, + } cu proprietăţile < a < b +, iar f : [a, b IR, 7. este o funcţie integrabilă Riemann pe orice interval compact [a, t] [a, b şi nemărginită într o vecinătate a lui b dacă b IR. Definiţia 7... Limita în punctul t = b a funcţiei F : [a, b IR, F t = t a fxdx 7. se numeşte integrală improprie cu limita superioară de integrare punct singular şi se notează cu simbolul b a fxdx. 7.3 Din această definiţie rezultă b a fxdx = lim t b F t = lim t b t a fxdx. 7.4 Definiţia 7... Funcţia f se numeşte integrabilă în sens generalizat dacă există şi este finită limita funcţiei F pentru t b. 67

68 68 Autoevaluare Definiţia Dacă funcţia 7. este integrabilă în sens generalizat, spunem că integrala improprie 7.3 este convergentă; dacă limita pentru t b a funcţiei 7. este infinită sau nu există, integrala improprie 7.3 se numeşte divergentă. Definiţia Prin natura unei integrale improprii se înţelege proprietatea sa de a fi convergentă sau divergentă. În baza acestor definiţii rezultă că trebuie să studiem limita la infinit a funcţiei F n : [, IR, F n t = t dx x + n, n IN. 7.5 În prealabil, vom stabili o relaţie de recurenţă între termenii şirului de funcţii F n n IN. Mai întâi avem F n t = t care se poate scrie şi în forma x + x t x + n dx = dx x + n F n t = F n t Folosind metoda integrării prin părţi alegând ux = x, v x = x + n x β α ux v xdx = t t x x x + n dx, x x + n x dx. 7.6 β β ux vx u x vxdx. α α şi utilizând u x = şi vx = x + n+ n + = n x, din 7.6 obţinem + n F n t = F n t + Deducem astfel relaţia de recurenţă anunţată F n t = x t n x + n n F n t. n t n 3 t + + n n F n t, n IN, n. 7.7 Deoarece lim t n t t =, din 7.7 putem afirma că dacă integrala improprie + n I n = dx x + n este convergentă, atunci este convergentă. I n = dx x + n Se impune aşadar să studiem natura integralei improprii I = calculată limita la infinit a funcţiei F t = t dx + x. dx x, ceea ce înseamnă că trebuie +

69 MC. 7 Integrale improprii 69 Cum F t = arctg x t = arctg t şi lim F t = π t, rezultă că integrala improprie I este convergentă şi I = π. 7.8 Din afirmaţia precedentă rezultă că I este convergentă, care antrenează I 3 convergentă şi, continuând astfel, ajungem la concluzia că I n este integrală improprie convergentă. Deci, lim t F nt = I n, n IN. 7.9 Efectuând limită la infinit în relaţia de recurenţă 7.7 şi folosind 7.9, obţinem I n = n 3 n I n, n IN, n. 7. Aşadar, I n = n 3 n I n = n 3 n 5 n n 4 I n 3 n 5 n n =... = n n 4 n I. 7. Din 7.8 şi 7. deducem I n = Relaţia 7. poate fi scrisă şi în forma n 5 n n 4 n π. 7. I n = n 3!! n!! π. 7.3 Observaţia 7... Simbolul!! se citeşte semifactorial. De exemplu: n!! = n 3 n n!! = n n. Exerciţiul 7... Studiaţi natura integralei improprii de speţa întâi şi în caz de convergenţă stabiliţi valoarea ei. I = dx x + x Soluţie. Conform exerciţiului precedent, trebuie calculată integrala F t = F t = t dx x x + = 3 t t x dx = ln x t = x + 3 x + 3 dx x + x. Avem ln 4t t +.

70 7 Autoevaluare Să calculăm limita la infinit a funcţiei F t. Găsim 4t lim F t = lim ln = t t 3 t + 3 ln 4 = ln. 3 Aşadar, integrala I este convergentă şi valoarea sa este I = ln. 3 Exerciţiul Arătaţi că integrala improprie de speţa doua este convergentă şi determinaţi valoarea sa. I = dx x x Soluţie. Funcţia de integrat fx = x este definită pe intervalul [,. În vecinătatea punctului x x = funcţia f este nemărginită ceea ce arată că x =, limita superioară a intervalului de integrare, este punct singular. Convergenţa integralei improprii se stabileşte folosind criteriul în α lim x x/ fx = lim x / x x x = lim x x x x = lim x x =. Deoarece α = < rezultă că I este convergentă. Pentru determinarea valorii lui I utilizăm metoda schimbării de variabilă. Prin schimbarea x = t = ϕt, noile limite de integrare sunt şi, iar funcţia de integrat este fϕt ϕ t =. Astfel, integrala + t improprie I se transformă în integrala proprie I = + t dt = dt + t = arctg t = π 4 = π. Prin urmare I este integrală improprie convergentă şi are valoarea I = π. Exerciţiul Să se studieze integrala improprie I = arctg x + x + x dx. arctg x Soluţie. Funcţia de integrat fx = + x este mărginită pe intervalul nemărginit [,, deci avem + x de a face cu o integrală improprie de primul tip. Pentru studiul naturii integralei improprii I aplicăm primul crieriu de comparaţie. Majorând funcţia arctg x cu π şi ţinând cont că pe intervalul [, are loc inegalitatea + x + x > x 3, rezultă că π fx < x 3. Constatăm apoi că integrala improprie de primul tip dx, a > este convergentă. a x3 Conform criteriului menţionat, integrala improprie I este convergentă. π

71 MC. 7 Integrale improprii 7 Dacă luăm: se găseşte u = arctg x; dv = du = dx + x + x, dx + x ; v = x + x, unde v este o primitivă a funcţiei + x. Această primitivă s a determinat utilizând schimbarea de + x tg t variabilă x = tg t, ajungându se la o primitivă funcţiei cos t, care este sin t. Cum sin t = şi tg t = x, + tg x x suntem conduşi la v =. + x Astfel că arctg x + x + x dx = x arctg x x + x + x + x dx. Calculul ultimei integrale se face folosind schimbarea de variabilă x = tg t. Intervalul de integrare trece în compactul [, π ], iar funcţia de integrat devine sin t sau arctg x + x + x dx = x π arctg x sin tdt + x arctg x + x + x dx = x arctg x π + cos t = π + x. Prin urmare, valoarea integralei I este I = π. Exerciţiul Să se studieze natura integralei improprii de tipul al doilea I = şi în caz de convergenţă să i se determine valoarea. dx + x 4 x Soluţie. Singularitatea funcţiei de integrat fx = + x se află în limita superioară de integrare. 4 x Având în vedere că lim xfx =, conform criteriului de comparaţie în α, deducem că integrala impro- x prie I este convergentă deoarece α = <. Pentru calculul integralei se foloseşte schimbarea de variabilă x = sin t = ϕt. Prin această schimbare de variabilă, intervalul de integrare trece în compactul [, π ], iar funcţia de integrat devine Se obţine astfel că I este integrala proprie Ultima integrală fiind de forma b a fϕtϕ t = I = π + 4 sin t. dt + 4 sin t. Rsin t, cos tdt, unde Rsin t, cos t este o funcţie pară în sin t şi cos t, se face substituţia tg t = u şi astfel integrala I devine o integrală improprie de primul tip, convergentă, a cărei

72 7 Autoevaluare valoare este Aşadar, I = π 5. I = du + 5u = arctg u 5 5 = π 5 = π Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul 7... Studiaţi convergenţa integralei improprii şi în caz afirmativ calculaţi valoarea sa. I = dx + x 4 Indicaţie. Funcţia de integrat fx = este mărginită pe intervalul nemărginit [,, deci avem o + x4 integrală improprie de primul tip. Pentru studiul convergenţei lui I aplicăm criteriul în α. Cum α = 4 >, I este convergentă. Pentru calculul valorii lui I scriem şi descompunem în fracţii simple. Răspuns. I = π 4. fx = x x + x + x + Exerciţiul 7... Studiaţi convergenţa integralei improprii şi în caz afirmativ calculaţi valoarea sa. I = dx x + 4x + x + Indicaţie. Funcţia de integrat fx = x + este mărginită pe intervalul nemărginit [,, deci 4x + x + avem o integrală improprie de primul tip. Pentru studiul convergenţei lui I aplicăm criteriul în α. Se găseşte α = 3 >, deci I este convergentă. Pentru calculul valorii lui I efectuăm schimbarea de variabilă substituţia lui Euler 4x + x + = t x = x = t 4t + = ϕt. Noul interval de integrare este [,, iar funcţia de integrat devine fϕtϕ t = Răspuns. ln 5. t + 4t.

73 MC. 7 Integrale improprii 73 Exerciţiul Studiaţi natura integralei improprii I = x ln x x dx. Indicaţie. Deoarece pentru x =, numitorul fracţiei de sub integrală se anulează, trebuie studiată natura următoarelor integrale improprii generalizate: I = x ln x x dx; I = x ln x x dx; I 3 = v x ln x x dx. x ln x Se arată că integrala I este divergentă arătând că integrala Ju, v = u x dx, unde < u < v <, nu are limită finită când u şi v. Pentru aceasta se face integrarea prin părţi în integrala Ju, v, observând x că x =. v Se ajunge la integrala x u xx dx care se calculează descompunând fracţia xx în fracţii simple. Răspuns. Divergentă. Exerciţiul Să se studieze natura integralei improprii de tipul al doilea I = x x 3 x dx. Indicaţie. Punctul singular al funcţiei de integrat fx = x x 3 se află în origine. Se aplică criteriul în α. x Răspuns. Integrala I este divergentă. Exerciţiul Să se arate că integrala improprie de speţa a doua b x a I = x dx, a < b, b x este convergentă şi apoi să se determine valoarea sa. a Indicaţie. Integrala este convergentă în baza criteriului de comparaţie în α, unde α = <. Cu substituţia x = a cos t + b sin t integrala I devine integrala proprie π I = b a sin ta cos t + b sin tdt. Răspuns. I = π b aa + 3b. 8

74 74 Autoevaluare 7.3 Întrebări de autoevaluare. În ipoteza că f : [a, b IR, unde < a < b <, este o funcţie nemărginită în vecinătatea lui b şi integrabilă Riemann pe orice compact [a, t] [a, b, se poate introduce simbolul b a fxdx, 7.4 denumit integrală improprie de tipul al doilea cu punctul singular în limita superioară de integrare. Puteţi enunţa criteriul lui Cauchy de convergenţă a integralei improprii 7.4? Dar demonstraţia, o puteţi prezenta? Se cere justificare pentru fiecare răspuns da.. Enunţaţi şi demonstraţi criteriul lui Abel de convergenţă a integralei improprii b a fxhxdx, 7.5 cu integrantul de semn variabil şi singularitatea în limita superioară de integrare. 3. Enunţaţi şi demonstraţi criteriul lui Dirichlet de convergenţă a integralei improprii 7.5 cu integrantul de semn variabil şi singularitatea în limita superioară de integrare. 4. Prin ce se deosebesc criteriile de convergenţă ale lui Abel şi Dirichlet pentru integrale improprii 7.5? 5. Cum se numeşte integrala improprie b a fxdx, < a < c < b <, unde f : [a, c c, b] IR este funcţie nemărginită într o vecinătate a punctului x = c şi integrabilă Riemann pe orice compact de forma [a, u] [v, b], cu a < u < c < v < b, care este divergentă, dar pentru care există şi este finită limita Ce nume poartă limita din 7.6? lim ε c ε a b fxdx + fxdx? 7.6 c+ε

75 Capitolul 8 MC. 8 Integrale depinzând de un parametru 8. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 8... Utilizând posibilitatea derivării sub semnul integrală să se calculeze Jy = π + y sin x ln sin x y sin x dx. Soluţie. Funcţia Jy este definită printr o integrală proprie deoarece funcţia de sub semnul integrală are limită în origine şi deci poate fi prelungită prin continuitate în x =. Fiindcă sunt îndeplinite ipotezele teoremei de derivare a integralelor depinzând de un parametru, putem scrie π J dx y = y sin x. Cu substituţia tg x = t obţinem J y =, de unde deducem Jy = arcsin y + C. Constanta reală C y se determină din J = şi se găseşte C =. Prin urmare Jy = arcsin y. Exerciţiul 8... Ştiind că integrala lui Poisson să se arate că = x π e z dz = Folosind acest rezultat să se arate că au loc următoarele egalităţi: cos x x dx = cos x dx = e z dz este convergentă şi are valoarea π, adică π, 8. e zx dz, x >. 8. sin x x dx = sin x dx = π ; 8.3 π ;

76 76 Autoevaluare Soluţie. Dacă în integrala din 8. facem schimbarea de variabilă z = t x, unde x > se consideră fixat, dar arbitrar, se obţine 8.. Pentru determinarea valorii primei integrale din 8.3 folosim 8. şi integrabilitatea integralelor improprii depinzând de un parametru. Astfel, avem cos x x dx = cos x π Folosind de două ori integrarea prin părţi, obţinem e zx dz dx = π e zx cos x dx = e zx cos x dx dz. 8.5 z + z Din 8.5 şi 8.6 rezultă cos x dx = z dz. 8.7 x π + z4 Considerăm integralele improprii A = A B conduc la din care deducem A + B = A B = z dz din 8.7 şi B = dz. Combinaţiile A + B şi + z4 + z4 z z z dz = arctg z + z z z + z z + dz = ln z z + z + z + z = π =, A = B = π cos x π Din 8.7 şi 8.8 rezultă că dx = x. Pentru cealaltă integrală cerută în 8.3, calculele sunt similare. Dacă în integrala improprie cos x dx efectuăm schimbarea de variabilă x = t şi folosim 8.3, se obţine cos x dx = cos t dt = π t. Analog se determină valoarea celeilalte integrale din 8.4. Integralele din 8.4 sunt cunoscute ca integralele lui Fresnel, utilizate în optică. Exerciţiul Să se arate că funcţia J definită prin integrala verifică egalitatea Jx = π π e ax Jxdx = cos x sin θdθ + a, a >.

77 MC. 8 Integrale depinzând de un parametru 77 Soluţie. Utilizând integrabilitatea integralelor improprii uniform convergente, putem scrie π e ax Jxdx = e ax cos x sin θdθ dx = π e ax cos x sin θdx dθ. 8.9 π π Integrarea prin părţi de două ori în e ax cos x sin θdx conduce la concluzia e ax cos x sin θdx = a a + sin θ. 8. Astfel, se obţine e ax Jxdx = π π a a + sin dθ. 8. θ Dacă în 8. efectuăm schimbarea de variabilă tg θ = t se obţine rezultatul dorit. Exerciţiul Calculând mai întâi funcţia Jy definită prin integrala depinzând de parametrul y > să se determine funcţia F y = π Jy = dx y + cos x. π dx y + cos x, Soluţie. Integrala se calculează efectuând schimbarea de variabilă tg x = t. Noile limite de integrare sunt şi, iar funcţia de integrat devine yt + + y. Astfel, dt Jy = yt + + y = dt y t + y = y y y + y arctg t = π + y. yy + + y Observând că F y = J y şi folosind pentru Jy expresia Jy = π y + y, deducem F y = πy + 4yy + yy +. Exerciţiul Să se arate că pentru funcţia y 3 y fx, y = x e x, dacă x, ] şi y IR, dacă x = şi y IR nu are loc formula lui Leibniz de derivare a unei integrale depinzând de un parametru, adică d dy fx, ydx f x, ydx. 8. y

78 78 Autoevaluare Soluţie. Considerând că punctul x, y, ] IR se află pe parabola y = x şi efectuând limita în origine a restricţiei funcţiei f la parabolă, găsim că aceasta nu există. Prin urmare lim fx, y f, =, x,y, ceea ce arată că funcţia f nu este continuă. În schimb, funcţia fx, : IR IR, cu valorile date în enunţ, este continuă oricare ar fi x [, ]. Cu schimbarea de variabilă de integrare obţinem că funcţia este bine definită şi de unde deducem d dy Jy = d dy Jy = y x = t, 8.3 y y 3 x e x dx. 8.4 Jy = ye y, 8.5 fx, ydx = y e y = J y. 8.6 Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y şi f x, y = y y x e y x, y = 3 y, y x 8.7 şi atunci pentru y f y x, ydx = y x e Utilizând schimbarea de variabilă 8.3, din 8.8 obţinem Pentru y = vom avea f x, ydx = y y dx =, prin urmare y x 3 y dx. 8.8 x 3 + te t dt = y e y. 8.9 f y x, ydx y= =. 8. Pe de altă parte, din 8.5 deducem J =. 8. Analizând raţionamentul constatăm că are loc 8.. Exerciţiul Să se exprime printr o integrală Euler, următoarele integrale I = dx + x n, I = a b a x p x b q dx.

79 MC. 8 Integrale depinzând de un parametru 79 Soluţie. În integrala I facem schimbarea de variabilă I = = t. Obţinem + x t n 3 t dt = n B, În integrala I se face schimbarea de variabilă t = x b a b = şi se obţine I = a b p+q Bp, q. Γn Γ n Γ. Dacă se ţine cont că Bp, q = Bq, p, se poate da şi altă expresie lui I. Aici Γ şi B sunt funcţiile lui Euler. 8. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul 8... Utilizând posibilitatea derivării sub semnul integrală, să se calculeze integralele: J y = π lny sin x dx, y > ; J y = π arctg y sin x sin x dx. Indicaţie. În fiecare dintre integralele obţinute prin derivare π J y = y se face schimbarea de variabilă tg x = t. π dx y sin x ; J y = dx + y sin x Răspuns. J y = π ln y + y, J y = ln y + + y. Exerciţiul 8... Ştiind că pentru a b > avem să se calculeze integrala π Ja, b = dx a cos x + b sin x = π dx a cos x + b sin x. π ab, 8. Indicaţie. Se derivează parţial în egalitatea 8. folosind formula lui Leibniz de derivare a unei integrale depinzând de mai mulţi parametri. Răspuns. Ja, b = π 4ab a + b.

80 8 Autoevaluare Exerciţiul Ce se poate spune despre funcţia Bessel de indice întreg J n x = π π cos nϕ x sin ϕdϕ, n Z 8.3 în legătură cu ecuaţia diferenţială Bessel de ordin întreg x y + xy + x n y =? 8.4 Indicaţie. Se derivează de două ori în 8.3 folosind formula lui Leibniz de derivare a unei integrale depinzând de un parametru, obţinând astfel J nx şi J nx. Se arată că x J nx + xj nx + x n J n x =. 8.5 Răspuns. Relaţia 8.5 arată că funcţia Bessel de indice întreg 8.3 este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale Bessel de ordin întreg 8.4. Exerciţiul Să se studieze convergenţa integralelor improprii: I = x n e x dx; I = dx. x m n Indicaţie. În I se face substituţia x = t, iar în I se schimbă variabila de integrare prin x m = t. Răspuns. I = Γ n +, I = m B m,, unde B şi Γ sunt funcţiile lui Euler. n Exerciţiul Observând că x y dx =, unde y, să se calculeze integrala depinzând de parametru y unde m este număr natural cu m. Jy = x y ln m x dx 8.6 Indicaţie. Se derivează de m ori în egalitatea 8.6. Răspuns. Jy = m m! y m Întrebări de autoevaluare. În ce condiţii putem calcula J y dacă Jy = by fx, ydx? Dar dacă Jy = ay a fx, ydx?. Definiţi uniforma convergenţă a integralelor improprii de prima speţă şi a doua speţă care depind de

81 MC. 8 Integrale depinzând de un parametru 8 parametrul y. 3. Enunţaţi criteriul de convergenţă uniformă al lui Weierstrass. 4. Care sunt integralele Γ şi B ale lui Euler? Expuneţi câteva dintre proprietăţile lor. 5. Care sunt integralele Cauchy Frullani? şi cât este această valoare? În ce condiţii se poate determina valoarea unei astfel de integrale

82 8 Autoevaluare

83 Capitolul 9 MC. 9 Integrale curbilinii 9. Exerciţii rezolvate Exerciţiul 9... Să se calculeze integrala curbilinie de primul tip { I = ye x x = ln + t ds, C : y = arctg t t C, t [, ] Soluţie. Conform expresiei elementului de arc ds al unei curbe netede, au loc relţiile ds = x t + y t dt t = + t + + t dt = + t + t dt = dt. Aplicând formula de calcul a unei integrale curbilinii de primul tip, obţinem: I = I = I = arctg t te ln+t dt; arctg t I = arctg t dt; + t t + t arctg t darctg t ln + t ; ln = π 6 ln. Exerciţiul 9... Să se calculeze integrala curbilinie de primul tip I = x = t C xyzds, curba C având ecuaţiile y = 3 t 3 z = t, t [, ] 83

84 84 Autoevaluare Soluţie. Conform expresiei elementului de arc ds al unei curbe netede, au loc relţiile ds = x t + y t + z t dt; ds = + 4t4 t 3 + t dt = + tdt. Aplicând formula de calcul a unei integrale curbilinii de primul tip, obţinem: I = I = I = t 3 t3 t + tdt; t t + + ; Exerciţiul Să se calculeze integrala curbilinie de al doilea tip: x = e t I = xdx + xydy + xyzdz, unde curba C are ecuaţiile : y = e t C z = t, t [, ] Soluţie. Ţinând cont de reprezentarea parametrică a curbei C, avem: dx = e t dt, dy = e t dt, dz = dt. Rezultă atunci I = = [ e t e t + e t e t e t + e t e t t ] dt = et + e t + t = e + e + = e + e. e t e t + tdt = Exerciţiul Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al firului material omogen, având densitatea ρx, y = şi reprezentarea parametrică { x = a cos 3 t, t [, π], a >. y = a sin 3 t Soluţie. Masa firului material este M = ρds. Coordonatele centrului de greutate sunt date de: C x G = xρds, y G = yρds; M M C C

85 MC. 9 Integrale curbilinii 85 ds = x t + y t dt; { x = 3a cos t sin t y = 3a sin t cos t. Conform expresiei elementului de arc, avem ds = 9a cos 4 t sin t + 9a sin 4 t cos tdt = 3a sin t cos t dt. Celelalte elemente se determină folosind formula de calcul a unei integrale curbilinii de primul tip. Se obţin: M = π = 3a 3a sin t cos t dt = 3a π M = 3a sin t x G = M = a C π C π sin t cos tdt 3a π xρds = 3a 3a sin t C cos 4 t sin tdt a C π π π π π xds = 3a π π = a cos5 t 5 + a cos5 π t 5 π y G = yρds = yds = M 3a 3a = a = a sin5 t 5 sin 4 t cos t dt = a π a sin5 t 5 π π π π = a sin t cos t dt = sin t cos tdt; = 3a 3a = 3a; π cos 4 t sin tdt = a cos 3 t 3a sin t cos t dt = = a 5 + a = ; 5 π a sin 3 t 3a sin t cos t dt = sin 4 t cos tdt a π π 5 a 5 sin 4 t cos tdt = = a 5. kxi + yj + zk Exerciţiul Să se calculeze lucrul mecanic al forţei F = z, când punctul de aplicaţie se x + y + z deplasează pe dreapta C de ecuaţii parametrice x = at y = bt, t [, ]. z = ct Soluţie. Lucrul mecanic efectuat de forţa F pe dreapta C are expresia L = F dr = Xdx + Y dy + Zdz. C C

86 86 Autoevaluare Avem: kx F = z x + y + z i ky z x + y + z j + kz z x + y + z k; dr = dx i + dy j + dz k; L = F dr = k C Din ecuaţiile parametrice ale lui C obţinem: C x z x + y + z dx + y z x + y + z dy + dx = a dt, dy = b dt, dz = c dt; z z x + y + z dz. at a + bt b + ct c L = k ct a + b + c dt = k a t + b t + c t c dt a + b + c t = = k a + b c + c ln t = k a + b c + c ln. 9. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul 9... Să se calculeze integrala curbilinie de primul tip: I = y 5 ds; C : x = y4, y [, ] 4 C Indicaţie. Parametrul pe curbă este y, deci ds = + f y dy = + y 6 dy. Răspuns. I = Exerciţiul 9... Să se calculeze integrala curbilinie de al doilea tip: { x = cos t I = y dx x dy; C :, t [, π]. y = sin t C Indicaţie. Se aplică formula de calcul a unei integrale curbilinii de al doilea tip. Răspuns. I =.

87 MC. 9 Integrale curbilinii 87 Exerciţiul Să se calculeze integrala curbilinie, constatând în prealabil că este independentă de drum: I = yzdx + xzdy + xydz. Capetele curbei de integrare sunt punctele A,,, B, 3,. C P Indicaţie. Se arată că: y = Q x ; Q z = R y ; yzdx + zxdy + xydz poate fi Ux, y, z = xyz. P z = R. O primitivă a expresiei diferenţiale ω = x Răspuns. I = 6. Exerciţiul Să se calculeze coordonatele centrului de greutate a firului material, având densitatea ρ = şi reprezentarea parametrică x = e t cos t C : y = e t sin t, t, ]. z = e t Indicaţie. Se folosesc expresiile de calcul pentru masă şi coordonatele centrului de greutate G. Răspuns. M = 3; G 5, 5,. Exerciţiul Să se calculeze lucrul mecanic al forţei F = kxi + yj, când punctul de aplicaţie se deplasează pe curba { x = a cos 3 t [ C :, t, π ]. y = b sin 3 t Indicaţie. Lucrul mecanic L este dat de L = C F dr. Răspuns. L = ka b. 9.3 Întrebări de autoevaluare. Care sunt proprietăţile relaţiei de echivalenţă în mulţimea drumurilor din plan?. Dacă reprezentarea parametrică a drumului d neted în spaţiu este: x = ϕt d : y = ψt, t [a, b] z = χt

88 88 Autoevaluare Ce reprezintă ld = b a ϕ t + ψ t + χ t dt = b a dr dt t dt? 3. Dacă AB este un arc de curbă din planul Oxy, neted sau neted pe porţiuni, iar ρ este o funcţie continuă, pozitivă în punctele lui AB, ce semnificaţie are numărul ρx, yds? AB 4. Pentru firul material spaţial de configuraţie AB şi densitate ρx, y, z, ce reprezintă numerele: I O = x + y + z ρx, y, zds; I Ox = I Oxz = AB AB y + z ρx, y, zds; y ρx, y, zds? AB 5. Dacă P, Q şi R sunt componentele unei forţe F care acţionează în punctele curbei netede sau netede pe porţiuni AB, ce reprezintă expresia I = P x, y, zdx + Qx, y, zdy + Rx, y, zdz? AB

89 Capitolul MC. Integrala dublă. Exerciţii rezolvate Exerciţiul... Să se calculeze I = D dxdy, unde D = [, ] [, 4]. + yx Soluţie. Funcţia de sub semnul integrală este continuă. Domeniul D este un interval, deci este simplu în raport cu ambele axe. Vom aplica, pentru calcul, formula de reducere a unei integrale duble la o integrală iterată, în ordinea x, y spre exemplu. Avem I = = 4 4 Efectuăm substituţia: y = t, y = t, dy = t dt. Astfel, arctg t I = t dt = 4 t [ = 4 dx 4 [ + yx dy = y arctg x ] x= y [ arctg y y arctg y y ] dy = 4 dy = x= arctg y dy. y arctg t dt = 4 tarctg t t + t dt = arctg π 4 ] ln + t = 8arctg π ln 5 ln = = 8arctg π + ln 4 5. Exerciţiul... Să se calculeze I = xydxdy, dacă D este limitat de parabola y = x şi de dreapta y = x + 3. D Soluţie. Domeniul D, reprezentat mai jos, este simplu în raport cu ambele axe. 89

90 9 Autoevaluare Vom integra în ordinea y, x, deoarece este mai comod să integrăm în această ordine decât în ordinea inversă. Proiecţia domeniului D pe axa Ox este intervalul [, 3]. Curba care îl mărgineşte inferior are reprezentarea y = x x 3, iar curba care îl mărgineşte superior are reprezentarea y = x+3 x 3. Aplicând formula de reducere a integralei duble la o integrală definită, obţinem I = 3 x+3 3 dx xy dy = x xy x+3 dx = x 3 x [ x + 3 x 4] dx = Exerciţiul..3. Să se calculeze, cu ajutorul formulei lui Riemann Green, integrala curbilinie [ I = y x + y x ln y + ] [ x + y dx + y xy + ln x + ] x + y dy C unde C : { x = + cos t y = sin t, t [, π]. Soluţie. Să observăm că este dificil să calculăm direct integrala dată. Este firesc să încercăm o nouă metodă de calcul, folosindu-ne de formula lui Riemann Green. Imaginea curbei C este semicercul superior K = {x, y IR x + y = x, y } reprezentat mai jos:

91 MC. Integrala dublă 9 Curba C este simplă şi rectificabilă, dar nu este închisă. Pentru a putea folosi formula lui Green, trebuie să completăm semicercul K prin imaginea unei noi curbe simple şi rectificabile C, până la un contur închis. Curba C trebuie astfel aleasă, încât integrala curbilinie de-a lungul ei să poată fi calculată cât mai uşor. Vom completa semicercul K prin segmentul OA, unde A =,. Obţinem astfel domeniul D {x +y x, y }. Pentru curba C vom alege reprezentarea parametrică x = t, y =, t [, ]. Curbele C şi C sunt juxtapozabile, iar reuniunea lor Γ = C C este o curbă închisă, simplă, rectificabilă şi determină orientarea pozitivă a lui D. Să definim funcţiile P şi Q pe domeniul D prin relaţiile P x, y = [ y x + y x ln y + ] x + y, x, y,, x, y =, Qx, y = y [xy + ln x + ] x + y, x, y,, x, y =, şi să cercetăm dacă formula lui Green este aplicabilă. Funcţiile P şi Q sunt, evident, continue pentru x, y,, x, y D. Din relaţiile x ln y + x + y = x ln y ln x + x + y = y ln y + x + y x y + x + y x, x + x + y y x + x + y y, adevărate pentru x >, y >, y + x + y şi x + x + y, deducem că lim P x, y = lim Qx, y =, x,y, x,y, de unde rezultă continuitatea funcţiilor P şi Q în origine. Pentru x, y, avem P y = y x + y, Q x = y y3 + x + y În origine, calculând derivatele parţiale după definiţie, obţinem P y, =, Q, =. x

92 9 Autoevaluare Din inegalitatea y y y deducem că x + y P lim x,y, y = lim Q x,y, x =, de unde rezultă continuitatea derivatelor parţiale P Q şi în origine, şi deci, pe tot domeniul D. y x În concluzie, sunt verificate condiţiile din teoremă pentru domenii având ca frontieră o curbă simplă, închisă şi rectificabilă şi formula lui Riemann-Green este aplicabilă. Avem: Q P dx + Qdy = x P dxdy; y Γ Γ P dx + Qdy = D D y 3 dxdy. Notând integrala curbilinie de-a lungul curbei C cu I şi integrala dublă cu J, egalitatea precedentă devine I + I = J. Integrala I o calculăm aplicând formula de reducere a unei integrale curbilinii la o integrală Riemann, iar integrala J o calculăm aplicând formula de reducere a unei integrale duble la o integrală iterată în ordinea y, x. Avem: [ I = [ t ln t]dt = t 3 ln t 3 ] t dt = 4 3 ln ; 3 9 x x J = dx y 3 dy = x x dx = Obţinem I = J I = 4 [ ln ]. 3 5 Exerciţiul..4. Folosind o schimbare de variabile convenabilă, să se calculeze: I = xy dxdy, D : x + y r, x, y. D Soluţie. Domeniul D are următoarea reprezentare:

93 MC. Integrala dublă 93 Folosim coordonatele polare { x = ρ cos θ y = ρ sin θ. Din inegalităţile care caracterizează domeniul D vom obţine ρ r { ρ [, r] cos θ = θ [ ]., π sin θ. Avem: J = Dx, y Dρ, θ = ρ. Domeniul D este transformat în domeniul : Calculând integrala, obţinem: I = ρ cos θρ sin θρ dρdθ; I = π dθ I = sin θ r π { ρ r, θ π }. ρ cos θ ρ sin θ ρ dρ = ρ4 4 r = r4 8. π cos θ sin θ dθ r ρ 3 dρ; Exerciţiul..5. Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele de coordonate ale plăcii materiale având densitatea ρx, y = + xy. D : x + y, x, y Soluţie. Domeniul D este simplu în raport cu ambele axe Ox şi Oy. Domeniul D are reprezentarea Vom integra în ordinea y, x: I x = y ρx, ydxdy = I x = D y x y4 4 [ x x dx = ] y + xydy dx; [ x 3 + x ] 3 4 x4 dx.

94 94 Autoevaluare Efectuăm schimbarea de variabilă x = t. Rezultă: x = = t = ; x = = t = ; dx = dt. Calculând integralele, obţinem: I x = I y = D t t 4 t 4 dt = x + xydxdy =. t t4 4 t5 4 t 4 dt = + t5 t6 = 4. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul... Să se calculeze unde D : { x 3; y }. I = D ydxdy + xy x, Indicaţie. Funcţia de sub semnul integrală este continuă. Domeniul de integrare este simplu în raport cu ambele axe. Dacă folosim ordinea de integrare x, y, obţinem I = 3 ydx + xy dy. x Răspuns. I = 3 π 9. Exerciţiul... Să se calculeze I = D x y dxdy, unde D este mărginit de dreptele x =, y = x şi de hiperbola echilateră xy =. Indicaţie. Domeniul D este simplu în raport cu Oy şi are reprezentarea

95 MC. Integrala dublă 95 Integrala I devine I = x x x y dy dx. D : x x y x. Răspuns. I = 9 4. Exerciţiul..3. Folosind o schimbare de variabile convenabilă, să se calculeze: { dxdy xy I = + xy, unde D x y 3x D Indicaţie. Scrierea lui D în forma xy D : y x 3 sugerează schimbarea de variabile xy = u y x = v, domeniul devenind astfel un dreptunghi cu laturile paralele cu noile axe. ln 3 Răspuns. I =. Exerciţiul..4. Să se calculeze volumul elipsoidului de ecuaţie x a + y b + z c =.

96 96 Autoevaluare Indicaţie. Se constată că unde D : x V = D c x a y b dxdy, a + y este proiecţia elipsoidului pe planul xoy. b Răspuns. I = 4πabc 3 Exerciţiul..5. Să se calculeze aria domeniului D R mărginit de curba: x 3 + y 3 = a 3. Indicaţie. Curba care mărgineşte domeniul este astroida cu braţe egale Notând aria domeniului cu D, avem D = Se efectuează schimbarea de variabile D dxdy = 4 { x = r cos 3 t D dxdy. y = r sin 3 t. Răspuns. Aria domeniului mărginit de astroida din enunţ este 3πa 8..3 Întrebări de autoevaluare. Ce interpretare are egalitatea I fx, ydxdy =. Enunţaţi definiţia unui domeniu simplu în raport cu axa Oy. 3. Enunţaţi definiţia unui domeniu simplu în raport cu axa Ox. b a d fx, ydy dx, unde I = [a, b] [c, d]? c 4. Demonstraţi formula integrală Riemann Green P x, ydx + Qx, ydy = Γ D Q x P dxdy y 5. Ce reprezintă formula fx, ydxdy = În caz că o recunoaşteţi, demonstraţi o. D Ω f ϕu, v, ψu, v Dϕ, ψ u, v Du, v dudv?

97 Capitolul MC. Integrale de suprafaţă. Exerciţii rezolvate Exerciţiul... Să se calculeze aria unei emisfere de ecuaţii: x = R cos u sin v S : y = R sin u sin v, u [, π], v z = R cos v [, π ]. [ Soluţie. Notăm: A = aria S; D = [, π], π ]. Atunci A = S dσ = D EG F dudv. { xu = R sin u sin v, y u = R cos u sin v, z u = x v = R cos u cos v, y v = R sin u cos v, z v = R sin v; E = x u + y u + z u = R sin v F = x u x v + y u y v + z u z v = G = x v + y v + z v = R ; EG F = R 4 sin v; A = D R sin v dudv = R π π du sin vdv = πr. Exerciţiul... Să se calculeze aria pânzei conice S, de ecuaţie z = x + y, cuprinsă între planele z = şi z =. 97

98 98 Autoevaluare Soluţie. Fie D proiecţia pânzei conice pe planul xoy. Atunci D = {x, y IR x + y } este un disc închis de rază. Notăm cu A = aria S. Atunci A = dσ = + p + q dxdy, unde S p = z x = D x x + y, q = z y = y x + y ; Astfel, deoarece aria discului D este π. dσ = + p + q dxdy = dxdy. A = dxdy = π, D Exerciţiul..3. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei pânze subţiri în formă de emisferă, de ecuaţie S : z = R x y, densitatea ρ S fiind constantă. Soluţie. Avem: S M = ρ S dσ = p = z x = x R x y q = z y = y R x y ; dσ = + p + q dxdy = D R R x y dxdy; ρ S + p + q dxdy = ρ S R D dxdy R x y, unde D = {x, y IR x + y R }. este proiecţia lui S pe planul xoy, iar M este masa pânzei. Trecând la coordonate polare obţinem π R ρ dρ M = ρ S R dθ R ρ = πρ SR. În virtutea omogenităţii pânzei subţiri S şi a simetriei faţă de Oz, rezultă că x G şi y G sunt nuli. Prin urmare, nu avem de calculat decât pe z G. Avem M z G = ρ S z dσ = ρ S R dxdy = ρ S πr 3. Rezultă: x G =, y G =, z G = R. S D Exerciţiul..4. Să se calculeze x dydz + y dzdx + z dxdy, unde S + fiind faţa exterioară a sferei x + y + z = a. S +

99 MC. Integrale de suprafaţă 99 Soluţie. Sunt de calculat trei integrale de suprafaţă. Fie mai întâi, I = z dxdy S + Notând cu S emisfera situată deasupra planului xoy, de ecuaţie z = a x y şi cu S emisfera inferioară, de ecuaţie z = a x y, rezultă că I = z dxdy + z dxdy = z cos γ dσ + z cos γ dσ, S + S + S + S + unde γ este unghiul format de normala exterioară la sferă cu axa Oz. Deoarece pe S + avem cos γ >, iar pe S + avem cos γ <, rezultă că I = a x y dxdy + a x y dxdy = a x y dxdy, D D unde D este interiorul cercului x + y = a din planul xoy. Trecând la coordonate polare, rezultă sau I = I = π dθ { θ π a ρ ρ dρdθ, unde : < ρ a a ρ a ρ dρ = 4π 3 D a ρ 3 a Raţionând la fel pentru calculul celorlalte două integrale, rezultă că integrala I = y dxdz S + = 4πa3 3. se transformă într-o integrală dublă referitoare la domeniul x + z a, y =, iar integrala I 3 = x dydz S + se reduce la calculul unei integrale duble pe domeniul y + z a, x =. Valorile lor sunt egale cu cea obţinută pentru I. Avem, I = I + I + I 3 = 4πa 3. Exerciţiul..5. Să se calculeze x yzdx + y xzdy + z xydz de-a lungul arcului de elice AmB x = a cos t y = a sin t z = ht π, situat între punctul Aa,, şi punctul Ba,, h, unde a > şi b >. Soluţie. În figura de mai jos este desenată elicea cilindrică de pas constant.

100 Autoevaluare Se observă că punctele A şi B sunt situate pe aceeaşi paralelă la Oz. Deoarece curba nu este închisă, sub această formă nu poate fi aplicată formula lui Stokes. Completând însă arcul AmB cu segmentul BA se obţine o curbă închisă. Celelalte condiţii de aplicabilitate ale formulei lui Stokes fiind satisfăcute, avem AmB + BA = S cos α cos β cos γ x y z dσ =, P Q R S fiind o porţiune de suprafaţă mărginită de curba închisă AmBA. Ultima integrală este nulă deoarece integrandul este nul. Urmează atunci că avem AmB = BA = x yzdx + y xzdy + z xydz = AB deoarece pe AB avem y = şi x = a. AB z dz = h z dz = h3 3,. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Exerciţiul... Să se calculeze aria sferei cu centrul în originea reperului şi de rază R. Indicaţie. Ecuaţiile parametrice ale sferei sunt x = R cos ϕ sin θ S : y = R sin ϕ sin θ z = R cos θ D, ϕ [, π], θ [, π]. Se ştie că A = aria S = EG F dθdϕ, unde D = {θ, ϕ : θ [, π], ϕ [, π]}. Răspuns. Aria lui S este 4πR.

101 MC. Integrale de suprafaţă Exerciţiul... Să se calculeze I = S z dσ unde S este porţiunea paraboloidului z = x + y decupată de cilindrul x + y = 8. Indicaţie. Calculăm mai întâi dσ = + p + q dxdy, cu p = x şi q = y. Astfel dσ = + x + y dxdy. Răspuns. I = Exerciţiul..3. Să se calculeze integrala de suprafaţă de al doilea tip I = y dydz + z dzdx + 3x dxdy unde S este faţa interioară a sferei x + y + z = a, situată în primul octant. S Indicaţie. Normala dirijată spre interiorul sferei are versorul n = x a, y a, z. a Atunci I = y cos α + z cos β + 3x cos γ dσ = xy + zy + 3xzdσ. a S S Răspuns. I = a 3. Exerciţiul..4. Să se calculeze S + y zdydz + z xdzdx + x ydxdy, unde S + este faţa exterioară închisă a conului z = x + y, z h. Indicaţie. Suprafaţa S are reprezentarea

102 Autoevaluare Se separă integrala dată în două integrale, după porţiunile de suprafaţă S - faţa laterală a conului şi S - capacul z = h, astfel că +. S + = S + S + Răspuns. I =. Exerciţiul..5. Să se determine centrul de greutate G al unei calote sferice omogene de rază R şi înălţime R. Indicaţie. Din motive de simetrie x G = y G =, iar z G = M Răspuns. G,, R. S z dσ, unde M = S dσ..3 Întrebări de autoevaluare. Să se scrie ecuaţia planului tangent la pânza parametrică netedă x = xu, v y = yu, v, u, v A R, z = zu, v într un punct curent al ei.. Să se scrie elementul de arie dσ al unei suprafeţe netede cu reprezentarea parametrică dată anterior.

103 MC. Integrale de suprafaţă 3 3. Ce reprezintă egalitatea fx, y, zdσ = fx, y, zx, y + p x, y + q x, ydxdy? În caz că o recunoaşteţi, încercaţi să o demonstraţi. S D 4. Dacă S este o pânză materială cu elementul de masă dm, atunci ce semnifică numerele: I x = z dm; I yz = x dm; I O = x + y + z dm? S S S y + 5. Care este problema concretă care sugerează introducerea noţiunii de integrală de suprafaţă de al doilea tip? 6. Demonstraţi formula lui Stokes P x, y, zdx + Qx, y, zdy + Rx, y, zdz = Γ S R y Q P dydz + z z R Q dzdx + x x P dxdy y unde Γ = S.

104 4 Autoevaluare

105 Capitolul MC. Integrala triplă. Exerciţii rezolvate Exerciţiul... Să se calculeze I = V z dxdydz, unde V este domeniul definit de inegalităţile: x + y + z a ; x + y z ; z. Soluţie. Suprafaţa dată de ecuaţia x + y + z = a este o sferă de rază a, iar suprafaţa z = x + y este un con cu vârful în origine şi cu axă de simetrie Oz. Deoarece z, din con reţinem doar pânza superioară z = x + y. Intersecţia celor două suprafeţe este curba definită de ecuaţiile x + y = a z = a. adică un cerc de rază a situat la înălţimea z = a. Proiecţia lui V pe planul xoy este deci discul D cu centrul în origine şi raza a. Ecuaţiile explicite ale suprafeţelor care mărginesc pe V sunt z = [ ] x + y, z, a şi z = [ a x y a ], z, a. Deci explicitarea lui V este dată de V = {x, y, z x + y z a x y }, iar integrala triplă se reduce astfel a x y I = z dxdydz = z dz dxdy = x +y V D D z a x y dxdy = x +y D a x y dxdy. Pentru calculul acestei integrale duble folosim coordonatele polare. Domeniul D este transformat în = { ρ, θ ρ 5 a } ; θ π,

106 6 Autoevaluare iar jacobianul transformării este J = ρ. Astfel, integrala devine I = = a π dθ π a a ρ cos θ ρ sin θρ dθ dρ = a ρ ρ dρ = π a 8 a ρ = πa4 8. Exerciţiul... Să se calculeze I = x + y dxdydz, unde V este definit de inecuaţiile: y ; x + y x ; z. V Soluţie. V este un corp cilindric secţionat de planele z =, z = şi y =, cu următoarea reprezentare Prin urmare I = x + y dxdydz = x + y dz dxdy, V unde D este interiorul semicercului z =, y, x + y x. Rezultă I = x + y dxdy. Integrala dublă se calculează în coordonate polare şi se obţine I = ρ 3 dρdθ, unde D { = ρ, θ ρ cos θ, θ π D }. Se găseşte I = π dθ cos θ π ρ 3 dρ = 4 cos 4 θ dθ = π + cos θ dθ = 3π 4.

107 MC. Integrala triplă 7 Exerciţiul..3. Să se calculeze I = x + y dxdydz, unde V este domeniul limitat de suprafeţele x + y + z = a, x + y = a şi z =, iar a >. V Soluţie. Domeniul V este mărginit lateral de cilindrul x + y = a, inferior de planul de ecuaţie z = şi superior de planul x + y + z = a, cu următoarea reprezentare Avem z I = x + y D z dz dxdy, unde D : z =, x + y a, iar z =, z = a x y. Urmează atunci I = x + y z dxdy = a x y x + y dxdy. D a x y Trecând în coordonate polare, ultima integrală devine: I = I = a ρ cos θ ρ sin θρ dρdθ = π = 4πa4 3 a ρ3 3 ρ4 4 a4 4 sin θ ρ4 a cos θ 4 sin θ π + a4 4 cos θ π π dθ = dθ = 4πa4 3. D a π aρ ρ 3 cos θ ρ 3 sin θdρ; a a3 3 a4 a4 cos θ 4 4 sin θ dθ = Exerciţiul..4. Să se calculeze integrala triplă I = V z dxdydz, unde V este definit de inecuaţiile x + y z şi z. Soluţie. Domeniul V este simplu în raport cu Oz, deoarece este interiorul unui paraboloid de rotaţie în jurul axei Oz, limitat de planul z =. Avem următoarea reprezentare pentru V :

108 8 Autoevaluare Avem I = z dxdydz = unde D : x + y 4, z =, iar z = x + y, z =. I = z 3 dxdy = 3 3 D V x +y D D z z z dz dxdy, 8 x + y 3 8 dxdy. Trecând la coordonate polare, se obţine I = 3 8ρ ρ7 dρdθ, 8 unde = {ρ, θ ρ, θ π }. Mai departe, I = 3 π dθ 8ρ ρ7 dρ = π 8 3 4ρ ρ8 = 8π. 64 Exerciţiul..5. Să se calculeze I = zx y dydz + z dzdx + xyz dydx x folosind formula lui Gauss-Ostrogradski, unde S : a + y b + z c = z. S. Soluţie. Reamintim formula integrală Gauss-Ostrogradski P dydz + Q dxdz + R dxdy = S V P x + Q y + R z dxdydz, unde S mărgineşte corpul V. În acest caz: P x, y, z = zx y; Qx, y, z = z ; Rx, y, z = xyz şi P I = x + Q y + R dxdydz = 6xyz dxdydz z V V

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10 Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii

Διαβάστε περισσότερα