ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

70

Κεφάλαιο ο: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 8. Σ 33. i) Σ. Λ 9. Λ 33. ii) Σ 3. Λ 0. Σ 33. iii) Λ 4. Σ. Σ 34. Λ 5. Λ. Σ 35. i) Σ 6. Σ 3. Σ 35. ii) Λ 7. Σ 4. Σ 36. Σ 8. Λ 5. Σ 37. Σ 9. Σ 6. i) Σ 38. Σ 0. Λ 6. ii) Λ 39. Σ. Λ 7. Σ 40. i) Λ. Λ 8. Σ 40. ii) Σ 3. Λ 9. Λ 4. Λ 4. Λ 30. Λ 4. Σ 5. Σ 3. Λ 43. Σ 6. Λ 3. Σ 44. Λ 7. Σ 7

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.. Γ. Β. Γ. Β. Γ 3. 3. Α 3. 4. Γ 4. 4. 5. 5. Γ 5. Ε 6. 6. Γ 6. Γ 7. Β 7. 7. Γ 8. Β 8. 8. 9. Γ 9. Γ 9. Ε 0. 0. Γ 30. Γ Μερικές ενδεικτικές λύσεις 5. Η ερώτηση είναι απλή, αν ο µαθητής γνωρίζει την αντίστοιχη ιδιότητα της διπλής διάταξης. Αξίζει όµως να επισηµανθεί στους µαθητές ότι δεν είναι απαραίτητη υπόθεση η ύπαρξη του ορίου της f (όπως στην απλή διάταξη). Μια παραλλαγή της ερώτηση θα µπορούσε να είναι Β. (f () - g () 0 (σωστό) και Γ. f () 0 (λάθος) 0. Ασυνήθιστη ερώτηση. Ο µαθητής µπορεί να απαντήσει αν έχει κατανοήσει την έννοια του ορίου. Θα πρέπει να ανακαλέσει στη µνήµη του ότι ηµ <, άρα αποκλείονται οι τιµές οι µεγαλύτερες ή ίσες του 0,05 (Α, Γ και Ε). Επίσης είναι Μένει να είναι η. 0 ηµ, άρα η τιµή θα είναι πολύ κοντά το 0,05. 7

5. Έχουµε καθιερώσει στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής να είναι ένα µόνο σωστό (ή ένα µόνο λάθος). Από τη στιγµή λοιπόν που τα Α και Β είναι προφανές ότι ισχύουν, σωστή απάντηση είναι η Ε (χωρίς να εξεταστεί η αλήθεια ή όχι την Γ και, κατ ανάγκη). Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. δ. β ζ γ 3 α 3 δ 4 γ 4 α 3. ε 4. α α δ 3 η 3 ε 4 δ 5 γ 5. ε 6. ε γ α 3 β 3 δ 4 α 4 γ 7. γ α 3 δ 4 ζ 73

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. φ () < h () < s () < f () < g () - - - - -. γ, δ, α, ε, β. Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) β) 0 γ) δ) 3 ε) στ) ζ) 4. α) D f [, 4] β) 0 και + 3. α) ν - ( ν- + ν- +... + ) ν - β) 0 ν (- ) - 0 - (- ) - ν - 0 - (- ) ν - (- ) - - ν 4. α) β) 0 0 + 0 ηµ 0 ηµ 3 γ) Πολλαπλασιασµός µε τη συζυγή παράσταση: - 74

δ) 0 ηµ5 ηµ7 0 ηµ5 ηµ7 0 ηµ5 5 5 ηµ7 7 7 7 5 ηµ 5 0 5 ηµ 7 0 7 7 5 ε) 0 εφ ηµ συν ηµ 0 ηµ (- ηµ ) ν (ν +) 5. α) + + + ν 8 άρα ν 7 β) ν 0 ν 5 6. Το πηλίκο τριωνύµων τα οποία έχουν κοινή ρίζα ρ έχει όριο, στο 0 ρ, πραγµατικό αριθµό (εφόσον ο παρονοµαστής δεν έχει διπλή ρίζα τον ρ). 7. f() - 3, τότε 0 f() - 3 0, δηλαδή 0 f() - 3 0 οπότε 0 f () 3 Όµοια 0 g () - 4, και συνεπώς: α) [f () + g ()] - 0 β) [f () g ()] 3 (- 4) - 0 8. γ) πλευρικά όρια στο 0 δ) πλευρικά όρια στο (δεν υπάρχει όριο). 9. α) + β) Μόνο πλευρικά όρια για την f () - g (), και επίσης [h () - φ ()] 75

0. α) συνεχής στο (0, ), µη συνεχής στο [0, ] β) συνεχής στο D f γ) µη συνεχής. β) f (0 + h) ηµh, δηλαδή f (0) 0 γ) h 0 h 0 h 0 f ( 0 h) + h h 0 f ( 0 + h) ηµ h h ηµh h 0 f ( 0 + h) ηµ h ηµh h 9. α) +, -,, β) 0 0. α) - β) 0 γ) 0 δ) 0 ε) +. α) 0 β) + γ) - δ) -. α) (5-7 ) 5 7 [- + + 5 β) γ) + + 3 5 3 5 5 3-3 5 + 7-8 + 3 7 + + 3 7 ] - 3 5 7 3 5 8 5-3 7 5 8 + - 7 + 3 8 0 0-76

δ) - - 3 e + - - 3 - e e + - ε) + - ln ln ( + ) + - 3. α) β) 0 γ) 0 4. α) κe + 0, δηλαδή e - < 0 το οποίο ισχύει πάντοτε. Άρα Df R κ κ β) 0, κ e + κ κ κ e + κ - 5. Έστω ΑΓ, τότε (ΒΓ - ΑΓ) ( + + + c - ) + ( + c - ) ( + c + c + + ) + + c + c - + + c + c + 0 6. Ρ () ( ν - ) - ( - ) ( - ) Q () µε Q (0) -, Q () ν 7. α) Σύνθεση συνεχών β) θεώρηµα Bolzano για την h () στο [0, α ] 77

8. ( - ln) ln + + ln - + 9. f () + f () - + - - - - e 0 30. Αν ΑB α και ΑΜ τότε ΒΜ - α, + + AM BM, - α + 3. α) Πρέπει >. Η ευθεία ΑΜ : + y (κ - ) - κ 0. β) Για το σηµείο Ν έχω τετµηµένη 0, οπότε y Άρα Ε ΜΟΝ κ + κ κ - OM ON κ + κ - κ κ κ κ - + κ κ - κ. κ - Το κ κ - κ +, επειδή κ > 0 3. α) Πρέπει + (α -) + - 4 οπότε α - και α 3 β, δηλ. + (α -), 78

β) Βρίσκουµε το + - 4 Άρα το όριο είναι το +. β, β - 4. Αυτό είναι ίσο µε : 8 + β, β - 4. 0 35. α) Αν f (), θα έχουµε + ( + ), δηλ. + +, δηλ. +, συνεπώς 0 ή - β) Ζητούµε την τιµή του για την οποία η συνάρτηση g () + ( + ) παρουσιάζει ελάχιστο. Ισχύει g () + + και το ζητούµενο είναι το - - γ) f () + δ) + + f () + + + - + + + + + + (- ) + + + + + + - - ( + ) ( + ) + 0 + + +, + + + ( + ) 36. f () 8 + 37. α) f () 600, 75 + 800, 0 < 4 > 4 β) Η f () είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της εκτός από το σηµείο 0 4. 79

38. α) περίπου 58,6 χιλ. β) 36 γ) 0 400 + 9000, 39. α) f () 800 + 000, 0 0 > 0 40. α) σχήµα β) κ ( - e -t ) κ. t + γ) Σε µεγάλης διάρκειας συνεχούς βροχόπτωσης η ταχύτητα της σταγόνας είναι περίπου ίση µε κ. 0 + e 4. α) f (0) e περίπου,78 β) f (t) e 3, f (t) t 4 + t 4 + t 4 3 9 3 - e t + e e 3 περίπου 0,079 5 5 3 9 3 9 γ) f (t) 0, δηλ. - e t + e 0, άρα e 3 - t + 0 οπότε t 9 5 5 5 5 δ) f (0),78 f (4) 0,079, οπότε κάποια χρονική στιγµή t µε t µεταξύ 0 και 4 θα έχουµε f (t) 8,950. Επιπλέον, αν... t περίπου 4,3. 3 9 3 - e t + e 8,950, τότε 5 5 4. α), 00 ± 0.000-56y 4y. Πρέπει 0.000-56y 0 δηλ. y 0000 5 και y <, οπότε 4. 56 4 80

β) + 00 + 3 00 0 3 + + 43. Υπολογίζουµε το t + t + 0 M t + 0 0 0 + 3 t t M 0 0. 0 + t t + 44. f () 75.000 75.000 50 + 70.000 ( - 50) 68.000 0 < 50 50 < 70 70 < 00 45. Πρέπει ln + α - β και 3 α +, άρα α και β - 4 46. Ε (t) + + t 0 47. Κ (t) χιλ. ΕΥΡΩ t + 48. Ν (t) Μ t + 8

9π, 49. f () 4π, π, 0 5 5 < 0 0 < 5 50. f (), + 3 ( -), 5 + ( - 3), 0 < < 3 3 4 5. α) Αφήγηση Α Β Γ ιάγραµµα Ι ΙΙΙ ΙV β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής: Μαθητής ( ιάγραµµα II): Ξεκίνησα βιαστικά όταν όµως κατάλαβα ότι έχω µπροστά µου πολύ χρόνο έκοψα ταχύτητα. Μαθητής Ε ( ιάγραµµα V): Μόλις βγήκα από το σπίτι πρόσεξα ότι είχα ένα λάστιχο κλαταρισµένο. Το επιδιόρθωσα και ξεκίνησα βιαστικά επιταχύνοντας. 8

5. α) ιάγραµµα Ι ΙΙ ΙΙΙ Συνάρτηση σ () f () g () β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής: C h C φ 0 ιάγραµµα ΙV 0 ιάγραµµα V 53. Μια τέτοια συνάρτηση θα µπορούσε να είναι η παρακάτω: 0 83

84