ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0 0,, Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,, π.χ. π.χ. π.χ. Προσοχή :, ενώ π.χ. π.χ. π.χ. π.χ.7 π.χ.8 8 8 π.χ. π.χ.0 ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. i.. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ : Προσοχή: ] [ Προσοχή :

ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων : i ii iii iv v vi vii 8 viii 7 i i ii iii iv v vi vii.. ΡΙΖΕΣ Ισχύουν οι ιδιότητες :, και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :,, θετικός ή 0 και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :,, θετικός ή 0 και ν, μ θετικοί ακέραιοι.συνήθως :,, χ εir και ν, μ θετικοί ακέραιοι. ΠΡΟΣΟΧΗ : ενώ. Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε εύκολα υπολογίζω το αποτέλεσμα. π.χ., κτλ. Όταν όμως ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο. π.χ. 8 π.χ. π.χ. 7 Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα. π.χ. π.χ. Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής,,, τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή. π.χ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

0 π.χ. 0 0 π.χ. ΑΣΚΗΣΗ Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρίζες : i 0 ii 7 iii iv 8 ΑΣΚΗΣΗ Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, σε ισοδύναμα με ρητούς παρανομαστές. i ii iv v vi vii 7. Η ΕΞΙΣΩΣΗ : α+β=0 Μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει τελικά τη μορφή αχ+β=0 ή αχ=-β Αν α 0, η έχει μόνο μια λύση ρίζα, την. Αν α=0 και β 0, η είναι αδύνατη δεν έχει λύση. Αν α=0 και β=0, η είναι ταυτότητα ή αόριστη αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : 0 0 0 7 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω,, και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών. 7 7 7 7 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i 8 0 ii 8 iii 0 iv 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Αν Δ>0 τότε, Διακρίνουσα Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι 8 0, έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις, π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι 0 00 00 0, έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την 0 0 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι 8 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ. 0 π.χ. 0 π.χ. 0 π.χ. 0 Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 0 0 0 ή 0 π.χ. 0 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i 0 ii 0 iii iv 0 v 0 vi 7 0 vii 0 viii 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 8 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 8 Λύση : Πρέπει 0 & 8 8 8 0 0 δεκτή ή δεκτή. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε την εξίσωση : 0 7. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ i. Μέθοδος αντικατάστασης ii. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 7 8 0 Λύση : προσθέτοντας κατά μέλη 7 8 7 8 προκύπτει και αντικαθιστώντας στη η έχω :. Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών 0 π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 0 Λύση: 0 η λογω της γίνεται : 0 0 0 8 0 0 0 ή. Για από 8. Για από. Μέθοδος της Αντικατάστασης ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i ii 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

8. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 8 0 Λύση: 8 0 8 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: 0 0 0 Αδύνατη π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: 0 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις ανισώσεις : i 7 ii. iii. 0. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Η διαδικασία κατά την οποία μια παράσταση από άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ., π.χ.. ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 0 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i ii 8 0 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

ΤΡΙΩΝΥΜΟ αν Δ>0 όπου, οι ρίζες, a αν Δ=0 όπου η διπλή ρίζα a αν Δ<0 τότε δεν παραγοντοποιείται π.χ. π.χ. ΑΣΚΗΣΗ 0 Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i 8 ii 0. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η τριγωνομετρία είναι δύο πράγματα: Οι τύποι και ο τριγωνομετρικός πίνακας. Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι και αριθμοί. ημ +συν = ή ημ = -συν ή συν = -ημ, για κάθε.,, για κάθε. για -, : ακέραιος. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών Γωνία ω 0 ο ή 0 ο ημω 0 συνω εφω 0 ή ο ή 0 ο ή 0 ο 0 Δεν ορίζεται. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο : AΠΟ Ο -> Ο 80 80 80 π.χ. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8

i 0 ii iii 0 Λύση : i 0 80 0 0 ο -> ο ii 80 ο -> ο iii 0 80 0 0 ο -> ο ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών : i 0 ii iii 0 ΑΣΚΗΣΗ Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΗ Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΗ Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι : i ii iii iv ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι : i ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ii. iii. iv. v. 0 8 vi. vii. 0 viii. 0 i. 0. i. ii. iii. 8. Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ii. iii. iv. v. 0 vi. vii. viii. 0 i.. i.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. α. 0 7 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. β. 0 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες άνισες. γ. Αν 0 με 0, νδο η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i. 0 ii. iii. iv. 0 v. vi. vii. viii. i. 0. 0 i. 0 ii. 0 iii. 0 8 0. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων : i. 0 8 7 ii. 7 iii. 7. Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. i.. i. ii. iii. 7 iv. 8 v.