qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Προχωρώντας από τη Β στη Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz «5 βασικά θέµατα» cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Ιούνιος ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Bασικό θέµα (Μέγιστη και ελάχιστη απόσταση σηµείου από κύκλο) ίνεται η εξίσωση του κύκλου (C) : + y + A+ By+ Γ=,Α + Β 4Γ> Να βρείτε τα σηµεία του κύκλου τα οποία απέχουν µέγιστη-ελάχιστη απόσταση από: i. Την αρχή των αξόνων Ο(,) ii. Το σηµείο (α,β) και να βρείτε κάθε φορά την απόσταση αυτή. Αρχικά θα δείξουµε ότι τα σηµεία του κύκλου που απέχουν τη µέγιστη και ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι τα σηµεία Β και Α αντίστοιχα όπως φαίνεται στο σχήµα. Θα δείξουµε ότι για τυχαίο σηµείο Μ του κύκλου ισχύει (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) Εφαρµόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΜΟΚ, (ΟΚ) (ΚΜ) (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚΜ) (ΟΚ) ρ (ΟΜ) (ΟΚ) + ρ (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) Για να βρούµε τα σηµεία Α, Β πρέπει αρχικά να βρούµε τη διακεντρική ευθεία ΑΒ Εύρεση της ευθείας ΑΒ y Είναι της µορφής y=λ, όπου λ= για ΑΒ y ' y και Κ(, y ) το κέντρο του y κύκλου άρα η εξίσωση της ΑΒ είναι (ε): y= Εύρεση των σηµείων Α και Β ( ) + (y y ) = ρ Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων y του κύκλου και της y= ευθείας. Οι λύσεις µας δίνουν τις συντεταγµένες των σηµείων Α και Β. Η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση (OM) = (OA) = (OK) ρ= + y ρ min
(OM) = (OB) = (OK) + ρ= + y + ρ ma Με ανάλογο τρόπο εργαζόµαστε όταν το σηµείο δεν είναι το Ο(,) αλλά το (α, β) Εύρεση της ευθείας ΑΒ Είναι της µορφής y y = λ( ), y β όπου λ= για ΑΒ όχι παράλληλη α στον άξονα y ' y και K(, y )το κέντρο του κύκλου, άρα η εξίσωση της ΑΒ είναι: y β (ε): y y = ( ) α Eύρεση των σηµείων Α και Β Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων ( ) + (y y ) = ρ y β y y = ( ) α Οι λύσεις µας δίνουν τις συντεταγµένες των σηµείων Α και Β. Η µέγιστη και ελάχιστη απόσταση (ΛΜ) = (ΛΑ) = (ΛΚ) ρ = ( α) + (y β) ρ min (ΛΜ) = (ΛB) = (ΛΚ) + ρ = ( α) + (y β) + ρ ma Παράδειγµα ο : ίνεται ο κύκλος C : ( ) + (y ) = και Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων τότε: i. Nα δείξετε ότι: (OM) 3 ii. Για ποια σηµεία Μ του κύκλου έχουµε α) (OM) =, β) (OM) = 3 iii. Βρείτε τα σηµεία του κύκλου που απέχουν µέγιστη και ελάχιστη απόσταση από το σηµείο Α(4, ) και ύστερα κάθε φορά την απόσταση αυτή
Bασικό θέµα (Ελάχιστη απόσταση σηµείου από ευθεία) ίνεται η εξίσωση της ευθείας (ε) :Α+ By+ Γ=,Α + Β και αναζητούµε ποιο σηµείο της ευθείας απέχει ελάχιστη απόσταση από: i. Την αρχή των αξόνων Ο(,) ii. Από το σηµείο Λ(α,β) και να βρείτε κάθε φορά την απόσταση αυτή. Η απόσταση που είναι ελάχιστη είναι εξ ορισµού η (ΟΕ) (ΟΜ) Όµοια ισχύει και για την απόσταση (ΛΖ) Για να βρούµε το σηµείο Ε πρέπει αρχικά να βρούµε την ευθεία ΟΕ Εύρεση της ευθείας ΟΕ Επειδή οι ευθείες ΟΕ και ε είναι κάθετες έχουµε, λ ΟΕ.λε = λ ΟΕ =,άρα λ ΟΕ : y= λ ΟΕ. y= λ ε Εύρεση συντεταγµένων του σηµείου Ε Επιλύουµε το σύστηµα των εξισώσεων της ευθείας (ε) και ΟΕ, δηλαδή A+ By+ Γ= E( E, y E) y =. λ ε Εύρεση της ελάχιστης απόστασης Α.+ Β.+ Γ Γ (OE) = d(o, ε) = = Α + Β Α + Β ε Όταν αναζητούµε σηµείο της ευθείας (ε) που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το γνωστό σηµείο Λ(, y ), τα βήµατα είναι τα ίδια. 3
Εύρεση εξίσωση ευθείας ΛΖ Έχουµε λ ΑΖ.λε = λαζ = οπότε ΛΖ: λ y y = λ.( ) y y = ( ) ΛΖ λε Εύρεση του σηµείου Ζ Λύνουµε το σύστηµα A+ By+ Γ= Z( Z, y Z) y y = ( ) λ ε ε Εύρεση της ελάχιστης απόστασης oς τρόπος: ος τρόπος: (ΛΖ) = ( ) + (y y ),µε υπολογισµό του Ζ (ΛΖ) = d(λ, ε) = Z Z Α. + B.y + Γ,χωρίς τον υπολογισµό του Ζ Α + Β Παράδειγµα ο : Η πορεία ενός πλοίου που κινείται ευθύγραµµα διαγράφει σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων, τροχιά µε εξίσωση (σε χιλιόµετρα) (ε): 3-4y-= i. Πόσο κοντά θα περάσει το πλοίο από το σηµείο Ο; Σε ποιο σηµείο της τροχιάς το πλοίο βρίσκεται πλησιέστερα στο λιµάνι µε συντεταγµένες Ο(,); ii. iii. Αν βρισκόµαστε στη βραχονησίδα Β(4,- 3 ), να δείξετε ότι το πλοίο απέχει 4 τουλάχιστον km Αν Μένα τυχαίο σηµείο της τροχιάς του πλοίου, να βρείτε το σηµείο Μ όταν (ΑΜ)=km 4
Bασικό θέµα 3 ( ύο κύκλοι και τα σηµεία τους που απέχουν µέγιστη-ελάχιστη απόσταση ) ίνονται οι εξισώσεις δύο κύκλων C : ( ) + (y y ) = ρ και C : ( ) + (y y ) = ρ, που δεν έχουν κοινά σηµεία και είναι εξωτερικοί. Βρείτε τα σηµεία των κύκλων που απέχουν µέγιστη και ελάχιστη απόσταση µεταξύ τους και την απόσταση αυτή. Για να βρούµε τα σηµεία του κύκλου (Κ,ρ ) που απέχουν από το σηµείο Κ ελάχιστη και µέγιστη απόσταση, πρέπει να φέρουµε τη διακεντρική Κ Κ, όπως δείξαµε στο Βας.Θέµα. Στο Κ ΕΖΚ έχουµε: (ΕΖ) (ΚΕ) + (ΚΚ ) + (Κ Ζ) ρ + (ΚΚ ) + ρ = (Α )µέγιστο (ΚΚ ) (ΚΕ) + (ΕΖ) + (ΖΚ ) (ΚΚ ) (ΚΕ) (ΖΚ ) (ΕΖ) (ΚΚ ) ρ ρ (ΕΖ) (Γ ) (ΕΖ) Εύρεση της εξίσωσης της διακέντρου Έχουµε y y λ =, ΚΚ y y Άρα η εξίσωση της διακέντρου είναι: y y = ( ) Εύρεση των σηµείων Α και Β Λύνουµε το σύστηµα ( ) + (y y ) = ρ y A( y α, y α ) _και _Β( β, y β) y y = ( ) Αντίστοιχα βρίσκουµε και τα σηµεία Γ και Εύρεση µέγιστης και ελάχιστης απόστασης των σηµείων του κύκλου oς τρόπος: (Α ) = ( ) + (y y ) α δ α δ 5
ος τρόπος: (Α )=(Κ Κ )+ρ +ρ, η οποία έχει το πλεονέκτηµα ότι µας υπολογίζει τη µέγιστη απόσταση χωρίς να γνωρίζουµε τα σηµεία Α,Β,Γ, Όµοια για την ελάχιστη απόσταση (ΒΓ)= ( ) + (y y ) ή από τη σχέση β γ β γ (ΒΓ)=(Κ Κ )-ρ -ρ Παράδειγµα 3 ο : ίνονται οι εξισώσεις δύο κύκλων C : + y + 4 8y+ 9= C : ( ) (y 4) + + = και i. Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων. ii. Να βρείτε τη σχετική τους θέση. iii. Βρείτε την εξίσωση της διακέντρου. iv. Βρείτε ποια σηµεία των κύκλων απέχουν τη µέγιστη και ποια την ελάχιστη απόσταση και να υπολογίσετε τις αποστάσεις αυτές. 6
Bασικό θέµα 4 (απόσταση ευθείας από κύκλο) Έστω η εξίσωση του κύκλου C : ( α) + (y β) = ρ και η εξίσωση της ευθείας (ε) : A+By+Γ= η οποία και δεν τον τέµνει. Να βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο. Τα σηµεία που ζητάµε είναι τα σηµεία επαφής εφαπτοµένης παράλληλης προς την (ε), έτσι ώστε ολόκληρος ο κύκλος να είναι προς το ίδιο µέρος της ευθείας αυτής, αφού ξέρουµε ότι απόσταση ευθείας από σηµείο είναι το ίδιο µε την απόσταση της παράλληλης προς την ευθεία που φέρνουµε από το σηµείο αυτό. Εύρεση της κάθετης από το το Κ προς την (ε) Α Β Β Είναι λε =. Άρα λκζ = και ε ΚΖ : y β = ( α) Β Α Α Εύρεση των σηµείων και Ε Λύνουµε το σύστηµα του κύκλου και της ευθείας ε ΚΖ Εύρεση µέγιστης και ελάχιστης απόστασης του κύκλου από την ευθεία ( Ζ)= d(k, ε)-ρ= Αα+ Ββ+ Γ ρ Α + Β είναι η ελάχιστη απόσταση (ΕΖ)= d(k, ε)+ρ= Αα+ Ββ+ Γ + ρ Α + Β είναι η µέγιστη απόσταση Παράδειγµα 4 ο : Να βρεθεί η ευθεία (η) που είναι κάθετη στον κύκλο C: +(y-3) = 9 και την ευθεία (ε): 6+8y+= 7
Bασικό θέµα 5 (χορδή-διάµετρος) Έστω η εξίσωση του κύκλου,,y,y τέτοιοι ώστε: Να αποδείξετε ότι: C : ( α) + (y β) = ρ και οι πραγµατικοί αριθµοί ( α) + (y β) = ( α) + (y β) = ρ ( ) + (y y ) 4ρ Από τη σχέση ( α) + (y β) =ρ συµπεραίνουµε ότι το Α(,y ) είναι σηµείο του κύκλου. Όµοια και το σηµείο Β(,y ).Άρα η ζητούµενη σχέση γίνεται: ( ) + (y y ) 4ρ δ η διάµετρος του κύκλου. ( ) + (y y ) ρ (ΑΒ) δ, όπου Πότε ισχύει η ισότητα; (AB)= Α Βδηλαδή όταν { =, y = y } (ΑΒ)=ρ, όταν τα σηµεία Α, Β είναι αντιδιαµετρικά τουτα κύκλου, δηλαδή Α, Ο, Β είναι συνευθειακά, όπου Ο το µέσον του ΑΒ είναι και το κέντρο του κύκλου Παράδειγµα 5 ο : ίνονται τα µη µηδενικά και µη παράλληλα διανύσµατα α r και β r και η εξίσωση r r r C : + y + α 4β y+ 4α.β = r r. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο µε ακτίνα ρ=α β του οποίου να βρείτε το κέντρο.. Αν ο κύκλος C διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας r r r r (ε): y= + α + 4β στο σηµείο Α( α, 4β ) να αποδείξετε ότι: r r i. α β r r ii. α = β iii. Το κέντρο του κύκλου είναι Κ(-, ) µε ακτίνα ρ=, αν επί πλέον r r ισχύει ότι α = ( α, 3) 8